IGUALDAD DE ANGULOSPara determinar si dos triángulos son semejantes es necesario verificar cuando dos angulos son iguales

Angulos cuyos lados son paralelos

Entonces:

“Dos ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos son iguales”

“Dos ángulos cuyos lados son respectivamente paralelos, dos de ellos en el mismo sentido y los otros dos en sentidos contrarios, son suplementarios, o sea que su suma es 180°”

Ángulos cuyos lados son perpendiculares

“Dos ángulos cuyos lados son respectivamente perpendiculares son iguales”

“Dos ángulos, uno agudo y el otro obtuso, que tienen sus lados respectivamente perpendiculares son suplementarios”

SEMENJANZA DE TRIANGULOS

“Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente iguales”

Ejemplos:

Entonces los triángulos son semejantes, en símbolos:

Entonces los triángulos ABC Y DEF son semejantes

Lados Homólogos

Son los lados que se oponen a dos ángulos iguales.

Ejemplo:

Lados respectivamente paralelos

Con los homólogos se pueden establecer una proporción (igualdad de dos razones).

Note que son los lados de un mismo triangulo (los numeradores de las

fracciones) y que son los lados del otro triangulo (los denominadores de las fracciones).

Ejemplo:

CALCULE

Solución.

Teoría de Pitágoras

Aplicaremos la semejanza de triángulos para tratar de deducir el teorema de Pitágoras.

Se tiene el siguiente triángulo rectángulo

Al trazar la altura desde el vértice A se forman los triángulos ADC y ADB, así:

a) RELACION ENTRE LOS TRIÁNGULOS

Para determinar los lados homólogos se dibujan los triángulos por separado, así:

12 1

b) RELACION ENTRE LOS TRIANGULOS

Dibujando por separado los triángulos para identificar los lados homólogos.

2

Sumando 1 y 2

“El cuadrado de un cateto mas el cuadrado del otro cateto es igual cuadrado de la

hipotenusa ”.

En símbolos:

Ejemplo: En el triángulo siguiente calcule el valor del lado indicado:

Ejemplo: Calcule el área

VOLUMEN DE UN CUERPO

Se le llama volumen de un cuerpo a la medida del espacio limitado por el cuerpo. Se tratará de deducir las fórmulas para el volumen de una caja, cilindro circular recto y un cono. Para medir el volumen se toma como unidad de medida un cubo de un metro de arista.

Para algunos cuerpos el metro cúbico resultará muy pequeño o muy grande por lo tanto se tiene el centímetro cúbico, el milímetro cúbico, etc.

Ejemplo: Calcule el volumen

Cada bloque (cubo) es de

Solucion

Se observa que hay 30 bloques (cubos de de volumen). Por lo tanto:

Área de la base

Área de la altura

En general

Cada bloque cubo es de

Solucion

Se observa que hay 24 bloques

Área de la base

encabezado

Ejercicio: Calcule el volumen de la siguiente caja:

Solucion:

Fórmula para calcular el volumen de una caja (orto-edro o paralelepípedo recto rectangular o prisma).

Volumen de un cilindro circular recto

Al aumentar el numero de lados del poliedro (prisma) rectangular inscrito en el cilindro circular recto se tiene que el area de la base del cilindro circular recto.

Ejemplo: Calcule el volumen del siguiente cilindró que tiene 2m de radio y 5m de altura.

Solución:

Volumen del cono

Se tiene un cilindro circular recto (hueco) de radio r y altura h, sin tapa; y un cono hueco de radio r y altura h, sin tapa (o sea, que el cilindro y el cono tienen igual radio e igual altura). Se realiza la siguiente experiencia: Se llena de agua el cono y luego se hecha en el cilindro. Se vuelve a llenar con agua el cono y se vuelve a echar el agua en el cilindro, y se repite una vez más. Se observa que el cilindro está completamente lleno de agua. Por lo tanto: