2 POTENCIAS, RACES Y LOGARITMOS

PA R A

E M P E Z A R

1

Expresa las siguientes operaciones como un nmero decimal. a) 2,5 107 a) 2,5 107 25 000 000 b) 3,12 10 b) 3,12 105 5

0,000 031 2

2

Simplifica estas fracciones utilizando las propiedades de las potencias. 23 45 3 4 a) 2 3 ( 9) 6 a) 23 45 3 4 ( 9)2 63 23 210 3 4 34 23 33 210 311 5 2 153 32 b) 2 ( 25) 302 b) 5 2 153 32 ( 25)2 302 5 2 33 53 32 54 52 32 22 33 55

22

3

Calcula las siguientes races. a) a)5

243 2435

b) 35 3 b)

4

16 16 no se puede.

c) c)

3

399

5

4

4

39

33

33

27

4

Se considera que la acidez de la lluvia comienza a ser seriamente perjudicial para el suelo y los seres vivos cuando esta presenta un pH inferior a 5. Qu concentracin de iones H se corresponde con esta concentracin del pH? Exprsalo en forma de potencia y de nmero decimal. pH log [H ] 5 log [H ] 5 log 1 105 [H ] 1 [H ] [H ] 1 105 105

0,00001

PA R A

P R A C T I C A R

Notacin cientfica2.1 Indica el orden de magnitud de las siguientes medidas. a) Masa del electrn: 1,67 1027

kg

b) Radio medio del Sol: 9,97 108 m c) Tamao de un virus: 0,000 000 000 235 m d) Radio medio de la rbita terrestre: 1,49 1011 m a) 27 b) 8 c) 10 d) 11

2.2 Escribe en notacin cientfica los siguientes nmeros. a) 12 345 678 b) Sesenta billones a) 1,234 567 8 107 b) 6 1013 c) 354 125 000 000

d) 0,0097 1023 c) 3,541 25 1011

d) 9,7 1020

2.3 Escribe en notacin cientfica estos nmeros: a) 0,000 000 000 331 b) Cuarenta y tres milsimas a) 3,31 10 b) 4,3 102 10

c)

0,000 000 001 2325

d) 967 10 c)

1,23 1023

9

d) 9,67 10

E j e r c i c i o

r e s u e l t o

2.4 En la tabla aparecen los prefijos griegos utilizados en los mltiplos y submltiplos de las unidades de medida. Expresa en notacin cientfica y en microculombios la siguiente medida de carga elctrica: 3 picoculombios 3 picoculombios 3 10 12 culombios 3 10 12 106 microculombios 3 10 6 microculombios

2.5 Expresa en notacin cientfica y en la unidad indicada: a) 320 mirimetros en centmetros b) 6000 nanosegundos en milisegundos c) 175 000 000 megavoltios en kilovoltios d) 0,01 gigagramos en decigramos a) 320 104 metros 320 104 102 centmetros 6000 109

Exa Peta Tera Giga Mega Miria Kilo Hecto Deca Deci Centi Mili Micro Nano Pico Femto Atto

1018 1015 1012 109 106 104 103 102 101 100 10 1 10 2 10 3 10 6 10 9 10 12 10 15 10 18

3,2 108 centmetros 6 10 3 milisegundos

b) 6000 10 9 segundos d) 102

103 milisegundos 108 decigramos

c) 1,75 108 103 kilovoltios 109 gramos

1,75 1011 kilovoltios

107 10 decigramos

2.6 Realiza las siguientes operaciones en notacin cientfica. a) 0,32 1014 b) 3,1109 1045 a) 0,32 1014 b) 3,1109 1045 c) 4,88 1014 25

7,128 1012 2244 1040 32 101212 28

c) 4,88 10

14 25

7,921 10 2244 10

12 28

d) 36,79 10 7,128 101212 24

7,128 1012 2244 1040 7,921 10 2244 10

39,128 101212 24

3,9128 101312 24

3,1109 1045 0,0488 10 3,679 10

0,022 44 1045 7,921 10 0,2244 10

3,088 46 1045 7,9698 10 3,4546 10

d) 36,79 10

2.7 Realiza las siguientes operaciones en notacin cientfica. a) (1,65 106) (0,8 109) b) (22,1 1054) (8,4 100 000) a) (1,65 106) (0,8 109) c) (2,8 10 26) (15 1043) d) (2,3 10 15) (4,5 10 11) 1,65 0,8 1015 185,64 1059 10,35 1026

c) (2,8 10 d) (2,3 10 1,32 1015 1,8564 1061 1,035 1025

26 15

) (15 1043) ) (4,5 1011

)

b) (22,1 1054) (8,4 100 000)

42 1017

4,2 1018

2.8 Realiza las siguientes operaciones en notacin cientfica. a) 2,3 1029 c) 2,6 10 d) 834 10 a) 2,3 1029 c) 2,6 10 d) 834 105 4 5 4

1029 512 10 (3,2 10 )4 2

2 19

b) (0,007 37 1019) : (1,1 10

)

0,000 001 2 : (3 10 9) 1029 512 10 (3,2 10 4)22

2,3 10295

5,12 1029 1,024 107

7,42 1029 6,7 1035 2,589 76 105

b) (0,007 37 1019) : (1,1 10 19)

7,37 1016 : (1,1 10 19) 8,34 102

2,6 10

0,000 0012 : (3 10 9)

1,2 10 6 : (3 10 9)

8,34 10

2

4 102

4,000 834 102

PA R A

A P L I C A R

2.9 Un cabello humano tiene un grosor de menos de 0,1 milmetros. Cunto ocuparan a lo ancho un milln de cabellos colocados en fila, uno al lado del otro? Expresa el resultado primero en milmetros, usando la notacin cientfica, y luego, en la unidad adecuada. Ocuparan aproximadamente 0,1 106 105 milmetros, es decir, unos 100 metros.

2.10 Rosa acaba de cumplir 16 aos. Cuntos segundos de vida suponen? Escribe ese nmero en notacin cientfica. Cada ao dura aproximadamente 365,25 das. Rosa tiene aproximadamente 365,25 24 60 60 segundos, es decir, 3,155 76 107 segundos. 2.11 El inventor del ajedrez pidi como recompensa un grano de trigo por la primera casilla, dos por la se1 granos de trigo. gunda, cuatro por la tercera y as sucesivamente. En total deba recibir 264 a) Indica el orden de magnitud de esta cantidad. b) Si cada kilogramo de granos de trigo tiene unos 6000 granos, calcula el peso de la cantidad anterior. a) La cantidad total es 18 446 744 073 709 551 615 granos, ms de 18 trillones. El orden de magnitud es 19. b) Dividiendo entre 6000 se obtiene el peso en kilogramos: 3 1015 kg, aproximadamente, o 3 1012 toneladas. 2.12 El nmero de quinielas sencillas que se pueden rellenar es 315. Si cada apuesta costara 0,80 euros, cunto habra que gastar para rellenar todas las columnas posibles? Habra que gastar 0,80 315 1,147 912 56 107 11 479 125,60 euros, unos 11,5 millones de euros.

2.13 La masa de la Tierra es de, aproximadamente, 5,98 1024 kilogramos, y la de un bote de refresco, de 330 gramos. Cuntos botes haran falta para igualar el peso de la Tierra? Haran falta 5,98 1024 : (330 10 3) 1,8 1025 botes, aproximadamente.

2.14 Un adulto tiene entre 4,3 y 5,9 millones de hemates por mililitro de sangre. Si en total tiene unos 5 litros de sangre, cuntos hemates tendr? Tendr entre 4,3 106 5000 y 5,9 106 5000 hemates, es decir, entre 2,15 1010 y 2,95 1010 hemates. 2.15 La calculadora permite expresar nmeros en notacin cientfica. Investiga cules son sus lmites, es decir, el mayor y el menor nmero que se puede expresar en notacin cientfica usando la calculadora. La respuesta depende del nmero de cifras que admita en pantalla. Si son 10, los valores sern 9,999 999 999 1099 y 999 1099. Los valores ms prximos a cero sern 9,999 999 999 10 99 y 9,999 999 999 10 99. 9,999 999

Potencias de exponente fraccionario. RadicalesPA R A P R A C T I C A R

2.16 Escribe las siguientes races como potencias de exponente fraccionario. a) b)5

2 255 28

c) d)4

228 1 233 4

7

1

a) 2 5

b) 2 7

c) 2 2

214

d) 2

2.17 Escribe como potencia y calcula las siguientes races. a) b) 212 3612

c) d)

3

1012 1 101212

3

a) b)

212 36

226

26 33

64 27

c) d)

3

1012 1 1012

10 3 1012 3

104 104

10 000 0,0001

32

3

2.18 Calcula las siguientes potencias. a) 160,5 b) 2560,251

c) 80,333 d) 1000 0000,16661

a) 160,5 b) 2560,25

16 21

164

4 256 4

c) 80,333

83

3

8

216

256 4

d) 1000 0000,1666

1000 000 6

1000 000

10

2.19 Escribe tres radicales equivalentes a cada uno de los siguientes. a) a)4

5 52,6

b) 53,8

3

2 22,9

c) 23,12

5

74 78,15

54

b)

6

24

c)

10

712,

20

716

E j e r c i c i o

r e s u e l t o

2.20 Ordena de menor a mayor:

73,

3

75,

4

75.

Primero se reducen a ndice comn. En este caso, el mnimo comn mltiplo de los ndices es 12. 734 12

7183

3

75

12

720

4

75

12

715

Ordenar las races es ahora sencillo, solo hay que ordenar los radicandos. El orden pedido es el siguiente. 75 73 75

2.21 Ordena los siguientes radicales de menor a mayor. a) a) b)8

213, 213 28

10

217,80

16

22310

b)80

28, 21310

3

100,

4

35

8

2130,

217

2136, 100

16

22312

80

2115

16

22312

8

2174

12

481 890 304,

3

100 000 000,

4

35

14 348 907

35

3

100

28

2.22 Calcula las siguientes operaciones. 2 10 a) 5 b)3

c)5

5 3 2: 5 35 5

27 5 24 27 55

e)

4

33 1 : 4 33 1 : 4

4

317

16 : 2 5

3

2 20 53

d) 20 5 2

f) 5 27 3 55

3

3

2000

a) b)3

10

4

2 c) d)

9

3

e) f)

4

4

317 2000

4

320

35 1 8000 1 20

16 :

3

2

8

2:

24

2 24

5

1 23

3

3

3

2.23 Calcula las siguientes operaciones. a) a)

( (

4

27 ) 27 )

3

b)4

( (

3 23 ) 3 23 )7

7

c) 37 221 33 210 6 c)

3

218 218 26 23

4

3

221

25

4

2

b)

3

E j e r c i c i o

r e s u e l t o

2.24 En las siguientes frmulas, despeja la incgnita indicada. a) E b) V mc 2, despeja c. 4 r 3, despeja r. 3 mc2 E m c2 c 3V r 4 E m 3V 4

a) E

b) V

4 3 r r3 3

3

2.25 En las siguientes frmulas, despeja la incgnita indicada. a) v b) (a a) v b) (a v0 t x)2 v0 t x)2 1 a t 2, despeja a. 2 b2 c2, despeja x. v0 t x)2 c2 1 2(v v0 t) a t2 2 t2 b2 a x c2 a b2 a c2 b2 x

1 a t2 v 2 b2 c2 (a

PA R A

A P L I C A R

2.26 Los lados de un corral miden S, el rea es 2 32 64

2y

32 metros. Puede ser su rea un nmero natural?

8 m2.

3 2.27 La razn de los lados de dos depsitos cbicos de agua es , y los volmenes son 1728 y 4096 metros 4 cbicos, respectivamente. Son semejantes? En caso afirmativo, calcula la razn de sus volmenes y comprala con la de sus lados. El lado del primer depsito mide La razn de sus volmenes es3

1728 27 64

12 metros. El lado del segundo mide3

3

4096

16 metros. La razn es correcta.

1728 4096

3 , el cubo de la razn de sus lados. 4

2.28 El dimetro de un baln, expresado en centmetros, es un nmero natural. Si tiene un volumen de entre 13 y 17 decmetros cbicos, cul es su dimetro? El dimetro se calcula a partir de la frmula del volumen. V 3V 3V 4 3 r r 3 d 2 3 . Como el volumen est entre 4 4 3 13 000 y 17 000 cm3, el dimetro est entre 29,17 y 31,9 cm. Hay dos soluciones posibles, 30 o 31 cm.

2.29 Halla una frmula que permita calcular el volumen de un cubo a partir de su superficie total. Dada la arista a, el volumen del cubo es V La frmula pedida es V a3 S 3 . 6 a3, y su superficie es S 6 a2.

2.30 Un alumno ha calculado los cuadrados de varios nmeros de seis cifras. Ha obtenido los siguientes resultados. a) 5 751 425 457 b) 816 302 041 c) 15 241 383 936 d) 6 195 264 100 e) 999 998 000 001 f) 1 000 468 054 756 Sin usar la calculadora, podras indicar los nmeros en los que es seguro que el alumno se equivoc? Un cuadrado solo puede terminar en 0, 1, 4, 5, 6 9. Por tanto, se equivoc en a). Si el nmero tiene seis cifras, est en el intervalo [105, 106). El cuadrado estar en [1010, 1012), tendr al menos 11 cifras y menos de 13. Por tanto, los nmeros de los apartados a), b) y d) son demasiado pequeos, y el del f) es demasiado grande. Se puede comprobar que los nmeros restantes son correctos: 15 241 383 936 123 4562 y 999 998 000 001 999 9992.

Operaciones con radicalesPA R A E j e r c i c i o r e s u e l t o P R A C T I C A R

2.31 Calcula las races de los siguientes nmeros decimales. a) a) 0,81 0,81 81 100 b) 81 100 0,81 9 10 0,9 c)3

0,125

b) El ndice es par y el radicando es negativo. No tiene races reales. c)3

0,125

3

125 1000

3

1 8

3 3

1 8

1 2

0,5

2.32 Calcula las races de los siguientes nmeros. a) a) 0,0064 0,0064 64 10 000 8 100 0,08 b) b) 0,111 0,111 1 9 1 3 c) 0,333 c) 0,69444 0,69444 25 36 5 6 0,8333

2.33 Extrae fuera de la raz todos los factores posibles. a) a) 23 35 57 28 35 57 24 32 53 3 5 b) b)3

a5 b12 c7 a5 b12 c7 a b4 c2 a2 c

3

2.34 Extrae fuera de la raz todos los factores posibles. a) a)5

26 312 20 5 26 312 520 2 32 545

b) 2 32 b)

4

28 45 83 28 45 834

5

4

28 210 29

4

29

22

4

2

2.35 Introduce los factores dentro de la raz y simplifica. a) 23 354

27

23 34 c) 5 ab3 d) c 2 26 310 274

3

511 2 10 3

b) 35 7

3 72

a3 b3c3 511 2 310 29 312 511 2 53 310 a5b3c3

a) 23 35 b) 35 74

27 3 72

213 310

c) d)

23 34 5 ab3 c 2

3

3

210 32 58

321 76

a3 b3c3

a2b6a3 c 4b3c3

2.36 Realiza las operaciones indicadas. a) a) b)3

a2 a2 23 37

4

a3 a36

6

a512

b) a8 29 32112

4

23 37

6

37 25 7

3

4

a5

a912

12

a10

12

a277

4

a9

4

6

37 25 7

12

314 210 72

12

219 3 72

2.37 Realiza las operaciones indicadas. 23 3 a) 3 2 324 4

x2y7 xy b) 6 11 8 x y 29 33 24 386

3

c)

4

32

5

34

a)

3

23 3 2 32

12

12

25 356

3

b) c)4

x2y7 xy 6 11 8 x y 325

x4y14 x3y3 6 11 8 x y 310 3420

6

y9 x410

34

4

5

314

37

2.38 Realiza las siguientes operaciones. a) 83

5 26

2003

d) e) 20a4

3

24 503

2 18 4 0,024

6 3 72 25 53

3

32

b) 2 5 c) a) 5a2 83

25 80a2

5 8

f) 10 5 23

0,003

5 26

2003

2 2 2 53

10 2 1 23

7 2 3 23

b) 2 5 c) d) e)3

25 80a2 2 18 4

5 8

5

5

5 (2a2 4 2 47 103

5a2 24 503

20a43

a 5 32 2 3 3 23

4a 5 2 23

2a2 5 6 3 6 5 2 1 103

3a) 5 3 2 4 33

6 3 72 25 53

5 2 10

2 5 23

f) 10

0,024

0,003

2 10

3

5

3

3

E j e r c i c i o

r e s u e l t o

2 3 2.39 Racionalizar una fraccin es hallar otra equivalente sin races en el denominador. Racionaliza y 5 5 7 . 5 72 En el primer caso se multiplican el numerador y el denominador por el mismo nmero, la raz cuadrada que aparece en el denominador. 2 3 5 2 2 3 5 25

2 2

2 6 5 225 5

2 6 5 25

6 5

En el segundo, para eliminar la raz de ndice 5 necesitamos conseguir un exponente mltiplo de 5. 75

75

735

73

73

7

73

5

72

7

2

7

75

7

73

2.40 Racionaliza las siguientes fracciones. 3 a) 2 2 b) 5 6 a) 3 2 2 5 6 3 2 2 2 2 6 5 6 3 2 2 6 15 12 c) 7 25 40 d) 4 217 c) 12 7 25 40 4 217 12 22 7 7 25 22 40 23 4 2204 7

2 e) 3 5 29 f) 6 211 12 22 2 40 23 254 4 7 4

6 22 5 23 4

7

e)4

2 36

54

2 3 5 3 5 3 5 296 6

30 15

b)

d)

f)

29 211

2

12

212

219 4

PA R A

A P L I C A R

P r o b l e m a

r e s u e l t o

2.41 El profesor asegura que el nmero

(2

3)(2

3) es entero. Es posible?

Observamos que en el radicando se tiene una suma por una diferencia, por lo que al multiplicar se obtiene lo siguiente. (2 3)(2 3) 22 ( 3)2 4 3 1 1

En efecto, el resultado es un nmero entero. 2.42 Comprueba si el nmero siguiente es un nmero entero:3 3

(4

2 2)(4

2 2).

(4

2 2)(4

2 2)

3

42

(2 2)2

3

16

8

3

8

2

Es un nmero entero. 2.43 Vctor trata de obtener con su calculadora un nmero comprendido entre 1 y 2 partiendo de un nmero inicial y usando repetidamente la tecla veces dicha tecla. 20 4,472 2,114 . Por ejemplo, si comienza con el 20, tiene que pulsar tres 1,454 Cuntas veces tendr que hacerlo si empieza

en el nmero 300? Y empezando en el 1000? Indica la operacin realizada usando una sola raz. Para el nmero 300, necesita 4 pulsaciones. Obtiene Para el nmero 1000, necesita tambin 4 pulsaciones. Obtiene 30016

300. 100016

1000.

2.44 Adivina un nmero a sabiendo que: Su raz cbica es mayor que 4. La raz cbica de su cuadrado es menor que 17. El nmero es un entero mltiplo de 10. El nmero a cumple:3

a a2

4a 17 a2

64 173 a 173 70,09

3

El nmero est en el intervalo (64, 70,09 ]. Como debe ser entero y mltiplo de 10, la solucin es 70.

Logaritmo de un nmeroE j e r c i c i o r e s u e l t o

2.45 Utiliza la definicin y las propiedades de los logaritmos para: a) Reducir a un solo logaritmo y calcular: log 40 b) Calcular log 8 sabiendo que log 2 a) log 40 b) log 8 log 25 log 23

log 25

0,301. 3

log (40 25) 3 log 2

log 1000

3 0,301

0,903

PA R A

A P L I C A R

2.46 Calcula los siguientes logaritmos. a) log 10 000 b) log3 81 a) log 10 000 b) log3 81 log 104 log3 34

c) log2 256 d) log3 243 4 c) log2 256 d) log3 243 log2 28 log3 35

8 5

4

E j e r c i c i o

r e s u e l t o

2.47 Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 0,25 b) log 0,001 a) log2 0,25 b) log 0,001 c) 4 d) 9 22 2 32 3 log2 log 1 4 1 10001

c) log4 2 d) log9 27 log2 1 22 log2 2 1 1032

23

log

log 10

3 1 23 3

1

4 9

4 2 log4 21

log4 4 2 33 921 3

92;

27

92

log9 27

log9 9 2

3 2

2.48 Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 0,125 b) log3 0,333 2 c) log3 54 a) log2 0,125 b) log3 0,333 c) log3 2 54 log3 log2 1 8 1 3 log35

d) log 0,000 01 e) log16 2 f) log64 26

g) log16 64 h) log8 4 i) log4 1 6 log16 ( 16)6 log8 ( 8)24 3 4

2

log2 2

3

31

f) log64 2 13

log64

64

6

log3 1 27

log3 3 1 33 51

g) log16 64 3 h) log8 4 i) log4 2

log16 26 log8 22 log4

log16 16 42

3 2

log3 3

log8 8 3 1 4

2 3

1

d) log 0,00001 e) log16 2 log16

log 104

4

log4 4 4

16

log16 16 4

1 4

E j e r c i c i o

r e s u e l t o

2.49 Conociendo los valores aproximados de log 2 propiedades de los logaritmos. a) log 24 a) log 24 b) log 5 log (23 3) log 10 2 log 23 log 3 1 3 log 2 0,301 log 3 0,699

0,301 y log 3 b) log 5 3 0,301

0,477, calcula los siguientes usando las

0,477

1,38

log 10

log 2

2.50 Calcula los siguientes logaritmos usando los datos del ejercicio resuelto anterior. a) log 36 b) log 64 2 c) log 3 a) log 36 b) log 64 c) log d) log 2 3 9 24 log (22 32) log 26 log 2 log 3 8 log 22 9 d) log 24 e) log 20 f) log 150 log 32 2 log 2 1,806 2 log 3 2 0,301 g) log 75 h) log 0,2 i) log 0,8333 2 0,477 1,556

6 log 2 log 3 log 3

6 0,301 0,176 3 log 2 log 10

0,426 0,301 log 2 2 log 2 1 log 12 1 1,301 2,176 1,875 0,699 1 (2 log 2 log 3) 0,079

e) log 20 f) log 150 g) log 75 h) log 0,2

log (2 10) log log log 3 100 2

log 2 log 3 log 3

log 100 log 100

3 100 4 2 10 log

log 2 5 6 log

log 10 10 12

0,301 log 10

i) log 0,8333

2.51 Emplea la frmula del cambio de base y los datos del ejercicio 49 para calcular los siguientes logaritmos. a) log3 2 b) log2 9 a) log3 2 b) log2 9 c) log3 32 d) log2 10 e) log2 30 f) log8 2 log 2 log 3 log 9 log 2 log 32 log 3 log 10 log 2 log 30 log 2 log 2 log 8 c) log3 32 d) log2 10 0,301 0,477 log 32 log 2 5 log 2 log 3 1 0,301 0,631 2 log 3 log 2 3,155 3,322 4,907 1 3 2 0,477 0,301 3,169 e) log2 30 f) log8 2

log 3 log 10 log 2 log 2 log 23 log 2 3 log 2

2.52 Calcula las siguientes operaciones. a) log3 7 log7 3 b) log3 5 log5 9 log 7 log 3 log 3 log 7 1 log 32 log 3 2 log 3 log 3 2 log7 1 0 log4 1 0 c) log7 (log3 (log2 8)) d) log4 (log2 (log3 (10 log 10)))

a) log3 7 log7 3 b) log3 5 log5 9

log 5 log 9 log 3 log 5 log 10)))

c) log7 (log3 (log2 8)) d) log4 (log2 (log3 (10

log7 (log3 (log2 23))

log7 (log3 3)

log4 (log2 (log39))

log4 (log2 2)

E j e r c i c i o

r e s u e l t o

2.53 Sabiendo los valores de log a

0,5 y log b

0,3, calcula log

3

a2 b . 10

Usando las propiedades de los logaritmos, log3

a2 b 10

1 a2 b log 10 3 log b 1)

1 (log (a2 b) 3 1 (2 log a 3 log b

log 10) 1)

1 (log a2 3

Se sustituyen los valores dados. log3

a2 b 10

1 (2 0,5 3

0,3

1)

1 0,3 3

0,1

a 2.54 Con los datos del ejercicio 53, calcula el logaritmo: log . 100b3 log a 100b31

log

a

log 100b3

log a 2

(log 100

log b3)

1 log a 2

2

3 log b

1 0,5 2

2

3 0,3

2,65

PA R A

A P L I C A R

2.55 Antes de la invencin de las calculadoras se usaban tablas de logaritmos para operar con nmeros grandes. En la tabla figuran algunas potencias de 2. Exponente Valor Exponente Valor Exponente Valor 0 1 5 32 10 1024 1 2 6 64 11 2048 2 4 7 128 12 4096 3 8 8 256 13 8192 4 16 9 512 14 16 384

Como el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores, para calcular 32 64 buscaban sus logaritmos (5 y 6), los sumaban (11) y buscaban en la tabla el nmero correspondiente (2048). Calcula, usando esa tabla, 16 128 y 16 384 : 256. Al 16 y al 128 les corresponden los exponentes 4 y 7. Para hallar el producto, se suman los exponentes (11) y se busca el valor correspondiente, 2048. Al 16 384 y al 256 les corresponden los exponentes 14 y 8. Para hallar el cociente, se restan los exponentes (6) y se busca el valor correspondiente, 64. 2.56 Si log 2 0,301, cunto valdr log 20? Y log 200? Y log 2000? Qu nmero tendr por logaritmo 8,301?

Como 20 2 10, log 20 log 2 log 10 log 2 1 1,301. De la misma forma, log 200 2,301, log 2000 3,301, y as sucesivamente. El nmero 8,301 se descompone como la suma de 8 (log 108) y 0,301 (log 2). Por tanto, 8,301 es el logaritmo de 2 108. 2.57 Halla el valor de x en la siguiente expresin, aplicando las propiedades de los logaritmos. log (x log (x 1)2 6 2 log (x 1) 6 log (x 1) 3x 1)2 1 6 103 1000 x 1000 1 999

2.58 Qu relacin hay entre el logaritmo de un nmero y el de su inverso? log 1 a log 1 log a 0 log a. Son opuestos. 1 log b 21

2.59 Escribe como un nico logaritmo la siguiente expresin: 3 log a 1 log b 21 2

1 a3

5 log c. b 10 c5

3 log a

1

5 log c

log a

3

log b

log 10

log c

5

a3 b 2 10 log c5

log

M AT E M T I C A S

A P L I C A D A SPA R A A P L I C A R

2.60 Calcula la intensidad de los siguientes sonidos. a) Msica a mucha potencia: 6,4 Pa a) Np 20 log 6,4 2 10 110,10 db b) Martillo neumtico: 1,1 Pa b) Np 20 log 1,1 2 10 94,81 db 94,81db

5

5

2.61 Busca informacin sobre la escala de Ritcher. Qu magnitud mide? Mediante qu frmula? Se trata de una escala logartmica? La escala de Richter mide la energa desprendida en un terremoto. La frmula que emplea es M log A 3 log (8 t) 2,92, siendo A la amplitud (en mm) de las ondas tipo S y t el tiempo, en segundos, transcurrido entre la aparicin de ondas tipo P y tipo S. Es por tanto una escala logartmica.

A C T I V I D A D E S

F I N A L E SPA R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

2.62 Escribe en notacin cientfica estas cantidades. a) 0,000 000 007 71 a) 0,000 000 007 71 b) 0,000 041 7,71 105

b) 0,000 0419

c) 992 600 000 000 c) 992 600 000 000 d) 4 840 000 000

d) 4 840 000 000 9,926 1011 4,84 109

4,1 10

2.63 Escribe correctamente en notacin cientfica: a) 887 105 a) 887 105 8,87 107 b) 5785,46 10 b) 5785,46 108 8

c) 0,005 2 1012 5,785 46 105

d) 0,004 10 5,2 109 1010

24

c) 0,0052 1012

d) 0,004 10

24

4 10

27

2.64 En una muestra hay 5,23 total? 5,23 106 2,5 1010

106 bacterias, cada una de las cuales pesa 2,5

gramos. Cul es el peso

1,3075 10 3 gramos.

2.65 Escribe tres races equivalentes a cada uno de los siguientes nmeros. a) a)7

34 3414

b) 5 3821

c) 8 3 523

2

7

312

28

3165

b) 5 27, 3,30 6

53

4

2

54

c) 8 3

4

42

24

3

26

2.66 Ordena de menor a mayor5

32.30

27

30

2426

30

4,4 1012;5

3

330

2 1014,

6

32

30

225

30

3,3 107

El orden es

32

27

3.

2.67 Calcula las siguientes races. a) a) 576 576 26 32 23 3 24 b) b) 0,0081 0,0081 81 10 000 9 100 0,09 c) c) 1,777 1,777 16 9 4 3

2.68 Extrae de la raz todos los factores posibles. a)5

x12y54 z100 x12y54 z1006

23 b) 34 x2y10 z205

6

320 210 56

c)

3

45 64 3 182

a)

5

x2y46

b)

23 343

320 210 56

23 33 2 34 53

32 243

24 3 5 212 3

6

32 243

24 3 5 3

3

3 22

c)

45 64 3 182

210 24 34 3 22 34

24

2.69 Realiza las operaciones indicadas. a)8

2

5

3

6

6

2

9

3

5

a3 a b) 3 2 a24

4

c)

3

4

23

a) b) c)

8

25 364

6

29 3512

215 318 236 32012

24

251 338

a33

a a2

a9a6 a8 238

a7

3

4

23

324

2

2.70 Realiza las operaciones indicadas. a) 75 12 4 8 12 4 8 93

3 3 10 18 3 3 10 18 5 3 5 2 93 0,125 4 27 2 3 8 2 2 4 2 36 93

c) d) 3 3 6 3 17 23

3

25

9

3

8 54 20 0,125

b) 5 2 a) 75

0,222 36

b) 5 2 c) d)3

30 2 9 3 20 4

25

8 54

2 4 20

3

3

4 1 3 2 36 20 4 2 7 2

0,222 36

1 8

2.71 Calcula los siguientes logaritmos. a) log 100 000 a) log 100 000 log 105 5 b) log5 625 b) log5 625 log5 54 4 c) log7 343 c) log7 343 log7 73 3

2.72 Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 0,125 3 b) log4 48 a) log2 0,125 b) log4 3 48 log2 log4 log81 1 8 log2 2 log4 4 1 42 3

c) log81 3 d) log25 5 3 2 d) log25 5 e) log1000 10 f) log1000 100 log25

e) log1000 10 f) log1000 100 253

1 2 1000 1 3 log10003

1 164

log1000

c) log81 3

81

log1000 102

1000 2

2 3

2.73 Expresa estos logaritmos como sumas y diferencias. a) log (25 37)4 a) log (25 37)4 b) log c) log 25

25 34 b) log 76 log (220 328) log 220 log 76 1 log a 4 log 328 20 log 2 4 log 3 28 log 3

c) log

a b

3 76

4

log (25 34)4

5 log 2 1 log b 2

6 log 7

a b

log

a b

2.74 Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 (log 10 000) a) log2 (log 10 000) b) log3 (log2 (10 log2 4 log 0,01)) 2 log3 (log2 (10 2)) log3 (log2 8) log3 3 1 b) log3 (log2 (10 log 0,01))

2.75 Expresa en metros las siguientes medidas usando la notacin cientfica. a) 3 millones de kilmetros b) Una millonsima de milmetro a) b) c) d) 3 millones de kilmetros 3 106 kilmetros 3 Una millonsima de milmetro 10 6 milmetros 26 10 12 hectmetros 26 10 12 102 metros 3 trillones de nanmetros 3 1018 nanmetros c) 26 10 12 hectmetros d) 3 trillones de nanmetros 109 metros 10 9 metros 2,6 10 9 metros 3 1018 10 9 metros

3 109 metros

2.76 El factorial de un nmero se define: n! Por ejemplo: 6! a) 15! a) 15! 1,3 1012; orden 12 b) 25! b) 25! 1,55 1025; orden 25 6 5 4 3 2 1 720 c) 40! c) 40! 8,159 1047; orden 47 Con la ayuda de la calculadora, investiga el orden de magnitud de los siguientes nmeros factoriales. n (n 1) 2 1

2.77 En la siguiente frmula, despeja cada una de las variables que aparecen. x3 1 y2 1 y23 3

z2

1

144424443

x3

1 y2 13

3

z2

1x 1 y y2 1 z y2

3

z2 1 1

1

x3

1 y2

3

z2

1

x3

z2

x 1

3

3

z23

3

z2

1

x3

x3

1 y2

2.78 Cualquier nmero natural se puede expresar como suma de un mximo de cuatro cuadrados perfectos. Esto nos permite representar la raz cuadrada de cualquier nmero usando el teorema de Pitgoras.

1

0

1 2 3 2 3 = 12 + 12 + 12

3

Descompn en suma de cuadrados los siguientes nmeros e indica cmo se representaran sus races cuadradas. a) 41 a) 41 b) 27 c) 31 52 52 52 b) 27 c) 31 41. 2 y 5.

42. Para representar la raz se construye el tringulo rectngulo de catetos 5 y 4. La hipotenusa mide 12 22 12. Se representa primero 12 2, usando dos catetos de longitud 1, y despus se usan como catetos 2, despus 6 y por ltimo 31.

12. Como en el ejemplo anterior, se representa primero

2.79 Cuntas cifras puede tener la raz cuadrada de un nmero de seis cifras? Y la raz cbica? 1036, la raz cuadrada cumple que 316,2 105 x 106 103, y la raz cbica cumple que Como 105 x 3 5 6 46,4 10 x 10 100. Por tanto, la raz cuadrada tiene tres cifras, y la raz cbica tiene dos. 2.80 Considera las frmulas del rea y del volumen de una esfera de radio r y, a partir de ellas: a) Halla una frmula que permita obtener la superficie de una esfera conociendo su volumen. b) Halla la frmula que da la longitud de la circunferencia mxima en funcin del volumen. Las frmulas a utilizar son L a) V 4 3 r 3 (4 r2) 1 r 3 S 2 r, S 4 r2, V 3V r 4 3 r. 3 b) V 4 3 r 3 (2 r) 2 2 r 3 L 2 2 r L 3 3V 2r2

1 rS 3

2.81 Una hoja de papel tiene 0,01 milmetros de grosor. Se dobla ese papel por la mitad, se vuelve a doblar, y as sucesivamente. Utilizando logaritmos, podras indicar cuntos dobleces haran falta para obtener un grosor de 100 metros? Como 100 metros son 100 000 milmetros, se trata de hallar el primer valor natural para el que 0,01 2x el nmero de dobleces. 0,01 2x 100 000 2x 107 log 2x log 107 x 7 log 2 23,25. 100 000, donde x indica

Hay que realizar un mnimo de 24 dobleces.

PA R A

R E F O R Z A R

2.82 Escribe los siguientes nmeros empleando notacin cientfica. a) 0,000 000 000 235 a) 0,000 000 000 235 2,35 1010

b) 5 480 000 000 000 b) 5 480 000 000 000 5,48 1012

2.83 Sin hacer las operaciones, indica el orden de magnitud del resultado. a) (3,5 1015) (1,2 107) b) (2,24 1023 15

d) (2,67 1043) : (1,4 1033) ) e) (5,78 107 21

) (3 10

20 30

) : (2,22 107

25

)

c) (2 10 ) (1,55 10 a) Orden 22 b) Orden

) c) Orden 7

f) (9,93 10 ) : (3,12 10 ) d) Orden 10 e) Orden 4 f) Orden14

35

2.84 Despeja x en cada ecuacin. a) a b) 125 a) a b) 125 x2 x3 a3

c) 42 d) x c) 42 5 d) x3 3

x3 24 x3 x 24 x3

x2 x x3 x

423

125

1 24

2.85 Expresa en forma de potencia de exponente fraccionario y en forma de raz y calcula: a) 320,21

b) 10000,666 32 55

c) 625 1002

25

a) 320,2

32

2

b) 10000,666

1000 3

3

25

1

10002

100

c) 625 100

625 4

4

625

5

2.86 Reduce a ndice comn y ordena de menor a mayor los siguientes radicales.12

27 27180

15

29180

18

213180

12

2105

15

29

2108

18

213

2130

2.87 Calcula las siguientes operaciones. a) 3 2 1 b) 2 a) 3 2 b) 1 2 20 20 7 2 75 7 2 75 4 2 4 45 (3 7 4) 2 5 3 0 2 0 11 5 5 3

4 2 4 45

1 2 5 2

4 3 5

2.88 Expresa como un nico radical: a) 5 6 b) 2 3 7 2 c)3

45 d) 3 e)3

2

4

2

5

3

6

3 5 f) 3 4 52 6 14 63

6

a) 5 6

d) 142 6 e) f)3

45 3 2 33 4

15 26 12

b) 2 3 7 2 c)3

24 236

12

27

5

3

6

30

5

4

33 5 42

2.89 Calcula los siguientes logaritmos. a) log4 256 b) log2 1024 a) log4 256 b) log2 1024 log4 44 log2 210

c) log 10 000 000 d) log37 1 4 10 c) log 10 000 000 d) log37 1 0 log 107 7

2.90 Calcula los siguientes logaritmos. a) log 0,1 b) log5 0,04 a) log 0,1 b) log5 0,04 log 10 log51

3 c) log2 192 d) log2 (0,57) 1 log5 52

c) log2 2

3 192

log2

1 647

log2 2 7

6

6

1 25

d) log2 (0,57)

log2 2

2.91 Calcula los siguientes logaritmos. a) log1 000 000 100 b) log36 6 a) log1 000 000 100 b) log36 6 log36 log1 000 000 36 1 23

c) log4 8 d) log8 4 1 000 000 1 33

c) log4 8 d) log8 4

log4 233

log4 ( 4)3 2 3

log4 4 2

3 2

log8 ( 8)2

PA R A

A M P L I A R

k 2.92 Estudia el mtodo empleado para racionalizar fracciones de la forma . a b 1 a) Comprueba que la fraccin se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador 3 2 por 3 2. 1 b) Comprueba que la fraccin se puede racionalizar multiplicando numerador y denominador 6 2 por 6 2. 1 3 1 6 2 ( 6 2 1 ( 3 2) ( 3 2)( 3 2) 6 2 2)( 6 3 ( 3)2 6 6 2 ( 2)2 2 2 6 4 3 3 2 2 2

a)

3

2

b)

2)

2.93 Racionaliza las siguientes fracciones. 3 a) 7 3 2 b) 3 2 3 7 2 3 2 2 3 5 2 2 2 2 3 ( 7 c) 2 2 3 2 5 8 2 2 3( 7 7 6 3 3) 3 4 2 2(2 3 4 3 2 2) 56 3( 7 4 3)

d)

a)

3( 7 3) 3)( 7

3)

b)

2( 3 2) ( 3 2)( 3 2) 2(2 3 2) (2 3 2)(2 3 5(8 2 2) 2 2)(8 2 2)

6

2

c)

2) 2

2 3 5

2

2) 5(8

d)

8

(8

2.94 Un mago te pide que elijas un nmero de dos cifras y lo eleves al cubo. Cuando le dices el resultado, lo escribe en la pizarra e inmediatamente escribe el nmero original. Cmo lo hace? Copia y completa la tabla, a ver si lo descubres. Una pista: si el cubo es 103 823, el mago se fija en la ltima cifra: 3, e inmediatamente indica la raz cbica, 47.

Halla por este mtodo las siguientes races cbicas. a)3

13 824

b)

3

195 112

c)

3

531 441

a) 24

b) 58

c) 81

El mago averigua la raz cbica en dos pasos. En el primer paso, el mago busca en la cuarta columna de la tabla la ltima cifra del cubo, 3, la columna vecina le proporciona la cifra de las unidades de la raz cbica: 7. En el segundo paso, el mago localiza en la tabla el intervalo al que pertenece el cubo, en el caso de 103 823 est en [64 000, 125 000), as la columna vecina le da la cifra de las decenas de la raz cbica: 4. De este modo, ya tenemos la raz cbica: 47.

PA R A

I N T E R P R E TA R

Y

R E S O LV E R

2.95 Crecimiento de poblaciones Ana y Juan estn estudiando el crecimiento de la poblacin de un cultivo de microorganismos y deben elegir, entre los siguientes modelos matemticos: El modelo A utiliza como dato el aumento de la poblacin en una semana, que es del 84%. El modelo B utiliza el crecimiento de la poblacin en un da. El modelo C considera el crecimiento en una hora. Se denomina P0 la poblacin inicial, y t, el tiempo en semanas, das u horas, segn corresponda. a) Comprueba, dando valores, que la siguiente es la frmula del modelo A: P b) Escribe las frmulas de los modelos B y C. c) Compara los resultados proporcionados por cada modelo para el caso P0 a) En una semana: P En dos semanas: P b) El modelo B: P El modelo C: P P0 1,84 P0 1,8427t

P0 1,84t. 1000 y t 2 semanas.

P0 3,3856

P0 1,09 P0 1,0036168t

c) Los resultados son iguales: Modelo A: P P0 1,84t 1000 1,842 3386,6 Modelo B: P P0 1,097t P0 1,097 2 P0 (1,097)2 P0 1,842 Modelo C: P P0 1,0036168 t P0 1,0036168 2 P0 (1,0036168)2

1000 1,842 3386,6 P0 1,842 1000 1,842

3386,6

2.96 cidos y bases El pH de una disolucin se define como el opuesto del logaritmo decimal de la concentracin de iones hidrgeno expresada en moles/litro: pH log [H ]. Por ejemplo, si la concentracin de iones hidrgeno de una disolucin es [H ] pH log (4 108

4 10 7,4.

8

mol/L:

)

log 4

log 10

8

log 4

8

Si el pH es 7, la disolucin se considera neutra; si es inferior a 7, cida, y si es superior, bsica. Copia y completa la tabla de la ilustracin y ordena las disoluciones de menor a mayor acidez. Disolucin Leja comn Amonaco Agua de mar Agua Leche Vinagre Zumo de limn cido clorhdrico [H ] 1,26 10 7,94 10 10 108 7 7 3 3 13 12

pH 12,9 11,1 8 7 6,5 2,9 2,4 0

3,16 10 1,26 10 4 10 1

A U T O E VA L U A C I N

2.A1 Escribe usando notacin cientfica las siguientes expresiones. a) 24,3 billones b) 47 diezmilsimas a) 2,43 1013 b) 4,7 103

c) 3 220 000 107 d) 45,2 10 c) 3,22 1013 d) 4,52 1026 27

2.A2 Calcula las siguientes operaciones usando notacin cientfica. a) 25 000 000 48 000 000 b) 0,000 000 12 0,000 007 a) 1,2 1015 b) 8,4 1013

c) 42 000 000 0,000 09 d) 3 600 000 : 0,000 004 c) 3,78 103 d) 9 1011

2.A3 Realiza las siguientes operaciones y escribe el resultado como una nica raz. a) 2 3 2 22 3

c)2 5

21 54

3

7

e) f)6 3

3 25 3 25

b) 30,333 32 3

d) 3 :2 3 2 1 3 2 5 13

33 7 23 72 34 :20

a) 2 3 2 2 b) 30,333 32 5

23 3

26 311 15

6

21315

c) 3111 5

24

3

e)20

8

d) 3 :

33

20

315

3

11

120

3

11

f)

6

2.A4 Ordena de menor a mayor los siguientes nmeros. 54,3

3

6

55,12

3

53

5

54

54

12

59

6

55

12

510

2.A5 Realiza las siguientes operaciones cuando sea posible. a) b) a) b)4

4096 12 324 4096 12 3244

c) d) 212 1 27 23 1 3 83

250 000 125 000

3

4

c) No es posible, el radicando es negativo y el ndice, par. d)3

3

3

125 000

3

23 56

2 52

50

2.A6 Realiza las operaciones indicadas. a) 2 32 b)3

5 98 5a 5 98 5a3 3

8 200 8a 1 a3

27a4

1000a7 2 25 5 2 72 3a a3

a) 2 32 b)3

8 200 8a 1 a3

8 23 523

2 22 23

5 7 2

8 2 5 2

123 2

27a4

1000a7

10a a

3 1 10a2 a a

3a a

2.A7 Calcula los siguientes logaritmos. a) log2 512 b) log 100 000 000 a) log2 512 log2 29 9 log 108 8 1 c) log2 8 d) log36 6 c) log2 1 8 log2 log36 1 23 36 log2 2 1 23

3

b) log 100 000 000

d) log36 6

2.A8 Sabiendo que log 2 a) log 16 b) log 40 5 c) log 4 a) log 16 b) log 40 c) log 5 4 log 24

0,301, calcula los siguientes logaritmos.

4 log 2 log 4 log

1,204 log 10 10 2 log 22 2 log 2 log 10 1 1,602 log 2 2 log 2 1 3 log 2 0,097

log (4 10) log 5 log 4

2.A9 Un cubo tiene un volumen de 2 metros cbicos. Calcula su superficie, expresando el resultado mediante radicales. V a3 2a3

2S

6a2

6 22 m2

3

2.A10 Una especie duplica su poblacin cada ao. Si la poblacin inicial era de 100 individuos, cuntos aos pasarn hasta que se supere el milln? Llamando t al nmero de aos, hay que resolver: 100 2t 1 000 000 2t 10 000 log 2t log 10 000 4t 4 log 2 13,28. Pasarn 14 aos.

E N T R E T E N I D O

La matrcula del taxiCuando Ramanujan enferm, Hardy iba a verle al hospital. Un da, le coment que haba llegado en un taxi de matrcula 1729, un nmero que Hardy calific de soso. Ramanujan le contest inmediatamente: Es un nmero muy interesante. Es el nmero ms pequeo que se puede expresar como suma de dos cubos de dos maneras diferentes. Comprueba que Ramanujan tena razn. Cada nmero natural pareca ser amigo personal de Ramanujan. Adems, deba saberse de memoria los cubos de unos cuantos nmeros. Efectivamente: 1729 Otros nmeros que cumplen esto: (9, 15) y (2, 16) (15, 33) y (2, 34) (16, 33) y (9, 34) (19, 24) y (10, 27) Es decir: 93 153 23 163 4104 153 333 23 343 39 312 163 333 93 343 40 033 193 243 103 273 20 683 Ramanujan tena razn 1729 no es un nmero soso. 103 93 1729 123 13