ecuaciones de ginzburg landau

Ecuaciones de Ginzburg-Landau

Yohana Bonilla Gutierrez

Universidad del Valle

17 de febrero de 2012

Yohana Bonilla Gutierrez (Univalle) Ginzburg-Landau 17 de febrero de 2012 1 / 15

Recordemos que un superconductor perfecto es un material que exhibe dospropiedades caracterısticas:

? Resistencia electrica cero.? Diamagnetismo perfecto...cuando se enfrıa el material por debajo de una temperatura particular Tc,llamada la temperatura crıtica.

*C.P. Poole, H. A. Farach, R. Creswick and R. Prozorov, Superconductivity (Academic Press. Inc, 2007 2nd ed).

Tipo I: Diamagnetismo perfecto. Efecto Meissner (1933, Meissner yOchsenfeld)

Tipo II: Diamagnetismo de tipo mixto, dando lugar al denominadoestado de vortice. (Alexei Abrikosov, 1950)


Figura: Curvatura de las lıneas de un campo magnetico aplicado, constante, alrededorde una esfera superconductora.


Teorıa ψ (Ginzburg y Landau, 1950)

Landau (1937) ⇒ Teorıa de transiciones de fase de segundo orden.

Parametro de orden ⇒ Cantidad fısica que se anula en la fase dealta temperatura. (Ej : magnetizacion espontanea en la transicionferromagnetica).

Parametro de orden varıa continuamente desde cero para T < Tc ⇒Se expande la energıa libre en serie de potencias.

Transicion ferromagnetica en un cristal cubico ⇒ la energıa libre se puedeescribir:

F (M,T ) = F (0, T )+α(M2x +M

2y +M

2z )+

1

2β1(M)2+

1

2β2(MxMy+MxMz+MyMz)

2

(1)

En una primera aproximacion se asume β = cte y una dependencia de α con latemperatura:

α(T ) = α0

(T

Tc− 1

), α0 < 0 (2)


Teorıa ψ (Ginzburg y Landau, 1950)

Parametro de orden ψ(r):

|ψs(r)|2 = ns(r) (3)

Densidad de energıa libre Fs(r):

Fs(r) = FN − α |ψ|2 +1

2β |ψ|4 +

1

2m|(−i~∇− qA/c)|2 −

Ba∫0

M .dBa, (4)

Aporte del campo magnetico a la energıa ⇒ 18πB

2(r)donde B(r) = ∇×A(r).

Fs(r) = FN −α |ψ|2 +1

2β |ψ|4 + 1

2m|(−i~∇− qA/c)|2−

Ba∫0

M .dBa+1

8πB2(r). (5)


Ecuaciones de Ginzburg-Landau

Minimizacion de Fs(r) ⇒ procedimientos del calculo variacional, por ser una fun-cional.

Minimizamos la energıa libre total∫dV Fs(r) con respecto a ψs(r):

δFs(r) =

[−αψ + β |ψ|2 ψ +

1

2m(−i~∇− qA/c)ψ. (−i~∇− qA/c)

]δψ∗ + c.c.

(6)e integrando por partes, obtenemos∫

dV (∇ψ) (∇δψ∗) = −∫dV(∇2ψ

)δψ∗, (7)

δψ∗ = 0 en la frontera.Finalmente

δ

∫dV Fs(r) =

∫dV δψ∗

[−αψ + β |ψ|2 ψ +

1

2m(−i~∇− qA/c)2 ψ

]+c.c (8)

Primera ecuacion de Ginzburg-Landau[−α+ β |ψ|2 ψ +

1

2m(−i~∇− qA/c)2

]ψ = 0 (9)


Minimizamos la energıa libre total∫dV Fs(r) con respecto a δA,

conduce a la ley de Ampere:

∇×B =4π

cJ(r) (10)

∇2A = −4π

cj =

2πiq~mc

(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗) +4πq2

mc2|Ψ|2 A, (11)

el lado derecho contiene la expresion para la supercorriente

Segunda ecuacion de Ginzburg-Landau

j = − iq~2m

(Ψ∗∇Ψ−Ψ∇Ψ∗)− q2

mcΨ∗ΨA. (12)

⇒ Una expresion identica a la de la densidad de corriente en Mecanica Cuantica.


Condiciones de frontera

Consideramos el termino de frontera

∝∫δψ∗

(−i~∇− q

cA)ψdσ + c.c (13)

Exigimos que no haya flujo de corriente fuera del superconductor en el vacıo:n.J(r) = 0 donde n es el vector normal a la superficie.

La condicion de frontera natural en la frontera superconductora:(−i~∇− q

cA)ψ∣∣∣n

= 0, (14)

Asegura que no haya flujo de corriente a traves de la superficie.


Longitud de correlacion

Las ecuaciones de Ginzburg-Landau Ecs. (9), (12) introducen dos longitudescaracterısticas:

Consideramos el caso en ausencia de campo A = 0 y tal que lasvariaciones del parametro de orden de segundo orden sondespreciables β |ψ|2 → 0.

En una dimension Ec. (9)

− ~2

2m

dψ2

dx2= αψ, (15)

Que tiene soluciones del tipo exp(ix/ξ) donde ξ se define como

ξ =(~2/2mα

)1/2(16)


ξ =~√

2m |α|=

~√2mα′c (Tc − T )

=~τ−1/2√2mα′cTc

= ξ(0)τ−1/2, (17)

donde τ = (Tc − T ) /Tc y ξ(0) = ~/√

2mα′cTc es un radio de correlacioncondicional para T = 0; condicional puesto que la teorıa Ψ, es estrictamenteaplicable solamente en la vecindad de Tc.

ξ(T ) = ξ(0)

(Tc

Tc − T

)1/2

(18)

de modo que las variaciones de Ψ que tienen lugar dentro de la longitudξ(T ) son suaves respecto a ξ(0) si T es cercana a Tc


Consideremos ahora la longitud de penetracion de un campomagnetico debil (B � Hc) en el superconductor.

Asumimos que |ψ|2 = |ψ0|2 el valor en la ausencia de campo. Entonces laecuacion para la supercorriente se reduce a

J(r) = −(q2/mc

)|ψ0|2A, (19)

que es justamente la ecuacion de la Teorıa de London.

J(r) = −(c/4πλ2

)A, (20)

con la longitud de penetracion

λ2 =mc2

4πq2 |Ψ0|2=

mc2β

4πq2 |α|(21)


Parametro de Ginzburg-Landau

Hasta el momento se han definido las dos longitudes caracterısticas ξ(T )y λ(T ), que determinan el comportamiento de un superconductor cerca alpunto de transicion. Ambas divergen cuando T → Tc. Se define la razon

κ =λ(T )

ξ(T )(22)

como el parametro de Ginzburg-Landau.Usando las definiciones de ξ(T ) y λ

κ =mc

q2~

(β

2π

)1/2

. (23)

Cuando κ . 1, (λ < ξ) el superconductor es de tipo I, cuando κ & 1,(λ > ξ) el material es del segundo tipo.Se encontro que la separacion exacta entre los dos tipos de superconduc-tores, ocurre para κ = 1/

√2.


Una aplicacion simple: nucleacion de lasuperconductividad en muestras volumetricas

Consideraremos el problema de la nucleacion de la superconductividad enuna muestra volumetrica, en presencia de un campo H dirigido en la direc-cion z.Un gauge conveniente es:

Ay = Hx (24)

Para esto se despreciara el termino no lineal en la primera ecuacion deGinzburg-Landau, bajo el supuesto de que |Ψ|2 � Ψ2

∞, para un campoexterno determinado. En la aproximacion lineal(

−i~∇− q

cA)2

Ψ = −αΨ, (25)


Utilizando el resultado conocido, que establece que el flujo magnetico debeestar cuantizado, se representa el cuanto de flujo por Φ0 = hc/e con h, laconstante de Planck, ası:(

1

i∇− 2π

Φ0A

)2

Ψ = −2m

~2αΨ ≡ Ψ

ξ2(T ). (26)

*M. Thinkam, Introduction to Superconductivity (Mc Graw-Hill, New York, 1996 2nd ed).

Sustituyendo el gauge para el campo magnetico en (26), encontramos:[−∇2 +

4πi

Φ0Hx

∂

∂y+

(2πH

Φ0

)2

x2

]Ψ =

Ψ

ξ2(T )(27)

ası es razonable buscar soluciones del tipo

Ψ = eikyyeikzzf(x). (28)


Sustituyendo en (27) y reagrupando terminos, encontramos:

− f ′′(x) +

(2πH

Φ0

)2

(x− x0)2f =

(1

ξ2− k2z

)f (29)

x0 =kyΦ0

2πH. (30)

Se pueden obtener soluciones de Ec.(29) inmediatamente, notando que estacorresponde a la ecuacion de Schrodinger para una partıcula de masa m enun potencial armonico con fuerza constante (2πH/Φ0)

2 /m ⇒ niveles deLandau, separados por la frecuencia ciclotronica ~ω.

εn =

(n+

1

2

)~ω =

(n+

1

2

)~(

2eH

mc

)(31)

igualando con ~2/2m(

1ξ2 − k2z

),

H =Φ0

2n(2n+ 1)

(1

ξ2− k2z

), (32)


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