tema mates proporcionalitat_091210
TRANSCRIPT
ADAPTACIÓ CURRICULAR INDIVIDUALITZADA (TEMA 7: PROPORCIONALITAT)
DESTINATARIS
Alumnat nouvingut de llengües romàniques que ha estat menys de dos anys a l'Estat Espanyol que tingui un nivell de competència matemàtica
de 2n d'ESO, i amb nivell de competència lingüística d'un nivell de A.1. assolit.
TEMPORALITZACIÓ OBJECTIUS CONTINGUTS METODOLOGIA AVALUACIÓ
Tres setmanes
(quatre hores per setmana)
Identificar una
proporció i distingir
els seus components.
Esbrinar si dos raons
formen una
proporció.
Emprar la raó de
proporcionalitat en la
resolució de
problemes.
Calcular el terme
desconegut d'una
proporció.
Distingir la
proporcionalitat
directa de la inversa.
Identificar parelles
de magnituds
directament
proporcionals,
conèixer el seu
comportament i
resoldre problemes
Raó de proporcionalitat.
Proporció.
1. Propietats de les
proporcions
Proporcionalitat directa
1. Mètode de
reducció a la
unitat
2. Regla de tres
directa
Proporcionalitat inversa
1. Mètode de
reducció a la
unitat
2. Regla de tres
Es realitzarà una
adaptaci. curricular ,
consistent
fonamentalment en
l’omissió d’alguns
continguts i en la utilització d’una
metodologia
personalitzada al màxim.
Per facilitar la dita
metodologia s’ha
d’elaborar un material
espec.fic en què primen
les activitats
relacionades amb els aspectes b.sics del
curr.culum.
La metodologia utilitzada en les adaptacions
Determinar la raó de
dos nombres en
problemes situats en
l'àmbit de la vida
quotidiana.
Calcular els diferents
elements d'una
proporció i situar-los
en una taula.
Calcular el valor
d'una magnitud
desconeguda a partir
de les propietats de
les proporcions.
Resoldre problemes
de proporcionalitat
tenint en compte les
propietats de les
proporcions.
Calcular quarts i
mitjans
proporcionals.
Distingir i calcular
de proporcionalitat
directa.
Distingir parelles de
magnituds
inversament
proporcionals,
conèixer el seu
comportament i
resoldre problemes
de proporcionalitat
inversa.
Operar utilitzant els
mètodes de reducció
a la unitat i la regla
de tres.
Comprendre el
concepte de
percentatge.
Identificar cada un
dels elements d'un
percentatge.
Aplicar la regla de
tres simple.
Calcular
percentatges de
nombres daus i
resoldre problemes
amb percentatges.
Identificar l'ús dels
percentatges en
importants àmbits de
la vida quotidiana.
Utilitzar la
proporcionalitat
inversa
Proporcionalitat
composta
Percentatges
1. Definició de
percentatge o tant
per cent
2. Problemes de
percentatges
Augments percentuals
Disminucions
percentuals
Repartiments
proporcionals
curriculars de l’ﾁ rea de
Matem.tiques en el
primer cicle de
l’ESO es basa
fonamentalment en
aquests tres punts:
a) Reducció d’alguns continguts curriculars.
b) Explicació te.rica seguida d’algunes
activitats pr.pies dels
conceptes desenrotllats.
c) Gran quantitat
d’activitats variades:
completar, comprovar,
jocs, etc.
Tot això fa que l’alumne estiga més motivat,
tingui una actitud m.s
favorable cap a les
Matem.tiques i,
sobretot, vaja aprenent per si sol per mitjà de la
realització d’activitats
propostes i dirigides.
fraccions de
proporcionalitat
inversa.
Aplicar la regla de
tres (directa o
inversa) en la
resolució de
diferents problemes
de la vida
quotidiana.
Completar taules que
segueixen la mateixa
raó de
proporcionalitat.
Calcular
percentatges d'una
quantitat donada.
Resoldre problemes
reals on apareguin
percentatges.
Resoldre problemes
de proporcionalitat
composta.
Calcular augments i
disminucions
percentuals, tant en
quantitats ja donades
com en problemes
relacionats amb
l'àmbit quotidià.
Valora l'ús dels
percentatges en
problemes aritmètics
composta en la
resolució de
problemes.
Resoldre problemes
de repartiments
proporcionals.
en l'àmbit de la vida
quotidiana:
repartiments
proporcionals,
mescles i mòbils.
GLOSSARI DE TERMES
proporcionalitat
concepte
fracció
equivalents
decimal
numerador
denominador
raó
quocient
igual
igualtat
divisió
opera
demostra
relació
terme
condició
troba
magnitud
directament
inversament
proporcional
resultat
imagina
augmenta
disminueix
velocitat
temps
recorregut
atleta
procediment
percentatge
descompte
ACTIVITATS DE MOTIVACIÓ
Contínuament veiem ofertes en supermercats i botigues que intenten atraure l'atenció del consumidor:
• Emporti-se'n 3 i pagui 2.
• La segona unitat a meitat de preu.
• . . .
En aquesta unitat obtindràs els coneixements necessaris per saber la que més t'interessa.
Per exemple, què vol dir que en una botiga et fan una rebaixa del 50%?
ACTIVITATS D'INICIACIÓ I CONEIXEMENTS PREVIS
Primer hem de recordar uns conceptes:
1.- El que són les fraccions equivalents:
Dues fraccions són equivalents (valen el mateix) si representen el mateix nombre decimal.
Per exemple: 2
1 val el mateix que
4
2, perquè si en cada cas facem la divisió del numerador pel seu denominador ens donarà el mateix resultat: 0,5.
Per a què dues fraccions siguin equivalents (b
a =
d
c) es necessari que es compleixi la següent condició: a · d = b · c
Per exemple: 2
1=
4
2 → 1 · 4 = 2 · 2 → 4 = 4
2.- El que és la raó:
La raó és el quocient indicat (és la divisió) entre dos nombres.
Per exemple, imagina un jugador de bàsquet que de cada sis tirs lliures encerta quatre. La seva raó seria 6
4.
3.- El que és la proporció:
La proporció és la igualtat entre dues raons.
Per exemple: en Javi encerta quatre de cada sis tirs lliures i en Mohamed encerta sis de cada nou. Quin dels dos és el millor?
La raó d’en Javi és 6
4 i la raó d’en Mohamed és
9
6. Si facem les divisions, ens surt que tots dos donen 0,666.... Per tant,
6
4 i
9
6són iguals. En Javi i
en Mohamed són igual de bons al bàsquet.
4.- El que és la constant de proporcionalitat:
La constant de proporcionalitat és el quocient (resultat de la divisió) de qualsevol de les raons que intervenen en una proporció. Ja l’hem vist a l’apartat
3:
6
4 =
9
6 = 0,666...
Exercici:
A en Javi i en Mohamed els agrada jugar a bàsquet. En Javi encerta 1 de cada 3 tirs lliures i en Mohamed n’encerta 2 de cada 6. Quin dels dos és millor?
Opera així:
1r: escriu la raó d’en Javi i d’en Mohamed.
2n: aquestes raons són equivalents? Demostra-ho.
3r: si les raons són equivalents (són iguals), es pot dir que hi ha proporció entre ells?
_________________________________________________________________________________
Idò, ja podem començar amb el tema 7......
ACTIVITATS DE DESENVOLUPAMENT
1.- RELACIONS ENTRE ELS TERMES D’UNA PROPORCIÓ
Ja hem vist el que són les fraccions equivalents. Per a què dues fraccions siguin equivalents (b
a =
d
c) es necessari que es compleixi la següent condició:
a · d = b · c Això pot ser molt útil quan no coneixem el que val la a, la b, la c o la d.
Per exemple: 2
x=
4
2; no sabem què val la x, però després de veure el tema 6 (Equacions i sistemes d’equacions) sabem que això és una equació i, a
més a més, la sabem resoldre:
2
x=
4
2 → x =
4
22 → x =
4
4 → x = 1
Exercicis:
1.- Troba el que val la x: 5
x=
10
4
2.- Troba el que val la x: 5
1=
x
8
3.- Troba el que val la x: 4
2=
10
x
2.- MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS I MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS
Imagina els següents casos:
1.- Un nin beu 1 litre de llet cada dia. Quants litres de llet beurà a la setmana?
És evident que quants més dies passin, més llet haurà begut el nin. En aquest cas el resultat es pot fer de cap; després d’una setmana el nin haurà begut
7 litres de llet.
En aquest cas, podem dir que les magnituds són directament proporcionals perquè a més dies, més llet (i, igualment, a menys dies, menys llet).
2.- Un pintor triga 6 dies en pintar una casa. Quants dies trigaran 2 pintors?
És evident que quants més pintors hi hagi per a fer la mateix feina, menys dies trigaran en acabar-la.
En aquest cas el resultat es pot fer de cap; si un pintor tarda 6 dies, dos pintors tardaran la meitat, és a dir, 3 dies.
En aquest cas, podem dir que les magnituds són inversament proporcionals perquè a més pintors, menys dies (i, igualment, a menys pintors, més
dies).
Resumint:
- En les magnituds directament proporcionals si s’augmenta o es disminueix una magnitud, l’altra magnitud augmenta o disminueix en la mateixa
proporció.
- En les magnituds inversament proporcionals si s’augmenta o es disminueix una magnitud, l’altra magnitud disminueix o augmenta en la mateixa
proporció.
Exercici:
Digues si les següents magnituds són directament proporcionals o inversament proporcionals:
- El nombre de dónuts que un client d’un bar es menja i els euros que paga.
- El nombre de pintors contractats i el temps que tardaran en pintar una casa.
- La velocitat d’un atleta i el temps que tardarà en acabar un recorregut.
3.- LA REGLA DE TRES DIRECTA I LA REGLA DE TRES INVERSA
La regla de tres directa:
La regla de tres directa és un procediment per a resoldre problemes amb magnituds directament proporcionals.
Per exemple: si de dilluns a divendres, en Joan es menja un dónut cada dia, quants s’haurà menjat al cap d’una setmana.?
Es resol així:
1r pas: hem de veure si es tracte de magnituds directament o inversament proporcionals. Veiem que és tracta de ma gnituds directament proporcionals
perquè a més dies, més dónuts.
2n pas: hem de plantejar la regla de tres.
3r pas: hem de plantejar la proporció i resoldre la regla de tres.
Com que són magnituds directament proporcionals s’estableix la proporció següent: dies
dia
5
1=
xdónuts
dónut1 → 1 dia · x dónuts = 5 dies · 1 dónut
→ x dónuts = dia
dónutdies
1
15 = 5 dónuts
Amb la qual cosa, en 5 dies s’haurà menjat 5 dónuts.
La regla de tres inversa:
Si en un dia es menja un dónut 1 dia → 1 dónut
En 5 dies es menjarà x dónuts 5 dies → x dónuts
La regla de tres inversa és un procediment per a resoldre problemes amb magnituds inversament proporcionals.
Per exemple: si un pintor triga 6 dies en pintar un bloc de pisos, quants dies trigaran 2 pintors?
Es resol així:
1r pas: hem de veure si es tracte de magnituds directament o inversament proporcionals. Veiem que és tracta de magnituds inversamen t proporcionals
perquè a més pintors, menys dies.
2n pas: hem de plantejar la regla de tres.
3r pas: hem de plantejar la proporció i resoldre la regla de tres.
Com que són magnituds inversament proporcionals s’estableix la proporció següent: 1 pintor · 6 dies = 2 pintors · x dies → x dies =
pitors
pitordies
2
16 = 3 dies
Amb la qual cosa, 2 pintors trigaran 3 dies.
Exercicis:
1.- Si un nen beu 2 litres de llet al dia, quants litres beurà a la setmana?
Si un pintor triga 6 dies 1 pintor → 6 dies
2 pintors trigaran x dies 2 pintors → x dies
2.- Si el preu de 5 fotocòpies és 0,75€, quin és el preu de 500 fotocòpies?
3.- A 100km/h, un cotxe triga 2 hores en fer un trajecte. A quina velocitat aniria el cotxe si fa el trajecte en 3 hores?
4.- Tres aixetes iguals tarden 15 hores en omplir un dipòsit d’aigua. Quant de temps trigarien a omplir el mateix dipòsit d ues aixetes?
4.- PERCENTATGES (%)
Segur que et sonen els percentatges. Per exemple, a qualsevol diari es podria llegir “el partit polític de l’oposició ha obtingut el 42% (percent) dels vots,
mentre que el partit governant només ha obtingut el 39%....”. Aquí, un tant per cent és una raó de denominador 100. Per exemple, el 39% es pot
representar com 100
39.
Les regles de tres també ens serveixen per a calcular percentatges. Veiem un exemple:
Si a un centre comercial s’aplica una rebaixa del 25% als articles de papereria i un quadern val 12€ abans del descompte, quin és el preu del q uadern
amb la rebaixa?
1r pas: això el podem plantejar com a una regla de tres directa:
2n pas: hem de plantejar la proporció i resoldre la regla de tres.
Si el 100% del preu són 12€ 100% → 12€
El 75% del preu serà x 75% → x €
%75
%100 =
xeuros
euros12 → x € =
%100
%7512 euros = 9 €
Amb la qual cosa, amb una rebaixa del 25%, només pagarem 9 €.
Exercicis:
1.- Si només tres de cada cinc alumnes de la teva classe aprovaran matemàtiques, quin serà el percentatge d’aprovats?
2.- Si el preu d’una bicicleta és 300€ i té un descompte del 10%, quant pagarem finalment?
ACTIVITATS DE SÍNTESI
http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas_cat/2quincena4/index2_4.htm
ACTIVITATS D'AVALUACIÓ
Exercici 1. A en Javi i en Mohamed els agrada jugar a bàsquet. En Javi encerta 4 de cada 6 tirs lliures i en Mohamed n’encerta 6 de cada 9. Quin dels
dos és millor? Opera així:
1r: escriu la raó d’en Javi i d’en Mohamed.
2n: aquestes raons són equivalents? Demostra-ho.
3r: si les raons són equivalents (són iguals), es pot dir que hi ha proporció entre ells?
(3 punts)
Exercici 2. Digues si les següents magnituds són directament proporcionals o inversament proporcionals:
- El nombre de donuts que un client d’un bar es menja i els euros que paga.
- El nombre de pintors contractats i el temps que tardaran en pintar una casa.
- La velocitat d’un atleta i el temps que tardarà en acabar un recorregut.
- La distància que recor un cotxe (a velocitat constant) i el consum de benzina.
- Les hores extres que fa un treballador i els sous que guanyarà a final de mes.
(1 punt)
Exercici 3. Si un nen beu 2 litres de llet al dia, quants litres beurà a la setmana?
(1 punt)
Exercici 4. Si el preu de 5 fotocòpies és 0,75€, quin és el preu de 500 fotocòpies?
(1 punt)
Exercici 5. A 100km/h, un cotxe triga 2 hores en fer un trajecte. A quina velocitat aniria el cotxe si fa el trajecte en 3 hores?
(1 punt)
Exercici 6. Tres aixetes iguals tarden 15 hores en omplir un dipòsit d’aigua. Quant de temps trigarien a omplir el mateix dipòsit dues a ixetes?
(1 punt)
Exercici 7. Si només tres de cada cinc alumnes de la teva classe aprovaran aquest examen de matemàtiques, quin serà el percentatge d’aprovats?
(1 punt)
Exercici 8. Si el preu d’una bicicleta és 300€ i té un decompte del 10%, quant pagarem finalment?
(1 punt)
NOTA: No es pot utilitzar calculadora. La duració de l’examen és de 55 minuts.