UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

DEPARTAMENTO ACADÉMICO DE TOPOGRAFÍA Y VÍAS DE TRANSPORTE

ÍNDICE

PÁGINA

CONCEPTO DE ASTRONOMÍA 2

RAMAS DE LA ASTRONOMÍA 2

HISTORIA DE LA ASTRONOMÍA 7

LA ESFERA CELESTE 11

SISTEMAS DE COORDENADAS ASTRONÓMICAS 15

EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN

6º Clase Teórica: “El Elipsoide de Revolución” 1

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En general, es más práctico trabajar la forma de la Tierra como si fuera un elipsoide, sin considerar las ondulaciones propias de la topografía. Esto se debe a que el elipsoide es una figura matemática fácil de usar que es lo suficientemente parecida a la forma de la Tierra cuando se están trabajando las coordenadas en el plano: Latitud y Longitud.

Existen diferentes modelos de elipsoides utilizados en geodesia, denominados elipsoides de referencia. Las diferencias entre éstos vienen dadas por los valores asignados a sus parámetros más importantes:

Semieje ecuatorial (a) o Semieje mayor: Longitud del semieje correspondiente al ecuador, desde el centro de masas de la Tierra hasta la superficie terrestre.

Semieje polar (b) o Semieje menor: Longitud del semieje desde el centro de masas de la Tierra hasta uno de los polos. Alrededor de este eje se realiza la rotación de la elipse base. La relación entre el eje ecuatorial y el polar se presenta en la figura 2.7.

Figura 2.7: Ejes de un elipsoide de revolución

Es habitual describir matemáticamente a una elipse como esta mediante la ecuación 2.2.

X2/a2 + y2/b2 = 1 (2.2)

Factor de achatamiento (f): Este factor representa qué tan diferentes son los semiejes entre sí. Su expresión es:

f = 1 – b/a (2.3)

Note que mientras más cerca de cero se encuentre f, más parecido a una esfera es el elipsoide. Por lo general el factor f es muy pequeño, por lo que se acostumbra proporcionar 1/f. Por la misma razón a veces, y para cálculos simples, se utiliza una esfera en vez de un elipsoide. Una manera equivalente de indicar f es mediante la excentricidad  de la elipse transversal:

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e2 = 1 – b2/a2 (2.4)

Que es equivalente a:

(2.5)

Los valores de estos parámetros para algunos elipsoides de referencia importantes se presentan en la tabla 2.1 :

Tabla 2.1: Parámetros de elipsoides de referencia

Nombre a(m) b(m) 1/f

Australian National 6378160.000 6356774.719 298.250000

Bessel 1841 6377397.155 6356078.963 299.152813

Clarke 1866 6378206.400 6356583.800 294.978698

Clarke 1880 6378249.145 6356514.870 293.465000

Everest 1956 6377301.243 6356100.228 300.801700

Fischer 1968 6378150.000 6356768.337 298.300000

GRS 1980 6378137.000 6356752.314 298.257222

International 1924 (Hayford) 6378388.000 6356911.946 297.000000

SGS 85 6378136.000 6356751.302 298.257000

South American 1969 6378160.000 6356774.719 298.250000

WGS 72 6378135.000 6356750.520 298.260000

WGS 84 6378137.000 6356752.314 298.257224

Uno de los elipsoides de referencia más utilizados actualmente es el descrito en el sistema denominado World Geodetic System 84  (WGS-84), desarrollado por el Departamento de Defensa de los EEUU, y que tiene como origen el centro de masas de la Tierra. Su popularidad se debe a que es el utilizado por el sistema de posicionamiento global por satélite GPS. El elipsoide WGS-84 define los parámetros para la Tierra indicados en la tabla 2.2

Tabla 2.2: Parámetros de la Tierra según WGS-84

Nombre Símbolo Valor

Semieje mayor de la elipse a 6378,137000 km

Semieje menor de la elipse b 6356,752314 km

Factor de achatamiento f = (a-b)/a 1/298,257223563

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Velocidad angular de la Tierra we 7292115 . rad/s

Un elipsoide de revolución es la superficie generada por una elipse que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. A veces se le da el nombre de esferoide.

En la figura se presenta el caso de la elipse de ecuación

En el sistema de coordenadas

, cuyos ejes de simetría son los del sistema,

. Si se gira alrededor del eje de las abscisas, se obtiene la superficie esbozada en rojo. La tercera coordenada, z, tiene en este caso el mismo papel que y, luego aparece en la misma forma en la ecuación del elipsoide:

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y, como y, z varía entre -2 y 2.

Si se gira alrededor del eje de las ordenadas, se obtiene la superficie bosquejada en azul, y z tiene el mismo papel que x, luego la ecuación es:

Y, como x, z varía entre -3 y 3. Por tanto las superficies no son idénticas, la en azul tiene mayor «espesor», como se puede adivinar en la figura anterior.

Se han representado las dos superficies - a la izquierda la de tipo «pelota de rugby» (correspondiente al esbozo en rojo) y a la derecha la del tipo «canto rodado» (esbozo en azul) - aumentando sus diferencias tomando la longitud igual a dos veces la anchura.

Se generaliza el concepto de elipsoide al incluir superficies que no se obtienen por rotación. En un sistema de coordenadas cuyo centro es el de simetría de la superficie, cuyos ejes son también ejes de simetría de la misma, la ecuación de un elipsoide cualquiera es:

Las constantes a, b y c son los las longitudes de los semiejes del elipsoide (ver figura, donde a = 2, b = 3 y c = 1) lo que se justifica al observar que los puntos A(a, 0 ,0), A'(-a, 0, 0), B(0, b, 0), B'(0, -b, 0), C(0, 0, c) y C'(0, 0, -c)

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pertenecen a la superficie porque son soluciones obvias de su ecuación.Cuando dos de las tres constantes son iguales se trata de un esferoide, y cuando a = b = c, de una esfera de radio a.

El elipsoide se define por ser una cuádrica acotada en el espacio, o, empleando la terminología del espacio proyectivo, por no tener punto infinito. El elipsoide anterior se obtiene estirando la esfera unitaria de ecuación

Por un factor a en la dirección de las abscisas (es decir aplicando la trasformación x→ax) , por un factor b en las ordenadas (aplicando y→by) y c en las z (con z→cz). Estas tres trasformaciones sucesivas multiplican los volúmenes por a·b·c, por tanto, conociendo el volumen de la esfera unitaria

Se obtiene lo siguiente: El volumen contenido en el elipsoide es:

3. HISTORIA DE LA ASTRONOMÍA

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Sección Normal de un Acimut cualquiera:

En algunos casos, los cálculos geodésicos requieren el radio de curvatura en otro plano que no sea el principal. La sección normal en algún acimut α tiene un radio de curvatura en un punto cualquiera P, designado por Rα. Este se resuelve usando el Teorema de Euler y es llamado el “Radio de Curvatura de Euler”.

En la siguiente figura, el punto P en el cual es requerido el radio Rα, está mostrado sobre la sección normal PP’, solamente una parte diferencial de la curva de sección normal (ds) es mostrada, de manera que el acimut α de esta sección pequeña es equivalente al acimut de una sección normal de cualquier longitud.

El teorema de Euler se resuelve como sigue:

En el punto P, dibujamos un plano tangente y paralelo a él, otro plano que intersecta la superficie del elipsoide. El último plano, visto a través de la normal que pasa por P, forma una elipse en el plano BB’ donde el plano tangente intersecta la superficie del elipsoide. Todo esto y los elementos de esta “indicatriz” son mostrados en la siguiente figura:

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Si vemos este plano a través del punto P’, en el acimut α, la sección resultante es la figura que se muestra a continuación, además hay que recordar que la ecuación de una elipse es:

De la figura 17:X = ds sen αY = ds cos α

Entonces se obtiene:

Usando la figura 19,

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Podemos escribir:

y

De lo que resulta:

De manera que si PP’ es una distancia diferencial muy pequeña, entonces:C =ds; y podemos escribir:

(1)…

Cuando α = 0; (S) es igual a (n) y (2)…

Cuando α = 0; (S) es igual a (n) y (3)…

Combinando (1) y (2); y (1) y (3) tenemos:

Sustituyendo n² y m² da:

(4)…

Finalmente después de arreglar los términos de (4), tenemos la expresión para el radio de curvatura de Euler.

(5)…

La Sección Normal:

La sección normal fue definida como la línea de intersección de un plano normal (en un punto P) y la superficie del elipsoide. Considérense dos puntos

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Sen θ = ½ C RαSen θ = Z/c

Z = n² 2M

Z = m² 2N

n² = ds² M Rα

m² = ds² N Rα

Z = C²_ 2Rα

Z = ds² 2Rα

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sobre la superficie de un elipsoide (P1 y P2) que están sobre meridianos diferentes y sobre diferentes latitudes. La Sección Normal de P1 a P2 (Sección Normal Directa) no coincide con la sección normal P2 a P1 (sección Normal Inversa).

El plano normal de la Sección Normal Directa conteniendo los puntos P1; n1 y P2; contiene la normal en P1 y el plano normal inverso, P2, n2, P1, contiene la normal en P2 y el punto P1. Si las Secciones Normales P1P2 y P2P1 fueran coincidentes, entonces las normales P1, n1 y P2, n2, en sus respectivos planos meridianos podrían intersectar el eje menor en el mismo punto.

Puede mostrarse que el punto de intersección Zn de cualquier sección normal elipsoidal intersecta al eje menor en:

Si dos puntos tienen longitudes diferentes y Φp1< Φp2, entonces Zn1< Zn2 y las normales P1,n1 y P2, n2 no están en el mismo plano. Ellas se dice que son “Normales Sesgadas”. Sin embargo, si Φp1es igual a Φp2, las secciones normales directas e inversas son coincidentes. Para dos puntos sobre el mismo meridiano, las normales elipsoidales no intersectan en el mismo plano (el plano meridiano común), por lo tanto, las secciones normales P1 P2 y P2 P1 son coincidentes.

El resultado de lo predicho, es que sobre la superficie del elipsoide, la sección normal no da una línea única entre dos puntos. Por lo tanto un triángulo elipsoidal no está definido únicamente por las secciones normales. En la siguiente figura, la sección normal directa a A hacia B, A a B; no es coincidente con la sección normal inversa B b A. Por lo tanto, el Acimut geodésico αA no se refiere a la misma curva de αB. Un problema similar existe para los Acimuts A a C, B a C, etc.

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Zn = α.e².senΦα

(1- e²sen²Φα)

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Ahora veremos rápidamente la magnitud de la separación entre las secciones normales directa e inversa. En la figura que se va a mostrar, esta separación es mostrada como el ángulo ∆.

La fórmula para la solución ∆ está dada por:

Donde:

Y

Y

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Por ejemplo, una línea P1P2 con 200km de longitud y condiciones máximas (Φm = C y αP2 = 45º); ∆=0:36. Ya que muchas poligonales o líneas de triangulación son más cortas que ésta y debido a que la situación máxima no siempre ocurre, el valor de ∆ es generalmente una cantidad pequeña y en última instancia, prácticamente despreciable.

SISTEMA DE COORDENADAS

2.1. CONCEPTO DE SISTEMA DE COORDENADAS

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable.

En física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales. Un sistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y un sistema de coordenadas. En mecánica newtoniana se emplean sistemas de referencia caracterizados por un punto denominado origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas.

2.2. TIPOS DE SISTEMAS DE COORDENADAS

2.2.1. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS

Las coordenadas cartesianas son un sistema de coordenadas formadas por un eje en la recta, por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el origen. En el plano, las coordenadas cartesianas o rectangulares x e y se denominan respectivamente abscisa y ordenada.

Sistema de coordenadas plano

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Sistema de coordenadas cartesianasLas ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina también abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; así por ejemplo las coordenadas del punto A serán ambas positivas, mientras que las del punto B serán ambas negativas.

Sistema de coordenadas espacial

coordenadas cartesianas espaciales

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en 8 octantes en los que como en el caso anterior los signos de las componentes cambian de positivo a negativo; téngase en cuenta que con los cuatro casos del plano, ahora caben dos posibilidades z < 0 y z > 0.

La generalización de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posición del punto.

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Coordenadas polares

Sistema de coordenadas polares con varios ángulos medidos en grados

El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto (posición) en el plano está determinado por un ángulo y una distancia. El sistema de coordenadas polares es especialmente útil en situaciones donde la relación entre dos puntos es mas fácil de expresar en términos de ángulos y distancias; en el sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares estas mismas relaciones deben ser expresadas mediante fórmulas trigonométricas.

Al ser un sistema de coordenadas bidimensional, cada punto dentro del plano se encuentra determinado por dos coordenadas: la coordenada radial y la coordenada angular. La coordenada radial (comúnmente simbolizada por r) expresa la distancia del punto al punto central del sistema conocido como polo (equivalente al origen del sistema Cartesiano). La coordenada angular (también conocida como ángulo polar o ángulo acimutal, y usualmente simbolizada por θ ó t) expresa el ángulo positivo (en sentido antihorario) medido desde el eje polar (usualmente se hace coincidir éste con el eje x del sistema cartesiano).

Dibujando puntos con coordenadas polares

Los puntos (3,60º) y (4,210º) en un sistema de coordenadas polares

En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la línea OL sobre la que se miden los ángulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ángulo sobre el eje OL.

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El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades de O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.

El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades de O y un ángulo de 210º sobre OL.

Este sistema se emplea en los casos en los que el conocimiento de los ángulos directores sea más práctico que las coordenadas cartesianas. Normalmente, eso sucede cuando la figura o curva a estudiar está definida más claramente por los ángulos sobre los ejes y la distancia al centro de coordenadas, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc.

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no está presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un único punto del plano puede representarse con un un número infinito de coordenadas diferentes. Podemos decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:

un punto, definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, θ) se puede representar como (r, θ ± n×360°) o (−r, θ ± (2n + 1)180°), donde n es un número entero cualquiera.

el centro de coordenadas está definido por una distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, θ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ángulo θ, un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.

Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una única representación de un punto, se suele limitar r a números no negativos r ≥ 0 y θ al intervalo [0, 360°) o (−180°, 180°] (en radianes, [0, 2π) o (−π, π]).

Los ángulos en notación polar se expresan normalmente en grados o radianes, usando la conversión 2π rad = 360°. La elección depende del contexto: las aplicaciones de navegación utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones físicas (especialmente la mecánica rotacional) y la mayor parte del cálculo matemático expresan las medidas en radianes.

Coordenadas polares en el plano

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Diagrama ilustrativo de la relación entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.

Conversión de coordenadas polares a rectangulares

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Conversión de coordenadas rectangulares a polares

Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:

(aplicando el Teorema de Pitágoras)

Para determinar la coordenada angular θ, debemos distinguir dos casos:

Para r = 0, θ puede tomar cualquier valor real. Para r ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo

de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].

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Coordenadas esféricas

El sistema de coordenadas esféricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posición espacial de un punto mediante una distancia y dos ángulos.

En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ángulo polar o colatitud θ y el azimuth φ.

Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90º a -90º (de -π/2 a π/2 radianes), siendo el cero el plano XY. También puede variar la medida del acimut, según se mida el ángulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0º a 360º (0 a 2π en radianes) o de -180º a +180º (-π a π).

Se debe tener en cuenta qué convención utiliza un autor determinado.

Convenciones utilizadas

Convención norteamericana

Hablando en términos de coordenadas cartesianas, la convención usada por los matemáticos de Estados Unidos es:

P (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen. φ (colatitud o ángulo polar ) de 0º a 180º es el ángulo entre el eje z y la

línea que une el origen y el punto P, y

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θ (acimut o longitud) de 0º a 360º es el ángulo entre el eje X positivo y la línea que une el origen con la proyección del punto P en el plano XY.

Convención no-norteamericana

Sin embargo, la mayoría de los físicos, ingenieros y matemáticos no norteamericanos intercambian los símbolos θ y φ, siendo:

θ la colatitud φ el acimut.

Esta es la convención que se sigue en este artículo. En el sistema internacional, los rangos de variación de las tres coordenadas son:

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, r; vuelve a aumentar, pero θ pasa a valer π-θ y φ aumenta o disminuye en π radianes.

Líneas y superficies coordenadas

Las líneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas esféricas, estas son:

Líneas coordenadas r: Semirrectas radiales partiendo del origen de coordenadas.

Líneas coordenadas θ: Semicírculos verticales (meridianos) Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales (paralelos).

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

Superficies r=cte.: Esferas con centro en el origen de coordenadas.

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Superficies θ=cte.: Conos rectos con vértice en el origen. Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas esféricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas esféricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

Nótese que no aparecen término en o . La dependencia en estas coordenadas está oculta en el vector .

Conclusiones:

Sistemas polares

Ya hemos comprobado que ciertas gráficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. En esta sección introduciremos dos sistemas alternativos de coordenadas

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para el espacio,los sistemas polares en el plano y coordenadas cilíndricas en el espacio

Los Sistemas Rectangulares o Planos

Sin Diseñados para un objeto bi-dimensional Como una hoja plana de un mapa. Ej.: UTM – GK

Surgen como respuesta a los sistemas angulares por la dificultad que éstos tienen de medir distancias constantes.

Ej 1º de longitud en el Ecuador aprox. = 111 km

A los 45º mide aprox. = 78.8 Km

Coordenadas esféricas

Diseñados para un objeto tri-dimensional Como una esfera que representa la superficie de la tierra. Ej.: Latitud y Longitud

En el sistema de coordenadas esféricas cada punto se representa por un trío ordenado; la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ángulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre. Así, la figura 10.74 muestra el punto de la superficie terrestre

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

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- se concluye que no existe un elipsoide que no represente la tierra tal y como es solo utilizamos a elipsoide de referencia para que nos asemeje a la tierra .

- Uno de los elipsoides de referencia más utilizados actualmente es el descrito en el sistema denominado World Geodetic System 84  (WGS-84), desarrollado por el Departamento de Defensa de los EEUU, y que tiene como origen el centro de masas de la Tierra. Su popularidad se debe a que es el utilizado por el sistema de posicionamiento global por satélite GPS.

- se concluye que hay diferentes elipsoides solo se diferencias en sus parámetros mas importantes.

Semieje ecuatorial (a) o Semieje mayor Semieje polar (b) o Semieje menor

AMARO GALLUPE, ARTURO FERMIN 20042137I

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