Tensiones en el haz de planos de eje sostén una dirección principal

y

yx

x

xy

yx

y

pz

x

z

y

dx

dy

pz

dz

x

xy

x x x x

xy

x

n

n

y

yx

x

xy

yx

y

pz

x

z

y

dx

dy

pz

dz

x

xy

x x x x

xy

x

kjsenin nn

0cos

kjisent nn

0cos

0

cos

00

0

0

n

n

z

yxy

yxx

nz

ny

nx

sen

nyxnxnx sen cos

nynyxny sen cos0nz

nnn

tnn

HAZ DE PLANOS 0zn

xyx

y

y

xyxy

x

n

t

n

n n

+Nueva convención de

0yx

0xy

kjsenin nn

0cos kjisent nn

0cos

nyxnxnx sen cos

nynyxny sen cos0nz

nynnyxnnyxnxn sensensen 22 coscoscos

tnn

y

x

n

t

n

n n

+

nnn

nnyxnynxn sensen cos2cos 22

nnynyxnyxnnxn sensensen coscoscos 22

nnyxnnyxn sensen 22coscos

0yx

0xyyx

y

xyxy

x

Expresiones en función del ángulo doble

nnyxnynxn sensen cos2cos 22

2cos2 sensen

nnyxnnyxn sensen 22coscos

1cos 22 sen

2coscos 22 sen

mamsum ...2

2cos1cos2

mamrest ...2

2cos12 sen

nyxnyxyx

n sen

22cos22

nyxnyx

n sen

2cos22

Planos y Tensiones principales en este haz de planos

nyxnyxyx

n sen

22cos22

nyxnyx

n sen

2cos22

pyxpyx

p sen

2cos22

0

yx

yxptg

2

2 12 22

12

212

Tensiones normales máxima y mínima

myxmyxn sen

2cos220

yx

yxmtg

2

2

Los planos con valores máximo y mínimo de la tensión normal coinciden con los planos principales

Circunferencia de Mohr

nyxnyxyx

n sen

22cos22

nyxnyx

n sen

2cos22

nyxnyxyx

n sen

22cos22

Elevando ambas al cuadrado y sumando m.a.m

2

22

2

22 yxyxyx

nn

CyCy

Cx

y

x

R

222 Rxxyy CC

C

n

n

R

0;

2yxC

2

2

2 yxyxR

0yx

y

xyx

y

x

xy

x x x x

xy

x

n

t

n

n n

+

0xyyx

xy

yxn

nx

X

Y

y

2yx

2yx

O C

2

2

2 yxyxRCYCX

1P2P

0;

2yxC

2

2

2,1 22 yxyxyx

Haz de planos 0zn

0yx

0xy

0yxy

xyx

y

x

xy

x x x x

xy

x

n

t

n

n n

+0xy

yx

xy

yxn

n

x

X

Y

y

OC

TP

NP

POLOS DE LA CIRCUNFERENCIA

N

n

n n2xy

X

x

xy

X

Figura de análisis

0yx

0xyyx

xy

yxn

n

x

X

Y

y

OC

TP

NP

Figura de análisis

N

n

n n2xy

X

x

xy

X

y

x

yx

y

x

xy

xx

x

x

xy

x

n

t

n

n

n

+

y

x

yx

y

yx

y

x

xy

xx

x

x

xy

xx

xy

xx

x

x

xy

x

n

t

n

n

n

+

n

OC 1

NP

Figura de análisis

n

n

2

2

1

1

n

n

2N

1

2

2

2

2

2

n

OC

NP

Figura de análisis

n

n

2

1

1N

n

1

2

1

1

n

n

2

n

n

O1

3

03 n

2

13

02 n

2C

01 n

1C

cten 3

cten 2cten 1

2

11 n

3C

13 n

12 n

n

n

O

1

1

23 3C2C1C

cten 3cten 2

cten 1

1A3A 2A 2A

23n

O

n

O

n

O

n

A