tema3a_variablesregionalizadas

1

M. Sc. Samuel Canchaya Moya

[email protected]

Facultad de Ciencias e Ingeniería

Especialidad: Ingeniería Geológica

Curso: GEM322 Geoestadística

Semestre 2015-2

Introducción a la Geoestadística

2





Semestre 2015-2

2

52 años de

Geoestadística

3

George F. P. M. Matheron Fuente: en.wikipedia.org

1963

4

Curso Internacional de Geoestadística

2008-2009

MODULO I: 5 al 8 de Noviembre 2008. Miguel Zulueta (Consultor

en Geoestadística) Introducción a la Geoestadística. Las variables regionalizadas. El variograma. Varianzas: de extensión, estimación y dispersión. El krigeage: puntual y de bloques. La varianza de krigeage. Introducción a la estimación de recursos. Entregables en una estimación de recursos.

MODULO II: 8 al 10 de Diciembre 2008. Daniel Guibal (Director Técnico de SRK Consulting-Australia) Muestreo y base de datos. Modelamiento geológico 3D. Variografía avanzada. Anisotropía a través de mapas de variogramas, variogramas de indicadores. Optimización del muestreo. Optimización del krigeage. Introducción a métodos no-lineales. El efecto del soporte.

Clasificación de recursos: códigos internacionales.

MODULO III: 16 al 17 de Marzo del 2009. André Journel (Catedrático de la Univ. de Stanford USA) Simulación Condicionada aplicada a Minería. Simulación de variables continuas: simulación gaussiana secuencial, simulación por bandas rotantes. Simulación

de variables categóricas. Aplicaciones prácticas.

André Journel

Miguel Zulueta

Daniel Guibal

3

5

Daniel Guibal

Grado de Ing. Civil de Minas Escuela Nacional Superior de Minas

de Nancy-Francia y Master en Ciencias, en Matemáticas y Geo-

estadística en Centro de Geoestadística de Fontainebleau-Francia.

25 años experiencia, especialista en: Geoestadística, Estimación

de Reservas y Simulación; Geoestadística No-Lineal, Optimización de Tajos Abiertos,

Simulación Condicional. Ha trabajado en: Centro de Geoestadística de Fontainebleau -

Francia (1972-1982), Empresa Estatal Minero Perú (1974-1976) y como consultor en

Australia desde 1983 (Siromines y Geoval); actualmente es Director Técnico de SRK

Consulting – Australia.

Ha realizado diversos trabajos y estudios para empresas y consorcios mineros en:

Australia, Sudamérica, Europa y Japón. Sus más recientes trabajos incluyen: Simulación

multivariable del yacimiento de Fe Pilbara (Hamersley); Revisión de los Recursos de Cu

en la División Norte de Codelco (Chile); Revisión detallada de la práctica de la

Geoestadística en Olimpic Dam (Australia); Evaluación y Due diligences de: Inco,

Newcrest, Worsley Alumina, Alcoa, etc.

Miembro activo de la Aus. I. M. M. y de la Asociación de Geoestadística de Australasia.

6

Dr. Dominique François Boungarçon

1974 Grado de Ing. Civil de Minas Escuela Nacional Superior de Minas

de Nancy-Francia

1978 Doctor en Mining Science and Techniques en la Escuela de Minas de Paris y la

Universidad de Nancy.

1976: Inició sus actividades profesionales en MINERO PERU, como experto extranjero

voluntario.

1978 a 1984 Investigador en el Centro de Geoestadística de Fontainebleau-Francia

Famoso por las correcciones que realizó a la famosa fórmula de Pierre Gy:

Solucionando sus dificultades de aplicación, sobre todo para el caso del oro. Ha

publicado con Pierre Gy las modificaciones propuestas. Se dice que Gy lo ha designado

públicamente como su sucesor científico.

Consultor Internacional de Geoestadística, con notables trabajos en INCO Ltd. Copper

Cliff Ontario Canadá. Vicepresidente de Geoestadística de Mineral Resource

Development Inc. San Mateo-California por 7 años.

Actualmente es Presidente de AGORATEK INTERNATIONAL

Vicepresidente de la 6ta. Conferencia Mundial de Muestreo y Mezclas que se realizó en

Lima-Perú, 19 al 22 de Noviembre del 2013; Hotel Marriot.

4

Prof. André Journel

7

Ingeniero de Minas (1967) en la Escuela Nacional Superior de Minas

de Nancy – Francia y Dr. Ing. (1974) y Dr. en Cienc. Mats. Aplicadas

(1977) en Univ de Geoestadística de Nancy – Francia. Ing. de Proys.

mineros en el Centro de Morfología Matemática de Francia

(1969-1973); Centro de Geoestadística de la Escuela de Minas de

Paris (1973-1978). Univ. de Stanford - USA: Prof. Asociado (1978-1972): Prof. Principal (1992-

2010) del Departamento de Ciencias de la Tierra de Ing. de Petróleo e Investigador y Director

(1986-2010) del Centro Stanford de Predicción de Reservorios del Centro Stanford.

Entre 1998 y 2010 recibió más de 30 disertaciones de Ph. D. y M.Sc.. Desde 1980 a la fecha:

miembro del Comité Científico del Congreso Mundial de Geoestadística. Ha dictado decenas

de cursos y seminarios especializados sobre Geoestadística y temas afines.

35 años de experiencia profesional: Especialista en Planeamiento, Simulación y Evaluación de

Recursos Mineros; Modelamiento de Reservorios de Petróleo; Control y remediación de la

Polución; Predicción Bayesiana: Análisis de riesgo, Modelos de incertidumbre, etc; Estadística

no-paramétrica y espacial Gaussiana. Co-autor del famoso libro: Mining Geostatistics. Mas de

80 publicaciones especializadas. Premios: 1989: Medalla de Krumbein, 1995: “Teaching

Award” (Esc. de Cienc. de la Tierra, Stanford), 1998: Medalla de Oro Lucas (AIME/SPE), etc.

8

Dos tendencias de la Geoestadística actual

La Geoestadística académica:

Básicamente Estacionaria

La Geoestadística Aplicada:

Básicamente No-Estacionaria

Francia, Europa,

Australia,

Univ. de Chile,

etc.

Univ. Stanford – USA

Univ. Alberta – Canadá

CAIG - Perú

André Journel Clayton Deutch Daniel Guibal

Xavier Emery

5

Universidad Nacional de Ingeniería

Facultad de Ingeniería Geológica y Metalúrgica

Escuela de Geología

A I G

MISIÓN:

Promover la Investigación y Enseñanza de las

Matemáticas Aplicadas a la Geología.

VISIÓN:

Ser Líderes en Matemática Aplicada a la Geología

CAIG: Principales Líneas de Investigación

Análisis de Riesgo con Simulación Condicional - Abel Puerta

Efecto Proporcional (y Geoestadística No Lineal) - S. Canchaya

Fractales – Miguel Zulueta

Clasificación de Recursos con Varianzas – Heller Bernabé

Training Images y Estadística Multipoint (?)

Etc.

10

PRINCIPALES ACTIVIDADES RELACIONADAS: o Intercambio Académico y Científico con Referentes mundiales relacionados con los temas de investigación. o Promover cursos, talleres, conferencias y congresos relacionados con los temas de investigación. o Ser semillero de nuevos especialistas y científicos en Matemática Aplicada a Geología. o Promoción y Asesoría de Tesis de Grado, Postgrado, etc. o Publicaciones científicas, edición de manuales, textos, etc.

6

Introducción a la Teoría de las

Variables Regionalizadas

11





Semestre 2015-2

El concepto de autocorrelación

Es de esperar que dos valores contiguos Z(xi) y Z(xi+h),

separados una distancia (o vector) h, estén relacionados

entre sí: a esto se denomina: Autocorrelación.

Lo cual quiere decir que sus valores serán dependientes

el uno del otro; esto debido a que casi siempre toda

variable tiene un patrón de distribución (o estructura,

como se le llama en geoestadística), ya que nada es al

azar en la naturaleza.

La herramienta geoestadística para reconocer este patrón

de distribución es el VARIOGRAMA 12

7

COMPARACIÓN ENTRE UNA DATA ESTRUCTURADA

(Tramo A) Y OTRA AL AZAR (Tramo B)

s2

)(hf(x)

x h

HISTOGRAMA VARIOGRAMA

1 2 3 4

6 5

5 4 3

1

2 1

3.08 2.75

2 4 6

1

1

1 2

2 4

5

3 6

3

4

5

TRAMO A

TRAMO B 3.08 2.75

2 4 6 x h

f(x) )(h

x

Diagrama de variación de leyes

Profundidad

Ley

x + h

x A

B

Tendencia

Gran variabilidad local: “diente de sierra”

14

8

Variable Regionalizada: (V.R.)

Toda variable que fluctúa en:

el espacio (coordenadas) y/o en el tiempo.

Tiene dos características fundamentales:

Gran variabilidad local.- Dientes de sierra

Presenta una “estructura” o tendencia a mayor escala

Ejemplos típicos:

Leyes de Au, Ag, Cu (CuT, CuSAc, CuSCN), Fe, As, etc.

Potencia de una veta o manto

Densidad, Humedad, Porosidad y Permeabilidad

Toneladas procesadas en Molinos o Chancadoras (“Throughput”)

Contenido mineralógico (% qz, ser, ARCs, cac, bt, calcopirita, pirita, etc.)

% de elementos u óxidos mayores (SiO2, TiO2, K2O, CaO, MgO, Fe2O3, etc.)

Recuperación de Au, de Cu, etc.

Densidad de fracturamiento

BWI, RQD, Resistencia Mecánica (MPa), etc.

Consumo de ácido (Kg/TM), etc.

15

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37

Va

rio

gra

ma

Distancia

El Variograma:

Definición, estimación, ploteo y ajuste a

funciones teóricas.

16


9

Las tres hipótesis plausibles de la Geoestadística:

La Hipótesis de Estacionariedad.- Dominios donde la media y la varianza son

probabilísticamente similares; así como la varianza y la covarianza sólo dependen

de la separación entre datos.

La Hipótesis Intrínseca.- En aplicaciones prácticas necesitamos introducir la

denominada hipótesis intrínseca, la cual establece que la function variograma

2(x,h) depende sólo del vector de separación h y no de la ubicación x. Entonces

es posible estimar el variogram 2(x,h) a partir de la data disponible usando el

estimator 2*(h) que se define como:

La Hipótesis del Kriging Universal.- Asume que las funciones aleatorias se

pueden descomponer en una combinación lineal de funciones determinísticas y un

componente aleatorio residual. Por lo tanto es la menos resttrictiva de las

hipótesis.

2)(

1

* ])()([)(

1)(2

hn

i

ii hxZxZhn

h

La hipótesis de

estacionariedad

La aplicación de la geoestadística

tradicional será válida, sólo si se cumple con

la denominada Hipótesis de Estacionariedad.

Se dice que un dominio cumple con la Hipótesis de Estacionariedad, cuando dentro de él la media y la varianza son las mismas cualquiera sea la muestra que se tome para estimarlas.

En un dominio donde se cumpla la Hipótesis de Estacionariedad, el variograma y la covarianza sólo dependerán de la separación entre datos.

Los dominios con el denominado EFECTO PROPORCIONAL son el extremo opuesto a la condición de estacionariedad.

Cuando no se cumple la mencionada hipótesis, hay que apelar al Concepto de Krigeage Universal; así como a otras herramientas de la Geoestadística No- Estacionaria.

18

M1 M2

M3 M4

D

10

FUNCION VARIOGRAMA:

Forma de cálculo

Es la función probabilística

que representa el patrón de

distribución de una variable

regionalizada

OMNIDIRECCIONAL

x + h

x

h

2

2

1 ( ) h

Xi + h i

n h

n h

Z Z

Xi

FUNCION VARIOGRAMA – Representación gráfica

h : paso entre las muestras

C0 : efecto de pepita

a : alcance

C : sill

C + C0 : meseta

s2 : varianza estadística

DEPENDENCIA

ESTRUCTURA

INDEPENDENCIA

ALEATORIEDAD

C0

a

C

h

( )h

meseta s2

GEO ESTADISTICA

11

Ejemplo de cálculo manual

de un variograma 1D

( )( )

h x hZ xZ

n h

2

2

[d1]2

[d2]2

[d3]2

[d4]2

[d5]2

[d6]2

[d7]2

[d8]2

0.64

1.44 0.16

0.16 0.64 0.00

0.04 0.04 1.00 0.04

0.36 0.16 0.64 0.16 0.16

2.56 1.00 1.44 0.64 4.00 1.44

6.25 0.81 2.25 1.69 2.89 0.25 1.69

4.00 0.25 1.21 0.25 0.49 0.09 2.25 0.49

7.29 0.49 10.24 2.56 4.84 4.00 5.76 1.44

8.41 0.04 4.84 0.09 1.69 0.49 0.16 0.25

0.25 5.76 0.09 2.89 0.64 0.64 0.81 0.16

0.36 0.01 9.00 0.09 5.29 0.04 0.04 0.64

3.61 1.69 3.24 1.21 2.56 0.16 1.96 0.25

1.21 9.00 5.76 8.41 0.00 7.29 4.41 10.24

9.61 17.64 37.21 30.25 36.00 9.61 33.64 14.44

4.84 0.81 4.00 15.21 10.9 14.4 0.81 12.96

4.41 18.49 1.44 0.01 3.24 1.44 2.89 1.44

1.96 12.25 32.49 6.76 2.25 0.16 0.04 0.09

0.81 0.25 6.76 23.04 2.89 0.36 1.69 0.49

S[dh] 2

57.57 69.49 121.6 93.30 77.83 40.41 56.15 42.89

2(n-h) 36 32 28 26 22 16 10 8(h) 1.60 2.17 4.34 3.59 3.54 2.53 5.62 5.36

h=1 h=2 h=3 h=4 h=5 h=6

3.2

4.0

2.8

3.2

3.0

3.6

2.0

4.5

2.5

5.2

2.3

2.8

2.2

4.1

5.2

8.3

6.1

4.0

2.6

3.5

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8

experimental

ajuste

h

(h)

a = alcance

C0=0.25

meseta

Ajuste del Variograma Experimental

a Funciones Teóricas

h

( ) ;h ph 1

( ) ;h ph 1

0exp1)( C

a

hCh

(h) = C

(h) = C + Co h > a

h * a + Co

3h h3

2a 2a3

)(h (h) = Co + mh

12

DIRECCION

E-W

(2-2)2 + (2-4)2 + (4-5)2

(1-1)2 + (1-1)2 + (1-1)2 + (1-6)2

(2-2)2 + (2-1)2 + (1-3)2 + (3-6)2

(3-1)2 + (1-2)2 + (2-3)2 + (3-4)2

(4-7)2 + (7-3)2 + (3-2)2 + (2-5)2

(5-2)2 + (2-3)2 + (3-4)2

(2-4)2 + (2-5)2

(1-1)2 + (1-6)2

(2-1)2 + (2-3)2 + (1-6)2

(3-2)2 + (1-3)2 + (2-4)2

(4-3)2 + (7-2)2 + (3-5)2

(5-3)2 + (2-4)2

( ) .800112

2 153 73

20.244

97)400(

972

ZZ hxx(2-5)2

(1-6)2

(2-3)2 + (2-6)2

(3-3)2 + (1-4)2

(4-2)2 + (7-5)2

( ) .1200

69

2 93 83

( ) .1600

11

2 3

183

(2-6)2

(3-4)2

(4-5)2

DIRECCION: N - S

2 2 4 5

1 1 1 6

2 2 1 3 6

3 1 2 3 4

4 7 3 2 5

5 2 3 4

( ) . ( ) .

( ) . ( ) .

( ) .

40082

2 22186 1600

49

2 73 50

80078

2 172 29 2000

17

2 32 83

120071

2 122 29

Ajuste del Variograma

experimental a funciones

teóricas

Parámetro Lineal Expo-

nencial

C0 0.783 0.673

C0 + C 1.281 1.347

a 345.9 193.4

r2 0.845 0.900

RSS 0.061 0.040

C/[C0+C] 0.389 0.500

13

Combinación lineal de variogramas:

25

hhn

i

i i

1

Para modelar y/o ajustar estructuras imbricadas (“nested structures”)

Permite modelar la anisotropía zonal

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 7.2 8.4 9.6 10.8 12 13.2 14.4 15.6 16.8

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1.2 2.4 3.6 4.8 6 7.2 8.4 9.6 10.8 12 13.2 14.4 15.6 16.8

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 1.3 2.6 3.9 5.2 6.5 7.8 9.1 10.4 11.7 13 14.3 15.6 16.9

Ejemplo de Variogramas

)(h

)(h

h 25 75 50

15

0

30

Au (gr/TM)2

h

Cu (%) 2

10

20

160 80

0.4

0.8

1.2

1.6

100 200 0

Potencia (m)2

Pórfido de Cu-Au

)(h

Yacimiento epitermal de

Au de alta sulfuración

Veta polimetálica

h

Variograma

experimental

Ajuste teórico

14

27

Ejemplo de variogramas de gangas y

minerales de alteración:

Ejemplo de variogramas de Gangas 28

15

El cálculo automatizado

de los variogramas

29


puntos descartados

puntos aceptados

Para cada dirección se define una tolerancia

y se utilizan únicamente los puntos que se

encuentran entre las direcciones: y

Parámetros para el

cálculo automatizado de

variogramas 2D

16

puntos aceptados

puntos descartados

b

b = ancho de banda

Combinación de sector con banda

31

Aplicación de los pasos h

clase de distancia h

clase de distancia 2h

clase de distancia 3h

17

Aplicación de la configuración de cálculo

en el dominio establecido

34

Cálculo de Variogramas 3D:

Búsqueda cónica de pares

h = Ángulo horizontal v = Ángulo vertical t = Ángulo de tolerancia

Sección transversal del cono debe ser elíptica para involucrar anisotropía

18

35

Cálculo Variogramas 3D:

Búsqueda cilíndrica de pares

h = Ángulo horizontal v = Ángulo vertical t = Ángulo de tolerancia

Sección transversal del cilindro debe ser elíptica para involucrar anisotropía

36

Cálculo de Variogramas 3D:

Búsqueda de pares por capas

h = Tolerancia en dirección Z

tema3a_variablesregionalizadas

Documents