Teoría DE JUEGOS

Univ. Vladimir Aricoma Chura

Investigación Operativa II

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Teoría de juegos

Introducción.La teoría de los juegos es una rama de la matemática, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en una marco de incentivos formalizados La teoría de juegos se formalizó por primera vez con a partir de los trabajos de John Von Neumann y Oscar Mongenstern antes y durante la Guerra Fría, debido a su aplicación en la estrategia militar.

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¿Qué es un juego?Situación de decisión en la que dos oponentes inteligentes con objetivos conflictivos (en caso de suma cero) compiten intensamente para superar al otro. 

Cada uno de los dos jugadores tiene una cantidadde alternativas o estrategias y asociadas con estas puede haber ganancia o perdida.

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La estrategia de un jugador es un plan de acción completo para cualquier situación que pueda ocurrir.

Las estrategias pueden ser de dos tipos: puras o mixtas.

Estrategia pura.El espacio de estrategia de un jugador es el conjunto de estrategias puras disponible al jugador.

Estrategia mixta.Define una probabilidad sobre las estrategias y refleja que, el jugador elegirá al azar una estrategia pura en función de la distribución dada por la estrategia mixta.

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Juegos entre dos personas de suma a cero.Se dice que un juego es de “suma a cero” cuando lo que gana un jugador lo pierde otro es un caso especial de los juegos de suma constante

Solución de juegos de suma cero entre dos personasLa selección de estrategias óptimas garantiza que ninguno de los jugadores intenta buscar una estrategia diferente porque el resultado será una retribución peor.Estas soluciones pueden ser en la forma de una sola estrategia o varias estrategias combinadas al azar.

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Solución de juegos de suma cero entre dos personas (cont.)

Una forma de resolver este tipo de juego viene dada por el criterio MINIMAX Y MAXIMIN

Se puede observar que el valor máximo de los mínimos es igual al valor mínimo de los máximos, por lo tanto decimos que tiene una solución de punto de silla de modo que la mejor estrategia para J1 es l y la mejor estrategia para el J2 es ll. El valor del juego viene dado por el punto de silla.

A estos juegos se los denomina Estrictamente determinados

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Solución de juegos con estrategias mixtas

Cuando un juego no está estrictamente determinado, para hallar su solución se debe asignar probabilidades a cada estrategia, es decir crear estrategias mixtas. Para resolver un juego con estrategias mixtas, se hace uso de dos métodos:

El método gráfico, es adecuada para juegos con exactamentedos estrategias puras de uno o ambos jugadores.

Programación lineal, puede resolver cualquier juego de suma cero entre dos personas

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Solución de juegos con estrategias mixtas (cont.)

Método gráfico ejemplo

B1

B2 B3

A1 1 -3 7

A2 2 4 -6

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Solución de juegos con estrategias mixtas (cont.)

Programación lineal

B1

B2

B3

A1 3 -1 -3

A2 -2 4 -1

A3 -5 -6 2

jugador AMaximizar z = vsujeto a

v - 3x1 + 2x2 + 5x3 <=0v + x1 - 4x2 + 6x3 <=0v + 3x1 + x2 - 2x2 <=0 x1 + x2 + x3 = 1 x1, x2, x3 >=0 v irrestricta

jugador BMinimizar z = vsujeto a

v - 3y1 + y2 + 3y3 >= 0v + 2y1 - 4y2 + y3 >= 0v + 5y1 + 6y2 - 2y3 >= 0 y1 + y2 + y3 = 1 v irrestricta

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