tablas y formulas
TRANSCRIPT
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Frmulas y tablas estadsticasMarjorie Mora Valverde
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Edicin aprobada por la Comisin Editorial de la Universidad de Costa Rica
Primera edicin: 2006Primera reimpresin: 2008
Diseo de portada: Elisa Giacomin V.
519.5F726f Frmulas y tablas estadsticas / Marjorie Mora
Valverde (compiladora). 1. ed., 1a. reimpr. San Jos, C.R. : Editorial UCR, 2008.
88 p.
ISBN 978-9968-46-007-1
1. ESTADSTICA CUADRoS, TABlAS, ETC. I. Mora Valverde, Marjorie, 1958- , comp.
CIP/1799 CC/SIBDI.UCR
Editorial Universidad de Costa Rica, Ciudad Universitaria Rodrigo Facio. San Jos, Costa Rica.Apdo. 11501-2060 Tel.: 2207 5310 Fax: 2207 5257 E-mail: [email protected] Pgina web: www.editorial.ucr.ac.cr
Prohibida la reproduccin total o parcial. Todos los derechos reservados. Hecho el depsito de ley.
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Contenido
Presentacin
I.Frmulasestadsticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.Medidasdeposicin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.Medidasdevariabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.Variabilidaddevariablesdicotmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44.Modelosdecrecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55.ndices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.Probabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67.Distribucionesdeprobabilidades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78.Estadisticosparalaspruebasdehiptesis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89.Estadsticosdeasociacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910.Estadsticosderegresinlinealsimple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011.Muestreosimplealazar:estimacindelamediaaritmticaylaproporcinPdelapoblacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1112.Muestreoaleatorioestratificadoconmuestreosimplealazardentrodelosestratos. . . 1313.Muestreoaleatoriodeconglomerados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1414.Anlisisdevarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1515.Pruebasnoparamtricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
II.Tablasestadsticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Tabla1.Nmerosaleatorios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Tabla2.ProbabilidadesacumuladasdelaDistribucinBinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Tabla3.ProbabilidadesacumuladasdelaDistribucindePoisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Tabla4.ProbabilidadessimplesyacumuladasdelaDistribucinHipergeomtrica. . . . . . 44Tabla5.ProbabilidadesacumuladasdelaDistribucinNormalEstndar . . . . . . . . . . . . . 61Tabla6.ValorescrticosdelaDistribucintdeStudent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63Tabla7.ValorescrticosdelaDistribucin2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Tabla8.ValorescrticosdelaDistribucinF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Tabla9.CorrelacinderangosdeSpearman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Tabla10.ValorescrticosparaelcoeficientedecorrelaciondePearsonr . . . . . . . . . . . . 72Tabla11.Caractersticasgeneralesdealgunasdistribucionesdeprobabilidad . . . . . . . . . . 73
Bibliografa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Acercadelaautora. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
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Presentacin
El presente documento comprende las Frmulas y Tablas Estadsticas usadas, con ms frecuencia, en los cursos de Estadstica que imparte la Escuela de Estadstica de la Universidad de Costa Rica. Est dirigido a los estudiantes matriculados en los cursos de Estadstica General I y II, Estadstica Introductoria, Estadstica para Biociencias, estudiantes de Ciencias Sociales y Principios de Estadstica, y en general, para los cursos bsicos de Estadstica Descriptiva e Inferencial.
Su objetivo principal es facilitar la comprensin y el aprendizaje de los estudiantes en la aplicacin de las tcnicas estadsticas, poniendo a disposicin de estos y de los profesores, en un solo documento y de la manera ms simple, un grupo de frmulas estadsticas para orientar el clculo de las medidas cuantitativas para el anlisis de conjuntos de datos y de un grupo de tablas con las distribuciones de probabilidades ms usadas.
Este documento ha sido elaborado por la profesora Marjorie Mora Valverde, con la participacin del profesor Rger Bonilla Carrin en la elaboracin de la mayora de las tablas de las distribuciones de probabilidades, ambos profesores de la Escuela de Estadstica de la Universidad de Costa Rica. Esta versin ha sido revisada y corregida, a partir de las observaciones de las profesoras ligia Moya y Yolanda Huete, y los profesores Ramn luis Bolaos y Juan Antonio Rodrguez, a quienes se les agradece sus valiosas recomendaciones. Un reconocimiento muy especial para los asistentes de la Unidad de Servicios Estadsticos de la Escuela de Estadstica (USES), por el trabajo realizado en la presentacin de las frmulas.
las tablas estadsticas de este documento son de dominio pblico y fueron producidas, usando programacin en R+ con programas escritos por el profesor R. Bonilla.
Se insta a los profesores y estudiantes que consulten este manual a enviar sus sugerencias y recomendaciones a la profesora Marjorie Mora ([email protected]).
Escuela de Estadstica, Universidad de Costa Rica.
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11
1. MEDIDAS DE POSICION
Datos sin agrupar Datos agrupadosModa Mo = valor ms frecuente
Mediana
21nMe
trminon: nmero de observaciones
Percentil1n
100mPm
trmino
m : percentil de inters 99m1n : nmero de observaciones
Promedio geomtrico
nn
g xxxxx ...321 , donde
n : pares de perodos
ix monto del perodo de estudio (t)monto del perodo anterior (t-1)
Media aritmtica
Poblacin Muestra
N
xN
ii
1
n
xX
n
ii
1
Media aritmtica ponderada
k
ii
k
iii
p
p
pxX
1
1
Media aritmtica
N
fxK
iii
1
n
fxx
k
iii
1
K
iifn
1
2si
i
LLx , punto medio de la clase i
Li : lmite inferior de la claseLs : lmite superior de la clase fi : nmero de observaciones de la clase ik : nmero de clases
Moda
modd
dmoo ILM 21
1
amomo ffd1 , pmomo ffd2
moL : lmite inferior de la clase modal
mof : frecuencia absoluta de la clase modal
amof : frecuencia absoluta de la claseanterior a la clase modal
pmof : frecuencia absoluta de la claseposterior a la clase modal
moI : tamao del intervalo de la clase modal
-
22
Datos agrupados
Mediana
medmed
amed
mede If
Fn
LM2
medL : lmite inferior de la clase mediana
amedF : frecuencia absoluta acumuladaanterior a la clase mediana
medf : frecuencia absoluta simple de laclase mediana
medI : tamao del intervalo de la clasemediana
n : total de datos
Percentil
pp
ap
pm If
Fn100
m
LP
pL : lmite inferior de la clase percentil
nm
100 : ubica la clase del percentil deinters
apF : frecuencia acumulada absoluta anteriora la clase percentil
pf : frecuencia absoluta de la clase del percentil
pI : tamao del intervalo de la clase del percentil
Intervalo intercuartil
2575 PP
-
33
2. MEDIDAS DE VARIABILIDAD
Variabilidad de la poblacinVariancia para datos sin agrupar
N
iix x
N 122 1
N
i
N
ii
ix N
x
xN 1
2
122 1
Desviacin estndar 2xx
Variancia para datos agrupados
i
K
iix fxN 1
22 1
K
i
K
iii
iix N
fxfx
N 1
2
122 1
ix : punto medio de la clase iif : nmer o de obser vaciones de la clase i
Variabilidad de la muestraDatos sin agrupar
n
iix xxn
S1
22
11
n
i
n
ii
ix n
xx
nS
1
2
122
11
Desviacin estndar 2xx SS
Datos agrupados
i
k
iix fxxn
S1
22
11
k
i
k
iii
iix n
fx
fxn
S1
2
1221
1
-
44
Desviacin mediaDatos sin agrupar
n
ii xxn
MD1
1..
Datos agrupados
i
k
ii fxxn
MD1
1..
Variancia entre gruposk
iiie NN 1
22 1Variancia dentro de grupos
k
iiid NN 1
22 1
Coeficiente de variacin Poblacin
100xCV
Muestra
100x
sCV x
3. VARIABILIDAD DE VARIABLES DICOTMICAS
Poblacin
N
xP
N
ii
1
Variancia = QP
Desviacin estndar QP
Coeficiente de variacin
100*P
QPCV
donde:P : probabilidad de xito
Q = 1 - P : probabilidad de fracaso
Muestra
n
xp
n
ii
1
Variancia = qp
Desviacin estndar qp
El factor de correccin, n / (n-1), slo se usa en muestras pequeas, cuando no es muy cercano a 1.
Coeficiente de variacin
100*p
qpCV , donde:
p : probabilidad de xitoq = 1 - p : probabilidad de fracaso
-
55
4. MODELOS DE CRECIMIENTO
Modelo aritmtico Modelo geomtrico
o
otot N
NN
trtrNN
1111
1t
o
ttot N
NrrNN
Modelo exponencial
o
trtot N
N
treNN ln1 donde:
No: valor inicial Nt: valor final t : perodo r : tasa de crecimientoe : 2,71828, base del logaritmo natural (ln )
5. INDICES
Indices no ponderadosRelativo simple
100io
it
P
PIRS
Agregado simple de precios
100
1
1k
iio
k
iit
P
PIAS
Promedio de relativos simples de precios
10011
k
i io
it
P
P
kIPRS
itP : Precio de un artculo en el ao deinters
ioP : Precio de un artculo en el ao basei : Un artculo t : Ao de intersk : Nmero de artculos
Frmula para deflatar
Valor deflatado = Valor nominal de tIndice de Precios de t
t : perodo de estudio (aos, meses)
-
66
Indices ponderadosIndices de precios Indices de cantidadesLaspeyres
100
1
1k
iioio
k
iioit
QP
QPIPL
Paasche
100
1
1k
iitio
k
iitit
QP
QPIPP
Donde:Pit: precio de un artculo en el ao de intersPio: precio de un artculo en el ao base
Laspeyres
100
1
1k
iioio
k
iitio
QP
QPIQL
Paasche
100
1
1k
iioit
k
iitit
QP
QPIQP
Donde:Qio: cantidad del artculo en el ao base Qit:cantidad del artculo en el ao de inters
6. PROBABILIDADES
Suma de probabilidades Combinaciones: no interesa el ordenBAPBPAPAoBP
BPAPAoBP , si los eventos A y B son mutuamente excluyentes
)!(!!
rnr
nCrn
Multiplicacin de probabilidades Permutaciones: interesa el orden
ABPAPBAP /
)(/ APBAP
ABP
Si los eventos A y B son independientes, entonces BPAPBAP
in elementos iguales !!...!!
21 nrn nnn
nP
sin elementos iguales )!(!rn
nPrn
Propiedad complementaria
APAP 1
Teorema de Bayes
)/(*)()/(*)()/(*)(
)()(/
BAPBPBAPBP
BAPBP
ABPABP
ABPABP
-
77
7. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
Variable aleatoria discretaValor esperado o media de una variablealeatoria discreta
)()( ii xPxxE
Desviacin estndar de una variable aleatoria discreta
)()( 2 ii xPx
Distribucin Binomialxnx qp
xxn
nxP
!)!(!)(
nx ,...,3,2,1,0
Promedio pn
Desviacin estndar qpn
Distribucin de Poisson
!)(
x
exP
x
pn
nx ,...,3,2,1,0 , donde e =2,71828
Aproximacin a la Binomial por Poisson
!x
npe)x(P
xnp
Si n gr ande, P muy pequea, tal que np < 5.
Distribucin hipergeomtrica
nN
xnrNr
C
CCxP x)(
N: tamao de la poblacin
r : nmero de xitos en la poblacin
n: tamao de la muestra
x: nmero de xitos en la muestra
Distribucin Normal EstndarUna var iable x Media aritmtica
xZ
n
xZ
x
Aproximacin a la Binomial por la Normal Estndar
npq
npxZ
Si n es gr ande, P cer cana a 0,5,tal que np > 5
-
83
8. ESTADISTICOS PARA LAS PRUEBAS DE HIPTESIS
Para la media aritmticaPara una poblacinVariancia de la poblacin conocida
n
xZ
x
oc
Variancia de la poblacin desconocida y n 30,para una poblacin con distribucin normal
n
Sx
Tx
oc
)1(nt TT grados de libertad (g.l.)
Para dos poblaciones: muestrasindependientesVariancia de la poblacin conocida
2
22
1
21
21
nn
xxZc
Variancia de la poblacin desconocida y n1 30 y/o n2 30, para poblaciones con distribucin normal
2
2
1
2
21
n
s
n
s
xxT
pp
c
Donde
2)1()1(
21
222
2112
nn
SnSnS p
(bajo el supuesto 22
21
)
)221( nnt TT grados de libertad
Para la proporcin PPara una poblacin
n
QP
PpcZ
oo
o
Po: corresponde al valor de HoQo: 1 - Pop: estimado con datos de la muestra
Para dos poblaciones
2
22
1
11
21
nn
Z
qpqp
ppc
Ho: P1 P2 = 0
pq
nn
pnpnp
n
qp
n
qp
ppZ c
121
2211
21
21
-
99
Observaciones pareadas Homogeneidad para dos o ms poblaciones
n
Sd
Td
dc
tT con n- 1 grados de libertad, donde
n
dd
n
ii
1
n : es el nmero de pares
n
dd
nS
n
iin
iid
2
1
1
22)(
11
f
i
c
j ij
ijijc E
EO
1 1
22 )(
dondeN
NNE jiij
Ni : suma de valor es de la f ila iNj : suma de valor es de la columna j
2t = (f-1)(c-1) grados de libertad
f: total de filasc: total de columnas
9. ESTADSTICOS DE ASOCIACIN
Coeficiente de correlacin lineal simple (r)
Prueba de hiptesis para r
22
22
iiii
iiii
YYnXXn
YXYXn
r
Coeficiente de correlacin parcial
22 11 yzxz
yzxzxyxyz
rr
rrrr
rc s
rT
r: coeficiente de correlacin de la muestra: coeficiente de correlacin de la poblacin
sr: desviacin estndar de rn : pares de datos del conjunto
Desviacin estndar de r
21 2
n
rsr
Prueba de independenciaf
i
c
j ij
ijijc E
EO
1 1
22 )(
-
10
4
10. ESTADSTICOS DE REGRESIN LINEAL SIMPLE
Recta de mejor ajuste Intervalos de prediccinBXAY , bxay
Coeficiente de regresin lineal simple
SCx
SCxy
XXn
iYXYXn
b
ii
iii
22
2
1
22
1XnXXXSC
n
ii
n
iix
Constante de regresin xbya
Para un valor de Y dado Xo
yi STyL 2/
2/T con n-2 grados de libertad
SCx
XX
nSeSy
211
Error estndar de estimacin
21 1 1
2
n
YXbYaYSe
n
i
n
i
n
iiiii
Coeficiente de determinacin Para el promedio de dado Xo2
22
22 2
n
YY
n
XXbr
ii
ii
SCtotal
nSCregresi
YY
YY
r
i
i
2
2
2
22 rr =SCySCx
SCxy 2
2
2
x
e
yi STyL 2/
2/T con n-2 grados de libertad
SCx
XX
nSeSy
21
Y : valor observado de la variable dependiente: valor estimado de y
Y : promedio de yX : valor observado de la variable independienteXo : valor de X para el cual se estiman : nmero de pares observados
Coeficiente de regresin
b
oc s
bT
x
eb
sc
ss
b : coeficiente de regresin de la muestrao: coeficiente de regresin de la poblacin
Sb : error estndar del coeficiente de Regresin
2)( 2
n
yYs iie CME
Se : error estndar de estimacin. Dispersin de los valores de Y alrededor de su media.CME : cuadrado medio de error
-
11
5
11. MUESTREO SIMPLE AL AZAR: estimacin de la media aritmtica y laproporcin P de la poblacin
Clculo del tamao de la muestraPoblacin finita o muestreo simple al
azar sin reemplazoPoblacin infinita o muestreo simple al
azar con reemplazoPara estimar
22/
22/
11d
Z
N
d
Z
nx
x2
2/
d
Zn x
d: error de muestreon
Zd x2/
Para estimar P
22/11
22/
d
QPZ
N
d
QPZ
n
Con P y Q conocidas
2
2/
d
PQZn
Variancia del promedio en muestreo simple al azarPoblacin finita Poblacin infinita
nN
nN xX
22
1
12
N
nN
nx
XX
Si no se conoce x se estima con Sx
nx
X
22
2Xx
Tal que 2
X
xn
-
12
12
Intervalos de confianza para estimar Poblacin finita o muestreo simple al
azar sin reemplazoPoblacin infinita o muestreo simple al
azar con reemplazoPara estimar
1. Variancia de la poblacin conocida
nx
N
nNZXLi
12/
2. Variancia de la poblacin desconocida
a. n > 30
n
S
N
nNZXL xi
12/
b. n 30 y x normalmente
n
S
N
nNTXL xi
12/
2/T con n-1 grados de libertad
1. Variancia de la poblacin conocida
nZXL xi 2/
2. Variancia de la poblacin desconocida
a. n > 30
n
SZXL xi 2/
b. n 30 y x normalmente
n
STXL xi 2/
2/T con n-1 grados de libertad
Estimacin de proporciones en muestreo simple al azar y n grandeVariabilidad de P Estimacin de PPoblacin finita o muestreo sin reemplazo
n
PQ
N
nNVar p 1
Poblacin infinita o muestreo con reemplazo
n
PQVar p
Si no se conoce P, se estima con p
var(p) = p q , donde q = 1 pn
N
i
i
N
XP
1
Si no se conoce Pse estima con p
n
qpZpLi 2/
_______________________________Factor de correccin para poblaciones finitas
1NnN
FC
-
13
13
12. MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO CON MUESTREOSIMPLE AZAR DENTRO DE LOS ESTRATOS
Asignacin de la muestra EstimacinDistribucin Proporcional
hh
h nWN
Nnn ; donde
N
NW
hh
Distribucin ptima (Neyman)
L
hhh
hhh
N
Nnn
1
L
hhhh
hhh
QPN
QPNhnn
1
SimbologaN : tamao de la poblacin n : tamao de la muestrah : estratoL : nmero del estrato
hN : poblacin del estrato h
hn : muestra del estrato hh : desviacin estndar de la poblacin del
estrato hhP : proporcin de xitos de la poblacin del
estrato hhQ : proporcin de fracasos de la poblacin del
estrato h
hhQP : desviacin estndar de la proporcin de la poblacin del estrato h
PromedioL
h
hhh
L
hhes XWXNN
X11
1
Variancia del promedioL
h
hes XVarWhXVar1
2
Con factor de correccin
h
h
h
hhh
n
S
N
nNXVar
2
1
Sin factor de correccin
h
hh
n
SXVar
2
Intervalo de confianza
eses XVarZXLi 2/
hX : promedio del estrato h
hXVar : variancia del promedio del estrato h
esX : promedio de la muestra estratificada
esXVar : variancia del promedio de la muestra estratificada
-
14
7
Para proporcionesEstimacin Variancia de la proporcin
ProporcinL
hhhes pWp
1
Intervalo de confianzaeses pVarZpLi 2/
p : proporcin del estrato hesp : proporcin de la muestra estratificada
h
L
hhes pVarWpVar
1
2
Con factor de correccin
h
hh
h
hhh n
qp
N
nNpVar
1
Sin factor de correccin
h
hhh n
qppVar
hpVar :variancia de la proporcin del estrato h
espVar : variancia de la proporcin de la muestra estratificada
13. MUESTREO ALEATORIO DE CONGLOMERADOS
Muestreo simple al azar dentro de conglomeradosEstimacin del promedio Estimacin de la proporcin
n
ii
n
ii
m
YY
1
1
donde:
n : nmero de conglomerados seleccionados aleatoriamente, i = 1, 2, 3, ..., n
yi : total de observaciones en el i-simoconglomerado
mi : nmero de elementos en el i-simoconglomerado
n
ii
n
ii
m
ap
1
1
ai : elementos del conglomerado i con lacaracterstica de inters
-
15
15
14. ANALISIS DE VARIANZA
1. Diseo completamente aleatorizado (ANOVA a una va)
Gran Media de todas las observaciones
f
i
c
j
ij
n
XX
1 1
i = 1, 2, 3, ... , f , nmero de filas
j = 1, 2, 3, ... , c , nmero de columnas
Xij : cada una de las observaciones o celdas
Suma de cuadrados total2
1 1
f
i
c
jij XXSCT
2
1 1
1 1
2
n
Xf
i
c
jij
f
i
c
jijX
SCT=SCTR + SCE
Variacin de los valores alrededor de X
SCTR: suma de cuadrados de tratamiento
SCE : suma de cuadrados de error
Suma de los cuadrados del tratamiento2
1XXfSCTR j
c
jj
Variacin en las medias de cada tratamiento(o (o columna), alrededor de la gran media
f j : observaciones o filas en cada tratamientoSuma de los cuadrados del error
2
11jij
c
j
f
i
XXSCE
Variacin de los valores dentro de un tratamiento, alrededor de su propia media
Valor tabular de F glcnct FF ,1
Tabla del anlisis de varianzaFuente de variacin Suma de
cuadradosGrados delibertad
Cuadrado medio Valor de Fc
Tratamientos SCTR c 1 SCTR/(c 1) CMTR/CMEError SCE n c SCE /(n c )
Total SCT n 1
-
16
16
Prueba para la diferencia entre pares de mediasDiseos balanceados Diseos no balanceadosCriterio de Tukey
r
CMEqT cnc ),,(
r : observaciones en cada muestra
Criterio diferencia mnima significativa (DMS)
r
FCMEDMS
cn,1,2
Criterio diferencia mnima significativa (DMS)
),1,(,11
cnkj
kj FCMErrDMS
r j : observaciones en la muestra jr k : observaciones en la muestra k
2. Diseo aleatorizado en bloques (ANOVA a dos vas)
Suma de cuadrados de bloques2
1
f
i
ii XXcSCBL
Desviaciones de las medias del bloque(fila) alrededor de la gran media.
Suma del cuadrado de error SCE = SCT SCTR SCBL
Mide la variacin aleatoria de las observaciones alrededor de sus medias de tratamiento.
Cuadrado medio del error
11 crSCE
CME
Cuadrado medio de bloque
1rSCBL
CMBL
Tabla del anlisis de varianzaFuente de variacin Suma de
cuadradosGrados delibertad
Cuadrado medio Valor de Fc
Tratamientos (entre SCTR c 1 SCTR/(c 1) CMTR/CMEmuestras)
Entre bloques SCBL f 1 SCBL/(f 1) CMBL/CME
Error (Dentro de SCE (f 1)(c 1) SCE /(f 1)(c 1)muestras)Total SCT (f c) 1
-
17
17
15. PRUEBAS NO PARAMETRICAS Prueba Chi-cuadrado de Bondad de Ajuste
n
ic
E
EO
1
22 )(
2t = (k-1) grados de libertad
Esta prueba se utiliza para probar la hiptesis deque una distribucin de frecuencias observadase ajusta a alguna distribucin terica propuesta.Compara las frecuencias observadas con lasfrecuencias esperadas.Las frecuencias esperadas son aquellas que seespera que ocurran si la hiptesis nula escorrecta, entonces, E: np
O: frecuencia observada de un resultadoE: frecuencia esperada de un resultadok: nmero de categoras o resultadosn: nmero total de ensayos
Prueba del signo
n
nKZ
5,05,05,0
Valor de Z para muestras grandes
Prueba de rachas
1221
21
nn
nnr
122
212
21
212121
nnnn
nnnnnnr
r
rrZ
Media del nmero de rachas
Desviacin estndar del nmero de rachas
Desviacin normal para la distribucin del nmero de rachas
Coeficiente de correlacin de rangos de Spearman
1
61 2
2
nn
dr
n
ii
s
1nrZ s
Prueba sobre la relacin entre variablesclasificadas por rangos
Desviacin normal para muestras grandes
-
18
18
Kruskal-Wallis
131
12 2n
n
R
nnK
i
i
jikk nn
nnC
1112
121,
Se usa para comparar tres o mspoblaciones
Determina el valor crtico de la prueba paralas comparaciones por pares.
Estadstico U de Mann-Whitney
111
211 21
Rnn
nnU
222
212 21
Rnn
nnU
221 nn
u
1212121 nnnn
u
u
uUZ 11u
uUZ 22
Para la prueba de igualdad de dospoblaciones
Media de la distribucin muestral
Desviacin estndar
Normalizacin
-
Tablas estadsticas
-
20
20
Tab
la1.
Nm
eros
ale
ato
rio
s
Fil
aC
olu
mn
aF
ila
01
-0
50
6-1
01
1-
15
16
-2
02
1-
25
26
-3
03
1-
35
36
-4
04
1-
45
46
-5
05
1-
55
56
-6
06
1-
65
66
-7
07
1-
75
76
-8
08
1-
85
86
-9
09
1-
95
96
-10
0
01
87
32
66
31
15
95
70
65
68
59
30
15
28
93
67
76
35
16
58
28
63
24
47
20
27
96
82
95
62
36
64
80
96
40
06
85
76
33
01
58
14
80
51
68
74
64
08
34
79
05
01
02
13
02
53
91
22
32
73
17
73
92
93
46
36
55
57
26
97
84
37
24
38
06
92
84
62
65
45
09
45
83
43
11
37
11
39
72
02
44
70
66
41
13
69
44
30
98
67
93
15
96
02
03
31
74
57
69
28
27
47
99
85
26
24
28
15
93
92
79
75
40
30
55
45
56
43
40
68
10
64
23
41
17
15
77
82
95
24
17
11
50
27
92
45
65
03
15
96
37
59
35
59
83
03
04
58
04
03
11
23
71
30
63
08
15
87
08
53
90
33
95
47
41
55
89
57
97
95
94
56
08
49
93
27
31
00
58
96
14
61
77
24
50
94
45
99
92
44
00
62
16
52
05
17
29
04
05
36
68
60
70
93
78
96
18
72
83
20
98
50
26
03
83
34
39
30
23
72
32
06
73
70
59
52
37
27
74
48
97
66
71
80
38
11
20
07
97
80
00
10
95
07
62
96
09
67
41
05
06
02
77
44
31
62
54
67
14
76
73
59
45
08
16
10
03
18
04
28
36
55
23
24
05
16
17
57
03
66
53
31
74
53
02
16
11
24
60
57
68
58
55
39
36
43
50
57
51
55
74
06
07
95
95
03
04
15
45
13
46
19
98
32
19
19
76
90
07
68
80
40
65
48
25
32
83
76
62
00
85
29
37
13
24
55
73
87
26
66
73
29
94
63
62
89
64
72
52
96
88
06
48
07
08
69
33
84
83
78
45
03
99
64
32
39
94
90
08
24
40
33
91
60
62
74
01
09
10
46
78
61
01
60
86
04
65
18
14
05
37
42
21
96
72
44
62
43
68
36
62
48
41
82
81
08
09
83
86
54
46
00
70
76
07
47
34
42
73
26
70
95
54
59
22
33
86
34
04
06
82
88
64
91
03
29
69
36
98
50
43
89
16
79
47
78
33
61
25
19
42
88
97
00
72
78
40
9
10
28
51
63
63
35
67
85
51
83
08
52
16
58
41
36
70
00
36
99
45
38
83
55
19
30
25
56
89
92
31
44
46
91
02
42
57
99
78
08
10
60
20
79
03
81
09
16
83
16
63
10
11
57
24
16
24
10
67
93
73
80
11
68
55
70
24
23
30
88
28
55
56
60
72
68
96
69
73
41
55
86
66
98
85
92
41
68
59
35
22
41
25
57
84
50
55
18
67
11
96
50
84
11
12
83
01
66
34
08
60
64
08
08
22
53
33
78
05
17
83
11
71
79
63
50
26
49
84
59
01
75
24
87
69
85
40
04
73
19
81
61
06
20
99
90
05
48
94
83
16
65
18
27
27
12
13
19
83
41
83
02
96
19
48
45
76
77
43
80
23
22
34
76
71
35
38
06
68
11
56
07
43
63
88
54
85
60
97
94
48
26
72
02
17
50
94
99
36
21
37
36
96
14
66
11
26
13
14
13
12
31
56
65
84
32
64
37
70
36
31
49
46
29
16
10
29
96
95
43
09
56
56
85
83
62
79
03
93
85
15
31
52
23
53
38
08
95
02
72
28
97
17
06
16
39
14
46
79
14
15
49
28
18
75
67
05
05
73
96
71
72
16
42
28
71
04
64
87
22
10
37
05
37
13
58
37
72
71
33
43
64
62
91
94
74
49
48
36
38
60
93
41
17
90
58
72
22
87
33
79
15
16
84
93
68
42
77
97
06
13
77
73
94
00
99
34
42
30
92
74
05
56
07
06
58
63
40
67
14
45
37
98
01
88
09
76
87
47
49
36
42
84
31
63
27
73
55
44
10
54
04
49
16
17
86
56
31
79
57
39
14
00
57
95
36
25
34
04
71
30
45
73
43
58
05
72
87
84
75
41
40
83
38
60
88
45
55
16
31
62
83
83
22
24
49
35
86
90
94
05
42
93
29
81
17
18
21
05
85
33
77
90
55
55
52
81
46
34
22
53
88
57
68
62
40
94
70
07
44
12
06
16
58
42
62
28
33
64
72
12
29
22
28
29
77
87
75
08
86
23
74
01
09
65
87
02
18
19
87
95
17
38
52
05
70
45
99
78
42
14
62
72
44
27
47
05
92
18
19
77
96
14
43
44
09
69
01
43
69
16
73
31
00
30
79
34
16
30
30
14
65
32
21
13
00
71
20
03
19
20
33
80
20
04
85
88
90
35
40
85
29
70
45
20
04
99
68
37
67
39
43
85
22
20
22
75
88
41
84
64
20
36
84
93
03
37
80
05
86
81
50
14
22
37
40
78
08
88
23
51
20
21
39
47
69
28
80
04
76
16
35
24
21
92
43
89
14
72
65
28
34
77
66
41
16
68
48
81
45
14
90
25
84
75
69
43
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68
51
12
66
73
91
75
18
42
31
74
48
35
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05
21
22
20
89
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93
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09
91
97
33
33
48
90
99
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56
00
99
26
50
59
32
19
10
68
64
42
45
44
33
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27
78
89
16
35
89
33
27
46
65
49
03
73
46
41
54
52
95
72
22
23
33
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35
50
65
21
62
88
43
10
00
49
41
52
04
03
47
92
47
87
02
42
39
49
86
40
46
48
58
67
00
17
76
75
44
98
92
96
11
29
85
11
99
24
65
49
22
04
23
14
23
24
23
67
09
54
92
88
94
96
20
53
91
64
47
81
85
76
57
40
55
42
01
64
54
80
45
03
50
70
68
00
76
87
00
97
87
82
79
49
51
23
74
21
20
83
83
82
50
47
33
42
4
25
09
99
26
44
64
82
02
23
15
16
91
30
89
27
27
79
26
69
77
90
06
16
54
40
14
27
03
68
17
87
75
58
26
16
17
26
58
23
64
48
20
64
39
24
56
56
51
71
77
80
25
26
47
79
84
37
91
65
21
22
01
67
05
41
12
60
66
04
80
48
68
65
14
71
97
24
85
34
90
41
13
47
28
35
27
59
94
74
18
19
50
90
19
49
23
42
63
27
90
67
73
89
26
27
54
85
74
33
12
69
61
90
29
27
54
54
63
03
60
04
98
74
26
25
91
98
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