formulas y tablas

1

FORMULAS Y

TABLAS

ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN ARMADO

ALUMNO/A: …………………………………………………………

1º Ed. 2013

(EHE 08; EC2)

ESTE TEXTO ES PARA REALIZAR LOS EXAMENES DE LAS

ASIGNATURAS ESTRUCTURAS DE HORMIGÓN Y HORMIGÓN

PRETENSADO. ESTA TERMINANTEMENTE PROHIBIDO

ESCRIBIR NADA EN ÉL. SERÁ REVISADO POR EL PROFESOR Y

PUEDE SIGNIFICAR LA DESCALIFICACIÓN DEL EXAMEN.

2

INDICE

1 MATERIALES Y BASES DE CALCULO 03

2 ELU. VIGAS Y COLUMNAS. FLEXION

SIMPLE Y COMPUESTA

19

3 ELU. VIGAS Y COLUMNAS. COMPRESIÓN

COMPUESTA

26

4 ELU. PANDEO 43

5 ELU. CORTANTE. PUNZONAMIENTO.

RASANTE. TORSION.

46

6 ELS. FISURACIONES. DEFORMACIONES.

VIBRACIONES

55

7 VIGAS EN T 62

8 CIMENTACIONES 67

9 LOSAS/PLACAS 86

10 MUROS/PANTALLAS 92

3

1. MATERIALES Y BASES DE CALCULO

Componentes del hormigón Cementos

Tipos de cementos más comunes en construcción

Cementos comunes CEM:

- CEM I: Cemento portland (CEM I)

- CEM II: Cementos portland con adiciones

Escoria de alto horno (CEM II/A ó B-S)

Humo de sílice (CEM II/A-D)

Puzolanas naturales (CEM II/A ó B-P)

Cenizas volantes (CEM II/A ó B-V)

Caliza (CEM II/A-L)

Mixto (CEM II/A ó B-M)

- CEM III: Cemento de alto horno (CEM III/A ó B)

- CEM IV: Cemento puzolánico (CEM IV/A ó B)

- CEM V: Cemento compuesto (CEM V/A)

Cementos blancos BL , tipos I, II y V

Cementos para usos especiales ESP VI-1 y 2

Cemento de aluminato de calcio CAC/R (endurecimiento rápido)

Cementos con características adicionales:

- Cementos resistentes a sulfatos o aguas de mar (SR, MR)

- Cementos de bajo calor de hidratación (BC)

RC 97. Tipos de cemento y composiciones: proporción en masa (1)

Tipo de

Cem.

Denominación

Designación

Clínker K

Escoria de Horno alto

S

Humo de Sílice D

Puzolanas Naturales

P

Cenizas Volantes

V

Caliza L

Componentes Minoritarios

Adiciones (2)

CEM I Cemento Portland

CEM I 95-100 —— —— —— —— —— 0-5

CEM II

Cem Portland con escoria

CEM II/A-S CEM II/B-S

80-94 65-79

6-20 21-35

—— ——

—— ——

—— ——

—— ——

0-5 0-5

Cem Portland + humo de sílice

CEM II/A-D 90-94 —— 6-10 —— —— —— 0-5

Cem Portland con puzolana

CEM II/A-P CEM II/B-P

80-94 65-79

—— ——

—— ——

6-20 21-35

—— ——

—— ——

0-5 0-5

Cem Portland + ceniza volante

CEM II/A-V CEM II/B-V

80-94 65-79

—— ——

—— ——

—— ——

6-20 21-35

—— ——

0-5 0-5

Cem Portland con caliza

CEM II/A-L 80-94 —— —— —— —— 6-20 0-5

Cem Portland Mixto (3).

CEM II/A-M CEM II/B-M

80-94 65-79

6-20 21-35

(4) (5) (4) (5)

(6)

CEM III Cemento de horno Alto

CEM III/A CEM III/B

35-64 20-34

36-65 66-80

—— ——

—— ——

—— ——

—— ——

0-5 0-5

CEM IV Cemento Puzolánico

CEM IV/A CEM IV/B

65-89 45-64

—— ——

11-35 (4) 36-55 (4)

—— ——

0-5 0-5

CEM V Compuesto CEM V/A 40-64 18-30 —— 18- 30 —— 0-5

1. Los valores de la tabla se refieren al núcleo de cemento, entendiéndose por tal el "clínker" y las adiciones con exclusión del sulfato de calcio (regulador de fraguado) y de los aditivos.

2. Los componentes minoritarios adicionales pueden ser "filler", o uno o más de los componentes principales, a menos que están incluidos ya como tales en el cemento.

3. Cuando algún cemento portland, mixto, en razón de su composición, se pueda incluir en alguno de los tipos II anteriores, deberá llevar la denominación y designación correspondientes a dicho tipo.

4. La proporción de humo de sílice se limita al 10 por 100. 5. La proporción de "filler" se limita al 5 por 100. 6. La proporción de caliza se limita al 20 por 100.

4

RC 97. Prescripciones mecánicas y físicas de los cementos comunes

Clase resistente

Resistencia a compresión [N/mm2] Tiempo de fraguado

Expansión [mm]

Resistencia inicial Resistencia normal

a 28 días

Principio [Minutos]

Final [Horas] 2 días 7 días

32,5 - 16,0 32,5 52,5

60

12 10

32,5R (1) 13,5 -

42,5 13,5 -

42,5 62,5 42,5 R (1)

20,0 -

52,5 20,0 -

52,5 - 45 52,5 R (1)

30,0 -

(1) R = Alta resistencia inicial

En general se acepta utilizar:

Tipo de hormigón Tipo de cemento

Hormigón en masa Cementos comunes

Cementos para usos especiales (BC, etc.)

Hormigón armado Cementos comunes

Hormigón pretensado Cementos comunes tipo CEM I y II/ A-D

Áridos

SUSTANCIAS PERJUDICIALES

Cantidad máxima

en % del peso

total de la

muestra

Árido

fino

Árido

grueso

Terrones de arcilla, determinados con arreglo al método de ensayo indicado

en la UNE 7133:58.

1.00 0.25

Partículas blandas, determinadas con arreglo al método de ensayo indicado en

la UNE 134:58.

-- 5.00

Material retenido por el tamiz 0,063 UNE EN 933-2:96 y que flota en líquido de

peso específico 2, determinado con arreglo al método de ensayo indicado en

la UNE EN 1744-1:98.

0.50

1.00

Compuestos totales de azufre expresados en SO3= y referidos al árido seco,

determinados con arreglo al método de ensayo indicado en la UNE EN 1744-

1:98.

1.00

1.00

Sulfatos solubles en ácidos, expresados en SO3= y referidos al árido seco,

determinados con arreglo al método de ensayo indicado en la UNE EN 1744-

1:98.

0.80

0.80

Cloruros expresados en CI- y referidos al

árido seco, determinados con arreglo al

método de ensayo indicado en la UNE EN

1744-1:98.

Hormigón armado u hormigón en

masa que contenga armaduras

para reducir la fisuración.

0.05

0.05

Hormigón pretensado. 0.03 0.03

Parábola de Fuller:

PE = 100D

d

Siendo PE el porcentaje de árido en peso que pasa por un tamiz determinado, d el diámetro del árido que

pasa por el tamiz analizado y D el diámetro del árido mayor (o tamaño máximo del árido).

5

Curva de Bolomey:

PE = a + (100-a)D

d

Consistencia Valores de a

Rodados Machacados

Seca y Plástica 10 12

Blanda 11 13

Fluida 12 14

Tamices normalizados por las normas UNE, que son los que se indican:

Tamices

Abertura en [mm]

UNE EN 933 -2:96

0.063 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8 10 16

20 31.5 40 63 125

Cortesía de Jiménez Montoya.

Cortesía de Jiménez Montoya

6

Límites Material retenido acumulado, en % en peso, en los tamices

4 mm 2 mm 1 mm 0.5 mm 0.25 mm 0.125 mm 0.063 mm

Superior 0 4 16 40 70 82 (1)

Inferior 20 38 60 82 94 100 100

El módulo de finura representa el tamiz medio, o sea, la abertura o tamaño medio de la partícula retenida

en él y se describe para las arenas, cuál es el módulo de finura mínimo y máximo que tienen que tener

para emplearse en hormigones. Este módulo, las clasifica en finas, medias y gruesas.

El coeficiente de forma ( ) de un árido, es obtenido a partir de un conjunto de n granos representativos

de dicho árido, mediante la expresión:

1 2

1 2

3 3 3

.....

.....6

n

n

V V V

d d d

donde es:

= coeficiente de forma;

Vi = volumen de cada grano;

di = la mayor dimensión de cada grano, es decir, la distancia entre los dos planos paralelos y tangentes a

ese grano que estén más alejados entre sí de entre todos los que sea posible trazar.

El tamaño máximo del árido grueso será menor que las dimensiones siguientes:

a) 0,8 veces la distancia horizontal libre entre vainas o armaduras que no formen grupo, o entre un borde

de la pieza y una vaina o armadura que forme un ángulo mayor que 45o con la dirección de hormigonado.

b) 1,25 veces la distancia entre un borde de la pieza y una vaina o armadura que forme un ángulo no mayor que 45o con la dirección de hormigonado. c) 0,25 veces la dimensión mínima de la pieza, excepto en los casos siguientes: - Losa superior de los forjados, donde el tamaño máximo del árido será menor que 0,4 veces el espesor mínimo. - Piezas de ejecución muy cuidada (caso de prefabricación en taller) y aquellos elementos en los que el efecto pared del encofrado sea reducido (forjados que se encofran por una sola cara), en cuyo caso será menor que 0,33 veces el espesor mínimo. Los áridos se designan como:

d/D – IL - N

donde.

d/D, indica fracción granulométrica comprendida entre un tamaño mínimo d y un tamaño máximo D, en

mm,

IL, indica forma de Presentación ( R, rodado; T, triturado (machacado); M, mezcla),

N, indica Naturaleza (C, calizo; S, silíceo; G, granito; O, ofita; B, basalto; D, dolomítico; Q, traquita; I,

fonolita; V, varios; A, artificial; R, reciclado).

Agua

Exponente de hidrógeno pH 5

Sustancias disueltas 15 gr/litro

Sulfatos SO4= excepto para cemento SR que llega a 5 gr/litro 1 gr/litro

Ion cloruro Cl-

Para hormigón pretensado 1 gr/litro

Para hormigón armado o en masa con armadura antifisuración 3 gr/litro

Hidratos de carbono (grasas) 0

Sustancias orgánicas solubles en éter 15 gr/litro

7

Aditivos

Inclusores de aire: para elaborar hormigones menos densos, más ligeros. Debido a la rotura de

capilares interiores, aumentan la resistencia a heladas, en general.

Fluidificantes: aumentan la docilidad y permiten disminuir el agua de amasado.

Superfluidificantes: son mejores que los anteriores porque permiten disminuir mayor cantidad de

agua. De los más usados en la práctica.

Aceleradores de fraguado (o de endurecimiento): para prefabricados, climas muy fríos, etc.

Retardadores de fraguado: grandes macizos con gran desprendimiento de calor de hidratación. Son

incorporados en todos los hormigones de Central actualmente, para permitir un tiempo mínimo para

transporte y colocación adecuada.

Inhibidores de fraguado: similares a los anteriores pero para transportar hormigones a muy largas

distancias (camiones de transporte o Mixers).

Anticongelantes: climas muy fríos.

Impermeabilizantes: estructuras estancas.

Inhibidores de corrosión de armaduras: ambientes muy agresivos.

Inhibidores de reacción álcali-áridos: evitan la reacción entre el cemento y los áridos.

Para el bombeo: reducen el rozamiento en la tubería de bombeo.

Hormigones proyectados: disminuyen el descuelgue o caída.

Para inyecciones: aumentan la consistencia.

Colorantes: fin estético.

Adiciones

Recogidas y aceptadas en EHE:

Ceniza volante: son las cenizas que salen por las chimeneas de las centrales termoeléctricas, en

estas chimeneas hay unos filtros para que estas cenizas sean recogidas y no salgan al

ambiente.

Humo de sílice: procede de la producción de microprocesadores. Directamente de la fundición de

sílice.

No recogidas en EHE:

Escoria: las sustancias vítreas que flotan en el acero en los procesos de fundidos. Son

impurezas del acero que se retiran y que se aprovechan para el cemento a precio muy barato.

Puzolana natural: es un tipo de piedra natural de naturaleza volcánica procedente de Puzuoli

(Italia) o de similares características. Esta piedra ya la conocían los romanos y la empleaban

para sus construcciones.

Filler calizo: es el polvo de las canteras de caliza, residuos de triturado en las canteras. De todas

las adiciones es la menos contaminante, y junto con el humo de sílice la que más resistencia

aporta al cemento.

Armaduras de Acero

Las armaduras pasivas podrán estar constituidas por:

barras corrugadas

mallas electrosoldadas

armaduras básicas electrosoldadas en celosía

Los diámetros nominales de las barras corrugadas se ajustarán a la siguiente serie comercial:

6 - 8 - 10 - 12 – 14 - 16 - 20 - 25 - 32 y 40 [mm]

Los diámetros nominales de los alambres corrugados, más empleados en las mallas se ajustan a:

5 - 5.5 - 6 - 6.5 - 7 - 7.5 - 8 - 8.5 - 9 - 9.5 - 10 - 11 - 12 - 14 y 16 [mm]

8

Esta armadura se utiliza en lo que se conoce habitualmente como “mallazo” y las mallas estándar pueden

ser de retícula cuadrada de 15x15 [cm] y 20x20 [cm] o rectangular de 15x30 [cm] y 20x30 [cm]. Aunque

también se hacen adaptándose a la necesidad de obra.

Los diámetros nominales de los alambres lisos o corrugados, más empleados en las armaduras básicas

electrosoldadas se ajustan a:

5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 y 12 [mm]

Las características mecánicas de los aceros

Tipo de acero Acero soldable Acero soldable con características

especiales de ductilidad

Designación B 400 S B 500 S B 400 SD B 500 SD

Límite elástico (fy) en N/mm2 ≥ 400 ≥ 500 ≥ 400 ≥ 500

Límite rotura (fs) en N/mm2 ≥ 440 ≥ 550 ≥ 480 ≥ 575

Alargamiento de rotura, εu,5 (%) (sobre

base de 5 )

≥ 14 ≥ 12 ≥ 20 ≥ 16

Alargamiento

total bajo carga

máxima,

εmax (%)

Acero suministrado

en barra

≥ 5.0 ≥ 5.0 ≥ 7.5 ≥ 7.5

Acero suministrado

en rollo

≥ 7.5 ≥ 7.5 ≥ 10.0 ≥ 10.0

Relación fs/fy ≥ 1.05 ≥ 1.05 1.20 ≤ fs/fy ≤ 1.35 1.15 ≤ fs/fy ≤ 1.35

Relación fy real/fy nominal --- --- ≤ 1.20 ≤ 1.25

Existen dos tipos de aceros:

Acero trefilado (T)

Acero de alta soldabilidad (S)

La nomenclatura de las barras de acero utilizadas es B 400 S (ó SD), B 500 S (ó SD) y B 500 T. Donde:

B indica barra de acero

400/500 es el valor del límite elástico en Mpa

S indica que es soldable (certificado por AENOR)

SD significa que es soldable y de alta ductilidad (también certificado)

T significa que está trefilado para mallas electrosoldadas.

Tipo de acero para alambres

Designación

de los

alambres

Ensayo de tracción Ensayo de doblado-

desdoblado

= 90º; = 20º

Diámetro del mandril

fy en

N/mm2

fs en

N/mm2

L en %

fs / fy

B 500 T 500 550 8 1.03 5 d

Mallas Electrosoldadas

Tipos de mallas electrosoldadas Tipos de mallas electr ME 500 SD ME 400SD ME 500S ME 400 S ME 500T ME 400 T

Tipo de acero B500SD B400SD B500S B400S B500T B400T

9

Propiedades del Hormigón fresco

Las consistencias EHE son: Tipo de consistencia Asiento en cm

Seca 0 - 2

Plástica 3 - 5

Blanda 6 - 9

Fluida 10 - 15

Líquida 16 - 20

EC 2 indica las siguientes consistencias: Tipo de consistencia Asiento en cm

S1 (seca) 1 - 4

S2 (plástica) 5 - 9

S3 (blanda) 10 - 15

S4 (fluida) >16

De la consistencia del hormigón dependerá, el método de vibrado: Tipo de consistencia Tipo de Compactación

Seca Vibrado enérgico

Plástica Vibrado Normal

Blanda Vibrado Normal o picado con barra

Fluida Picado con barra

Líquida No necesario

La relación Agua - Cemento (A/C)

10

Tiempos de desencofrado:

Elementos Tiempos

Lados de vigas y columnas 3 días

Losas o placas (no prefab.) 8 días

Fondo de vigas de hasta 7 m 21 días

Idem de luces mayores 3 x Luz

Para EHE: Temperatura superficial del

hormigón (ºC) > 24º > 16º > 8º > 2º

Encofrado vertical 9 horas 12 horas 18 horas 30 horas

Losas

Fondos de encofrado

Puntales

2 días

7 días

3 días

9 días

5 días

13 días

8 días

20 días

Vigas

Fondos de encofrado

Puntales

7 días

10 días

9 días

13 días

13 días

18 días

20 días

28 días

Características mecánicas del hormigón endurecido

Determinación de la resistencia del hormigón

Tabla de conversión entre distintas probetas que es:

Tipo de

probeta

Dimensiones (cm)

Coeficiente de conversión a la probeta

cilíndrica de 15 x 30 cm

Límites de variación Valores medios

Cilindro

15 x 30 --- 1.00

10 x 20 0.94 a 1.00 0.97

25 x 50 1.00 a 1.10 1.05

Cubo

10 0.70 a 0.90 0.80

15 0.70 a 0.90 0.80

20 0.75 a 0.90 0.83

30 0.80 a 1.00 0.90

Prisma 15 x 15 x 45 0.90 a 1.20 1.05

20 x 20 x 60 0.90 a 1.20 1.05

Indicado en una tabla es: Edad del hormigón (días) 3 7 28 90 360

Hormigón de endurecimiento normal 0.40 0.65 1.00 1.20 1.35

Hormigón con endurecimiento rápido 0.55 0.75 1.00 1.15 1.20

Resistencia Característica y resistencia de Cálculo

Resistencia media:

ci

m

ff

n , siendo, n el número de probetas y

cif las resistencias últimas de cada probeta.

Desviación normal estándar (S):

2

cm cif fS

n

Desviación normal adimensional:

2

11 ci

cm cm

fS

f n f

Resistencia característica estimada del hormigón (cestf ) para compresión:

cest cm ckf f S f

es un coeficiente adimensional que depende del número de probetas (n) y se hace = 1.64 cuando n

es mayor de 30.

11

EHE define una relación entre la resistencia característica real y la resistencia media:

1 1.64ck creal cmf f f

Valores de Resistencias a Compresión:

20; 25; 30; 35; 40; 45; 50; 55; 60; 70; 80; 90; 100 (en N/mm2 o Mpa):

La de 20 vale sólo para HM, entre 25 y 50 son de resistencia normal, y valores mayores de 50

corresponden a Alta Resistencia (AR).

Resistencia a Tracción:

23, 0.30ct m ckf f para 250 /ckf N mm

23, 0.58ct m ckf f para 250 /ckf N mm

La resistencia media a flexotracción, , ,ct m flf , viene dada por la siguiente expresión que es función del

canto total del elemento (h) en mm:

, , , ,max 1.6 /1000 ;ct m fl ct m ct mf h f f

Luego, con estos valores medios se halla la resistencia característica a tracción como:

, ,0.70ct k ct mf f

Resistencia de cálculo del hormigón en compresión

ckcd cc

c

ff

Donde: 0.85 1cc .

,ct k

ctd ct

c

ff

Tipificación del hormigón

Para EHE: T – R / C / TM / A,

donde:

T tipo de hormigón: en masa (HM), hormigón armado (HA) u hormigón pretensado (HP)

R es la resistencia característica especificada en N/mm2

C es la letra inicial del tipo de consistencia (S, P, B, F y L)

TM es el tamaño máximo del árido en milímetros

A es la designación del ambiente (se verá más adelante)

Para EC2: densidad normal (C), baja densidad o ligeros (LC) y alta densidad o pesados (HC). Siempre C

denota concrete. Se tiene: C25/30; C30/37; C40/50; C45/55, C50/60, etc., donde el primer valor es la

resistencia cilíndrica y el segundo la cúbica. Los hormigones van desde C16/20 hasta C90/105 y

superiores.

Módulo de deformación longitudinal

Módulo de deformación longitudinal secante 38500cm cmE f [Mpa]

Para cargas instantáneas o rápidamente variables, el módulo de deformación inicial del hormigón es:

c E cmE E [Mpa]

Con:

1.30 1.175400

ckE

f

8cm ckf f [Mpa]

Factor a multiplicar para edades diferentes a 28 días

12

Edad del hormigón, en días 3 7 28 90 360


Hormigón con endurecimiento rápido 0.55 0.75 1.00 1.15 1.20

Bases de Cálculo

Valores característicos y ponderados de las acciones

Fd = f Fk

Donde:

Fd , valor de cálculo.

f , coeficiente parcial de seguridad de la acción considerada.

Fk, valor representativo (en general característico, extraído de su norma correspondiente).

Peso propio del hormigón (Usar las siguientes densidades de EC2 y EHE):

HM: 2300 kg/m

3 si fck ≤ 50 N/mm

2

2400 kg/m3 si fck > 50 N/mm

2

HA y HP: 2500 kg/m3

Coeficientes de seguridad

Para ELU

Tipo de acción Situación persistente o transitoria Situación accidental

Efecto

favorable Efecto desfavorable Efecto favorable

Efecto

desfavorable

Permanente G = 1.00 G

= 1.35 G = 1.00 G

= 1.00

Pretensado P = 1.00 P

= 1.00 P = 1.00 P

= 1.00

Permanente de

valor no constante *G

= 1.00 *G= 1.50 *G

= 1.00 *G= 1.00

Variable Q = 0.00 Q

= 1.50 Q = 0.00 Q

= 1.00

Accidental -- -- A = 1.00 A

= 1.00

Para ELS

Tipo de acción Efecto favorable Efecto desfavorable

Permanente G = 1.00 G

= 1.00

Pretensado Armadura pretesa P = 0.95 P

= 1.05

Pretensado Armadura postesa P = 0.90 P

= 1.10

Permanente de valor no constante *G = 1.00 *G

= 1.00

Variable Q = 0.00 Q

= 1.00

Combinación de acciones

Para ELU

Situaciones persistentes o transitorias:

, * , ,1 ,1 0, ,1 1 1*Gj k j G j k j P k Q k Qi i k ij j i

G G P Q Q

Situaciones accidentales:

, * , ,1 1,1 ,1 2, ,1 1 1*Gj k j G j k j P k A k Q k Qi i k ij j i

G G P A Q Q

Situaciones sísmicas:

, * , , 2, ,1 1 1*Gj k j G j k j P k A E k Qi i k ij j i

G G P A Q

Donde es:

,k jG : valor característico de las acciones permanentes

,*k jG : valor característico de las acciones permanentes de acción no constante

kP : valor característico de la acción de pretensado

,1kQ : valor característico de la acción variable determinante

0, ,i k iQ : valor representativo de combinación de las acciones variables concomitantes

1,1 ,1kQ : valor representativo frecuente de la acción variable determinante

13

2, ,i k iQ : valores representativos cuasi permanentes de las acciones variables con la acción determinante

o con la acción accidental

kA : valor característico de la acción accidental

,E kA : valor característico de la acción sísmica

Coeficientes parciales de seguridad de los materiales

Situación de proyecto Hormigón ( c) Acero pasivo y activo( s

)

Persistente o transitoria 1.50 1.15

Accidental 1.30 1.00

Curvas de tensión - deformación para el acero y el hormigón

ckcd cc

c

ff

; ,ct k

ctd

c

ff

; 0.85 1.00cc

- para el hormigón

Ecuación de la parábola

0

1 1

n

cc cd

c

f

; 00 c c

c cdf ; 0c c cu

Valores de deformación de rotura a compresión simple ( 0c):

0 0.002c 250ckf N mm

0.50

0 0.002 0.000085 50c ckf 250ckf N mm

Valores de deformación última (cu ):

0.0035cu 250ckf N mm

4

1000.0026 0.0144

100

ck

cu

f

250ckf N mm

Valor de n que define el grado de la parábola:

2n 250ckf N mm

4

1.4 9.6 100 /100ckn f 250ckf N mm

- para el acero de armaduras pasivas

0c cu

14

Vida útil de una estructura

Tipo de estructura Vida útil nominal

Estructuras de carácter temporal Entre 3 y 10 años

Elementos reemplazables que no forman parte de la estructura principal

(por ejemplo, barandillas, apoyos de tuberías) Entre 10 y 25 años

Edificios (o instalaciones) agrícolas o industriales y obras marítimas Entre 15 y 50 años

Edificios de viviendas u oficinas, puentes u obras de paso de longitud total

inferior a 10 metros y estructuras de ingeniería civil (excepto obras

marítimas) de repercusión económica baja o media

50 años

Edificios de carácter monumental o de importancia especial 100 años

Puentes de longitud total igual o superior a 10 metros y otras estructuras de

ingeniería civil de repercusión económica alta 100 años

Hipótesis y bases de cálculo en hormigón armado

El método de los Estados Límites:

ELD. Estado Límite de Durabilidad

ELU. Estados Límites Últimos

ELS. Estados Límites de Servicio

Estado Límite de Durabilidad

Clases Generales de exposición (relativas a la corrosión de las armaduras)

Cla-

se

Sub-

clase

Des Tipo de proceso

Descripción

Ejemplos

no agresiva

I

Ninguno

-interiores de edificios, no sometidos a

condensaciones

-elementos de hormigón en masa

-interiores de edificios, protegidos de la

intemperie

Norm

al

Hum

ed

ad a

lta

IIa

corrosión de

origen diferente

de los cloruros

-interiores sometidos a humedades

relativas medias altas (>65%) o a

condensaciones

-exteriores en ausencia de cloruros, y

expuestos a lluvia en zonas con

precipitación media anual superior a 600

mm.

-elementos enterrados o sumergidos.

-sótanos no ventilados

-cimentaciones

-tableros y pilas de puentes en zonas

con precipitación media anual superior a

600 mm

-elementos de hormigón en cubiertas de

edificios

Hum

ed

ad

media

IIb

corrosión de

origen diferente

de los cloruros

-exteriores en ausencia de cloruros,

sometidos a la acción del agua de lluvia, en

zonas con precipitación media anual

inferior a 600 mm

-construcciones exteriores protegidas de

la lluvia

-tableros y pilas de puentes, en zonas de

precipitación media anual inferior a 600

mm


cu

15

Mari

na

aére

a

aére

a

IIIa

corrosión por

cloruros

-elementos de estructuras marinas, por

encima del nivel de pleamar

-elemento exteriores de estructuras

situadas en las proximidades de la línea

costera (a menos de 5 km)

-edificaciones en las proximidades de la

costa

-puentes en las proximidades de la costa

-zonas aéreas de diques, pantalanes y

otras obras de defensa litoral

-instalaciones portuarias

sum

erg

ida

IIIb

corrosión por

cloruros

-elementos de estructuras marinas

sumergidas permanentemente, por debajo

del nivel mínimo de bajamar

-zonas sumergidas de diques y otras

obras de defensa litoral

-cimentaciones y zonas sumergidas de

pilas de puentes

En z

ona d

e

mare

as

IIIc

corrosión por

cloruros

-elementos de estructuras marinas situadas

en la zona de carrera de mareas.

-zonas situadas en el recorrido de marea

de diques y otras obras de defensa litoral

-zonas de pilas de puentes sobre el mar,

situadas en el recorrido de marea.

con cloruros de

origen

diferente del

medio marino

IV

corrosión por

cloruros

-instalaciones en contacto con agua con

cloruros, no relacionados con el ambiente

marino

-superficies expuestas a sales de deshielo

no impermeabilizadas.

-piscinas

-pilas de pasos superiores o pasarelas

en zonas de nieve

-estaciones de tratamiento de agua.

Clases Específicas de exposición (relativas a otros procesos distintos de corrosión)

Cla-

se

Sub-

clase

Des Tipo de

proceso

Descripción

Ejemplos

débil

d

Qa

ataque

químico

-elementos situados en ambientes con contenidos

de sustancias químicas capaces de provocar la

alteración del hormigón con velocidad lenta (ver

Tabla 8.2.3.b)

-instalaciones industriales, con sustancias

débilmente agresivas según tabla 8.2.3.b.

-construcciones en áreas industriales, con

agresividad débil.

Quím

ica a

gre

siv

a

me

dia

Qb

ataque

químico

-elementos en contacto con agua de mar



alteración del hormigón con velocidad media (ver

Tabla 8.2.3.b)

-dolos, bloques y otros elementos para diques

-estructuras marinas, en general

-instalaciones industriales con sustancias de

agresividad media.

-construcciones en proximidades de áreas

industriales, con agresividad media según tabla

8.2.3b.

-instalaciones de conducción y tratamiento de

aguas residuales con agresividad media.

fuert

e

Qc

ataque

químico



alteración del hormigón con velocidad rápida (ver

Tabla 8.2.3.b)

-instalaciones industriales, con sustancias de

agresividad alta

-instalaciones de conducción y tratamiento de

aguas residuales con agresividad alta.

Con h

ela

das

sin

sales

funden

tes

H

ataque

hielo-

deshielo

-elementos situados en contacto frecuente con

agua, o zonas con humedad relativa media

en invierno superior al 75%, y con probabilidad

anual superior al 50% de alcanzar temperaturas

por menor 5ºC

-construcciones en zonas de alta montaña

-estaciones invernales

con

sales

funden

tes

F

ataque por

sales

fundentes

-elementos destinados al tráfico de vehículos o

peatones en zonas con más de 5 nevadas anuales

o con valor medio de la temperatura mín en los

meses de invierno inferior a 0ºC

-tableros de puentes o pasarelas en zonas de

alta montaña

Erosión

E

abrasión

cavitación

-elementos sometidos a desgaste superficial

-estructuras hidráulicas en los que la cota

piezométrica pueda descender por debajo de la

presión de vapor del agua

-pilas de puente en cauces fuertes t

-elementos de diques, pantalanes y otras obras

de defensa litoral sometidos a fuertes oleajes

-pavimentos de hormigón

16

Clasificación de la agresividad química TIPO DE EXPOSICIÓN

TIPO DE MEDIO

AGRESIVO

PARÁMETROS

Qa

Qb

Qc

ATAQUE

DÉBIL

ATAQUE

MEDIO

ATAQUE

FUERTE

AGUA VALOR DEL pH

6,5 - 5,5 5,5 - 4,5 < 4,5

CO2 AGRESIVO

(mg CO2/ l) 15 - 40 40 - 100 > 100

IÓN AMONIO

(mg NH4+ / l) 15 - 30 30 - 60 > 60

IÓN MAGNESIO

(mg Mg2+

/ l) 300 - 1000 1000 - 3000 > 3000

IÓN SULFATO

(mg SO42-

/ l) 200 - 600 600 - 3000 > 3000

RESIDUO SECO

(mg / l) 75 – 150 50 – 75 <50

SUELO GRADO DE

ACIDEZ

BAUMANN-GULLY > 20 (*) (*)

IÓN SULFATO

(mg SO42-

/ kg de

suelo seco) 2000 - 3000 3000-12000 > 12000

Máxima relación agua/cemento y mínimo contenido de cemento

CLASE DE EXPOSICIÓN

Parám. de

dosificac.

Hº

I

IIa

IIb

IIIa

IIIb

IIIc

IV

Qa

Qb

Qc

H

F

E

Máxima HM 0,65 - - - - - - 0,50 0,50 0,45 0,55 0,50 0,50

Relación HA 0,65 0,60 0,55 0,50 0,50 0,45 0,50 0,50 0,50 0,45 0,55 0,50 0,50

A/C HP 0,60 0,60 0,55 0,50 0,45 0,45 0,45 0,50 0,45 0,45 0,55 0,50 0,50

Mínimo HM 200 - - - - - - 275 300 325 275 300 275

contenido HA 250 275 300 300 325 350 325 325 350 350 300 325 300

de Cº

(kg/m3)

HP 275 300 300 300 325 350 325 325 350 350 300 325 300

Resistencias mínimas compatibles con los requisitos de durabilidad

CLASE DE EXPOSICIÓN

Parám. de

dosificación

Tipo de

hormigón

I

IIa

IIb

IIIa

IIIb

IIIc

IV

Qa

Qb

Qc

H

F

E

resistencia Masa 20 - - - - - - 30 30 35 30 30 30

Mínima Armado 25 25 30 30 30 35 30 30 30 35 30 30 30

(N/mm²) Pretensado 25 25 30 30 35 35 35 30 35 35 30 30 30

17

Recubrimientos mínimos [mm] para las clases generales de exposición I y II

Clase de

exposición

Tipo de cemento Resistencia característica del

hormigón [Mpa]

Vida útil de proyecto

(tg) [años]

50 100

I Cualesquiera 25ckf 15 25

II a CEM I 25 40ckf 15 25

40ckf 10 20

Otros tipos o empleo de adiciones

al hormigón 25 40ckf 20 30

40ckf 15 25

II b CEM I 25 40ckf 20 30

40ckf 15 25

Otros tipos o empleo de adiciones

al hormigón 25 40ckf 25 35

40ckf 20 30

Recubrimientos mínimos [mm] para las clases generales de exposición III y IV

Hormigón Tipo de cemento Vida útil de proyecto

(tg) [años]

Clase de exposición

III a III b IIIc IV

Armado CEM III/A, CEM III B, CEM IV,

CEM II/B-S, B-P, B-V, A-D ó con

adición de microsílice mayor al 6 %

50 25 30 35 35

100 30 35 40 40

Resto de cementos utilizables 50 45 40 * *

100 65 * * *

Pretensado CEM II/A-D ó con adición de

microsílice

mayor al 6 %

50 30 35 40 40

100 35 40 45 45

Resto de cementos utilizables 50 65 45 * *

100 * * * *

* Estas situaciones obligarían a unos recubrimientos excesivos, desaconsejables desde el punto de vista de la ejecución del elemento.

Recubrimientos mínimos [mm] para las clases específicas de exposición

Clase de

exposición

Tipo de cemento Resistencia característica del

hormigón [Mpa]

Vida útil de proyecto

(tg) [años]

50 100

H CEM III 25 40ckf 25 50

40ckf 15 25

Otros tipos 25 40ckf 20 35

40ckf 10 20

F CEM II/A-D 25 40ckf 25 50

40ckf 15 35

CEM III 25 40ckf 40 75

40ckf 20 40

Otros tipos 25 40ckf 20 40

40ckf 10 20

E (1)

Cualesquiera 25 40ckf 40 80

40ckf 20 35

Q a CEM III, CEM IV, CEM II/B-S, B-P, B-V,

A-D ó con

adición de microsílice mayor al 6 % ó

ceniza mayor al 20%

-- 40 55

-- * *

Q b, Q c Cualesquiera -- (2) (2)

* Estas situaciones obligarían a unos recubrimientos excesivos, desaconsejables desde el punto de vista de la ejecución del elemento

18

Recubrimientos nominales (a aplicar):

minnomr r r

Donde es:

nomr , es el recubrimiento nominal o de aplicación

minr , es el recubrimiento mínimo obtenido de la tabla correspondiente

r , es el margen de recubrimiento, que es función del control de ejecución y se adoptará:

0 mm, en elementos prefabricados con control intenso de ejecución,

5 mm, para elementos hormigonados in situ y nivel intenso de control y,

10 mm, en el resto de los casos.

Control del valor máximo de abertura de fisura.

Clase de exposición wmáx [mm]

Hormigón armado Hormigón pretensado

I 0,4 0,2

IIa, IIb, H 0,3 0,2(1)

IIIa, IIIb, IV, F, Qa (2)

0,2

Descompresión

IIIc, Qb(2)

, Qc(2)

0,1

Estados Límites Últimos

Cuantías Máximas y Mínimas. Serán de aplicación los valores que resulten ser más exigentes.

Tipo de Solicitación

Tipo de acero

B 400 S B 500 S

Hormigón CG [‰] Hormigón CG [‰]

Cuantía Mínima

FLEXIÓN SIMPLE O COMPUESTA

Se recomienda:

' ' 0,05s yd dA f T N

HA 25 2 HA 25 1.6

HA 30 2.4 HA 30 1.9

HA 35 2.8 HA 35 2.2

Cuantía Máxima

COMPRESIÓN SIMPLE O COMPUESTA

Se debe cumplir Cuantía Mínima:

'

1 1 ' 0,05s yd dA f T N

'

2 2 ' 0,05s yd dA f T N

HA 25 24 HA 25 19

HA 30 28,75 HA 30 23

HA 35 33 HA 35 27

Cuantía Mínima

TRACCIÓN SIMPLE O COMPUESTA

CG=(As/Ac)*1000

HA 25 6.41 HA 25 5.13

HA 30 7.24 HA 30 5.79

HA 35 8.02 HA 35 6.42

Cuantías geométricas mínimas (EHE)

Tipo de elemento estructural

Tipo de acero

B 400 S

[‰]

B 500 S

[‰]

PILARES 4.0 4.0

LOSAS (en cada cara, longitudinal y transversal) 2.0 1,8

LOSAS DE CIMENTACION Y ZAPATAS ARMADAS (sólo en cara inferior) 1.0 0.9

FORJADOS

UNIDIRECCIONALES

Nervios (con ancho bw y canto el del forjado) 4.0 3.0

Reparto perpendicular a los nervios* 1.4 1.1

Reparto paralela a los nervios* 0.7 0.6

19

VIGAS (CG mínima en tracción. Se recomienda poner 30 % en compresión) 3,3 2,8

MUROS (cuantía mínima vertical en la cara de tracción. En

la cara de compresión se recomienda poner el 30 %)

Arm. Horiz. 4.0 3,2

Arm. Vert. 1,2 0,9

*Referida al espesor de la capa de compresión hormigonada

Se define ( / ) 1000s

CG A b h [‰] (para sección rectangular); en vigas se suele usar cA b d , que permite

controlar mejor la cuantía máxima (ductilidad seccional).

Estados Límites de Servicio (ELS)

Control de:

- Fisuraciones

- Deformaciones

- Vibraciones

2. ELU. VIGAS Y COLUMNAS. FLEXIÓN

SIMPLE Y COMPUESTA Dominios de deformación. ELU ante tensiones normales ( 50ckf Mpa , 0.85cc )

Ecuaciones Adimensionales en flexión (D 2, D 3 y D 4). Tablas de cálculo

b : ancho de la sección

d : canto útil de la sección

d = h-r (simplificadamente)

cdf : Resistencia de cálculo del hormigón.

2

d

cd

M

b d f ;

d

cd

N

b d f

es Momento reducido y Normal reducido.

Luego,

2 12 1

yd ydf f

; 2

2 21 1 ydf

Con:

1

1

yd

cd

A f

b d f y

2

2

yd

cd

A f

b d f


20

1 0.8278 0.8278 1 2.416 (Expresión de la TABLA)

yd

cd

A f

b d f

ydT U A f ; yd cdT U A f b d f

Si se coloca armadura de tracción y de compresión, se distinguen los valores de Capacidad mecánica con

dos subíndices, 1 y 2, respectivamente. Así:

1 1 1 ydT U A f ; 2 2 2 2 T U A

Cortesía de Jiménez Montoya ( 0.85cc )

21

Tabla de Capacidades Mecánicas [kN] para acero B 400 S

Diám.

[mm]

NUMERO DE BARRAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 9.83 19.67 29.50 39.33 49.17 58.99 68.83 78.66 88.49 98.33

8 17.48 34.97 52.45 69.93 87.42 104.9 122.39 139.87 157.35 174.83

10 27.32 54.64 81.96 109.27 136.59 163.91 191.23 218.55 245.86 273.18

12 39.34 78.67 118.01 157.35 196.69 236.03 275.37 314.71 354.05 393.39

14 53.54 107.09 160.63 214.17 267.72 321.26 374.8 428.35 481.89 535.44

16 69.93 139.87 209.8 279.74 349.67 419.61 489.54 559.48 629.41 699.35

20 109.22 218.43 327.65 436.87 546.09 655.3 764.52 873.74 982.96 1152.7

25 170.74 341.48 512.22 682.96 853.69 1024.4 1195.2 1365.9 1536.6 1707.4

32 279.74 559.32 839.21 1119 1398.7 1678.4 1958.2 2237.9 2517.6 2797.4

40 437.09 874.18 1311.3 1748.4 2185.5 2622.5 3059.6 3496.7 3933.8 4370.9

Tabla de Capacidades Mecánicas [kN] para acero B 500 S

Diám.

[mm]

NUMERO DE BARRAS

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

6 12.29 24.58 36.87 49.17 61.46 73.75 86.04 98.33 110.62 122.91

8 21.85 43.71 65.56 87.42 109.27 131.13 152.98 174.83 196.69 218.54

10 34.15 68.29 102.44 136.59 170.74 204.89 239.03 273.18 307.33 341.48

12 49.17 98.34 147.52 196.69 245.86 295.03 344.21 393.38 442.56 491.74

14 66.93 133.86 200.79 267.72 334.65 401.58 468.50 535.43 602.37 669.30

16 87.42 174.83 262.25 349.67 437.09 524.51 611.93 699.35 786.77 874.18

20 136.52 273.04 409.57 546.09 682.61 819.13 955.65 1092.2 1228.7 1440.9

25 213.42 426.85 640.27 853.70 1067.1 1280.5 1494.0 1707.4 1920.8 2134.2

32 349.67 699.15 1049.0 1398.7 1748.4 2098.0 2447.7 2797.4 3147.1 3496.7

40 546.37 1092.7 1639.1 2185.5 2731.8 3278.2 3824.5 4370.9 4917.3 5463.6

ACERO ydf

lim lim

lim

B 400 S y B 400 SD 400 0.668 0.332 0.460

B 500 S 500 0.617 0.316 0.424

Calculados con 0.85cc , s =1.15 y

ydf en Mpa

Canto recomendado:

1.992 2

d d dREC

cd cd cd

M M Md K

b f b f b f

Análisis de canto inferior al Recomendado (d REC )

Para el B 500 S y B 400 S:

2

2

0.252

1 / 1 /

d REC d

d d r d

1 2 2 0.310 REC

Donde r es el recubrimiento de la armadura en la zona comprimida.

Cálculo de Verificación o Comprobación

u dM M

O también,

d

Siendo:

2

u

cd

M

b d f ;

2

dd

cd

M

b d f

1)

1 11

yd

cd cd

A f T

b d f b d f ;

2 22

yd

cd cd

A f T

b d f b d f

2)

0 1 2

22

3)

A) Si 0 0 ; prescindiendo de la colaboración del hormigón, puede tomarse:

1 2(1 )

donde era: 2 2' d d r d

B) Para 00 0.310 ; este es el caso más frecuente. Se fija el máximo en 0.310REC .

con 0 se obtiene

0 , y luego:

0 2 2(1 )

Para el caso en que 0.1667 , debe hacerse 2 0 , con lo que directamente se halla

0 .

C) Para 0 0.310 ; se trata de una sección excesivamente armada. Se recomienda tomar:

2 20.252 (1 )

Flexión Compuesta (Método de Ehlers) (gran excentricidad 0 / 2e h r )

Se hace:

0d

d

Me

N

20

2

d de e

Luego:

2

d

d

cd

N e

b d f

dd

cd

N

b d f

Hallado el valor de d, se entra en tabla:

Para d 0.252

1 d d

y luego:

1 1( )yd d d cd cdT A f b d f b d f

Para d 0.252

2

2

0.252

1

d

1 2 0.310 d

Las capacidades mecánicas resultarán:

2 2 2yd cdT A f b d f

1 1 1yd cdT A f b d f

Comprobación o verificación

¨d

Si se quiere conocer el valor del momento último resistido por la sección: 2

u u cdM N e b d f

1)

0 1 2d

2)

Si 0 0 , prescindiendo de la colaboración del hormigón, puede tomarse:

1 2( ) (1 )d

Si 00 0.310 , entrando en tabla con

0 , se encuentra 0 .

0 2 2(1 )

23

3. Si 0 0.310 , se entra en tabla con

3

010 / ydf (para ydf en kg/cm

2) ó

2

010 / ydf (para ydf en

N/mm2). Con este valor se encuentra

0 y .

0 2 2(1 )

Indices de Sobrerresistencia y de Sobreseguridad

Coeficiente o índice de sobrerresistencia

'100

T T

T [%]

Donde es:

: Índice de sobrerresistencia

T' : Capacidad de la armadura colocada

T : Capacidad teórica exacta o buscada

Coeficiente o índice de sobreseguridad

100

u d

d

M M

M [%]

Donde es:

: Índice de sobreseguridad

Mu: Momento último resistido

Md : Momento de Diseño o Cálculo.

Disposición de armaduras 1) Armadura de montaje en el cálculo

Si existen armaduras pasivas en compresión, para poder tenerlas en cuenta en el cálculo será preciso que vayan sujetas por cercos o estribos, cuya separación st y diámetro φt sean:

st ≤ 15 φmín (φmín diámetro de la barra comprimida más delgada)

φt ≥ ¼ φmáx (φmáx diámetro de la armadura comprimida más gruesa) Para piezas comprimidas, en cualquier caso, st debe ser inferior que la dimensión menor del elemento y no

mayor que 30 cm. Poner como montaje: 30 % armadura tracción y mínimo 2 del 12. 2) Distribución en la sección

La armadura pasiva longitudinal resistente, o la de piel, habrá de quedar distribuida para evitar que queden zonas de hormigón sin armaduras, de forma que la distancia entre dos barras longitudinales consecutivas (s)

cumpla las siguientes limitaciones:

s ≤ 30 cm.

s ≤ tres veces el espesor bruto de la parte de la sección del elemento, alma o alas, en las que

vayan situadas. 3) Barras aisladas

La distancia libre, horizontal y vertical, entre dos barras aisladas consecutivas, será igual o superior al mayor de los tres valores siguientes: − 20 mm; salvo en viguetas y losas alveolares pretensadas donde se tomarán 15 mm; − el diámetro de la mayor barra; − 1,25 veces el tamaño máximo del árido.

4) Anclaje de las armaduras pasivas (de EHE) Las longitudes básicas de anclaje (lb), dependen, entre otros factores, de las propiedades de adherencia de

las barras y de la posición que éstas ocupan en la pieza de hormigón. Atendiendo a la posición que ocupa la barra en la pieza, se distinguen 2 casos:

– Posición I, de adherencia buena, para las armaduras que durante el hormigonado forman con la horizontal un ángulo comprendido entre 45º y 90º o que en el caso de formar un ángulo inferior a 45º, están situadas en la mitad inferior de la sección o a una distancia igual o mayor a 30 cm de la cara superior de una capa de hormigonado.

– Posición II, de adherencia deficiente, para las armaduras que, durante el hormigonado, no se encuentran en ninguno de los casos anteriores.

– En el caso de que puedan existir efectos dinámicos, las longitudes de anclaje indicadas se aumentarán en 10 φ.

La longitud neta de anclaje no podrá adoptar valores inferiores al mayor de los tres siguientes:

– a) 10 φ;

– b) 150 mm;

24

– c) la tercera parte de la longitud básica de anclaje para barras traccionadas y los dos tercios de dicha longitud para barras comprimidas.

Tipos de anclajes (varían las longitudes, Ver EHE):

TABLAS

Tabla de valores de ; en el Dominio 2 con distintos cc

(0.85) (0.90) (0.95) (1.00)

0c 0.08 0.3160 0.3346 0.3532 0.3718 0.3475

0.09 0.3510 0.3717 0.3923 0.4130 0.3498

0.1 0.3848 0.4074 0.4300 0.4527 0.3523

0.11 0.4171 0.4416 0.4661 0.4907 0.3550

0.12 0.4478 0.4742 0.5005 0.5269 0.3578

0.13 0.4769 0.5050 0.5330 0.5611 0.3610

0.14 0.5042 0.5338 0.5635 0.5931 0.3644

0.15 0.5294 0.5606 0.5917 0.6228 0.3681

0.16 0.5525 0.5850 0.6175 0.6500 0.3721

0.1667 0.5667 0.6001 0.6334 0.6667 0.3750 2c

0.17 0.5733 0.6071 0.6408 0.6745 0.3765

3.5c

0.18 0.5919 0.6267 0.6615 0.6963 0.3813

0.19 0.6084 0.6442 0.6800 0.7158 0.3861

0.2 0.6233 0.6600 0.6967 0.7333 0.3909

0.21 0.6368 0.6743 0.7118 0.7492 0.3956

0.22 0.6491 0.6873 0.7255 0.7636 0.4001

0.23 0.6603 0.6991 0.7380 0.7768 0.4044

0.24 0.6706 0.7100 0.7494 0.7889 0.4086

0.25 0.6800 0.7200 0.7600 0.8000 0.4125

0.259 0.6879 0.7283 0.7688 0.8093 0.4159

25

Tabla universal para flexión simple o compuesta

0.85CC 0.90CC 0.95CC 1.00CC

0.0890 0.0300 0.0310 0.0318 0.0328 0.0335 0.0346 0.0353 0.0365

D

O

M

I

N

I

O

2

0.1042 0.0400 0.0415 0.0424 0.0439 0.0447 0.0464 0.0471 0.0488

0.1181 0.0500 0.0522 0.0529 0.0553 0.0559 0.0583 0.0588 0.0614

0.1312 0.0600 0.0630 0.0635 0.0667 0.0671 0.0704 0.0706 0.0741

0.1438 0.0700 0.0739 0.0741 0.0782 0.0782 0.0826 0.0824 0.0869

0.1561 0.0800 0.0849 0.0847 0.0899 0.0894 0.0949 0.0941 0.0999

0.1667 0.0886 0.0945 0.0938 0.1001 0.0990 0.1056 0.1042 0.1112

0.1685 0.0900 0.0961 0.0953 0.1018 0.1006 0.1074 0.1059 0.1131

0.1810 0.1000 0.1074 0.1059 0.1137 0.1118 0.1200 0.1176 0.1264

0.1937 0.1100 0.1189 0.1165 0.1259 0.1229 0.1329 0.1294 0.1399

0.2066 0.1200 0.1306 0.1271 0.1383 0.1341 0.1460 0.1412 0.1536

0.2197 0.1300 0.1425 0.1376 0.1509 0.1453 0.1593 0.1529 0.1676

0.2330 0.1400 0.1546 0.1482 0.1637 0.1565 0.1728 0.1647 0.1819

0.2466 0.1500 0.1669 0.1588 0.1767 0.1676 0.1865 0.1765 0.1964

0.2593 0.1592 0.1785 0.1686 0.1890 0.1779 0.1995 0.1873 0.2100

0.2608 0.1600 0.1795 0.1694 0.1901 0.1788 0.2006 0.1882 0.2112 D

O

M

I

N

I

O

3

Max.

Recom.

B500S

0.2796 0.1700 0.1924 0.1800 0.2037 0.1900 0.2150 0.2000 0.2264

0.2987 0.1800 0.2055 0.1906 0.2176 0.2012 0.2297 0.2118 0.2418

0.3183 0.1900 0.2190 0.2012 0.2319 0.2124 0.2448 0.2235 0.2576

0.3382 0.2000 0.2327 0.2118 0.2464 0.2235 0.2601 0.2353 0.2738

0.3587 0.2100 0.2468 0.2224 0.2613 0.2347 0.2758 0.2471 0.2904

0.3797 0.2200 0.2613 0.2329 0.2767 0.2459 0.2920 0.2588 0.3074

0.4012 0.2300 0.2761 0.2435 0.2923 0.2571 0.3086 0.2706 0.3248

0.4233 0.2400 0.2913 0.2541 0.3084 0.2682 0.3256 0.2824 0.3427

0.4461 0.2500 0.3070 0.2647 0.3251 0.2794 0.3431 0.2941 0.3612

0.4500 0.2517 0.3097 0.2665 0.3279 0.2813 0.3461 0.2961 0.3644

0.4696 0.2600 0.3231 0.2753 0.3421 0.2906 0.3611 0.3059 0.3801

0.4938 0.2700 0.3398 0.2859 0.3598 0.3018 0.3798 0.3176 0.3998

0.5189 0.2800 0.3571 0.2965 0.3781 0.3129 0.3991 0.3294 0.4201

0.5450 0.2900 0.3750 0.3071 0.3971 0.3241 0.4191 0.3412 0.4412

0.5722 0.3000 0.3937 0.3176 0.4169 0.3353 0.4400 0.3529 0.4632

0.6005 0.3100 0.4132 0.3282 0.4375 0.3465 0.4618 0.3647 0.4861

0.6168 0.3155 0.4244 0.3341 0.4494 0.3526 0.4743 0.3712 0.4993

0.6303 0.3200 0.4337 0.3388 0.4592 0.3576 0.4847 0.3765 0.5102

D

B400S

0.6617 0.3300 0.4553 0.3494 0.4821 0.3688 0.5089 0.3882 0.5356

0.6680 0.3319 0.4596 0.3514 0.4866 0.3709 0.5137 0.3905 0.5407

0.6951 0.3400 0.4783 0.3600 0.5064 0.3800 0.5346 0.4000 0.5627 O

M

I

N

I

O

4

0.7308 0.3500 0.5029 0.3706 0.5325 0.3912 0.5621 0.4118 0.5916

0.7695 0.3600 0.5295 0.3812 0.5606 0.4024 0.5918 0.4235 0.6229

0.7892 0.3648 0.5430 0.3863 0.5749 0.4077 0.6069 0.4292 0.6388

0.8119 0.3700 0.5587 0.3918 0.5916 0.4135 0.6244 0.4353 0.6573

0.8596 0.3800 0.5915 0.4024 0.6263 0.4247 0.6611 0.4471 0.6959

0.9152 0.3900 0.6297 0.4129 0.6667 0.4359 0.7038 0.4588 0.7408

0.9844 0.4000 0.6774 0.4235 0.7172 0.4471 0.7571 0.4706 0.7969

26

3. ELU. VIGAS Y COLUMNAS.

COMPRESIÓN COMPUESTA

Las ecuaciones de equilibrio:

1 1 20 u cc cd ydF N b h f A A f

2 2 1 1 220 ( ) ( ) u cc cdM N e b h f x d A d d

Además es:

1 0.0023 7

x d

x h y

1 1 s ydE f

Los valores de y para 0.85cc , se han tabulado en función de

Luego, las ecuaciones adimensionales quedan:

11 2

ydf

1 12 2 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) c

yd ydf f

Con:

1 0.0023 7

Y donde ahora se ha hecho 2 2( ) c (momento reducido proporcionado por el hormigón)

Haciendo:

22 2

d

cd

N e

b h f

Considerando siempre e2 como la excentricidad referida a la armadura más comprimida (A2) Se halla el

normal reducido como:

dd

cd

N

b h f


27

22

d

h

Donde d2 es el recubrimiento en la parte más comprimida. La tabla se hace para valores de 2 = 0.05, 0.10

y 0.15, por lo que para otros valores se deberá interpolar.

Finalmente se encuentran las cuantías mecánicas dependiendo de dos casos, que son:

Para 2 20.425 0.85

La solución más económica se obtiene haciendo A1 = 0. No se agotaría el hormigón en compresión en la

zona menos comprimida, con lo que es innecesario el uso de armadura allí (1 0 ). Luego será:

Dominio 4a 2 d

Dominio 5 2 d

Para 2 20.425 0.85

Son necesarias las dos armaduras trabajando a compresión y las dos cuantías mecánicas serán:

2 21

2

0.85 0.425

2 1 0.85 d

Donde ahora se ha definido:

d

h

Luego:

1

1 1 1

yd

cd

cd

A fT b h f

b h f

2

2 2 2

yd

cd

cd

A fT b h f

b h f


28

Diagrama de Interacción para armaduras simétricas

0

2

d

cd

N e

b h f ;

d

cd

N

b h f

Y se halla:

yd

TOTAL

cd

A f

b h f

Donde es:

0 d

d

Me

N

0e : excentricidad definida respecto al baricentro de la sección bruta.

Cortesía de Jiménez Montoya . Con 0.85cc

29

Valor de Excentricidad mínima (EHE y EC2)

En soportes y elementos de función análoga, toda sección sometida a una solicitación normal exterior de compresión Nd debe ser capaz de resistir dicha compresión con una excentricidad mínima, debida a la

incertidumbre en la posición del punto de aplicación del esfuerzo normal, igual al mayor de los valores:

emin = MAX [h/20 y 2 cm] Dicha excentricidad debe ser contada a partir del centro de gravedad de la sección bruta y en la dirección más desfavorable de las direcciones principales y sólo en una de ellas.

Flexión Esviada. Métodos de cálculo

1. Uso de Ábaco de Roseta

Será:

d

cd

N

b a f ;

2

aa

cd

M

b a f ;

2

bb

cd

M

b a f

El mayor de los dos momentos reducidos será 1 y el menor

2 . Luego, buscando en el octante (o

cuadrante) correspondiente al valor del normal reducido, se obtiene:

tot yd

cd

A f

a b f

Reducción a flexión recta

1 2

Donde si se tiene una sección de ( a b ), sometida a unos esfuerzos de dN ,

xdM y ydM , se hallarán x

y y desde cada uno de ellos y se hará:

1 : el mayor de los momentos reducidos hallados

2 : el menor de los momentos reducidos hallados

El valor de de halla en tabla en función del normal reducido , y es:


D 2

D 3

D 4

D 4a

D 5

30

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5

Luego de hallados y , se va al diagrama de interacción correspondiente y se halla . Luego los

autores indican que hay que verificar:

si > 0.60, hacer un nuevo cálculo incrementando el valor de en 0.1

si < 0.20, hacer un nuevo cálculo disminuyendo el valor de en 0.1

2.2) Un método inspirado en el anterior, está recogido en la EHE (Anejo 7). Básicamente es el mismo

método con la diferencia que se trabaja con una excentricidad de referencia para pasar desde la flexión (o

compresión) esviada a la compuesta. Este valor es:

' y y x

ae e e

b

Se ha considerado a = h, y xdy

Me

N ;

yd

x

Me

N

, sale de la misma tabla anterior y es función de

Además debe se debe verificar que:

y

x

e a

e b

Finalmente, con el valor de 'ye se hallará el momento reducido de referencia como:

2

'

y

cd

N e

b a f

y con el valor de correspondiente se va al diagrama de interacción adoptado.

Decalado de la ley de momentos flectores. 1

(cot (cot cot ))2

sud

rd

Vs z g g g

V

De una forma simplificada y aproximada puede considerarse Vsu = 0 (sin armadura de cortante) y el valor

ds puede hacerse:

sd = d

31

TABLAS

Tabla de valores de ; en el Dominio 5 con distintos cc

(0.85) (0.90) (0.95) (1.00)

1 0.6881 0.7286 0.7691 0.8095 0.4160

1.05 0.7131 0.7550 0.7970 0.8389 0.4314

1.1 0.7327 0.7758 0.8189 0.8620 0.4428

1.15 0.7484 0.7924 0.8365 0.8805 0.4515

1.2 0.7612 0.8059 0.8507 0.8955 0.4583

1.25 0.7717 0.8170 0.8624 0.9078 0.4637

1.3 0.7804 0.8263 0.8722 0.9181 0.4681

1.35 0.7877 0.8341 0.8804 0.9267 0.4718

1.4 0.7940 0.8407 0.8874 0.9341 0.4748

1.45 0.7993 0.8463 0.8934 0.9404 0.4774

1.5 0.8040 0.8512 0.8985 0.9458 0.4795

1.55 0.8080 0.8555 0.9030 0.9505 0.4814

1.6 0.8115 0.8592 0.9069 0.9547 0.4830

1.65 0.8146 0.8625 0.9104 0.9583 0.4845

1.7 0.8173 0.8654 0.9135 0.9615 0.4857

1.75 0.8197 0.8679 0.9162 0.9644 0.4868

1.8 0.8219 0.8702 0.9186 0.9669 0.4878

1.9 0.8256 0.8741 0.9227 0.9713 0.4894

2 0.8286 0.8773 0.9261 0.9748 0.4908

2.25 0.8341 0.8831 0.9322 0.9812 0.4932

2.50 0.8377 0.8870 0.9362 0.9855 0.4948

2.75 0.8402 0.8896 0.9390 0.9885 0.4958

3 0.8420 0.8915 0.9411 0.9906 0.4966

3.5 0.8444 0.8941 0.9437 0.9934 0.4976

4 0.8459 0.8956 0.9454 0.9951 0.4983

5 0.8475 0.8973 0.9472 0.9970 0.4989

0.8500 0.9000 0.9500 1.0000 0.5000

32

Compresiones con pequeña excentricidad con 0.85CC

2c

2 0.05 2 0.10

2 0.15

0.85 - - 0.1191 0.5849

D

O

M

I

N

I

O

4

a

0.86 - - 0.1229 0.5918

0.87 - - 0.1269 0.5986

0.88 - - 0.1308 0.6055

0.89 - - 0.1349 0.6124

0.9 - 0.1699 0.139 0.6193

0.91 - 0.1744 0.1431 0.6262

0.92 - 0.179 0.1473 0.6331

0.93 - 0.1836 0.1516 0.6399

0.94 - 0.1882 0.1559 0.6468

0.95 0.2257 0.193 0.1603 0.6537

0.96 0.2308 0.1978 0.1647 0.6606

0.97 0.236 0.2026 0.1692 0.6675

0.98 0.2412 0.2075 0.1738 0.6743

0.99 0.2465 0.2124 0.1784 0.6812

2c

2 0.05 2 0.10

2 0.15

1 0.2518 0.2174 0.183 0.6881

D

O

M

I

N

I

O

5

1.01 0.2563 0.2216 0.1869 0.6936

1.02 0.2605 0.2256 0.1906 0.6989

1.03 0.2645 0.2293 0.1941 0.7038

1.04 0.2684 0.2329 0.1975 0.7086

1.05 0.272 0.2363 0.2007 0.7131

1.06 0.2755 0.2396 0.2037 0.7174

1.07 0.2788 0.2427 0.2066 0.7215

1.08 0.2819 0.2457 0.2094 0.7254

1.09 0.285 0.2485 0.212 0.7292

1.1 0.2878 0.2512 0.2146 0.7327

1.15 0.3005 0.2631 0.2257 0.7484

1.2 0.3108 0.2727 0.2347 0.7612

1.25 0.3193 0.2807 0.2421 0.7716

1.3 0.3263 0.2873 0.2483 0.7804

1.35 0.3322 0.2929 0.2535 0.7877

1.4 0.3373 0.2976 0.2579 0.794

1.45 0.3416 0.3016 0.2617 0.7993

1.5 0.3453 0.3051 0.2649 0.8039

1.55 0.3486 0.3082 0.2678 0.808

1.6 0.3514 0.3108 0.2703 0.8115

1.65 0.3539 0.3132 0.2724 0.8146

1.7 0.3561 0.3152 0.2744 0.8173

1.75 0.3581 0.3171 0.2761 0.8197

1.8 0.3598 0.3187 0.2776 0.8219

1.9 0.3628 0.3215 0.2802 0.8256

2 0.3652 0.3238 0.2824 0.8286

2.25 0.3696 0.3279 0.2862 0.8341

2.5 0.3726 0.3307 0.2888 0.8377

2.75 0.3746 0.3326 0.2906 0.8402

3 0.376 0.3339 0.2918 0.8420

3.5 0.378 0.3358 0.2935 0.8444

4 0.3792 0.3369 0.2946 0.8459

5 0.3805 0.3381 0.2957 0.8475

0.3825 0.3400 0.2975 0.8500

33


2c

2 0.05 2 0.10

2 0.15

0.85 - - 0.1261 0.6193

D

O

M

I

N

I

O

4

a

0.86 - - 0.1301 0.6266

0.87 - - 0.1344 0.6338

0.88 - - 0.1385 0.6411

0.89 - - 0.1428 0.6484

0.9 - 0.1799 0.1472 0.6557

0.91 - 0.1847 0.1515 0.6630

0.92 - 0.1895 0.1560 0.6703

0.93 - 0.1944 0.1605 0.6775

0.94 - 0.1993 0.1651 0.6848

0.95 0.2390 0.2044 0.1697 0.6922

0.96 0.2444 0.2094 0.1744 0.6995

0.97 0.2499 0.2145 0.1792 0.7068

0.98 0.2554 0.2197 0.1840 0.7140

0.99 0.2610 0.2249 0.1889 0.7213

2c

2 0.05 2 0.10

2 0.15

1 0.2666 0.2302 0.1938 0.7286

D

O

M

I

N

I

O

5

1.01 0.2714 0.2346 0.1979 0.7344

1.02 0.2758 0.2389 0.2018 0.7400

1.03 0.2801 0.2428 0.2055 0.7452

1.04 0.2842 0.2466 0.2091 0.7503

1.05 0.2880 0.2502 0.2125 0.7550

1.06 0.2917 0.2537 0.2157 0.7596

1.07 0.2952 0.2570 0.2188 0.7639

1.08 0.2985 0.2602 0.2217 0.7681

1.09 0.3018 0.2631 0.2245 0.7721

1.1 0.3047 0.2660 0.2272 0.7758

1.15 0.3182 0.2786 0.2390 0.7924

1.2 0.3291 0.2887 0.2485 0.8060

1.25 0.3381 0.2972 0.2563 0.8170

1.3 0.3455 0.3042 0.2629 0.8263

1.35 0.3517 0.3101 0.2684 0.8340

1.4 0.3571 0.3151 0.2731 0.8407

1.45 0.3617 0.3193 0.2771 0.8463

1.5 0.3656 0.3230 0.2805 0.8512

1.55 0.3691 0.3263 0.2836 0.8555

1.6 0.3721 0.3291 0.2862 0.8592

1.65 0.3747 0.3316 0.2884 0.8625

1.7 0.3770 0.3337 0.2905 0.8654

1.75 0.3792 0.3358 0.2923 0.8679

1.8 0.3810 0.3374 0.2939 0.8702

1.9 0.3841 0.3404 0.2967 0.8742

2 0.3867 0.3428 0.2990 0.8773

2.25 0.3913 0.3472 0.3030 0.8832

2.5 0.3945 0.3502 0.3058 0.8870

2.75 0.3966 0.3522 0.3077 0.8896

3 0.3981 0.3535 0.3090 0.8915

3.5 0.4002 0.3556 0.3108 0.8941

4 0.4015 0.3567 0.3119 0.8957

5 0.4029 0.3580 0.3131 0.8974

0.4050 0.3600 0.3150 0.9000

34


2c

2 0.05 2 0.10

2 0.15

0.85 - - 0.1331 0.6537

D

O

M

I

N

I

O

4

a

0.86 - - 0.1374 0.6614

0.87 - - 0.1418 0.6690

0.88 - - 0.1462 0.6767

0.89 - - 0.1508 0.6844

0.9 - 0.1899 0.1554 0.6922

0.91 - 0.1949 0.1599 0.6999

0.92 - 0.2001 0.1646 0.7076

0.93 - 0.2052 0.1694 0.7152

0.94 - 0.2103 0.1742 0.7229

0.95 0.2523 0.2157 0.1792 0.7306

0.96 0.2580 0.2211 0.1841 0.7383

0.97 0.2638 0.2264 0.1891 0.7460

0.98 0.2696 0.2319 0.1942 0.7536

0.99 0.2755 0.2374 0.1994 0.7613

2c

2 0.05 2 0.10

2 0.15

1 0.2814 0.2430 0.2045 0.7691

D

O

M

I

N

I

O

5

1.01 0.2865 0.2477 0.2089 0.7752

1.02 0.2911 0.2521 0.2130 0.7811

1.03 0.2956 0.2563 0.2169 0.7866

1.04 0.3000 0.2603 0.2207 0.7920

1.05 0.3040 0.2641 0.2243 0.7970

1.06 0.3079 0.2678 0.2277 0.8018

1.07 0.3116 0.2713 0.2309 0.8064

1.08 0.3151 0.2746 0.2340 0.8107

1.09 0.3185 0.2777 0.2369 0.8150

1.1 0.3217 0.2808 0.2398 0.8189

1.15 0.3359 0.2941 0.2523 0.8364

1.2 0.3474 0.3048 0.2623 0.8508

1.25 0.3569 0.3137 0.2706 0.8624

1.3 0.3647 0.3211 0.2775 0.8722

1.35 0.3713 0.3274 0.2833 0.8804

1.4 0.3770 0.3326 0.2882 0.8874

1.45 0.3818 0.3371 0.2925 0.8933

1.5 0.3859 0.3410 0.2961 0.8985

1.55 0.3896 0.3445 0.2993 0.9031

1.6 0.3927 0.3474 0.3021 0.9070

1.65 0.3955 0.3500 0.3044 0.9104

1.7 0.3980 0.3523 0.3067 0.9135

1.75 0.4002 0.3544 0.3086 0.9161

1.8 0.4021 0.3562 0.3103 0.9186

1.9 0.4055 0.3593 0.3132 0.9227

2 0.4082 0.3619 0.3156 0.9261

2.25 0.4131 0.3665 0.3199 0.9322

2.5 0.4164 0.3696 0.3228 0.9363

2.75 0.4187 0.3717 0.3248 0.9390

3 0.4202 0.3732 0.3261 0.9411

3.5 0.4225 0.3753 0.3280 0.9437

4 0.4238 0.3765 0.3293 0.9454

5 0.4253 0.3779 0.3305 0.9472

0.4275 0.3800 0.3325 0.9500

35


2c

2 0.05 2 0.10

2 0.15

0.85 - - 0.1401 0.6881

D

O

M

I

N

I

O

4

a

0.86 - - 0.1446 0.6962

0.87 - - 0.1493 0.7042

0.88 - - 0.1539 0.7124

0.89 - - 0.1587 0.7205

0.9 - 0.1999 0.1635 0.7286

0.91 - 0.2052 0.1684 0.7367

0.92 - 0.2106 0.1733 0.7448

0.93 - 0.2160 0.1784 0.7528

0.94 - 0.2214 0.1834 0.7609

0.95 0.2655 0.2271 0.1886 0.7691

0.96 0.2715 0.2327 0.1938 0.7772

0.97 0.2776 0.2384 0.1991 0.7853

0.98 0.2838 0.2441 0.2045 0.7933

0.99 0.2900 0.2499 0.2099 0.8014

2c

2 0.05 2 0.10

2 0.15

1 0.2962 0.2558 0.2153 0.8095

D

O

M

I

N

I

O

5

1.01 0.3015 0.2607 0.2199 0.8160

1.02 0.3065 0.2654 0.2242 0.8222

1.03 0.3112 0.2698 0.2284 0.8280

1.04 0.3158 0.2740 0.2324 0.8336

1.05 0.3200 0.2780 0.2361 0.8389

1.06 0.3241 0.2819 0.2396 0.8440

1.07 0.3280 0.2855 0.2431 0.8488

1.08 0.3316 0.2891 0.2464 0.8534

1.09 0.3353 0.2924 0.2494 0.8579

1.1 0.3386 0.2955 0.2525 0.8620

1.15 0.3535 0.3095 0.2655 0.8805

1.2 0.3656 0.3208 0.2761 0.8955

1.25 0.3756 0.3302 0.2848 0.9078

1.3 0.3839 0.3380 0.2921 0.9181

1.35 0.3908 0.3446 0.2982 0.9267

1.4 0.3968 0.3501 0.3034 0.9341

1.45 0.4019 0.3548 0.3079 0.9404

1.5 0.4062 0.3589 0.3116 0.9458

1.55 0.4101 0.3626 0.3151 0.9506

1.6 0.4134 0.3656 0.3180 0.9547

1.65 0.4164 0.3685 0.3205 0.9584

1.7 0.4189 0.3708 0.3228 0.9615

1.75 0.4213 0.3731 0.3248 0.9644

1.8 0.4233 0.3749 0.3266 0.9669

1.9 0.4268 0.3782 0.3296 0.9713

2 0.4296 0.3809 0.3322 0.9748

2.25 0.4348 0.3858 0.3367 0.9813

2.5 0.4384 0.3891 0.3398 0.9855

2.75 0.4407 0.3913 0.3419 0.9885

3 0.4424 0.3928 0.3433 0.9906

3.5 0.4447 0.3951 0.3453 0.9934

4 0.4461 0.3964 0.3466 0.9952

5 0.4476 0.3978 0.3479 0.9971

0.4500 0.4000 0.3500 1.0000

36

Diagrama de Interacción Adimensional

=1.00

=0.10

=0.20

=0.90

=0.80

=0.70

=0.60

=0.50

=0.40

=0.30

0.50

0

0.40

0

0.1 0.2

0.45

1.8

d’

h

b

' 0.05d h

d

cd

N

b h f

400 500ykf Mpa

2totA A

A

A

2

d

cd

M

b h f

tot yd tot

cd cd

A f T

b h f b h f

2totT T

0.35

5

0.10

0.25

5

0.20

0

0.15

5

0.30

0

0.05

5

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0.0

37


=1.00

=0.10

=0.20

=0.90

=0.80

=0.70

=0.60=0.50=0.40

=0.30

0.50

0

0.40

0

0.1 0.2

0.45

5

1.8

d’

h

b

' 0.10d h

d

cd

N

b h f

400 500ykf Mpa

2totA A

A

A

2

d

cd

M

b h f

tot yd tot

cd cd

A f T

b h f b h f

2totT T

0.35

5

0.10

0

0.25

5

0.20

0

0.15

5

0.30

0

0.05

5

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0.0

38


=1.00

=0.10

=0.20

=0.90=0.80=0.70

=0.60=0.50

=0.40=0.30

0.50

0.40

0

0.1 0.2

0.45

5

1.8

d’

h

b

' 0.15d h

d

cd

N

b h f

400 500ykf Mpa

2totA A

A

A

2

d

cd

M

b h f

tot yd tot

cd cd

A f T

b h f b h f

2totT T

0.35

0.10

0.25

5

0.20

0

0.15

5

0.30

0

0.05

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 0.0

39


40


41


42


43

4. ELU. PANDEO Estructuras traslacionales e intraslacionales

Pueden considerarse como intraslacionales si cumplen la condición:

1 21.6

d

n EIN k

n h

Donde es:

n : número de plantas de la estructura

h : altura total de la estructura (desde la cara superior de los cimientos)

Nd: Carga vertical de cálculo que llega a la cimentación con la estructura totalmente cargada con la

combinación más desfavorable

EI : Suma de rigideces a flexión de los elementos de contraviento en la dirección considerada (tomando

para el cálculo la inercia de la sección bruta)

K1: constante de valor 0.62. Se debe disminuir a 0.31 si los elementos de arriostramiento tienen gran

fisuración en ELU.

Longitud de pandeo. Esbeltez mecánica y geométrica

0 L L

Grado de empotramiento del nudo ( ):

( / )

( / )

A

EI L de todos los pilares que concurren al nudo A

EI L de todas las vigas que concurren al nudo A

Esta fórmula es para el nudo A. Considerando el otro nudo de forma similar, se tiene B.

Las fórmulas del monograma son:

Para pórticos intraslacionales:

0.64 1.4 ( ) 3

1.28 2 ( ) 3

A B A B

A B A B

Para pórticos traslacionales:

7.5 4 ( ) 1.6

7.5 ( )

A B A B

A B

Esbeltez Mecánica ( ):

0L

i

con 0L , longitud de pandeo y i , radio de giro.

44

Esbeltez Geométrica (g ):

0g

L

h

con 0L , longitud de pandeo y h ó b , dimensión de la sección en el plano de pandeo considerado

Comprobación de soportes aislados

Los efectos de segundo orden pueden despreciarse si la esbeltez es menor que la esbeltez inferior (inf ).

Ésta se define como:

2

1inf

2 2

0.2435 1 3.4 1 100

/

eC

e h e

Donde es:

: Normal reducido de cálculo

2e : Excentricidad de 1º orden en el plano del soporte con mayor momento, considerada positiva (en valor

absoluto)

1e : Excentricidad de 1º orden en el plano del soporte con menor momento, considerada positiva si tiene el

mismo signo que e2.

En estructuras traslacionales se tomará 1 2 1.00e e

h: Canto de la sección en el plano de pandeo considerado

C: Coeficiente que depende de la disposición de la armadura, con valores:

0.24, para armadura simétrica en caras opuestas en el plano de pandeo

0.20, armadura igual en las 4 caras

0.16, armadura simétrica en las caras laterales

Se establecen cuatro casos que serán (con secciones cuadrangulares):

1. Si < inf No se considera el efecto del pandeo.

2. Si inf < 100 Uso de Método Simplificado de EHE.

3. Si 100 < 200) Uso de Método General de EHE.

4. Si > 200 Prohibido. Gran Inestabilidad.

Esto puede ser interpretado como:

caso 1, los efectos de inestabilidad por pandeo pueden ser despreciados.

caso 2 es el de verificación más frecuente. Se considera el efecto del pandeo por medio

de una excentricidad ficticia o adicional (ae )

caso 3 se utiliza el método general que consiste en realizar un análisis no lineal en

teoría de segundo orden.

caso 4, se habla de excesiva esbeltez con gran predominio de la inestabilidad. No es un

caso adecuado desde el punto de vista resistente y no se puede trabajar en él.

Para el caso 2 será.

2 tot e ae e e e

Siendo: 2

020(1 0.12 ) ( )

10 50

ea y

e c

h e Le

h e i

Donde es:

tote : Excentricidad total utilizada en el cálculo.

ae : Excentricidad ficticia o adicional utilizada para representar los efectos de segundo orden.

ee : Excentricidad de cálculo o de primer orden.

2 1 20.6 0.4 0.4 ee e e e (para soportes intraslacionales)

2ee e (para soportes traslacionales)

2e : Excentricidad de cálculo máxima de primer orden, tomada con signo positivo (en valor absoluto)

1e : Excentricidad de cálculo mínima de primer orden, considerada positiva si tiene el mismo signo que 2e

0L : Longitud de pandeo

45

ci : Radio de giro de la sección de hormigón en la dirección considerada

h : Canto total de la sección en la dirección considerada

y : Deformación del acero para la tensión de cálculoydf

yd

y

s

f

E

: Parámetro por efectos de la fluencia lenta:

= 0.003, cuando el axil cuasipermanente no supera el 70 % del axil total.

= 0.004, cuando el axil cuasipermanente es mayor que el 70 % del axil total.

La EHE propone usar un valor medio de 0.0035 para los 2 casos.

: Factor de armado (Tabla EHE 43.5.1)

2

2

( ')

4

s

d d

i Siendo

si , el radio de giro de las armaduras.

Compresión compuesta esviada con pandeo (simplificadamente)

Se puede realizar la verificación de pandeo separadamente en cada plano principal si se

cumple alguna de las dos indicaciones para las excentricidades que se indican en la figura.

Si no se cumplen las condiciones de excentricidad indicadas, de forma simplificada puede

hacerse:

46

1 ydxd

xu yu

MM

M M

Donde es:

xdM : Momento de cálculo en la dirección x, en la sección crítica de comprobación, considerando los

efectos de segundo orden.

ydM : Momento de cálculo en la dirección y, en la sección crítica de comprobación, considerando los

efectos de segundo orden.

xuM : Momento máximo en la dirección x, resistido por la sección crítica.

yuM : Momento máximo en la dirección y, resistido por la sección crítica.

5. ELU. CORTANTE. PUNZONAMIENTO

RASANTE. TORSION.

Estado Límite de Cortante

Esfuerzo cortante efectivo

Vrd = Vd + Vcd + Vpd

Donde es:

Vd: valor de cálculo del esfuerzo cortante, producido por las acciones exteriores.

Vcd: valor de cálculo de la componente paralela a la sección, de la resultante de tensiones normales, tanto

de compresión como de tracción en las armaduras pasivas, sobre las fibras longitudinales de hormigón,

en piezas de sección variable.

Vpd: valor de cálculo de la componente de la fuerza de pretensado paralela a la sección en estudio.

Comprobaciones que hay que realizar:

Vrd Vu1

Vrd Vu2

Donde es:

Vrd : Esfuerzo cortante efectivo de cálculo definido antes.

Vu1 : Esfuerzo cortante de agotamiento por compresión oblicua en el alma.

Vu2 : Esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma.

Obtención de Vu1

1 1 0 2

cot cot

1 cot

u cd

g gV K f b d

g

donde es:

1cdf : Resistencia a compresión del hormigón,

Siendo:

1 0.60 cd cdf f para 260ckf N mm

1 0.90 / 200 0.50 cd ck ck cdf f f f para 260ckf N mm

0b : Anchura neta mínima del elemento. Ancho de la sección rectangular o del alma en la sección en T.

Para canto variable se define en EHE 44.2.1

K: Coeficiente de reducción por efecto del esfuerzo axil, tal que:

1.00K para estructuras sin pretensado o axil de compresión

'1.00 cd

cd

Kf

para 0 ' 0.25 cd cdf

1.25K para 0.25 ' 0.50 cd cd cdf f

'2.5 1

cd

cd

Kf

para 0.50 ' 1.00 cd cd cdf f

47

donde:

'cd , es la tensión axial efectiva en la sección (compresión positiva). En pilares debe calcularse teniendo

en cuenta la compresión absorbida por las armaduras comprimidas.

''

d s yd

cd

c

N A f

A

con:

Nd: Esfuerzo axil de cálculo (compresión positivo) incluyendo el pretensado con su valor de cálculo.

Ac: Área total de la sección de hormigón.

As’: Área total de armadura comprimida. En compresión compuesta puede suponerse que toda la

armadura está sometida a fyd

Y además:

, es el ángulo de las armaduras con el eje de la pieza (en general se utilizan barras dobladas a 45º ó

60º, y estribos a 90º)

, es el ángulo entre las bielas de compresión del hormigón y el eje de la pieza. Se impone que sea

entre 30 º y 60 º y de forma simplificada se adopta 45º.

En el caso en que = 90º y = 45º, K =1, puede usarse la expresión simplificada:

1 00.30 u cdV f b d

Obtención de Vu2

Piezas con armadura de cortante

El dimensionado y comprobación debe cumplir:

2d uV V (sin pretensado y sección constante)

En este caso, el esfuerzo cortante de agotamiento por tracción en el alma vale:

2 u su cuV V V

donde:

Vsu: contribución de la armadura transversal de alma a la resistencia a esfuerzo cortante.

Vcu: contribución del hormigón a la resistencia a esfuerzo cortante.

a) Cálculo de Vsu

,sen (cot cot ) su y dV z g g A f

donde es:

z: brazo mecánico o brazo elástico de la sección (simplificadamente se toma z = 0.9 d)

A: área por unidad de longitud de cada grupo de armaduras que forman un ángulo con la directriz de la

pieza.

,y df : resistencia de cálculo de la armadura (activa o pasiva, en su caso).

b) Cálculo de Vcu

1 3

1 0

0.15100 0.15 '

cu cv cd

c

V f b d

Usualmente se utiliza una armadura transversal de tipo estribo o cerco, que indica un valor de = 90º y

además, se puede hacer = 45º para las bielas de hormigón, la contribución del hormigón armado y de la

armadura transversal al esfuerzo cortante será entonces:

1 3

1 0

0.15100 cu cv

c

V f b d

cvf :resistencia a cortante del Hº. Se hace cv ckf f , salvo para el caso de control reducido de ejecución (o

control indirecto del valor de la resistencia del Hº) donde será 15cvf Mpa . Por otra parte, con

1.50c quedaría:

1 3

1 00.10 (100 ) cu ckV f b d

Además:

90 90,0.9 su y dV d A f

donde fy90,d , es la resistencia de cálculo de las armaduras transversales a 90º y 90A , área de la armadura

de corte por unidad de longitud de la pieza [mm2/m].

Para estribos de dos ramas a separación s, se puede expresar como:

48

2

90,1.41 su y d

dV f

s

con , diámetro del estribo.

Para estribos dobles, de cuatro ramas, a separación s, la fórmula es:

2

90,2.82 su y d

dV f

s

La forma de proceder en el cálculo es la siguiente:

Sabiendo que:

Vu2 = Vsu + Vcu = Vd

Se calcula Vcu, y se hace:

Vsu = Vd - Vcu

También pueden dimensionarse los estribos desde las fórmulas de suV vistas anteriormente. Así, para

dos ramas es:

2

90,1.41 su y d

dV f

s

de donde:

2

90,1.41 y d

su

ds f

V

Para estribos a 90º de 2 ramas:

s/d

ACERO B 400 S

Estribo de dos ramas [kN]

2 6 2 8 2 10

0.10 177.0 314.7 491.7

0.15 118.0 209.8 327.8

0.20 88.5 157.4 245.9

0.25 70.8 125.9 196.7

0.30 59.0 104.9 163.9

0.35 50.6 89.9 140.5

0.40 44.3 78.7 122.9

0.45 39.3 69.9 109.3

0.50 35.4 62.9 98.3

0.55 32.2 57.2 89.4

0.60 29.5 52.5 82.0

0.65 27.2 48.4 75.6

0.70 25.3 45.0 70.2

0.75 23.6 42.0 65.6

s/d

ACERO B 500 S

Estribo de dos ramas [kN]

2 6 2 8 2 10

0.10 203.6 361.9 565.5

0.15 135.7 241.3 377.0

0.20 101.8 181.0 282.7

0.25 81.4 144.8 226.2

0.30 67.9 120.6 188.5

0.35 58.2 103.4 161.6

0.40 50.9 90.5 141.4

0.45 45.2 80.4 125.7

0.50 40.7 72.4 113.1

0.55 37.0 65.8 102.8

0.60 33.9 60.3 94.2

0.65 31.3 55.7 87.0

0.70 29.1 51.7 80.8

0.75 27.1 48.3 75.4

s: distancias entre estribos

d: canto útil

Para una rama usar la mitad

Se usa s = 1.15

49

Para las barras levantadas a 45º:

ACERO B 400 S. Esfuerzo cortante de agotamiento que absorbe

una barra levantada a 45º [kN]

s/d Diámetro de la barra

6 8 10 12 14 16 20 25 32 40

0.20 64.2 114.0 178.2 256.6 349.3 456.2 721.8 1113.7 1824.7 2851.2

0.25 51.3 91.2 142.6 205.3 279.4 364.9 570.2 891.0 1459.8 2280.9

0.30 42.8 76.0 118.8 171.1 232.8 304.1 475.2 742.5 1216.5 1900.8

0.35 36.7 65.2 101.8 146.6 199.6 260.7 407.3 636.4 1042.7 1629.2

0.40 32.1 57.0 89.1 128.3 174.6 228.1 356.4 556.9 912.4 1425.6

0.45 28.5 50.7 79.2 114.0 155.2 202.7 316.8 495.0 811.0 1267.2

0.50 25.7 45.6 71.3 102.6 139.7 182.5 285.1 445.5 729.9 1140.5

0.55 23.3 41.5 64.8 93.3 127.0 165.9 259.2 405.0 663.5 1036.8

0.60 21.4 38.0 59.4 85.5 116.4 152.1 237.6 371.2 608.2 950.4

0.65 19.7 35.1 54.8 79.0 107.5 140.4 219.3 342.7 561.5 877.3

0.70 18.3 32.6 50.9 73.3 99.8 130.3 203.7 318.2 521.4 814.6

0.75 17.1 30.4 47.5 68.4 93.1 121.6 190.1 297.0 486.6 760.3

0.80 16.0 28.5 44.5 64.2 87.3 114.0 178.2 278.4 456.2 712.8

0.85 15.1 26.8 41.9 60.4 82.2 107.3 167.7 262.1 429.4 670.9

0.90 14.3 25.3 39.6 57.0 77.6 101.4 158.4 247.5 405.5 633.6

0.95 13.5 24.0 37.5 54.0 73.5 96.0 150.1 234.5 384.2 600.2

1.00 12.8 22.8 35.6 51.3 69.9 91.2 142.6 222.7 364.9 570.2

ACERO B 500 S. Esfuerzo cortante de agotamiento que absorbe

una barra levantada a 45º [kN]

s/d Diámetro de la barra

6 8 10 12 14 16 20 25 32 40

0.20 75.6 134.4 209.9 302.3 411.5 537.4 839.7 1312.0 2149.6 3358.8

0.25 60.5 107.5 167.9 241.8 329.2 429.9 671.8 1049.6 1719.7 2687.1

0.30 50.4 89.6 140.0 201.5 274.3 358.3 559.8 874.7 1433.1 2239.2

0.35 43.2 76.8 120.0 172.7 235.1 307.1 479.8 749.7 1228.4 1919.3

0.40 37.8 67.2 105.0 151.1 205.7 268.7 419.9 656.0 1074.8 1679.4

0.45 33.6 59.7 93.3 134.4 182.9 238.8 473.2 583.1 955.4 1492.8

0.50 30.2 53.7 84.0 120.9 164.6 215.0 335.9 524.8 859.9 1343.5

0.55 27.5 48.9 76.3 109.9 149.6 195.4 305.3 477.1 781.7 1221.4

0.60 25.2 44.8 70.0 100.8 137.2 179.1 279.7 437.3 716.5 1119.6

0.65 23.3 41.3 64.6 93.0 122.6 165.4 258.4 403.7 661.4 1033.5

0.70 21.6 38.4 60.0 86.4 117.6 153.5 239.9 374.9 614.2 959.7

0.75 20.2 35.8 56.0 80.6 109.7 143.3 223.9 349.9 573.2 895.7

0.80 18.9 33.6 52.5 75.6 102.9 134.3 209.9 328.0 537.4 839.7

0.85 17.8 31.6 49.4 71.1 96.8 126.4 197.6 308.7 505.8 790.3

0.90 16.8 29.9 46.7 67.2 91.4 119.4 186.6 291.6 477.7 746.4

0.95 15.9 28.3 44.2 63.6 86.6 113.1 176.8 276.2 452.6 707.1

1.00 15.1 26.9 42.0 60.5 82.3 107.5 167.9 262.4 429.9 671.8

Armaduras de cortante mínimas

max 0.75 1 cot 600 s d g mm si 1

1

5d uV V

max 0.60 1 cot 450 s d g mm si 1 1

1 2

5 3 u d uV V V

max 0.30 1 cot 300 s d g mm si 1

2

3d uV V

Estado Límite de Punzonamiento El área crítica se define a una distancia igual a 2d desde el perímetro del área cargada o del soporte, siendo d

el canto útil de la losa.

50

Losas sin armadura de punzonamiento

No será necesaria armadura de punzonamiento si se verifica la siguiente condición:

sd rd

donde:

sd : Tensión tangencial nominal de cálculo en el perímetro crítico.

,

1

sd ef

sd

F =

u d

sd,ef F :Esfuerzo efectivo de punzonamiento de cálculo, teniendo en cuenta el efecto del momento transferido

entre losa y soporte.

,sd ef sdF = F

: Coeficiente que tiene en cuenta los efectos de excentricidad de la carga. Cuando no existen momentos

transferidos entre losa y soporte toma el valor 1.00. Cuando existan momentos transferidos entre losa y

soporte, puede tomarse igual a 1.15 en soportes interiores, 1.40 en soportes de borde y 1.50 en soportes

de esquina.

sd F : Esfuerzo de punzonamiento de cálculo. Se obtendrá como la reacción del soporte. En el caso de losas

pretensadas debe incluir la componente vertical del pretensado.

1u : Perímetro crítico definido en las figuras

d : Canto útil de la losa.

rd : Tensión máxima resistente en el perímetro crítico, con ckf en N/mm

2.

1/30.18

0.1 'rd cdl cv

c

= 100 f

Con un valor mínimo de:

1/23/20.0750.1 'rd cdcv

c

= f

l : Cuantía geométrica de armadura longitudinal principal de tracción de la losa, calculada mediante

0.02l x y

siendo x y y las cuantías en dos direcciones perpendiculares. En cada dirección la cuantía a considerar

es la existente en un ancho igual a la dimensión del soporte más 3d a cada lado del soporte o hasta el borde

de la losa, si se trata de un soporte de borde o esquina.

= 2.001 + 200 / d con d en mm

2' '

' 0.3 12 /2

cdx cdy

cd cdf N mm

,' d x

cdx

x

N

A ; ,' d Y

cdY

Y

N

A

Donde:

51

,d xN y ,d yN : fuerzas longitudinales en la superficie crítica (de las cargas o de pretensado)

xA y yA : superficies definidas por los lados bx y by de acuerdo a figuras 25.8 y 25.9

x xA b h ; y yA b h

Losas con armadura de punzonamiento

Cuando resulta necesaria armadura de punzonamiento deben realizarse tres comprobaciones en tres zonas:

1. Zona de armadura transversal

2. Zona exterior a la armadura de punzonamiento

3. Zona adyacente al soporte o carga

A continuación se indican los cálculos correspondientes a cada zona.

1) Zona con armadura transversal de punzonamiento

En la zona con armadura de punzonamiento se dimensionará la armadura teniendo en cuenta que la

armadura transversal puede ser con estribos verticales o con barras levantadas un ángulo , de forma que

se satisfaga la siguiente ecuación:

,

1

0.75 1.5sw y d

sd rd

A f sen

s u

Donde es:

sd : tensión tangencial de cálculo

rd : tensión máxima resistente en el perímetro crítico considerando cv ckf f

swA : área total de armadura de punzonamiento en un perímetro concéntrico al soporte o área cargada, en

mm2

s : distancia en dirección radial entre dos perímetros concéntricos de armadura, o entre el perímetro y la cara

del soporte, en mm (ver figura)

,y df : resistencia de cálculo de la armadura A, en N/mm

2 y no mayor de 400 N/mm

2.

2) Zona exterior a la armadura de punzonamiento

En la zona exterior a la armadura de punzonamiento es necesario comprobar que no se requiere

dicha armadura.

0.18

0.1 '1/ 3

sd,ef cv n,efcdl

c

(100 d) uF f

donde:

,n efu : Perímetro definido

l : Cuantía geométrica de armadura longitudinal que atraviesa el perímetro ,n efu

cvf : resistencia efectiva del hormigón a cortante

sd,ef sd FF , con =1

A la distancia en la que se comprueba esta condición se supone que el efecto del momento transferido entre

soporte y losa por tensiones tangenciales ha desaparecido, por tanto, Fsd,ef sólo tendrá en cuenta el efecto

debido a la carga vertical Fsd.

52

3) Zona adyacente al soporte o carga. Resistencia máxima

En cualquier caso debe comprobarse que el esfuerzo máximo de punzonamiento cumple la limitación:

0.5sd,ef1cd

0

F f

du

donde:

1cdf : Resistencia a compresión del hormigón

Con:

1 0.60cd cdf = f para 260 /ckf N mm

1 (0.90 / 200)cd ck cdf = f f para 260 /ckf N mm

0u : Perímetro de comprobación (Fig.)

- En soportes interiores, 0u es el perímetro de la sección transversal del soporte.

- Para soportes de borde, 0 1 2 + 2u c c , donde c1 y c2 son las dimensiones del soporte en la dirección

del borde y perpendicular a la misma respectivamente. - Para soportes de esquina, 0 1 2 + u c c

53

Disposiciones relativas a las armaduras

La armadura de punzonamiento estará constituida por cercos, horquillas verticales o barras dobladas.

Estado Límite de Rasante

Juntas Frágiles (sin armadura de Rasante)

Con:

: resistencia de cálculo a tracción del Hº más débil (el colocado in situ) :

:Tensión de cálculo normal a la junta (positiva si es compresión y existe). Para tracción =0.

:Valores que tienen en cuenta la rugosidad de la junta y sale de tabla

Tipo de Superficie

Rugosidad baja Rugosidad alta

0.2 0.4

0.6 0.9

Procedimiento de cálculo. Se debe verificar que:

Donde:

: Valor medio de la tensión de rasante en la junta en la sección considerada

: Valor de cálculo de cortante en la sección considerada : Superficie de contacto por unidad de longitud de toda la junta (longitud en direc del rasante)

: Brazo mecánico elástico adoptado (aprox. z = 0.9 h)

Juntas Dúctiles (con armadura de Rasante). No se consideran aquí

,u cu ct d cdf

,ct df

cd

;

med u

dmed

V

p z

med

dV

p

z

54

Estado Límite de Torsión

El espesor o ancho eficaz que se halla (he) :

0

2e

hAh y además

cu

donde es:

A: área de la sección transversal inscrita en el perímetro exterior incluyendo las áreas huecas interiores.

u: perímetro exterior de la sección transversal.

h0: espesor real de la pared en caso de secciones huecas.

c: recubrimiento de las armaduras longitudinales.

Comprobaciones a realizar:

Td Tu1

Td Tu2

Td Tu3

Donde es:

Td: Momento torsor de cálculo de la sección

Tu1: Máximo momento torsor que pueden resistir las bielas comprimidas de hormigón.

Tu2: Máximo momento torsor que pueden resistir las armaduras transversales.

Tu3: Máximo momento torsor que pueden resistir las armaduras longitudinales.

1) Obtención de Tu1

1 1 2

cot2

1 cotu cd e e

gT K f A h

g

donde:

1cdf , es la resistencia a compresión del hormigón, obtenida como:

Con:

1 0.60cd cdf f para 260 /ckf N mm

1 (0.90 / 200) 0.50cd ck cd cdf f f f para 260 /ckf N mm

K : es un coeficiente que depende del esfuerzo axil (ya definido en pag 52)

, es un coeficiente que vale:

0.60, si hay estribos únicamente a lo largo del perímetro exterior de la pieza, o

0.75, si se colocan estribos cerrados en ambas caras de la pared de la sección hueca equivalente o de la

sección hueca real.

, ángulo entre las bielas de hormigón y el eje de la pieza (ya se ha dicho que se puede tomar 45º

simplificadamente). Será el mismo valor adoptado para cortante.

Ae, área encerrada por la línea media de la sección hueca eficaz de cálculo.


2 ,

2cote t

u yt d

t

A AT f g

s

55

donde:

At: área de las armaduras utilizadas como cercos o armadura transversal

st: separación longitudinal entre cercos o barras de la armadura transversal

fyt,d :resist de cálculo del acero de la armadura At (para armadura pasiva, 400/1.15 Mpa ó 500/1.15 Mpa).


3 ,

2tge

u l yl d

e

AT Af

u

donde:

Al: área de las armaduras longitudinales

fyl,d: resistencia de cálculo de la armadura longitudinal (idem que fyt,d)

ue: perímetro de la línea media de la sección hueca eficaz de cálculo Ae

Disposiciones relativas a las armaduras mínimas

La separación longitudinal entre cercos, maxs o

ts , no excederá de:

max8

eus

Además:

max 0.75 (1 cot ) 600s a g a mm , si 1

1

5d uT T

max 0.60 (1 cot ) 450s a g a mm , si 1 1

1 2

5 3u d uT T T

max 0.30 (1 cot ) 300s a g a mm , si 1

2

3d uT T

siendo a, la menor dimensión de los lados que conforman el perímetro ue.

Interacción entre torsión y otros esfuerzos (torsión, cortante y flexión)

1 1

1d rd

u u

T V

T V

Donde es:

Tu1 : momento torsor de agotamiento por compresión del hormigón.

Vu1 : esfuerzo cortante de agotamiento por compresión del hormigón.

6. ELS. FISURACIÓN. DEFORMACIÓN. VIBRACIÓN Estado Límite de Fisuración

Ancho de fisura máxima

Clase de Exposición máxW [mm]

Hormigón armado Hormigón pretensado

I 0.4 0.2

IIa, IIb, H 0.3 0.2*

IIIa, IIIb, IV, F, Qa 0.2 Descompresión

IIIc, Qb, Qc 0.1

Fisuración por tensiones normales. Fisuración por tracción

k máxW W

donde:

kW : abertura característica de fisura.

máxW : abertura máxima de fisura, definida en tabla.

k m smW S

Donde es:

56

: coeficiente que relaciona la abertura media de fisura con el valor característico y vale 1.3 para

fisuración producida por acciones indirectas solamente y 1.7 para el resto de los casos (en general, se

adopta 1.7 y se está del lado de la seguridad).

mS : separación media entre fisuras, expresada en mm.

sm : alargamiento medio de las armaduras, teniendo en cuenta la colaboración del hormigón entre fisuras.

Se define:

,

12 0.2 0.4 c eficaz

m

s

AS c s k

A

con:

c : recubrimiento de hormigón de las armaduras traccionadas (r)

s : distancia entre barras longitudinales. Si 15s se toma 15s . En caso de vigas armadas con

n barras se tomará s=b/n, con b ancho de la viga. Se entiende que es la distancia entre ejes de barras (no

la distancia libre entre ellas)

1k : coeficiente que representa la influencia del diagrama de tracciones en la sección, de valor:

1 21

18k

donde 1 y

2 son las deformaciones máxima y mínima calculadas en la sección fisurada, en los límites

de la zona traccionada. El caso de Flexión Compuesta (muy frecuente) se considere incluido en el de

Flexión Simple (k1 = 0.125).

: diámetro de la barra traccionada más gruesa o diámetro equivalente en el caso de grupo de barras.

,c eficazA : área de hormigón de la zona de recubrimiento, definida en la Fig, en donde las barras a tracción

influyen de forma efectiva en la abertura de las fisuras. Es el área donde se puede producir la fisura máxima.

sA : sección total de las armaduras situadas en el área ,c eficazA .

57

2

21 0.4s sr ssm

s s s

kE E

con:

s : tensión de servicio de la armadura pasiva en la hipótesis de sección fisurada.

sE : módulo de deformación longitudinal del acero.

2k : coeficiente de valor 1 para los casos de carga instantánea no repetida (estática) y 0.5 para

los restantes.

sr : tensión de la armadura en la sección fisurada en el instante en que se fisura el hormigón, lo cuál

supone que ocurre cuando la tensión de tracción en la fibra más traccionada del hormigón alcanza el valor

ctf .

Las tensiones en las armaduras descritas pueden evaluarse a partir de:

ks

s

M

k d A

, con 0.80 0.90k

0.8

fissr

s

M

d A

donde:

58

kM : momento característico (sin mayorar) para el que se realiza la comprobación del Estado Límite de

Fisuración. El valor de cálculo en la sección que interesa verificar.

fisM : momento para el que la fibra más traccionada de hormigón alcanza el valor ctf . Puede hallarse

como:

fis ct bM f W

con bW , módulo de la sección bruta antes de la fisuración.

Para una sección rectangular tipo, de h x b, se hace: 2

230.306

fis ck

b hM f

50ckf Mpa

2230.58

6fis ck

b hM f

50ckf Mpa

Limitación de fisuración por esfuerzo cortante

Según la EHE, puede suponerse que la fisuración debida a esfuerzo cortante se controla si:

23 / /rd cuV V A d sen N mm Separación entre estribos (mm)

< 50 300

75 200

100 150

150 100

200 50

Donde:

Para HA, sección constante y estribos a 90º, quedaría:

23 / /rd cuV V A d sen N mm = 23 / /d cuV V A d N mm

Limitación de fisuración por esfuerzo de torsión

Puede suponerse que la fisuración debida a esfuerzo torsor se controla si:

2t

as y

3t

bs

200ts mm

Donde es:

a: menor dimensión transversal de la pieza.

b: mayor dimensión transversal de la pieza.

Limitación de fisuración en EC 2

El valor de la tensión del acero puede hallarse al igual que antes, de forma simplificada, como:

0.8k

s

s

M

d A

Las tablas indicadas para verificar maxW 0.30:

59

Las tablas indicadas para verificar maxW 0.40:

Estado Límite de Deformación

Cantos mínimos de verificación (vigas y losas)

SISTEMA ESTRUCTURAL

L/d

K

Elementos fuertemente

armados:

= 0.015

Elementos débilmente

armados:

= 0.005

Viga simplemente apoyada. Losa uni

o bidireccional simplemente apoyada

1.00

14

20

Viga continua1 en un extremo. Losa

unidireccional continua1,2

en un solo

lado

1.30

18

26

Viga continua1 en ambos extremos.

Losa uni o bidireccional continua1,2

1.50 20 30

Recuadros exteriores y de esquina en

losas sin vigas sobre apoyos

aislados3

1.15

16

23

Recuadros interiores en losas sin

vigas sobre apoyos aislados3

1.20 17 24

Voladizo 0.40 6 8

1 Un extremo se considera continuo si el momento correspondiente es igual o superior al 85 % del momento de empotramiento perfecto.

2 En losas unidireccionales, las esbelteces dadas se refieren a la luz menor.

3 En losas sobre apoyos aislados (pilares), las esbelteces dadas se refieren a la luz mayor.

Cantos mínimos de verificación para forjados

Para forjados de viguetas con luces menores que 7 m y de forjados de losas alveolares pretensadas con

luces menores que 12 m, y sobrecargas no mayores que 4 kN/m², no es preciso comprobar si la flecha

si el canto total h es mayor que el mínimo hmín dado por:

hmín = δ1 δ2 L / C

siendo:

1 : factor que depende de la carga total y que tiene el valor de que tiene el valor de (q / 7)1/2

, siendo q la

carga total, en kN/m²

2 : factor que tiene el valor de (L/6)0,25

L : luz de cálculo del forjado, en m;

C : coeficiente cuyo valor se toma de la tabla

Coeficientes C

Tipo de forjado

Tipo de carga

Tipo de tramo

Aislado Extremo Interior

Viguetas armadas Con tabiques o muros

Cubiertas

17

20

21

24

24

27

Viguetas pretensadas Con tabiques o muros

Cubiertas

19

22

23

26

26

29

40

32

25

20

16

12

10

8

Wk=0.4

300

300

250

200

150

100

Wk=0.4

60

Losas alveolares

pretensadas (*)

Con tabiques o muros

Cubiertas

36

45

- -

(*) Piezas pretensadas proyectadas de forma que, para la combinación poco frecuente no llegue a superarse el

momento de fisuración

Cálculo de la flecha instantánea

El módulo secante es: 38500cm cmE f , con los valores en N/mm2

El módulo tangente es: tg c E cmE E E

Con:

1.30 1.175400

ckE

f , con fck en N/mm

2

,28 8cm ckf f [N/mm2]

del módulo a una edad distinta de los 28 días, el valor obtenido debería ser afectado por un coeficiente

( ), que es:

Edad del hormigón [días] 3 7 28 90 365


Hormigón de endurecimiento rápido 0.74 0.87 1.00 1.07 1.09

Momento de inercia equivalente (eI ) es:

3 3

1f fe b f b

a a

M MI I I I

M M

donde:

eI : inercia equivalente

aM : momento flector máximo aplicado a la sección hasta el instante en que se evalúa la flecha.

fM : momento nominal de fisuración de la sección, que se calcula mediante la expresión,

,f ct fl bM f W

,ct flf : resistencia a flexotracción del hormigón

23, 0.30ct fl ckf f , que es válido para 50ckf Mpa y h < 600 mm

bW : módulo resistente de la sección bruta respecto a la fibra extrema de la sección.

bI : momento de inercia de la sección bruta.

fI : momento de inercia de la sección fisurada en flexión simple, que se obtiene despreciando la zona de

hormigón en tracción y homogeneizando las áreas de las armaduras activas adherentes y pasivas

multiplicándolas por el coeficiente de equivalencia.

Para secciones rectangulares (b x h), puede usarse:

232

0.30

6

ck

f

fM b h

; 2

fM K b h , con b y h en [m] y fM en [kN m].

Donde el valor de K es función del tipo de hormigón y vale:

Hormigón K

HA 25 427.49

HA 30 482.74

HA 35 534.99

HA 40 584.80

HA 45 632.57

HA 50 678.60

Posición de la línea neutra (x).

61

2

121 2

12

1

1

2 1

1 1 1

1

r

dx n d

n

además, para el caso en que se considere:

2 1

1

20 1 1x n d

n

donde es:

s

c

En

E ; 1

1

A

b d

, cuantía geométrica en tracción ; 2

2

A

b d

, cuantía geométrica en compresión

(armadura de cálculo o montaje) ; 1 2 'r d d d

La inercia de la sección fisurada se halla como:

1 23 3

f

x xI n A d x d n A x r r

Además se puede hallar fI de forma similar para secciones en T

Cuando se tengan distintos valores de eI a lo largo de la pieza, se debe hallar un valor común para utilizar

en la formula de flecha.

a) En elementos simplemente apoyados, en la sección central (ecI )

b) En voladizos, en la sección de empotramiento

c) En vanos internos de elementos continuos como:

1 20.50 0.25 0.25e ec ee eeI I I I

Donde eeiI es la inercia equivalente de la sección en el apoyo i

d) En vanos extremos, con continuidad solo en uno de los apoyos:

0.75 0.25e ec eeI I I

Cálculo de la flecha diferida

Será:

d if f

Donde es:

df : fecha diferida

if : flecha instantánea

Con:

21 50

Según EHE:

2 : cuantía geométrica de la armadura de compresión (2A ) ya definida.

: coeficiente que depende de la duración de la carga (t) y que toma los valores:

5 ó más años 2.0

1 año 1.4

6 meses 1.2

3 mes 1.0

1 mes 0.7

2 semanas 0.5

Flecha total o flecha máxima es:

max total i df f f f

Estado Límite de Vibraciones

Para las pasarelas peatonales se recomienda evitar frecuencias comprendidas entre 1.6 y 2.4 Hz y entre

3.5 y 4.5 Hz. También se dan unos valores de frecuencias críticas (o rangos de frecuencias) que deben

ser evitadas para distintas situaciones, por ejemplo:

62

Estructura Frecuencia [Hz]

Gimnasios o palacios de deportes > 8.0

Salas de fiestas o conciertos sin asientos fijos > 7.0

Salas de fiestas o conciertos con asientos fijos > 3.4

7. VIGAS EN T Definición geométrica de sección en T

Unas fórmulas muy utilizadas son:

a) Para alas comprimidas:

1

5e wb b l b

donde, l es la distancia entre puntos de momento nulo

En el caso particular de vigas de borde, con ala en un solo sentido:

1

10e wb b l b

b) Para alas traccionadas:

8e w fb b h b

Cuando sean vigas de borde:

4e w fb b h b

h

hf

bw

b

be

b1 b1

Ala

Nervio

Donde es:

b: anchura de la cabeza

be: anchura eficaz de la

cabeza

b1: vuelo eficaz del ala

bw: anchura del nervio

h: altura total

hf:: altura de la cabeza

64

' 2w w ob b b , si 0ob h

' 2w w ob b h , si 0ob h

65

Ecuaciones de equilibrio y compatibilidad para secciones T

Suponiendo un valor de 0.85cc , la armadura se encontrará como:

1. Para 0dM M ,

2

d

cd

M

b d f

cdT b d f

2. Para 0 d nM M M ,

Se puede hacer:

00 2( )

d

w f cd

M M

b d h f

0 0.85 f

w f

hb

b d h

Donde de forma simplificada se puede hacer:

(1 ) 0.85 f

w f

hb

b d h

Finalmente:

( )w f cdT b d h f

También se puede usar:

00.85

0.90

dcd f

h

M MT f b h

d h

3. Para d nM M , es necesaria la colocación de armadura comprimida y, de forma aproximada:

2

2

d nM M

d d

1 20.85 0.36 ( )cd w w ff b d b b h

Comprobación de la sección en T ( 0.85cc )

Para realizar una comprobación (d uM M ), se parte de considerar que no existe armadura de

compresión y, desde la primera ecuación de equilibrio, se halla el valor de la profundidad del bloque

comprimido (y):

10 0.85 cd w w f ydf b y b b h A f

1 0.85

0.85 0.85

yd cd w f

cd w cd w

A f f b b hy

f b f b

Hallado el valor de y, pueden presentarse 3 casos:

1. Para fy h , la fibra límite de tensión de compresión cae dentro de la cabeza. El momento último

resistente se halla como en una sección rectangular que tenga ancho b:

y=0.36 d M0

Mn

hf

y=hf

x=y/0.80=1.25 hf

y=0.36 d

x=y/0.80=0.45 d

66

0.85 0.5u cdM f b y d y

2. Para 0.36fh y d , la fibra cae en el nervio y el momento se deduce como:

0.85 0.5 0.5u cd w w f fM f b y d y b b h d h

3. Para 0.36y d . Este es el caso no habitual. Aquí, el valor de y hallado puede no ser correcto.

Esta sección está conceptualmente mal diseñada.

Método aproximado para d nM M

Un método aproximado y sencillo de utilizar es el que se da en las siguientes tablas. El método tiene más

precisión para valores de 0dM M . Aquí se saca directamente el valor de . En las tablas se entra con

los valores de hf/d, b/bw y .

Donde es:

d

cd

M

b d f

El uso de los valores obtenidos de estas tablas garantizan estar en el D3 y se dan los valores límites de

y en cada combinación posible. Lógicamente será necesario interpolar (doble interpolación) con

bastante frecuencia.

hf/d=0.10 b/bw

1 2 4 5 6 8 10

0.037 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038 0.038

0.040 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042 0.042

0.050 0.052 0.052 0.052 0.052 0.052 0.052 0.052

0.060 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063 0.063

0.070 0.074 0.074 0.074 0.074 0.074 0.074 0.074

0.080 0.085 0.085 0.085 0.084 0.084 0.084 0.084

0.090 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096

0.100 0.107 0.107 0.108 0.108 0.109 0.110 0.111

0.110 0.119 0.119 0.121 0.122 0.124 0.128

0.120 0.131 0.132 0.136 0.138 0.142

0.130 0.143 0.144 0.152 0.158

0.140 0.155 0.158 0.171

0.150 0.167 0.172

0.160 0.179 0.187

0.170 0.192 0.203

0.180 0.206 0.220

0.190 0.219 0.238

lim 0.327 0.204 0.142 0.130 0.122 0.112 0.105

lim 0.448 0.267 0.176 0.158 0.146 0.130 0.121

67

hf/d=0.15 b/bw

1 2 4 5 6 8 10

0.075 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079 0.079

0.080 0.085 0.085 0.085 0.085 0.085 0.085 0.085

0.090 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096 0.096

0.100 0.107 0.107 0.107 0.107 0.107 0.107 0.107

0.110 0.119 0.119 0.119 0.119 0.119 0.119 0.119

0.120 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131

0.130 0.143 0.143 0.143 0.143 0.143 0.143 0.143

0.140 0.155 0.155 0.156 0.157 0.157 0.159

0.150 0.167 0.168 0.171 0.173 0.175

0.160 0.179 0.182 0.188 0.192

0.170 0.192 0.196 0.207

0.180 0.206 0.211

0.190 0.219 0.227

0.200 0.233 0.244

0.210 0.247 0.263

0.220 0.261 0.283

lim 0.327 0.222 0.170 0.160 0.153 0.144 0.139

lim 0.448 0.288 0.207 0.192 0.181 0.168 0.160

hf/d=0.20 b/bw

1 2 4 5 6 8 10

0.115 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125

0.120 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131 0.131

0.130 0.137 0.137 0.137 0.137 0.137 0.137 0.137

0.140 0.155 0.155 0.155 0.155 0.155 0.155 0.155

0.150 0.167 0.167 0.167 0.167 0.167 0.167 0.167

0.160 0.179 0.179 0.179 0.179 0.179 0.180 0.180

0.170 0.192 0.193 0.193 0.194 0.194 0.195

0.180 0.206 0.206 0.209 0.210 0.212

0.190 0.219 0.221 0.226

0.200 0.233 0.236

0.210 0.247 0.252

0.220 0.261 0.270

0.230 0.276 0.289

0.240 0.291 0.310

lim 0.327 0.240 0.196 0.188 0.182 0.175 0.170

lim 0.448 0.310 0.240 0.226 0.216 0.205 0.198

Cálculo a cortante en secciones T o doble T

El cálculo a cortante de la sección en T o doble T se realiza con el mismo procedimiento que para las

secciones rectangulares.

h=hw+hf

bw

h=hw+2 hf

bw

68

8.CIMENTACIONES Tipos de suelos

TERRENOS

SIN COHESIÓN

COMPOSICIÓN

CARACTERISTICAS

CLASIFICACIÓN

Formaciones Geologicas

Notable resistencia a compresión

Isotropas sin visible estratificación 30 a 60 kp/cm2

Estratificadas con visible estratificación 10 a 20 kp/cm2

ROCAS

COMPOSICIÓN

Gravas y gravillas con d>2mm

Arenas gruesas y medias 2>d>0,2 mm

Arenas finas 0,2>d>0,06 mm

Limos inorgánicos d<0,06 mm

CARACTERISTICAS Predomina resistencia al corte

CLASIFICACIÓN

Graveras

Arenosos

gruesos

Arenosos

finosPredominan arenas finas 1,6 a 3,2 kp/cm2

Predominan gravas y gravillas 4 a 8 kp/cm2

Predominan arenas gruesas y medias 2,5 a 5 kp/cm2

TERRENOS

COHERENTES

COMPOSICIÓN

CARACTERISTICAS

CLASIFICACIÓN

Predomina la resistencia a la cohesión

Fangos, terrenos organicos, rellenos

Arcillosos duros Se rompen dificilmente a mano 4 kp/cm2

Arcillosos semiduros Se amasan dificilmente a mano 2 a 4 kp/cm2

Arcillosos blandos Se amasan facilmente 1a 2 kp/cm2

Arcillosos fluidos Fluyen < 1 kp/cm2

TERRENOS

DEFICIENTES

COMPOSICIÓN

CARACTERISTICAS

CLASIFICACIÓN

Arcillas

No aptos para cimentación

Fangos inorganicos

Terrenos organicos

Terrenos de relleno

72

VALORES DE K30 PROPUESTOS POR DIVERSOS AUTORES

Clases de suelo K30 (kp/cm3)

Arena fina de playa 1,0 - 1,5

Arena floja, seca o húmeda 1,0 - 3,0

Arena media, seca o húmeda 3,0 - 9,0

Arena compacta, seca o húmeda 9,0 - 20,0

Gravilla arenosa floja 4,0 - 8,0

Gravilla arenosa compacta 12,0 - 25,0

Grava arenosa floja 7,0 - 12,0

Grava arenosa compacta 12,0 - 30,0

Margas arcillosas 20,0 - 40,0

Rocas blandas o algo alteradas 30,0 - 500

Rocas sanas 800 - 30.000

73

Bases de cálculo

- ELS (vuelco, deslizamiento y tensiones en el suelo)

- ELU (flexión, cortante, punzonamiento)

- ELD (fisuración)

Predimensionados:

A) Peso propio:

P = 0.10 N (para zapatas con esfuerzos normales bajos) P = 0.05 N (para zapatas con esfuerzos normales altos) O también con una fórmula que es:

P = N β

β = (14 – 0.02 σadm

)/100; con σadm

en kN/m2

)

B) Canto:

/t N a b tension uniforme

1.10.25

370

t

t

d v

( ) / 2ov a a vuelo

74

ELS. Cálculo de Vuelco, deslizamiento y tensiones

1) Vuelco:

Me ≥M

v

(N + P) (a/2) ≥ (M+V h)γ1

2) Deslizamiento:

(N + P) tg φd ≥ γ

2V → Arenas

A Cd ≥ γ

2 V → Arcillas

Donde: φd = 2/3 φ; γ

1 =γ

2 = 1.5; C

d = 0.5 C;

A = Superficie de la zapata

3) Tensiones

a) e = M/N = 0 (uniforme)

b) e = M/N a/6

Se hacen 2 verificaciones,

max min

2med adm

max 1.25 adm

c) e = M/N > a/6 (no deseable si es posible)

Se hace 1 verificación,

max 1.25 adm ; Otra fórmula: max

4

3 ( 2 )

N

a e b

adm

N P

a b

max

6(1 )tP e

a b a

min

6(1 )tP e

a b a

75

Clasificación de las cimentaciones de hormigón estructural

Los encepados y zapatas de cimentación pueden clasificarse en rígidos y flexibles.

Para zapata rígida

El método general de análisis más adecuado es el de bielas y tirantes. No obstante puede utilizarse el modelo

general de flexión simple ya visto. Para zapatas rectangulares sometidas a flexocompresión recta, siempre

que se pueda despreciar el efecto del peso de la zapata y de las tierras situadas sobre ésta.

La armadura principal se obtendrá para resistir la tracción Td indicada en el modelo, que resulta:

0( )6.8

d

d

NT a a

d

(Nd centrada)

1

1dd 1 s yd

R = = TT x A f

0,85 d (Nd excéntrica)

Con: fyd 400 N/mm

2 ; σ1d y σ2d: tensiones obtenidas: R1d : Fuerza resultante del trapecio hasta a/4 en el ancho de

la zapata; x1, la distancia del centro de gravedad del trapecio a la línea de carga de N1d. Se puede obtener considerando un rectángulo más un triángulo como:

1rect rect trian trian

rect trian

A x A xx

A A

Para Encepados sobre dos pilotes (ver más adelante)

La armadura se proyectará para resistir la tracción de cálculo Td de la figura, que puede tomarse como:

1

dd s yd

( v + 0,25 a )N = = TT A f

0,85 d

Cimentaciones rígidas

.- Los encepados cuyo vuelo v en la

dirección principal de mayor vuelo es

menor que 2h.

.- Las zapatas cuyo vuelo v en la

dirección principal de mayor vuelo es

menor que 2h.

.- Los pozos de cimentación.

.- Los elementos masivos de

cimentación: contrapesos, muros

masivos de gravedad, etc.

Según EHE: hmin = 25 cm para zapatas;

y hmin = 40 cm para encepados

76

con fyd 400 N/mm2 y donde Nd corresponde al axil de cálculo del pilote más cargado.

Cimentaciones flexibles

.- Los encepados cuyo vuelo v en la dirección principal de mayor vuelo es mayor que 2h. .

.- Las zapatas cuyo vuelo v en la dirección principal de mayor vuelo es mayor que 2h.

.- Las losas de cimentación.

Cálculo a flexión. Sección de referencia S1

La sección de referencia que se considerará para el cálculo a flexión, se define como a continuación se indica:

es plana, perpendicular a la base de la zapata o encepado y tiene en cuenta la sección total de la zapata o

encepado. Es paralela a la cara del soporte o del muro y está situada detrás de dicha cara a una distancia

igual a 0,15a, siendo a la dimensión del soporte o del muro medida ortogonalmente a la sección que se

considera. El canto útil de esta sección de referencia se tomará igual al canto útil de la sección paralela a la

sección S1 situada en la cara del soporte o del muro. En todo lo anterior se supone que el soporte o el muro

son elementos de hormigón. Si no fuera así, la magnitud 0,15a se sustituirá por:

- 0,25a, cuando se trate de muros de ladrillo o mampostería. - La mitad de la distancia entre la cara del soporte y el borde de la placa de acero, cuando se trate de soportes metálicos sobre placas de reparto de acero.

77

Cálculo a Flexión por Método General de Flexión (Usar para todos los casos):

1) Tensión uniforme

Vuelos:

v = MAX (v

a;v

b)

2

0( 0.15 )2

d a

bM v a

Calculo a flexión Simple con Tabla

2) Tensión no uniforme

2

12

rect

mM b

21

3triangM b m

Luego: 1 dM M Calculo a flexión Simple con Tabla

Cálculo a Cortante:

max

78

Vd ≤ V

u

Donde: Vd: cortante actuante y V

u: cortante resistido

Vd = σ

1 b (v-d)

(Aplicar rectángulo + triángulo si la distribución de tensiones es trapecial hasta S2. También es

aceptable utilizar un valor medio)

Vu = V

cu= 0.12 ξ (100 ρ

1 fck

)1/3

* b d

ξ = 1 + (200 /d)1/2

(engranaje de los áridos; d en mm)

ρ1= A

s / (b d) ≤ 0.02

Cálculo a Punzonamiento

1) Comprobación en perímetro crítico:

sd rd

= tensión nominal de cálculo en el perímetro crítico

Con:

β = coeficiente de excentricidad de la carga (β = 1.15)

Fsd,ef

= esfuerzo de punzonamiento (resultante de acciones que actúan en la sección crítica)

µ1 = perímetro crítico

µ1 = 2c

1+2c

2+4P d

d = canto útil de la zapata

1/3

10.12 100rd ck

f

2) Comprobación en el perímetro del pilar:

Se hace una comprobación en el perímetro del pilar (µ0)

µ0 = 2a

1+2b

1+4 d

0

0.30d

cd

Nf

d

Colocación de la armadura

,

1

sd ef

sd rd

F

d

,sd ef sd dF F N

79

- La armadura va en Emparrillado - En rectangular el emparrillado en una dirección no puede ser < 20% del total de la otra

dirección - En el caso de zapatas cuadradas la disposición de armaduras será idéntica en ambas

direcciones. En el caso de zapatas rectangulares la armadura principal (paralela al lado a) se distribuye uniformemente. La armadura paralela al lado menor se reparte de forma que la armadura transversal necesaria As se distribuya en una proporción

En un ancho b alrededor del soporte, y el resto en las bandas. - La EHE establece CG mínimas (igual que losas), y se deben respetar siempre (se

calculan separadamente para cada dirección de armado, son 2 y 1.8 por mil para B400S y B500S respec)

Zapata con 2 Momentos

Usando el gráfico, donde x es el eje de absisas y

y el de ordenadas:

Luego, en zonas A, B y C:

Se verifican:

2[%]

b

a b

xx

Me

N

y

y

Me

N

xx

e

a y

y

e

b

;x x y

MAX

1

1

4

3

t

adm

P

a b

4 4 1

2 1 1 4( )cos

sen

sen

3 1 1 4

cos( )

cossen

1

1

4

3

t

adm

P

a b

t

med adm

P

a b

80

En zona D (en u punto 5 interior):

Para vuelco y deslizamiento

Se hace en las dos direcciones individualmente

Para el cálculo de la zapata como HA:

Ver si es rígida o flexible

En cada dirección, valor de Md, en S1

Cálculo de armaduras con Método general de Flexión

En cada dirección, valor de Vd en S2

Verificación con fórmula de cortante

Verificación a punzonamiento

5

5

t

adm

P

a b

81

Cimentaciones Profundas- Pilotes

Tope estructural de un pilote (simplificación de CTE-SE-C)

Procedimiento simplificado de NTE

85

Cálculo Estructural de Pilote (como elemento de HA)

Nu = Ft = F

c + F

s + F

e

F

t = Fuerza resistente total (Tope estructural)[kN]

Fc= Fuerza debido al Hº

Fs= Fuerza debido al acero

Fe= Fuerza debido a efecto de estribos helicoidales (efecto Poisson) (se desprecia en los

cálculos)

Para pilotes sin camisa (lo más común), se considera el 95 % del área del mismo. Se considera cansancio del Hº con

Para se usa un (pilote in situ) (Según EC2)

Armaduras de Pilotes:

Los pilotes trabajan a compresión (por lo que pueden tener pandeo)

En el caso de que puedan estar sometidos a esfuerzos horizontales o recibir cargas excéntricas necesitan armadura a flexión

En el caso de pilotes hincado, la armadura debe garantizar la integridad del pilote durante la hinca.

Armaduras mínimas a disponer según EHE:

- Armadura mínima a colocar (CGmin)

- Armadura máxima a colocar (CGmax)

- Diámetro barras igual o superior a 12 mm

- Mínimo 6 barras (5 excepcionalmente en pilotes pequeños) - Cercos de diámetro superior a ¼ del diámetro de las barras longitudinales - St (o paso)

- Recubrimiento mínimo de 70 mm

2

0.95 0.852

c cd

DF f

s s ydF A f

,e se yd eF A f

0.85cc

0.1s dT N

cdf 1.65c

0.6s c cdT A f

15 L

86

También se verifica esta cuantía mínima ( de EC2

Para pilotes con Ac 0,5m

2

(D 80 cm) 0,5%

Para pilotes con 0,5 Ac 1m

2 (80<D 115 cm) A

s=2500 mm

2

Para pilotes con Ac 1m

2

(D>115 cm) 0,25%

Cálculos de pilotes con N y M

Se verifica (con a2: distancia entre ejes de pilotes):

Caso general de n pilotes y 2 momentos

Encepados:

2 Pilotes

El val

Longitudinal superior: 10% de Td

Cercos horizontales: CG=4‰ de b’xh Cercos verticales: CG=4‰ de b’xL

b’=min(h/2,ancho)

( 0.25 )

0.85

d

d ds y

N v aT A

df

Nd es el esfuerzo axial que tenga el pilote más cargado (en caso de que sean distintos). Cuidado que no es el N del pilar. En el caso de cargas iguales sería: N

d=N/2

Armadura Secundaria:

Armadura Principal:

(inferior)

1,2

2

'2

d d

d

N MN

a 1

2

'2

d dd

N MN

a 2

2

'2

d d

d

N MN

a

1'd uN N 2' 0dN

2 2( ) ( )

y id x iid

i i

M xN M yP

n x y

Si solo existe un momento:

2( )

y id

id

i

M xNP

n x

Se intenta poner:

1. Pilotes simétricos respecto a ejes centrales

2. Las distancias entre ejes de pilotes (l

1 y l

2) con valor

menor a 4D (diámetro pilote)

87

3 Pilotes

(principal entre pilotes)

Ts = 25 % Ts (secundaria inferior entre bandas de pilotes)

4 Pilotes

(principal entre pilotes dirección 1)

(principal entre pilotes dirección 2)

Secundaria en cara inferior entre bandas dirección 1: 25% de T

s1

Secundaria en cara inferior entre bandas dirección 2: 25% de Ts2

9. PLACAS/LOSAS

Cantos mínimos de placas, Losas y forjador bidireccionales (reticulares)

Tipo de apoyo Canto mínimo

Apoyo continuo (viga) L/40 ; 8 cm ; L=MAX {L1;L2}

Apoyos aislados (soportes con o

sin capitel)

Losa maciza de espesor Cte:

L/32 ; L=MAX {L1;L2}

Placa aligerada espesor Cte:

L/28 ; L=MAX {L1;L2}

Forjado Reticular:

d (entre ejes nervios) 1 m ; e 5 cm

Cantos mínimos de láminas

Tipo Canto mínimo

Plegada 9 cm

Simple curvatura 7 cm

Doble curvatura 5 cm

Placa delgada según EHE

4a h 1

5

w

hy (a: menor dimensión)

1

'0.68 (0.58 0.25 )d

d s yd

NT L a A f

d

1 1 1

'(0.50 0.25 )

0.85

ds

NT L a

d

2 2 2

'(0.50 0.25 )

0.85

ds

NT L a

d

93

10.MUROS/PANTALLAS

En preparación

formulas y tablas

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