teorema de noether - aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · rotacion es...
TRANSCRIPT
![Page 1: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/1.jpg)
TEOREMA DE NOETHER
GRUPOS DE LIE y SIMETRÍAS EN FÍSICA
![Page 2: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/2.jpg)
¿Qué haremos hoy?
![Page 3: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/3.jpg)
¿Qué haremos hoy?
Entender una frase
![Page 4: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/4.jpg)
Una teoría invariante bajo la acción del grupo SO(3) conserva el momento angular
Ésta:
![Page 5: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/5.jpg)
CONTENIDO
o Aproximación de Funciones o Rotaciones o Grupo de Lie o Formulación Lagrangiana de la Física o Teorema de Noether o Conclusión
![Page 6: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/6.jpg)
Aproximación de Funciones
![Page 7: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/7.jpg)
Aproximación de Funciones
xx
fxdf
dx
![Page 8: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/8.jpg)
Aproximación de Funciones
xx
fxdf
dx
![Page 9: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/9.jpg)
Aproximación de Funciones
xx
fxdf
dx
x
2 0
![Page 10: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/10.jpg)
Aproximación de Funciones
xx x
fxdf
dx
2 0
![Page 11: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/11.jpg)
Aproximación de Funciones
xx x
fxdf
dx
fx fx df
dx
2 0
![Page 12: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/12.jpg)
Aproximación de Funciones
x
f2 6
f2.01 6 0.01 3
df2dx
3
Ejemplo
x 2.01x 2
![Page 13: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/13.jpg)
Aproximación de Funciones
x1
fx1,x2
x2
Función de 2 variables
![Page 14: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/14.jpg)
Aproximación de Funciones
x1
fx1,x2
x2
x1 1
x2 2
Función de 2 variables
![Page 15: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/15.jpg)
Aproximación de Funciones
x1
fx1,x2fx1 1,x2 2 fx1,x2 1
f
x1 2
f
x2
x2
x1 1
x2 2
Función de 2 variables
![Page 16: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/16.jpg)
Rotaciones
![Page 17: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/17.jpg)
Rotación en el plano
x1
x2
![Page 18: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/18.jpg)
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
![Page 19: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/19.jpg)
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
x
x
![Page 20: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/20.jpg)
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
x 12 x 2
2
x 1
2 x 2
2
x
x
![Page 21: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/21.jpg)
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
x 12 x 2
2
x 1
2 x 2
2
x1 2 x2
2x1
2 x22
x
x
![Page 22: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/22.jpg)
Rotación en el plano
x1
x2
x1
x2
x 12 x 2
2
x 1
2 x 2
2
x1 2 x2
2x1
2 x22
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
![Page 23: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/23.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
![Page 24: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/24.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
![Page 25: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/25.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x y
![Page 26: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/26.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y x y
x y
![Page 27: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/27.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y
x y
![Page 28: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/28.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y
x y
x y
![Page 29: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/29.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y
x y
![Page 30: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/30.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x y
![Page 31: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/31.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x
y
x y
![Page 32: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/32.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x y
![Page 33: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/33.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x
y
x y
x y
![Page 34: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/34.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y
x y
![Page 35: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/35.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y x y
x y x y
![Page 36: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/36.jpg)
Rotación en el plano
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x
x
ROTACION es lineal?
x y x y
como es lineal existe una
matriz R que implementa la rotación
x y x y
![Page 37: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/37.jpg)
Rotación en el plano
pero ¿qué matriz?
![Page 38: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/38.jpg)
Rotación en el plano
Sabemos que
x12 x2
2 x1 2 x2
2
![Page 39: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/39.jpg)
Rotación en el plano
Sabemos que
x12 x2
2 x1 2 x2
2
x x
![Page 40: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/40.jpg)
Rotación en el plano
Notación y cálculos sencillos
x x1
x2
xT x1 x2
xTx x1 x2
x1
x2
x2 x12 x2
2 x1 2 x2
2 xT
x
Invariante
xTx xTx
![Page 41: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/41.jpg)
xTx x
Tx xT x
Rotación en el plano
Descubriendo a R
xTx xTx
R rota a x y lo convierte en x’
detR 1
SO2 R / RTR I ; detR 1
x x
![Page 42: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/42.jpg)
Grupo de Lie
![Page 43: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/43.jpg)
Definición de Grupo
G, = Conjunto G dotado de una operación interna
Asociativa
Existencia de un único elemento neutro
Existencia de un único elemento inverso para cada g
![Page 44: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/44.jpg)
Conjunto contínuo
SO2 R / RTR I ; detR 1
Parametrización de los elementos de SO(2):
Multiplicación de los elementos de SO(2):
¿SO(2) con la multiplicación de matrices forma un grupo?
R
R2R1 R12
![Page 45: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/45.jpg)
SO(2) es un grupo de Lie
SO2 R / RTR I ; detR 1
Asociativa
Existencia de un único elemento neutro
Existencia de un único elemento inverso
SO(2) es un grupo continuo (o de LIE) porque cumple:
R3R2R1 R3 R2R1
R0 I
RR I
R0
R
![Page 46: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/46.jpg)
![Page 47: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/47.jpg)
RRotación infinitesimal 2 0
![Page 48: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/48.jpg)
R
2 0
RR R3
![Page 49: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/49.jpg)
R
2 0
RR R3
R
![Page 50: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/50.jpg)
2 0
R 3R
3R
3 R
![Page 51: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/51.jpg)
2 0
R 3
3 R
![Page 52: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/52.jpg)
2 0
R N
N R
![Page 53: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/53.jpg)
2 0R N
N R
Aproximación cuando N es número muy grande
R N I
NG
Recordatorio
R0 I dR0
d
![Page 54: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/54.jpg)
2 0R N
N R
Aproximación cuando N es número muy grande
R N I
NG
R0 I dR0
d
R I N
GN
![Page 55: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/55.jpg)
R I N
GN
N
R eG
![Page 56: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/56.jpg)
Ejemplo para verlo fácil
1 25000
5000 7. 3861
e2 7. 3891
![Page 57: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/57.jpg)
R eG
Qué es G?
Se ha de cumplir
RT R I
![Page 58: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/58.jpg)
RT R I
I GTI G I
I G GT 2GTG I
G GT 0
G GT
G 0 1
1 0
Antisimétrica
Generador
![Page 59: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/59.jpg)
Y otra cosa más
e2 1 2 12!
22 13!
23 14!
24 . . .
Por lo que
I G 12!2G2 1
3!3G3 1
4!4G4 . . .eG
R eG cos sin
sin cos
![Page 60: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/60.jpg)
Formulación Lagrangiana de la Física
![Page 61: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/61.jpg)
Formulación Lagrangiana de la Física
T V
x
ddt
v
Lagrangiano
Ecuaciones de Euler-Lagrange
![Page 62: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/62.jpg)
Formulación Lagrangiana de la Física
A
B
Trayectoria correcta?
![Page 63: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/63.jpg)
Formulación Lagrangiana de la Física
A
B
Aquella que minimice:
![Page 64: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/64.jpg)
Teorema de Noether
![Page 65: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/65.jpg)
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
![Page 66: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/66.jpg)
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
![Page 67: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/67.jpg)
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
![Page 68: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/68.jpg)
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
![Page 69: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/69.jpg)
Teorema de Noether
Definición de simetría contínua
![Page 70: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/70.jpg)
Teorema de Noether
TEOREMA DE NOETHER
Si el Lagrangiano es invariante bajo una simetría contínua, entonces existe una ley de conservación asociada:
Q v
T
G x constante
GENERADOR de la SIMETRÍA
![Page 71: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/71.jpg)
Teorema de Noether
Qué significa todo esto? Ejemplo
12
mv12 v2
2 k2x1
2 x22
x1
x2
k
m
![Page 72: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/72.jpg)
Teorema de Noether
12
mv12 v2
2 k2x1
2 x22
x1
x2
k
m
Q v
TGx constante
v
v1
v2
mv1
mv2
Q mv1 mv2
0 1
1 0
x1
x2
![Page 73: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/73.jpg)
Teorema de Noether
12
mv12 v2
2 k2x1
2 x22
x1
x2
k
m
Q v
TGx constante
v
v1
v2
mv1
mv2
Q x1mv2 x2mv1 L3 constante
La tercera componente del momento angular se conserva en el tiempo!
![Page 74: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/74.jpg)
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB
12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
Suposición
La fuerza solo depende de la distancia entre los cuerpos
![Page 75: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/75.jpg)
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB
12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
es invariante bajo rotaciones (invariante SO(3))
![Page 76: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/76.jpg)
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB
12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
G
0 n3 n2
n3 0 n1
n2 n1 0
![Page 77: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/77.jpg)
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB 12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
Cálculos
vA
mAvA1
mAvA2
mAvA3
vB
mBvB1
mBvB2
mBvB3
Q mAvA1 mAvA2 mAvA3
0 n3 n2
n3 0 n1
n2 n1 0
xA1
xA2
xA3
mBvB1 mBvB2 mBvB3
0 n3 n2
n3 0 n1
n2 n1 0
xB1
xB2
xB3
![Page 78: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/78.jpg)
Teorema de Noether
Ejemplo 2
r
mA
mB 12
mAvA2 1
2mBvB
2 Vr
Simplificando
Q n1LA1 LB1 n2LA2 LB2 n3LA3 LB3
Ltotal constante
Ley de Conservación
![Page 79: TEOREMA DE NOETHER - Aula 141aula141.cat/wp-content/uploads/2017/10/grups.pdf · ROTACION es lineal? x y U xU yU como es lineal existe una matriz R ... Ecuaciones de Euler-Lagrange](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022021906/5bb5fece09d3f2f2678d8396/html5/thumbnails/79.jpg)
Conclusiones
Conocer el generador de una simetría contínua del define la magnitud que se conserva. Para determinar el generador nos basta con hacer una transformación infinitesimal Las simetrías de una teoría nos permiten conocer de antemano qué están prohibidos. Los Grupos de Lie son una herramienta muy poderosa