tema: la integral definida calculo ii semana 1

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS ®UPN

TEMA: LA INTEGRAL DEFINIDA

CURSO: CALCULO II

SEMANA: 1

LA INTEGRAL DEFINIDA

INTRODUCCIÓN:

Así como la derivada es motivada por el problema geométrico de construir una tangente a una curva, el problema histórico que conduce a la definición de integral definida es el problema de encontrar un área.

En específico, tenemos interés en la siguiente versión de este problema: Suponga que un agente de bienes y raíces desea evaluar una parcela sin construir, que tiene 100 pies de

ancho y que está limitada por calles en tres de sus lados y por un arroyo en el cuarto lado. El agente

determina que si establece un sistema de coordenadas, tal como se muestra en la figura 1, y que el arroyo

se puede escribir por medio de la curva 13 xy , donde 𝑥 e 𝑦 están medidas en cientos de pies. ¿cómo

puede el agente determinar el área de la parcela?

El objetivo de esta parte es demostrar que se puede expresar el área bajo la curva como el límite de una

suma de términos, que recibe el nombre de integral definida. Más adelante, se introducirá un resultado

y (100pies)

13 xy

1

x (100 pies)

0 1

Figura 1: Determinación del valor de la tierra encontrando el área bajo la curva.

Arroyo


conocido como el teorema fundamental de cálculo que permite calcular integrales indefinidas y después

áreas y otras cantidades empleando los métodos de la integración indefinida (antiderivada) que se

estudiaron en el temas anteriores.

ÁREA BAJO UNA CURVA

Sea f una función no negativa ( ( ) 0f x ) sobre [a; b]. Definimos la región:

S = {(x; y) / x[a; b], y [0; f(x)]} denominada la región de f desde “a” hasta “b”.

Interpretación Geométrica De Integral Definida:

Partamos subdividiendo S en n franjas 1S , 2S ….. nS de igual ancho como en la figura

El ancho del intervalo [a,b] es b-a, por lo tanto el ancho de cada una de las n franjas es

n

abx

Estas franjas dividen al intervalo ba, en n subintervalos


nn xxxxxxxx , ,,, ,, ,, 1322110

Donde ax 0 y bxn . Los puntos finales del lado derecho de los subintervalos son:

,3 ,2 , 321 xaxxaxxax

Aproximemos la i franja iS por un rectángulo de ancho x y altura )( ixf , el cual es el valor de f en el

punto final del lado derecho.

Entonces el área del “i” rectángulo es xxf i )( . Lo que creemos intuitivamente, como el área de S es la

suma de las áreas de estos rectángulos, el cual es

1 2( ) ( ) ( )n nR f x x f x x f x x L

Las siguientes figuran muestran esta aproximación para n=2, 4, 8 y 12. Note que esta aproximación parece

llegar a ser mejor y cada vez mejor conforme el número de franjas se incremente es decir, cuando n.


Por consiguiente, definimos el área de la región S en la siguiente forma:

DEFINICIÓN DE INTEGRAL DEFINIDA

Si f está definida en el intervalo cerrado ba, y existe el límite

Entonces f es integrable en ba, y el límite se denota

1

lim ( ) ( )

bn

in

i a

f x x f x dx

Este límite se llama la integral definida de f entre a y b.

Donde:

➢ )(xf : función integrable (integrando)

➢ a, b: límites de integración

➢ : Símbolo de integración

Definición: El área A de la región S que se encuentra debajo de la gráfica de la función continua

f es el límite de la suma de las áreas aproximadamente rectangulares:

1 2

1

lim lim ( ) ( ) ( )

lim ( )

n nn n

n

in

i

A R f x x f x x f x x

f x x

L

1

lim lim ( )n

n in n

i

R f x x


➢ 𝑥: variable de integración

LA INTEGRAL DEFINIDA COMO ÁREA DE UNA REGIÓN

Si 𝑓 es continúa en el intervalo cerrado ba, y 𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 en el intervalo, el área de la región

limitada por la gráfica de 𝑓, el eje 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 viene dado por:

( )b

aA f x dx

Nota:

1. La integral definida no es otra cosa que un número real y puede representar o no un área.

2. Cuando el área está bajo el eje 𝑥, la integral definida tiene signo negativo.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO (TFC)

Si 𝑓(𝑥) es una función continua en el intervalo 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 , entonces

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)

𝑏

𝑎

Donde 𝐹(𝑥) es cualquier antiderivada de 𝑓(𝑥) en 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏.

Al final de esta sección se verá un caso especial del teorema fundamental del cálculo. Cuando se aplica el

teorema fundamental, se emplea la notación

b

aF(x) F(b) F(a)

Entonces,

b

b

aa

f(x)dx F(x) F(b) F(a)

Ejemplo 1: Calcular

3

2

1

3x x 6 dx


Solución:Una antiderivada de 23x x 6 es

23 x

F(x) x 6x2

. Entonces:

33 2

2 3

1 1

2333

x3x x 6 dx x 6x

2

133 6 3 1 6 1 48

2 2

Ejemplo 2: Evalúe

4

1

21dxx

x

Solución:

Una antiderivada de 21)( x

xxf es 3

3

1ln)( xxxF , por tanto se tiene

6137.19214ln

)1(3

11ln)4(

3

14ln

3

1ln

1

33

4

1

3

4

1

2

xxdxx

x

Ejemplo 3:

Calcular

1

2 33

1 1dx

x x

Solución:Una antiderivada de 2 3

1 1

x x es

2

1 1F(x)

x 2x. Entonces:

11

2 3 233

1 1 1 1 1 1 1 10dx 1

x 2 3 8 9x x 2x

Ejemplo 4:

Calcular

10

6

1dx

x 2

Solución:Una antiderivada de

1

x 2es F(x) ln x 2 . Entonces:

10

10

66

1dx ln x 2 ln(12) ln(4) ln(3)

x 2

Ejemplo 5:


Calcular 2

2 3

0

x x 1 dx

Solución:

En esta integral haremos un cambio de variable: Consideremos 3w x 1 , entonces:

2dw 3x dx

2

dw dx

3x

Cuando se hace un cambio de variable o una sustitución adecuada es recomendable cambiar los límites de

integración para facilitar los cálculos. Entonces:

a. Para x 0 tenemos 3w 0 1 1 .

b. Para x 3 tenemos 3w 2 1 9 .

Por tanto:

92 9 2 2 22 3

0 1 1

w 1 w 9 1 40x x 1 dx dw

3 3 2 6 6 3

Reglas de Integración:

La siguiente lista de reglas se puede emplear para simplificar el cálculo de integrales definidas.

Reglas de Integrales definidas

Sean f y g cualesquiera funciones continuas en bxa . Entonces,

1. Regla del factor constante

b

a

b

a

dxxfkdxxkf )()(

para k constante.

2. Regla de la suma

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

3. Regla de la diferencia

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

4. 0)( a

a

dxxf

5.

b

a

a

b

dxxfdxxf )()(

6. Regla aditiva de la integral definida

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(


Ejemplo 1: Calcule

1

0

32 18 dxxx

Solución:

El integrando es un producto en el que uno de los factores, x8 , es un múltiplo de la derivada de la expresión

12 x , que aparece en el otro factor. Esto sugiere que se introduzca 12 xu . Entonces, xdxdu 2 , y

por tanto 433

2 418 uduudxxx

Los límites de integración, 0 y 1, se refieren a la variable x y no a u. Por tanto, se puede proceder en una de

las dos formas. Se puede reescribir la antiderivada en términos de x, o bien se puede determinar los valores

de u que corresponden a x=0 y x=1.

Si se elige la primera alternativa, se obtiene que

4243

2 118 xudxxx

Y por tanto 15116)1(182

1

42

1

0

32 xdxxx

Si se elige la segunda alternativa, se debe tener en cuenta el hecho de que 12 xu para calcular que u=1

cuando x=0, y u=2 cuando x=1. Por consiguiente,

151164182

1

4

2

1

3

1

0

32 uduudxxx

Ejemplo 2:

Evalúe

2

41

)ln(dx

x

x

Solución:

Sea )ln( xu , por tanto dxx

du1

. Entonces

22 ln2

1

2

1

1ln

ln

xu

ududxx

xdxx

x

Entonces,


721.02ln2

3

4

1ln

2

12ln

2

1ln

2

1ln

2

2

2

2

41

22

41

xdx

x

x

Ejemplo 3: Calcular

9

4

xdx

x 1

Solución:

En esta integral haremos un cambio de variable: Consideremos w x , entonces:

2w x 2wdw=dx

Teniendo en cuenta este cambio de variable, procedemos a cambiar los límites de integración:

a. Para x 9 tenemos w 3 .

b. Para x 4 tenemos w 2 .

Por lo tanto:

9 3 3 2

4 2 2

3 3 32

2 2 2

32

2

x w wdx 2wdw 2 dw

w 1 w 1x 1

w 1 1 12 dw 2 w 1 dw dw

w 1 w 1

w 9 42 w ln w 1 2 3 ln(2) 2 ln(1)

2 2 2

7 2ln(2)

SIMETRÍA:

El siguiente teorema permite simplificar el cálculo de integrales de funciones que poseen propiedades de

simetrías.

Teorema:

Si f(x) es continua en a;a .

a) Si f(x) es par, es decir f( x) f(x) , entonces

a a

a 0

f(x)dx 2 f(x)dx .


b) Si f(x) es impar, es decir f( x) f(x) , entonces

a

a

f(x)dx 0 .

Ejemplo 1:

Calcular

2

6

2

x 1 dx

Solución:

Como la función 6

f(x) x 1 satisface f( x) f(x) (es una función par) tenemos que:

2 2

6 6

2 0

27

0

x 1 dx 2 x 1 dx

x2 x

7

128 2842 2

7 7

Ejemplo 2: Calcular

1

3

1

x dx

Solución:

Como la función 3

f(x) x satisface f( x) f(x) (es una función impar) tenemos que:


1 41 4 43

1 1

1x 1x dx 0

4 4 4

Ejemplo 3: Calcular

4

2

4

x x 6 dx

Solución:

En el cálculo de las integrales con un valor absoluto se debe determinar el signo de la expresión dentro de

las barrar mediante el criterio del punto crítico, es decir:

Para 2x x 6 tenemos:

2x x 6 (x 3)(x 2) . Igualando a cero, obtenemos que los puntos críticos

son x 3 x 2 . Colocando estos puntos en la recta numérica tenemos:

+ _ +

-3 2

Como 4;4 4; 3 3;2 2;4 entonces la integral se trabaja sobre cada intervalo, es decir:

4 3 2 42 2 2 2

4 4 3 2

3 2 42 2 2

4 3 2

3 2 43 2 3 2 3 2

4 3 2

x x 6 dx x x 6 dx x x 6 dx x x 6 dx

x x 6 dx x x 6 dx x x 6 dx

x x x x x x6x 6x 6x

3 2 3 2 3 2

9 64 89 18 8 24 2 1

3 3 3

92 9 18

2

64 8 8 24 2 12

3 3

64 9 8 9 5623 19 6

3 2 3 2 3

109

3

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO: SEGUNDA FORMA

Sea f un función continua en a;b . La función g definida por:

x

a

g(x) f(t)dt; a x b


es continua en a;b ; derivable en a;b y

g'(x) f(x)

Consecuencia:

Si f es continua en a;b , g y h son diferenciables en a;b se tiene:

1) ¡

g(x)

a

df(t)dt f g(x) g'(x) x

dx;

2) ¡

g(x)

h(x)

df(t)dt f g(x) g'(x) f h(x) h'(x) x

dx

Ejemplos:

1. Hallar la derivada de la función x

2

0

g(x) t 1 t dt

Solución:

Como 2f(t) t 1 t es continua, entonces por el teorema

2g'(x) x 1 x

2. x

1

dtan(t)dt tan(x)

dx

3.

3x3 3 2 3

1

d dsec(t)dt sec x x 3x sec x

dx dx

4. sin(x)

1

dcos t dt cos sinx cosx

dx

5.

2x34

3x

Si F(x) 1 y dy , hallar F'(x)

Solución:

Consideremos una constante k que se encuentra entre la funciones 2 3

x y x . Entonces:

2 2x k x

3 3 34 4 4

3 3 kx x

3 2x x

3 34 4

k k

1 y dy 1 y dy 1 y dy

1 y dy 1 y dy

Derivando tenemos:

4 42 9 6F'(x) 3x 1 x 2x 1 x

TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES:


Si f es una función contínua en el intervalo cerrado [a, b] entonces existe un número c en [a, b] tal que:

1( ) ( )

b

a

f c f x dxb a

Donde:

𝑓(𝑐) es el valor medio de 𝑓 en [a,b]

Geométricamente: Existe un 𝑐 el intervalo cerrado [a, b], de tal manera que el área bajo la curva 𝑓(𝑥)

coincide con el área del rectángulo de base 𝑏 − 𝑎 y altura 𝑓(𝑐).

Es decir: (𝑏 − 𝑎). 𝑓(𝑐) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

Ejemplo 1:

Determinar el valor medio de 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 en intervalo [1; 4].

Solución:

El valor medio está dado por

𝑉. 𝑀 =1

𝑏 − 𝑎∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑎

=1

4−1∫ (3𝑥2 − 2𝑥)𝑑𝑥

4

1

=1

3[𝑥3 − 𝑥2] 4

1=

48

3= 16

VARIACIÓN TOTAL:

En ciertas aplicaciones se da la tasa de cambio )(' xQ de una magnitud )(xQ y se requiere calcular la

variación total ( ) ( )Q b Q a en cuando x varia de ax a bx . Sin embargo, como )(xQ es una

antiderivada de )(' xQ , el teorema fundamental del cálculo permite calcular la variación total según la

fórmula de la integración definida.


Variación Total:

Si )(' xQ es continua en el intervalo bxa , entonces la variación total de )(xQ cuando x varía de

ax a bx está dado por

b

a

dxxQaQbQ )(')()(

Ejemplo 1:

En cierta fábrica, el costo marginal es 243 q dólares por unidad cuando el nivel de producción es q

unidades. ¿En cuánto se incrementa el costo total de manufactura si el nivel de producción se aumenta de

6 a 10 unidades?

Solución:

Sea )(qC el costo total de producción de q unidades. Entonces el costo marginal es la derivada

243 q

dq

dC , y el incremento del costo si la producción se aumenta de 6 a 10 unidades está dado por

la integral definida

208$

46410

443

)6()10(

33

10

6

310

6

2

10

6

qdqq

dqdq

dCCC

Ejemplo 2:

Una proteína con masa m (gramos) se desintegra en aminoácidos a una tasa dada por

hg

tdt

dm

3

302

¿Cuál es la variación total de la masa de la proteína durante las 2 primeras horas?

Solución:

La variación total está dada por la integral definida

2

0

2

2

0)30(

30)0()2( dt

tdt

dt

dmmm

Si se sustituye dtdutu ,3 y se cambian los límites de integración apropiadamente ( 0t se

convierte en 3u y 2t se convierte en 5u ), se encuentra que


4

3

1

5

130

130

30)30(

30)0()2(

5

3

1

5

3

2

2

0

2

u

duudtt

mm

Entonces, la masa de la proteína tiene una variación total de 4 gramos durante las 2 primeras horas.

TEMA: INTEGRAL DEFINIDA

CURSO: CÁLCULO 2

SEMANA: 1

HOJA DE TRABAJO CONOCIMIENTO Y COMPRENSIÓN

1. Dadas las integrales, formula la regla de integración directa.

a) ∫ 𝑥3𝑑𝑥3

0

b) ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥𝜋

20

c) ∫ 𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑑𝑥2

−2

d) ∫𝑑𝑥

𝑥−6

2

0

2. Dadas las integrales, formula la regla de integración directa.

a) ∫2𝑥

𝑥2+3𝑑𝑥

3

1

b) ∫ cos(2𝑥) 𝑑𝑥2

1

c) ∫ 𝑒5𝑡 𝑑𝑡5

2

d) ∫5

𝑥−1/2 𝑑𝑥4

0

APLICACIÓN Y ANÁLISIS

3. Calcular las siguientes integrales usando el método de integración directa.

a) 1

5 3

0

(5 8 10) x x dx b) 1

2 3

0

(7e 4 100) x x dx

4. Calcular las siguientes integrales usando el método de cambio de variable.

a) 3

2 3

1

( 1)

xdx

x b)

2e

e

1

ln( )dx

x x

5. Calcular las siguientes integrales usando el método de integración por partes.


a) e

1

ln( ) x dx b) /2

0

cos( ) x x dx

6. Calcular la siguiente integral usando el método de sustitución trigonométrica.

a) 4

21

3

9

dt

t t b)

3

2 2

1

10

( 1)dx

x

7. Calcule el valor promedio de la función dada en el intervalo indicado

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1; 𝑥 ∈ [1; 5]

b) 2( ) 8 7 , 0 1f t t t en t

c) 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋

d) 𝑔(𝑥) = 𝑒3𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3

8. Calcular las siguientes integrales usando el criterio de función par o impar.

a) 2cos ( )x dx

b) /3

7

/3

tan ( )x dx

SÍNTESIS / EVALUACIÓN

9. CONTAMINACIÓN DEL AIRE: Un estudio ambiental de cierta comunidad sugiere que dentro de t

años el nivel L(t) de monóxido de carbono en el aire cambiará a una tasa de L'(t) 0.1t 0.1

partes por millón (ppm) al año. ¿En cuánto cambiará el nivel de contaminación durante los

próximos 3 años?

10. ESPECIES EN PELIGRO DE EXTINCIÓN: Un estudio conducido por un grupo ambientalista en el año

2000 determina que dentro de t años, la población de cierta especie de ave en peligro de extinción

disminuirá a una tasa de P'(t) 0.75t 10 0.2t individuos por año. ¿En cuánto se espera que

cambie la población durante la década 2000-2010?

11. DISTANCIA Y VELOCIDAD: Un conductor viajando a una velocidad constante de 45mph, decide

acelerar de tal forma que su velocidad t horas después es v(t) 32t 80pies s . ¿Cuánto

recorre en las primeras 2 horas?

12. Una partícula se mueve a lo largo de una recta de modo que su velocidad en el instante t es

2

v(t) t t (medida en metros por segundo).

a) Halle la distancia recorrida durante el periodo 1 t 4

b) Calcule la distancia promedio recorrida en el periodo 1 t 4 .


REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CÓDIGO UPN AUTOR TÍTULO 515.15 SWOK SWOKOWSKI, EARL Cálculo Con Geometría Analítica.

515 STEW/P 2007 STEWART, JAMES Cálculo De Una Variable: Transcendentes

Tempranas

515.15/LARS LARSON, RON Cálculo

tema: la integral definida calculo ii semana 1

Documents