Teorıa de Ginzburg-Landau y

Superconductividad

Yohana Bonilla Gutierrez

Departamento de Fısica, Universidad del Valle

Ciudad Universitaria Melendez, Santiago de Cali, Colombia

Teorıa de Ginzburg-Landau y

Superconductividad

Yohana Bonilla Gutierrez

Dr. Ruben A. Vargas

Trabajo presentado como Monografıa para el curso electivo de

Transiciones de Fase

17 de Junio de 2011

Indice

1 Introduccion 1

2 Objetivos 2

2.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.2 Objetivos Especıficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3 Breve resena sobre el descubrimiento de la superconductividad 3

3.1 Superconductividad: el fenomeno basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3.2 Algunos hallazgos relevantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

4 Modelo Teorico 5

4.1 La Teorıa de London como punto de partida . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

4.2 La Teorıa Ψ (Teorıa de Ginzburg-Landau) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.2.1 Las ecuaciones de Ginzburg-Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

4.2.2 Consideraciones sobre la funcion Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.2.3 Las dos longitudes caracterısticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

5 Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad en muestras

volumetricas 12

6 Conclusiones 14

Referencias 15

Introduccion 1

1

Introduccion

Hasta el momento de la publicacion del trabajo de V.L. Ginzburg y L.D. Landau, On

the Theory of Superconductivity, Zh. Eksp. Teor. Fiz. (ZhETF) 20, 1064 (1950); la teorıa

fenomenologica existente para describir el estado superconductor era insatisfactoria [1].

Los modelos previos no permitıan determinar la tension superficial (energıa superficial) en

la frontera entre las fases normal y superconductora, y tampoco describıan correctamente

la destruccion de la superconductividad por un campo magnetico o corriente externos. La

teorıa Ψ, conocida mas recientemente como la Teorıa de Ginzburg-Landau de la supercon-

ductividad, fue propuesta por Ginzburg y Landau en su trabajo de 1950, y resulto estar

exenta de las limitaciones anteriormente descritas.

La teorıa Ψ es una teorıa fenomenologica, construida sobre la base de la teorıa gene-

ral de Landau para describir la transicion entre dos fases en un sistema termodinamico.

Es notable observar que esta teorıa fue desarrollada completamente usando argumentos

heurısticos y solo despues, cuando se establecio la teorıa BCS (microscopica), se entendio el

verdadero valor de la aproximacion de Ginzburg y Landau.

La teorıa permite expresar la tension superficial en funcion del campo magnetico crıtico

para el cual se destruye la superconductividad y la longitud de penetracion del campo

magnetico en los superconductores. La teorıa llevo a un gran numero de conclusiones

cualitativas nuevas, que han sido corroboradas experimentalmente y su descripcion sera el

tema central de esta monografıa.

Objetivos 2

2

Objetivos

2.1 Objetivo General

Presentar una introduccion a la teorıa fenomenologica de Ginzburg-Landau predictiva de

muchas propiedades de los materiales superconductores.

2.2 Objetivos Especıficos

1. Exponer algunos de los aspectos historicos que motivaron el desarrollo de la teorıa.

2. Describir el modelo teorico basico que sustenta la aproximacion de Ginzburg y Lan-

dau.

Breve resena sobre el descubrimiento de la superconductividad 3

3

Breve resena sobre el descubrimiento de la

superconductividad

3.1 Superconductividad: el fenomeno basico

Un superconductor perfecto es un material que exhibe dos propiedades caracterısticas:

? Resistencia electrica cero.

? Diamagnetismo perfecto

ambas, cuando se enfrıa el material por debajo de una temperatura particular Tc, llamada

la temperatura crıtica [2].

Para temperaturas altas, un superconductor es un metal normal, que ordinariamente

no es muy buen conductor. Por ejemplo, el plomo (Pb), el tantalio (Ta), y el estano

(Sn) llegan a ser superconductores a las temperaturas adecuadas, mientras que materiales

como el cobre, la plata y el oro, no son superconductores. En el estado normal, algunos

metales superconductores son debilmente diamagneticos, y algunos son paramagneticos.

Por debajo de Tc estos materiales exhiben conductividad electrica perfecta y tambien

diamagnetismo perfecto o muy pronunciado [2].

Diamagnetismo perfecto, la segunda propiedad caracterıstica, significa que un material

superconductor impide que un campo magnetico externo aplicado penetre en su interior.

Los superconductores que excluyen totalmente un flujo magnetico aplicado, son conocidos

como superconductores Tipo I. Otros superconductores denominados superconductores de

Tipo II, son tambien conductores electricos perfectos, pero sus propiedades magneticas

son mas complejas [2]. Estos excluyen el flujo magnetico totalmente cuando el campo

magnetico aplicado es bajo, pero solo lo excluyen parcialmente, cuando la intensidad del

campo aplicado es mas alta. Para tales campos, su diamagnetismo es mas bien de tipo

mixto, dando lugar al denominado estado de vortice [2].

3.2 Algunos hallazgos relevantes

En 1908 H. Kamerlingh Onnes, inicio el campo de la fısica de bajas temperaturas

logrando la licuefaccion del helio en su laboratorio de Leiden. Tres anos despues (1911),

encontro que por debajo de 4.15K la resistencia DC del mercurio desciende a cero (Fig. 1).

Este hallazgo fue el punto de partida del campo de la superconductividad [2].

En 1933, Meissner y Ochsenfeld encontraron que cuando una esfera metalica normal, se

enfrıa hasta su temperatura de transicion Tc en presencia de un campo magnetico, repele

la entrada del flujo magnetico (Fig. 2). Tal efecto, conocido como efecto Meissner, implica

que la superconductividad, se debe destruir por un campo magnetico crıtico Hc (Fig. 3),

relacionado termodinamicamente con la diferencia de energıa libre entre los estados normal

y superconductor a campo cero [3].

Breve resena sobre el descubrimiento de la superconductividad 4

Figura 1: Curva historica de Resistencia (Ω) vs. Temperatura (K) del 26 de octubre de 1911.

El experimento mostro la transicion superconductora en 4.20K.

Figura 2: Curvatura de las lıneas de un campo magnetico aplicado, constante, alrededor de

una esfera superconductora.

El campo crıtico termodinamico se determina igualando la energıa magnetica por unidad

de volumen H2c /8π con la diferencia de las energıas libres de Helmholtz por unidad de

volumen en las fases normal Fn0 y superconductora Fs0 en ausencia de campo [3]:

H2c (T )

8π= Fn0(T )− Fs0(T ), (1)

Se encontro empıricamente que el campo Hc(T )se puede aproximar muy bien, por una ley

parabolica

Hc(T ) ≈ Hc(0)[1− (T/Tc)2] (2)

ilustrada en la Fig. 4.

Mientras la transicion a campo cero en Tc es de segundo orden, la transicion en presencia

de un campo, es de primer orden debido a que hay un cambio discontinuo en el estado

termodinamico del sistema y un calor latente asociado [3].

Modelo Teorico 5

Figura 3: Esquema del fenomeno de diamagnetismo perfecto a temperaturas inferiores a Tc y

para un campo externo aplicado inferior al crıtico (Hc).

Figura 4: Dependencia de la temperatura del campo crıtico termodinamico.

4

Modelo Teorico

4.1 La Teorıa de London como punto de partida

El reporte del efecto Meissner llevo a los hermanos London, Fritz y Heinz, a proponer

ecuaciones que explicaran este efecto y predijeran hasta que punto un campo magnetico

externo puede penetrar en un superconductor [3].

Un metal que exhibe los estados normal y superconductor, puede ser tratado como

una sustancia de dos fases, en un sentido termodinamico. Como un resultado, en 1934

surgio la ası llamada aproximacion de dos-fluidos (two-fluid), que postula un fluido de

electrones normales mezclado con un fluido de electrones superconductores. Los dos fluidos

se interpenetran pero no interactuan [2]. De acuerdo al modelo de dos-fluidos, la densidad

de corriente electrica total en un superconductor es:

j = js + jn, (3)

donde js y jn son las densidades de corriente superconductora y normal respectivamente.

La corriente normal en un superconductor no difiere de la corriente en un metal normal,

Modelo Teorico 6

en la aproximacion local:

jn = σn(T )E, (4)

donde E es el campo electrico y σn es la conductividad de la “parte normal” del lıquido

electronico; por simplicidad, se tomara aquı jn=0 a menos que se especifique lo contrario.

En 1935, F. London y H. London propusieron [4] para js las ecuaciones de London:

rot (Λjs) = −1

cH (5)

∂ (Λjs)

∂t= E (6)

Donde Λ es una constante y la intensidad de campo magnetico H no difiere en este caso

de la induccion magnetica B.

A tales ecuaciones se llega, por ejemplo, partiendo de las ecuaciones hidrodinamicas

para un “lıquido” conductor constituido por partıculas con carga e, masa m y velocidad

υs (r, t):∂υs∂t

= − (υs∇)υs +e

mE +

e

mcυsH (7)

=e

mE +∇υ

2s

2+ υs

(rotυs +

e

mcH). (8)

Tal ecuacion representa a un fluido de conductividad (ideal) infinita y no predice la

oposicion en un superconductor a la presencia de un campo magnetico constante externo,

lo cual contradice la existencia del efecto Meissner. De esta forma, en la teorıa de London

se impuso la condicion adicional rotυs + emcH = 0, interpretada como la condicion para

el movimiento libre de vortices en un lıquido cargado [1]. Si js se escribe en la forma

js = ensυs, donde ns es la concentracion de carga, la asuncion adicional ns =const implica:

Λ =m

e2ns. (9)

Las ecuaciones de London (5), junto con la ecuacion de Maxwell

rotH =4π

cjs (10)

con Λ =const (en el estado estacionario), lleva a las ecuaciones:

∇2H − 1

δ2H = 0, ∇2js −

1

δ2js = 0, donde δ2 =

Λc2

4π=

mc2

4πe2ns. (11)

Para una frontera plana entre el estado superconductor y el vacıo, las soluciones de la Ec.

(11) son:

H = H0exp(−zδ

)y js =

c

4πδH, (12)

donde el campo externo H0 se toma paralelo a la frontera, que es normal al eje z. Las

soluciones de la Ec. (11) implican que el campo magnetico H y la densidad de corriente

Modelo Teorico 7

js decaen exponencialmente a traves del superconductor, donde z es la distancia a la

frontera), lo que da cuenta de la aparicion del efecto Meissner.

Las ecuaciones de London permanecen validas solamente en el caso de un campo debil:

H Hc, (13)

donde Hc es el campo magnetico crıtico para el cual se destruye la superconductividad.

Particularmente, se hara enfasis en los superconductores de Tipo I. Para los superconduc-

tores Tipo II, la teorıa de London tiene un rango de aplicacion mas amplio, incluyendo

la fase de vortice para H Hc2 (Hc2 el campo crıtico termodinamico para esta fase) a

cualquier temperatura [1]. Pero si el campo es fuerte, esto es, comparable con Hc, la teorıa

de London puede llegar a ser invalida o insuficiente.

Como una aplicacion particular de la teorıa de London, y la revision de algunos pro-

blemas que presenta, se puede ver el siguiente caso:

Del tratamiento termodinamico de la transicion de una placa plana de ancho 2d, se

encuentra que el campo crıtico Hc, para el cual su superconductividad se rompe es:(Hc

Hcb

)2

=

(1− δ

dtanh

d

δ

)−1, (14)

donde Hbc es el campo crıtico para un especimen masivo [5–7]. Esta expresion para Hc

sin embargo contradice la evidencia experimental, ya que se ha encontrado que δ que

deberıa ser “constante”, segun la teorıa de London, no lo es: para un valor de(Hc

Hcb

)2a una temperatura determinada δ depende fuertemente de d. Por ejemplo si T = 4K

entonces para d = 0,3× 10−5cm, δ = 3,4× 10−5cm, mientras que para d = 1,2× 10−5cm,

δ = 2× 10−5cm

Otro aspecto contradictorio de la teorıa de London, surge en la frontera que separa las

fases normal y superconductora del metal; la energıa superficial relacionada con el campo

y la supercorriente obtenidas de Ec. (14) es negativa [1], −δH2bc/8π.

Consecuentemente para obtener una tension superficial positiva σns = σ(0)ns + σ

(′)ns , ob-

servada para una frontera estable, es necesario introducir una cierta energıa superficial

σ(′)ns > δH2

cm/8π de origen no magnetico. Sin embargo, la introduccion de tal energıa com-

parativamente alta carece de fundamento fısico.

4.2 La Teorıa Ψ (Teorıa de Ginzburg-Landau)

La teorıa que generalizo la teorıa de London eliminando las dificultades anteriormente

indicadas y sugirio nuevas conclusiones fue la teorıa Ψ. Esta teorıa fue formulada en 1950

[8] por Ginzburg y Landau, y es mas comunmente conocida como la Teorıa de Ginzburg-

Landau.

En la ausencia de un campo magnetico, la transicion a la fase superconductora, es una

transicion de segundo orden. La teorıa general de transiciones de Fase, ya incluye un cierto

Modelo Teorico 8

parametro de orden η [9], el cual en el equilibrio es nulo en la fase ordenada, y no nulo

en la fase desordenada. Por ejemplo, en el caso de los materiales ferroelectricos el papel

de η es desempenado por la polarizacion espontanea P s y en el caso de magnetos, por la

magnetizacion espontanea M s.

En los superconductores, donde la fase ordenada es la fase superconductora, para el

parametro de orden se escoge una funcion compleja Ψ la cual desempena el papel de

una “funcion de onda efectiva para los electrones superconductores”, en un sentido es-

tricto Ψ serıa una pseudo funcion de onda. En consencuencia, Ψ puede ser determinada

precisamente salvo una constante de fase.

Dado que no hay una conexion mecano-cuantica entre Ψ y las cantidades observables,

en esta teorıa, Ψ puede ser normalizada en una forma arbitraria de modo que |Ψs|2 repre-

sente la concentracion ns de los “electrones superconductores” [1].

4.2.1. Las ecuaciones de Ginzburg-Landau

Se considerara primero un superconductor uniforme en ausencia de un campo magnetico,

y se asumira que Ψ es independiente de la posicion. La energıa libre del superconductor,

de acuerdo con la teorıa general para las transiciones de fase de segundo orden, depende

solamente de |Ψ|2 y se puede expandir en series entorno a Tc. Utilizaremos la expansion

para la energıa libre en ausencia de campo [1]:

Fs0 = Fn0 + α |Ψ|2 +β

2|Ψ|4 , (15)

Cerca a Tc obtenemos para la energıa libre Fs0:

Fs0 = Fn0 + α |Ψ|2 =β

2|Ψ|4 . (16)

En equilibrio termodinamico (mınimo de energıa) ∂Fs0/∂ |Ψ|2 = 0, ∂2Fs0/∂2 |Ψ|2 > 0 y

debemos tener |Ψ|2=0 para T > Tc y |Ψ|2 > 0 para T < Tc.

Como se ilustra en la Fig. (5), como se ha encontrado que β > 0 para estabilidad de la

teorıa, si α > 0 el mınimo se presenta en |Ψ|2 = 0, el estado normal. Si α < 0 el mınimo

ocurre cuando

|Ψ|2 ≡ |Ψ∞|2 = −αβ

(17)

donde la notacion Ψ∞ indica que Ψ se aproxima a este valor muy adentro en el supercon-

ductor, donde es apantallado de cualquier campo superficial o corriente [3].

Sustitutyendo este valor de Ψ en la definicion de campo crıtico termodinamico:

Fs0(T )− Fn0(T ) = −α2

2β= −H

2c (T )

8π, (18)

Como evidentemente α(T ) debe cambiar de signo en Tc, se puede considerar una expansion

de α(T ) en serie de Taylor: α = α′c(T − Tc) =(dαdT

)c(T − Tc).

Modelo Teorico 9

Figura 5: Funciones de energıa libre de Ginzburg-Landau para T > Tc (α > 0) y para T < Tc(α < 0). Puntos fuertes indican posiciones de equilibrio. Por simplicidad se tomo Ψ real [3].

En presencia de un campo magnetico independiente del tiempo, para obtener la densi-

dad de energıa libre FsH , es necesario adicionar a la expansion de Fs0 la energıa asociada

al campo H2/8π y la energıa asociada a la posible aparicion de un gradiente de Ψ en pre-

sencia del campo. Esta ultima energıa para valores pequenos de |∇Ψ|2 se puede expresar

como una densidad de energıa cinetica en mecanica cuantica:(~

2m

)2

|∇Ψ|2 =1

2m|−i~∇Ψ|2 (19)

en la cual m es un coeficiente determinado.

Considerando la interaccion entre el campo magnetico y la corriente que resulta debido

al termino ∇Ψ, se debe hacer el cambio −i~∇ → −i~∇ − e∗

cA, donde A es el potencial

vectorial del campo H = rotA y e∗ es una carga. Despues en el contexto de la teorıa BCS

microscopica, e∗ corresponderıa a la carga de un par de Cooper, por lo que suele asignarse-

le el valor de dos veces la carga del electron, tema que no se discutira en el presente trabajo.

Ası la densidad de energıa, relacionada con la presencia de ∇Ψ y el campo H toma la

forma:H2

8π+

1

2m

∣∣∣∣−i~∇Ψ− e∗

cAΨ

∣∣∣∣2 , (20)

consecuentemente,

FsH = Fs0 +H2

8π+

1

2m

∣∣∣∣−i~∇Ψ− e∗

cAΨ

∣∣∣∣2 . (21)

En presencia de campo, la ecuacion para Ψ se encuentra partiendo del requerimiento que

la energıa libre total de la muestra∫FsHdV debe ser lo mas pequena posible. Ası variando

la energıa total con respecto a Ψ∗, encontramos:

1

2m

(−i~∇− e∗

cA

)2

Ψ +∂Fs0∂Ψ∗

= 0 (22)

Modelo Teorico 10

1

2m

(−i~∇− e∗

cA

)2

Ψ + αΨ + β |Ψ|2 Ψ = 0 (23)

Si en la frontera del superconductor la variacion δΨ∗ es arbitraria, por ejemplo, si no

hay condiciones adicionales impuestas sobre Ψ y si no hay terminos asociados a la energıa

superficial en (21), (15), entonces la condicion de mınima energıa libre es ası llamada la

condicion de frontera natural en la frontera superconductora:

n ·(−i~∇Ψ− e∗

cAΨ

)= 0, (24)

donde n es el vector normal a la frontera. La condicion (24) se refiere al caso de la frontera

entre un superconductor y el vacıo o un dielectrico [1]. Aunque en principio parezca natural

exigir que la funcion de onda en la frontera sea nula, la validez de (24) radica en que la

funcion Ψ, ası introducida, no es propiamente una funcion de onda de los electrones en el

metal, pero debe ser cierto tipo de cantidad promedio [1].

Expresion para la supercorriente j:

En lo que concierne a la ecuacion para A, si asumimos que divA=0 y variamos la energıa

libre total asociadad la densidad FsH , con respecto a A, se obtiene la expresion usual

∇2A = −4π

cj =

2πie∗2~mc

(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗) +4πe∗2

mc2|Ψ|2A, (25)

en la cual el lado derecho contiene la expresion para la supercorriente

j = −ie∗2~

2m(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗)− e∗2

mcΨ∗ΨA. (26)

Agrupando los resultados obtenidos, la solucion del problema de la distribucion de

campo y corriente en un superconductor, se reduce a una integracion apropiada de (23) y

(26).

4.2.2. Consideraciones sobre la funcion Ψ

Suponiendo que la funcion Ψ(r) esta directamente relacionada con la matriz densidad:

ρ (r, r′) =

∫Ψ∗ (r, r′i) Ψ (r, r′i) dr

′i (27)

donde Ψ (r, r′i) es la funcion de onda real de los electrones en el metal, que depende de

las coordenadas de todos los electrones, ri(i = 1, 2, ..., N). Las r′i son las coordenadas de

todos los electrones excepto el electron considerado, cuyas coordenadas en dos puntos se

toman como r y r′. Para un sistema no superconductor (normal) teniendo orden de corto

Modelo Teorico 11

alcance, se puede pensar que cuando |r − r′| → ∞, ρ0 = 0, mientras que en el estado

superconductor ρ(|r − r′|)→∞⇒ ρ0 6= 0. De esta forma suele relacionarse la funcion Ψ,

propuesta inicialmente arbitrariamente, con la matriz densidad del sistema, mediante la

relacion:

ρ(r, r′) = Ψ∗(r)Ψ(r′). (28)

4.2.3. Las dos longitudes caracterısticas

Las ecuaciones de Ginzburg-Landau (23) y (26) introducen dos longitudes caracterısti-

cas que discutiremos ahora:

a) Una longitud caracterıstica toma lugar si introducimos efectos electromagneticos, por

ejemplo, la longitud de penetracion de campos debiles δ0, mencionada tambien en el

contexto de la teorıa de London.

Para esta longitud caracterıstica en la teorıa Ψ tenemos [1]:

δ20 =mc2βc

4πe∗2 |α|=

mc2

4πe∗2 |Ψ∞|2. (29)

Dado que la teorıa Ψ, para campos debiles debe transformar a la teorıa de London,

la longitud de penetracion δ0 es frecuentemente llamada la longitud de penetracion de

London y se denota por δL o λL.

b) Para la otra longitud caracterıstica, empezaremos considerando una situacion donde

no hay corrientes o campos magneticos. Eligiendo el gauge para el cual Ψ es real, en

una dimension Ec. (23) llega a ser [10]:

− ~2

2m

dΨ2

dx2+ αΨ + βΨ3 = 0, (30)

Hay dos soluciones obvias: (1) Ψ=0 la cual describe el estado normal, (2) Ψ = Ψ0 tal

que

Ψ20 = −α

β> 0, (31)

la cual describe el estado superconductor usual. Esta segunda existe y es mas baja en

energıa cuando α < 0, esto es T < Tc. Sin embargo se deben considerar soluciones mas

generales. Con el fin de fijar la escala de longitud, es util escribir (30) en terminos de

las variables reducidas Ψ = Ψ0f y

ξ2(T ) =~2

2m |α|(32)

donde ξ(T ) tiene las dimensiones de longitud. La Ec. (30) se reexpresa [10]:

−ξ2(T )df 2

dx2− f + f 3 = 0 (33)

Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad en muestras volumetricas 12

El significado de ξ(T ) es el de una longitud caracterıstica para las variaciones de Ψ

(o f), la cual llamaremos la longitud de coherencia a la temperatura T o el radio de

correlacion [1].

ξ =~√

2m |α|=

~√2mα′c (Tc − T )

=~τ−1/2√2mα′cTc

= ξ(0)τ−1/2, (34)

donde τ = (Tc − T ) /Tc y ξ(0) = ~/√

2mα′cTc es un radio de correlacion condicional

para T = 0; condicional puesto que la teorıa Ψ, es estrictamente aplicable solamente

en la vecindad de Tc.

ξ(T ) = ξ(0)

(Tc

Tc − T

)1/2

(35)

de modo que las variaciones de Ψ que tienen lugar dentro de la longitud ξ(T ) son suaves

respecto a ξ(0) si T es cercana a Tc

Hasta el momento se han definido las dos longitudes caracterısticas ξ(T ) y λL(T )

(o δ0(T )), que determinan el comportamiento de un superconductor cerca al punto de

transicion. Ambas divergen cuando T → Tc. Se define la razon

κ =λ(T )

ξ(T )(36)

como el parametro de Ginzburg-Landau de la sustancia. Usando las definiciones de

ξ(T ) y λL(T )

κ =mc

e∗2~

(βc2π

)1/2

. (37)

Cuando κ . 1, (λ < ξ) el superconductor es de tipo I, cuando κ & 1, (λ > ξ) el

material es del segundo tipo. Se encontro que la separacion exacta entre los dos tipos de

superconductores, ocurre para κ = 1/√

2.

5

Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad

en muestras volumetricas

Consideraremos el problema de la nucleacion de la superconductividad en una mues-

tra volumetrica, en presencia de un campo H dirigido en la direccion z [3]. Un gauge

conveniente es:

Ay = Hx (38)

Para esto se despreciara el termino no lineal en la primera ecuacion de Ginzburg-Landau,

bajo el supuesto de que |Ψ|2 Ψ2∞, para un campo externo determinado [3]. En la

aproximacion lineal (−i~∇− e∗

cA

)2

Ψ = −αΨ, (39)

Una aplicacion simple: nucleacion de la superconductividad en muestras volumetricas 13

Utilizando el resultado conocido, que establece que el flujo magnetico debe estar cuantizado

[3], se representa el cuanto de flujo por Φ0 = hc/e con h, la constante de Planck, ası:(1

i∇− 2π

Φ0

A

)2

Ψ = −2m

~2αΨ ≡ Ψ

ξ2(T )(40)

sustituyendo el gauge para el campo magnetico en (40), encontramos:[−∇2 +

4πi

Φ0

Hx∂

∂y+

(2πH

Φ0

)2

x2

]Ψ =

Ψ

ξ2(T )(41)

ası es razonable buscar soluciones del tipo

Ψ = eikyyeikzzf(x) (42)

sustituyendo en (41) y reagrupando terminos, encontramos:

−f ′′(x) +

(2πH

Φ0

)2

(x− x0)2f =

(1

ξ2− k2z

)f (43)

x0 =kyΦ0

2πH. (44)

Se pueden obtener soluciones de (43) inmediatamente, notando que esta corresponde

a la ecuacion de Schrodinger para una partıcula de masa m en un potencial armonico con

fuerza constante (2πH/Φ0)2 /m. Este problema es formalmente el mismo correspondiente

a encontrar los estados cuantizados de una partıcula en presencia de un campo magnetico,

lo cual lleva a los niveles de Landau, separados por la frecuencia ciclotronica ~ω [3].

Los autovalores resultantes son:

εn =

(n+

1

2

)~ω =

(n+

1

2

)~(

2eH

mc

)(45)

igualando con ~2/2m(

1ξ2− k2z

),

H =Φ0

2n(2n+ 1)

(1

ξ2− k2z

), (46)

Conclusiones 14

6

Conclusiones

Se mostro que la teorıa fenomenologica de Ginzburg-Landau se fundamenta en un

metodo variacional que asume una expansion de la energıa libre en terminos del

parametro de orden, de acuerdo con la teorıa general de Landau para las transiciones

de Fase.

La teorıa de Ginzburg-Landau, permite encontrar bajo argumentos netamente intui-

tivos, los parametros que caracterizan el estado superconductor de un sistema.

Referencias 15

Referencias

[1] V. L. Ginzburg, On Superconductivity and Superfluidity: A Scientific Autobiography

(Springer, 2008).

[2] C.P. Poole, H. A. Farach, R. Creswick and R. Prozorov, Superconductivity (Academic

Press. Inc, 2007 2nd ed).

[3] M. Thinkam, Introduction to Superconductivity (Mc Graw-Hill, New York, 1996 2nd

ed).

[4] F. London and H. London, Proc. R. Soc. London 149A, 71, 1935; Physica 2, 341,

1935.

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