tema funciones 1.2

Ejemplo

si x < 0

si 0 x 2

si x > 2

y = x 2 − 4x + 1 = (x − 2) 2 − 3 y + 3 = (x − 2) 2 V(2,−3) f

Operaciones con funciones

Las funciones las podemos sumar, restar, multiplicar por escalar, multiplicar y dividir:

Si f, g son funciones:(f + g)(x) = f(x) + g(x), Df + g = Df Dg

(f − g)(x) = f(x) − g(x), Df − g = Df Dg

(kf)(x) = k[f(x)], k IR , Dkf = Df (fg)(x) = f(x)g(x), Df g = Df Dg

,

EjemploSean f(x) = x2 + 1, g(x) = Halla:

1. Df y Dg 2. f + g 3. 2g 4. fg 5.

y sus respectivos dominios.

1. y = x2 + 1 Df = IR y = x − 1 0 x 1 Dg = [1,)

2. (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 + 1 + , Df + g = IR [1,) = [1,)

3. (2g) (x) = 2g(x) = 2 , D2g = [1,)

4. (fg)(x) = f(x)g(x) = (x2 + 1) , Dfg = IR [1,) = [1,)

Neumann – López

x −2 −1 −y − −1 −2

x 0 2y −1 3

x 3 4y −2 1

Funciones 10

5. , IR [1,) − {1} = [1,) − {1} = (1,)

Nota: g(1) = 0

Composición de funciones

Supongamos que tenemos dos funciones f, g tales que:

x f y = f(x) g z = g(y)

Es decir la función f a x le asocia y, la función g al y le asocia z. Queremos definir una función que a x le asocie directamente z. A esta nueva función la llamaremos f compuesta con g y la denotaremos por gof

x f y = f(x) g z = (gof)(x) = g(y) = g(f(x))

gof

Sean f, g funciones, la función compuesta f compuesta con g que la denotaremos por gof es la función cuyo dominio es Dgof = {x Df : f(x) Dg} y definida por (gof)(x) = g(f(x))

Ejemplo

1. Si f(x) = , g(x) = x − 1

(gof)(x) = g(f(x)) = g( ) = − 1, Dgof = [1,)(fog)(x) = f(g(x)) = f(x − 1) = = , Dfog = [2,)Nota que gof fog ¡la composición de funciones no es conmutativa!

2. Sean: y , encuentra:

a. b.

a. (fog)(x) = f(g(x)) = = −6x2 + 9x − 5b. (gof)(x) = g(f(x)) = g(7 − 3x) = 2(7 − 3x)2 − 3(7 − 3x) + 4

(gof)(x) = 2(49 − 42x + 9x2) − 21 + 9x + 4 = 98 − 84x + 18x2 − 17 + 9x = 18x2 − 75x + 81

Teorema

Sean f, g, h funciones entonces:

1. la composición de funciones es asociativa.2. la composición de funciones no es conmutatriva.

Tipo de funciones

Las funciones las podemos clasificar en: funciones inyectiva, funciones sobreyectivas y funciones biyectivas.

Sea f : X Y una función, f es inyectiva (uno a un o) si, y sólo si, a elementos diferentes de X le corresponden imágenes diferente en Y.

f es inyectiva x1 x2 f(x1) f(x2) f(x1) = f(x2) x1 = x2

Neumann – López Funciones 11

Ejemplo

1. f(x) = x − 2 es una función inyectiva. En efecto:

f(x1) = f(x2) x1 − 2 = x2 − 2 x1 = x2

Si trazamos una recta paralela al eje X a lo largo del Rf, podemos notar que corta al gráfico en un único punto (no hay dos valores distintos de x a los cuales les corresponda un único valor de y): la función es inyectiva.

2. f(x) = 2x2 + 1 no es una función inyectiva. En efectof(−1) = f(1) = 2(±1)2 + 1 = 3 y −1 ≠ 1 (hay dos elementos distintos con la misma imagen)

Si trazamos una recta paralela al eje X a lo largo de (1,) Rf, podemos notar que corta al gráfico en dos puntos (hay dos valores distintos de x a los cuales les corresponda el mismo valor de y): la función no es inyectiva.

Sea f : X Y una función, f es sobreyectiva (sobre, epiyectiva, etc.) si, y sólo si, Rf = Y

Ejemplo

1. f : IR IR , f(x) = x − 2 es una función sobreyectiva. En efecto:y = x − 2 x = y + 2 Rf = IR = Cf


2. f : IR IR , f(x) = 2x2 + 1 no es una función sobreyectiva. En efecto

y = 2x2 + 1 2x2 = y − 1

y − 1 0 y 1 Rf = [1,) Cf = IR

Sea f : X Y una función, f es biyectiva si, y sólo si, f es inyectiva y sobreyectiva a la vez.

Ejemplo

1. f : IR IR , f(x) = x − 2 es una función biyectiva.

2. f : IR IR, f(x) = 2x2 + 1 no es biyectiva (no es inyectiva ni sobre)

3. f: IR −{0} IR , no es biyectiva (es inyectiva pero no es sobre):

x1 = x2 f es uno a uno

y 0 Rf = IR − {0} Cf =

IR f no es sobre


4. g: IR −{0} IR − {0}, es biyectiva (es inyectiva y sobre):

5. f: IR [1,), f(x) = x2 + 1 no es biyectiva (es sobre pero no es inyectiva)f(−1) = f(1) = (±1)2 + 1 = 2 f no es inyectivay = x2 + 1 0 + 1 = 1 Rf = [1,) = Cf f es sobre

Función inversa

Sea f : X Y una función biyectiva, la función inversa de f, que denotamos por f −1 es la función f −1 : Y X tal que, y = f(x) si, y sólo si, x = f −1(y). Decimos que f es inversible.

Es decir, si f : X Y es una función biyectiva:(x,y) f (y,x) f −1

Nota que:(f o f −1)(y) = f(f −1(y)) = f(x) = y = iY(y) función identidad definida en el conjunto Y(f −1 o f)(x) = f −1(f(x)) = f −1(y) = x = iX(x) función identidad definida en el conjunto X

Ejemplo

1. Sean X = {1,2,3,4}, Y = {5,6,7,8}, f : X Y, f = {(1,6),(2,5),(3,8),(4,7)}f es una función biyectiva y f −1 ; Y X, f −1 = {(6,1),(5,2),(8,3).(7,4)}Es decir:f(1) = 6 f −1(6) = 1f(2) = 5 f −1(5) = 2f(3) = 8 f −1(8) = 3f(4) = 7 f −1(7) = 4

2. Sean X = {1,2,3,4}, Y = {5,7,8}}, f : X Y, f = {(1,5),(2,5),(3,8),(4,7)}


En este caso f no es inyectiva: (1,5),(2,5) f y 1 2 Y se tiene que f −1 : Y X, f −1 = {(5,1),(5,2),(8,3),(7,4)} no es función (5 tiene dos imágenes)

3. Sean X = {1,2,3}, Y = {5,6,7,8}}, f : X Y, f = {(1,8),(2,5),(3,6))}

f no es sobreyectiva: Rf = {5,6,8} YY se tiene que f −1 : Y X, f −1 = {(8,1),(5,2),(6,3)} no es función (7 no tiene imagen)

4. f : IR IR , y = f(x) = 3x − 1 ¿es invertible? Si lo es, ¿cuál es su inversa?

f(x1) = f(x2) 3x1 − 1 = 3x2 − 1 3x1 = 3x2 x1 = x2 f es inyectiva

y = 3x − 1 3x = y + 1 Rf = IR

f es sobre

Como f es biyectiva, f es inversible, y = f −1(y). Luego:

f −1 : IR IR , y = f −1 (x) =

5. f : IR [0.), y = f(x) = x2

f no es inyectiva: f(1) = f(−1) = (±1)2 = 1 f no es biyectiva f no es inversible

Si no se específica cual es el dominio y codominio de una función f, consideramos que f : Df Rf y para determinar si f es inversible o no, basta verificar si f es inyectiva o no.

Ejemplo

1. Determina si y = es o no inversible, si lo es, halla f −1.

f(x1) = f(x2) x1 − 1 = x2 − 1 x1 = x2

f es inyectiva y por lo tanto inversible

y = yx − y = 1 yx = y + 1 = f −1(y)

f −1(x) =

2. Determina si y = f(x) = es o no inversible, si lo es, halla f −1.

f no es inyectiva: f(1) = f(−1) = f no es inversible


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