APENDICE I: Tensores CartesianosVeamos algunos conceptos aclaratorios sobre esta nueva magnitud Recordemos que desde el punto de vista matemtico, especficamente del lgebra lineal, el tensor es una transformacin lineal Es decir, el tensor es una transformacin lineal que a cada vector asigna un nico vector cumpliendo con las operaciones lineales:yDesde el punto de vista ingenieril el tensor es un ente que describe un fenmeno fsico y resulta ser independiente del sistema de coordenadas, por lo que constituye una magnitud.El tensor no se altera si el sistema de referencia en el cual se defini se modifica.Las magnitudes tensoriales tienen tantas componentes como 3n , donde n se denomina orden del tensor. Si n = 0, tiene una nica componente y el tensor representar un escalar. Si n = 1, tiene 3 componentes y el tensor es un vector. Si n = 2, el tensor se denomina de orden dos y posee nueve componentes.A I.1 Transformacin por Rotacin de Ejes Toda magnitud tensorial de orden 2 permite pasar por giro de ejes coordenados (TRANSFORMACINES ORTOGONALES DE COORDENADAS, ALGEBRA LINEAL) a sus nuevas componentes mediante expresiones de transformacin del tipo:T = R T RT : (A.1)Donde los c s resultan ser los cosenos directores entre los ejes girados y los originales. La expresin A1 est escrita en la as llamada notacin de Einstein, donde se entiende que los subndices que se repiten suman, permaneciendo fijos los que no varan; as por ejemplo:Matricialmente, t13 representa el valor de la componente ubicada en la fila 1 y columna 3 del tensor que cuando se lo refera al sistema tena como expresin:

grficamente:

As como un vector de tres componentes (tensor de orden 1) es invariante respecto del sistema de coordenadas (slo varan sus componentes al referirlo a uno u otro), el tensor de orden 2 tambin lo es.Por estar representado por una matriz (como toda transformacin lineal), el tensor de orden 2 goza de todas las propiedades vistas en clculo matricial (lgebra lineal), entre ellas:La suma de las componentes principales (traza) es un invariante: Retornemos ahora a la expresin (15). Se tiene que el tensor de inercia del sistema 01 es: AI. 2: SimetraEs muy fcil demostrar que este tensor de inercia es simtrico, por cuanto: y con lo que en general: Iij = Iji (i,j = 1, 2, 3)Luego, en la aplicacin de la (16) para el caso concreto del tensor de inercia, respecto a ejes rotados, ser:a) Para un elemento con subndice iguales (momentos de inercia)b) Para un elemento con subndices desiguales (momento centrfugo)Notar que el momento de inercia es la componente del tensor, pero el momento centrfugo (o producto de inercia) es la componente del tensor con signo cambiado.AI.3 Transformacin por traslacin de ejesCon respecto a las propiedades de las componentes del tensor de inercia, conviene recordar una muy importante: el Teorema de Steiner. Segn este teorema, se tiene; para una traslacin de ejesyDonde: (x, y, z) son ejes paralelos a (xG, yG, zG) (xG, yG, zG) son ejes paralelos a x, y, z pasantes por el centro de gravedad G. dx, dy, dz son las distancias entre los ejes xG, yG, zG y los x, y , z, respectivamente masa del sistema

As tambin:AI.4. Elipsoide de InerciaPara examinar el efecto de la orientacin de los ejes sobre las propiedades inerciales para un origen 0 dado de coordenadas, consideremos el momento de inercia I11 de un cuerpo rgido respecto a una recta r) cualquiera que pase por el origen 0. Los cosenos directores de r), sern c11, c12, c13 y el versor director de r) puede escribirse:Tambin supondremos conocidos todos los momentos de segundo orden del cuerpo con respecto al sistema o base Esto es, conocemos el tensor de InerciaTomemos la recta r) como eje de un nuevo sistema de coordenadas y calculemos el momento de inercia del cuerpo respecto de este nuevo eje.De acuerdo a la frmula de transformacin tendremos:

= (A.2)Esta expresin da el momento de inercia respecto a un eje cualquiera en funcin de los mementos de inercia respecto a las direcciones coordenadas originales y de los productos de inercia (o momentos centrfugos) repecto a los pares de planos coordenados.Si se tiene sobre r) un punto R situado a una distancia de 0 (con el fin de establecer de una manera grfica la ley de variacin de I11 se toma ) y teniendo en cuenta que: cos 11 = c11 = y tambin queentonces:reemplazamdo en (41); o sea multiplicando ambos miembros por (A.3)Esta expresin es la de una superficie cudrica centrada en 0, llamada elipsoide (para un cuerpo rgido finito no puede existir ninguna orientacin para la cual I11 sea nulo y rR finito).Tambin se denomina a esta superficie elipsoide de inercia relativo al punto 0 del cuerpo rgido dado. La geometra del elipsoide define por completo las propiedades inerciales del cuerpo respecto de 0, es decir: representa grficamente el tensor de inercia en 0. En general, a cada punto del cuerpo ir asociado un elipsoide diferente.En otras palabras, los Iij son constantes, pero a medida que r) va girando alrededor de 0 las coordenadas de R deben satisfacer la A3 (Fig. A2).El elipsoide (de inercia en nuestrocaso) tiene 3 ejes de simetra: siempre ser posible orientar las direcciones coordenadas de manera que coincidan con dichos ejes (Fig. A3) obtenindose la ecuacin cannica.Los momentos de inercia respecto a estos ejes reciben el nombre de momentos principales de Inecia y a los ejes se les llama ejes principales de inercia. Para esta orientacin de los ejes se anulan los productos de inercia y la ecuacin cudrica (A2) se convierte en:(A.4)

Como la ecuacin cannica de un elipsoide (Geom. analtica) es:y: a, b, c, representan los semiejes del mismo, en la A.4 tendremosLuego, los semiejes del elipsoide de inercia estn dados por:Siendo nulos los momentos centrfugos para esta direccin de los ejes, el tensor de inercia toma la formay se dice que est diagonalizado. De la definicin de ai y de la Fig. A.3. se observa que el momento de inercia es mximo respecto al eje para el cual a es mnimo. En cuanto a la forma del elipsoide, si el cuerpoes una esfera o un cubo p ej. el elipsoide ser una esfera. A medida que el cuerpose alarga o se acorta, tambin lo hace el elipsoide. A medida que nos alejamos del baricentro el semieje disminuye (Por Steiner) pues aumenta el momento de inercia.

Si una figura tiene un eje de simetra, el elipsoide de inercia es de revolucin.AI.5. Momentos y Productos de Inercia de Slidos HomogeneosEsfera

Hemisferio

Cilindro

Bloque rectangular

Placa rectangular delgada

Barra delgada

Disco circular delgado

Anillo delgado

Cono

Semicilindro