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ÍNDICE

4 Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

4.1 De�nición de derivada de una función en un punto e inter-pretación geométrica de la derivada. Derivadas laterales . . . . 2

4.2 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.3 Derivadas sucesivas de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94.4 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.5 Derivada de la composición de funciones (regla de la cadena)

y derivada de la función inversa de una dada . . . . . . . . . . . . 13

5 Teoremas del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.1 Extremos locales. Condición necesaria de extremo local . . . . . 175.2 Teorema de Rolle. Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . 185.3 Existencia local de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . 225.4 Condiciones su�cientes de extremo local . . . . . . . . . . . . . . . 23

Derivación 2

4.Derivación

4.1. De�nición de derivada de una función en un punto e inter-pretación geométrica de la derivada. Derivadas laterales

El cálculo diferencial es el estudio de la derivada y la derivación es el proceso de calcularderivadas. Al plantearnos la cuestión ¿qué es una derivada? nos encontramos entre otrascon tres posibles respuestas: una derivada es una tasa de variación, es la pendiente deuna recta y es el límite de un cociente incremental.Exploremos con un ejemplo la idea de tasa de variación instantánea para luego formalizarel concepto matemático de derivada.

Ejemplo 4.1 (Velocidad de un punto móvil). Considérese un objeto que se desplazacon movimiento rectilíneo no uniforme. La idea de velocidad media sería el incrementodel espacio por unidad de tiempo. Si s(t) es la posición del móvil (su distancia al origen)en cada instante t; la velocidad media vm en un intervalo de tiempo [t0; t1] se de�necomo

vm =s(t1)� s(t0)

t1 � t0

La velocidad instantánea en un instante t puede aproximarse calculando velocidades me-dias en intervalos de tiempo cada vez más cortos. La velocidad media en el intervalo[t; t+4t] viene dada por:

vm =s(t+4t)� s(t)

4tSi el intervalo de tiempo tiende a reducirse a cero, la velocidad media se aproxima a lavelocidad instantánea en t, que en términos precisos se de�ne mediante

v(t) = lim4t!0

s(t+4t)� s(t)

4tsi tal límite existe.

En este proceso se ha formado el cociente que expresa la variación de una cierta variableespacial s por unidad de variación de otra temporal t, de la cual depende, y a continuaciónse ha efectuado un paso al límite. Este valor límite de las tasas de variación conducea la idea de tasa instantánea de variación, cuya formalización matemática lleva a laidea de derivada de una función que se expone a continuación.

Sea una función f : (a� �; a+ �) ! R. Se de�ne su cociente incremental en el punto acomo el cociente

f (x)� f (a)

x� a

de�nido para 8x 2 (a� �; a+ �) con x 6= a.

Derivación 3

De�nición 4.1 (Derivada de una función). Se dice que una funciónf de�nida en un entorno de a, f : (a� �; a+ �) ! R, es derivable en a sisu cociente incremental tiene límite �nito cuando x ! a y en ese caso suderivada f 0 (a) en el punto a se de�ne como:

f 0(a) = limx!a

f(x)� f(a)

x� a(4.1)

En muchas ocasiones se usa para de�nir f 0 (a) la variable h = x � a enlugar de la propia variable x y entonces se escribe

f 0(a) = limh!0

f(a+ h)� f(a)

h(4.2)

Ejemplo 4.2. Comprobar que la función lineal f(x) = mx + n con m;n 2 R tiene porderivada 8x 2 R; f 0(x) = m.

El límite del cociente incremental de f en a es

f 0 (a) = limx!a

f(x)� f(a)

x� a= lim

x!a

(mx+ n)� (ma+ n)

x� a= m

Ejemplo 4.3. Comprobar que la función potencial f(x) = xn con n 2 N tiene porderivada para todo x número real f 0(x) = nxn�1.

En efecto, calculando el cociente de polinomios (xn � an) = (x� a) :

limx!a

f(x)� f(a)

x� a= lim

x!a

xn � an

x� a= lim

x!axn�1 + axn�2 + :::+ an�1 = nan�1 = f 0 (a)

La notación f 0 (a) que se ha usado en la de�nición para denotar la derivada de una funciónf en un punto a no es la más corriente, sobre todo en textos de física y de ingeniería.En muchas ocasiones se usa una notación que se conoce con el nombre de notación deLeibniz y que resalta aspectos importantes de la derivada, fundamentalmente el hechode que es el límite de un cociente incremental.La notación tiene en cuenta que una función y = f(x) es una relación de dependenciaentre dos variables, la variable independiente x y la variable dependiente y. A un incre-mento �x = x � a de la variable independiente alrededor del punto a le corresponde unincremento �y = f (x) � f (a) de la variable dependiente y lo que signi�ca la de�niciónde derivada es que cuando �x es pequeño se tiene que �y � f 0(a)�x:Leibnitz consideró incrementos in�nitamente pequeños de las variables, a los que denotódx y dy, de manera que se diese una igualdad

dy = f 0(a)dx

Derivación 4

y a estos incrementos in�nitesimales dx y dy los denominó diferenciales de las variablesx e y.Admitiendo su existencia, la derivada de la función se expresa entonces como un cocientede diferenciales:

f 0(a) =dy

dx

y el segundo miembro de la igualdad es la notación de Leibniz para la derivada.

Esta notación se usa por diferentes motivos. En primer lugar recuerda que la derivadady

dx;

aunque no es un cociente propiamente dicho, es un límite de cocientes�y

�x: En segundo

lugar, esta notación especi�ca la variable independiente, lo que resulta muy útil cuando seemplean otras variables además de la x. Otras ventajas se pondrán de mani�esto cuandose aborde la regla de la cadena.

Nos planteamos ahora precisar la de�nición de recta tangente a la grá�ca de una funciónen un punto y el método para calcular su pendiente.Sea y = f(x) una función continua. Si f posee recta tangente en el punto Q de coorde-nadas (a; f(a)); el problema de encontrar la ecuación de la recta tangente se transformaen el de determinar la pendiente de dicha recta. Un medio de aproximarla es encontrarlas pendientes de las rectas secantes que pasan por el punto Q y cualquier otro punto Psobre la grá�ca de f .Si f es una función continua en I = (a� �; a+ �) y derivable en a 2 I, veamos que lagrá�ca de f; que es la curva Gf = f(x; y) 2 R2 tal que x 2 I; y = f(x)g ; admite tangenteen el punto (a; f(a)) y que la pendiente de la tangente es el valor f 0(a):La recta secante determinada por los puntos Q = (a; f(a)) y P = (t; f(t)) tiene porecuación

y = f(a) +f(t)� f(a)

t� a(x� a)

a

f(a)

P1P

2P

3

Figura 4.1.

Cuando P se acerca a Q; o equivalentemente t tiende hacia a, se observa que las rectassecantes se acercan cada vez más a la recta tangente y consiguientemente lo mismo sucedepara las pendientes (en la �gura 4.1 las rectas secantes que pasan por los puntos (a; f (a))

Derivación 5

y P1; P2 y P3 se van acercando a la recta tangente a la grá�ca de la función en el punto(a; f (a))).Por tanto la pendiente de la recta tangente a la grá�ca de f en (a; f(a)) es

f 0(a) = limx!a

f(x)� f(a)

x� a

y la ecuación de dicha recta tangente es

y (x) = f(a) + f 0(a)(x� a) (4.3)

a

f(a)

a+h

f(a+h)

y(a+h)

B

A

Figura 4.2.

Otra interpretación geométrica interesante se deduce de (4.3) y la de�nición de derivadade f en el punto a. (4.2) se puede escribir como:

limh!0

f(a+ h)� f(a)� f 0 (a)h

h= 0

pero según (4.3) con x = a+ h se tiene que y (a+ h) = f(a) + f 0 (a)h donde y (a+ h) esel valor de la recta tangente en el punto a+ h. Luego el límite anterior se puede escribircomo:

limh!0

f(a+ h)� y(a+ h)

h= 0 (4.4)

y lo que dice (4.4) es que la distancia entre las ordenadas de la recta tangente y la funciónen el punto a + h (la longitud del segmento AB en la �gura 4.2) tiende a 0 cuando htiende a 0 más rápidamente de lo que tiende a 0 el propio valor de h (se dice el numeradoren (4.4) es un in�nitésimo de orden superior al denominador).Cualquier recta secante que corte la grá�ca de f en el punto (a; f (a)) y otro puntocualquiera P tiene como ecuación s (x) = f(a) + c(x� a) con c una constante distinta def 0 (a). Para ella es cierto que la diferencia f(a+ h)� s(a+ h) tiende a 0 cuando h tiendea 0 pero solo en el caso de la recta tangente la diferencia tiende a 0 incluso cuando se la

Derivación 6

divide por h. En este sentido se dice que la recta tangente es la recta que mejor aproximael valor de la función f en las proximidades de x = a.

Para que exista cualquier límite deben existir los límites por la derecha y por la izquierday coincidir y lo mismo le ocurre al límite del cociente incremental que de�ne la derivadade una función en un punto. En este sentido se tiene la siguiente de�nición:

De�nición 4.2 (Derivadas laterales). La derivada lateral derecha de f en a es:

f 0+(a) = limx!a+

f(x)� f(a)

x� a= lim

h!0+f(a+ h)� f(a)

h

si tal límite existe y es �nito y la derivada lateral izquierda de f en a es:

f 0�(a) = limx!a�

f(x)� f(a)

x� a= lim

h!0�f(a+ h)� f(a)

h

si el límite existe y es �nito.

Que una función sea derivable en un punto equivale a que existan sus derivadas lateralesy coincidan en dicho punto. Por tanto, una función puede no ser derivable en un puntobien porque sus derivadas laterales existan pero no coincidan, bien porque una de ellas, oambas, no existan.

Ejemplo 4.4. Probar que la función

f(x) =

�x2 x � 0x x > 0

es derivable en R�f0g :

El cociente incremental de f en el origen es

f(x)

x=

�x x � 01 x > 0

Por tanto

f 0+(0) = limx!0+

f(x)

x= 0 y f 0�(0) = lim

x!0�f(x)

x= 1

y como las derivadas laterales existen pero son diferentes, la función no es derivable en elorigen.Notar también que en cualquier otro punto x 6= 0 la función es derivable y se tiene que

f 0(x) =

�2x x < 0

1 x > 0

Derivación 7

4.2. Continuidad y derivabilidad

Proposición 4.1 (Continuidad de las funciones derivables). Sea f una función de�nidaen un entorno del punto a. Si f es derivable en a entonces f es continua en a.

Demostración:

Por hipótesis, existe f 0(a) = limx!af(x)� f(a)

x� a:

Comprobemos la continuidad de f en a viendo que limx!a f(x) = f(a):Tomando límites en los dos miembros de la igualdad (con x 6= a)

f(x)� f(a) = (x� a)f(x)� f(a)

x� a

se tiene

limx!a(f(x)� f(a)) = lim

x!a(x� a) lim

x!a

f(x)� f(a)

x� a= 0 � f 0(a) = 0 �

Conviene señalar que un razonamiento en todo similar al que se acaba de hacer demuestraque la existencia de derivadas laterales de una funcion en un punto garantiza la continuidaden dicho punto, aún en el caso de que las derivadas laterales no coincidan y por tantola función no sea derivable. En cambio, si las derivadas laterales en un punto no existenentonces la continuidad no está asegurada automáticamente y, dependiendo del ejemplode que se trate, la función puede ser o no continua en el punto. Los dos ejemplos quesiguen ilustran todo lo dicho.

Ejemplo 4.5. Demostrar que la función valor absoluto f(x) = jxj es continua en R perono es derivable en el origen.

Que la función es continua en todo R excepto quizá en el cero resulta evidente. Paracomprobar la continuidad y la no derivabilidad en el cero basta, según lo anteriormenteexpuesto, comprobar que las derivadas laterales existen pero no son iguales. Se tiene que:

f 0+(0) = limx!0+

f(x)� f(0)

x= lim

x!0+jxjx= lim

x!0+x

x= 1

f 0�(0) = limx!0�

f(x)� f(0)

x= lim

x!0�jxjx= lim

x!0��xx= �1

Ejemplo 4.6. Demostrar que la función f (x) de�nida como

f(x) =

8><>:x sen

1

xx 6= 0

0 x = 0

es continua en R pero no es derivable en el origen.

Derivación 8

De nuevo por lo que respecta a la continuidad es claro que la función es continua en todoR excepto quizá en el cero. Pero también es continua en el cero porque

limx!0

x sen1

x= 0 = f (0)

ya que la función es producto de una función que tiende a cero y una función acotada.Sin embargo en este caso no existen las derivadas laterales porque el

limx!0

x sen1

x� 0

x� 0 = limx!0

sen1

x

no existe, ni cuando x tiende a cero por la derecha ni cuando tiende a cero por la izquierda.

En ocasiones se puede calcular la derivada de una función f (x) en un punto a calculandolos límites laterales de la función derivada f 0 (x) cuando x ! a. El resultado precisoque relaciona la derivabilidad de f en a con la existencia de los límites laterales de f 0 endicho punto es la siguiente proposición (cuya demostración requiere resultados de capítulosposteriores):

Proposición 4.2. Sea f una función continua en a y derivable en todos los puntos delentorno (a� �; a+ �) salvo quizá en el propio punto a y sean los límites laterales de f 0 ena:

limx!a+

f 0 (x) = f 0�a+�; lim

x!a�f 0 (x) = f 0

�a��

Se tiene entonces que

si f 0�a+�existe se cumple que f 0

�a+�= f 0+ (a)

si f 0�a��existe se cumple que f 0

�a��= f 0� (a)

es decir, cuando los límites laterales de la derivada existen, coinciden con las derivadaslaterales. Y de lo anterior se deduce que si los dos límites laterales existen y coincidenentonces existe f 0 (a) y coincide con el valor común de los límites laterales. Y también, silos dos límites laterales de la derivada existen pero no coinciden, entonces la función noes derivable en a.

El ejemplo 4.5 ilustra la última a�rmación de la proposición 4.2. Para la función f (x) =jxj se tiene que f 0 (0+) = 1 y que f 0 (0�) = �1 de donde se deduce que la función no esderivable en el cero (como ya se había comprobado directamente en el ejemplo).La proposición no dice nada con respecto a lo que ocurre en el caso de que los límiteslaterales no existan. De hecho en este caso la derivada en a puede o no existir como sepone de mani�esto en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 4.7. En el ejemplo 4.6 la función allí de�nida no es derivable en el cero y eneste caso los límites laterales de la derivada no existen. En efecto:

limx!0+

f 0 (x) = f 0�0+�= lim

x!0+

�sen

1

x� 1

xcos

1

x

�limx!0�

f 0 (x) = f 0�0��= lim

x!0�

�sen

1

x� 1

xcos

1

x

�

Derivación 9

Estos límites laterales no existen pero de este hecho no se puede deducir que no existaf 0 (0) (aunque en este ejemplo esta última a�rmación sea cierta). Que la no existencia def 0 (0) no es una consecuencia de la no existencia de f 0 (0+) y f 0 (0�) lo prueba la siguientefunción:

g(x) =

8><>:x2 sen

1

xx 6= 0

0 x = 0

que es derivable en el origen pese a que el límite lateral de la derivada

limx!0+

g0 (x) = g0�0+�= lim

x!0+

�2x sen

1

x� cos 1

x

�obviamente no existe (y lo mismo ocurre con el otro límite lateral). Sin embargo sí existeg0 (0) porque

limx!0

x2 sen1

x� 0

x� 0 = 0 = g0 (0)

4.3. Derivadas sucesivas de una función

El objetivo de este apartado es de�nir las derivadas sucesivas (derivada segunda, terceray en general derivada de orden n) de una función f . Se tiene la siguiente de�nición porlo que respecta a la derivada segunda:

De�nición 4.3 (Derivada segunda de una función). Se tiene una función

f : (c1; c2)! R; a 2 (c1; c2)y se supone que existe � > 0 tal que para todo x 2 (a� �; a+ �) existe f 0 (x).Bajo estas condiciones se dice que f es dos veces derivable en a o, lo que es equivalente,que tiene derivada segunda en el punto a, si existe el límite siguiente:

limx!a

f 0(x)� f 0(a)

x� a= f 00(a)

y, caso de que exista, al valor del límite se le llama derivada segunda de f en a y se denotapor f 00(a).

En palabras, la derivada segunda de una función en un punto a es la derivada de sufunción derivada primera en dicho punto a. Es conveniente tener en cuenta que, lo mismoque para de�nir f 0 (a) es necesario que exista f (x) para todos los x en un entorno de a,cuando se trata de de�nir la derivada segunda f 00 (a) es necesario que exista f 0 (x) paratodos los x en un entorno de a (lo que por otra parte queda claro de la de�nición def 00 (a)).

La de�nición anterior se generaliza al caso de derivadas de orden superior de una funcióndada f . La notación que se suele usar es la de designar la derivada de orden n def en a (derivada n-ésima de f en a) con el símbolo f (n) (a), aunque en el caso de lasderivadas primera y segunda se suele en muchos casos mantener la notación f 0 (a) y f 00 (a)respectivamente. Se tiene así la de�nición:

Derivación 10

De�nición 4.4 (Derivada de orden n de una función). Se tiene una función

f : (c1; c2)! R; a 2 (c1; c2)

y se supone que existe � > 0 tal que para todo x 2 (a� �; a+ �) existe f (n�1) (x).Bajo estas condiciones se dice que f es n veces derivable en a o, lo que es equivalente,que tiene derivada n-ésima en el punto a, si existe el límite siguiente:

limx!a

f (n�1)(x)� f (n�1)(a)

x� a= f (n)(a)

y, caso de que exista, al valor del límite se le llama derivada n-ésima de f en a y se denotapor f (n)(a).

Aquí es aplicable el mismo comentario que se ha hecho en el caso de la derivada segunda:para que tenga sentido la de�nición de f (n)(a) es necesario que existan las primeras n� 1derivadas de f no solo en a, también en todos los puntos x 2 (a� �; a+ �). Como porotra parte se sabe que si una función es derivable en un punto es también continua endicho punto, se deduce que, si existe f (n)(a), entonces en un entorno (a� �; a+ �) existentodas las derivadas de f hasta el orden n � 1 y todas ellas hasta el orden n � 2 sonfunciones continuas en (a� �; a+ �). La derivada de orden n� 1 solo es derivable y portanto continua en a.

Una de�nición que exige un poco más a la función que solo la existencia de la derivadaf (n)(a) y que se usa con mucha frecuencia en los cursos de cálculo es la que sigue:

De�nición 4.5 (Funciones de clase n). Se dice que una función f es de clase p 2 Ncon p > 0 en un intervalo (a; b) y se escribe f 2 Cp ((a; b)) cuando:

8x 2 (a; b) existen las derivadas f (n) (x) con n = 0; 1; 2; : : : p

La derivada f (p) (x) es una función continua en (a; b)

Se adopta el convenio de que f (0) (x) = f (x) y también es usual extender la de�niciónanterior al caso p = 0 y decir de una función continua en (a; b) que es de clase 0 en (a; b),f 2 C0 ((a; b)).

Ejemplo 4.8. La derivada n-ésima de la función f(x) = xm depende de la relación entrelos valores de n y m; de forma que

f (n) (x) =

8<: m(m� 1):::(m� n+ 1)xm�n =m!

(m� n)!xm�n si n � m

0 si n > m

Derivación 11

4.4. Reglas de derivación

El proceso de calcular la derivada de una función puede parecer laborioso pues exige re-currir a la de�nición de derivada y calcular el correspondiente límite. Aunque en ocasionestal procedimiento es obligado, existen resultados que hacen posible calcular derivadas deforma mecánica sin ni siquiera necesidad de recurrir a la de�nición. Estos resultados sonlos que permiten calcular las derivadas de sumas, multiplicaciones, divisiones y composi-ción de funciones a partir de las derivadas de las funciones que intervienen en cada unade estas operaciones elementales.

Proposición 4.3 (Derivadas de f + g; fg; cf; 1=g y f=g en función de las de f y g).Sean f y g funciones derivables en el punto a: Entonces las funciones f + g; fg; cf; 1=g yf=g son derivables en a (siempre que g (a) 6= 0 en los casos de 1=g y f=g) y se cumple:

� (f + g)0(a) = f 0(a) + g0(a)

� (fg)0(a) = f 0(a)g(a) + f(a)g0(a)

� (cf)0(a) = cf 0(a):

��1

g

�0(a) = � g

0(a)

g2(a)

��f

g

�0(a) =

f 0(a)g(a)� f(a)g0(a)

g2(a)

Demostración:En el caso del producto el cociente incremental de fg en a es:

(fg)(x)� (fg)(a)x� a

=f(x)g(x)� f(a)g(a)

x� a

=f(x)g(x)� f(a)g(x) + f(a)g(x)� f(a)g(a)

x� a

= g(x)f(x)� f(a)

x� a+ f(a)

g(x)� g(a)

x� a

y pasando al límite:

limx!a

(fg)(x)� (fg)(a)x� a

= limx!a

g(x) limx!a

f(x)� f(a)

x� a+ f(a) lim

x!a

g(x)� g(a)

x� a

= g(a)f 0(a) + f(a)g0(a)

puesto que f y g son derivables en a.

En el caso de 1=g con g (a) 6= 0 se tiene que:

limx!a

1=g (x)� 1=g (a)x� a

= limx!a

g (a)� g (x)

g (x) g (a) (x� a)= � g

0 (x)

g2 (a)

Derivación 12

teniendo en cuenta la de�nición de derivada y la continuidad de g en a. La derivada def=g se obtiene de las dos que se acaban de demostrar teniendo en cuenta que f=g es elproducto de f y de 1=g. �

La regla de derivación del producto de dos funciones que se acaba de demostrar se puedegeneralizar con facilidad para derivar el producto de n funciones fk con k = 1; 2; :::n queson todas ellas derivables en a:

(f1f2 � � � fn)0(a) = f 01(a)f2(a) � � � fn(a) + f1(a)f02(a) � � � fn(a) + : : :+ f1(a)f2(a) � � � f 0n(a)

=nXk=1

f 0k(a)Yj 6=k

fj(a)

Las derivadas de las funciones trigonométricas directas se calculan fácilmente a partir delas del seno y del coseno.

Proposición 4.4 (Derivadas del seno y del coseno). Se tiene que:

� ( senx)0 = cos x

� (cosx)0 = � senx

Demostración:Para la función seno se tiene que:

limh!0

sen (a+ h)� sen ah

= limh!0

sen a cosh+ cos a senh� sen ah

= limh!0

sen a (cosh� 1) + cos a senhh

= limh!0

�2 sen a sen2 (h=2) + cos a senhh

= cos a

teniendo en cuenta que limh!0( senh)=h = 1. En el caso del coseno se opera de formasimilar. �

En ocasiones es necesario calcular la derivada n-ésima del producto de dos funciones.Existe una fórmula, debida a Leibniz, que facilita este cálculo.

Proposición 4.5 (Fórmula de Leibniz: derivada n-ésima del producto). Sean fy g dos funciones n veces derivables en un punto a. Entonces la derivada n-ésima de lafunción producto fg viene dada por:

(fg)(n) (a) =

nXk=0

�n

k

�f (n�k)(a)g(k)(a)

conviniendo en que la derivada de orden cero de una función es la propia función.

Derivación 13

Ejemplo 4.9. Sean las funciones f (x) =x2

2y g(x) = senx. Calcular (fg)(31) (0):

Claramente se tiene que f (0) = 0 y f (n) (0) = 0 excepto para la derivada de orden 2, encuyo caso se tiene que f (2) (0) = 1.En cuanto a la función g (x), g (0) = 0, las derivadas pares de g(x) en 0 valen todas ellas0 y las impares van alternando su valor entre 1 y �1 puesto que g(2n+1)(x) = cosx si n espar y g(2n+1)(x) = � cosx si n es impar.Aplicando la regla de Leibniz se tiene que:

(fg)(31) (0) =31Xk=0

�31

k

�f (k)(0)g(31�k)(0)

y el único sumando distinto de cero es el correspondiente a k = 2. Por tanto:

(fg)(31) (0) =

�31

2

�g(29)(0) =

31 � 302

g(29)(0) = 465g(29)(0) = 465

puesto que 29 = 2� 14 + 1 y por tanto se tiene que g(29)(0) = 1.

4.5. Derivada de la composición de funciones (regla de la cadena)y derivada de la función inversa de una dada

La fórmula de derivación para funciones compuestas se denomina regla de la cadena.Recuérdese que una función compuesta se obtiene "insertando" una función en otra y lacomposición de f y g se denota por g � f y se de�ne (g � f) (x) = g(f (x)). Utilizando lanotación de Leibniz se puede hacer una deducción heurística de la regla de la cadena dela siguiente manera:Si y = f(x) y z = g (x) son dos funciones derivables, componiéndolas obtenemos la funciónz = g(f (x)). Diferenciando las funciones f y g se tiene que

dy = f 0(x)dx dz = g0(y)dy

y si operamos algebraicamente con estos elementos diferenciales resulta

dz

dx=dz

dy

dy

dx= g0 (f (x)) f 0 (x)

que es precisamente el resultado de la regla de la cadena. De forma rigurosa se tiene elsiguiente teorema:

Teorema 4.6 (Regla de la cadena). Si f es derivable en a y g es derivable en f(a),entonces la funcion compuesta g � f es derivable en a y se cumple:

(g � f)0 (a) = g0 (f (a)) f 0 (a)

Derivación 14

Demostración:Para una función h cualquiera derivable en un punto a se puede de�nir una función dela siguiente manera:

(x) =

8<: h(x)� h(a)

x� a� h0 (a) si x 6= a

0 si x = a

que cumple queh(x)� h(a) = [h0 (a) + (x)] (x� a)

y, puesto que h es derivable en a, se deduce que es continua en x = 0 porquelimx!a (x) = 0 = (a).

Aplicando este resultado a la función g que es derivable en f(a) resulta que se puedeescribir:

g(y)� g(f(a)) = [g0(f(a)) + (y)] (y � f(a)) con función continua y nula en f(a):

Sustituyendo y por f(x) y dividiendo ambos miembros por x� a, el cociente incrementalde g � f en a es:

g(f(x))� g(f(a))

x� a= [g0(f(a)) + (f(x))]

f(x)� f(a)

x� a

Por la continuidad de f en a y en f(a) se tiene limx!a (f(x)) = 0 y por tanto:

limx!a

g(f(x))� g(f(a))

x� a= g0(f(a)) lim

x!a

f(x)� f(a)

x� a= g0 (f (a)) f 0 (a)

puesto que f es derivable en a. El primer miembro no es más que la derivada de la funcióncompuesta lo que demuestra la regla de la cadena. �

El resultado anterior permite calcular derivadas de la composición de un número n arbi-trario de funciones. Por ejemplo, si f3 es derivable en a3, f2 es derivable en a2 = f3 (a3) yf1 es derivable en a1 = f2 (a2), se tiene que f = f1 � f2 � f3 es derivable en a3 y se cumpleque:

f 0 (a3) = (f1 � f2 � f3)0 (a3) = f 01 ((f2 � f3) (a3)) (f2 � f3)0 (a3)

= f 01 ((f2 � f3) (a3)) f 02 (f3 (a3)) f 03 (a3)

= f 01 (a1) f02 (a2) f

03 (a3)

Nos preguntaremos ahora sobre las condiciones que debemos imponer a una función finyectiva sobre un intervalo I y derivable en a 2 I para que su función inversa f�1 seaderivable en el punto b = f(a):Si aceptamos que f�1 es derivable en b y aplicamos la regla de la cadena para derivar eny = b la identidad

(f � f�1 )(y) = y

se obtiene la igualdadf 0(f�1 (b))(f�1 )0(b) = 1

Derivación 15

Si f 0(a) 6= 0 se puede despejar y obtener la expresión de la derivada de la inversa

(f�1)0(b) =1

f 0(f�1(b))=

1

f 0(a)

Formalicemos estas ideas en el siguiente resultado:

Teorema 4.7 (Derivada de la función inversa). Sea f una función inyectiva y con-tinua sobre un intervalo I. Si f es derivable en un punto a 2 I y f 0(a) 6= 0 entonces lafunción inversa f�1 es derivable en el punto b = f(a): Además se cumple:

(f�1)0(b) =1

f 0(a)=

1

f 0(f�1(b))

Los dos teoremas anteriores permiten calcular derivadas de funciones más complicadasque las que se obtienen con las reglas de derivación del apartado anterior. Como ejemplose tiene la siguiente proposición:

Proposición 4.8. Se tiene la función f : R+ ! R+ de�nida como f (x) = qpxp con

q; p 2 N y q 6= 0. Entonces se cumple que f 0 (x) = p

qx(p=q)�1.

Demostración:Se calcula en primer lugar la derivada de la función g (x) = q

px = x1=q con ayuda

del teorema 4.7. La función inversa de g es la función g�1 (x) = xq cuya derivada es(g�1)

0(x) = qxq�1. Por tanto, según el teorema 4.7 se tiene que

g0 (x) =1

(g�1)0 (g (x))=

1

(g�1)0 (x1=q)=

1

q (x1=q)q�1 =

1

qx(1=q)�1

La función f del enunciado es la composición de la función g que se acaba de de�nir y lafunción s (x) = xp, f = g�s. Por tanto, teniendo en cuenta que s0 (x) = pxp�1 y aplicandola regla de la cadena:

f 0 (x) = g0 (s (x)) s0 (x) =1

q(xp)(1=q)�1 pxp�1 =

p

qx(p=q)�1 �

Ejemplo 4.10. La función h(x) =px2 + 1 puede expresarse como la composición de

f(x) = x2 + 1 con g(x) =px y las derivadas de f y g son conocidas. Aplicando la regla

de la cadena a la función h(x) = g(f(x)) se tiene que:

h0(x) = g0(f(x))f 0(x) =1

2pf(x)

2x =xpx2 + 1

Derivación 16

Ejemplo 4.11. Estudiar donde la función polinómica f(x) = x2� 2x� 3 admite inversaderivable y calcular (f�1)0 (0).

La función es inyectiva 8x 2 [1;1) al tratarse de una parábola con vértice en el punto(1;�4). Por tanto f : [1;1)! [�4;1) admite función inversa f�1 que será derivable en(�4;1) puesto que la derivada f 0(x) = 2x� 2 solo se anula en x = 1 y f (1) = �4.Para calcular el valor de (f�1)0 (0), según el teorema anterior se tiene que�

f�1�0(0) =

1

f 0(f�1(0))

y por tanto hay que calcular el valor de f�1(0) que viene dado por la única solución de laecuación x2 � 2x � 3 = 0 en [1;1). La ecuación x2 � 2x � 3 = 0 tiene como solucionesx = 3 y x = �1 y por tanto f�1(0) = 3 y:�

f�1�0(0) =

1

f 0(3)=1

4

Teoremas del valor medio 17

5. Teoremas del valor medio

5.1. Extremos locales. Condición necesaria de extremo local

De�nición 5.1 (Extremos locales de una función). Sea una función f : (a; b) ! Ry sea x0 2 (a; b).Se dice que f alcanza en x0 un máximo o un mínimo local si

9� > 0 tal que 8x 2 (x0 � �; x0 + �) se cumple que�f(x) � f(x0) máximo localf(x) � f(x0) mínimo local

(5.1)

Tanto si la función f tiene en x0 un máximo local como si tiene un mínimo local se diceque tiene en x0 un extremo local.Se dice que el máximo local es estricto cuando en la de�nición anterior se puedesustituir f(x) � f(x0) por f(x) < f(x0) excepto para x = x0 y que el mínimo local esestricto cuando se puede sustituir f(x) � f(x0) por f(x) > f(x0) excepto para x = x0.

Si la función f está también de�nida en los extremos del intervalo f : [a; b]! R se puedetambién de�nir lo que signi�ca que f alcance en a o en b un extremo local. Por ejemplo,se dice que f alcanza en a un máximo o un mínimo local si

9� > 0 tal que 8x 2 [a; a+ �) se cumple que�f(x) � f(a) máximo localf(x) � f(a) mínimo local

(5.2)

y la de�nición en el caso de b es obvia.

Las de�niciones anteriores deben compararse con las correspondientes de máximo y mín-imo global en la de�nición (??). Es claro que cuando, por ejemplo, se dice que f en (a; b)tiene un máximo global en x0 se exige que f(x0) sea mayor o igual que el valor de f encualquier otro punto del conjunto (a; b). En cambio para que f tenga un máximo local enx0 basta que f(x0) sea mayor o igual que el valor de f en todos los puntos de un entornode x0 que además puede ser tan pequeño como uno quiera (al radio del entorno � > 0 nose le exige ningún tamaño especial). Por tanto la de�nición de extremo local es menosrestrictiva que la de extremo global, es decir:

f tiene un extremo global en x0 ) f tiene un extremo local en x0

y la implicación contraria no es cierta en general.

En este capítulo se estudian condiciones necesarias y su�cientes para que una función ftenga un extremo local en un cierto punto x0. Como se verá a continuación todas estascondiciones pasan por estudiar el signo de las derivadas de f en el punto en cuestión x0,razón por la cual solo sirven para detectar extremos locales y nunca extremos globales. Nohay que olvidar que las propiedades de f 0(x0) dan información solo sobre lo que le ocurrea la función en un entorno de x0 que es precisamente lo que se necesita para estudiar sila función tiene o no un extremo local en x0.El primero de estos resultados es el siguiente teorema:


Teorema 5.1 (Teorema de Fermat: condición necesaria de extremo local). Seaf : (a; b)! R con x0 2 (a; b) y f derivable en x0. Entonces se cumple que

f tiene un extremo local en x0 ) f 0(x0) = 0

Demostración:

Si la función f es derivable en x0 entonces existen las derivadas laterales por la derecha ypor la izquierda en x0 y coinciden, es decir, existen los límites:

limx!x+0

f(x)� f(x0)

x� x0= lim

x!x�0

f(x)� f(x0)

x� x0= f 0(x0)

Por otro lado, si la función tiene, por ejemplo, un máximo local en x0 debe cumplirse parapuntos x su�cientemente próximos a x0 que f(x) � f(x0). En el primero de los límites

se tiene que x > x0 y por tanto, como f(x) � f(x0), el cocientef(x)� f(x0)

x� x0� 0 para

todos los x su�cientemente próximos a x0 y a su derecha. En el segundo de los límites

x < x0 lo que, junto con f(x) � f(x0), signi�ca quef(x)� f(x0)

x� x0� 0 para todos los x

su�cientemente próximos a x0 y a su izquierda. Como ambos límites deben coincidir yel primero solo puede ser negativo o cero y el segundo positivo o cero, la única soluciónposible es que f 0(x0) = 0. En el caso de un mínimo local se razona de manera totalmenteanáloga. �

Los puntos x en los que f 0(x) = 0 se llaman puntos estacionarios de la funciónf de modo que el teorema de Fermat lo que dice es que, si una función es derivable, lospuntos en los que f puede alcanzar un extremo local son puntos estacionarios de f (lo queno signi�ca que f tenga obligatoriamente que alcanzar extremo local en todos los puntosestacionarios).Hay que tener también en cuenta la hipótesis de derivabilidad del teorema. Nada impideque la función f alcance un extremo local en un punto x0 en el que f no es derivable.

5.2. Teorema de Rolle. Teorema del valor medio

El teorema de Fermat permite demostrar un resultado de importancia conocido con elnombre de teorema de Rolle, a partir del cual se demuestra una generalización que seconoce como teorema del valor medio. El teorema del valor medio es un resultado de usocasi inevitable cuando se quiere obtener información sobre el comportamiento global deuna función f a partir de propiedades de f 0(x). En capítulos posteriores se recurre a élcon mucha frecuencia.

Teorema 5.2 (Teorema de Rolle). Sea una función f : [a; b] ! R que cumple lassiguientes propiedades:

� f es continua en [a; b]

� f es derivable en (a; b)

� f(a) = f(b)


Entonces se cumple que existe al menos un punto x0 2 (a; b) en el que f 0(x0) = 0 (en elcaso de que f(a) = f(b) = 0 el teorema a�rma que entre cada dos ceros de la función almenos hay un cero de la derivada).

Demostración:

La demostración hace uso del teorema ?? que a�rma que una función continua en uncompacto [a; b] alcanza en [a; b] máximo y mínimo globales. Supóngase que en nuestrocaso f alcanza el máximo M en el extremo inferior del intervalo a y el mínimo globalm en el extremo superior b (o viceversa). Como por hipótesis f(a) = f(b) resulta queM = m y si el máximo y el mínimo valen lo mismo entonces la función es constante entodo [a; b] y su derivada es nula en todos los puntos del intervalo con lo que el teoremaqueda probado.Otra posibilidad es que el máximo global o el mínimo global o ambos se alcancen enel interior del intervalo. Supongamos por ejemplo que f alcanza el máximo global enx0 2 (a; b) (el resto de posibilidades se razona igual). Entonces f alcanza también en x0un máximo local y, por aplicación del teorema de Fermat (teorema 5.1), se deduce quef 0(x0) = 0. �El siguiente teorema es una generalización del teorema de Rolle.

Teorema 5.3 (Teorema del valor medio). Sea una función f : [a; b]! R que cumplelas siguientes propiedades:

� f es continua en [a; b]

� f es derivable en (a; b)

Entonces se cumple que existe al menos un punto x0 2 (a; b) en el que

f 0(x0) =f(b)� f(a)

b� a

Demostración:

El teorema se demuestra de�niendo una función

g(x) = f(x)��f(a) + (x� a)

f(b)� f(a)

b� a

�que geométricamente es para cada valor de x �jo la distancia vertical entre la grá�ca def(x) y la recta que pasa por los puntos del plano (a; f(a)) y (b; f (b)). g(x) es obviamentecontinua en [a; b] y derivable en (a; b) porque f(x) y la función x lo son y se cumple queg(a) = g(b) = 0. El teorema de Rolle 5.2 aplicado a la función g asegura que existe almenos un punto x0 2 (a; b) tal que g0(x0) = 0, de donde se deduce que

g0(x0) = f 0(x0)�f(b)� f(a)

b� a= 0

que es el resultado que se quiere demostrar. �Geométricamente el teorema signi�ca que, como se muestra en la �gura 5.1, existe siempreun punto x0 en el que la recta tangente a la grá�ca de f(x) es paralela a la recta que pasapor los puntos (a; f(a)) y (b; f (b)) (de hecho en el caso de la �gura existen dos puntos x0con esa propiedad aunque en la �gura solo se ha representado uno de ellos).


x0 ba

El teorema del valor medio

y0= f(x0)

Figura 5.1.

El teorema de Rolle y su generalización, el teorema del valor medio, sirven en ocasionespara dar información sobre los ceros de una función a partir de los de su derivada comose pone de mani�esto en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5.1. Calcular el número de raices de la ecuación f (x) = cosx+x senx�x2 = 0.

Es inmediato comprobar que la ecuación tiene como mínimo dos raices porque f (0) = 1y limx!1 f (x) = �1 y limx!�1 f (x) = �1. Como f es una función continua y pasade ser positiva en x = 0 a ser negativa en +1 tiene a la derecha de x = 0 al menos uncero (teorema de Bolzano) y por la misma razón, como cambia de signo entre �1 y 0,tiene como mínimo otro cero a la izquierda de x = 0. Del teorema de Bolzano se deducepor tanto que la función tiene como mínimo dos ceros y, consiguientemente, la ecuaciónf (x) = 0 tiene como mínimo dos raices.Para comprobar que son solo dos basta calcular f 0 (x) = � senx+ senx + x cosx � 2x =x (cosx� 2) de donde se deduce que el único punto en el que se anula la derivada esx = 0. El teorema de Rolle permite entonces a�rmar que f solo se puede anular en, alo sumo, dos puntos. En efecto, supóngase que f se anulara en 3 puntos x0; x1 y x2. Elteorema de Rolle dice que entre cada dos ceros de la función hay al menos un cero de laderivada y por tanto, si f se anulara en 3 puntos, la derivada debería anularse en 2, cosaque no ocurre.Por tanto, el teorema de Bolzano a�rma que f (x) = 0 tiene como mínimo dos raices y elteorema de Rolle que tiene a lo sumo dos, de donde se deduce que hay dos raices.

Es bien conocido el resultado de que una función constante en un intervalo tiene derivadanula en todos los puntos del intervalo. El resultado contrario también es cierto pero lademostración no es tan evidente y hace uso del teorema del valor medio.

Proposición 5.4.

1. Sea una función f : [a; b] ! R continua en [a; b] y derivable en (a; b) y tal que8x 2 (a; b) se cumple que f 0(x) = 0. Entonces se tiene que f es constante en [a; b].


2. Sean dos funciones f; g : [a; b] ! R continuas en [a; b] y derivables en (a; b) y talesque 8x 2 (a; b) se cumple que f 0(x) = g0(x). Entonces se tiene que 8x 2 [a; b] secumple que f(x) = g(x) +K donde K es una constante real.

Demostración:

El primero de los apartados se demuestra tomando dos puntos cualesquiera x0 y x1 delintervalo [a; b]. El teorema del valor medio aplicado al intervalo [x0; x1] asegura que existe

un punto z 2 (x0; x1) tal que f 0(z) =f(x1)� f(x0)

x1 � x0pero como la derivada de f se anula en

todos los puntos, se anula en particular en z y de f 0(z) = 0 se obtiene que f(x1) = f(x0).Como esto es verdad para cualquier pareja de puntos, se deduce que f es constante en[a; b].Para el segundo apartado basta aplicar el teorema del valor medio a la función f � g y sellega a la conclusión de que f(x)� g(x) es constante para todo x 2 [a; b]. �El siguiente resultado es otra consecuencia del teorema del valor medio que caracterizalas funciones monótonas crecientes y decrecientes en términos del signo de su derivadaprimera.

Proposición 5.5. Sea una función f : [a; b] ! R continua en [a; b] y derivable en (a; b).Se tiene que:

1. f monótona creciente en [a; b], 8x 2 (a; b) ; f 0(x) � 0.

2. f monótona decreciente en [a; b], 8x 2 (a; b) ; f 0(x) � 0.

Demostración:

Se demuestra la primera de las a�rmaciones porque la segunda se hace de forma totalmenteanáloga. Para demostrar la implicación de izquierda a derecha se tiene en cuenta que comola función es derivable 8x 2 (a; b) se cumple que

limh!0+

f(x+ h)� f(x)

h= f 0(x)

Como por hipótesis se tiene que f es monótona creciente en [a; b], entonces f(x+h) � f(x)para todo h > 0 y por tanto v(h) = (f(x+ h)� f(x)) =h � 0 de donde se deduce quef 0(x) � 0 8x 2 (a; b) porque el límite de la función no negativa v(h) no puede ser negativo.Para la implicación contraria (de derecha a izquierda) se toman dos puntos cualesquierax0 y x1 del intervalo [a; b] (que en particular pueden ser los puntos a y b). Sea x0 < x1.Por el teorema del valor medio aplicado al intervalo [x0; x1] se tiene que existe un punto

z 2 (x0; x1) tal que se cumple que f 0(z) =f(x1)� f(x0)

x1 � x0y como por hipótesis se tiene

que f 0(z) � 0, se deduce que f(x1) � f(x0) y por tanto la función es monótona creciente.�

Notar que en la demostración anterior solo es necesario el teorema del valor medio en elcaso de la implicación de derecha a izquierda. En la implicación de izquierda a derechasolo se usa la de�nición de derivada y el hecho de que si v(h) � 0 con h > 0 entoncesforzosamente limh!0+ v(h) � 0. Precisamente porque las demostraciones de las dos im-plicaciones son sustancialmente distintas, solo la implicación de derecha a izquierda en laparte 1 de la proposición 5.5 sigue siendo cierta cuando se cambia f monótona creciente


por f estrictamente creciente y se sustituye f 0(x) � 0 por f 0(x) > 0 (y solo la implicaciónde derecha a izquierda sigue siendo cierta en la parte 2 cuando se cambia f monótonadecreciente por f estrictamente decreciente y se sustituye f 0(x) � 0 por f 0(x) < 0). Esdecir, se tiene el resultado:

Proposición 5.6. Sea una función f : [a; b] ! R continua en [a; b] y derivable en (a; b).Se tiene que:

1. 8x 2 (a; b) ; f 0(x) > 0) f estrictamente creciente en [a; b].

2. 8x 2 (a; b) ; f 0(x) < 0) f estrictamente decreciente en [a; b].

Demostración:

La demostración es idéntica a la de la proposición anterior. En el caso de la parte 1 setoman dos puntos cualesquiera x0 y x1 del intervalo [a; b] con x0 < x1. Por el teoremadel valor medio aplicado al intervalo [x0; x1] se tiene que existe un punto z 2 (x0; x1) talque se cumple que f 0(z) =

f(x1)� f(x0)

x1 � x0y como por hipótesis se tiene que f 0(z) > 0, se

deduce que f(x1) > f(x0) y por tanto la función es estrictamente creciente. �La implicación contraria, como se acaba de decir, ahora no es cierta porque si se quisierarepetir la demostración de la proposición 5.5 con desigualdades estrictas se tendría que,con la v(h) de�nida en 5.5, si f es estrictamente creciente entonces v(h) > 0 con h > 0.Pero de ahí no se deduce que limh!0+ v(h) > 0 sino solo que limh!0+ v(h) � 0. Por tantof estrictamente creciente en [a; b] solo garantiza que f 0(x) � 0 pero no que f 0(x) > 0. Porejemplo, la función f(x) = x3 es estrictamente creciente en [0; 1] y sin embargo f 0(0) = 0.

5.3. Existencia local de la función inversa

Otro de los resultados típicos que se obtienen a partir del teorema del valor medio tieneque ver con una condición su�ciente para la existencia local de la función inversa. Enprimer lugar conviene recordar lo que ya se dijo sobre la existencia de la función inversade una función dada f . Si f es suprayectiva, lo que está automáticamente asegurado si sehace coincidir el espacio de llegada con el recorrido de la función, f tiene inversa si y solosi es inyectiva. Como también se ha comentado en el capítulo anterior, es relativamentefrecuente que una función f : A ! R no sea inyectiva sobre todo su dominio A pero sílo sea si se de�ne sobre un subconjunto B � A. Ésto lleva a de�nir lo que se entiendepor inversa local de una función f en un entorno de un punto x0: se dice que f tieneinversa local en un entorno de x0 si existe � > 0 tal que f es inyectiva en elintervalo (x0 � �; x0 + �). Es decir, la función f : (x0 � �; x0 + �) ! f (x0 � �; x0 + �)tiene inversa local de�nida como: f�1 : f (x0 � �; x0 + �)! (x0 � �; x0 + �).

La condición de que f sea inyectiva no es fácil de comprobar en muchas ocasiones. Sin em-bargo, el siguiente resultado da una condición su�ciente de inyectividad local en términosde la derivada que resulta más operativa:

Proposición 5.7 (Existencia de la función inversa local). Sea una función f : (a; b)!R derivable en (a; b) y x0 2 (a; b). Sea f 0(x0) 6= 0 y sea f 0 continua en x0.Entonces f admite inversa local en un entorno de x0.


Demostración:

Supongamos que f 0(x0) > 0 (en el caso en que f 0(x0) < 0 se razona de la misma manera).Como f 0 es continua en x0 eso signi�ca que existe un entorno de radio � > 0 en donde lafunción f 0 es distinta de 0 y tiene el mismo signo que en x0:

Existe � > 0 tal que para todo x 2 (x0 � �; x0 + �) se tiene que f 0(x) > 0

Por aplicación del resultado 5.6 eso signi�ca que f es estrictamente creciente en (x0 � �; x0 + �)y, por tanto, inyectiva en (x0 � �; x0 + �). Luego admite inversa local en dicho intervalo.�

5.4. Condiciones su�cientes de extremo local

La condición necesaria de extremo local 5.1 permite demostrar el teorema de Rolle y elteorema del valor medio. Este último teorema se usa ahora para demostrar condicionessu�cientes de extremo local de primer orden, cuando solo se presupone la existencia de laderivada primera de la función en cuestión y de segundo orden cuando también se puedesuponer que existe la derivada segunda.

Proposición 5.8 (Condición su�ciente de extremo local de orden 1). Sea una fun-ción f : (a; b)! R derivable en (a; b) y x0 2 (a; b) con f 0(x0) = 0.

� Si existe � > 0 tal que 8x 2 (x0 � �; x0) se cumple que f 0(x) � 0 (f 0(x) > 0) y8x 2 (x0; x0 + �) se cumple que f 0(x) � 0 (f 0(x) < 0) entonces f tiene en x0 unmáximo local (máximo local estricto).

� Si existe � > 0 tal que 8x 2 (x0 � �; x0) se cumple que f 0(x) � 0 (f 0(x) < 0) y8x 2 (x0; x0 + �) se cumple que f 0(x) � 0 (f 0(x) > 0) entonces f tiene en x0 unmínimo local (mínimo local estricto).

Demostración:

En el caso del máximo (para el mínimo se opera de la misma manera) se elige arbitrari-amente un punto x 2 (x0 � �; x0) y se considera el intervalo (x; x0) en el que se puedeaplicar el teorema del valor medio que dice que existe un punto � 2 (x; x0) con la propiedadde que

f 0(�) =f(x0)� f(x)

x0 � x

y como (x0 � x) > 0 y por hipótesis f 0(�) � 0, se deduce que (f(x0)� f(x)) � 0 o bienf(x0) � f(x), lo que demuestra que el valor de f en x0 es mayor o igual que el valor def en puntos a la izquierda de x0 y su�cientemente próximos a él.Eligiendo arbitrariamente x 2 (x0; x0 + �), considerando el intervalo (x0; x) y aplicandoel teorema del valor medio, existe un punto � 2 (x0; x) con la propiedad de que

f 0(�) =f(x)� f(x0)

x� x0

y como (x� x0) > 0 y por hipótesis f 0(�) � 0, se deduce que (f(x)� f(x0)) � 0 o bienf(x0) � f(x) para cualquier punto x a la derecha de x0 y su�cientemente próximo a él(Si los menores o iguales en las desigualdades con las derivadas del enunciado se pueden


sustituir por estrictamente menores y los mayores o iguales por estrictamente mayores seconcluye, razonando de la misma manera, que se tiene un máximo local estricto). �

Notar que la hipótesis de que f 0(x0) = 0 en el resultado anterior no se usa para nadaen la demostración y por tanto podría suponerse que no es necesaria, lo que contradiceel teorema de Fermat 5.1 en el que se demuestra que es condición necesaria para quela función f tenga en x0 un extremo local. La aparente contradicción surge del hechode que en 5.8 la hipótesis no es necesaria como tal hipótesis porque se puede demostrarque se deduce directamente de la hipótesis sobre el signo de la derivada a la izquierday a la derecha de x0. En efecto, el teorema del valor medio asegura que los cocientesincrementales

f(x)� f(x0)

x� x0� 0 8x 2 (x0 � �; x0)

f(x)� f(x0)

x� x0� 0 8x 2 (x0; x0 + �)

y los límites x! 0 de ambos cocientes son las derivadas laterales y deben coincidir y seriguales a f 0 (x0) porque f es derivable en x0. Luego la única posibilidad es que f 0 (x0) = 0.Como esta a�rmación puede no resultar evidente, se pre�ere incluir f 0(x0) = 0 entre lashipótesis de 5.8 para enfatizar el hecho de que se cumple.

Proposición 5.9 (Condición su�ciente de extremo local de orden 2). Sea una fun-ción f : (a; b)! R derivable en (a; b) ; x0 2 (a; b) con f 0(x0) = 0 y existe f 00(x0). Entonces:

� Si f 00(x0) < 0 f tiene en x0 un máximo local estricto.

� Si f 00(x0) > 0 f tiene en x0 un mínimo local estricto.

Demostración:

En el caso del máximo se tiene que

limx!x�0

f 0(x0)� f 0(x)

x0 � x= f 00(x0) < 0

Si el límite de una función g (x) es estrictamente menor que 0, limx!x�0

g(x) < 0, entonces

para valores de x su�cientemente próximos a x0 por la izquierda se cumple que g(x) < 0.Como x0 � x > 0; en nuestro caso debe ocurrir que f 0(x0) = 0 < f 0(x) para todox 2 (x0 � �; x0) y por el mismo tipo de razonamiento aplicado al otro límite lateral sellega a la conclusión de que f 0(x0) = 0 > f 0(x) para todo x 2 (x0; x0 + �). Aplicandoentonces la proposición 5.6 se llega a la conclusión de que f es estrictamente crecienteen [x0 � �; x0] y estrictamente decreciente en [x0; x0 + �] de donde se deduce que tiene unmáximo estricto en x0. �

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