UNIDAD 6

Un grafo es un conjunto, no vacío, de objetos llamados vértices (o nodos) y una selección de pares de vértices, llamados aristas que pueden ser orientados o no.

G R A F O :

INTRODUCCIÓN

La teoría de grafos tiene su origen en el problema de los siete puentes de

Königsberg resuelto por Leonhard Euler.

Mapa de Königsberg en la época de Leonhard Euler, que muestra dónde se encontraban los siete puentes (en verde claro) y las ramas del río (en celeste).

Leonhard Euler (1707 - 1783)

Más tarde, otros problemas influyeron en el desarrollo de la teoría de grafos como:

El estudio de las redes eléctricas. La enumeración de isómeros de hidrocarburos. Etc.

Dibujar un grafo para resolver un problema es un reflejo muy común, que no precisa conocimientos matemáticos. Un grafo se parece a la figura siguiente,

y consta de vértices y de aristas que reúnen algunos de ellos.

En la teoría de los grafos, sólo se queda lo esencial del dibujo: la forma de las aristas no

son relevantes, sólo importan sus extremidades (o cabos); la posición de los vértices tampoco, y

se puede variar para obtener un grafo más claro, y hasta sus nombres se pueden cambiar.

Estos cambios se llaman:

Conceptos básicos de grafos

Grafo:Un conjunto de vértices Vy de aristasEde forma tal que cada arista se asocia a un par de vértices.

Una arista “e” en un grafo asociada a vértices “a” y “b”, se dice, que es incidente en “a” y “b” y

viceversa, que “a” y “b” son incidentes en “e”.

Y por lo tanto que “a” y “b” son vértices adyacentes en “e”.

Si “G” es un grafo con vértices “V” y aristas “E”, entonces

G = (V, E).

1

2

3

4 5V = {1, 2, 3, 4, 5} VérticesE = {a, b, c, d, e, f, g, h, i } AristasG = { (1, 2), (3, 2), (4, 5), (5, 3), (1, 4), (2, 4), (2, 5), (1, 3), (5, 1)} Grafo

a b

c

de

f g

h

i

Lazo: Es una arista incidente en un sólo vértice. ejemplo: a6 = (v5, v5).

Aristas paralelas. Cuando dos o más aristas están asociadas con el mismo par de vértices. Ejemplo: las aristas a2 y a3 están asociadas al mismo par de vértices. Es decir: a2 = (V1, V3) y a3 = (V1, V3).

LAZO

).

Aristas paralelas

Vértice aislado: El vértice que no es incidente en alguna arista

Grado o valencia de un vértice “v”:

Es el número de aristas incidentes en “v”.

V1 V2 V3 V4 V5

3 3 5 1 3

GRADO O VALENCIA

Subgrafos: Parte de un grafo.

algunos subgrafos de este grafo serían los siguientes:

CLASIFICACIÓN DE GRAFOS.

Grafo dirigido. Llamado también dígrafo tienen un conjunto de vértices V (nodos) y un conjunto de aristas E (arcos o lados), tal que cada arista se asocia a un par ordenado de vértices. Ejemplo:

Grafo no dirigido. Tienen un conjunto de aristas E (arcos o lados), tal que cada arista se asocia a un par no ordenado de vértices. De modo que para cualquier par de nodos existe al menos un camino que los une

A B

C D

Grafo pesado, ponderado ó etiquetado

Un grafo es pesado cuando sus aristas contienen datos (etiquetas). Una etiqueta puede ser un nombre, costo ó un valor de cualquier tipo de dato. También a este grafo se le denomina red de actividades, y el número asociado al arco se le denomina factor de peso.

Si A, B, C, D, E , F, G, H (los vértices ) fueran ciudades, entonces los números serían ponderaciones que podrían indicar los kilómetros que existen de una ciudad a otra o tal vez lo que cuesta un pasaje de una ciudad a otra. Por ejemplo de la ciudad A a la ciudad H hay 10 kilómetros de distancia.

Grafo simple: Es un grafo que no tiene lazos ni aristas paralelas.

Grafos Isomorfos: Dos grafos son isomorfos cuando existe una correspondencia biunívoca (uno a uno), entre sus vértices de tal forma que dos de estos quedan unidos por una arista en común.

Grafo nulo: Se dice que un grafo es nulo cuando los vértices que lo componen no están conectados, esto es, que son vértices aislados.

Grafo regular. Aquel con el mismo grado en todos los vértices. Si ese grado es k lo

llamaremos k-regular.

2-REGULAR

EJEMPLO

Grafo bipartito: Es aquel con cuyos vértices pueden formarse dos conjuntos disjuntos de modo que no haya adyacencias entre vértices pertenecientes al mismo conjunto.

Un grafo G es bipartito si puede expresarse como

(es decir, sus vértices son la unión de dos grupos de vértices), bajo las siguientes condiciones:

V1 y V2 son disjuntos y no vacíos.Cada arista de A une un vértice de V1 con uno de

V2.No existen aristas uniendo dos elementos de V1;

análogamente para V2.

Grafo completo: Aquel con una arista entre cada par de vértices. Es decir desde cualquier vértice podemos encontrar un camino hacia otro vértice con solo recorrer una arista.

Grafos Platónicos: Son los Grafos formados por los vértices y aristas de sólidos regulares (Sólidos Platónicos), como el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro, el icosaedro, etc..

Grafos conexos. Un grafo se puede definir como conexo si cualquier vértice V pertenece al conjunto de vértices y es alcanzable por algún otro.

A C E

B D F

Aquí tenemos que un camino que va de: “A” a “E” seria (a, d, e)

Camino: Es un conjunto de vértices y aristas que parten de un vértice y llevan a otro vértice

Longitud de camino: Es el número de arcos o aristas en ese camino.

La longitud de este camino seria 2

Camino simple: Es cuando todos sus vértices, excepto tal vez el primero y el último, son distintos.

Ciclo simple: Es un camino simple de longitud por lo menos de uno que empieza y termina en el mismo vértice.

A C E

B D F

Un ejemplo de esto seria el camino de “A” a “B”= (a,d,e,f,c,b)Un ejemplo seria (a,d,e,f,a)

Camino EulerianoLlamaremos camino euleriano a un camino que contiene a todas las aristas del grafo, apareciendo cada una exactamente una

vez.

TeoremaSea G un grafo conexoG es euleriano ⇔ Todos los vértices de G tienen grado par.

Grafo cíclico: Se dice que un grafo es cíclico cuando contiene por lo menos un ciclo.

Ciclos y caminos hamiltonianos

Un ciclo hamiltoniano tiene además que recorrer todos los vértices exactamente una vez (excepto el vértice del que parte y al cual llega).

Ciclo Euleriano

Ciclo Hamiltoniano

Grafo acíclico: Se dice que un grafo es acíclico cuando no contiene ciclos.

Grado de salida. El grado de salida de un nodo v de un grafo g, es el número de arcos o aristas que empiezan en v.

Grado de entrada. El grado de entrada de un nodo v de un grafo g, es el número de aristas que terminan en v.

a b c d e

2 3 3 2 2

a b c d e

2 3 3 2 2

SECUENCIAS

Es el seguimiento de pasos al realizar alguna tarea.

INICIO

num1,num2

r= num1 + num2

r

FIN

Selección (if-then-else)Dado que una condición produce un valor verdadero o falso, se necesita una sentencia de control que ejecute determinada sentencia si la condición es verdadera , y otra si es falsa. Esta alternativa se realiza con la sentencia IF-THEN-ELSE.

Mientras (do-while)La acción de do-while es repetir una serie de

instrucciones hasta que se cumpla una determinada condición. Aquí las palabras do y while sirven también como delimitadores de

bloque.

Selección múltiple (case)La sentencia de selección múltiple se utiliza para

ejecutar distintas sentencias en función de los distintos valores que pueda tomar una expresión.

Algoritmo de RecorridoY

Búsqueda.

Los algoritmos de búsqueda desempañan un trabajo importante en la teoría de grafos

particularmente esta ligada a la programación de objetos. Básicamente

estos términos se aplican en áreas estratégicas en las matemáticas y

desempeñan un juego muy importante tanto en los grafos como en los árboles.

Un recorrido en profundidad es un algoritmo que permite recorrer todos los nodos de un grafo o árbol de manera ordenada, pero no uniforme.

Su manera de funcionar se basa en ir expandiendo cada una de los nodos que va

localizando, de manera recursiva, recorriendo todos los nodos de un camino concreto. Cuando

ya no quedan más nodos por visitar en este camino, regresa hacia atrás, de tal manera que comienza el mismo proceso con cada uno de los

hermanos del nodo ya procesado.

BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD  (BEP)

Recorrido en profundidad: el recorrido en profundidad trata de buscar los caminos que parten desde el nodo de salida hasta que ya no es posible avanzar más. Cuando ya no puede avanzarse más sobre el camino elegido, se vuelve atrás en busca de caminos alternativos, que no se estudiaron previamente.

BÚSQUEDA ANCHURA  (BEA) En Ciencias de la computación, Búsqueda en anchura es un algoritmo para recorrer o buscar elementos en un grafo (usado frecuentemente sobre árboles). Intuitivamente, se comienza en la raíz (eligiendo algún nodo como elemento raíz en el caso de un grafo) y se exploran todos los vecinos de este nodo. A continuación para cada uno de los vecinos se exploran sus respectivos vecinos adyacentes, y así hasta que se recorra todo el árbol.Formalmente, BEA es un algoritmo de búsqueda sin información, que expande y examina todos los nodos de un árbol sistemáticamente para buscar una solución.

Recorrido en anchura:    El recorrido en anchura supone recorrer el grafo, a partir de un nodo dado, en niveles, es decir, primero los que están a una distancia de un arco del nodo de salida, después los que están a dos arcos de distancia, y así sucesivamente hasta alcanzar todos los nodos a los que se pudiese llegar desde el nodo salida.

ARBOLES

SON HERMANOS

SON HIJOS DE A

A

B C D

E F G H I J

K L

M

RAIZ PRINCIPAL

RAMA

PADRE DE B,C,D

NODOS TERMINAL

ESU

HOJAS

NODOS TERMINAL

ESU

HOJAS

4 NIV

EL

3 NIV

EL

2 NIV

EL

0 NIV

EL

1 NIV

EL

A

B C D

E F G H I J

K L

M

NODOS INTERNO

S

NODOS INTERNO

S

PROFUNDIDAD=5

PROFUNDIDAD ES EL NUMERO

DE NODOS RECORRIDOS

EN EL CAMINO DEL PRIMER AL ULTIMO NODO

LONGITUD=4

LONGITUD ES EL NUMERO DE

ARISTAS RECORRIDAS

EN EL CAMINO DEL PRIMER AL ULTIMO NODO

ÁRBOL BINARIOUn árbol binario es uno con raíz en el cual cada vértice tiene un hijo a la derecha o un hijo a la

izquierda, o viceversa, o bien ningún hijo

Se dice que un árbol binario es completo si:

Cada vértice tiene un hijo a la derecha y uno a la izquierda, o bien ningún hijo.

Teorema:Si T es un árbol binario completo con i vértices

internos, entonces T tiene i + 1 vértices terminales y 2i + 1 vértices en total.

ÁRBOL BINARIODE

BUSQUEDAEs un árbol binario T donde se han asociado datos a los vértices.

Estos datos se ingresaran de modo que:

El primer dato formara la raíz principalEl siguiente dato se analizara si es que la raiz se ubicara hacia el lado izquierdo, sino lo es (es mayor) al lado derecho.El siguiente dato se analizara con la siguiente raiz de modo que cada raiz puede tener como maximo dos hijos.

De los siguientes datos ordenar en un árbol binario:

55,38,90,75,15,29,33,69,88,5,46,27,81,50,92,29,3.

RECORRIDOS EN UN ARBOL BINARIO

Hay tres maneras de recorrer un árbol: en preorden, orden, posorden. Cada una de ellas tiene una

secuencia distinta para analizar el árbol como se puede ver a continuación:

PREORDEN Visitar la raíz.Recorrido el subarbol izquierdoRecorrido el subarbol derecho

ORDEN Recorrer el subarbol izquierdoVisitar la raiz.Recorrer el subarbol derecho

POSORDEN Recorrer el subarbol izquierdo. Recorrer el subarbol derecho . Examinar la raíz.

REDES

La maximización de flujos es un problema típico de la Investigación de Operaciones, el cual tiene muchas aplicaciones, por ejemplo el flujo vial en una ciudad, una red de aguas negras, una red informática, etc.

El Modelo de Redes es un método o secuencia el cual nos ayuda a tomar una decisión acertada que podría ser mejorar o dar mayor aprovechamiento a los flujos a vías donde que tengan mas capacidad, creando nuevas vías o eliminando algunas antiguas. También nos ayuda a maximizar este flujo de manera eficiente de forma tal que se aprovechen al máximo los recursos.

•Poseer una fuente o vértice fijo que no tiene aristas de entrada. •Poseer un sumidero o vértice fijo que no tiene arista de salida •El peso Cij de la arista dirigida de i a j llamado capacidad de “ij” es un numero no negativo.

MODELOSUna Red de Transporte es una grafica dirigida, simple, con pesos y que debe cumplir las siguientes características:

Este es un ejemplo de una red que parte de un punto a que es unMuelle y llega a un punto z que es una refinería.

E

B

A

C S

•Poseer una fuente o vértice fijo que no tiene aristas de entrada. •Poseer un sumidero o vértice fijo que no tiene arista de salida •El peso Cij de la arista dirigida de i a j llamado capacidad de “ij” es un numero no negativo.

3

4

7

8

6

Sea “G” una red y sea “Cij” la capacidad de la arista dirigida (ij) se dice que un flujo F en G asigna a cada arista dirigida (ij) un numero no negativo Fij tal que debe cumplir:Fij ≤ Cij

TEOREMA DE FLUJO MAXIMASe puede considerar un grafo como una red de flujo.

Donde un nodo fuente produce o introduce en la red cierta cantidad de algún tipo de material, y un nodo sumidero lo consume. Cada arco, por tanto, puede considerarse como un conducto que tiene cierta capacidad de flujo. De igual modo que en redes eléctricas la suma de flujos entrantes a un nodo, debe ser igual a la suma de los salientes (principio de conservación de energía), excepto para el nodo fuente y el nodo sumidero.

Por tanto, el problema de flujo máximo se enuncia como:

¿cuál es la tasa a la cual se puede transportar el material desde el nodo fuente al nodo sumidero, sin violar las restricciones de capacidad?.

Este algoritmo depende de tres conceptos principales:

•Un camino de aumento, es una trayectoria desde el nodo fuente s al nodo sumidero t que puede conducir más flujo.

1

2•La capacidad residual es la capacidad adicional de flujo que un arco puede llevar cf (u,v) = c(u,v) - f(u,v)

3

•Teorema de Ford-Fulkerson (1962): En cualquier red, el flujo máximo que fluye de la fuente al destino es igual a la capacidad del corte mínimo que separa a la fuente del destino.

•Un camino de aumento, es una trayectoria desde el nodo fuente s al nodo sumidero t que puede conducir más flujo.

12•La capacidad residual es la capacidad adicional de flujo que un arco puede llevar cf (u,v) = c(u,v) - f(u,v)

3

•Teorema de Ford-Fulkerson (1962): En cualquier red, el flujo máximo que fluye de la fuente al destino es igual a la capacidad del corte mínimo que separa a la fuente del destino.

2

3

4

5

3

42

8

5

3

REPRESENTACION GRAFICA DE UNA

RED DE PETRILa representación gráfica de una PN es importante porque al observar el modelo del sistema en forma gráfica y observar como cambia de un estado a otro puede mantener la atención y dar una perspectiva más clara a quién esté analizando el problema.