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1Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Tema 2: Vectores libres
FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Aeroespacial
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
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2Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
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3Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Magnitudes escalares y vectorialesMagnitudes escalares y vectoriales
Magnitud escalar : queda definida con un número y una unidad
Temperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc
Magnitud vectorial: require magnitud, dirección y sentido
Velocidad, aceleración, fuerza, etc
Magnitud tensorial
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4Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
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5Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Definición de vectorDefinición de vector
En Matemáticas es un elemento de un espacio vectorial
En Física es un segmento orientado: una flecha
Módulo
Recta soporte
Dirección
Sentido
Punto de aplicación
Representación: a o
Recta soporte
(dirección)
módulo
Punto de aplicación
Sentido
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6Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Tipos de vectoresTipos de vectores
Libres: módulo, dirección y sentido
Pueden moverse libremente en el espacio
Deslizantes: módulo, dirección, sentido y recta soporte
Pueden desplazarse libremente sobre su recta soporte
Ligados: módulo, dirección, sentido y punto de aplicación
No pueden desplazarse en el espacio
Una misma magnitud puede describirse con diferentes tipos de
vectores en diferentes situaciones
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7Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
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8Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Vectores libresVectores libres
Relación de equivalencia: a y b son vectores equivalentes si tienen
el mismo módulo, dirección y sentido
Dos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan
en el espacio
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9Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
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10Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Vectores libresVectores libres
Suma de vectores libres
Dos vectores
Suma de vectores libres
Dos vectores
Varios vectores
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11Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Vectores libres: sumaVectores libres: suma
Propiedades de la suma
Conmutativa
Asociativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto
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12Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Vectores libres: producto por un escalarVectores libres: producto por un escalar
El producto por un escalar es otro vector
Propiedades
Asociativa respecto al producto por un escalar
Distributiva respecto a la suma de vectores
Distributiva respecto a la suma de escalares
Existencia de escalar unidad
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13Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
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14Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Bases vectorialesBases vectoriales
Una base en E3 es una terna de vectores, B = {v1, v2, v3} , tal que cualquier
vector a puede escribirse como combinación lineal de ellos
a1, a2, a3 son las componentes de a en la base B
Para que tres vectores sean una base no deben ser ni colineales ni coplanarios
(linealmente independientes)
La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente
independientes que pueden describir todos los vectores del espacio
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15Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Base cartesianaBase cartesiana
Triedro OX1X2X3 ≡ OXYZ
X1≡X
X2≡Y
X3≡Z
O
Componentes
Base ortonormal
Álgebra vectorial
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16Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
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17Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto escalarProducto escalar
Definición
El resultado de la operación es un escalar
El punto es importante
Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y ángulos
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18Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones
Condición de ortogonalidad para dos vectores
=/2
Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro
vector
Extrae la componente del vector paralela a la dirección del vector
Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro
Si ninguno de los vectores es unitario
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19Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones
Distancia entre dos puntos
X1
X2
X3
P(p1,p2,p3)
O
Q(q1,q2,q3)
Ángulo entre dos vectores
Permite definir una métrica en el espacio
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20Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto escalar: propiedadesProducto escalar: propiedades
Propiedades
Asociativa resp. prod. por un escalar
Conmutativa
Distributiva resp. a suma
Cancelativa
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21Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto escalar: base ortonormalProducto escalar: base ortonormal
Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y
de módulo unidad
Producto escalar de dos vectores expresados en una base ortonormal
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22Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto escalar: base ortonormalProducto escalar: base ortonormal
Aplicaciones
Distancia entre dos puntos
Ángulo entre dos vectores
Componentes cartesianas de un vector
Cosenos directores
X1
X2
X3
O
12
3
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23Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto escalar: ecuación vectorial de un planoProducto escalar: ecuación vectorial de un plano
XY
Z
P1
O
P
Punto por el que pasa el plano
Punto genérico del plano
Vector normal al plano
Condición para que el punto P esté en el plano
Ecuación general del plano
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24Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto vectorialProducto vectorial
Definición
El resultado de la operación es un vector
Escritura alternativa
Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo
Permite construir rápidamente vectores perpendiculares
Extrae la componente perpendicular en una proyección ortogonal
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25Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto vectorialProducto vectorial
Condición de paralelismo
=0 =
Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal
Si |u|=1 es la componente perpendicular de la proyección
Área del paralelogramo que forman dos vectores
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26Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto vectorialProducto vectorial
Propiedades
No es asociativo
Anticonmutativa
Asociativa resp. al prod. por un escalar
Distributiva respecto a la suma
Cancelativa
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27Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto vectorial: base cartesianaProducto vectorial: base cartesiana
Es una base ortonormal dextrógira
Expresión en una base ortonormal
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28Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto vectorial: ecuación vectorial de una rectaProducto vectorial: ecuación vectorial de una recta
Punto por el que pasa la recta
Punto genérico de la recta
Vector director de la recta
Condición para que el vector sea paralelo al vector director
Ecuaciones de la recta
XY
Z
O
P
P1
r
Vectorial Paramétricas Continua
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29Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto mixtoProducto mixto
Definición: involucra tres vectores
El resultado de la operación es un escalar
El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo
Condición de coplanariedad
h
Tres vectores forman una base si y solo si su producto mixto es no nulo
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30Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto mixtoProducto mixto
Propiedades
Permutabilidad cíclica
Permutabilidad acíclica
Expresión en una base cartesiana
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31Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineadosProducto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados
X Y
Z
P1
O
P3
P2
Puntos por los que pasa el plano
Condición de coplanariedad
Punto genérico del plano
Ecuación del plano
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32Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
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33Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Doble producto vectorialDoble producto vectorial
Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales
Definición: involucra tres vectores
El resultado de la operación es un vector
Resolución de un sistema de ecuaciones vectoriales
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34Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
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35Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Derivada de un vectorDerivada de un vector
Un vector puede ser función de una variable (típicamente el tiempo)
Variación del módulo
Variación de la dirección
En general varían las dos cosas
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36Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Derivada de un vectorDerivada de un vector
Derivada de un vector expresado en una base cartesiana
Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores
Los vectores de la base cartesiana no dependen del tiempo
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37Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
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38Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Vectores deslizantesVectores deslizantes
AG
B1
B2
La fuerza F equilibra la barra al ser aplicada en cualquier punto de la
recta Δ
AG
Vector deslizante
La misma fuerza aplicada en otra recta no equilibra la barra
Son vectores deslizantes distintos
En un vector deslizante hay que especificar la recta soporte
Producen efectos mecánicos diferentes
El vector a considerado como vector libre se llama cursor del vector deslizante
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39Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Vectores deslizantes: momento de un vector deslizanteVectores deslizantes: momento de un vector deslizante
La recta soporte puede especificarse usando el momento del vector
respecto a un punto
OP1
El momento es el mismo para todos los puntos P1 de la recta
Es perpendicular al plano que contiene a la recta y pasa por el punto O
OP1
P2
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40Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Álgebra de vectores deslizantesÁlgebra de vectores deslizantes
Definimos la suma de un conjunto de vectores deslizantes
El resultado es otro vector deslizante, definido por un cursor R (resultante) y su
momento respecto a un punto MO (momento resultante)
OP
2P1
X
Y
O
P
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41Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
Vectores ligadosVectores ligados
El vector está ligado a un punto
Ejemplo: a cada punto del espacio se le asigna un vector de posición
XY
Z
O
P
El resultado de realizar el desplazamiento indicado por el vector
depende del punto de partida
Ejemplo: momento de un vector deslizante respecto a un punto
Si cambia el punto, cambia la recta soporte del vector deslizante
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42Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ResumenResumen
Definición de vector
Vectores libres
Suma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Conjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del
espacio
Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio
Producto escalar
Condición de ortogonalidad
Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio
Extrae la componente paralela de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección (aplicación
al cálculo de componentes en bases cartesianas)
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43Física I, GIA, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2011/12
ResumenResumen
Producto vectorial
Condición de paralelismo
Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección
Área del paralelogramo
Producto mixto
Condición de coplanariedad
Volumen del paralelepípedo
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Puede cambiar el módulo y/o la dirección
Derivada de un producto escalar y vectorial
Vectores deslizantes y ligados