teoria de portfolio

Teoría de PortfolioTeoría de Portfolio(Harry Markowitz)(Harry Markowitz)

Premio Nobel de Economía Premio Nobel de Economía año 1990año 1990

Teoría de Portfolios

Cartera o PortfolioCartera o Portfolio, es la combinación de activos o títulos financieros.

CarteraCartera o Portfolioo Portfolio EficienteEficiente, es el conjunto de inversiones eficientes que proporcionan el retorno esperado mas alto posible para cualquier nivel de riesgo o el nivel de riesgo más bajo posible para cualquier retorno

Selección de Títulos Bajo Selección de Títulos Bajo Condiciones de RiesgoCondiciones de Riesgo

Se seleccionan las alternativas de inversión en base a:

Retorno Esperado

Varianza o Desviación Estándar.

El Retorno Esperado es una medida de recompensa asociada al título; la desviación estándar es una medida del riesgo asociado.

Y se eligen aquellos títulos que no se dominan Y se eligen aquellos títulos que no se dominan entre sí.entre sí.

Análisis de PortfoliosAnálisis de Portfolios

n

E(Ri) = Pij * Rij j=1

Retorno Esperado =Retorno Esperado =

2 n _

y = Pij * (Rij – Ri)2 j=1

Varianza =Varianza =

Retorno Esperado y Riesgo para un título.Retorno Esperado y Riesgo para un título.


Rp = Rs + (1- )Rc

E(Rp) = Rs))E(Rc)

Donde:Donde: = Porcentaje a invertir en = Porcentaje a invertir en ACTIVO SACTIVO S

(1 – (1 – ) = Porcentaje a invertir en ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO C ACTIVO C

Rendimiento y Rendimiento Esperado de una Rendimiento y Rendimiento Esperado de una Cartera de Dos ActivosCartera de Dos Activos


Varianza del Portfolio, (Varianza del Portfolio, (pp22)) con 2 Activos.Es el valor esperado de las desviaciones al cuadrado de los

retornos del portfolio respecto a los del retorno medio.

p2 = E (Rp – Rp)2

p2 = E [X1*R1j + X2*R2j – X1Ri + X2*R2]2

Distintos Retornos del Valor 1

Rp

p2 = E [X1(R1j – Ri) + X2 (R2j – R2)]2

p2 = X1

2 12 + 2X1X2 E [(Rij – Ri) (R2j – R2)] +X2

2 22

E [(Rij – Ri) (R2j – R2)] Es la CovarianzaCovarianza y se designa:1212

p2 = X12 1

2 + X22 2

2 + 2X1X2 12

Análisis de Portfolios

Covarianza:Es una medida de cómo los retornos de los activos o títulos se mueven juntos.

N N _ __ _

Cálculo:Cálculo: s,c = (Rsj – Rs)(Rcj – Rc)*Pj

J=1

Donde: Donde: Rs = Retorno título SRs = Retorno título SRc = retorno título CRc = retorno título CPj = Probabilidad de ocurrencia de los Pj = Probabilidad de ocurrencia de los

distintos retornos. distintos retornos.


Coeficiente de Correlación:

El coeficiente de correlación entre los rendimientos de dos activos se define como:

ρ 1,2 =

La correlación entre los rendimientos de dos activos puede ser mayor o menor que cero, lo que significa que en el caso de que la correlación sea menor que cero, el riesgo de un activo en forma aislada puede ser mayor que el riesgo de ese mismo activo manteniéndolo dentro de una cartera.


Luego:p2

= [X22 c

2 + (1 –Xc)2 s2 +2Xc (1 – Xc) * 1 * c * s]1/2

Esto es (XEsto es (Xcccc + (1 – X + (1 – Xcc) ) ss))22

_ _ _Rp = XcRc + (1 – Xc) Rs

yy

O sea, cuando = +1 = +1 El Riesgo y RetornoEl Riesgo y Retorno son una Combinación Combinación Lineal.Lineal. En este caso de Perfecta Correlación el R y R y , , de un Portfolio de 2 activos es Promedio Ponderado del Retorno y RiesgoPromedio Ponderado del Retorno y Riesgo de los activos

individuales, o sea, no se Diversifica el Riesgono se Diversifica el Riesgo

•Perfecta Correlación Positiva: ρ 1,2 = +1


Luego:p= [Xc

2 c2 + (1 –Xc)2 s

2 -2Xc (1 – Xc)c s]1/2

_ _ _p = -Xcc + (1 – Xc) s

óó

El valor de p será siempre menorserá siempre menor que cuando = +1. Es mas, cuando = -1 , se puede encontrar una

combinación con Cero Riesgocon Cero Riesgo

•Perfecta Correlación Negativa: ρ 1,2 = -1


El Retorno no varía, pero:

p = [Xc2c

2 + (1 – Xc)2s2]1/2

Xcscs cs

_______________________

c + s

– 2cscs

En esta situación hay un punto donde el riesgo es menor. Esto puede obtenerse de:

p = [Xc2c

2 + (1 – Xc)2s2 + 2Xc (1-Xc) cscs]1/2

Sacar la primera derivada e igualar a cero, (dp/dXc=0)

Igualando a cero:

•No Correlación entre Activos: ρ 1,2 = 0


s = desv.C (desv.C – coef.correl.(c,s) * desv.S)varianza S + varianza C – 2Cov c,s

Donde: Donde: = Porcentaje a invertir en = Porcentaje a invertir en ACTIVO SACTIVO S

(1 – (1 – ss) = Porcentaje a invertir en ) = Porcentaje a invertir en ACTIVO CACTIVO C

Proporciones Óptimas a Invertir a Invertir Proporciones Óptimas a Invertir a Invertir en una Cartera de 2 Activos:en una Cartera de 2 Activos:


En una cartera de N activos se tienen:

N 2 N-1 N N 2 N-1 N

VAR( R ) =VAR( R ) = j VARjj i COV(ij) J=1 j=1 I=1

j=/=i

Donde: Donde: y = Proporción de la inversión asignada al valor jy = Proporción de la inversión asignada al valor j

i = Proporción de la inversión asignada al valor ii = Proporción de la inversión asignada al valor i

N = Número de valores de la cartera.N = Número de valores de la cartera.

N varianzasN varianzas

N (N – 1) CovarianzasN (N – 1) Covarianzas

Varianza de una Cartera con N Activos:


Si en una cartera de N títulos se invierte en cada título [1/N], la varianza de cartera.

Queda expresada de la siguiente forma:Queda expresada de la siguiente forma:

N N N N N N

(c)(c) = = jij)

J=1 j=1 I=1

j=/=i


__ __ __ __

(c)(c) = = [jij)

Al efectuarse factorizaciones por [1/N] en el primer Al efectuarse factorizaciones por [1/N] en el primer término de la expresión anterior, y por [(N-1)/N] en el término de la expresión anterior, y por [(N-1)/N] en el segundo término, se llaga a lo siguiente:segundo término, se llaga a lo siguiente:


De la anterior fórmula se desprende que:

1. La contribución de la varianza de los activos individuales respecto a la varianza y la cartera tiende a cero en la medida que N sea grande.

2. Sin embargo, la contribución de las covarianzas se aproxima al promedio de las covarianzas cuando N aumenta. Esto implica que una parte del riesgo de la cartera (Riesgo de MercadoRiesgo de Mercado), no se puede eliminar a través de la diversificación.


FF

EE

O(RO(Rpp))

E(RE(Rpp))

Frontera Eficiente: Frontera Eficiente:

A


Frontera Eficiente: Representa a las carteras con más alto rendimiento, para un mismo nivel de riesgo, por lo tanto, comienza con la cartera que tenga mínima varianza. En la figura, la frontera eficiente corresponde a EF

Cartera ÓptimaCartera Óptima

Aquella que es tangentetangente a la frontera eficiente con la más

alta curva de iso – utilidad del inversionista. En la figura se

representa en el pinto A.

Análisis de Portfolios.

Curvas de Iso - Utilidad

Las curvas de iso - utilidad corresponden al lugar geométrico que muestra las combinaciones de nivel de riesgo y retorno esperado, en que los inversionistas se muestran indiferentes entre una u otra combinación.

La relación entre el riesgo y retorno esperado es positiva, como forma de compensar un mayor riesgo asumido por el inversionista.

Retorno Vapores

-5,000,00

11,2515,0020,00

Retorno Papeles-Cartones

0,005,008,75

10,0015,00

Probabilidad

10%20%40%20%10%

EjemploEjemplo

Cálculo de los Retornos Cálculo de los Retornos Esperados de cada TítuloEsperados de cada Título

E(Rv) = 9,0

E(Rv) = -5*0,10 + 11,25*0,40 + 15*0,20 + 20*0,10

E(Rp-c) = 8,0

E(Rp-c) = 5*0,20 + 8,75*0,40 + 10*0,20 + 15*0,10

Cálculo del Riesgo de Cada Cálculo del Riesgo de Cada TítuloTítulo

v = 7,5581 (p-c) = 3,7583

¿Los títulos de Vapores y Papeles – Cartones Vapores y Papeles – Cartones

son inversiones eficientes inversiones eficientes para formar una cartera?.

Si puesto que: E(RE(Rvv) > E(R) > E(Rp-cp-c) )

(R(Rvv) > ) > (R(Rp-cp-c))

El Coeficiente de CorrelaciónCoeficiente de Correlación entre los títulos Vapores y Papeles-Vapores y Papeles-CartonesCartones, es de –0,5

Vapores

10 millones8 millones5 millones3 millones

1 millón0 millón

Papeles-Cartones

0 millón

2 millones

5 millones

7 millones

9 millones

10 millones

EjercicioEjercicio

Calcular el Retorno y el Riesgo de una Cartera, si se invierte:

Retorno Cartera

a. Rc= 100%*9 + 0%*8b. Rc= 9c. Rc= 8,8d. Rc= 8,5e. Rc= 8,3f. Rc= 8,1

EjercicioEjercicio

Riesgo Cartera

a. sc= 7,5581b. sc= 5,7079c. sc= 3,2728d. sc= 2,4693e. sc= 3,0751f. sc= 3,7583

EjercicioEjercicio

¿ Cuáles son las proporciones óptimas a invertir en cada título para que el Riesgo de la cartera sea mínimo?

En Vapores se debe invertir 28,43% y en En Vapores se debe invertir 28,43% y en

Papeles-Cartones un 71,57% del presupuesto.Papeles-Cartones un 71,57% del presupuesto.

Luego:Luego:

E (Rc) = 8,2843E (Rc) = 8,2843

(c) = 2,4637(c) = 2,4637

ASPECTOS FUNDAMENTALES EN LA FORMACIÓN DE UNA CARTERA

• IDENTIFICAR OBJETIVO DE LA INVERSIÓN.• DETERMINAR EL PLAZO PARA CUMPLIR CON LOS

OBJETIVOS DE LA INVESIÓN.• DETERMINAR CUANTÍA DE LA INVERSIÓN.• DETERMINAR NIVEL DE RIESGO ACEPTABLE.• SELECCIONAR EL TIPO DE ACTIVOS FINANCIEROS

QUE FORMARÁN LA CARTERA.• EVALUAR PERIODICAMENTE EL DESEMPEÑO DE LA

CARTERA.

Modelo de Fijación de Modelo de Fijación de Precios de Activos de Precios de Activos de

CapitalCapital (C.A.P.M.) (C.A.P.M.)Sharpe, Treynor, Mossin y Sharpe, Treynor, Mossin y

Lintner.Lintner.

C.A.P.M.C.A.P.M.

1.1. Supuestos:Supuestos:

Mercado perfecto o eficiente.

2.2. PresenciaPresencia deldel ActivoActivo dede CeroCero RiesgoRiesgo. . Combinar cualquier cartera de la frontera eficiente formada con activos riesgosos, con un activo sin riesgo. Retorno de activos sin riesgo (RF) con cartera de activos riesgosos (RM)* son independientes. Luego covarianza entre ellos es igual a cero.

* RM = Es la cartera que contiene a todos los activos riesgosos de la * RM = Es la cartera que contiene a todos los activos riesgosos de la economía.economía.

C.A.P.M.C.A.P.M.

a. Retorno Cartera = E(Rp)= (1-x)RF + x E(RM).b. Riesgo Cartera =2 Rp = [x2 2] E(RM).

Despejando x de bb, se tiene:X= (Rp)

E (RM)

Reemplazando la x calculada en el punto anterior, en E(Rp), se tiene la “Línea de Mercado de “Línea de Mercado de Capitales”.Capitales”.

Ecuación Ecuación Línea de Mercado de Capitales L.M.C.Línea de Mercado de Capitales L.M.C.

E(RM) - RF

E(Rp) = RF + ----------------- (Rp) (RM)

Donde: E(RDonde: E(Rpp) = Tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la ) = Tasa esperada de rendimiento de las carteras a lo largo de la

CML, es decir, combinaciones de RF y de RM.CML, es decir, combinaciones de RF y de RM.

RRFF = Tasa libre de riesgo, ya sea petición u otorgamiento de = Tasa libre de riesgo, ya sea petición u otorgamiento de

crédito.crédito.

E(RE(RMM) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M. ) = Tasa esperada de rendimiento sobre la cartera de mercado, M.

(R(RMM) = Desviación estándar del rendimiento sobre la cartera de ) = Desviación estándar del rendimiento sobre la cartera de

mercado. mercado. (R(Rpp) = Desviación estándar de las carteras a lo largo de la CML.) = Desviación estándar de las carteras a lo largo de la CML.

L.M.C. Y Frontera EficienteL.M.C. Y Frontera Eficiente

K&E Design® 2000

E(RE(Rpp))

o(Ro(Rpp))OOMM

RRFF

E(RE(RMM))

L.M.C.JJ

MM

FRONTERA EFICIENTE

Pendiente= E(RM) – RF =

OM

Precio de Precio de Equilibrio Equilibrio del Riesgo del Riesgo

Retorno Esperado de un Título Retorno Esperado de un Título IndividualIndividual

El C.A.P.M. Indica que el retorno esperado de cualquier activo individual se obtiene en el punto

donde se iguala la pendiente de la Frontera se iguala la pendiente de la Frontera Eficiente con la pendiente de la L.M.C.Eficiente con la pendiente de la L.M.C.

Pendiente L.M.C.Pendiente L.M.C. = = d E(Rd E(Rpp)) = = E(RE(RMM) – R) – RFF

d d (R(Rpp) = ) = (R (RMM) )

Pendiente de la Frontera Pendiente de la Frontera EficienteEficiente

La pendiente de la Frontera Eficiente se determina de la siguiente manera:

a.a. Se forma una nueva cartera compuesta por dos Se forma una nueva cartera compuesta por dos activos:activos:

Ri = retorno de activo i.

RM= Cartera de mercado.

b. E(Rb. E(Rpp) = x * E(R) = x * E(Rii) + (1-x) E(R) + (1-x) E(RMM).).

2(Rp) = x2 *2(Ri) + (1-x)2 *2(RM) + 2x(1-x) cov

(Ri,RM)

x = Porcentaje a Invertir en Ri.

(1-x) = Porcentaje a Invertir en RM.


c.c. Luego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta Luego la Pendiente de la Frontera Eficiente esta dada por la derivada implícita. dada por la derivada implícita.

dE(Rp)dE(Rp)

dE(Rp) = dx = [E(Ri) – E (RM)] * (RM)

d(Rp) = d (Rp) cov (Ri,RM) – 2 (RM)

dx


Al igualar ambas pendientes:Al igualar ambas pendientes:

[E(R[E(Rii) – E(R) – E(RMM)])](R(RMM)) = = E(RE(RMM) –R) –RFF

Cov (RCov (Rii,R,RMM) – ) – 2(R2(RMM) ) (R(RMM))

Y despejando E(RY despejando E(Rii), se obtiene:), se obtiene:

E(RE(Rii) = R) = RFF + + E(RE(RMM) – R) – RFF * cov (R * cov (Rii, R, RMM))

22(R(RMM))

La anterior ecuación, indica que existe una La anterior ecuación, indica que existe una relación linealrelación lineal entre entre retorno esperado de un activo individualretorno esperado de un activo individual y su y su covarianza con el covarianza con el mercado.mercado.

Ecuación Ecuación Línea de Mercado de Valores L.M.V.Línea de Mercado de Valores L.M.V.

E(Ri) = RF +[ E(RM) – RF] i

Donde: E(Ri) = Rendimiento esperado o ex ante sobre l a i-ésima acción. RF = Tasa de rendimiento sobre un activo libre de riesgo.

(RM) = Rendimiento esperado o ex ante sobre la cartera de mercado.

i = Medida de riesgo sistemático de la i-ésima acción, tal que:

ii = = cov (Rcov (Rii,R,RMM))

22 (R (RMM))

E(RE(Rii))

PorcentajePorcentaje

ii00

Recta del Mercado de ValoresRecta del Mercado de Valores

MM=1.0=1.0

RRFF=5=5

E(RE(RMM)=)=1111

L.M.V.L.M.V.

1.51.50.50.5

Pendiente= E(RM) – RF) = 11-5 = 6%

MM – 0 1-0

Comparación entre la L.M.C. y la Comparación entre la L.M.C. y la L.M.V.L.M.V.

E(Rp)

o(Rp)OM

RF

E(RM)

L.M.C.

MM

E(Rj)

jA

RF

E(RA)

L.M.V.

MME(RM)

M=1

a. Recta del Mercado de Capitales b. Recta del Mercado de Valores

Riesgo Sistemático o BetaRiesgo Sistemático o Beta

Beta de un activo iBeta de un activo i, , es la medida de volatilidad de los retornos de este, en relación con los retornos de la cartera.

Por lo tanto:

E(RE(Rii) = R) = RFF + + ii [ E(R [ E(RMM) – R) – RFF]]

Donde Donde ii = = cov (Rcov (Rii ,R ,RMM))

2(RMM)

Riesgo sistemático o BetaRiesgo sistemático o Beta

Luego el Retorno EsperadoRetorno Esperado de cualquier activo, es igual a la tasa de Cero Riesgoes igual a la tasa de Cero Riesgo

RFRF, , más un premio por el riesgoun premio por el riesgo, que esta dado por el diferencial entre

retorno esperado de la cartera menos la tasa de cero riesgo, multiplicado por el

Riesgo Sistemático o Beta

Aplicación EmpíricaAplicación Empíricadel C.A.P.M.del C.A.P.M.

(Rit – RFt) = i i (RMt – RFt) + eit

Donde:Rit = Retorno de la acción i, en el período t.RFt = tasa libre de riesgo, en el período t.i = Intersección de la Línea CaracterísticaLínea Característica

con el eje vertical.i = pendiente de la Línea Característica.Línea Característica.eit = Error aleatorio, independiente del

comportamiento del mercado.

Línea CaracterísticaLínea Característica

Exceso rendimiento Mercado

Exceso rendimiento Empresa A

= 0

Modelo de Precios de Activos Modelo de Precios de Activos de Capitalde Capital

Retorno en Exceso del Mercado

Retorno en Exceso de la Acción

Riesgo No Sistemático

a debería ser = 0

Entonces Rj – RF = + (RM – RF)

Ajuste de Ajuste de por Levarage por Levarage Modelo de HamadaModelo de Hamada

Dados:RF = Tasa libre de riesgo.RM = Retorno promedio del mercado. u = En ausencia de Leverage. D/P= Deuda / patrimonio. T = Tasa de Impuestos.R = Tasa Pura + Riesgo Negocio * Riesgo

Financiero= RF + (RM – RF) * u * [ 1 + (D/P) * (1 –

T)]O sea:

= u * [ 1 + (D/P) * (1 – T)]Y :

u = / [ 1+ (D/P) * (1 – T)]

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