TEMA 3. VIBRACIONES Y ONDAS.

1. MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE (M.A.S.)

1.1 Cinemática del M.A.S. 1.2 Dinámica del M.A.S.

1.3 El péndulo simple.

2. MOVIMIENTOS ONDULATORIOS

2.1. Ondas Mecánicas.

-Velocidad de las ondas mecánicas.

2.2. Ondas Armónicas. - Características. - Función de onda. - Aspectos energéticos de las ondas armónicas.

2.3. Ondas Sonoras. - Mecanismo de formación de las ondas sonoras. - Velocidad de las ondas sonoras. - Cualidades del sonido. - Contaminación Acústica.

2.4. Superposición de Ondas. - Interferencias. - Ondas estacionarias.

2.5. Propagación de Ondas: Principio de Huygens - Reflexión. - Refracción. - Difracción. - Efecto Doppler.

ONDAS ARMÓNICAS

Relación entre longitud de onda, velocidad y período. v f

T

λ λ= =

Función de onda (onda que vibra en la dirección del eje OY)

- Propagación en el sentido positivo del eje OX:

2 ( )t x

y Asen Asen t kxT

π ωλ

= − = −

- Propagación en el sentido negativo del eje OX:

2 ( )t x

y Asen Asen t kxT

π ωλ

= + = +

- Número de ondas: 2

kπλ

=

Energía: 2 21

2E m Aω= - Potencia:

EP

t=

∆; Intensidad:

PI

S=

- Para ondas esféricas: 2

1 2 1 22 2

2 1 2 1

; ;4

I R A RPI

R I R A Rπ= = =

ONDAS SONORAS

Velocidad en sólidos, líquidos y gases. ; ;s l g

E Q RTv v v

d d M

γ= = =

Nivel de intensidad sonora. 12 2

00

10log ; 1 10I

I W mI

β − −= = ⋅ ⋅

FENÓMENOS BÁSICOS

Refracción. 2ª ley de la refracción: 1

212

vsenin

senr v= =

MOVIMIENTO VIBRATORIO ARMÓNICO SIMPLE

Ecuaciones del M.A.S.0

2 20

2 20

( )

( )

( )

x Asen t

v A cos t A x

a A sen t x

ω ϕ

ω ω ϕ ωω ω ϕ ω

= +

= + = ± −

= − + = −

Relaciones entre las magnitudes del M.A.S. 2 1;T f

T

πω

= =

OSCILADOR ARMÓNICO SIMPLE

Fuerza recuperadora en la dirección del eje X F kxi= −�

�

Energía del oscilador armónico simple

2 2 2 20 0

2

1 1cos ( ); ( )

2 21

2

c p

cmáx pmáx m

E kA t E kA sen t

E E E kA

ω ϕ ω ϕ= + = +

= = =

Relaciones 2 ; 2m

m k Tk

ω π= =

Péndulo Simple 2 ;L g

Tg L

π ω= =

1. Una partícula inicia un movimiento armónico simple en el extremo de su trayectoria y tarda 0’1 s en ir al centro de la misma. Si la distancia entre ambas posiciones es de 20 cm. Calcular: a) El período del movimiento. b) La pulsación. c) Posición de la partícula 1 s después de iniciar el movimiento. Sol: a) T = 0’4 s; b) ω = 5π rad/s; c) x = -0’2m

2. Cierta particular se mueve con m.a.s. según la siguiente ecuación: x = 0’05 sen 20πt, en unidades del S.I. Calcula: a) La fase inicial. b) La amplitud. c) La pulsación. d) El período. e) La frecuencia. f) El valor de la elongación en t = 0 s y en t = 0’025 s. Sol: a) φ0 = 0 ���� x = 0 m; b) A = 0’05 m; c) ω = 20π rad/s; d) T = 0’1 s; e) f = 10 Hz; f) x(t = 0s) = 0 m, x(t = 0’025s) = 0’05 m

3. Una partícula vibra con una velocidad máxima de 20 m/s y una amplitud de 10 cm. Calcular: a) La frecuencia del movimiento. b) La aceleración máxima. c) La velocidad de la partícula cuando se encuentra a 2 cm de la posición de equilibrio. Sol: a) f = 100/π Hz; b) a = -4·103 m/s 2; c) v = 19’6 m/s

4. Un cuerpo vibra con m.a.s. según la ecuación x = 0’05 sen (3t + π/2), en unidades S.I. Calcula: a) El valor de la elongación cuando t = π s. b) La velocidad del cuerpo cuando t = π/2 s. c) El período y la frecuencia. Sol: a) x = -0’05 m; b) v = 0’15 m/s; c) T = 2’09 s, f = 0’48 Hz

5. En cierto m.a.s. en el que φ0 = 0, T = 0’2 s y A = 0’3 m, calcula la elongación, la velocidad y la aceleración cuando t vale sucesivamente: 1/20 s, 1/10 s, 3/ 20 s, 1/5 s.

6. Una partícula de 5 g de masa vibra con una amplitud de 10 cm y una frecuencia de 50 Hz. Calcular: a) La constante recuperadora. b) La velocidad 0’1 s después de pasar por la posición de equilibrio. Sol: a) k = 50π2 N/m; b) v = 10π m/s

7. Una masa de 1 kg cuelga de un resorte. Si añadimos a la masa anterior otra de 500 g el resorte se alarga 2 cm. Al retirar la segunda masa, la primera empieza a oscilar. ¿Con qué frecuencia lo hará? Sol: f = 2’5 Hz

8. Se conecta un resorte de constante elástica k = 5’0 N/m un cuerpo de 200 g de masa que puede oscilar libremente sobre una superficie horizontal sin rozamiento. Estirando el resorte se desplaza el cuerpo 5’0 cm desde la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. Calcula: a) El período del movimiento. b) Las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. c) Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración. d) La fuerza recuperadora cuando x = 0’05 m. Sol: a) ω = 5’0 rad/s, T = 0’4 π s ; b) x = 0’05sen(5t + π/2), v = 0’25cos(5t + π/2), a = -1’25sen(5t + π/2); c) v máx = ±0’25 m/s, a máx = ±1’25 m/s 2; c) F x = -0’25 N

9. Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de una fuerza elástica, F = -kx. Cuando t = 2 s, la partícula pasa por el punto de equilibrio con velocidad positiva y cuando t = 4 s, su velocidad es de + 4 m/s. Si el período de la oscilación es de 16 s, calcula: a) La amplitud del movimiento. b) Su aceleración en t = 2 s. c) Su velocidad máxima. d) Escribe las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. e) Dibuja la gráfica de la elongación en función del tiempo, entre t = 0 s y t = 8 s.

Sol: a) A = 14’4 m; b) a(t = 2s) = 0 m/s 2; c) v máx = ±5’65 m/s; d) x = 14’4 sen ( π/8 t - π/4),

v = 5’65 cos ( π/8 t - π/4), a = -2’22 sen ( π/8 t - π/4)

10. Un cuerpo oscila con m.a.s. de período T = 4 s entre dos puntos separados 20 cm. Suponiendo que, para t = 0, x = 0’1, calcula: a) La ecuación del movimiento; b) La velocidad del móvil en función del tiempo; c) el valor de la velocidad las dos primeras veces que pasa por el punto medio de su trayectoria. Sol: a) x = 0’1cos π/2 t (m); b) v = -0’157sen π/2 t (m/s); c) v(1) = -0’157 m/s, v(3) = 0’157 m/s

11. Un cuerpo de 1’4 kg de masa se conecta a un muelle de constante elástica 15 N/n. El sistema se hace oscilar sobre un plano horizontal sin rozamiento. Si la amplitud del movimiento es de 20 cm, calcula: a) La energía total del sistema. b) La energía cinética y la potencial cuando el desplazamiento del cuerpo es de 13 cm. c) La velocidad máxima del cuerpo. d) Escribe la ecuación del m.a.s. correspondiente. Sol: a) E m = 0’3 J; b) E p = 0’13 J, E c = 0’17 J; c) v máx = ±0’49 m/s; d) x = 0’2sen(3’27t)

12. Calcula el valor de la elongación para el que la energía cinética vale el doble que la potencial, y el valor para el que la energía potencial vale el doble que la cinética. Sol: a) x = A/3 1/2; b) x = (2/3) 1/2ª

13. El amortiguador de un coche es un muelle de constante k = 10000 N/m. Si la máxima elongación del amortiguador es 20 cm, calcula la velocidad máxima de vibración del coche. Sol: v = 20/m 1/2 m/s

14. Se une una masa de 40 kg a un muelle de k = 500 N/m. Se separa 0’1 m de la posición de equilibrio y se deja en libertad. Calcula: a) La pulsación, frecuencia y amplitud de oscilación; b) La expresión de la energía potencial en todo momento. Sol: a) A = 0’1m, T = 1’77s, f = 0’565 Hz, ω = 3’54 rad/s; b) Ep = 2’5cos 2(3’54t) J

15. Si se duplica la energía mecánica de un oscilador armónico, explica que efecto tiene: a) En la amplitud y la frecuencia de las oscilaciones.b) En la velocidad y el período de oscilación. Sol: a) f’ = f; b) v’ = 2 1/2v

16. Calcula la fracción de energía potencial y cinética de la energía total de un cuerpo de masa m suspendido de un muelle de constante k, en función del ángulo de fase. Sol: Ep / Em = sen 2(ωt + φ0); Ec / Em = cos 2(ωt + φ0)

17. Un cuerpo de 0’68 kg se fija al extremo libre de un resorte de constante recuperadora k = 43’79 N/m. Colocamos el sistema sobre un plano horizontal, estiramos el cuerpo hasta 10 cm de la posición de equilibrio y lo soltamos, proporcionándole un movimiento armónico. Calcula: a) La velocidad máxima y la aceleración máxima del cuerpo. b) La velocidad, la aceleración, la energía cinética y la potencial del cuerpo cuando x = 5 cm. Sol: a) v máx = ±0’80 m/s, a máx = ±6’43 m/s 2; b) v = ±0’69 m/s, a = -3’22 m/s 2, Ec = 0’16 J, E p = 0’05 J

18. De un muelle de constante k = 20 N/m se cuelga, primero, una masa de 5 kg y, después, otra de 1 kg. a) Calcula la longitud final del muelle en cada caso si inicialmente era de 15 cm. b) Calcula el período con que oscilaría en cada caso si se produjese un m.a.s. Sol: a) x’ = 2’60 m, x’’ = 0’64 m; b) T’ = 3’14 s, T’’ = 1’40 s

19. Un punto móvil de 0’5 kg de masa está animado por un m.a.s. de 10 cm de amplitud y realiza 2 oscilaciones por segundo. Calcula: a) La elongación de dicho punto 1/6 de segundo después de alcanzada la máxima elongación. b) La constante recuperadora del movimiento. c) La energía cinética que posee el punto móvil al pasar por la posición inicial de reposo. Sol: a) x = -0’05 m; b) k = 78’96 N/m; c) Ec = 0’39 J

20. El paragolpes de un ferrocarril está constituido por un muelle de constante k. Un vagón de 100 toneladas choca con él a una velocidad de 0’02 m/s. Si se quiere que en estas condiciones el paragolpes se comprima 10 cm hasta detener el vagón, ¿cuál ha de ser el valor de la constante k del muelle? Sol: k = 4000 N/m

21. Se deja caer desde una altura de 2 m un cuerpo de masa 5 kg sobre una plataforma sujeta por un muelle de constante k = 200 N/m. a) Calcula la deformación máxima que sufre el muelle. b) El resorte vuelve a lanzar el cuerpo hacia arriba por efecto de la fuerza de expansión; calcula en

este caso la velocidad de la masa cuando abandona la plataforma. Sol: a) x = 0’99m; b) v = 6’26 m/s

22. Un muelle de constante k1 = 50 N/m está comprimido 4 cm junto a una bola de 50 g de masa. Al soltarse el muelle impulsa a la bola, que va a chocar contra otro que comprime 6 cm. Suponiendo que no hay pérdidas de energía, calcula la constante k2 en este segundo muelle. Sol: k 2 = 22’2 N/m

23. La figura representa un péndulo horizontal de resorte. La masa del bloque vale m, y la constante elástica del resorte, k. No hay rozamientos. Inicialmente, el muelle está sin deformar. Si estiramos el muelle una distancia A y soltamos: a) Dibuja la gráfica de la aceleración frente a la elongación. El punto O representa elongación nula,

correspondiente al centro de oscilación (resorte sin tensión). Los puntos P y P’ indican las elongaciones máximas, positiva y negativa respectivamente.

b) Calcula la frecuencia de oscilación del péndulo. c) ¿Qué energía mecánica posee el sistema muelle-masa?¿Y si la masa fuese m/2 y la constante 2k? Sol: a) a = -ω2x; b) = (k/m) 1/2; c) E’ m = 2Em

24. Desplazamos 20º un péndulo simple de 1 m de longitud y 20 g de masa y después lo soltamos. Calcula: a) Su período. b) Su energía potencial en su posición más elevada respecto de la posición de equilibrio. Sol: a) T = 2 s; b) E p = 1’18 · 10-2 J

25. Un péndulo simple consta de una esfera puntual de 0’1 kg de masa suspendida de un hilo de 1 m de longitud. Si oscila con una amplitud de 10 º en un lugar con g = 9’8 m/s2, determina: a) Su energía potencial máxima. b) Su velocidad máxima. Sol: a) Ep máx = 0’07 J; b) v máx = ±0’54 m/s

26. Disponemos de un péndulo simple de un metro de longitud y de un péndulo vertical de resorte, que consiste en una masa de 10 kg colgada de un muelle ideal, de forma que puede moverse verticalmente. Observamos que ambos péndulos, colocados a nivel del mar, oscilan con la misma frecuencia. a) Determina la constante elástica del muelle. b) Calcula la frecuencia de oscilación de cada péndulo cuando ambos se colocan en un punto situado

a una altura sobre la superficie de la Tierra igual al radio terrestre. Este punto se considera inmóvil respecto al centro de la Tierra.

Sol: a) k = 10 N/m; b) f 2R = fR/2

27. Realizamos una medida de la gravedad con un péndulo casero de 2 m de longitud. Contamos 100 oscilaciones en 4 min y 44 s. Calcular el valor de la gravedad. Si el péndulo hubiese sido de 0’5 m, ¿cuál habría sido su período? Sol: g = 9’789 m/s 2; T0’5 = 0’5T2 = 1’42 s

28. Un péndulo tiene un período T0 en un punto sobre le superficie de la Tierra, al pie de una montaña. Se asciende a la cumbre y su período es T. ¿Cuál es la altura de la montaña? Sol: h = (T/T 0 – 1)RT

29. Se dice que un reloj de péndulo bate segundos cuando su manecilla avanza dos segundos por cada oscilación completa. Suponiendo que, por efecto del calor, el péndulo se dilata en una centésima parte de su longitud, ¿cuánto atrasará el reloj en cada hora? Sol: 17’96 s

30. Un péndulo simple oscila con una elongación máxima de 18º, desarrollando 10 oscilaciones por segundo Tomando como instante inicial la posición de equilibrio: a) Escribe su elongación en función del tiempo. b) Determina su período de oscilación en la Luna, donde la gravedad es aproximadamente un sexto

de la terrestre. Sol: a) x = 7’7cos(20 πt + π/2) mm; b) TL = 0’245 s