teoría de conjuntos -trigon-funcion parte 1
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Teoría de conjuntosDe Wikipedia, la enciclopedia libre
La teoría de conjuntos es una división de las matemáticas que estudia los conjuntos . El primer estudio formal sobre el tema fue realizado por el matemático alemán Georg Cantor en el Siglo XIX y más tarde reformulada por Zermelo.
Tabla de contenidos
[ocultar] 1 Conceptos básicos 2 Notación 3 Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos
o 3.1 Igualdad de conjuntos o 3.2 Subconjuntos y Superconjuntos
4 Operaciones de conjuntos o 4.1 Unión o 4.2 Intersección o 4.3 Diferencia o 4.4 Complemento o 4.5 Diferencia simétrica
5 Álgebra de conjuntos o 5.1 Producto cartesiano de conjuntos o 5.2 Cuantificadores o 5.3 Funciones
6 Véase también 7 Bibliografía 8 Enlaces externos
9 Referencias
Conceptos básicos [editar]
Diagrama de Venn que muestra un conjunto A contenido en otro conjunto U y su diferencia
El concepto de conjunto es intuitivo y podríamos definirlo simplemente como una colección de objetos, así podemos hablar de un conjunto de personas, ciudades, lapiceros o del conjunto de objetos que hay en un momento dado encima de una mesa. Un conjunto esta bien definido si se sabe si un determinado elemento pertenece o no al conjunto, así el conjunto de los bolígrafos azules, esta bien definido, porque a la vista de un bolígrafo podemos saber si es azul o no. El conjunto de las personas altas no esta bien definido, porque a la vista de una persona, no siempre podrá decir si es alta o no, o puede haber distintas personas, que opinen si esa persona es alta o no lo es.
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En el siglo XIX segun Frege; los elementos de un conjunto se definían sólo por tal o cual propiedad. Actualmente la teoría de conjuntos está bien definida por el sistema ZFC, sin embargo sigue siendo célebre la definición que publicó Cantor
Se entiende por conjunto a la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados de nuestra intuición o nuestra mente.
Georg Cantor
Notación [editar]
Usualmente los conjuntos se representan con una letra mayúscula: A, B, K,...
Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,...
De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común escribir:
para definir a tal conjunto . Esta notación empleada para definir al conjunto se llama notación por extensión
Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos (léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de se escribe
(léase no pertenece a ).
El conjunto universal, que siempre representaremos con la letra U (u mayúscula), es el conjunto de todas las cosas sobre las que estemos tratando. Así, si hablamos de números enteros entonces U es el conjunto de los números enteros, si hablamos de ciudades, U es el conjunto de todas las ciudades, este conjunto universal puede mencionarse explícitamente, o en la mayoría de los casos se da por supuesto dado el contexto que estemos tratando, pero siempre es necesario demostrar la existencia de dicho conjunto previamente.
Existe además, un único conjunto que no tiene elementos al que se le llama conjunto vacío y que se denota por . Es decir
La característica importante de este conjunto es que satisface todos los elementos posibles no están contenidos en él, es decir
.
Por otro lado, si todos los elementos de un conjunto A satisfacen alguna propiedad, misma
que pueda ser expresada como una proposición , con la indeterminada , usamos la notación por comprensión, y se puede definir:
Lo anterior se lee "A es el conjunto de elementos x, que cumplen la propiedad p(x)". El símbolo ":" se lee "que cumplen la propiedad" o "tales que"; este símbolo puede ser
remplazado por una barra .
Por ejemplo, el conjunto puede definirse por:
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donde el símbolo representa al conjunto de los números naturales.
El uso de algún conjunto U es muy importante, ya que de no hacerlo se podría caer en contradicciones como ejemplo
Es decir, M es el conjunto donde cada elemento x satisface la propiedad . Al principio uno podría creer que ningún conjunto puede estar contenido en sí mismo y que por lo tanto M no contiene elemento alguno; sin embargo, en vista de que M es un conjunto,
cabe hacer la pregunta "¿ ?" Si la respuesta es negativa ( ) entonces M
cumple la propiedad y por lo tanto . Si por el contrario la respuesta es
afirmativa ( ), entonces M no cumple con la propiedad y por esta razón
. Esta paradoja es muy famosa y se conoce como la paradoja del barbero esta es una de las tantas incongruencias que tenía la teoría de Cantor.
Igualdad entre conjuntos. Subconjuntos y Superconjuntos [editar]
Igualdad de conjuntos [editar]
Dos conjuntos y se dicen iguales, lo que se escribe si constan de los mismos elementos. Es decir, si y solo si todo elemento de A está también contenido en B y todo elemento de B está contenido en A. En símbolos:
Subconjuntos y Superconjuntos [editar]
Diagrama de Venn que muestra
Un conjunto se dice que es subconjunto de otro , si cada elemento de es también elemento de , es decir, cuando se verifique:
,
sea cual sea el elemento . En tal caso, se escribe .
Cabe señalar que, por definición, no se excluye la posibilidad de que si , se cumpla . Si tiene por lo menos un elemento que no pertenezca al conjunto , pero si
todo elemento de es elemento de , entonces decimos que es un subconjunto propio de , lo que se representa por . En otras palabras, si y sólo si , y
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. Así, el conjunto vacío es subconjunto propio de todo conjunto (excepto de sí mismo), y todo conjunto A es subconjunto impropio de sí mismo.
Si es un subconjunto de , decimos también que es un superconjunto de , lo que se escribe . Así pues
,
y también que:
,
significando que es superconjunto propio de .
Por el principio de identidad, es siempre cierto , para todo elemento , por lo que todo conjunto es subconjunto (y también superconjunto) de sí mismo.
Vemos que es una relación de orden sobre un conjunto de conjuntos, pues
( es reflexiva)( es antisimétrica)( es transitiva)
Operaciones de conjuntos [editar]
Sean y dos conjuntos.
Unión [editar]
Diagrama de Venn que ilustra
Para cada par de conjuntos A y B existe un conjunto que se denota como el cual contiene todos los elementos de A y de B. De manera más general, para cada conjunto S
existe otro conjunto denotado como de manera que sus elementos son todos los tales que . De esta manera es el caso especial donde
.
Es claro que el hecho de que un elemento x pertenezca a es condición necesaria y suficiente para afirmar que x es un elemento de A o al menos de B. Es decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
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Entonces
Intersección [editar]
Diagrama de Venn que ilustra
Los elementos comunes a y forman un conjunto denominado intersección de y , representado por . Es decir, es el conjunto que contiene a todos los elementos de A que al mismo tiempo están en B:
.
Si dos conjuntos y son tales que , entonces y se dice que son conjuntos disjuntos.
Es claro que el hecho de que es condición necesaria y suficiente para afirmar que y . Es decir
Ejemplos: si tenemos los conjuntos
Entonces:
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Diferencia [editar]
Diagrama de Venn que muestra A − B
Diagrama de Venn que muestra B − A
Los elementos de un conjunto que no se encuentran en otro conjunto , forman otro
conjunto llamado diferencia de y , representado por . Es decir:
.
o dicho de otra manera:
Algunas personas prefieren denotar la diferencia de y como .
Una propiedad interesante de la diferencia es que
eso es porque
Ejemplos: Sin importar cual conjunto A elija usted, siempre se cumple
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Complemento El complemento de un conjunto A, es el conjunto de los elementos que pertenecen a algún conjunto U pero no pertenecen a A, que lo representaremos por . Es decir
El conjunto complemento siempre lo es respecto al conjunto universal que estamos tratando, esto es, si hablamos de números enteros, y definimos el conjunto de los números pares, el conjunto complemento de los números pares, es el formado por los números no pares. Si estamos hablando de personas, y definimos el conjunto de las personas rubias, el conjunto complementario es el de las personas no rubias.
En vista de que y , entonces
,
de manera que
Pero también
de modo que
Diferencia simétrica [editar]
Los elementos de dos conjuntos,A y B a excepción de aquellos que se encuentran en el área de intersección de dichos conjuntos se define la diferencia simétrica.
Álgebra de conjuntos [editar]
Sean A, B, y C conjuntos cualesquiera y U un conjunto tal que , y entonces:
Elemento neutro de la unión Elemento neutro de la intersección Propiedad conmutativa de la intersección Propiedad conmutativa de la unión
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Propiedad asociativa de la intersección
Propiedad asociativa de la unión
Propiedad distributiva de la intersección
Propiedad distributiva de la unión
Producto cartesiano de conjuntos
Artículo principal: Producto cartesiano
Un par ordenado de números es tal si los pares y son uno mismo si y sólo si .
Dados dos conjuntos y , definimos al conjunto producto ( o producto cartesiano) de y (en ese orden), representado por , como el conjunto
Ejemplo
Sean y . Así,
Ya que el producto cartesiano está formado de pares ordenados (donde el orden de los componentes importa), resulta
Bibliografía [editar]
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González Carlomán, Antonio; Retículo completo de Boole, lógica matemática, teoría de conjuntos (2006); Universidad de Oviedo. Servicio de Publicaciones; ISBN 84-8317-534-7
Cantor, Georg; Fundamentos para una teoría general de conjuntos: escritos y correspondencia selecta (2005); Editorial Crítica; ISBN 84-8432-695-0
Fernández Laguna, Víctor; Teoría de conjuntos elemental, Bachillerato (2004); Anaya; ISBN 84-667-2614-4
Climent Coloma, Joan Josep, [ et. al. ]; Álgebra: teoría de conjuntos y estructuras algebraicas (2003); Editorial Club Universitario; ISBN 84-8454-302-1
Tiñena Salvañà, Francesc; La teoría de conjuntos (2002); Editorial UOC, S.L.; ISBN 84-8429-923-6
Arrieche Alvarado, Mario; Iniciación de la teoría de conjuntos, en la formación de profesores de matemáticas (2002); Arrieche Alvarado, Mario Jose; ISBN 84-607-4774-3
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TrigonometríaArtículo de la Enciclopedia Libre Universal en Español.
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La trigonometría es la parte de las matemáticas que estudia los elementos de los triángulos, particularmente las relaciones entre sus lados y ángulos.
Funciones seno y coseno
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo y lo usaremos para definir las funciones seno y coseno.
En un triángulo rectángulo, el seno (abreviado como sen o sin) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa, y el coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa.
Si usamos una circunferencia unitaria (con radio igual a uno), entonces la hipotenusa, AB, del triángulo se hace 1, por lo que las relaciones quedan:
senα = cosβ = |BC| / |AB| = |OB| / 1 = |BC| = a cosα = senβ = |AC| / |AB| = |AB| / 1 = |AC| = b
A continuación algunos valores de las funciones que es conveniente recordar:
ángulo sen cos
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0° 0 1
30°
45°
60°
90° 1 0
Como en el triángulo rectángulo se cumple que a² + b² = c², de la figura anterior se tiene que senα = a, cosα = b, c=1; entonces:
(sen α)² + (cos α)² = 1
igualdad que se verifica para cualquier ángulo.
Algunas identidades trigonometricas importantes son:
sen (90° - α) = cos α cos (90° - α) = sen α sen (180° - α) = sen α cos (180° - α) = -cos α sen 2α = 2 senα cosα sen (α + β) = senα cosβ + cosα senβ cos (α + β) = cosα cosβ - senα senβ
Función tangente
En un triángulo rectángulo, la tangente (abreviada como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente.
El valor de la tangente para algunos ángulos importantes es:
tan0 = 0
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Categoría: Matemáticas
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Representación Gráfica
Rectas Paralelas
Lección 4.5. Funciones Lineales
Consideremos el siguiente problema: una compañía fabrica lápices y sus costos fijos (como arriendo) ascienden a la suma de dos millones de pesos. Si el costo de fabricar un
lápiz es de y el precio de venta es de y representa un número de lápices,
entonces el costo de producirlos es de mientras que los ingresos
que produce su venta son de . Así, las ganancias de la fábrica están representadas por la función
Queremos además determinar cuántos lápices debe vender la fábrica para obtener una
ganancia de millones de pesos, esto es, buscamos tal que
es decir, tal que
Entonces
Definición 4.5.1. Una función es una función lineal si la imagen de la variable
independiente se expresa en la forma para algunas constantes y
con .
La gráfica de una función lineal es una recta que intersecta el eje en el punto
si e intersecta el eje en el punto , pues y
. Si , es decir, si para todo , la gráfica está formada
por los puntos del plano cartesiano tales que y . La gráfica es entonces una recta horizontal.
Ejemplo 4.6.
1. La función tiene como gráfica una recta a la cual pertenecen lo
puntos y puesto que y
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1. La gráfica de la función está formada por los puntos del plano
cartesiano tales que y
La función está determinada por los números reales y . Este
último, se llama término independiente El coeficiente de es la pendiente de la recta y si la gráfica de la función es una recta no vertical que pasa por los
puntos y entonces e , esto es
, de donde
es decir, es la razón entre el cambio de (es decir, ) y el cambio de
(es decir, ). Para puntos cualesquiera que satisfagan la ecuación, esta razón tiene el mismo valor, es decir, no depende de los puntos considerados.
Si la recta asciende de izquierda a derecha y si la recta desciende de izquierda a derecha.
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A una recta vertical no se le define pendiente.
Dados una constante y un punto , los puntos , situados
sobre la recta que contiene el punto y tiene pendiente están caracterizados por la condición
Una ecuación es la forma punto- pendiente de esa recta.
Ejemplo 4.7. La recta que pasa por los puntos y tiene pendiente
una ecuación punto- pendiente de esa recta es
Otra ecuación de esta recta es
Una recta no vertical corta al eje . Si es el punto de corte y es la pendiente, una ecuación de la recta es
esto es
Esta es la forma pendiente- intersección de la ecuación de la recta.
Ejemplo 4.8.
1. La pendiente de la recta que tiene ecuación es . La recta
intersecta al eje en el punto .
2. La ecuación de una recta vertical es donde es la abscisa de cada uno de los puntos de la recta.
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Cualquiera sea la forma de la ecuación de la recta, es equivalente a una ecuación
donde y son constantes y y no son simultáneamente
iguales a .
Recíprocamente, la gráfica de una ecuación de esta forma es una recta. En
efecto, si y , la ecuación es cuya gráfica es una recta
vertical. Si la ecuación puede llevarse a la forma cuya
gráfica es una recta no vertical. Si, además, la recta tampoco es horizontal.
La ecuación lineal y no simultáneamente nulos, es la ecuación general de la recta.
__
Representación Gráfica
Rectas Paralelas
Funciones Lineales
Funciones Cuadráticas
Lección 4.6. Rectas Paralelas y Rectas Perpendiculares
La posición relativa de dos rectas en el plano cartesiano puede expresarse mediante las pendientes. Así tenemos que dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.
Teorema 4.6.1. Dos rectas de pendientes y son perpendiculares si y solo si
. Cualquier recta vertical es perpendicular a cualquier recta horizontal.
Demostración. Consideremos dos rectas que se cortan en un punto. Como cada una de
ellas es paralela a una recta que pasa por el origen , basta considerar el caso en que el
punto de corte coincide con .
Sean y las ecuaciones de las rectas. Sean además y reales
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diferentes de . El punto pertenece a la primera recta y el punto
pertenece a la segunda.
es un ángulo recto si y solo si
esto es
Puesto que , esto equivale a
Ejemplo 4.9.
1. La recta que pasa por los puntos y tiene pendiente
Su ecuación es
esto es
la recta paralela a ella que pasa por el punto tiene ecuación
esto es,
y la recta que es perpendicular a las anteriores y pasa por el punto tiene
pendiente y ecuación
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es decir,
2. Sean y . La mediatriz del segmento es la recta perpendicular a él, que pasa por su punto medio. Veamos su ecuación.
Supongamos la pendiente del segmento es y su
punto medio es . Entonces la ecuación de la mediatriz es
Una recta vertical tiene ecuación donde es una constante y no representa una función.
__
Funciones Lineales
Funciones Cuadráticas
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