POLITEXT 95

Teora de mquinas

POLITEXT

EDICIONS UPC

Salvador Cardona FoixDaniel Clos Costa

Teora de mquinas

Primera edicin: febrero de 2001

Diseo de la cubierta: Manuel Andreu

Los autores, 2001

De la traduccin: Guillermo Reyes, 2000

Edicions UPC, 2001Edicions de la Universitat Politcnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885Edicions Virtuals: www.edicionsupc.esE-mail: edicions-upc@upc.es

Produccin: CPDAAv. Diagonal 647, ETSEIB, 08028 Barcelona

Depsito legal: B-34.149-2000ISBN: 84-8301-452-1

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del copyright, bajo las san-ciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o pro-cedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares deella mediante alquiler o prstamo pblicos.

Presentacin 7

Presentacin

Este texto, escrito inicialmente para ser utilizado en la asignatura Teora de mquinas de la EscuelaTcnica Superior de Ingeniera Industrial de Barcelona (ETSEIB) de la Universidad Politcnica deCatalua, hace de puente entre la mecnica vectorial y el clculo y diseo de mquinas. Este espaciono lo cubren los textos clsicos, que parten de unos conocimientos de mecnica muy elementales y nointroducen las herramientas analticas adecuadas para el estudio de los sistemas multislido. Otrostextos, dirigidos a la simulacin de sistemas mecnicos, no son adecuados como libros de texto paraasignaturas introductorias a la teora de mquinas y mecanismos.

En el desarrollo que se ha hecho de los diferentes temas se presuponen conocimientos previos de lacinemtica del slido rgido y de los teoremas vectoriales y de la energa aplicados al slido rgido.Los temas se tratan de manera que el texto pueda ser utilizado como libro de consulta ms all delmbito de una asignatura de teora de mquinas. Si se seleccionan los ejemplos de trabajo y se aligerael contenido conceptual de algunos puntos, sobre todo de los que se presentan en los anexos, este libropuede ser utilizado tambin en una escuela de ingeniera tcnica.

El contenido del texto se inicia con un captulo, Mquina y mecanismo, en el cual se introducen loselementos y conceptos propios de la teora de mquinas y mecanismos. En los captulos 2, Movilidad,y 3, Cinemtica de mecanismos, se presenta el estudio general de la cinemtica de sistemas mecnicosy se hace nfasis en el movimiento plano. Este estudio se presenta tanto desde un enfoque vectorial,destinado principalmente al estudio del movimiento plano, como desde un punto de vista analtico, apartir de las coordenadas generalizadas que describen la configuracin del sistema. El captulo 4,Mecanismos leva-palpador, se destina al anlisis de los pares superiores. Tambin se estudia el diseode funciones de desplazamiento mediante curvas de Bzier no paramtricas para obtener perfiles delevas. La cinemtica de los engranajes se trata de manera monogrfica en el captulo 5.

Los cuatro captulos siguientes se centran en el estudio de la dinmica desde diferentes puntos devista. En el captulo 6, Anlisis dinmico, se introduce la utilizacin de los teoremas vectoriales en elestudio dinmico de los sistemas mecnicos multislido y se hace una introduccin al equilibrado demecanismos. La importancia que tienen las resistencias pasivas en el funcionamiento de las mquinashace que se dedique el captulo 7, Resistencias pasivas y mecanismos basados en el rozamiento, a suestudio. Este captulo incluye una introduccin a los principales mecanismos que basan sufuncionamiento en el rozamiento. El captulo 8 se destina al mtodo de las potencias virtuales,teniendo en cuenta su utilidad para la obtencin selectiva de fuerzas y ecuaciones del movimiento enlos sistemas mecnicos. La energa, que aparece en todos los mbitos de la fsica, es objeto de estudio

Teora de mquinas8

en el captulo 9, Trabajo y potencia en mquinas, para analizar la transformacin de energa en lasmquinas y el intercambio con su entorno.

En la elaboracin de este texto se ha utilizado material preparado con la colaboracin de profesoradocon experiencia docente e investigadora en los temas que se tratan. Esta experiencia es el resultado dela imparticin de las asignaturas de mecnica y teora de mquinas, la direccin de proyectos de fin decarrera y el desarrollo de actividades de tercer ciclo, como son las asignaturas de simulacin desistemas mecnicos y de introduccin al diseo geomtrico asistido por ordenador.

La primera versin de unos apuntes para la asignatura de teora de mquinas fue escrita para el curso1996-1997 y coordinada por Salvador Cardona. Intervinieron, aparte de los autores, los profesoresJordi Martnez, en los captulos 6 y 8, Javier Snchez-Reyes, en los captulos 4 y 5, y la profesora M.Antonia de los Santos, en los captulos 1, 3 y 7.

Al inicio del curso 1997-1998, se realiz una segunda versin de los apuntes ampliada y revisada porlos autores, que incorporaron cambios que, sin afectar los contenidos bsicos, los pulieran. As, en elcuerpo se introdujeron algunas modificaciones y algunos ejemplos nuevos y, en lo referente a losejercicios propuestos, se introdujeron enunciados nuevos y la mayora de las soluciones.

Durante los cursos 1997-1998 y 1998-1999 se ha utilizado esta nueva versin, al mismo tiempo que seha hecho un anlisis crtico del contenido y de la ordenacin de los temas y se han resuelto todos losejemplos propuestos. En esta tarea han colaborado los profesores Joan Puig y Eduard Fernndez-Daz.

Tomando como material de base esta versin de los apuntes y toda la informacin recogida, aprincipio del curso 1999-2000 se inicia la estructuracin del libro que ahora presentamos. En estaltima etapa, colabora la profesora Llusa Jordi, que revisa el formato final.

Queremos manifestar nuestro agradecimiento a todos aquellos, familiares y compaeros, que de unamanera u otra nos han ayudado durante la realizacin de este libro. En particular, a todas las personasmencionadas y al profesor Joaquim Agull, a quien debemos gran parte de nuestros conocimientos demecnica y el gusto por las cosas bien hechas.

Barcelona, Enero de 2000 Salvador CardonaDaniel Clos

ndice 9

ndice

1 Mquina y mecanismo

1.1 Mquinas y mecanismos. Definiciones 131.2 Clasificacin de pares cinemticos 151.3 Clasificacin de miembros 181.4 Esquematizacin. Modelizacin 181.5 Mecanismos de barras 211.6 Mecanismos de levas 221.7 Engranajes y trenes de engranajes 241.8 Prestaciones de un mecanismo 24Anexo 1.I Representacin simblica de elementos 26Problemas 30

2 Movilidad

2.1 Coordenadas y velocidades generalizadas. Grados de libertad de un mecanismo 332.2 Ecuaciones de enlace. Holonomia 352.3 Determinacin del nmero de coordenadas independientes 382.4 Determinacin del nmero de grados de libertad 392.5 Redundancia total. Redundancia tangente 412.6 Espacio de configuraciones. Subespacio de configuraciones accesibles 432.7 Resolucin de las ecuaciones de enlace geomtricas. Mtodo de Newton-Raphson 442.8 Configuraciones singulares 45Anexo 2.I Geometra de tringulos y cuadrilteros 47Anexo 2.II Orientacin y velocidad angular de un slido rgido 50Problemas 54

3 Cinemtica de mecanismos

3.1 Estudio cinemtico de los mecanismos a partir de las ecuaciones de enlace geomtricas 613.2 Redundancia y configuraciones singulares 653.3 Estudio cinemtico de los mecanismos a partir de las ecuaciones de enlace cinemticas 66

Teora de mquinas10

3.4 Movimiento plano 69Anexo 3.I Utilizacin de los nmeros complejos para representar los vectores

en cinemtica plana 75Anexo 3.II Sntesis de mecanismos 76Anexo 3.III Determinacin de mecanismos cognados 78Anexo 3.IV Cinemtica grfica 80Problemas 82

4 Mecanismos leva-palpador

4.1 Anlisis del mecanismo leva-palpador 894.2 Ejemplos de anlisis de levas con palpador de translacin, conocida la ley

de desplazamiento 964.3 Especificacin de una ley de desplazamiento 974.4 Obtencin del perfil de la leva, conocidos la curva de desplazamiento y el palpador 994.5 Caractersticas geomtricas del perfil de la leva 104Anexo 4.I Curvas de Bzier no paramtricas 107Problemas 115

5 Engranajes

5.1 Transmisin de la rotacin entre ejes 1215.2 Perfiles conjugados 1245.3 Dentado de los engranajes 1255.4 Perfil de evolvente 1285.5 Trenes de engranajes 130Problemas 136

6 Anlisis dinmico

6.1 Teoremas vectoriales 1396.2 Aplicacin de los teoremas vectoriales al planteamiento de la dinmica de mecanismos 1426.3 Torsor de las fuerzas de inercia de dAlembert 1456.4 Equilibrado de mecanismos 145Anexo 6.I Planteamiento global del anlisis dinmico mediante los teoremas vectoriales 148Anexo 6.II Aspectos a considerar en el caso de mecanismos con movimiento plano 150Anexo 6.III Torsor de las fuerzas de inercia de dAlembert 151Anexo 6.IV Mtodos de equilibrado 152Problemas 159

7 Resistencias pasivas. Mecanismos basados en el rozamiento

7.1 Resistencia al deslizamiento 166

ndice 11

7.2 Resistencia al pivotamiento y a la rodadura 1697.3 Acuamiento. Cono de rozamiento 1707.4 Contacto multipuntual 1727.5 Mecanismos basados en el rozamiento 177Anexo 7.I Rozamiento en los pares helicoidales 182Problemas 185

8 Mtodo de las potencias virtuales

8.1 Fundamentos del mtodo 1938.2 Tipos de movimientos virtuales 1958.3 Potencia asociada a un torsor de fuerzas sobre un slido rgido 1988.4 Clculo de la potencia virtual en casos concretos 2008.5 Ejemplo de aplicacin 2018.6 Fuerzas generalizadas 204Anexo 8.I Planteamiento global del mtodo de las potencias virtuales 206Problemas 208

9 Trabajo y potencia en mquinas

9.1 Teorema de la energa 2139.2 Principio de conservacin de la energa 2159.3 Versin diferencial del teorema de la energa 2179.4 Rendimiento 2189.5 Inercia y fuerza reducidas a una coordenada 2209.6 Rgimen de funcionamiento de las mquinas. Grado de irregularidad 2239.7 Volantes 2249.8 Curvas caractersticas velocidad-fuerza de las mquinas 226Problemas 228

Resultados de los problemas 235

Bibliografa 247

ndice alfabtico 249

Bibliografa 247

Bibliografa

AGULL, J. Mecnica de la partcula i del slid rgid. Barcelona, Publicacions OK Punt, 1997.

AGULL, J. Introducci a la mecnica analtica, percussiva i vibratria. Barcelona,Publicacions OK Punt, 1997.

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HENRIOT, GEORGES. Trait thorique et pratique des engranages. Paris. Dunod, 1968

MABIE, HAMILTON H. Mechanisms and dynamics of machinery. New York. John Wiley & Sons, 1986

MOLINER, P. R. Engranajes. Barcelona. ETSEIB CPDA, 1990.

NIETO, J. Sntesis de mecanismos. Madrid. Editorial AC, 1978.

NORTON, ROBERT L. Diseo de maquinaria. Mxico. McGraw-Hill, 1995.

SHIGLEY, JOSEPH E. Teora de mquinas y mecanismos. Mxico. McGraw-Hill, 1988.

WILSON, CHARLES E. Kinematics and dynamics of machinery. New York.HarperCollins Colege Publishers, 1991

ndice alfabtico 249

ndice alfabtico

AAceleraciones

continuas, 98distribucin de, 68, 69, 80de los puntos de un slido rgido, 66sobreaceleraciones, 98

Accin y reaccinprincipio de la, 140

Anlisiscinetosttica, 139de configuraciones, 44de velocidades, 62, 92de aceleraciones, 63dinmica, 139, 148

directa, 144inversa, 139

Anillo, 14ngulo

de presin, 93de transmisin, 24

Articulacin, 15, 67

BBalancn, 18Bernstein, polinomios de, 108Bzier, 99

curvas de, 100derivada de una, 111integral de una, 111

ordenadas de, 111Biela, 18, 156Bifurcacin, 45

CCadena cinemtica, 14

inversin de una, 14

Caracterstica mecnica, 226Centro instantneo de rotacin, 72Coeficiente

de rozamiento dinmico, 166de rozamiento esttico, 166de pivotamiento, 170de rodadura, 170de influencia, 153

Composicinde rotaciones sobre ejes fijos, 51de rotaciones segn ngulos de Euler, 51

Condicionesde enlace, 14de engrane, 134de continuidad, 98, 112de cierre, 37lmite de los enlaces, 167

Configuracionesaccesibles, 43espacio de, 43singulares, 45, 65

Contactomultipuntual, 172puntual, 17, 68

Controlpunto de, 109polgono de, 110

Coordenadasgeneralizadas, 33independientes, 35

Correa, transmisin por, 123, 177Coulomb, modelo del rozamiento seco de, 166

DDeriva, fenmeno de la, 168Desequilibrio, 152Diagrama del slido libre o del cuerpo libre, 142

Teora de mquinas250

EEnerga, 213

cintica, 213de rotacin, 214de translacin, 214

mecnica, 215potencial, 216

Engranaje, 24, 122cilndrico helicoidal cruzado, o hipode, 123cilndrico o paralelo, 123cnico, 123mdulo de un, 126paso de un, 126, 129

Enlace, 14cinemtico, 14, 36condiciones de, 14geomtrico, 14, 35redundante, 39

total, 41tangente, 42

Embrague, 177Ecuacin

de enlacegeomtrica, 35, 90cinemtica, 36, 67

de gobierno, 37renoma, 37

Equilibrado,de mecanismos, 145de rotores, 146, 152del cuadriltero articulado, 147, 155dinmico, 146esttico, 146experimental, 152grado de calidad, 153

Espacio de configuraciones, 43Euler

ngulos de, 51parmetros de, 50teorema de, 50

FAcuamiento, 170

en los tornillos, 183Fuerza

de rozamiento, 166de friccin, 166generalizada, 204de inercia de dAlembert, 145, 151, 193reducida, 221

Rozamientocirculo de, 173cono de, 170seco de Coulomb, 166en cojinetes, 173en guas, 172tringulo de, 170viscoso, 169

Frenos, 179Freudenstein, ecuacin de, 48Friccin, ruedas de, 123, 177

GGrashof, ley de, 21Grado de libertad, 35, 39Grado de irregularidad, 213Grado de redundancia, 43Grupo de Assur, 39Grbler-Kutzbach, criterio de, 39

HHolonomia, 38

IInercia reducida, 221

JJuego, hiptesis de, 172Junta, 15

LLey de desplazamiento, 97Ley de Grashof, 21Leva

de detencin simple, 113de doble detencin, 114excntrica, 90perfil de la, 101, 104

radio de curvatura del, 104Deslizamiento, 165

inminente, 171umbral de, 171

MManivela, 18Mquina, 13

ndice alfabtico 251

Mecanismo, 13con anillos, 39basado en el rozamiento, 176cognado, 78de barras, 21de pistn-biela-manivela, 47de cuadriltero articulado, 21, 48diferencial, 133, 198equivalente, 94leva-palpador, 22, 89de transmisin de movimiento entre ejes, 122

Mtodode las potencias virtuales, 139, 193, 206de Newton-Raphson, 44de los trabajos virtuales, 193

Modelode rozamiento seco de Coulomb, 166cinemtico, 167de rozamiento viscoso, 169

Momento cintico, teorema del,Movimiento

plano, 69, 75virtual, 194

compatible con los enlaces, 195no compatible con los enlaces, 197

transmisin de, 121, 180

NNmero de

coordenadas independientes, 35velocidades independientes, 35

OOsculador, circulo, 94Osculadora, cudrica, 94

PPalpador

circular, 97plano, 96

Parcilndrico, 15cinemtico, 15, 165de revolucin, 15esfrico, 16guia-botn, 67guia-corredera, 67helicoidal, 16, 182

plano, 16prismtico, 16superficial o inferior, 15superior, 17

Perfilconjugado, 124de evolvente, 128

Pivotamiento, 170resistencia al, 170velocidad angular de, 170

Polode velocidades, 72de aceleraciones, 74

Potencia, 218virtual, 193, 198, 200

Principiode conservacin de la energa, 215de accin i reaccin, 140

Punto muerto, 45, 65

QCuadriltero articulado, 21, 48Cantidad de movimiento, 140

RRedundancia, 41, 45

tangente, 42total, 41

Rgimen de funcionamiento, 223Relacin de transmisin, 121, 127Rendimiento, 218Resistencia

al deslizamiento, 166al pivotamiento, 170a la rodadura, 169

Resistencias pasivas, 165, 219Rodadura, 68, 169

resistencia a la, 169velocidad angular de, 165

Rotor, 146, 152

SApriete, hiptesis de, 174Sistema, 142, 215

holnomo, 38mecnico, 142

Subespacio de configuraciones accesibles, 43Superfcie desgastada, hiptesis de la, 174

Teora de mquinas252

TTeorema

de la energa, 213del momento cintico, 140de la cantidad de movimiento, 140de los tres centros o Aronhold-Kennedy, 73de Euler, 50

Teoremas vectoriales, 139Torsor,

de enlace, 200de fuerzas de inercia de dalembert, 145, 151, 200

Tren de engranajes, 24de ejes fijos, 130planetario o epicicloidal, 130

VVelocidad

absoluta, 51angular,

de pivotamiento, 165de rodadura, 165

de deslizamiento, 93, 125generalizada, 34

independiente, 35virtual, 193

Virtualmovimiento, 194potencia, 193

Volante de inercia, 224

WWillis, ecuacin de, 112

Mquina y mecanismo 13

1 Mquina y mecanismo

La teora de mquinas y mecanismos (TMM) es una ciencia aplicada que trata de las relaciones entrela geometra y el movimiento de los elementos de una mquina o un mecanismo, de las fuerzas queintervienen en estos movimientos y de la energa asociada a su funcionamiento.

Los conocimientos de mecnica constituyen la base para el estudio de los mecanismos y las mquinas.

En el mbito de la teora de mquinas y mecanismos se diferencian el anlisis y la sntesis demecanismos. El anlisis consiste en estudiar la cinemtica y la dinmica de un mecanismo segn lascaractersticas de los elementos que lo constituyen. Por tanto, el anlisis de un mecanismo permitir,por ejemplo, determinar la trayectoria de un punto de una barra o una relacin de velocidades entredos miembros. Inversamente, la sntesis consiste en escoger y dimensionar un mecanismo que cumplao que tienda a cumplir, con un cierto grado de aproximacin, unas exigencias de diseo dadas. As,por ejemplo, en un diseo se habr de emprender la determinacin de un mecanismo sntesis quepermita guiar un slido para pasar de una configuracin a otra.

Este curso estar dedicado fundamentalmente al anlisis de mecanismos.

1.1 Mquinas y mecanismos. Definiciones

En este apartado se presentan algunas definiciones de conceptos que aparecen en la TMM.

Mquina. Sistema concebido para realizar una tarea determinada que comporta la presencia defuerzas y movimientos y, en principio, la realizacin de trabajo.

Mecanismo. Conjunto de elementos mecnicos que hacen una funcin determinada en una mquina.El conjunto de las funciones de los mecanismos de una mquina ha de ser el necesario para que starealice la tarea encomendada. As, por ejemplo, en una mquina lavadora hay, entre otros, losmecanismos encargados de abrir las vlvulas de admisin del agua y el mecanismo que hace girar eltambor. Cada uno de ellos tiene una funcin concreta y el conjunto de las funciones de todos losmecanismos de la lavadora permite que la mquina realice la tarea de lavar ropa.

Grupo o unidad. Conjunto diferenciado de elementos de una mquina. As, el conjunto de elementosimplicados en la traccin de un automvil es el grupo tractor. A veces, grupo se utiliza como sinnimode mquina; por ejemplo, un grupo electrgeno es una mquina de hacer electricidad.

Teora de mquinas14

Elemento. Toda entidad constitutiva de una mquina o mecanismo que se considera una unidad. Sonejemplos de elementos un pistn, una biela, un rodamiento, una rtula, un muelle, el aceite de uncircuito hidrulico, etc.

Miembro. Elemento material de una mquina o mecanismo que puede ser slido rgido, slidoflexible o fluido. En la contabilizacin de los miembros de un mecanismo no se debe olvidar, si existe,el miembro fijo a la referencia de estudio, que recibe diferentes nombres segn el contexto: base,soporte, bancada, bastidor, etc.

Cadena cinemtica (Fig. 1.1). Conjunto o subconjunto de miembros de un mecanismo enlazadosentre s. Por ejemplo, la cadena de transmisin de un vehculo, el mecanismo pistn-biela-manivela,etc. Los miembros de una cadena cinemtica se denominan eslabones. Cadena cerrada o anillo. Cadena cinemtica tal que cada uno sus miembros est enlazado nada

ms con dos miembros de la misma cadena. Cadena abierta. Cadena cinemtica que no tiene ningn anillo.

a) b)

Fig. 1.1 Cadena cinemtica cerrada a) y abierta b)

Inversin de una cadena cinemtica (Fig. 1.2). Transformacin de un mecanismo en otro por mediode la eleccin de diferentes miembros de la cadena como elemento fijo a la referencia. En todos losmecanismos obtenidos por inversin de una misma cadena cinemtica los movimientos relativos sonevidentemente los mismos, hecho que facilita el estudio.

12

3

4

12

3

4

12

3

4

1

23

4

Fig. 1.2 Las cuatro inversiones del mecanismo pistn-biela-manivela

Restriccin o enlace. Condicin impuesta a la configuracin condicin de enlace geomtrica o almovimiento del mecanismo condicin de enlace cinemtica. En estas condiciones puede aparecer eltiempo explcitamente o no.

Mquina y mecanismo 15

Par cinemtico. Enlace entre dos miembros de un mecanismo causado por el contacto directo entreellos y que puede ser puntual, segn una recta o segn una superficie. En la materializacin del enlacepueden participar slidos auxiliares de enlace (SAE); por ejemplo, las bolas en una articulacin conrodamiento.

Junta. Ligadura entre dos miembros de un mecanismo que se realiza mediante elementos intermedios,como puede ser una junta elstica, una junta universal, etc.

Carga. Conjunto de fuerzas conocidas, funcin del estado mecnico y/o explcitamente del tiempo,que actan sobre los miembros del mecanismo. Las cargas pueden ser muy diversas: el peso, lasustentacin de un ala de avin, la fuerza de corte de una mquina herramienta, etc.

1.2 Clasificacin de pares cinemticos

Los pares cinemticos se clasifican por el tipo de contacto entre miembros: puntual, lineal osuperficial. Tradicionalmente los pares cinemticos con contacto superficial se denominan paresinferiores y los otros pares superiores.

Pares superficiales o pares inferiores. La materializacin de estos pares implica el deslizamientoentre las superficies de ambos miembros. Si no hay deslizamiento, mantener tres puntos o ms noalineados en contacto equivale a una unin rgida.

Par cilndrico (C). Las superficies en contacto son cilndricas de revolucin, de manera que permitandos movimientos independientes entre los miembros, uno de translacin a lo largo de un eje comn aambos miembros y uno de rotacin alrededor del mismo eje. Por lo tanto, permite dos grados delibertad de un miembro respecto del otro. Si predomina el movimiento de rotacin, el elementointerior del par se denomina pivote y el exterior cojinete. En caso de que el movimiento predominantesea la translacin, el elemento ms largo se denomina gua y el ms corto corredera.

a) b)

Fig. 1.3 Par cilndrico a) y par de revolucin b)

Par de revolucin o articulacin (R). Las superficies de contacto son de revolucin excluyendo lastotalmente cilndricas, de manera que permiten nicamente la rotacin de un miembro respecto al otro

Teora de mquinas16

alrededor de un eje comn. Por tanto, deja un grado de libertad relativo entre los miembros.Usualmente el elemento interior del par se denomina pivote, mun o espiga y el exterior cojinete.

Par prismtico (P). Las superficies en contacto son prismticas, de manera que permiten slo unatranslacin relativa entre los miembros a lo largo de un eje comn. Por tanto, permite un grado delibertad relativo entre los miembros. Usualmente el miembro ms largo del par se denomina gua y elms corto corredera.

x

q

b)a)

Fig. 1.4 Par prismtico a) y par helicoidal b)

Par helicoidal (H). Las superficies de contacto son helicoidales, de manera que permiten entre los dosmiembros un movimiento de translacin y uno de rotacin relacionados linealmente. Deja slo ungrado de libertad relativo entre los miembros. La relacin lineal se puede establecer comox = p / 2 , donde p es el paso de rosca, x es el desplazamiento y el ngulo girado. El miembro quetiene la superficie de contacto exterior rosca exterior se denomina tornillo o barra roscada y el quetiene la superficie de contacto interior rosca interior tuerca.

Par esfrico (S). Las superficies de contacto son esfricas, de manera que permiten una rotacinarbitraria de un miembro respecto del otro manteniendo un punto comn, el centro de las superficiesen contacto. Se denomina tambin rtula esfrica. Deja tres grados de libertad relativos entre losmiembros.

a) b)

Fig. 1.5 Par esfrico a) y par plano b)

Par plano (PL). Las superficies de contacto son planas, de manera que permiten dos translaciones yuna rotacin alrededor de una direccin perpendicular al plano de contacto de un miembro respecto alotro, las tres independientes entre ellas. Por lo tanto, deja tres grados de libertad relativos entre losmiembros.

Mquina y mecanismo 17

Pares puntuales y lineales o pares superiores. En estos pares, el contacto se establece a travs de unnico punto o de una generatriz recta en superficies regladas. Estos contactos pueden ser condeslizamiento y sin l.

El contacto puntual se puede establecer entre: Un mismo punto de un miembro y un mismo punto del otro miembro. Este enlace tiene poco inters

prctico (slo para ejes muy ligeros acabados en punta apoyada en un soporte cnico) y esequivalente a una rtula para al movimiento en el espacio y a una articulacin para el movimientoplano.

Un mismo punto de un miembro y un punto de una curva fija al otro miembro. En este caso, elpunto se puede materializar con un pasador o botn y la curva con una ranura, y se obtiene el parpasador-gua o botn-gua.

Un mismo punto de un miembro y un punto de una superficie fija al otro miembro. Puntos variables de cada uno de los slidos. En este caso, y tambin cuando el contacto se

establece entre generatrices variables, el movimiento relativo se denomina rodadura. Son ejemplosde rodadura el de una rueda respecto al suelo o el de una bola de cojinete respecto a la pista.

a) b)

Fig. 1.6 Contacto punto-punto a) y contacto punto-curva b)

En un planteamiento bidimensional de la cinemtica, los pares que se pueden presentar son solamenteel de revolucin o articulacin, el prismtico, el contacto a lo largo de una generatriz, que a efectoscinemticos equivale al contacto puntual entre curvas planas, y los contactos punto-punto y punto-curva.

a) b)

Fig. 1.7 Contacto punto-superfcie a) y contacto entre puntosvariables de cada uno de los slidos rodadura b)

Teora de mquinas18

1.3 Clasificacin de miembros

Los miembros se clasifican segn diversos criterios. Atendiendo al comportamiento del material,pueden ser rgidos, elsticos o fluidos. Si se presta atencin a sus caractersticas inerciales, pueden serde inercia negligible o no.

Otra clasificacin de los miembros se puede realizar segn el nmero de pares a los cuales seencuentran ligados. As se dice que un miembro es binario, terciario, etc., cuando est ligado con dospares, tres pares, etc.

Los miembros tambin se pueden clasificar segn el tipode movimiento. As, un miembro con un punto articuladofijo se denomina manivela si puede dar vueltas enteras ybalancn si solamente puede oscilar. Si el miembro notiene ningn punto articulado fijo, recibe el nombre debiela o acoplador.

1.4 Esquematizacin. Modelizacin

A la hora de hacer el estudio de unmecanismo, conviene primero hacer unarepresentacin que incluya lascaractersticas suficientes para realizar elestudio que se quiere hacer y obviar elresto. Esta representacin se denominaesquema o representacin esquemtica.

En funcin de la informacin que se quieraobtener o del estudio concreto que sequiera realizar, se har un esquema u otro:

Si la informacin que se quiererepresentar es nicamente la de lasrelaciones o conexiones que hay entre los diferentes grupos o unidades que forman una mquina,se puede hacer un diagrama de bloques.

Para estudiar las posibilidades de movimiento de un mecanismo, hace falta hacer un esquema desmbolos que ha de incluir una representacin de cada miembro y una de cada par cinemtico. Enel anexo 1.I se presenta una coleccin de los smbolos normalizados de diferentes elementos ypares cinemticos que se pueden emplear en la esquematizacin de mecanismos.

Si el estudio que se quiere realizar es geomtrico o cinemtico, es necesario aadir al esquema desmbolos la localizacin de los pares respecto a cada miembro: distancia entre puntos porejemplo, entre centros de articulaciones y ngulos entre direcciones por ejemplo, entre ladireccin definida por dos articulaciones y la de una gua de un par prismtico.

Si el estudio es dinmico, se han de incluir, adems, las caractersticas inerciales de los elementos,as como tambin las cargas que actan.

manivela

balancnbiela

Fig. 1.8 Cuadriltero articulado con lanomenclatura de sus miembros

a) b) Motor

Embrague

Caja de canvios

Diferencial

Ruedas

Fig. 1.9 Ejemplos de esquematizaciones: a) esquema desmbolos de un robot y b) esquema de bloques de la cadena

de transmisin de un vehculo

Mquina y mecanismo 19

Para hacer el esquema de smbolos de un mecanismo se puede proceder de la manera siguiente: Identificar los miembros y pares cinemticos sobre el mecanismo real, la maqueta, la fotografa o

el dibujo de que se disponga. Situar los smbolos de los pares en un dibujo, de manera que su disposicin espacial se aproxime a

la real, y unir mediante segmentos barras o superficies poligonales los que pertenecen a unmismo miembro (Fig. 1.10). Algunas veces, si la complicacin del mecanismo lo requiere, sepueden esquematizar primero cada uno de los miembros por separado con los pares cinemticosque contienen y juntarlos posteriormente en otro dibujo. En todo caso, hace falta obtener undibujo comprensible y puede ser necesario a veces partir el esquema y utilizar la mismaidentificacin para los miembros y enlaces compartidos (Fig. 1.11).

p1(par 1): Gua-botn o gua-corredera con articulacin

p2: articulacin

p4: articulacin

p3: articulacin

p5: articulacin p6: articulacin

p5

p2p1

p4

p3

p6

p1

1

23

45

p1p2 p3

p4

p5

p61

2 3

4

a) b)

Fig. 1.10 Bisagra y esquemas de smbolos. a) Utilizando una corredera con articulacin yb) utilizando un par pasador-gua

Teora de mquinas20

En los mecanismos con movimiento plano, es necesario hacer coincidir el plano del dibujo con el delmovimiento, y dibujar todos los miembros en un mismo plano, aunque realmente estn en planosparalelos (Fig. 1.11). De otra manera, la representacin se complica innecesariamente. Se ha de tenerpresente, sin embargo, que esta representacin plana de los mecanismos no es adecuada para hacer suestudio dinmico completo, tal como se explica en el anexo 6.II.

1

2

O

A

13

4

O

A

2

13

4O

A

1

2

3

4

a)

b)

Fig. 1.11 Mecanismo de barras y su esquema de smbolos, completo a) y partido en dos b)

As mismo, para hacer el estudio de un mecanismo hace falta establecer el modelo global que ha dedescribir el comportamiento fsico y que tiene en cuenta la representacin matemtica de lasdiversas realidades fsicas que intervienen rozamiento seco de Coulomb, slido rgido, etc., demanera que la modelizacin se puede definir como aquel proceso en el cual se establece unarepresentacin matemtica del comportamiento fsico del mecanismo a fin de obtener una descripcincuantificable.

Mquina y mecanismo 21

1.5 Mecanismos de barras

Los mecanismos ms simples son los que se pueden esquematizar mediante barras con paresinferiores. Estos mecanismos se utilizan tanto para generar trayectorias de puntos concretos de lasbielas o acopladores que reciben el nombre de curvas de acoplador como para guiar y relacionar elmovimiento de diversos miembros. Dos mecanismos de barras se denominan cognados si puedengenerar una misma curva de acoplador. Su estudio tiene inters en la sntesis de mecanismos, ya quepermite dar ms de una solucin a un requisito establecido.

El mecanismo formado por cuatro barras y cuatro articulaciones se denomina cuadriltero articuladoy, con una barra fija a la referencia, se presenta como uno de los ms empleados a la hora de resolvermuchos problemas de generacin de movimientos en mecanismos de un grado de libertad.

Si el mecanismo ha de ser impulsado por un motor rotativo quees lo frecuente, hay que garantizar que la barra accionadapueda dar vueltas enteras. Para los mecanismos de cuatro barras,la ley de Grashof permite averiguar de manera sencilla si secumple esta condicin. La ley de Grashof afirma que la barrams corta de un mecanismo de cuatro barras da vueltas enterasrespecto a todas las otras si se cumple que la suma de lalongitud de la barra ms larga l y la de la ms corta s es mspequea o igual que la suma de las longitudes de las otras dos py q: s+l p+q.

a)

b)

c)

q

l

p

s

l

sp

q

s

q

l

p

Fig. 1.13 Tres inversiones de un cuadriltero de Grashof

sq

lp

Fig. 1.12 Cuadrilteroarticulado con sus dimensionespara ilustrar la ley de Grashof

Teora de mquinas22

En el enunciado de la ley no interviene el orden en que se conectan las barras ni cul es la barra fija.Si un cuadriltero articulado cumple la ley de Grashof cuadriltero de Grashof, la cumple para suscuatro inversiones, de manera que: Si uno de los dos miembros contiguos al ms corto se fija a tierra, se obtiene un mecanismo

manivela-balancn. De los dos miembros articulados a tierra, el ms corto ser la manivela, y elotro el balancn (Fig. 1.13.a).

Si el miembro que se fija es el ms corto, se obtiene un mecanismo de doble manivela. Tanto losdos miembros articulados a tierra como la biela darn vueltas enteras (Fig. 1.13.b).

Fijando el miembro opuesto al ms corto se obtiene un mecanismo de doble balancn. Los dosmiembros articulados a tierra oscilan y la biela el miembro ms corto da vueltas enteras(Fig. 1.13.c).

Aparte del cuadriltero articulado, el otro mecanismoempleado com ms frecuencia es el tringulo articulado conun lado de longitud variable. Es un ejemplo el mecanismopistn-biela-manivela.

Este mecanismo (Fig. 1.14) donde el eje ss contiene laarticulacin fija O se utiliza, por ejemplo, en motores y compresores alternativos para convertir elmovimiento rotativo de la manivela en movimiento de translacin alternativo del pistn, o viceversa.Para que la manivela pueda dar vueltas enteras, debe cumplir la condicin evidente l r .

1.6 Mecanismos de levas

a)

b)

c)

d)

Fig. 1.15 Tipos de levas: de placa a), de cua b), cilndrica c) y frontal d)

Se denomina mecanismo de leva el conjunto de dos miembros leva y palpador o seguidor, ambos enprincipio con un grado de libertad, que quedan relacionados mediante un par superior. La leva impulsa

r l

O s s

Fig. 1.14 Pistn-biela-manivela

Mquina y mecanismo 23

el palpador a travs del contacto establecido por el par superior, a fin de que desarrolle un movimientoespecfico. Los mecanismos de leva se pueden clasificar segn la forma y el movimiento de la leva ysegn la forma y el movimiento del seguidor, entre otros criterios.

La leva puede tener movimiento de translacin leva de cua o movimiento de rotacin. En este casola forma de la leva puede ser de placa tambin denominada de disco o radial, cilndrica o de tamborfrontalo de cara (Fig. 1.15). La ms comn es la de placa y la menos usual de todas ellas es la decua, a causa del movimiento alternativo necesario para accionarla.

El movimiento del palpador puede ser de translacin o de rotacin. La forma del palpador da lugar adiferentes tipos: puntual, plano de platillo, de rodillo, de extremo curvo. (Fig. 1.16)

a)

b)plano de rodillo puntual curvo

Fig. 1.16 Tipos de palpadores: de translacin a) y de rotacin b)

El enlace entre una leva y un palpador es, en principio, un enlace unilateral. Para garantizar quesiempre haya contacto se puede proceder de dos maneras: cierre por fuerza y cierre por forma. En elcierre por fuerza se garantiza el contacto con una fuerza que acta sobre el palpador y tiende a unir losdos elementos, ya sea por medio de un muelle o, si el palpador acta en el plano vertical, por el propiopeso. En el cierre por forma, la leva y el palpador mantienen siempre dos puntos opuestos en contacto.En este caso se denominen levas desmodrmicas (Fig 1.17).

Fig. 1.17 Leva desmodrmica

Teora de mquinas24

1.7 Engranajes y trenes de engranajes

Un engranaje es un conjunto de dos ruedas dentadas que engranan entre ellas a fin de transmitir unmovimiento de rotacin entre sus ejes. En el engranado, una rueda transmite el movimiento a la otrapor el hecho de haber contacto entre un diente de cada rueda como mnimo.

En un engranaje, es usual denominar pin a la rueda ms pequea y simplemente rueda dentada a lagrande. Si el dimetro de sta es infinito, se obtiene una barra dentada que se denomina cremallera.

El perfil de los dientes que se utiliza, con muy pocas excepciones, es elperfil de evolvente de crculo con medidas normalizadas. La evolventede crculo es, por ejemplo, la curva relativa a un rodillo que describe unpunto del hilo que se enrolla o se desenrolla.

Los dos ejes de un engranaje pueden ser paralelos, cortarse o cruzarse.En el primer caso, se utilizan engranajes rectos o helicoidales, y cuandolos ejes no son paralelos se utilizan engranajes que, en general, sonhelicoidales cruzados, de tornillo sinfn, cnicos o hipoidales. Si los ejesson paralelos o se cortan, se puede conseguir que el deslizamiento en lospuntos de contacto sea pequeo y, por tanto, el rendimiento alto. Si losejes son cruzados no se puede evitar un deslizamiento alto y, por tanto,el rendimiento ser ms bajo.

Un conjunto de engranajes se denomina tren de engranajes. Si los ejes de algunas ruedas dentadas noson fijos, el conjunto de engranajes constituye un tren epicicloidal o planetario.

1.8 Prestaciones de un mecanismo

Tanto en el anlisis como en la sntesis de mecanismos, es importante poder definir ndices de calidadpara evaluar numricamente las prestaciones cualidades que caracterizan cuantitativamente lasposibilidades de una mquina o mecanismo. Estos ndices pueden hacer referencia a diversos aspectoscomo, por ejemplo, el volumen accesible, la precisin de posicionamiento en un entorno, etc.

Son muchos los mecanismos en que se puede considerar que hay un miembro de entrada y unmiembro de salida. En estos mecanismos, un ndice para evaluar su prestacin puede ser el factor detransmisin, definido como la relacin entre el movimiento, una fuerza o un par en el miembro desalida, y el movimiento, una fuerza o un par en el miembrode entrada.

En los mecanismos de barras, se utiliza como ndice debuen funcionamiento el ngulo de transmisin o ngulorelativo entre barras. En los mecanismos de leva se utilizael ngulo de presin, definido como el ngulo entre lanormal a las superficies en el punto geomtrico decontacto y la direccin de la velocidad del punto de

Evolvente de crculo

Fig. 1.18 Generacin deun perfil de evolvente

a

Fig. 1.19 ngulo de transmisin en uncuadriltero articulado

Mquina y mecanismo 25

contacto del seguidor. Si el palpador es de rodillo, hay que considerar la direccin de la velocidad desu centro.

b

J

C

b)a)

b

J

Fig. 1.20 ngulo de presin para una leva de placa con palpador plano a) y palpador de rodillo b)

Teora de mquinas26

Anexo 1.I Representacin simblica de elementos

Coleccin de smbolos para la representacin de elementos y pares cinemticos que hay que emplearen la esquematizacin, segn la norma UNE-EN ISO 3952.

ax

aa

x a

elemento fijo

elemento barra

variables yparmetros

coordenadasde posiciny de orientacin

miembrosen general

Mquina y mecanismo 27

par helicoidal

par plano

par cilndrico

junta universal

movimento plano movimento en el espacio

entre barras con el suelo

par de revolucino articulacin

par prismtico ogua-corredera

par esfrico ortula esfrica

unin rgidaentre miembros

corredera conarticulacin

par gua-botn

articulacionesenmedio de barras

Teora de mquinas28

ruedas de friccin

cilndrica cnica interiorplana cnica exterior

palpadores

de traslacin de rotacin

de rodillo

puntual

curvo

plano

con articulacinfija

leva planade rotacin

leva planade traslacin

transmisin porruedas de friccin

Mquina y mecanismo 29

ruedas dentadas

cilndrica interiorcilndrica exterior cnica

transmisin porruedas dentadas(engranajes)

cilndrico cnico hipoide

tornillo sin fincilndrico

tornillo sin finglbico

pin-cremallera

embraguesy frenos

frenoembrague

transmisiones porcorrea y cadena

cadena correa

Teora de mquinas30

Problemas

En los mecanismos representados en las figuras adjuntas:a) Identificar los elementos: miembros y pares cinemticos.b) Hacer un esquema de smbolos acompaado de los parmetros necesarios para el estudio

cinemtico.c) Sugerir variables adecuadas para estudiar el movimiento del mecanismo.

P 1-1 P 1-2

P 1-3 P 1-4

A

Mquina y mecanismo 31

P 1-5

1

2

Articulaciones fijas a la bancada

1 i 2 excntricas

P 1-6 Junta de OldHam

1

3

1

23

2

P 1-7

Teora de mquinas32

P 1-8 Mordaza de presin P 1-9 Obturador de un proyector cinematogrfico

P 1-10 Pala excavadora P 1-11 Bisagra

Movilidad 33

2 Movilidad

La descripcin de las posibles configuraciones que puede adoptar un mecanismo y el estudio de ladistribucin de velocidades y aceleraciones se puede hacer a partir de un conjunto de variables: lascoordenadas generalizadas y las velocidades generalizadas. En este captulo se plantea cuntasvariables hay que emplear como mnimo para describir la configuracin de un mecanismo coordenadas independientes y cuntas para describir su distribucin de velocidades grados delibertad. Se presentan tambin las relaciones que hay que establecer entre las variables cuando seutiliza un conjunto no mnimo ecuaciones de enlace y cmo hay que proceder en este caso para elestudio de configuraciones y velocidades.

2.1 Coordenadas y velocidades generalizadas. Grados de libertad de un mecanismo

Coordenadas generalizadas. Se denominan coordenadas generalizadas (cg) las variables geomtricasqi de posicin y orientacin empleadas para describir la configuracin de un sistema mecnico. Elconjunto de coordenadas generalizadas { , , ..., }q q qn1 2 se puede expresar como el vector:

q = { , ,..., }q q qn1 2 T

donde n es el nmero de coordenadas generalizadas empleadas. Este conjunto de variables ha de sersuficiente para describir cualquier configuracin del mecanismo.

Las coordenadas generalizadas suelen ser distancias y ngulos, absolutos o relativos, y se intenta,siempre que sea posible, que estn asociadas a distancias y ngulos fcilmente identificables en elmecanismo: posicin de un punto caracterstico (rtula, centro de inercia de un miembro, etc.), ngulorelativo entre dos miembros articulados, distancia entre dos puntos de dos miembros enlazados poruna gua prismtica, etc.

Tipos de coordenadas generalizadas. Una primera clasificacin de las coordenadas se establece enfuncin de si se definen a partir de una referencia solidaria al miembro fijo coordenadas absolutas oa partir de una referencia solidaria a un miembro mvilcoordenadas relativas. As, por ejemplo, en elmecanismo de la figura 2.1, 1 y 2 son coordenadas generalizadas absolutas y es una coordenadageneralizada relativa.

Otra clasificacin de las coordenadas generalizadas se hace atendiendo a aquello que se posiciona o seorienta. As, las coordenadas referenciales sitan un triedro de referencia un punto origen y tres

Teora de mquinas34

direcciones ortogonales solidarios a cada miembro. Las coordenadas naturales se asocian a puntos ydirecciones fijas a un miembro. En cualquier caso, sin embargo, estos dos tipos de coordenadaspueden ser tanto absolutas como relativas.

O

O

j

y1y1

q1

y

x

y2 y2

(xG1, yG1)

q2(xG2, yG2)

x2 x2

x1 x1

Fig. 2.1 Ejemplo de coordenadas generalizadas en un mecanismo

En los estudios dinmicos, cuando se emplean coordenadas referenciales, el origen del triedro dereferencia solidaria a un miembro se acostumbra a tomar en su centro de inercia. Las coordenadas aque da lugar esta eleccin se denominan coordenadas inerciales.

En el ejemplo de la figura 2.1, las coordenadas 1 y 2 pueden ser pensadas como referenciales si seconsideran los triedros x1, y1 y x2, y2 fijos a las dos barras y de origen O y O, respectivamente. Lascoordenadas (xG1, yG1, 1) y (xG2, yG2, 2) seran las coordenadas inerciales y las coordenadascartesianas de los puntos G1, O y G2 podran ser consideradas como coordenadas naturales.

Velocidades generalizadas. Para establecer la distribucin de velocidades de un mecanismo en unaconfiguracin determinada, se utiliza un conjunto de variables cinemticas que se denominanvelocidades generalizadas (vg). Este conjunto { , , , }u u un1 2 se puede expresar como el vector:

u = { , , , }u u un1 2 T

donde n es el nmero de velocidades generalizadas. Este conjunto de variables cinemticas ha de sersuficiente para describir la velocidad de cualquier punto en cualquier configuracin.

En general, las velocidades generalizadas que se utilizan son las derivadas temporales de lascoordenadas generalizadas, u qi i= , si bien tambin se pueden emplear combinaciones linealesui = bi q j. Si una velocidad generalizada no es la derivada de ninguna coordenada generalizada sedice que est asociada a una pseudocoordenada. Un ejemplo claro de velocidad generalizada asociadaa una pseudocoordenada es la velocidad longitudinal de un vehculo convencional, la cual no secorresponde a la derivada de ninguna coordenada generalizada. En la cinemtica de slidos en elespacio, si se toman como velocidades generalizadas las componentes del vector velocidad angular

Movilidad 35

del slido en una cierta base, stas a menudo estn asociadas a pseudocoordenadas, ya que no son lasderivadas de ninguna coordenada (ver el anexo 2.II). En el movimiento plano, en cambio, la velocidadangular es la derivada temporal del ngulo girado.

Coordenadas independientes. Grados de libertad. Un conjunto mnimo necesario y suficiente decoordenadas generalizadas para describir la configuracin de un sistema mecnico se denominaconjunto de coordenadas independientes (ci). Si bien para un cierto sistema se pueden definir diversosconjuntos de coordenadas independientes, la dimensin de estos conjuntos es una caracterstica delsistema y se denomina nmero de coordenadas independientes.

Cualquier conjunto mnimo necesario y suficiente de velocidades generalizadas que describan ladistribucin de velocidades del sistema se denomina conjunto de grados de libertad (gl). Ladimensin de estos conjuntos es tambin una caracterstica del sistema y se denomina nmero degrados de libertad.

Desde un punto de vista intuitivo, se asocian los grados de libertad a los movimientos independientesa corto trmino que puede realizar el sistema, y las coordenadas independientes a los movimientos alargo trmino.

El nmero de grados de libertad y el nmero de coordenadas independientes de un sistema no tienenpor qu coincidir, si bien en la mayora de los mecanismos coinciden. Es por eso que a menudo en elmbito de la teora de mquinas y mecanismos se obvia la diferencia y se habla de nmero de gradosde libertad de un mecanismo o bien de movilidad de un mecanismo, para referirse tanto avelocidades como a coordenadas independientes.

2.2 Ecuaciones de enlace. Holonomia

Ecuaciones de enlace geomtricas. Si se describe la configuracin de un sistema mediante unconjunto {q} = {q1, q2, ..., qn} no mnimo de coordenadas generalizadas, entre ellas existen mgrelaciones de dependencia denominadas ecuaciones de enlace geomtricas i(q) = 0 i=1, ..., mg, queusualmente se expresan de forma compacta como (q) = 0. (q) se denomina vector de ecuaciones deenlace. Estas ecuaciones de enlace son de dos tipos: las que describen analticamente las restriccionesimpuestas por los enlaces entre los diferentes miembros del mecanismo y las que describen lainvariabilidad de la distancia entre puntos de un slido ecuaciones de enlace geomtricasconstitutivas. En principio, nro. ci = nro. cg - mg

Si en el mecanismo de la figura 2.2 se ha decidido trabajar con un conjunto de 5 coordenadasq = { , , , , }x x y y1 2 1 2 , se pueden escribir entre ellas las 4 relaciones siguientes:

( )

cos

sin( ) ( )q =

+

=

x ly l

x x y y ly d

1 1

1 1

1 22

1 22

22

2

0

La tercera componente del vector de ecuaciones de enlace es una ecuacin de enlace constitutiva quedescribe la invariabilidad de la distancia entre P y Q.

Teora de mquinas36

dj

y

x

l1

l2

O

P(x1, y1)

Q(x2, y2)

Fig. 2.2 Mecanismo pistn-biela-manivela

De las 5 coordenadas generalizadas empleadas, slo hay una independiente (se han establecido 4relaciones entre ellas). El mecanismo tiene, por tanto, una coordenada independiente. Hay que hacernotar, que si bien con una sola coordenada se puede describir la configuracin del mecanismo, nosirve cualquiera de ellas. Este es el caso evidente de la coordenada y2.

La decisin de cules y cuntas coordenadas generalizadas se ha de utilizar en cada caso no es simpley depende de muchos factores: resultados que se quieren conseguir, herramientas de clculo de que sedispone, complicacin o simplicidad del mecanismo, etc. En general, sin embargo, la utilizacin demuchas coordenadas generalizadas dar lugar a muchas ecuaciones de enlace de formulacin simple,y la utilizacin de pocas coordenadas generalizadas dar lugar a pocas ecuaciones, pero deformulacin ms compleja.

Ecuaciones de enlace cinemticas. Al describir la cinemtica de un sistema, el planteamiento essimilar al caso anterior. Si se utiliza un conjunto de velocidades generalizadas no mnimo, entre ellasexisten mc relaciones de dependencia ecuaciones de enlace cinemticas que describirnanalticamente las restricciones impuestas por los enlaces entre los diferentes miembros, comotambin las restricciones impuestas por la invariabilidad de distancia entre puntos de un slido. Enprincipio, nro. gl = nro. vg - mc

Si la descripcin de todas las restricciones impuestas por todos los enlaces de un sistema se puedehacer a nivel geomtrico y se toman como velocidades generalizadas las derivadas temporales de lascoordenadas generalizadas, entonces el conjunto de ecuaciones de enlace cinemticas se puedeobtener derivando temporalmente las ecuaciones de enlace geomtricas.

As, si en el ejemplo anterior de la figura 2.2 se utilizan las velocidades generalizadas

u q= = { , , , , }x x y y1 2 1 2 T

las ecuaciones de enlace cinemticas se podran obtener por derivacin:

sin cos

( )( ) ( )( )

x ly lx x x x y y y y

y

1 1

1 1

1 2 1 2 1 2 1 2

2

00

=

=

+ =

=

Movilidad 37

De las 5 velocidades generalizadas empleadas, tan slo hay una independiente. El mecanismo tiene,por tanto, un grado de libertad. De la misma manera que sucede con la geometra, la cinemtica deeste mecanismo quedara descrita con una sola velocidad generalizada, pero no por cualquiera deellas. As, evidentemente, y2 no servira para establecer la cinemtica del mecanismo en cualquierconfiguracin.

Las ecuaciones de enlace cinemticas no siempre se obtienen por derivacin de las ecuaciones deenlace geomtricas, sino que se pueden obtener directamente a partir de las relaciones impuestas porlos enlaces a las velocidades. Este procedimiento es ineludible en caso de trabajar conpseudocoordenadas o cuando alguna condicin de enlace slo es establecida por las velocidades,como por ejemplo en el no-deslizamiento.

Ecuaciones de enlace rehnomas o de gobierno. En algunos sistemas mecnicos, y a causa deelementos de control exteriores al propio sistema, se pueden establecer ecuaciones de enlace, tantogeomtricas como cinemticas, en que el tiempo aparece explcitamente, (q,t). Son las denominadasecuaciones de enlace rehnomas o ecuaciones de gobierno. Estas ecuaciones estn normalmenteasociadas a actuadores o a obstculos mviles elementos capaces de imponer la evolucin temporalde alguna coordenada. Las ecuaciones de enlace en que el tiempo no aparece explcitamente sedenominan ecuaciones de enlace esclernomas.

A menudo, en el estudio de mquinas y mecanismos, los grados de libertad se cuentan considerandoslo las ecuaciones de enlace esclernomas (provenientes en las mquinas y mecanismos usuales delos pares cinemticos) y, a partir de estas, los grados de libertad eliminados por las ecuaciones deenlace rehnomas o de gobierno se denominan grados de libertad forzados. As, por ejemplo, un carroportaherramientas que se mueve sobre una gua prismtica tiene un grado de libertad que pasa a serforzado cuando se considera el actuador que controla la posicin del carro.

Determinacin de las ecuaciones de enlace. La determinacin de las ecuaciones de enlace no esfcilmente sistematizable, excepto en el caso de que se utilicen coordenadas referenciales para cadamiembro (6 en el espacio y 3 en el plano). En el caso que el planteamiento del estudio del mecanismose haga a mano o se emplee un conjunto reducido de coordenadas, la determinacin de las ecuacionesde enlace depender de cada sistema y de las coordenadas que se utilicen. En cualquier caso, hay queplantear un conjunto suficiente de ecuaciones y prestar atencin a que todas sean independientes.

En los mecanismos con anillos, es usual establecer ecuaciones de enlace geomtricas mediante lacondicin de cierre del anillo. Para el mecanismo de la figura 2.3 la ecuacin de cierre del anillo

OABCO es OA AB BC CO+ + + = 0, que, haciendouso de las coordenadas generalizadas indicadas yexpresndola en la base 1,2, da lugar a las ecuacionesde enlace:

ll

ll

ll

x

l l l xl l l

1 1

1 1

2 2

2 2

3 3

3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

00

0

cos

sincos

sincos

sin

( ) cos cos cossin sin sin

+

+

+

=

=

+ +

+

= q

A

O

B

Cj1

j3j2

x

1

2

l1

l2

l3

Fig. 2.3 Mecanismo con un anillo

Teora de mquinas38

A partir de la condicin de cierre tambin se pueden obtener ecuaciones de enlace cinemticas. Separte de la velocidad de un punto por ejemplo O y se calcula la velocidad de los puntos A, B y Chaciendo uso de la formulacin de la cinemtica del slido rgido (ver el captulo 3) aplicada a cadauno de los miembros. Finalmente se vuelve a calcular la velocidad de O para igualarla a la de partida.Proyectando esta igualdad en una base, se obtienen las ecuaciones de enlace cinemticas.

v(O) v(A) v(B) v(C) v(O)

En los mecanismos con movimiento plano, si se usan las coordenadas generalizadas de orientacin delos miembros y de desplazamiento relativo en los pares que lo permitan, las ecuaciones de enlaceobtenidas a partir de las condiciones de cierre son suficientes.

Holonomia. Se dice que un sistema es holnomo cuando el nmero de grados de libertad coincide conel de coordenadas independientes. Por el contrario, un sistema es no holnomo si tiene mscoordenadas independientes que grados de libertad. Se puede pensar en los sistemas no holnomoscomo aquellos que no pueden llegar directamente, sin maniobrar, a todas las configuracionesaccesibles. Un vehculo convencional, por ejemplo, no se puede desplazar transversalmente, peropuede llegar a una configuracin que corresponda a una translacin transversal si hace maniobras.

Si la descripcin de todas las restricciones impuestas para todos los enlaces de un sistema se puedehacer desde el punto de vista geomtrico, entonces se podrn derivar las ecuaciones de enlacecinemticas y se obtendr el mismo nmero que de geomtricas. En este caso, el sistema serseguramente holnomo.

Si las condiciones de enlace todas o algunas se establecen a nivel cinemtico, como en el caso de larodadura sin deslizamiento entre slidos, en que la restriccin impuesta para el no-deslizamientotangencial se ha de establecer a nivel de velocidades, har falta integrar en principio las ecuaciones deenlace cinemticas para obtener las geomtricas. Si esta integracin no es posible, el sistema tendrms coordenadas independientes que grados de libertad y ser no holnomo.

Un sistema de un grado de libertad es siempre holnomo, ya que su evolucin se puede conocer apriori por el hecho de que depende nicamente de una velocidad generalizada. Es a partir de dosgrados de libertad que se puede presentar la no-holonomia, ya que en este caso la evolucin de lasconfiguraciones del sistema puede depender de las evoluciones relativas que se hagan entre lasdiferentes velocidades generalizadas independientes.

2.3 Determinacin del nmero de coordenadas independientes

Teniendo en cuenta la complejidad del sistema de ecuaciones geomtricas de enlace (en general, nolineales con las coordenadas generalizadas), la determinacin del nmero de coordenadasindependientes hay que hacerla por inspeccin directa.

Si se puede garantizar que el sistema es holnomo, por ejemplo porque todos los enlaces provienen depares cinemticos, excepto de la rodadura sin deslizamiento, o porque se puede llegar a todas lasconfiguraciones accesibles directamente, sin maniobrar, entonces el nmero de coordenadasindependientes coincide con el nmero de grados de libertad.

Movilidad 39

En caso contrario, si se puede garantizar que el sistema es no holnomo, por ejemplo porque se ponede manifiesto la necesidad de maniobrar para llegar a algunas configuraciones accesibles, entonces elnmero de gl +1 es una cota inferior del nmero de coordenadas independientes.

2.4 Determinacin del nmero de grados de libertad

En mecanismos con estructura de rbol sin ningn anillo, la determinacin del nmero de grados delibertad se puede hacer de manera sistemtica y sencilla por inspeccin directa. En mecanismos conalgn anillo, la inspeccin directa no es ni sistemtica ni simple y los mtodos sistematizados basadosnicamente en la superposicin transformacin a estructura de rbol o criterio de Grbler-Kutzbachdan, en sistemas mecnicos con enlaces redundantes, un nmero inferior al de grados de libertad.

Mecanismos con estructura de rbol. En los mecanismos sin ningn anillo cerrado, ladeterminacin del nmero de grados de libertad es muy simple. Nada ms hay que sumar el nmerode grados de libertad relativos de cada miembro respecto al precedente atendiendo al tipo de parexistente entre ellos.

Mecanismos con anillos. En los mecanismos con anillos, la determinacin del nmero de grados delibertad se ha de hacer, en principio, por inspeccin directa. Hay que ver cuntos posiblesmovimientos puede tener o, lo que es lo mismo, cuntos movimientos hay que detener para que elmecanismo quede en reposo. Se ha de entender que detener un movimiento es anular una velocidadgeneralizada y no detener un miembro que puede implicar detener ms de una velocidadgeneralizada. En definitiva, un sistema mecnico tiene tantos grados de libertad como velocidadesgeneralizadas haya que anularle para que todos sus puntos tengan velocidad nula.

Un procedimiento sistemtico para contabilizar, en principio, los grados de libertad de un mecanismocon anillos es el siguiente: Eliminar un conjunto suficiente de enlaces para suprimir todos los anillos. Contar los grados de libertad de la estructura de rbol resultante. Restar las restricciones cinemticas impuestas por los enlaces individuales eliminados

anteriormente.

Otro procedimiento similar al anterior es el criterio de Grbler-Kutzbach: Eliminar todos los enlaces del mecanismo. Contar los grados de libertad de todos los miembros sin enlaces (6 por slido o 3 por slido, si se

considera el estudio en el plano). Restar las restricciones cinemticas impuestas individualmente para cada uno de los enlaces.

Se puede considerar que deriva de este ltimo mtodo el procedimiento que consiste en ir eliminandodel mecanismo grupos de Assur. Los grupos de Assur son conjuntos de enlaces y miembros tal que losgrados de libertad restringidos per estos enlaces es igual a los grados de libertad de los miembros sinenlaces 6 o 3 per slido. Dos barras articuladas entre ellas y unidas al mecanismo mediante dosarticulaciones constituyen, por ejemplo, un grupo de Assur.

Estos tres mtodos tienen el inconveniente de que, si algn enlace de los considerados es redundante,dan un nmero inferior al de los grados de libertad del mecanismo y que puede llegar a ser negativo.

Teora de mquinas40

Ejemplo 2.1 Determinacin del nmero de grados de libertad de un mecanismo.

Por inspeccin directa del mecanismo de la figura 2.4, vemos que no tiene ningn grado delibertad. Si intentamos encontrar el centro instantneo de rotacin (CIR) de la barra 2 observamosque, por una parte, estara sobre la interseccin de la prolongacin de las barras 1 y 3, pero por laotra estara sobre la interseccin de la prolongacin de las barras 3 y 4. Por tanto, la barra ha detener forzosamente velocidad nula.

Criterio de Grbler-Kutzbach. El mecanismo tiene 4 barras y 6 enlaces que son articulaciones. Portanto, nro. gl= 4 3 6 2 = 0.

Grupos de Assur. Este mecanismo no contiene ningn grupo de Assur.

Ejemplo 2.2 Determinacin del nmero de grados de libertad de un mecanismo.

Por inspeccin directa se observa que este mecanismo tiene 2 grados de libertad. El CIR de labarra 2 no queda definido; por tanto, tiene ms de un grado de libertad. Si detenemos la rotacinde la barra 1 respecto a tierra, el sistema an tiene un grado de libertad se puede definir un CIRpor cada slido; por tanto, en total el sistema tiene dos.

Por transformacin a mecanismo con estructura derbol, si se rompen los enlaces a P y a Q secontabilizan cinco grados de libertad (barra1/tierra,barra2/barra1, barra3/barra2(2 gl), barra4/barra2).El enlace a P restringe dos grados de libertad y elenlace a Q uno. Per tanto, nro. gl=521=2.

Criterio de Grbler-Kutzbach. El mecanismo tiene 4barras, 4 articulaciones que restringen dos grados delibertad cada uno y 2 enlaces de gua-corredera articulada que restringe uno. Por tanto, nro. gl =4 3 4 x 2 2 x 1=2.

Grupos de Assur. Se pueden eliminar los grupos:a) Barra 3, articulacin P y corredera R (3(barra)-2(articulacin)-1(corredera)=0)b) Barra 4, articulacin S y corredera Q (3(barra)-2(articulacin)-1(corredera)=0)Por tanto, el mecanismo queda reducido a las barras 1 y 2 y, evidentemente, tiene 2 grados delibertad.

1

2

3 4

P Q

Fig. 2.4 Estructura de 5 barras

1

2

34

P Q

R S

Fig. 2.5 Mecanismo de 5 barras

Para la transformacin a mecanismo con estructura derbol, hay que romper los enlaces suficientes para que elmecanismo no tenga ningn anillo, por ejemplo, losenlaces a P y a Q. A continuacin hay que contabilizar losgrados de libertad del mecanismo resultante, que sern 4(barra1/tierra, barra2/barra1, barra3/barra2, barra4/barra2).Teniendo en cuenta que los enlaces a P y a Q sonarticulaciones y que restringen dos grados de libertad cadauno el nmero de grados de libertad ser 4 4 = 0.

Movilidad 41

2.5 Redundancia total. Redundancia tangente

Un enlace es redundante cuando impone alguna restriccin en el movimiento del sistema redundancia tangente o en las configuraciones y el movimiento del sistema redundancia total queya ha estado impuesta por otros enlaces. La redundancia en los mecanismos es, en principio,indeseable porque implica fuerzas en los enlaces y tensiones internas desconocidas en los slidos conla hiptesis de slido rgido y que pueden ser muy grandes.

Redundancia total. Si en un sistema con un conjunto de enlaces no redundantes se introduce unnuevo enlace y el sistema puede adoptar las mismas configuraciones que antes, al menos en unentorno de la configuracin estudiada, entonces se dice que este enlace es totalmente redundanterespecto al conjunto inicial.

La redundancia total en los mecanismos implica fuerzas en los enlaces desconocidas y que puedenasumir valores grandes. Estas fuerzas se incrementan de manera finita a causa de la aplicacin defuerzas finitas exteriores al sistema. La consideracin de la flexibilidad de los slidos y de los enlacesy de la existencia de tolerancias en los enlaces hace que, en la prctica, muchas veces la redundanciatotal sea tolerable. La limitacin de carga que pueden soportar los miembros de un mecanismo haceque aquella a menudo sea necesaria.

Un ejemplo claro de este hecho son las puertas con tres bisagras: si consideramos una bisagra comouna junta de revolucin, entonces las otras dos son claramente redundantes el movimiento de lapuerta es exactamente el mismo con una que con tres bisagras. La construccin de puertas con unasola bisagra, sin embargo, sera en general un mal diseo, ya que sta debera de ser muy robusta paraaguantar todas las cargas aplicadas. Por otra parte, la tolerancia de cada bisagra, la flexibilidad de lapuerta y el procedimiento de montaje hacen que las posibles desalineaciones no provoquen fuerzasinternas demasiado grandes.

A medida que la rigidez aumenta, se han de disminuir las tolerancias de fabricacin ya que, si no, lasredundancias dan lugar a fuerzas elevadas y a dificultades de montaje y funcionamiento que conducena soluciones inviables. Este podra ser el caso de la puerta de una caja fuerte.

Una manera de observar si un mecanismo presenta enlaces redundantes es modificar ligeramentealgn parmetro longitud de una barra, posicin de una articulacin, etc. Si el sistema presentabaalguna redundancia, el sistema modificado cambiar su funcionamiento: no se podr montar,presentar una redundancia tangente o bien perder algn grado de libertad.

1

2

34

O

P

j

Fig. 2.6 Paralelogramo articulado redundante

Teora de mquinas42

El mecanismo de la figura 2.6, formado por las barras 1, 2 y 3, es un paralelogramo articulado de ungrado de libertad basta con parar la velocidad generalizada asociada a la variacin del ngulo entrela barra 1 y la tierra para inmovilizar el mecanismo. En su movimiento, el punto P describe un crculoalrededor de O. Si se une la barra OP con articulaciones a los extremos que obliga a mantener ladistancia constante entre dos puntos, el mecanismo puede conseguir exactamente las mismasconfiguraciones. Sera, por tanto, un mecanismo con una redundancia total.

Redundancia tangente. Si en un sistema, con un conjunto de enlaces no redundantes, se introduce unnuevo enlace que, sin restringir en principio las velocidades, restringe las configuraciones accesibles,se dice que este enlace es redundante tangente respecto al conjunto inicial.

No es fcil encontrar ejemplos reales de sistemas con redundancia tangente, ya que nunca funcionancorrectamente y su presencia es indicativa de un mal diseo.

A

B

C

O

P

I

D

Fig. 2.7 Cuadriltero articulado con redundancia tangente

El cuadriltero articulado ABCD de la figura 2.7 tiene un grado de libertad y en esta configuracin elcentro instantneo de rotacin de la biela es el punto I. Si, para inmovilizarlo, se une la barraarticulada PO, las configuraciones accesibles quedan reducidas a una la dibujada pero no serestringe, en principio, la velocidad angular de la biela alrededor del punto I. Ser, entonces, unmecanismo con redundancia tangente.

La presencia de redundancia tangente en un mecanismo es siempre indeseable, ya que fuerzasexteriores finitas conducen, en general, a la aparicin de fuerzas interiores tericamente infinitas. Enel sistema anterior (Fig. 2.7) las fuerzas de enlace que actan sobre la biela BCP provenientes de lasbarras AB, OP y CD dan una resultante nula y un momento resultante nulo, ya que se cortan en elpunto I. Si se aplica un par exterior sobre la biela, harn falta fuerzas infinitas en las barras para quecon una rotacin infinitesimal de la biela puedan dar un momento resultante finito.

La presencia de redundancia tangente en un sistema puede confundir en la determinacin del nmerode grados de libertad por inspeccin directa, ya que en este procedimiento se tiende a asociar lasvelocidades a desplazamientos ms o menos pequeos. Eso hace que una velocidad generalizadaanalticamente independiente se puede dejar de considerar como tal.

Movilidad 43

Grado de redundancia. El grado de redundancia de un mecanismo sin redundancias tangentes sedefine como el nmero de condiciones de enlace cinemticas que se pueden eliminar sin modificar ladistribucin de velocidades del mecanismo. El grado de redundancia se obtiene como la diferenciaentre el nmero de grados de libertad y el nmero n que se obtiene aplicando los procedimientos desuperposicin el criterio de Grbler-Kutzbach o el criterio de abrir anillos.

nro. grados de libertad = 3 n (o bien 6 n) nro. eq. independientesn = 3 n (o bien 6 n) nro. eq.nro. eq. dependientes = grado de redundancia = nro. eq. nro. eq. independientes = nro. gl n

Si se analiza el paralelogramo de la figura 2.6, formado por las barras 1, 2, 3 y 4, se observa que tieneun grado de libertad. El criterio de Grbler-Kutzbach, en cambio, dara:

4 slidos 3 gl/slido 6 articulaciones 2 restricciones/slido = 0

Por tanto, el mecanismo tiene un grado de redundancia igual a 1.

2.6 Espacio de configuraciones. Subespacio de configuraciones accesibles

Espacio de configuraciones. Se denomina espacio de configuraciones de un sistema un espaciopuntual de dimensin n nmero de coordenadas generalizadas en que los puntos tienen comocoordenadas las coordenadas generalizadas que se han considerado en la descripcin de laconfiguracin del sistema.

Subespacio de configuraciones accesibles. Aquellos puntos del espacio de configuraciones quecumplen las ecuaciones de enlace geomtricas forman el subespacio de configuraciones accesibles.Es, por tanto, el conjunto de configuraciones que el mecanismo puede conseguir sin romper losenlaces. Este subespacio tendr como dimensin el nmero de coordenadas independientes. As, si unsistema de una coordenada independiente se define mediante 3 coordenadas generalizadas, el espaciode configuraciones ser de dimensin 3 y el subespacio de configuraciones accesibles tendrdimensin 1; ser una curva conexa o no dentro de este espacio.

Si para el mecanismo de yugo escocs de la figura 2.8 se toman como coordenadas generalizadas elngulo de rotacin de la manivela y el desplazamiento x del pistn, el espacio de las configuracioneses el plano x, y el subespacio de configuraciones accesibles es la curva dibujada.

r

x

j/2

x

rj

Fig. 2.8 Subespacio de configuraciones accesibles de un yugo escocs

Teora de mquinas44

2.7 Resolucin de las ecuaciones de enlace geomtricas. Mtodo de Newton-Raphson

El anlisis de un sistema mecnico definido con un conjunto no mnimo de coordenadas generalizadasrequiere la determinacin de cul es el subespacio de configuraciones accesibles o, lo que es lomismo, encontrar soluciones de las ecuaciones de enlace geomtricas para un instante determinado sison funcin explcita del tiempo. La resolucin de este sistema muy pocas veces se puede haceranalticamente y hay que recurrir, en general, a mtodos numricos de diferentes tipos minimizacinde funciones escalares, aproximaciones sucesivas, etc., el ms conocido de los cuales es el mtodo deNewtonRaphson.

Mtodo de NewtonRaphson. Este mtodo resuelve el sistema de ecuaciones de enlace (q)=0 poraproximaciones sucesivas a partir de una configuracin inicial aproximada y linealizndolo en elentorno de la configuracin obtenida en el paso anterior. La linealizacin de una ecuacin de enlacei(q)=0 alrededor de una configuracin q0 da lugar a la expresin:

i ii i

nn nq

q qq

q q( ) ( ) ( ) ( )q q= + + + 0 01

1 10 0

Si se linealizan todas las ecuaciones de enlace (q)=0, se obtiene en forma matricial:

( ) ( ) ( )q q q q= +0 0 0q (2.1)

con qn

m m

n

q q

q q

=

1

1

1

1

donde q es la matriz jacobiana o la matriz de derivadas parciales del sistema de las ecuaciones deenlace geomtricas respecto de las coordenadas generalizadas.

El mtodo de NewtonRaphson itera la ecuacin 2.1 hasta que (q) es inferior a una tolerancia .

( ) ( )

( ) ( )

( )

q q q

q q q

q q q

q

+ =

=

+

>

q

q

0

1

Si

El mtodo de Newton-Raphson converge rpidamente hacia la solucin si la aproximacin essuficientemente buena pero puede, tambin divergir. Existen modificaciones del algorismo deNewton-Raphson que aseguran ms la convergencia en detrimento de la velocidad.

Movilidad 45

La base de otros mtodos es la minimizacin de una funcin escalar que cuantifica el error cuadrticoen el cumplimiento de las ecuaciones de enlace: error(q)=T(q) (q)

2.8 Configuraciones singulares

Se denominan configuraciones singulares de un mecanismo aquellas en que el mecanismo presenta unfuncionamiento diferenciado respecto al de las otras configuraciones accesibles, y se puedendistinguir, en principio, dos tipos: los puntos muertos y las bifurcaciones.

Puntos muertos. Se dice que una configuracin accesible de unmecanismo es un punto muerto para la coordenada qi cuando estacoordenada toma un valor extremo, ya sea un mximo o un mnimo.

En un mecanismo pistn-biela-manivela como el de la figura 2.9,por ejemplo, hay 2 puntos muertos para la coordenada generalizadax que mide el recorrido del pistn dentro del cilindro: laconfiguracin en qu x = l + r conocida como punto muertosuperior y aquella en que x = l r conocida como punto muertoinferior. En cambio, la coordenada , que mide el ngulo girado porla manivela, no presenta puntos muertos, ya que nunca puede llegara un extremo el ngulo puede crecer indefinidamente.

En un punto muerto, la velocidad generalizada correspondienteseguro que tiene siempre un valor nulo independientemente decomo se est moviendo el resto del mecanismo. Esto hace que estavelocidad generalizada no sirva para describir la cinemtica delmecanismo y no describa ningn grado de libertad en estaconfiguracin. En el mecanismo de la figura 2.9, por ejemplo, lavelocidad generalizada x puede utilizarse como grado de libertad en todo el subespacio deconfiguraciones accesibles, pero no en los puntos muertos de la coordenada x. Por el contrario, puede ser velocidad generalizada independiente sin ningn tipo de problema.

La determinacin de los puntos muertos de un mecanismo no es simple, ya que es un problemageomtrico, y en principio no lineal, y normalmente se hace por inspeccin visual del mecanismo.Ms adelante se ver una condicin necesaria para la determinacin de puntos muertos enmecanismos de un grado de libertad.

Bifurcaciones. Una configuracin accesible de un mecanismo es una bifurcacin cuando elmecanismo puede evolucionar, a partir de ella, por ms caminos de los que podra hacerlo en otrasconfiguraciones. En una configuracin que no presente ninguna singularidad, un mecanismo de ungrado de libertad puede evolucionar tan solo por un camino. En una bifurcacin, la evolucin podrser por ms de un camino.

En la figura 2.10 se representa un paralelogramo articulado en una configuracin accesible cualquieray su evolucin posible.

xl

r j

Fig. 2.9 Mecanismo pistn-biela-manivela

Teora de mquinas46

Fig. 2.10 Paralelogramo articulado en una configuracin accesible cualquiera

En la figura 2.11 se ve el mismo paralelogramo cuando las tres barras son colineales configuracinsingular y bifurcacin y las evoluciones que puede tener a partir de esta configuracin.

Fig. 2.11 Paralelogramo articulado en una bifurcacin

Movilidad 47

Anexo 2.I Geometra de tringulos y cuadrilteros

En el estudio de mecanismos de barras planos, es frecuente que se haya de resolver la geometra detringulos y cuadrilteros. Los tringulos aparecen sobre todo en las inversiones del mecanismopistn-biela-manivela y los cuadrilteros lo hacen evidentemente al estudiar el cuadriltero articulado.

Geometra de tringulos

En el estudio de un tringulo (Fig. 2.12) se pueden presentar 4situaciones diferentes, segn se conozcan:a) Los tres lados a, b, c. Los ngulos se pueden determinar

directamente a partir del teorema del coseno:cos() = (b2 + c2 a2) / 2 b c (Fig. 2.13).

b) Dos lados y el ngulo que forman, a, b, . El tercer lado sedetermina tambin a partir del teorema del coseno: c = (a2 + b2 - 2 a b cos()). Un segundongulo se obtiene, por ejemplo, del teorema del seno: sin() = (a/c) sin() (Fig. 2.15).

c) Dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos, a, b, . El tercer lado viene dado por la expresinc = b cos() + (a2 b2 sin2()). Un segundo ngulo se puede obtener como en el caso anterior(Fig. 2.14).

d) Un lado y dos ngulos. Los lados se obtienen a partir del teorema del seno y teniendo en cuentaque sin(+)=sin() (Fig. 2.16). As, si se conoce:- a, , ; b = a sin()/sin(+); c = a sin()/sin(+)- a, , ; b = a sin(+)/sin() ; c = a sin()/sin()

Estas situaciones se presentan en los ejemplos siguientes:a) Determinacin de la inclinacin de la

barra OP en funcin del largo del cilindro.

O

P

r

r

j

Q

d

Fig. 2.13

c) Determinacin de la posicin d del pistn Qen funcin del ngulo girado por lamanivela OP.

O

P

Q

r l

d

j

Fig. 2.14

b) Determinacin del largo l del cilindro PQ enfuncin del ngulo girado por la manivelaOP.

O

P

Qr l

jd

Fig. 2.15

d) Determinacin de la posicin d del pistn Qen funcin del ngulo girado por el balancnOP.

bjO

P

Qr

d

Fig. 2.16

a

b

c

ab

g

Fig. 2.12 Tringulo

Teora de mquinas48

Geometra de cuadrilteros

El anlisis del cuadriltero (Fig. 2.17) se realiza apartir de las ecuaciones obtenidas de la condicin decierre:

l l l ll l l1 1 2 2 3 3 4

1 1 2 2 3 3

00

cos cos cos

sin sin sin

+ + =

+ =

En este anexo se presenta la determinacin de los dosngulos, 2 y 3, en funcin del ngulo 1 y de las longitudes de los lados l1, l2, l3 y l4.

De las ecuaciones anteriores se puede eliminar el ngulo 2 de la biela y se obtiene la ecuacin deFreudenstein:

cos( ) cos cos //

( ) /

1 3 3 1 1 3 4 1 4 1

3 4 3

4 12

22

32

42

1 3

0

2

+ = =

=

= + +

c c c c l lc l lc l l l l l l

con

A partir de las expresiones del seno y del coseno de un ngulo en funcin de la tangente del ngulomitad1 para el ngulo 3, se obtiene la ecuacin siguiente de segundo grado:

c c c t t c c c

t

1 4 1 3 32

1 3 1 4 1 3

33

1 2 1 0

2

+ + + + + + =

=

cos ( ) ( sin ) cos ( )

tan

donde

(2.2)

De manera similar, con la eliminacin de 2 se obtiene:

cos( ) cos cos /( ) /

1 2 2 1 1 2 5 2 4 2

5 12

22

32

42

1 2

02

+ = =

= + +

c c c c l lc l l l l l l

con

c c c t t c c c t1 5 1 2 22

1 2 1 5 1 2 221 2 1 0

2+ + + + + + = =cos ( ) ( sin ) cos ( ) , tan on (2.3)

La posible doble solucin real de las ecuaciones 2.2 y 2.3corresponde a la posibilidad de que, dado 1, existan dosconfiguraciones posibles del cuadriltero (Fig. 2.18 ).

1 sin tan /

tan ( / ); cos

tan ( / )tan ( / )a

a

a

a

a

a

=

+=

+

2 21 2

1 21 22

2

2 .

Hay que observar que este cambio de manera general pasa de expresiones trigonomtricas a polinomios racionales.

j1

l1

l4

j2

j3

l2

l3

Fig. 2.17 Cuadriltero articulado

Fig. 2.18 Doble solucin delcuadriltero

Movilidad 49

De manera similar se pueden resolver los cuadrilteros con correderas como, por ejemplo, el de lafigura 2.19.

r s l dr s l

s

r l d t

r t r d t l r

cos cos sinsin sin cos

sin( ) sin tan

( sin ) ( cos ) ( sin )

1 2 2

1 2 2

1 2 2 22

12

1 1

00

02

2 0

+ + =

+ =

+ = =

+ + + =

Eliminando la variable

y utilizando j1

j2 j2

s

r l

d

Fig. 2.19 Cuadriltero concorredera

Teora de mquinas50

Anexo 2.II Orientacin y velocidad angular de un slido rgido

En el anlisis de mecanismos, un punto especialmente complejo es el estudio de la orientacin y lavelocidad angular de los slidos en el espacio.

Si un slido tiene movimiento plano, su orientacin queda definida por un ngulo contenido en elplano del movimiento y su velocidad angular es la derivada temporal de este ngulo, que si hay quetratarla como vector es perpendicular al plano del movimiento.

Orientacin de slidos en el espacio

Para estudiar la orientacin de los slidos en el espacio se parte de bases vectoriales, una base fija Ben la referencia respecto a la cual se estudia el movimiento, y una fija al slido B. La matriz decambio de base [S] se asocia a la orientacin del slido respecto a la referencia

u S u B B= con [S] ortonormal.

El teorema de Euler afirma que todo cambio de orientacin se puede considerar como una rotacinsimple en el entorno de una direccin de versor . Esta direccin corresponde a la del vector propioasociado al valor propio unitario de la matriz de cambio [S] y se puede encontrar, por tanto, mediantela expresin

S =I 0

El ngulo girado en el plano perpendicular a es tal que

cos

sin , .

=

=

T

Tdonde s un versor normal a

S

S

Si lo que se conoce es el versor y el ngulo girado , la matriz de cambio de base es

S = + +

=

I cos ( cos ) sin

T

definiendo

1

00

0

3 2

3 1

2 1

Analticamente, es interesante definir los parmetros de Euler como

e

e e e

e e e e

0

1 2 3

02

12

22

32

2

21

=

= =

+ + + =

cos

sin , ,

e e T

se observa que

Movilidad 51

En funcin de los parmetros de Euler, la matriz de cambio se expresa

S ee e e= + =

( )2 1 20

00

02

0

3 2

3 1

2 1

e e

e e

e e

e e

+ 2 definiendo T

y si se conoce esta matriz, los parmetros de Euler se obtienen a partir de

cos ( ) /

sin

= + +

=

S S SS SS SS S

11 22 33

32 23

13 31

21 12

1 2

12

El inters analtico de los parmetros de Euler no es paralelo a la facilidad de su interpretacin fsica ycuando sta es necesaria para la definicin del problema o la interpretacin de resultados, laorientacin se define a partir de los ngulos de Euler.

Los ngulos de Euler son 3 rotaciones simples , y sucesivas alrededor de 3 ejes, cada uno de loscuales es orientado por las rotaciones anteriores. Al ser rotaciones simples, en las mquinas a menudoquedan materializadas por pares cinemticos cilndricos o de revolucin. En la figura 2.20 se muestranlos dos juegos de ngulos de Euler: a) ngulos de Euler empleados tradicionalmente en la orientacinde rotores rpidos, por ejemplo los giroscopios, y b) ngulos de Euler de tres ejes empleadosnormalmente en la orientacin de vehculos.

A partir de las matrices de cambio elementales asociadas a cada una de las rotaciones introducidas porlos ngulos de Euler [], [] y [] la matriz de cambio total es [S] = [] [] [].

Cuando se presta ms atencin a la orientacin inicial y final que a su evolucin se pueden utilizartambin rotaciones , y alrededor de ejes fijos, introducidas por orden. Igual que en el casoanterior, la matriz de cambio global a partir de las asociadas a cada una de las rotaciones es[S] = [] [] [].

Vector velocidad angular

La velocidad angular es una magnitud vectorial asociada al cambio de orientacin que no aparecedirectamente como derivada temporal de ninguna coordenada.

En el estudio de la distribucin de velocidades en un slido rgido se obtiene fcilmente que

v v S S( ) ( ) P O= + 1 OP

[ ] [ ] [ ]S S =1 es una matriz antisimtrica a la cual se puede asociar el operador lineal productovectorial de manera que

S S = = 1 OP OP OP

Teora de mquinas52

11' 2

2'

33'

y

y

y

11'2

2'2''

33'

qq

q

y

y

1''

3''11'

2

2'''

2'2''

33'

q

q

y

y

1''

3''3'''

j

j

j

1'''

11'2

2'''

2'2''

33'

q

q

y

y

1''1'''

3''3'''

jj

j

a)

b)

Secuencia 1-2'-3''

Secuencia 1-2'-1''

Fig. 2.20 ngulos de Euler a) de dos ejes y b) de tres ejes

Si la orientacin se define por medio de los ngulos de Euler, el vector resulta particularmenteintuitivo. A cada rotacin simple le es asignado un vector , y de mdulo la derivada temporaldel ngulo girado, de direccin la del eje de rotacin y de sentido el dado por el avance de un tornillocon rosca a derechas que gira segn la rotacin y la velocidad angular es la suma de los tres vectores.

= + +

Movilidad 53

La relacin entre los parmetros de Euler y la velocidad angular viene dada por las expresionessiguientes:

=

= =

=

2

12

1 0 3 2

2 3 0 1

3 2 1 0

0

1

2

3

E p

p E E p

,T donde ie e e e

e e e e

e e e e

e

e

e

e

Teora de mquinas54

Problemas

P 2-1 En el mecanismo de la figura:a) Definir conjuntos suficientes de coordenadas generalizadas y velocidades generalizadas.

Determinar:b) El nmero de grados de libertad, conjuntos de coordenadas y velocidades generalizadas

independientes.c) Ecuaciones de enlace geomtricas y cinemticas, si se toma el conjunto {x,y} de coordenadas

generalizadas.

y

x

j

l

P 2-2 Estudiar la movilidad del mecanismo pistn-biela-manivela.a) Definicin de un conjunto suficiente de coordenadas y velocidades generalizadas.b) Planteamiento de las ecuaciones de enlace si se utiliza el conjunto {1

, 2

, x} como coordenadasgeneralizadas.

c) Obtencin de los grficos 2

(1

) y x (1

).d) Determinacin de los puntos muertos para las coordenadas 1

, 2

, x.e) Qu enlaces se pueden establecer entre los diferentes miembros para no tener redundancia en la

materializacin de este mecanismo?

x

j1j2

r lr = 1 m l = 2 m

OP

Movilidad 55

P 2-3 Para el mecanismo diferencial de la figura, determinar:a) El nmero de grados de libertad.b) Las ecuaciones de enlace geomtricas y cinemticas cuando se toma el conjunto de coordenadas

generalizadas {y1, y2, y3}.

s s

l

l

l

y1y2

y3

P 2-4 En el tecngrafo representado en la figura:a) Definir un conjunto de coordenadas generalizadas suficiente que incluya las rotaciones en los

pares cinemticos de revolucin y las coordenadas cartesianas del punto O.

Determinar:b) El nmero