02.- vectores cartesianos
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Vectores Cartesianos
ESTÁTICA
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
Un vector esta definido por la suma de componentes en los respectivos ejes x, y, z
y se conocen como vectores cartesianos.
El vector también puede escribirse como una magnitud y una dirección dada por su
vector unitario.
x zya aa a ji k
x
y
z
ya
za
xa
a
k
ij
ˆaa a uˆ
au
Vector cartesiano.
Vector, Magnitud y dirección.
Vector Unitario
ESTÁTICA
Un vector unitario tiene una magnitud igual a la unidad |u|=1, está definido como el
vector dividido entre su propia magnitud, éste vector apunta en la misma dirección
que su vector original.
Donde:
Por lo tanto las componentes del vector unitario son:
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
ˆau
a
a
ˆ y zxa
aa
a a a a
au
a
i j k
2 2 2
x y za a a a
ˆau a
a
ˆ 1au
Determine la magnitud de los siguientes vectores de fuerza y determine su
dirección calculando su vector unitario.
Ejemplos
ESTÁTICA
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
1 40 20 30F i j k
2 20 30 10F i j k
dfw
Dirección de un vector cartesiano.
ESTÁTICA
La dirección de un vector 3D también puede expresarse en términos de los
ángulos coordenados de dirección los cuales varían entre 0 y 180°.
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
Es el ángulo que va desde el eje x(+)
hasta el vector.
Es el ángulo que va desde el eje y(+)
hasta el vector.
Es el ángulo que va desde el eje z(+)
hasta el vector
x
y
z
a
Cosenos Directores.
ESTÁTICA
Para determinar considere las proyecciones del vector a sobre los ejes
x, y, z.
Cada proyección se calcula con el coseno del ángulo, por lo tanto tenemos:
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
Cosenos Directores
swf
cos xa
a
cosya
a
cos za
a
x
y
z
a
Vector unitario y los cosenos directores.
ESTÁTICA
Recordando la definición de vector unitario, podemos sustituir los cosenos de los
ángulos
Por lo tanto podemos escribir el vector unitario término de los cosenos
directores.
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
ˆ yx za
aa
a a
au
a
a a
i j k
ˆ cos cos cosau i j k
cos xa
a cos za
a cos
ya
a
Ejemplos
ESTÁTICA
Determine los ángulos coordenados de dirección, y el vector unitario en
término de los cosenos directores, de los siguientes vectores.
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
1 40 20 30F i j k
2 20 30 10F i j k
Identidad trigonométrica de los cosenos directores
ESTÁTICA
Partiendo de la definición del vector unitario ua en término de los cosenos
directores, podemos obtener una relación trigonométrica útil para encontrar un
ángulo coordenado desconocido.
Recordando que la magnitud de un vector unitario es uno…
Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación tenemos
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
2 22ˆ cos cos co 1sau
2 2 2cos cos o 1c s
ˆ cos cos cosau ji k
Ejemplo 1
ESTÁTICA
Exprese la fuerza F como vector cartesiano
y en término de los vectores unitarios i j k 100i +100j +141.4k
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
Ejemplo 2
ESTÁTICA
Determine la magnitud y los ángulos
coordenados de dirección de la fuerza
resultante que actúa en el anillo FR= 191lb; =74.8°; =102°; =19.6°
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
Ejemplo 3
ESTÁTICA
Determine la magnitud y los ángulos
directores de la fuerza resultante FR que
actúa sobre el anillo, si F1= {60j +80k}lb
y F2= {50i -100j +100k}lb. FR=191lb; =74.8°; =102°; =19.6°
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
y-z
x
y
zRF
2F 1F
x-y
x-z
Ejemplo 4
ESTÁTICA
Exprese la fuerza F como un vector cartesiano F= 35.4i – 35.4j + 86.6k
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
Ejemplo 5
ESTÁTICA
Exprese la fuerza F1 y F2 mostrada en la
figura como vectores cartesianos en
términos de los vectores unitarios i, j, k.
y los ángulos directores. F1= 35.4i – 35.4j + 86.6k; F2= 106i + 184j – 212k
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.
4545
30
y
z1 100lbF
2F 300lb
x
60
z
xy
z 100
60
100cos60
45yx
100cos60
x
Ejemplo 6
ESTÁTICA
Dos fuerzas actúan sobre el gancho, Especifique los
ángulos directores de F2 de modo que la fuerza
resultante FR actúe a lo largo del eje “y” positivo
y tenga una magnitud de 800lb =108°; =21.8°; =77.6°
M. en C. Emmanuel Ortega Martínez.