Carmen Rosa Sánchez TejadaIE. MIGUEL CORTES

ANGULOSTEORIA

PROLEMAS RESUELTOS Y PROPUESTOS

β αO

A

B

ANGULO.- Es la abertura formado por dos rayos divergentes que tienen un extremo común que se denomina

.vértice

:ELEMENTOS DE UN ANGULO

α 0º < α < 180º

0º < β < 90ºβ

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU MEDIDA

) a ÁNGULO CONVEXO

.1) a ÁNGULO AGUDO

θ = 90º

α 90º < α < 180º

θ

.2) a ÁNGULO RECTO

.3) a ÁNGULO OBTUSO

α + β = 90º

θ + δ = 180º

δθ

αβ

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU SUMA

) a ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

) b ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

α β δ εφ

α α

CLASIFICACIÓN SEGÚN SU POSICIÓN

) a ÁNGULOS ADYACENTES ) b ÁNGULOS CONSECUTIVOS

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Son congruentes

Puede formar más ángulos Un lado común

01. :Ángulos alternos internos m ∠3 = m ∠5; m ∠4 = m ∠6

02. :Ángulos alternos externos m ∠1 = m ∠7; m ∠2 = m ∠8

03. :Ángulos conjugados internos m ∠3+ m ∠6= m ∠4+ m ∠5=180°

04. :Ángulos conjugados externos m ∠1+ m ∠8= m ∠2+ m ∠7=180°

05. :Ángulos correspondientes m ∠1 = m ∠5; m ∠4 = m ∠8 m ∠2 = m ∠6; m ∠3 = m ∠7

ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS Y UNA RECTA SECANTE

1 2

34

5 6

78

α + β + θ = x + y

α

β

θ

x

y

01.-Ángulos que se forman por una línea poligonal entre dos rectas paralelas.

PROPIEDADES DE LOS ANGULOS

α

β

θ

δ

ε

α + β + θ + δ + ε = 180°

02.- ÁNGULOS ENTRE DOS RECTAS PARALELAS

α + β = 180°

α β

03.- ÁNGULOS DE LADOS PERPENDICULARES

El complemento de la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo “X” es igual al

. duplo del complemento del ángulo “X” Calcule la .medida del ángulo “X”

90 - { ( ) - ( ) } = ( )180 - ° X 90 - ° X 90 - ° X2

90° - { 180° - X - 90° + X } = 180° - 2X

90° - 90° = 180° - 2X

2X = 180° X = 90°

RESOLUCIÓN

Problema Nº 01

La estructura según el enunciado:

Desarrollando se obtiene:

Luego se reduce a:

80 La suma de las medidas de dos ángulos es ° y el complemento del primer ángulo es el doble de la medida

. del segundo ángulo Calcule la diferencia de las medidas .de dichos ángulos

: Sean los ángulos α y βα + β = 80 °:Dato β = 80 - ° α ( 1 )

( 90 - ° α ) = 2β ( 2 )

(1) (2):Reemplazando en

( 90 - ° α ) = 2 ( 80 - ° α )

90 - ° α = 160 -2° α

β = 10°

α = 70°

α - β = 70 -10° °

= 60°

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

:Dato

Diferencia de las medidas

Resolviendo

130 La suma de sus complementos de dos ángulos es ° y la diferencia de sus suplementos de los mismos ángulos 10 . .es ° Calcule la medida dichos ángulos

: Sean los ángulos α y β

( 90° - α ) ( 90° - β ) = 130°+β + α = 50° ( 1 )

( 180° - α ) ( 180° - β ) = 10°-β - α = 10° ( 2 )

: (1) (2)Resolviendo y

β + α = 50° β - α = 10°

(+)

2β = 60°

β = 30°

α = 20°

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

Del enunciado:

Del enunciado:

( < ), Se tienen ángulos adyacentes AOB y BOC AOB BOC ; se traza la bisectriz OM del ángulo AOC si los ángulos

60 20 . BOC y BOM miden ° y ° respectivamente Calcule .la medida del ángulo AOB

A B

O C

M

αα

60°

20°X

:De la figura

α = 60° - 20°

:Luego

= 40 - 20X ° °

α = 40°

= 20X °

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

La diferencia de las medidas de dos ángulos adyacentes 30 . AOB y BOC es ° Calcule la medida del ángulo formado

.por la bisectriz del ángulo AOC con el lado OB

A

O

B

C

θ

θX

(θ- )X

( θ + )X (θ - )X = 30º

2 =30X º

= 15X °

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

M

Construcción de la gráfica según el enunciado

:Del enunciado

- = 30AOB OBC °

-

Luego se reemplaza por lo queSe observa en la gráfica

, Se tiene los ángulos consecutivos AOB BOC y COD tal que la m∠ = AOC m∠ = 90 . BOD ° Calcule la medida del

ángulo formado por las bisectrices de los ángulos AOB y.COD

A

C

B

D

M

N

αα

ββ

θX

:De la figura

2α + θ = 90°θ + 2β = 90°

( + )

2α + 2θ + 2β = 180°α + θ + β = 90°

= X α + θ + β

= 90X °

Problema Nº 06

RESOLUCIÓNConstrucción de la gráfica según el enunciado

// . Si m n Calcule la medida del ángulo “X”

80°

30°

αα

θθ

X

m

n

Problema Nº 07

2α + 2θ = 80 + 30° °

Por la propiedad

Propiedad del cuadriláterocóncavo

α + θ = 55° (1)

80 = ° α + θ + X (2) (1) (2)Reemplazando en

80 = 55 + ° ° X

= 25X °

80°

30°

αα

θθ

X

m

n

RESOLUCIÓN

// . Si m n Calcular la medida del ángulo “X”

5α

4α 65°

X

m

n

Problema Nº 08

5α

4α 65°

X

m

n

:Por la propiedad

4α + 5α = 90°

α = 10°

Ángulo exterior del triángulo

40° 65°

= 40 + 65X ° °

= 105X °

RESOLUCIÓN

// . Si m n Calcule la medida del ángulo ”X”

α

2α

x

m

n

θ

2θ

Problema Nº 01

3α + 3θ = 180°

α + θ = 60°

Ángulos entre líneas poligonales

= X α + θ = 60X °

RESOLUCIÓN

α

2α

x

m

n

θ

2θ

x

Ángulos conjugados internos

01.-PROBLEMA Si L1 // L2 . Calcule la m ∠ x

) 10 ) 20 ) 30 ) 40 ) 50A ° B ° C ° D ° E °

x

αα

ββ

4x

3x L1

L2

m

n

30°

X

02.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x

) 18 ) 20 ) 30 ) 36 ) 48A ° B ° C ° D ° E °

03.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ α

) 15 ) 22 ) 27 ) 38 ) 45A ° B ° C ° D ° E °

3α

3α3α

α

m

n

04.-PROBLEMA // . Si m n Calcule el valor de “x”

) 10 ) 15 ) 20 ) 25 ) 30A ° B ° C ° D ° E °

40°

95°

αα

2x

m

n

05.-PROBLEMA Calcule la m ∠ x

) 99 ) 100 ) 105 ) 110 ) 120A ° B ° C ° D ° E °

3α

6α

x

α4θ

4αθ

Xm

n

06.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x

) 22 ) 28 ) 30 ) 36 ) 60A ° B ° C ° D ° E °

) 24 ) 25 ) 32 ) 35 ) 45A ° B ° C ° D ° E °

07.-PROBLEMA . Si Calcule la m ∠ x

88°

24°

x

αα

θθ

m

n

08.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x

20°

30°

X

m

n

) 50 ) 60 ) 70 ) 80 ) 30A ° B ° C ° D ° E °

09.-PROBLEMA // Si m n y θ- α = 80 . ° Calcule la m∠ x

) 60 ) 65 ) 70 ) 75 ) 80A ° B ° C ° D ° E °

θθ

x

αα

m

n

10.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x

) 20 ) 30 ) 40 ) 50 ) 60A ° B ° C ° D ° E °

x

x

x

m

n

11.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ α

) 46 ) 48 ) 50 ) 55 ) 60A ° B ° C ° D ° E °

180°-2α

α

2αm

n

12.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x

) 30 ) 36 ) 40 ) 45 ) 50A ° B ° C ° D ° E °

αα

θθ

x

80°

m

n

13.-PROBLEMA // . Si m n Calcule la m ∠ x

) 30 ) 40 ) 50 ) 60 ) 70A ° B ° C ° D ° E °

80°

αα

β β

m

n

x

REPUESTAS DE LOS PROBLEMAS PROPUESTOS

1. 20º 8. 50º

2. 30º 9. 80º

3. 45º 10. 30º

4. 10º 11. 60º

5. 120º 12. 40º

6. 36º 13. 50º

7. 32º