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VECTORES – TEMA 4.

1.º BACHILLERATO - CIENCIAS

Unidad 4│Vectores Matemáticas I - 1.º Bachillerato – Ciencias - 1

IES H

uarte D

e San Ju

an - Lin

ares

TEMA 4 – VECTORES

VECTOR FIJO. VECTOR LIBRE.

Un vector fijo en IR2 está determinado por dos puntos A y B,

llamados respectivamente, origen y extremo del vector.

Su representación gráfica es una flecha que va desde A hacia B y su

notación es: AB

.

El vector nulo tiene su origen y su extremo en el mismo punto

Los elementos que definen un vector son tres:

Módulo: Longitud del segmento AB . Y se escribe: | AB

|

Dirección: Es la recta que pasa por los puntos A y B y todas

sus paralelas.

Sentido: es el indicado por la flecha. Cada dirección tiene

dos sentidos.

Dos vectores son equipolentes si tienen la misma dirección, el

mismo sentido y el mismo módulo. Un vector libre puede

desplazarse por todo el

plano, sin variar su módulo,

su dirección ni su sentido.

Dado un vector fijo AB

, el conjunto formado por todos los vectores

equipolentes a él se llama vector libre del plano.

Un vector libre se suele denotar con una letra minúscula: u, v,...

SUMA DE VECTORES LIBRES

Para sumar dos vectores libres u y v

tenemos dos métodos:

Forma 1.

Se toman dos representantes de u y v

con el mismo origen:

AB y AC

.

Se construye un paralelogramo ABCD.

La suma u + v

es el vector libre que tiene como uno de sus

representantes al vector fijo con el mismo origen que u y v

y cuyo extremo es el vértice D, del paralelogramo anterior.




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Forma 2.

Se toman dos representantes de u y v

de forma que el

extremo del primero sea el origen del segundo: AB y BC

.

La suma u + v

es el vector libre AC

, una vez representados

los anteriores.

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UN VECTOR LIBRE

El producto de un número real k ≠ 0 por un vector u (no nulo) es

otro vector ku cumpliendo:

Tiene igual dirección que el vector u .

Tiene el mismo sentido que el vector u si k es positivo.

Tiene sentido contrario del vector u si k es negativo.

Su módulo es: |k||u |

Si el vector u es nulo, el resultado vuelve a ser el vector nulo.

PLANO VECTORIAL V2

El conjunto de todos los vectores del plano, con las operaciones de

suma y producto por un número real, se llama plano vectorial y se

denota: V2.

EJEMPLO

Realiza la suma AB + CD . Realiza 2 ·

EF




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COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Una combinación lineal de dos vectores libres no nulos, u y v , es

cualquier expresión algebraica de la forma

α u + β v , donde α y β

son dos números reales.

α u + β v

Dos o más vectores libre son linealmente dependientes si uno de

ellos se puede escribir como combinación lineal de los otros.

En caso contrario son linealmente independientes.

En el plano vectorial V2 tenemos que:

Dos vectores libres no nulos de distinta dirección son

siempre linealmente independientes.

Tres o más vectores siempre son linealmente dependientes.

EJEMPLO

Escribe los vectores a , b y c en función de

x e y

Solución




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BASE DE V2

Dos vectores libres no nulos de distinta dirección, u y v forman

base B = u , v en el plano vectorial V2.

B = u , v

Sabemos que tres vectores son siempre linealmente dependientes.

Si tenemos dos vectores libres no nulos de distinta dirección en el

plano vectorial V2, u y v , cualquier otro vector

w se puede

expresar como combinación lineal de ellos: w = α u + β v , donde α y

β son dos números reales.

Dos vectores u y v siempre

forman una base si no están

en la misma dirección.

Dada una base B = u , v de V2, se llaman coordenadas del vector

w al par ordenado de números reales (α, β) tales que

w = α u + β v.

Si los vectores u y v

son perpendiculares, la base B = u , v de V2

se llama base ortogonal.

Se llama base canónica de V2 a B = i , j , en los que los vectores

i y j

son dos vectores unitarios (de módulo uno) y perpendiculares

entre sí. Se trata de una base ortonormal.

i : vector unitario en el sentido positivo del eje de abscisas.

j : vector unitario en el sentido positivo del eje de ordenadas.

Tipos de

bases de V2




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EJEMPLO

Demuestra si los vectores u = 1, 3 y v 2, 6 forman una base de V

2 o no.

No forman una base porque son linealmente dependientes, ya que: 2 v u .

EJEMPLO

Demuestra si los vectores u = 2, 3 y v 1,5

forman una base de V2

o no.

Sí forman una base porque son linealmente independientes, ya que no podemos escribir uno en

function del otro. Tienen direcciones distintas..

EJEMPLO

Como los vectores u = 2, 3 y v 1,5

forman una base de V2, calcula las coordenadas del vector

w = -3,-1 en la base B =

u , v .

w = α u + β v

Sustituyendo:

-3 = 2α +β(-3,-1) = α (2,3) + β (1,5)

-1 = 3α + 5β

Basta resolver el sistema: α = -2, β =1.

w = -3,-1 en la base canónica.

w = -2,1 en la base B.

OPERACIONES CON COORDENADAS (PARES ORDENADOS)

Sean:

1 2 1 2u = u ,u y v v ,v en una base cualquiera.

a) Suma de vectores libres.

1 2 1 2 1 1 2 2u + v = u ,u v ,v u + v ,u + v

b) Multiplicación de un número real por vector libre.

1 2 1 2k u = k u , u = k u , k u

EJEMPLO

Sean: u = 1,-2 y v 0, 6 dos vectores en una base cualquiera B.

a) Calcula u + v :

u + v 1,-2 + 0, 6 1, 4

b) Calcula 2 u - v : 2 2

u - v 1,-2 - 0, 6 2,-4 - 0, 6 2, -10




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MÓDULO Y ARGUMENTO DE UN VECTOR

Sea u un vector con coordenadas

1 2u = u ,u en la base canónica

B = i , j .

El módulo del vector u es: 2 2

1 2u u u

2 2

1 2u u u

El argumento del vector u es el ángulo que forma dicho vector con

el eje positivo de abscisas.

Se calcula:

2

1

uarg(u) = arctg

u

2

1

uarg(u) = arctg

u

JUSTIFICACIÓN.

Sea el vector

1 2u = u ,u , representado al margen.

Por Pitágoras, 2

2 2

1 2u u u

, de donde 2 2

1 2u u u

.

Por otro lado tenemos que: 2

1

utg α

u.

Despejando: 2

1

uarctg

u.

EJEMPLO

Calcula el modulo y el argumento del vector u = ( 1, -1) en la base canónica.

a) 2 2

1 2u u u 2

2 21 + (-1)

b) º

2

1

u -1arg(u) = arctg arctg = arctg(-1) = 315

u 1

NOTA: EL VECTOR (1, -1) SE SITÚA EN EL CUARTO CUADRANTE.




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SISTEMA DE REFERENCIA EUCLÍDEO

El sistema de referencia del plano euclídeo

O, i , j está formado

por el origen de coordenadas O(0, 0) y la base canónica B = i , j .

Se llama vector de posición al representante de un vector libre cuyo

origen es el punto O.

Para calcular las coordenadas de un vector en el sistema de

referencia euclídeo, basta “contar” el desplazamiento horizontal (x)

y vertical (y) desde su origen a su extremos. (ojo a os signos)

El vector u (margen derecho) tiene por coordenadas:

u = (1, 3)

EJEMPLO

Halla las coordenadas de estos vectores en la base canónica.

3 4AB ( , )

2 1 CD ( , )

3 0EF ( , )

Las coordenadas de un punto P en el sistema de referencia del

plano euclídeo

O, i , j son las coordenadas del vector de posición

OP .

El punto P (al margen) tiene coordenadas P(2,4), que coinciden con

las coordenadas del vector de posición OP

= (2, 4)

Las coordenadas de un vector cualquiera AB de origen A(a1, a2) y

extremo B(b1, b2) en una base cualquiera. Las coordenadas del

vector son:

1 1 2 2AB = (b - a , b - a )




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Las coordenadas del punto medio del segmento de extremos

A(a1,a2) y B(b1,b2) son:

1 1 2 2a +b a +bM= ,

2 2

Tres puntos A, B y C están alineados si y solo si los vectores AB y

AC tienen la misma dirección.

Son paralelos, tienen

coordenadas proporcionales.

EJEMPLO Los puntos A(1,1) B(2,3) y C(0,1) están alineados.

AB = (2 -1,3-1) = (1,2)no son proporcionales

AC = (0 -2,1- 3) = (-2,-2)

No están alineados

EJEMPLO Calcula el valor de k para que los puntos A(k, 3) B(2, 2) y C(-2, 1) estén alineados.

2 4 6

en cruz

AB = (2 -k,2 - 3) = (2 -k, -1) 2 -k -1

-4 -1BC = (-2 -2,1-2) = (-4,-1)k k

PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

Sean u

y v

dos vectores libres. Se llama producto escalar de ambos

vectores al valor de la siguiente expresión:

u v u v cos

con

α = áng(u,v)

Nota: el producto escalar es

un número

Propiedades del producto escalar:

2

u u u u º u

cos 0

u v v u

u v ( u) v u ( v)

u (v w) u v u w

u v 0 si y solo si u

y v

son ortogonales (perpendiculares)




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Sean:

1 2 1 2u = u ,u y v v ,v dos vectores en la base canónica. La

expresión analítica del producto escalar es: u v

1 1 2 2u v + u v

EJEMPLO

Dada la base canónica, calcula el valor de k para que el producto escalar de los vectores u

= (k, 3) y

v

=(-2, 1) sea 5 .

u v = (k,3) (-2, 1) = 2k + 3 = 5 2k = -2 k = -1

Se llaman vectores unitarios a aquellos vectores que su u 1

Sea u

un vector no nulo y no unitario. Normalizar dicho vector es

construir otro, a partir de él, que tenga la misma dirección, sentido

y que su módulo sea 1.

Dicho vector se construye de la siguiente forma:

uu'

u

Vector normal

uu'

u

Sean u

y v

dos vectores libres. El ángulo α que hay entre ambos

vectores se calcula mediante la ecuación:

u v

cos α =u v

u v

cos α =u v

La proyección de un vector u

sobre otro vector v se calcula con la

fórmula:

v

u vProy (u) =

v

v

u vProy (u) =

v




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EJEMPLO

Dada la base canónica i , j

y los vectores u

= -3 i

+ 4 j

y v

= i

- 2 j

, calcula:

a) Su producto escalar.

b) El módulo de ambos.

c) El ángulo que forman.

a) u v = (-3,4) (1,-2)= -3 1+ 4 (-2) = -3-8 = -11

b)

2 2u ( 3) 4 9 16 25 5u

2 2v 1 ( 2) 1 4 5 u

c)

u vcos α =

u v

11 11 5

169º 41'43''255 5




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EJERCICIOS DEL TEMA Soluciones

1. Dibuja los vectores a y b en función de

u y v

2. Demuestra que los vectores 1

2

u = , 3 y v 0,5 forman una

base de V2.

Sí forman base. No son

proporcionales.

3. Halla las coordenadas del vector w = -2,-1 respecto de la base

del ejercicio anterior. α = - 4 ; β = 11/5

4. Sean: u = 3,-2 y v 2,1 dos vectores en una base

cualquiera B.

a) Calcula u + v

b) Calcula u -3v

5 1 u + v ( , )

3 5 u - 3v ( , )

5. Calcula el modulo y el argumento del vector u = ( -1, -1) en la

base canónica.

u 2

º -1

arctg = arctg(1) = 225-1

6. Halla el valor de k para que los vectores

u = (5, - 2) y

v = (-2, k)

sean paralelos k = 4/5

7. ¿Están alineados los puntos A(2, 3) B(0, 3) y C(-2, 5)? No. Los vectores

AB y

AC no

son proporcionales

8. Calcula el valor de k para que los puntos A(k, k+1) B(-1, 1) y

C(3, 2) estén alineados.

1k =

3

9. Halla el punto medio del segmento de extremos A(6, -7) y

B(3, 5).

9M= , -1

2

10. Halla las componentes del vector libre AB , dados los puntos

A(1, 3) y B(2, 5). AB ( 3,8)




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11. Sean ,a b

y ,c d

dos bases de las que sabemos

que 2 3a c d

y 5b c d

.

a) Halla las coordenadas que tendrá el vector 3 5w a b

con

respecto a la base

b) Halla las coordenadas de 4 1( , )v

con respecto a la base

a) 11 34w c d

b) 19 10

7 7v a b

12. Calcula el módulo y el argumento de los siguientes vectores:

AB

AB

(2, 2)

8 u

315º

EF

AB

(3,0)

3 u

0º

GH

GH

(2, 2)

8 u

315º

LM

LM

(0, 3)

3 u

270º

13. Halla el vértice D del paralelogramo ABCD de vértices A(2, 3),

B(0, 3) y C(-2, 5). D(0,5)

14. Los puntos A (-1,-2), B (1,1), C (4,0) son tres coordenadas de un

paralelogramo ABCD. calcula las coordenadas del vértice D. D(2,-3)

15. Calcula k para que el vector u = (2, -k) sea unitario. Nunca es unitario

16. Calcula k para que el vector

1u , k

2 sea unitario.

3k =

2

17. Calcula k para que el producto escalar de los vectores

u = , 5 y v 3,1k valga -4.

k = -3

18. Halla la proyección de u = (1, - 3) sobre v 2,5 .

v

13 29Proy (u) =

29

19. Calcula la proyección escalar del vector u = (3, 2) sobre el vector

v = (5, -1)

v

26Proy (u) =

2




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20. Dados los vectores u = (1, 3) y

v = (3, 2), halla la proyección de

v sobre

u .

9

u

10Proy (v) =

10

21. ¿Qué ángulo forman los vectores u = (-3,1) y

v = (4,-3)?

22. Calcula el producto escalar de u y

v sabiendo que

u = (3, 4) y

|v | = 5 y el ángulo que forman es de 450

23. Calcula un vector ortogonal al vector u = (6, 8) que sea unitario.

24. Dado el vector u =(–5, k) calcula k de modo que sea ortogonal al

vector v = (3, -2)

25. Calcula todos los vectores paralelos al vector u = (6, 8).

u = (6k, 8k).

26. Calcula todos los vectores paralelos al vector u = (-9, 12) y que

tengan módulo 5.

27. Calcula k para que los vectores u = (1, 2) y

v = (2, k) sean:

a) Paralelos

b) Ortogonales

c) Formen un ángulo de 300

28. Dados los vectores u = (-1,- 2) y

v = (1, 2) en la base canónica,

halla:

a) |u |

b) u v

c) 2 u 3

v

d) u (

u + 2

v )

29. Dado el vector u = (-3, 4) , halla:

a) El ángulo que forma con v = 2, - 1

b) El valor de k para que w = 1, k sea perpendicular a

u .

a) 662º153

b) -3

k =4




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30. Calcula el valor de k para que se verifiquen las igualdades

siguientes:

a) (-1, ) (2,- 3) = 7k

b) (3, -k) · (2, -1) = 4k

a) k = - 3

b) k = 2

31. Halla m para que el vector u = (m, 1)

y el vector v = (2, 3)

formen un ángulo de…

a) 90º.

b) 0º

c) 30º

32. Dado el triángulo de vértices A 2,-1 ,B 1,2 y C -1,4 , clasifícalo

según sus lados y sus ángulos.

33. Se sabe que: u = 4 ,

v = 5 y que

u v . Calcula .

u + v

u + v 41

34. Se sabe que: u = 2 5 ,

v = 13 y

u + v = 29 . Calcula el

ángulo que forman u y

u + v .

= 41º 38’ 1’’

FÓRMULAS VECTORES – TEMA 4.



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TEMA 4 - VECTORES

VECTOR FIJO SUMA DE VECTORES ku MÓDULO Y ARGUMENTO

Igual dirección que el vector u .

Mismo sentido que el vector u si k es positivo.

Sentido contrario del vector u si k es negativo.

Su módulo es: |k||u |

2 2

1 2u u u

2

1

uarg(u) = arctg

u

OPERACIONES CON VECTORES VECTOR AB PUNTO MEDIO COMBINACIÓN LINEAL

1 2 1 2 1 1 2 2u + v = u ,u v ,v u + v ,u + v

1 2 1 2k u = k u , u = k u , k u

1 1 2 2AB = (b - a , b - a )

1 1 2 2a +b a +bM= ,

2 2

w = α u + β v

PRODUCTO ESCALAR PROPIEDADES EXPRESIÓN ANALÍTICA TIPOS DE BASES DE V2

u v u v cos

2

u u u u º u

cos 0

u v v u

u v ( u) v u ( v)

u (v w) u v u w

1 1 2 2u v u v + u v

ÁNGULO NORMALIZAR PROYECCIÓN ORTOGONALES

u v

cos α =u v

u

u'u

v

u vProy (u) =

v

u v 0 si y solo si u

y v

son

ortogonales (perpendiculares).

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