TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin.

TEMA 6: METODOS MODERNOS DE DETERMINACIN.6.1 INTRODUCCIN.

La determinacin del geoide mediante la frmula integral de Stokes posee dos serias limitaciones: a) b) No deben haber masas por encima del geoide. La medida de la gravedad tomada en la superficie terrestre debe ser reducida al geoide. Esto requiere que para resolver correctamente a) necesitemos conocer las densidades de las masas topogrficas, y para resolver correctamente b) debamos conocer el valor de la variacin de la gravedad con la altura a lo largo de la lnea vertical entre la superficie topogrfica y el geoide, lo cual nos devuelve al problema del conocimiento de las densidades de las masas topogrficas a lo largo de esa lnea vertical. Con todo esto el mtodo clsico de determinacin del geoide (que no quiere decir que ya no se utilice) se encuentra con el grave problema de que, actualmente, no se tiene un buen conocimiento de las densidades de las masas situadas por encima del geoide. Para solucionar este problema, un mtodo alternativo de clculo fue propuesto en 1945 por el cientfico ruso M.S. Molodensky. En lugar de usar el geoide, introdujo el teluroide como superficie auxiliar para determinar la figura de la tierra. El teluroide se define como la superficie formada por aquellos puntos Q que poseen el mismo potencial normal que el del geopotencial en los diferentes puntos P de la superficie de la tierra, figura 6.1.

1

TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin.

Topografia P WP=UQ Q Teluroide

H

hP

H*

Wo Wo=Uo Uo

PO QO N

Geoide

Elipsoide Figura 6.1: Telutoide, altitud normal H* y anomala de altitud .

A la distancia desde P a Q se le llama anomala de altura y al valor:

g P = g P QSe le denomina tambin anomala aire-libre. La altitud normal H* se puede obtener a partir de medidas de nivelacin y gravedad (nmeros geopotenciales) como hemos visto en el tema 5 sin que, para ello, sea necesaria ninguna hiptesis sobre la densidad de los materiales. De esta manera hemos denominado anomala aire-libre a dos cantidades situadas en escenarios diferentes: una de ellas en el escenario planteado por la teora de Stokes-Helmert y otra en el escenario planteado por la teora de Molodensky. En el escenario de Stoles-Helmert esta cantidad se defina como:Stokes Helmert g Aire Libre = g PO QO = (g P + 0.3086 H ) QO

Y en el escenario de Molodensky:

2

TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin.Molodensky g Aire Libre = g P Q = g P QO 0.3086 H *

(

)

De forma general no se comete un error final superior a los 1-2 cm en la determinacin de la ondulacin del geoide si se considera que gravedad presentan el mismo valor numrico en ambos. Como ya hemos dicho en alguna ocasin, se cumplen los mismos principios fsicos para las cantidades referidas a PO y QO como a las cantidades referidas a P y Q, por lo tanto, gracias al teorema de Bruns, tenemos que:

H H * , por lo que, a

pesar de plantearse dos escenarios completamente diferentes, las anomalas de

P =

TP

Q

(6.1)

Donde ahora TP (potencial perturbador), se refiere a la superficie de la tierra en lugar de al geoide, es decir, hemos trasladado el problema de contorno planteado del geoide a la superficie topogrfica, antes nuestra frontera o contorno era el geoide y all resolvamos el problema y ahora el problema se plantea sobre el propio contorno topogrfico y es all donde intentamos resolver. No obstante, el teluroide no es una superficie de nivel, y a cada punto P de la superficie terrestre le corresponde una superficie equipotencial W = WP diferente. Por lo tanto, la relacin entre ondulacin del geoide. Finalmente, se debe tener en cuenta que tambin podemos dibujar las anomalas de altitud por encima del elipsoide, de esta forma obtendremos una superficie prxima al geoide que Molodensky llamo cuasigeoide. As pues el problema es determinar esa anomala de altitud .

g y es considerablemente ms complicada que para la

6.2

MTODO Y TEORA DE MOLODENSKY.Este mtodo propone expresar el potencial anmalo T como el potencial de una

capa superficial sobre la superficie de la tierra o, con la misma precisin, sobre el teluroide:

3

TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin.

TP =

d d

(6.2)

Donde representa, en este caso, la densidad de superficie () multiplicada por la constante de gravitacin y d el elemento diferencial de superficie del teluroide. Sobre la superficie el potencial anmalo ser continuo, pero las derivadas normales difieren si nos aproximamos a esa superficie desde el lado de dentro o desde el lado de fuera. En este caso nos interesa la derivada exterior que responde a la expresin (Heiskanen et al. 1985, ec. 8-26):

TP h P

= 2 cos + e

1 d d hP

(6.3)

Donde es el ngulo de mxima inclinacin del terreno, esta frmula se extrae directamente de derivar (6.2) con respecto a hP y de considerar que sobre la superficie el potencial es continuo, pero que ser precisamente all donde mostrar sus dicontinuidades en cantidades como las segundas derivadas. As nuestra condicin de contorno aplicada sobre la superficie terrestre ser:

TP 1 + TP = g P h Q h

(6.4)

Y, sustituyendo en ella las frmulas (6.2) y (6.3), quedar de la forma:

2 cos

1 1 1 d = g P h d Q hP d

(6.5)

Ecuacin que, realizando una aproximacin esfrica y considerando que:

d = r 2 sec dLlevar a la expresin (Heiskanen et al. 1985 pag. 301-302):

4

TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin.

g P = 2 cos

3R R 2 (h h P ) sec d 2d + d3

(6.6)

Donde R es el radio medio terrestre.

De tal manera que si de (6.6) podemos llegar a obtener el valor de

, podremos

obtener el del potencial anmalo TP de la ecuacin (6.2) y, por tanto la anomala de altura segn la ecuacin (6.1). Para la resolucin de de ecuacin (6.6) se utiliza un mtodo iterativo, la primera aproximacin consiste en resolver cero de la ecuacin (6.6)):

O

de la ecuacin (aproximacin de orden

2 O

3R 2

d

OO

d = G O

(6.7 )2

Donde GO = gP, y siendo

O

y

d O = 2 R sen

aproximaciones de orden cero.

suele ser un valor pequeo, por lo que su coseno ser igual a la unidad.En esta primera aproximacin se llega finalmente a la obtencin de (Heiskanen et al. 1985):

O =

3G 1 O g P + 2 2R

Donde G es un valor medio de gravedad, de manera que, para un radio medio terrestre R, y un valor medio de

O 50 m ,

el segundo miembro de la suma del

parntesis de la ecuacin anterior se puede despreciar con lo que, finalmente:

O =

g P 2

(6.8)

Una segunda (y ltima en nuestro caso) aproximacin intenta resolver:

5

TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin.

0 + 1Mediante:

21

3R 2

d

11

d = G1

(6.9)

Donde:

G1 = R 2

h hP R2 O d = 3 2 dO

h hP g P d 3 dO

(6.10)

A partir de aqu es posible resolver

, luego TP y, finalmente .

Si Recordamos la teora de Stokes, existir un camino mucho ms sencillo para resolver nuestro problema: la integral de Stokes resolva la condicin de contorno sobre las anomalas de gravedad, ahora seguimos utilizando esta misma condicin de contorno (ecuacin (6.4)), por lo que podemos utilizar la integral de Stokes pero sobre las cantidades GO y G1.

As, aplicando la frmula de Bruns: que, en este caso, se obtiene:

= TP / Q

a la integral de Stokes, vemos

= O + 1 =

R 4

g

P

S ( )d +

R 4

G S ( )d1

(6.11)

Ya que hemos dicho que GO = gP. As pues viene determinada por la frmula de Stokes sobre las anomalas aire-libre (trmino O) y, adems, una correccin 1 donde G1 viene expresado por la ecuacin (6.10). La ecuacin (6.11) se puede ver de la forma:

=

R 4

(g

P

+ G1 ) S ( ) d

(6.12)

6

TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin.

Debemos ahora darle una interpretacin fsica y una visin geomtrica a la ecuacin (6.12) obtenida. Para ello podemos dividir el trmino G1 en dos partes:

G1 = G11 + G12

(6.13)

Analizando el factor G11 se llega a la definicin para l (Heiskanen et al. 1985 apartado 8-8) de:

G11 =

g P h h

(6.14)

Siendo, por la integral de Poisson:

g P R 2 = h 2

g g P d 2 dO

Con lo que el trmino G11 corresponde a la reduccin de la anomala aire-libre de la gravedad del terreno al elipsoide. El trmino correctivo 1, que representa el efecto de G1, puede descomponerse de la misma forma que G1 en:

1 = 11 + 12Entonces:

(6.15)

11 =

R 4

G

11

S ( ) d =

R 4

h

g P S ( ) d h

(6.16)

Y la segunda componente:

12 =

R 4

G

12

S ( ) d

(6.17)

7

TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin. Puede evaluarse directamente ya que puede verse como (Heiskanen et al. 1985 apartado 8-8):

12 =

h h

(6.18)

Con lo que este segundo trmino no es ms que la correspondiente reduccin de la anomala de la altitud del elipsoide al nivel del terreno (o teluroide en nuestro caso). Por tanto la solucin definitiva se puede plantear como sigue:

=

g P R h S ( ) d + h g P 4 h h

(6.19)

Con todo esto la interpretacin geomtrica de la solucin resulta evidente: las anomalas aire-libre del terreno se reducen al elipsoide mediante:

g * = g P

g P h h

(6.20)

Entonces la integral de Stokes da las anomalas de la altitud sobre ese elipsoide o superficie de referencia, que son llevadas al nivel del terreno aadiendo el segundo trmino que se encuentra fuera de la integral (6.19); volvemos aqu a recuperar el concepto de prolongacin analtica de las funciones armnicas, en este caso la prolongacin descendente para las anomalas de gravedad y la prolongacin ascendente para la anomala de altitud. 6.3 DETERMINACIN DEL GEOIDE CON ANOMALAS A NIVEL DEL TERRENO Por ltimo debemos relacionar la ondulacin del geoide N (cantidad que es

nuestro objetivo final), con las anomalas de altura obtenidas. Si ahora trasladamos la anomala de altura obtenida en (6.12) sobre el elipsoide obtendremos la figura que hemos llamado al principio del presente tema cuasigeoide. Recordando la figura 6.1, encontramos las relaciones:

8

TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin.

h=H +N h = H * +Con lo que:

(6.21)

H + N = H * +

(6.22)

Es decir, la relacin entre la ondulacin del geoide y la anomala de altura es:

N = + H * HRecordando:

(6.23)

H=

C g C

(6.24)

H* =

Donde C es el nmero geopotencial, se llega a:

H * H =

C

C C (g ) g = = H g g

(6.25)

Con lo que la ondulacin del geoide responder a la forma:

N=

R 4

g

P

S ( ) d +

R 4

G

1

S ( ) d +

g

H

(6.26)

As pues N viene dada por la integral de Stokes aplicada a las anomalas airelibre al nivel del terreno, y dos pequeas correcciones: 1) El trmino G1 ya discutido y que no deja de ser o representar el efecto de la topografa. El trmino que contiene la diferencia g que representa la distancia entre el geoide y el cuasigeoide.

2)

(

)

9

TEMA 6: Mtodos modernos de determinacin. La ventaja de este mtodo para la determinacin de N es que la densidad de las masas no es considerada salvo en el paso del geoide al cuasigeoide (paso 2 anterior), en cambio estaremos resolviendo la integral de Stokes numricamente con anomalas aire-libre, que sern muy dependientes de la topografa y, por lo tanto, difciles de interpolar correctamente, adems el trmino G1 puede presentar problemas a la hora de su clculo y aumentar considerablemente los mismos. Para finalizar, deberemos conocer las altitudes elipsoidales (h-hP), ecuacin (6.10), aunque se obtiene la misma precisin utilizando los valores (H-HP) o (H*-H*P) (Heiskanen et al. 1985, pg- 301). Una frmula aproximada para obtener la diferencia entre N y es (Heiskanen et al. 1985, ec. 8-103):

(

Bouguer N )metros = g gales H Km

(6.27 )

Que para el Montblanc, con H=4807 metros, resulta de 1.8 metros. Puesto que, como sabemos, las anomalas de Bouguer son muy insensibles a las irregularidades locales, se puede concluir que la anomala de gravedad Bouguer de la ecuacin anterior permanecer constante desde un punto de vista local, de modo que existir una relacin aproximadamente lineal entre la anomala de altura y las irregularidades locales de la topografa, con otras palabras, el cuasigeoide refleja la topografa en mucha mayor medida que el geoide.

10