tema 7-productos con vectores
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Curso de Introducción a la MecánicaTRANSCRIPT
kABjABiABABAB zzyyxx
Distancia entre dos puntos.
x
y
z
O
B
A
A
B BA
BABABABABA
ABABABABAB
2zz
2yy
2xx
2zz
2yy
2xx
A (Ax, Ay, Az)
B (Bx, By, Bz)
dAB= AB =BA
dBA= BA =AB
dAB= dBA
Segmento de recta que une los puntos.
Ángulo entre vectores y cosenos directores
cosAB2BABA 222
x
y
z
O
B (Bx, By, Bz)
A (Ax, Ay, Az)
A
B
B-A
AB2
BABA
cos
222
zzyyxx coscoscoscoscoscoscos
AB
BABABAcos zzyyxx
B
B
A
A
B
B
A
A
B
B
A
A zzyyxx
2z
2y
2x AAAA
2z
2y
2x BBBB
2zz
2yy
2xx BABABABA
Producto escalar.
Esta cantidad relaciona las magnitudes de los vectores y las direcciones a través del ángulo entre ellos.
Se define el producto escalar, producto punto o, producto interno de los vectores. como
cosAB2BABA 222
222
21 BABAcosAB
cosABBA
B (Bx, By, Bz)
A (Ax, Ay, Az)
x
y
z
O A
B
B-A
En coordenadas rectangulares:
2z
2y
2x AAAA
2z
2y
2x BBBB
2zz
2yy
2xx BABABABA
zzyyxx BABABABA
BA
Tarea: Sustituyendo las coordenadas rectangulares en * demostrar **.
* **
Propiedades del producto escalar:
El producto escalar es conmutativo:
El producto escalar es dos vectores mutuamente perpendiculares es cero:
El producto escalar de dos vectores paralelos es el producto de sus magnitudes:
El producto escalar de un vector por sí mismo es igual al cuadrado de su magnitud
BAcosABcosABAB
0º90cosABBA
ABº0cosABBA
2Aº0cosAAAA
El producto escalar de dos vectores que forman una base obedecen la relación:
3. 2, 1,=nm,con n,m si0,
n,=m si1,ee nm
El producto escalar de dos vectores unitarios es igual al coseno del ángulo que forman
coscosBABA
El producto escalar de dos vectores es distributivo sobre la suma de vectores:
CABACBA
Ejemplo. Dados los vectores A=7i+3j 2k, B=4i 2j +k y C=i +2j+3k, encuentre:
(b) La distancia entre los vectores.
(c) Los ángulos directores de los tres vectores.
(d) El ángulo entre los vectores A y C usando los cosenos directores de los vectores.
(e) El ángulo entre los vectores B y C usando sus magnitudes y la de su diferencia.
(f) El ángulo entre los vectores A y B su producto escalar.
(a) Sus coordenadas esféricas.
cosR
sensenR
cossenR
z
y
x
x
y
z
yx
zyx
arctan
arctan
R
22
222
2zz
2yy
2xxBA
2zz
2yy
2xxAB
BABABAd
ABABABd
AB2
BABA
cos
222
2z
2y
2x
2z
2y
2x
zzyyxx
BBBAAA
BABABAcos
zzyyxx coscoscoscoscoscoscos
cosABBA
222
21 BABABA
zzyyxx BABABABA
AB
BAcos
Respuesta: k2j3i7A
kj2i4B
k3j2iC
(a) Sus coordenadas esféricas.
156.8014º7
3arctan
104.7143º2
37arctan
62237A
k2j3i7A
A
22
A
222
333.4349º4
2arctan
77.3956º1
24arctan
21124B
kj2i4B
B
22
B
222
63.4349º1
2arctan
36.6992º3
21arctan
14321C
k3j2iC
C
22
C
222
90518233271
ACACACACAC
222222
2zz
2yy
2xx
(b) La distancia entre los vectores.
k2j3i7A
kj2i4B
k3j2iC
1553511213274
ABABABABAB
222222
2zz
2yy
2xx
29243132241
BCBCBCBCBC
222222
2zz
2yy
2xx
(c) Los ángulos directores de los tres vectores.
62
2
A
Acos
62
3
A
Acos
62
7
A
Acos
62A
k2j3i7A
zz
yy
xx
21
1
B
Bcos
21
2
B
Bcos
21
4
B
Bcos
21124B
kj2i4B
zz
yy
xx
222
14
3
C
Ccos
14
2
C
Ccos
14
1
C
Ccos
14321C
k3j2iC
zz
yy
xx
222
(d) El ángulo entre los vectores A y C usando los cosenos directores de los vectores.
103.7447º868
7
868
667
14
3
62
2
14
2
62
3
14
1
62
7
coscoscoscoscoscoscos
AC
zzyyxxAC
(f) El ángulo entre los vectores A y B usando su producto escalar.
176.1075º1302
36
2162
122347
AB
BABABA
AB
BAcos
AB
zzyyxxAB
(e) El ángulo entre los vectores B y C usando sus magnitudes y la de su diferencia.
79.9235º
294
3
2942
6
14212
291421
BC2
CBCB
cos
BC
222
BC
Ejercicio 3.35. Dados los vectores P=4i+8j 3k, Q=9i j 7k y S=5i 6j+2k, encuentre todos los productos escalares entre ellos.
23731894QP
74236854SP
37276159SQ
Respuesta:
A
B
BA
donde es el ángulo entre A y B, y cuya dirección es dada por
A
AA
cosBBA
cosBABAB AA
La proyección del vector B a lo largo del vector A, entonces es el vector
Usando la proyección entre vectores, el producto escalar, puede escribirse como
AABcosBA
cosABBA
La proyección del vector B sobre el vector A es un vector, denotado por BA, cuya magnitud es
A
B
AB
donde es el ángulo entre A y B, y cuya dirección es dada por
B
BB
cosAAB
cosABABA BB
La proyección del vector A a lo largo del vector B, entonces es el vector
Usando la proyección entre vectores, el producto escalar, puede escribirse como
A
B
ABcosBA
BABcosA
cosABBA
La proyección del vector A sobre el vector B es un vector, denotado por AB, cuya magnitud es
Ejemplo. Dados los vectores A=7i+3j 2k, B=4i 2j +k y C=i +2j+3k, encuentre:
(a) La proyección del vector A sobre el vector C.
(b) La proyección del vector C sobre el vector A.
(c) La proyección de la suma de los vectores A y B sobre el vector C.
(d) La proyección de la diferencia del vector A menos el vector B sobre el vector C.
Respuesta:
ACC cosACA
(a) La proyección del vector A sobre el vector C:
62237Ak2j3i7A 222
1462
7
1462
322317cos AC
kjiC14321Ck3j2iC143
142
141222
kjik14
21j
14
14i
14
7
1462
762kjicosACA
23
21
143
142
141
ACC
ACA cosCAC
(b) La proyección del vector C sobre el vector A:
kjiA62237Ak2j3i7A622
623
627222
1462
7
1462
322317cos AC
14321Ck3j2iC 222
kji1462
714kjicosCAC
6214
6221
6249
622
623
627
ACA
Nota importante: Observe que
AC CA
cosBACBA
C
11113BA
kji3k12j23i47BA
kj2i4B
k2j3i7A222
(c) La proyección de la suma de los vectores A y B sobre el vector C:
1411
4
1411
323
1411
312113cos
kjikji1411
411kjicosBACBA
76
74
72
1412
148
144
143
142
141
C
kjiC14321Ck3j2iC143
142
141222
cosBACBA
C
1553511BA
k3j5i11k12j23i47BA
kj2i4B
k2j3i7A222
14155
10
14155
91011
14155
3325111cos
kjikji14155
10155kjicosBACBA
715
710
75
1430
1420
1410
143
142
141
C
kjiC14321Ck3j2iC143
142
141222
(d) La proyección de la diferencia del vector A menos el vector B sobre el vector C.
Ejercicio 3.37. Se utilizan tres cables para sostener un contenedor como se muestra en la figura. Determine los ángulos formados por los cables AB, AC y AD.
jm9.0im56.0AB
km48.0jm9.0AC
km36.0jm9.0im52.0AD
jm9.0im56.0AB
km36.0jm9.0im52.0AD
º40.35cos
5679.0m36.0m9.0m52.0m48.0m9.0
m36.0m48.0m9.0m9.0m52.00cos
AD,AC
22222AD,AC
km48.0jm9.0AC
º58.63cos
4449.0m36.0m9.0m52.0m9.0m56.0
m36.00m9.0m9.0m52.0m56.0cos
AD,AB
22222AD,AB
º48.41cos
7492.0m48.0m9.0m9.0m56.0
m48.00m9.0m9.00m56.0cos
AC,AB
2222AC,AB
Ejercicio 3.39. Los elementos AB, BC y CD del marco de acero mostrado en la figura están unidos en B y C, asegurados mediante los cables EF y EG. Si E es el punto medio de BC y la tensión en el cable EF es de 110 lb, determine (a) el ángulo entre EF y el elemento BC, (b) la proyección sobre BC de la fuerza ejercida por el cable EF en el punto E.
0,ft5.16,0B
ft24,ft5.7,ft32C
ft12,ft12,ft16E
0,0,ft2F
ft24,0,ft32D
ft25.2,0,ft32G
BC
EF
EC
ft24,ft9,ft320,ft5.16,0ft24,ft5.7,ft32CBCB
ft12,ft5.4,ft16ft24,ft9,ft32BCBCEC21
21
21
ft12,ft12,ft14ft12,ft12,ft160,0,ft2EFEF
ft12,ft5.4,ft16EC
ft12,ft12,ft14EF
º13.134cos
6962.0ft12ft12ft14ft12ft5.4ft16
ft12ft12ft12ft5.4ft14ft16cos
222222
lb58.766962.0lb110cosTT BC
(a) el ángulo entre EF y el elemento BC
(b) la proyección sobre BC de la fuerza ejercida por el cable EF en el punto E.
Producto vectorial.
El producto vectorial entre los vectores A y B se define como un vector perpendicular a ambos, tal que su magnitud es el área del paralelogramo formado por estos vectores y su sentido obedece la regla de la mano derecha.
A
B
L
h
senBhB
hsen
senBAhAáreaL
L
LsenBAL
LsenBALBA
El producto vectorial también se conoce como producto cruz o producto externo.
alturabaseárea
2cos1senAB
BABABAcos zzyyxx
AB
BABABABA
BA
BABABABA
BA
BABABA1cos1sen
2zzyyxx
22
22
2zzyyxx
22
22
2zzyyxx2
2zzyyxx22 BABABABAsenBAL
En coordenadas rectangulares, el producto vectorial se puede encontrar de la siguiente forma:
LsenBAL
21
2zzyyxx22 BABABABABAL
2z
2z
2y
2z
2x
2z
2z
2y
2y
2y
2x
2y
2z
2x
2y
2x
2x
2x
2z
2y
2x
2z
2y
2x
22
BABABABABABABABABA
BBBAAABA
zyzyzxzxyxyx2z
2z
2y
2y
2x
2x
2zzyyxx BBAA2BBAA2BBAA2BABABABABABA
2x
2zzxzx
2z
2x
2y
2zzyzy
2z
2y
2x
2yyxyx
2y
2x
zyzyzxzxyxyx
2y
2z
2x
2z
2z
2y
2x
2y
2z
2x
2y
2x
zyzyzxzxyxyx2z
2z
2y
2y
2x
2x
2z
2z
2y
2z
2x
2z
2z
2y
2y
2y
2x
2y
2z
2x
2y
2x
2x
2x
2zzyyxx
22
BABBAA2BA
BABBAA2BA
BABBAA2BA
BBAA2BBAA2BBAA2
BABABABABABA
BBAA2BBAA2BBAA2BABABA
BABABABABABABABABA
BABABABA
2x
2zzxzx
2z
2x
2y
2zzyzy
2z
2y
2x
2yyxyx
2y
2x
2zzyyxx
22
BABBAA2BABABBAA2BABABBAA2BA
BABABABA
2zxxz
2yzzy
2xyyx
2zzyyxx
22 BABABABABABABABABABA
2zzyyxx222
z2y
2x BABABABABALLLL
2xyyx2
zxxz2
yzzy BABABABABABA
xyyxz
zxxzy
yzzyx
BABAL
BABAL
BABAL
xyyxz
zxxzy
yzzyx
BABAL
BABAL
BABAL
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
Resultado que corresponde a calcular el determínate siguiente:
kLjLiLBABAkBABAjBABAi
BABAkBABAjBABAi
BB
AAk
BB
AAj
BB
AAi
BBB
AAA
kji
BAL
zyxxyyxzxxzyzzy
xyyxxzzxyzzy
yx
yx
zx
zx
zy
zy
zyx
zyx
Propiedades del producto vectorial:
El producto vectorial no es conmutativo, ya que al invertir el producto de los vectores se cambia el sentido del vector resultante
BAsenABLsenBALsenBALAB
El producto vectorial de dos vectores paralelos es cero
El producto vectorial es dos vectores mutuamente perpendiculares es un vector perpendicular a ellos de magnitud igual al producto de las magnitudes:
0º0senABLBA
ABLº90senABLBA
El producto vectorial de un vector por sí mismo es cero
0º0senAALAA
El producto vectorial de dos vectores unitarios es un vector cuya magnitud es el seno del ángulo con dirección perpendicular a ambos
senLBA
El producto vectorial de dos vectores que forman una base obedecen la relación:
3. 2, 1, deimpar n permutacio unason p n, m, si,e-
3, 2, ,1 depar n permutacio unason pn, m, si,e
nmsi0,
ee
p
pnm
El producto vectorial es distributivo sobre la suma de dos vectores:
CABACBA
Triple producto escalar o producto mixto de tres vectores.
El triple producto escalar de los vectores A, B y C es dado por
zyx
zyx
zyx
xyyxzzxxzyyzzyx
xyyxzxxzyzzyzyx
zyx
zyxzyx
CCC
BBB
AAA
BABAABABAABABAA
BABAkBABAjBABAikAjAiA
CCC
BBB
kji
kAjAiACBA
cossenCBAsenCBcosALsenCBACBA
La interpretación geométrica del triple producto escalar puede verse a través de la siguiente figura:
B
C
CBL
A
L
senCBCBárea
CBA
cossenCBA
senCBcosA
áreaalturavolumen
El área del paralelogramo formado por los vectores B y C es
El volumen del paralelepípedo formado por los vectores A, B y C es
A
L
Ejemplo: Calcular el producto vectorial V=PxQ si el vector P tiene una magnitud de 6 y se encuentra en el plano xy que forma un ángulo de 30º con el eje y, y el vector Q tiene una magnitud de 4 y se encuentra a lo largo del eje y.
x
y
z
P
Q
30º 12º30sen46senPQQPV
k12V
V
xyplanok
º90,4Q
º120,6P
zyx
zyx
BBB
AAA
kji
BA
yx
yx
BB
AA
ji
xyzxyzyxxzzy BAkBAjBAiBAkBAjBAiBA
xyyxzxxzyzzy BABAkBABAjBABAiBA
kLjLiLBA zyx
Método geométrico para calcular el producto escalar (válido sólo para vectores en tres dimensiones):
zyBAi xzBAj yxBAkzxBAjyzBAixyBAk
xyyxz
zxxzy
yzzyx
BABAL
BABAL
BABAL
kj4i2B
k4j7i5A
k2j3i2C
Ejemplo: Calcular el producto vectorial AxB, BxC y AxC. Determine el triple producto escalar entre los vectores dados.
142
475
kji
BA
42
75
ji
15j44i27k45k24j17i
j5i8k14k20j8i7
k6j3i
lbft36klbft12jlbft24i
lb3ft3lb6ft5.7k
lb3ft6lb4ft5.7j
lb6ft6lb4ft3i
lb4lb6lb3
ft6ft3ft5.7
kji
FrMO
Ejercicio 3.20. Determine el producto vectorial de la posición r del punto de aplicación de la fuerza F por la fuerza si
klb4jlb6ilb3F
kft6jft3ift5.7r
k5j7i3P
k4ji2Q
k6jSi8S y
0
CCC
BBB
AAA
CBA
zyx
zyx
zyx
Ejercicio 3.44. Dados los vectores P, Q y S, determine el valor de Sy para el que los tres vectores son coplanares.
Si los vectores P, Q y S son coplanares.
13S0286S22
81S2584627S4613
0
6S8
412
573
RQP
yy
yy
y
Ejercicio en clase: miércoles 5 de octubre de 2012.
Ejercicio: De la figura, determine (a) las componentes x, y y z de la fuerza de 900 N, (b) los ángulos x, y y z que forma la fuerza con los ejes coordenados.