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35 FICHA SOBRE INVERSIN 1

INVERSIN

Es una homografa en la que, fijado uncentro de inversin O o polo, el valor del

producto de las distancias a otros dosalineados (OA x 0A = K)es constante (sellama constante de inversino potencia dela inversin). Si un punto se acerca alcentro su inverso se alejar de l.

Las rectas que los unen (AB y AB) no son inversas entre s, pero si son antiparalelas porquetienen ngulos iguales e inversos. Los dos tringulos OAB y OAB son semejantes.

La mayor utilidad de la inversin se relaciona con su capacidad de transformar rectas encircunferencias y viceversabajo ciertas condiciones.

Es una correspondencia puntual y recproca, esdecir, que si A es el inverso de A, ste lo sera su vez de A.

Se define por dos puntos o por el valor de K.

Grficamente suele venir dada por el centro yuna circunferencia llamada de puntos dobleso

bsica, porque su radio mide K (OA =

OA). En sta se hallan todos los puntos queson inversos de s mismos.

Si K>0, los puntos homlogos estn al mismolado del centro; si K

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35 FICHA SOBRE INVERSIN 2

Mediante una circunferencia de puntos dobles Mediante compsAl final del siglo XIX A. Adler

Se construye lacircunferencia apartir de A, suinverso A y B

Se comienzapor punto

Se parte de A

Cuando la distancia OAes menor que la mitaddel radio, se duplica

Inversin de rectas y circunferencias

La figura inversa de una recta que no pasa por elcentro de inversin es una circunferencia que si pasa

por l. Recprocamente, la figura inversa de unacircunferencia que pasa por el centro de inversin esuna recta que no pasa por l. La recta que aparece noes tal, sino una circunferencia de radio infinito.

Dadas una circunferencia y una recta no tangentes, esposible considerarlas inversas una de la otra eninversiones cuyos centros son los extremos deldimetro perpendicular a la recta. En el caso de sertangentes la recta y la circunferencia, sern inversassegn un centro coincidente con el otro extremo deldimetro perpendicular.

Construir rectas inversas a circunferencias que pasan por el centro de inversin y viceversa

Si la circunferencia que pasa porO corta a la de puntos dobles,bastar unir los puntos de corte alser stos dobles y por tantopertenecer tambin a la recta.

Si dan la recta, es suficiente contrazar la circunferencia que pasapor tres puntos (los de corte y elcentro de la inversin).

Si no la corta, ser necesariohallar el inverso de uno o mspuntos por alguno de los

procedimientos ya comentados.

Circunferencia inversa a otra que no pasa por el centro de la inversin:

La figura inversa de unacircunferencia que no pasa por elcentro de inversin es otracircunferencia que tampoco pasa porl y que mantienen entre s unarelacin de homotecia con el mismocentro que la inversin y razn K/P.

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Las circunferencias y las rectas inversastienen varias propiedades. Las rectas queunen parejas de puntos inversos en doscircunferencias (rectas BC y BC) se unen

en el eje radical de ambas circunferenciaso son paralelas a l.

Las tangentes a cada una de lascircunferencias por un par de puntosinversos tambin se cortan en el ejeradical. Los ngulos que forman dichastangentes con la recta que une los puntosinversos son iguales.

Toda recta que une puntos correspondientes en dos circunferencias inversas forman ngulosiguales con las tangentes a ellas en dichos puntos y se conoce como recta isogonal a ambascircunferencias.

Rectas queunen pares depuntosinversos y secortan en el eje

Rectas tangentesisogonales queforman el mismongulo en puntos

Por todo par de puntos correspondientes ados circunferencias inversas pasa unacircunferencia tangentes en dichos puntos.Recprocamente puede afirmarse que lospuntos de contacto de una circunferenciatangente a otras dos, son puntos inversossegn una de las inversiones que las ligan.Por tanto, al pasar esta circunferencia por unpar de puntos inversos es ella inversa de smisma e invariable en la inversin. Se laconoce como isogonal y forma los mismosngulos con las dos circunferencias.

Mtodos de trazado de circunferencias inversas

En general se trata de encontrar tres puntos o los extremos de los dimetros de lascircunferencias buscadas.

por triangulacin por el mtodo del comps por antiparalelismo: intil

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Un caso muy popular de aplicacin de la inversin es la resolucin del trazado por unpunto de las circunferencias tangentes a dos dadas. A continuacin se ofrece secuencialmente eldesarrollo del trazado de las circunferencias tangentes por el punto P a una recta y unacircunferencia dadas.

Trazar las circunferencias tangentes por el punto P a las dos circunferencias dibujadas.Tomando el punto dado como centro de la inversin y raz de K igual a la potencia de una de lascircunferencias, se logra que uno y otra no cambien en la inversin a la que se someter la otra.Obtenidas las dos circunferencias inversas (una no ha cambiado), bastar trazar las rectas

tangentes exteriores e interiores y sus circunferencias inversas sern las buscadas pues al nopasar las rectas anteriores por el centro de inversin O, si han de pasar las circunferenciassolucin como se peda. En la figura slo se ha trazado una de las tangentes y su circunferenciainversa.

Circunferencia depuntos dobles.Su radio es iguala la potencia

Radio raz de

El centrocoincide con el

Circunferenciainversa de la

Circunf. solucininversa de la rectatangente.

Circunferenciainversa a la

Recta inversa a lacircunf. solucin

Rectas inversasde lascircunferencias

Circunf. solucininversa a la

recta tangente

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