teoria de grafos. conceptos básicos

1Ing. Nabor Chirinos

GrafosConceptos Básicos

2Prof. Nabor Chirinos

LAS APLICACIONES MÁS IMPORTANTES DE LOS GRAFOS SON LAS SIGUIENTES:

· RUTAS ENTRE CIUDADES.· DETERMINAR TIEMPOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN UN PROCESO. · FLUJO Y CONTROL EN UN PROGRAMA.

Prof. Nabor Chirinos 3

Grafo:

Para las matemáticas y las ciencias de la computación, un grafo es el principal objeto de estudio de la teoría de grafos. De esta forma, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (llamados vértices o nodos), unidos por líneas (aristas). Los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que se encuentran en interacción.

Son diagramas que si se interpretan en forma adecuada proporcionan información, como por ejemplo los mapas, diagramas de circuitos o de flujos, entre otros


Un grafo está compuesto por dos conjuntos finitos.

Un conjunto de |A| aristas,Un conjunto de |V| vértices

J es la relación de incidencia, que asocia a cada elemento de |A| un par de elementos de |V|Se denota G= { A, V, j}


Vértices: Son los objetos representados por punto dentro del grafo

Aristas: son las líneas que unen dos vértices

Aristas Adyacentes: dos aristas son adyacentes si convergen sobre el mismo vértice

Aristas Múltiples o Paralelas: dos aristas son múltiples o paralelas si tienen los mismos vértices en común o incidente sobre los mismos vértices

Lazo: es una arista cuyos extremos inciden sobre el mismo vértice


UNA ARISTA ES INCIDENTE A UN VÉRTICE SI ÉSTA LO UNE A OTRO VÉRTICE.

La arista a, es Incidente en los Vértices A Y B.


Vértice Aislado: Es un vértice de grado cero

4

1

2 3

b

a

c

Vértice Pendiente: Es aquel grafo que contiene sólo una arista, es decir tiene grado 1


Cruce: Son intersecciones de las aristas en puntos diferentes a los vértices

Grafo Sencillo o Simple: Se dice que un Grafo G es simple si no tiene aristas cíclicas y existe una sola arista entre dos vértices.También puede ser aquel que no contiene lazos, ni aristas paralelas o dirigidas.

41

2 3

b

a

c

d e

f

41

2 3

b

a

d

c


Grafo Completo: Un grafo es completo si cada vértice tiene un grado igual a n-1, donde n es el número de vértice que componen el grafo.Para saber el número máximo de aristas que posee un grafo completo se aplica la formula.

A=(n*(n-1))/2


Existen dos tipos de grafos los no dirigidos y los dirigidos. No dirigidos: son aquellos en los cuales los lados no están orientados (no son flechas). Cada lado se representa entre paréntesis, separando sus vértices por comas, y teniendo en cuenta (vi,vj)=(vj,vi). Figuras 1 y 2.

Dirigidos: son aquellos en los cuales los lados están orientados (flechas). Cada lado se representa entre ángulos, separando sus vértices por comas y teniendo en cuenta <vi ,vj>=<Vj ,vi>. En grafos dirigidos, para cada lado <a,b>, a, el cual es el vértice origen, se conoce como la cola del lado y b, el cual es el vértice destino, se conoce como cabeza del lado. Figura 3


Grafo no Simple:

Grafo no dirigido que tiene lados paralelos y lazos.

v1 v2 v3

e1

e2

e3

e4

e5

e1 y e2 : aristas paralelas

e3 y e4 : aristas paralelas

e5 : lazo


Grado o Valencia de un Vértice: Es el número de aristas que inciden sobre un vértice

1

2 3

4 5

a

b

e d

c

f gh

i

j

G(1)=6 g(2)=3 g(3)=3 g(4)=3 g(5)=3


Grado Regular: Un grafo G simple, se dice que es K-regular, si todo vértice de G incide exactamente K-aristas, donde K es una constante.

Es decir, tiene igual número de arista en todos sus vértices.

4

1

2 3

b

a

c

d

e f


CICLO DE EULER

Recorrer todas las aristas del grafo sin repetirlas.

a

b c

d e

f

a, b, c, d, e, d, f, e, c, a

Ciclo de Euler

Encuentre el ciclo de Euler en el siguiente Grafo:

a b c

d e

f

g h

i

j


CICLO DE HAMILTON

Recorrer todos los vértices del grafo sin repetirlos, excepto el V0 y Vn que son el mismo.

a, e, b, g, c, h, j, f, i, d, a

Ciclo de Hamilton

Encuentre el ciclo de Hamilton en el siguiente Grafo:

a b c

de f g h

i j a b

c d e

f g


Una matriz de adyacencia es aquella que muestra de la forma mas rustica cómo está compuesto un grafo, esto es que dónde se coloque un uno se representa como una arista que una los dos nodos y con cero donde no hay unión.

Nota: Se puede obtener el Grafo a partir de la matriz de Adyacencia.


• ES CUADRADA Y SIMÉTRICA

• LA SUMA DE CADA FILA (O COLUMNA) ES EL GRADO DEL VÉRTICE CORRESPONDIENTE

• LA DIAGONAL ES NULA


Una matriz que está compuesta por unos y ceros, en la que se representan los nodos unidos por las aristas. Cada arista une dos y nada más que dos nodos.En general, las matrices de incidencia no son usadas computacionalmente, pero sirven como ayuda conceptual.

PROPIEDADES:

• No tiene por qué ser ni cuadrada ni simétrica


Obtenga la Matriz de Adyacencia partiendo del siguiente Grafo:

Obtenga la Matriz de Incidencia partiendo del siguiente Grafo:

a b

c

d e.a b

c

d

e

f

g

e1

e2e3

e4

e5 e6

e7e8

e9

e10

e11

Ejercicios:

teoria de grafos. conceptos básicos

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