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Alonso Fernández Galián

- 1 -

TEMA 6: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Una función es una regla de asignación entre dos conjuntos, de manera que a cada elemento del

conjunto inicial le corresponde un único elemento del conjunto final:

f

BA ⎯→⎯

ba →

Aquí estudiaremos funciones en las que tanto el conjunto inicial como el final son conjuntos de

números reales, denominadas funciones reales de variable real. Intuitivamente, una función real

de variable real es una fórmula que define una relación de dependencia entre dos variables.

6.1 EXPRESIÓN ANALÍTICA Y GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Una función real de variable real f es una regla de asignación entre números reales, de manera

que a cada número x real de cierto conjunto D, llamado dominio de la función, le corresponde

otro número real y:

f

D ⎯→⎯

x y→

Se denomina expresión analítica de la función f a una fórmula para calcular y a partir de x.

)(xfy = x es la variable independiente.

y es la variable dependiente.

A su vez, se denomina gráfica de la función f al lugar geométrico de los puntos del plano cu-

yas coordenadas ),( yx satisfacen la expresión analítica de la función.

•Ejemplo: Representar la siguiente función:

2

3)(

−=

xxf

Dominio: Todos los números reales excepto

el 2:

( )=fD 2−

Tabla de valores:

75,015,1335,1175,0

65431012

−−−−

−−

y

x

Gráfica:

•Ejemplo: Representar gráficamente la

siguiente función:

2)( xxf =

Dominio: Todos los números reales:

( )D f =

Tabla de valores:

9410149

32101232xy

x

=

−−−

Gráfica:

Matemáticas I

- 2 -

•Ejemplo: Representar gráficamente la siguien-

te función:

1

4)(

2 +=

x

xxg


( )D f =

Tabla de valores:

2,16,12026,12,1

3210123

−−−

−−−

y

x

Gráfica:

•Ejemplo: Representar gráficamente la

siguiente función:

12)( −= xxf


( )D f =

Tabla de valores:

53113

32101

−−

−

y

x

Gráfica:

•Ejemplo: La tarifa de un parking es la siguiente: 2 euros de inicio más 1,5 euros por hora.

Representa la cantidad a pagar en función de las horas que dejemos el coche en el parking.

Expresión analítica: Si x es el número de horas que el dejamos el coche en el parking, la

cantidad que pagaremos es:

25,1)( += xxf

Dominio: Sólo tiene sentido considerar un número de horas no negativo, 0x . Así:

( ) )+= ,0fD

Tabla de valores: Damos valores en el dominio de la función:

85,655,3225,1

43210

+= xy

x

Gráfica: La gráfica de la función es una recta:

Tema 6: Funciones reales de variable real

- 3 -

Clasificación de funciones. Las funciones se pueden clasificar según su expresión analítica:

Lineales.

Polinómicas: Cuadráticas.

Racionales: …

Algebraicas: Fraccionarias.

Irracionales.

Funciones:

Exponenciales.

Trascendentes: Logarítmicas.

Trigonométricas.

Donde:

• Una función se denomina algebraica si la variable independiente x sólo está afectada por las

operaciones elementales, incluyendo la radicación. En particular:

-Si x está afectada sólo por las cuatro operaciones aritméticas se denomina racional.

52 += xy 652 +−= xxy 1

32 +

=x

xy

-Si x está afectada, además, por una raíz se denomina irracional.

xy = 3 4+= xy 3

2

−=

x

xy

• Una función se denomina trascendente si no es algebraica. Las funciones trascendentes inclu-

yen las funciones exponenciales, las funciones logarítmicas y las funciones trigonométricas.

42 += xy xy 2log= ( )+= xy cos

•Ejemplo: Representar gráficamente la si-

guiente función:

29)( xxf −=

Dominio: Para que el radicando sea positi-

vo, x debe estar comprendida entre –3 y 3:

( ) 3,3−=fD

Tabla de valores:

0583850

3210123

y

x −−−

Gráfica:

•Ejemplo: Representar gráficamente la si-

guiente función:

12)( 2 −−= xxxf


( )D f =

Tabla de valores:

21212

32101

−−−

−

y

x

Gráfica:

Matemáticas I

- 4 -

6.2 CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN

Veamos las principales características que puede tener una función.

Crecimiento y decrecimiento. Intuitivamente, una función es creciente o decreciente en un in-

tervalo si al trazar la gráfica de izquierda a derecha, ésta sube o baja sobre dicho intervalo:

Una función que es siempre creciente o siempre decreciente se denomina monótona.

Extremos relativos. Los extremos relativos de una función corresponden, intuitivamente, a los

puntos donde la gráfica tiene una cumbre, denominados máximos relativos, o un valle, denomi-

nados mínimos relativos.

Periodicidad. Se dice que una función f es periódica de periodo T si su gráfica se repite a in-

tervalos de longitud T. Analíticamente:

f es periódica de periodo T )()( xfTxf =+ , para cualquier valor x

Por ejemplo, las funciones trigonométricas son funciones periódicas.

Una función tiene un máximo relativo en el

punto de abscisa ax = si existe un inter-

valo alrededor de a, ),( haha +− , tal que

cualquier otro valor x de dicho intervalo

satisface que )()( afxf .

Gráficamente:

Una función tiene un mínimo relativo en el

punto de abscisa ax = si existe un inter-

valo alrededor de a, ),( haha +− , tal que

cualquier otro valor x de dicho intervalo

satisface que )()( afxf .

Gráficamente:

Una función es creciente en el intervalo

),( ba si para cualesquiera dos valores del

intervalo, 1x y 2x , se cumple que:

)()( 2121 xfxfxx

Gráficamente:

Una función es decreciente en el intervalo

),( ba si para cualesquiera dos valores del

intervalo, 1x y 2x , se cumple que:

)()( 2121 xfxfxx

Gráficamente:


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Simetrías. La gráfica de una función puede ser simétrica respecto a algún elemento. En particu-

lar, son interesantes las simetrías respecto al eje de ordenadas y respecto al origen:

-Se dice que una función f es par si es simétrica respecto al eje de ordenadas. Analíticamente:

f es par )()( xfxf =− , para cualquier valor de x

-Se dice que una función f es impar si es simétrica respecto al origen. Analíticamente:

f es impar )()( xfxf −=− , para cualquier valor de x

Nota: La terminología “par/impar” proviene de las funciones de la forma nxy = , con n un nú-

mero entero positivo, que son pares o impares dependiendo de si el exponente n es par o impar:

nxy = , n par nxy = , n impar

•Ejemplo: 1

2)(

2 +=

x

xxf es impar.

Analíticamente:

)(1

2

1)(

)(2)(

22xf

x

x

x

xxf −=

+

−=

+−

−=−

•Ejemplo: 3)( 2 −= xxf es par.

Analíticamente:

)(33)()( 22 xfxxxf =−=−−=−

•Ejemplo: La función seno es periódica de periodo 2:

Matemáticas I

- 6 -

6.3 CÁLCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

El dominio de una función es el conjunto de números reales para los cuales está definida la fun-

ción. Cuando una función está dada mediante su expresión analítica, sobreentendemos que su

dominio es el conjunto de valores para los que la expresión analítica tiene sentido.

Dominio de funciones polinómicas. Es igual al conjunto de todos los números reales:

( )D f =

Dominio de funciones con la x en el denominador. Dado que no tiene sentido dividir entre 0,

el dominio de una función fraccionaria está formado por todos los números reales excepto por

aquellos para los cuales se anula el denominador:

( )=fD /x− denominador 0=

Dominio de funciones con raíces cuadradas. El dominio de una función en la que la variable x

está afectada por una raíz cuadrada, o en general por una raíz de índice par, está formado por el

conjunto de números reales para los cuales el radicando es mayor o igual que 0:

( ) /xfD = radicando 0

•Ejemplo: Calcula el dominio de:

4)( 2 −= xxf

El radicando es mayor o igual que cero pa-

ra 2−x y para 2x . Por tanto:

( ) ( )+−−= ,22,fD

Gráficamente:

•Ejemplo: Calcular el dominio de las siguientes funciones:

3

1)(

−=

xxf

1

32)(

+

+=

x

xxg

4

1)(

2 −

+=

x

xxh

El dominio son todos los números reales excepto para los que se anula el denominador:

( )D f = 3− ( )D g = 1−− ( )D h = 2,2 −−

Gráficamente:

•Ejemplo: Calcula el dominio de:

3)( −= xxf

El radicando es mayor o igual que cero pa-

ra 3x . Por tanto:

( ) )+= ,3fD

Gráficamente:


- 7 -

6.4 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas dos funciones f y g , se define la función f compuesta con g como la función que resul-

ta de aplicar la función f al valor )(xg . Se denota por gf :

( ) ( ))()( xgfxgf =

La composición de funciones no es conmutativa, es decir, fggf .

La función identidad. Se denomina función identidad a la función que

asigna a cada número real el propio número. La denotaremos por id:

xxidx =→ )(

Su gráfica es la bisectriz de los cuadrantes primero y tercero.

La función identidad es el elemento neutro de la composición. Es decir, para cualquier otra fun-

ción f se cumple:

( ) ( ) )()()( xfxidfxidf ==

( ) ( ) )()()( xfxfidxfid ==

Así, al componer con la función identidad se obtiene la función original.

• Ejemplo: Dadas las funciones 2)( xxf = y 23)( −= xxg , calcular gf .

Tabla de valores:

( )

.........

100104

4973

1642

111

420

)()(

−

xgfxgx

Expresión analítica:

( ) ( ) ( ) ( ) 41292323)()( 22+−=−=−== xxxxfxgfxgf

• Ejemplo: Dadas las funciones xxf 2)( = y 2

1)(

2 +=

xxg comprueba que fggf .

( ) ( )

( ) ( )( )

fggf

xxxfgxfg

xx

xgfxgf

+=

+==

+=

+==

2

14

2

12)()(

12

12)()(

22

22

Matemáticas I

- 8 -

La inversa de una función. Intuitivamente, la inversa de la función f el la función que hace lo

contrario que f . Se denota por 1−f . Con más rigor, si yxf =)( entonces,

xyf =− )(1

Alternativamente, la inversa de la función f se puede definir también como la función 1−f que

si se compone con f da como resultado la función identidad:

( ) xxff =− )(1 ( ) xxff =− )(1

La gráfica de una función y la de su inversa son simétricas respecto de la recta xy = :

Cálculo de la inversa de una función. Para calcular la expresión analítica de 1−f :

(i) Despejamos x en la expresión analítica de f , )(xfy = .

(ii) Intercambiamos las variables x e y.

Nota: No todas las funciones tienen inversa en todo su dominio. Por ejemplo, si 2)( xxf = :

xyyxxyiii

=→=→=)()(

2

Pero la expresión “ xy = ” no define una función, pues a cada valor de x le asigna dos valo-

res de y. Para obtener una función debemos especificar uno de los dos valores, lo que correspon-

de a restringir previamente el dominio de la función 2)( xxf = .

0,)( 2 = xxxf 0,)( 2 = xxxf

• Ejemplo: Calcular la inversa de la función 53)( −= xxf .

3

5

3

553

)()( +=→

+=→−=

xy

yxxy

iii

La función inversa es:

3

5)(1 +=− x

xf


- 9 -

6.5 MOVIMIENTOS EN LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Muchas funciones pueden representarse moviendo la gráfica de otra función f más simple.

La opuesta de una función. La gráfica de la función )(xfy −= es la simétrica respecto al eje

de abscisas de la gráfica de f .

Traslaciones horizontales:

-La gráfica de )( pxfy += se obtiene trasladando p unidades a la izquierda la gráfica de f .

-La gráfica de )( pxfy −= se obtiene trasladando p unidades a la derecha la gráfica de f .

Traslaciones verticales:

-La gráfica de qxfy += )( se obtiene trasladando q unidades hacia arriba la gráfica de f .

-La gráfica de qxfy −= )( se obtiene trasladando q unidades hacia abajo la gráfica de f .

•Ejemplo: Dibuja la gráfica de la función 12

1)( +

−=

xxf a partir de la gráfica de

xy

1= .

Matemáticas I

- 10 -

6.6 FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS

Una función puede definirse “pegando” trozos de otras:

El valor absoluto. El valor absoluto de un número real x es el propio número si éste es positivo

y su opuesto si es negativo:

−

=

0 si,

0 si,

xx

xxx

•Ejemplo: Representar gráficamente la función:

−

−

=

2 si7

20 si

0 si

)( 2

xx

xx

xx

xf

La gráfica de la función es:

Nota: La función presenta una discontinuidad en 2=x .

•Ejemplo: Representar gráficamente la función:

−

−

=

5 si8

52 si3

2 si1

)(

2

xx

x

xx

xf

La gráfica de f coincide con:

-La gráfica de 12 −= xy en el intervalo ( )2,− .

-La gráfica de 3=y en el intervalo 5,2 .

-La gráfica de xy −= 8 en el intervalo ( )+,5 .

Así, la gráfica de la función es:


- 11 -

Con ello obtenemos la gráfica de la función valor absoluto, xy = .

Funciones con valor absoluto. En general, el valor absoluto de una función f es la función da-

da por:

−

==

0)( si),(

0)( si),()(

xfxf

xfxfxfy

•Ejemplo: Encuentra el valor absoluto de la función xxf 24)( −= .

La gráfica de f es:

La función es positiva si 2x y negativa si 2x . Por tanto, el valor absoluto de f es:

( )

−

−=

−−

−=

2 si42

2 si24

2 si24

2 si24)(

xx

xx

xx

xxxf

La gráfica de )(xfy = es:

Matemáticas I

- 12 -

6.7 LAS FUNCIONES EXPONENCIALES

Sea a un número real positivo. Se denomina función exponencial de base a a la función:

0,)( = aaxf x

Su dominio son todos los números reales, ( )D f = . Para representar gráficamente una

función exponencial se deben distinguir los casos 1a y 1a .

Nota: Las gráficas de las funciones xy 2= y ( )xy 2/1= son simétricas respecto del eje de

abscisas, pues: x

x

=−

2

12

•Ejemplo: Representar gráficamente las siguientes funciones:

(a) 32)( −= xxf (b) xxg 4,0)( = :

1a

La función es monótona decreciente. Ade-

más, la recta 0=y es una asíntota horizon-

tal a la derecha.

•Ejemplo: Representar la función:

x

x

y 5,02

1=

=

Tabla de valores:

125,025,05,0124

321012

y

x −−

Gráfica:

1a

La función es monótona creciente. Ade-

más, la recta 0=y es una asíntota horizon-

tal a la izquierda.


xy 2=

Tabla de valores:

84215,025,0

321012

y

x −−

Gráfica:


- 13 -

6.8 LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS

La inversa de la función exponencial es la función logarítmica. Empecemos recordando la defi-

nición del logaritmo de un número.

El logaritmo de un número. Sea a un número real positivo, 0a , y distinto de uno, 1a . Se

define el logaritmo en base a de un número N como el número al que hay que elevar a para ob-

tener N. Es decir:

NapN pa ==log

Nota: Los logaritmos en ciertas bases son especialmente importantes, y por ello reciben un

nombre y una notación especiales:

-Logaritmo decimal: Es el logaritmo en base 10. Se denota simplemente por “log”. Por ejemplo:

2100log = 31000log = 2100

1log −= 201,0log −=

-Logaritmo neperiano: Es el logaritmo en base ...71828,2=e . Se denota por “ln”. Por ejemplo:

2ln 2 =e 5ln 5 =e 01ln = 21

ln2

−=e

Propiedades de los logaritmos. Los logaritmos cumplen las siguientes propiedades:

1.- 01log =a Por ejemplo: 01log 2 = .

2.- 1log =aa Por ejemplo: 12log 2 = .

3.- ( ) MNMN aaa logloglog += Por ejemplo: 5328log4log)84(log 222 =+=+= .

4.- MNM

Naaa logloglog −=

Por ejemplo: 3254log32log

4

32log 222 =−=−=

5.- NpN ap

a loglog = Por ejemplo: 6234log34log 23

2 ===

•Ejemplo: Desarrollar todo lo posible las siguientes expresiones:

C

ABlog 2log AB 5log

B

A

[…]

•Ejemplo: Calcula los siguientes logaritmos:

(a) 38log 2 = (b) 532log 2 = (c) 01log 2 = (d) 38

1log 2 −=

(e) 225log 5 = (f) 481log 3 = (g) 15

1log 5 −= (h) 2

16

1log 4 −=

Matemáticas I

- 14 -

Las funciones logarítmicas: Sea a un número real positivo y distinto de 1. Se denomina función

logarítmica en base a a la función:

xxf alog)( =

Su dominio son todos los números reales positivos, ( ) ( )+= ,0fD . Como en el caso de las

funciones exponenciales, para dibujar la gráfica de una función logarítmica deben distinguirse

los casos 1a y 1a .

La función logarítmica es inversa de la función exponencial. La función logarítmica en base a

es la inversa de la función exponencial de base a. Veamos:

( ) ( ) xxaxaxgfaxg

xxfa

xax

a====

=

=1loglog)(

)(

log)(

1a

La función es monótona decreciente en su

dominio. Además, la recta 0=x es una

asíntota vertical.


xy 5,0log=

Tabla de valores:

321012

84215,025,0

−−−y

x

Gráfica:

1a

La función es monótona creciente en su

dominio. Además, la recta 0=x es una

asíntota vertical.


xy 2log=

Tabla de valores:

321012

84215,025,0

−−y

x

Gráfica:

[…]

(a) CBACABC

ABloglogloglogloglog −+=−= .

(b) BABAAB log2loglogloglog 22 +=+= .

Podemos eliminar una raíz escribiéndola como una potencia:

(c) ( ) BABAB

A

B

A

B

Alog

5

1log

5

1loglog

5

1log

5

1loglog

5

1

5 −=−==

= .


- 15 -

Cálculo del dominio de una función

1. Calcula el dominio de las siguientes funciones:

(a) 53)( 3 −+= xxxf (b) 2

1)(

−=

xxf (c)

5

1)(

+

−=

x

xxf

(d) x

xxf

43)(

−= (e)

9

3)(

2 −=

xxf (f)

82

12)(

2 −+

+=

xx

xxf

(g) 82

105)(

2 −

+=

x

xxf (h)

1

2)(

2 +=

x

xxf (i)

44

5)(

2 +−

+=

xx

xxf


(a) 4)( −= xxf (b) 7)( −= xxf (c) 102)( −= xxf

(d) 3)( += xxf (e) 33)( 2 −= xxf (f) 9)( 2 −= xxf


(a) 105

1)(

−=

xxf (b)

1)(

2 −=

x

xxg

4. Calcula el dominio de las siguientes funciones.

(a) 23)( += xxf (b) 62

1)(

−=

xxf (c)

492

45)(

2

2

+−

+−=

xx

xxxf

(d) ( ) 5f x x= − (e) xx

xf4

5)(

3 −= (f)

2( ) 5 4f x x x= − +

(g) 96

1)(

2 +−

−=

xx

xxf (h)

1

3)(

−=

xexf (i)

3)(

−=

x

xxf

Composición de funciones. La inversa de una función

5. Sean 13)( += xxf y xxxg 2)( 2 −= . Escribe la expresión analítica de gf .

6. Sean 2)( xxf = y 4)( 3 −= xxg . Calcula ( ) )(xgf y ( ) )(xfg , y comprueba que no

coinciden.

7. Sean las siguientes funciones:

3)( 2 −= xxf xxh sen )( = x

xg1

)( = 4

3)(

−=

x

xxu

Calcula: ( ) )(xgf , ( ) )(xfh , ( ) )(xuf y ( ) )(xgu .

EJERCICIOS DEL TEMA 6

Matemáticas I

- 16 -

8. Sean xxf =)( y 3

1)(

+=

xxg . Escribe la expresión analítica de las siguientes funciones y

simplifícala:

(a) gf (b) fg (c) ff (d) gg

9. Encuentra en cada caso dos funciones cuya composición sea la que se indica:

(a) ( ) 2)( 3 += xxgf (b) ( )xx

xgf5

1)(

2 += (c) ( ) xxgf 31)( +=

10. Calcula la inversa de la función 2)( 3 += xxf y comprueba que al componerlas resulta la

función identidad.

11. Calcula la inversa de la función 42)( −= xxf y comprueba que las gráficas son simétricas

respecto de la recta xy = .

12. Calcula la inversa de las siguientes funciones:

(a) 13)( += xxf (b) 1

33)(

+

−=

x

xxf (c) 32)( xxf −=

(d) 2

3)(

+=

xxf (e)

1

1)(

3 +=

xxf (f) 4

7

2)( −=

xxf

13. Calcula la inversa de xxf cos3)( −= y comprueba que al componerlas resulta la identidad.

Gráfica de las funciones elementales

16. Representa las siguientes funciones definidas a trozos:

(a)6 si 3

( )2 5 si 3

x xf x

x x

− =

− (b)

+−

+

=

4 si7

41 si3

1 si12

)(

xx

x

xx

xf (c)2 si 1

( )3 si 1

xf x

x x

−=

+ −

17. Representa las siguientes funciones cuadráticas haciendo una tabla de valores alrededor del

vértice. Calcula también los puntos de corte con los ejes:

(a) 2 2 8y x x= − + (b) 22 4y x x= − + (c) 1072 +−= xxy

18. Representa gráficamente las siguientes funciones moviendo la gráfica de la parábola 2xy = .

(a) ( )21 2)( −= xxf (b) ( )22 4)( += xxf (c) ( ) 21)(2

3 +−= xxf

(d) 3)( 24 −= xxf (e)

25 4)( xxf −= (f) ( )26 32)( +−= xxf

19. Representa las siguientes funciones definidas a trozos:

(a)

−

−=

31 si23

12 si)(

2

xx

xxxf (b)

2 1 si 2

( ) 2 si 2 5

3 si 5

x x

f x x

x x

+

= +


- 17 -

20. Representa gráficamente las siguientes funciones a partir de la gráfica de xy /1= .

(a)2

1)(

−=

xxf (b)

4

1)(

+=

xxf (c)

3

1)(

−

−=

xxf

(d) 21

)( +=x

xf (e) 23

1)( +

−=

xxf (f) 1

1

1)( −

−=

xxf

21. Escribe las siguientes funciones a partir de xy /1= y representa:

(a)2

53)(

−

−=

x

xxf (b)

2

32)(

+

+=

x

xxf

22. Representa la función 4

( )3

xf x

x

−=

− y calcula su dominio y sus puntos de corte con los ejes:

23. Escribe el dominio y representa:

(a) ( ) 3f x x= + (b) ( ) 2f x x= −

24. Representa la función 12 3xy −= − ayudándote de una tabla de valores si es necesario.

25. Representa las siguientes funciones a partir de la gráfica de xy e= .

(a) 3xy e= − (b) 4xy e−= −

26. Calcula los puntos de corte con los ejes de 1 2xy e −= − . Después, esboza su gráfica.

27. Representa en la misma cuadrícula las funciones xy 2log= y xy 2= .

28. Calcula el dominio y representa a partir de una tabla de valores:

(a) ( )3log)( 2 += xxf (b) ( )2log1)( 2 −+= xxf

29. Calcula los puntos de corte con los ejes de la función ln( 4)y x= + y esboza su gráfica.

30. Calcula la inversa de la función xxf 2log3)( += .

31. Calcula la inversa de las siguientes funciones:

(a) xxf 2log1)( −= (b) ( )3log)( 2 += xxf (c) xxf 54)( +=

(d) 237)( −+= xxf (e) xxf ln2)( += (f) 2

5

)(

−

=

x

exf

32. Utiliza una tabla de valores para representar las siguientes funciones e indica su periodo:

(a) xy cos= (b) xy cos3= (c)

=

2 cos

xy

31. Representa gráficamente la función 2)( −= xxf .

32. Representa gráficamente la función 2( ) 5 4f x x x= − + .

Matemáticas I

- 18 -

Anexo: Estudio de una función

33. Estudia la simetría de las siguientes funciones.

(a) 53)( 2 −= xxf (b) xxxf 32)( 3 += (c) 2

1)(

xxf =

(d) 32)( 2 ++= xxxf (e) 1

)(2

3

+

+=

x

xxxf (f)

2

4

3

1)(

x

xxf

+=

(g) x

xxf

cos)( = (h) 26)( 24 −+= xxxf (i)

2

cos1)(

x

xxf

+=

34. Representa gráficamente nxy = para =n 2, 3, 4 y 5.

35. Representa mediante una tabla de valores la función 2

3( )

1

xf x

x=

+ e indica sus intervalos de

crecimiento y de decrecimiento y sus máximos y mínimos relativos.

tema 6: funciones reales de variable real · 0,75 1 1,5 3 3 1,5 1 0,75 ... intuitivamente, una...

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