TEMA 6 FUNCIONES

6.1 Definición de funciónEjemplo :Determina cuáles de las siguientes relaciones son funciones:

1.

A � B

1 � 2

2 � 3

3 � 4

4 � 5

5 � 6

Si es una función pues a cada número del conjunto A le asignamos un único número delconjunto B

2.

A � B

1 � 2

2 � 4

3 � 6

4 � 8

5 � 10

1 � 12

No es una función pues al número 1 le estoy asignando dos valores distintos.

3.

A � B

1 � 2

2 � 3

3 � 2

4 � 3

5 � 2

Si es una función pues a cada valor de A le corresponde un único valor de B (ojo, puede quemás de un valor de A le asignamos el mismo valor de B).

6.2 Representación gráfica de funcionesEjemploVamos a representar las relaciones del apartado anterior:

1.

A � B

1 � 2

2 � 3

3 � 4

4 � 5

5 � 6

da lugar a los siguientes puntos del plano cartesiano:

��1, 2�, �2, 3�, �3, 4�, �4, 5�, �5, 6��

1

2

A � B

1 � 2

2 � 4

3 � 6

4 � 8

5 � 10

1 � 12

da lugar a los siguientes puntos del plano cartesiano:

��1, 2�, �2, 4�, �3, 6�, �4, 8�, �5, 10�, �1, 12��

1. La diferencia entre ambas gráficas está en que la segunda tiene una vertical sobre la que sepintan dos puntos. La primera se corresponde con la gráfica de una función, mientras que lasegunda es la gráfica de una no función

EjemploDetermina cuáles de las siguientes gráficas se corresponden con funciones:1.

2

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

No es una función pues en cada vertical tenemos dos alturas,lo que significa que a cada valordel eje OX(número real) le estamos asignando dos valores distintos: no un único valor!!!

2.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

5

10

15

20

25

x

y

Si se trata de una función pues para cada vertical hay un sólo punto de corte lo que significaque a cada valor del eje OX(número real) le asignamos una única altura.

6.3 Dominio e imagen de una funciónSe llama imagen de una función al conjunto de valores que pued e tomar la variable dependiente .Se denota por Im f.Se llama dominio de una función al conjunto de valores que pue de tomar la variableindependiente . Al dominio de una función se le denota por Dom�f�

EjemploDetermina para las siguientes funciones su dominio y su imagen.

3

1.

A � B

1 � 2

2 � 3

3 � 4

4 � 5

5 � 6

6

7 � 9

10

El conjunto de partida es A � �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7�El conjunto final es B � �2, 3, 4, 5, 6, 9, 10�Dom�f� � �1, 2, 3, 4, 5, 7�Im f � �2, 3, 4, 5, 6, 9�

2.

A � B

1 � 2

2 3

3 � 4

4 5

5 � 6

6 7

7 � 8

8 9

9 � 10

10 11

�

A � �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10�

B � �2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11�

Dom�f� � �1, 3, 5, 7, 9�

Im f � �2, 4, 6, 8, 10�

3. f�x� � x2 � 1 �a cada número le asociamos su cuadrado más una unidad.Como para cada número que elija, su cuadrado es único, al sumarle la unidad, el númeroresultante será también único, esto es una función.Como esta operación la puedo hacer con cualquier número, el dominio de la función son todoslos números reales. Se resume en Dom�f� � RCualquier número elevado al cuadrado es positivo o cero por lo que al sumarle uno nosquedará un número mayor o igual que uno. Se resume en Im f � �1,��, es decir, todos losnúmeros reales mayores o iguales que uno.La representación gráfica de esta función es:

4

Si colocamos una "lámpara" encima y debajo de la curva, nos queda sombreado todo el ejehorizontal (eje X o eje de abscisas), por eso Dom�f� � R. Si colocamos una "lámpara" a laizquierda y a la derecha de la curva, nos queda sombreado desde el 1 hacia arriba en el ejevertical (eje Y o eje de ordenadas), por eso Im f � �1,��

4. Consideramos la gráfica siguiente:

Dom�f� � �0,�� pues al colocar el "sol" sobre la gráfica de la función, nos queda sombreada laparte positiva del eje OX incluyendo el cero.Im f � �0,�� pues al colocar el "sol" a la derecha de la función, nos queda sombreada la partepositiva del eje OY incluyendo el cero.La función pintada viene dada analíticamente por f�x� � � xComo tienes una raiz cuadrada sólo puedes hacerla para números positivos o cero y elresultado será un número positivo o cero.

5. f�x� � 1x � 2

� ¿Dom�f�?

f�1� � 11 � 2

� 13

� 0. 333 33

f��1� � 1�1 � 2

� 1. 0

Este cociente no tiene sentido si el denominador es cero. Tenemos que averiguar donde eldenominador es cero:x � 2 � 0 � x � �2Finalmente Dom�f� � R� ��2�� ¿Im f?

Vamos a calcular la imagen de algunos valores reales:

� � f��2. 00000000001� � 1�2. 00000000001 � 2

� � 1. 0 � 1011

� f��1. 99999999999999999� � 1�1. 99999999999999999 � 2

� 1. 000 0 � 1017

� f��2. 001�� f��1. 999�� f��2. 000001�� f��1. 999999�

Es decir, que a la derecha del �2,cerca de el, los valores de f en esos puntos se van haciendocada vez más grandes (números con muchas cifras y un signo positivo delante). Mientras que ala izquierda del �2, cerca de el, los valores de f en esos puntos se van haciendo cada vez máspequeños (números con muchas cifras y un signo negativo delante).Ahora vamos a evaluar la función en otros valores no cercanos a �2.� f��10�� f��1000�� f��1000000�

5

Es decir, que si tomamos valores con muchas cifras y negativos, me van saliendo valores cadavez más cercanos a cero (negativos).� f�10�� f�1000�� f�1000000�

Es decir, que si tomamos valores con muchas cifras y positivos, me van saliendo valores cadavez más cercanos a cero (positivos). Se cumple que:� Como siempre tenemos uno para repartir, coloquemos lo que coloquemos en el

denominador, siempre nos va a quedar un número no nulo.Finalmente Im f � R� �0�

6.4 Crecimiento y decrecimientoUna función es constante cuando la variable dependiente no v aría al aumentar la variableindependiente .

EjemploEstudia los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes, así como los puntosdónde se alcanzan máximos y mínimos relativos:

1. Dom�f� � ��8, 7� � todos los números reales comprendidos entre -8 y 7, incluidos. Sobre ellos, opor debajo de ellos, tenemos alturas.Im f � ��3, 2� �todos los números reales comprendidos entre -3 y 2, incluidos. A su izquierda, oa su derecha, nos encontramos con la gráfica de la función.Tenemos que:� la función es creciente en los intervalos: ��8,�4� � �2, 3� � �6, 7�

6

� la función es decreciente en los intervalos: ��4,�1� � �3, 4�� la función es constante en los intervalos: ��1, 2� � �4, 6�

Se dice que una función tiene un máximo relativo en un punto , si alrededor de el , todos losdemás puntos tienen una altura menor .Se dice que una función tiene un mínimo relativo en un punto , si alrededor de el , todos los demáspuntos tiene una altura mayor .1. Por otro lado se cumple que:

� los máximos relativos están sobre los valores de x: ��4, 3, 7�. Y no hay un máximoabsoluto.

� los mínimos relativos están sobre los valores de x: ��8�.Y se trata de un mínimoabsoluto.

Además, nuestra función es continua dado que la podemos pintar en su totalidad sin levantar ellápiz del papel.

6.5 ContinuidadEjemploEstudia la continuidad de la siguiente función:

1. Primero tenemos las siguientes propiedades:� Dom�f� � ��4, 2� � �3, 7� � �8, 11� intervalos del eje OX� Im f � ��1, 4� intervalo del eje OY

� Crecimiento y decrecimiento:Creciente sobre los intervalos del eje OX:��4, 1� � �3, 5� � �8, 10�

� Decreciente sobre los intervalos del eje OX: �1, 2� � �5, 7� � �10, 11�� Máximos y mínimos:

� Tenemos máximos relativos en x � �1, 5, 10�. Sin ser ninguno de ellos el máximoabsoluto.

� Tenemos mínimos relativos en x � ��1, 2, 3, 7, 8, 10�. Sin ser ninguno de ellos elmínimo absoluto

� Continuidad:� En nuestro caso la función es continua sobre todo su dominio. Si es cierto que no

se puede ir de el punto A al punto J sin levantar el lápiz del papel, pero es comosi tuviesemos tres continentes separados, y en cada uno de ellos la función escontinua (hay carreteras que comunican sus puntos).

� Puntos de corte con los ejes de coordenadas:� Con el eje OX, tenemos los puntos de coordenadas ��3. 25, 0�, �6. 25, 0�� Con el eje OY, tenemos el punto de coordenadas �0, 3. 5�

Tareas 10-02-2014: 1,2,3 de la página 164

Ejemplo7

9 De los siguientes pares de magnitudes, señala cuáles son las que tienen una relación funcional.a. El volumen de cubo y su arista.Si es una relación funcional dado que a cada valor de la arista le corresponde un único cuboque es el volumen.

1. V�x� � x3

¿Dom�V�?Dado que estamos considerando un cubo, el volumen sólo tendrá sentido si la arista espositiva; entonces Dom�V� � R�, es decir, todos los números reales positivos.b La edad de una persona y el color de sus ojos.

No es una relación funcional pues no hay una expresión algebraica que nos de el color de losojos en función de la edad.c El importe del recibo de la luz y la cantidad de electricidad que gasta una casa.

Si, basta multiplicar la cantidad de electricidad por el precio de la unidad de electricidad ysumarle unos costes fijos.d La edad de una persona y la talla de su camisa

No, la razón es la misma que la del apartado b.10 Escribe la relación entre los metros cúbicos de agua consumidos y el importe que debemos

pagar si por 1m3 de agua fría se paga 1. 5 euros.

metros cúbicos 1 2 3 4 5 6 ....... x

importe 1. 5 3 4. 5 6 7. 5 9 ....... 1. 5x

f�x� � 1. 5x11 ¿Cuál es la expresión de la función que relaciona el coste de la gasolina consumida con los

kilómetros recorridos por un coche que gasta 6 euros cada 80 km?Lo primero es averiguar cuanto gasta en un km. Para ello tenemos la tabla siguiente:

gasto 6 x

km 80 1�las magnitudes son directamente proporcionales� 6

80� x

1� x � 3

40euros

gasta en un km.

G�x� � 340

x

12 Si el área de la circunferencia es A � �r 2, indica cuáles son la variable dependiente y lavariable independiente.Variable dependiente� AVariable independiente� rSegún sea el radio, así será la superficie.Se debería escribir A�r� � �r 2

Tareas 11-02-2014: ejercicios 4,5,6 de la página 16513 Construye una tabla para las funciones de los ejercicios 10 y 11. Indica cuál es la variable

8

independiente y cuál es la variable dependiente.� 13.10� f�x� � 1. 5x

variable independiente� xvariable dependiente� f�x�

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 1. 5 3 4. 5 6 7. 5 9 10. 5 12 13. 5 15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

12

14

x

y

Se unen los puntos, dado que el consumo no es exacto, no siempre es un número natural, hayconsumos decimales.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

4

6

8

10

12

14

x

y

� 13.11� G�x� � 340

x

variable independiente� xvariable dependiente� G�x�

x 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

y 340

3040

6040

9040

12040

15040

18040

21040

24040

27040

30040

9

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

x

y

Teniendo en cuenta los km que recorremos no es una cantidad exacta, podemos unir lospuntos.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

1

2

3

4

5

6

7

x

y

ATENCIÓN: las dos representaciones gráficas hechas, son líneas (rectas). Observa que laexpresión de la función es un número fijo por la variable independiente x.

14 Si el área de un cuadrado de lado x es A�x� � x2, construye la tabla que representa el área.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100

10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

y

Dado que los lados de un cuadrado, pueden ser números decimales, se pueden unir los puntospara obtener:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

x

y

Se trata de un trozo de parábola, se debe a que la expresión analítica de la función tiene comoen la variable independiente x un cuadrado como mayor exponente.

Tareas 12-02-2014: todos los ejercicios de las páginas 29, 30 y 3115 Un grifo vierte 0. 2 l de agua por segundo. Construye la tabla que representa los litros recogidos

según el tiempo transcurrido en minutos.

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120

11

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

x

y

Como el tiempo tiene intervalos intermedios entre los minutos, podemos unir los puntos paraobtener:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

x

y

Recuerda que 1 min � 60s¿Cuál es la expresión de la función que da el agua consumida en función de los minutos quehan pasado?f�x� � 60 � 0. 2 � x � 12x donde x es el número de minutos transcurridosSu representación gráfica es una línea.

16 Construye las tablas de valores correspondientes a las funciones dadas y represéntalas en losmismo ejes de coordenadas.a) y � 2x � 2

x -2 -1 0 1 2 3 4

y

x -2 -1 0 1 2 3 4

y �6 �4 �2 0 2 4 6

12

-2 -1 1 2 3 4

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

Y como la x puede tomar cualquier valor, se pueden unir los puntos para que nos quede unarecta de la forma siguiente:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-12

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

Comparando las cuatro gráficas, hay tres que pasan por el origen de coordenadas y una no. Ladiferencia estriba en que las tres primeras tienen de expresión de la función y � ax donde a esun número cualquiera, mientras que en la cuarta tenemos y � ax� b donde a y b son númeroscualesquiera.b) y � �x � 3

x �2 �1 0 1 2 3 4

y

x �2 �1 0 1 2 3 4

y �1 �2 �3 �4 �5 �6 �7

13

-2 -1 0 1 2 3 4

-7

-6

-5

-4

-3

-2

x

y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

x

y

Hemos pintado dos rectas.Una recta queda unívocamente determinada cuando se conocen dos de sus puntos . Por lo tanto ,hemos pintado demasiados puntos para obtener nuestra "aspa ", hubiesen bastado cuatro . Porotro lado , toda expresión de la forma y � mx� n tiene por representación una recta .17 Completa la tabla que relaciona el área del cuadrado con su lado y dibuja la gráfica

correspondiente.Expresión analítica de la función� A�l� � l 2

14

l 0 cm 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm

A

l 0 cm 1 cm 2 cm 3 cm 4 cm

A 0 1 4 9 16

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

Como los lados del cuadrado admiten medidas intermedias, podemos unir los puntos para quenos quede:

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

2

4

6

8

10

12

14

16

x

y

15

Se trata de un trozo de parábola.Toda expresión de la forma y � ax2 � bx� c se representa mediante una parábola .

FOTOCOPIAS93 Indica si las siguientes relaciones definen una función o no. Justifica tu respuesta.

a) A cada persona le correponde su edad en años.Si es una función pues cada persona en un instante tiene una única edad.b) A cada persona le corresponde los idiomas que habla.Si es una función pues cada persona habla un número determinado de idiomas, ese número esúnico para esa persona.c)

94 Indica el dominio y el recorrido de las siguientes funciones.a) f�x� � 5x � 1Dom�f� � R pues para cualquier número real, se puede multiplicar por 5 y sumarle al resultadouno.Im f � R pues siempre que elijas un número real, se puede encontrar otro que multiplicado por 5y sumado con la unidad nos de el elegido.b) f�x� � x2

Dom�f� � R pues de cualquier número real se puede calcular su cuadrado.Im f � �0,�� pues el cuadrado de cualquier número es positivo o cero.

c) f�x� � 3x � 3

Dom�f� � R� �3� pues no se puede dividir entre cero.

Si x � 3 � f�3� � 33 � 3

� 30

no tiene sentido.

Por lo tanto , si nos dan una función con denominador , se buscan los puntos donde eldenominador se anula , y esos valores son los que se suprimen del dominio .Im f � R� �0�

x 100 10 3. 1 3. 001 2. 999 0 �10 �100

y

Viendo la tabla de valores anterior, resulta que vamos desde números próximos a ceropositivos a números muy grandes con signo positivo; números muy grandes con signo negativoa números próximos a cero negativos.Gráficamente es:

16

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

d) f�x� � � 1x

Dom�f� � R� �0�Se debe a que no se puede dividir entre cero nunca: si la x � 0, habríamos de dividir entre cero,por eso hay que quitar este valor del dominio.Im f � R� �0�

x �100 �10 �5 �0. 1 �0. 001 0. 001 0. 1 5 10 100

y

Nos salen valores que van desde muy próximos a cero positivos hasta valores muy grandespositivos; números muy grandes con signo negativo a valores próximos a cero negativos.Gráficamente:

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-2

-1

1

2

x

y

106 Di si son continuas las siguientes funciones: en caso contrario, da los puntos de discontinuidad.a)

17

-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1

1

2

3

4

x

y

� Dom�f� � ��2, 11�� Im f � �1, 3�� Continuidad: Es continua desde �2 hasta 11.� Crecimiento y decrecimiento:

� Creciente en los intervalos: �0, 1� � �3, 4� � �6, 7� � �9, 10�� Decreciente en los intervalos: ��2, 0� � �1, 3� � �4, 6� � �7, 9� � �10, 11�

� Máximos y mínimos:� Máximos relativos en x � ��2, 1, 4, 7, 10�� Mínimos relativos en x � �0, 3, 6, 9, 11�

b)

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

-1

1

2

3

4

5

x

y

� Dom�f� � �0, 11�� Im f � �0, 4�� Continuidad: Es discontinua en x � �2, 4, 6�.� Crecimiento y decrecimiento:

� Creciente en los intervalos:�0, 2�� Decreciente en los intervalos:�4, 6�� Constante en los intervalos:�2, 4� � �6, 11�

� Máximos y mínimos� Máximos relativos en x � �2, 4�� Mínimos relativos en x � �0, 6�

107 Dibuja dos funciones, una continua y otra con puntos de discontinuidad en x � �2, 4,�3�

18

a) Función continua: respuesta abierta.b) Función discontinua en x � �2, 4,�3� : respuesta abierta

109 Indica entre que valores la función es creciente y entre cuáles es decreciente:� Creciente en los intervalos: ��3, 3�� Decreciente en los intervalos: ��6,�3� � �3, 6�

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

Tareas 10-03-2014: 110 de la página 33 de las fotocopias.112 Indica los máximos y los mínimos de las funciones dadas por las siguientes gráficas.

b) 2x

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

10

20

30

x

y

Se trata de una función que es siempre creciente, pues al desplazarnos de izquierda a derechavamos siempre ganando altura. Entonces no tiene ni máximos ni mínimos.

Tareas 10-03-2014: 112 a)113 Dibuja una función que tenga un máximo absoluto en x � 0, máximos relativos en x � �2 y

x � 2, un mínimo relativo en x � 1 y un mínimo absoluto en x � �1

19

119 Halla los puntos de corte con el eje OX de las siguientes funciones:b) g�x� � x2 � 6x � 5� Puntos de corte con el eje OX.

Hacemos 0 � x2 � 6x � 5 una ecuación de 2º grado completa con

a � 1

b � �6

c � 5

que resolvemos

aplicando la fórmula:

x ��b � b2 � 4ac

2a�

���6� � ��6�2 � 4 � 1 � 52 � 1

�6 � 16

2�

� 6 � 42

�

6 � 42

� 102

� 5

6 � 42

� 22

� 1

Entonces los puntos de corte con el eje OX son ��5, 0�, �1, 0��� Puntos de corte con el eje OY.

g�0� � 02 � 6 � 0 � 5 � 0 � 0 � 5 � 5Entonces el punto de corte con el eje OY es �0, 5�Gráficamente es:

-1 1 2 3 4 5 6 7

-10

10

20

30

40

x

y

Tareas 11-03-2014: 119 a (cortes con los dos ejes)120 Halla los puntos de corte con el eje OX de las siguientes funciones. Luego, represéntalas para

comprobar el resultado.d) j�x� � 7

20

� Cortes con el eje OX.

Hacemos 0 � 7 IMPOSIBLE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!Luego, no hay puntos de corte con el eje OX� Cortes con el eje OY

Calculamos j�0� � 7Entonces el punto de corte con el eje OY es �0, 7�Vamos a interpretar la función j�x� � 7 significa que para cualquier valor de la x, la altura que lecorresponde es siete.Gráficamente es:7

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

6.5

7.0

7.5

8.0

x

y

La función y el eje OX son paralelos, por lo que nunca se cortan.Tareas 11-03-2014: 120 a b cTareas 11-03-2014:122,123,124126 Interpreta la siguiente gráfica:

a) Dominio y recorrido.� Dom�f� � ��9, 9�� Im f � ��6, 6�

b) Continuidad.Se dice que es discontinua en x � 0.OSe dice que la función es continua en ��9, 9� � �0�c) Monotonía.

� Creciente en los intervalos� ��7,�5� � ��3, 0� � �0, 9�� Decreciente en los intervalos� ��9,�7� � ��5,�3�� Constante en los intervalos�

d) Extremos relativos:� Máximos relativos en x � ��5�� Mínimos relativos en x � ��7,�3�

Tareas 12-03-2014: 127FOTOCOPIAS DE LAS PÁGINAS 36,37,38 DEL LIBRO DE APOYO18a) Es una función discontinua en x � 0 pues por la izquierda de ese valor llegamos hasta el punto �0, 1�,saltamos arriba hasta el punto �0, 3. 5� para luego seguir pintando hacia la derecha.b) La función es continua pues la podemos pintar de izquierda a derecha sin levantar el lápiz del papel.c) Es una función discontinua en x � �2 pues por la izquierda de ese valor llegamos hasta el punto��2, 3�, saltamos abajo hasta el punto ��2, 0� para luego seguir pintando hacia la derecha.d) Es discontinua en x � 0 pues no se llegan a tocar las dos ramas que suben.

21

19a) Dom�f� � ��7, 3. 5�Im f � ��2, 6�b) Dom�f� � ��3, 3�Im f � ��2, 4�20� intervalos de crecimiento:�9, 11� � �13, 16�� intervalos de decrecimiento: �11, 13� � �16, 19�� máximos se alcanzan en los valores de x � �11, 16�.Tenemos el máximo absoluto en x � 11� mínimos se alcanzan en los valores de x � �13, 19�. No tenemos mínimos absoluto21� intervalos de crecimiento:�6, 14�� intervalos de decrecimiento: �14, 22�� intervalos de constancia: �22, 24�� máximos se alcanzan en los valores de x � 14.� mínimos se alcanzan en los valores de x � �6�.22a)a.1) Dom�f� � ��8, 2�a.2) Im f � �1, 6�a.3) La función es continua dado que se puede pintar sin levantar el lápiz del papel.a.4)� intervalos de crecimiento:��8,�7� � ��5,�3� � �0, 2�� intervalos de decrecimiento: ��7,�5� � ��3, 0�

a.5)� máximos sobre los valores de x � ��7,�3, 2�. Tenemos un máximo absoluto en x � 2� mínimos sobre los valores de x � ��5, 0�. Tenemos un mínimo absoluto en x � �5

b)b.1) Dom�f� � ��7. 9, 3�b.2) Im f � ��2, 3�b.3) La función es continua dado que se puede pintar sin levantar el lápiz del papel.b.4)� intervalos de crecimiento:��7. 9,�6� � ��3, 0�� intervalos de decrecimiento: ��6,�3� � �0, 3�

b.5)� máximos sobre los valores de x � ��6, 0�. Tenemos un máximo absoluto en x � 0� mínimos sobre los valores de x � ��3, 3�. Tenemos un mínimo absoluto en x � 3

6.6 Funciones afines23 Representa la función afín y � x � 1, e indica si es creciente o decreciente.

La representación gráfica de una función afin es siempre una recta, por lo que para pintarla nosbastará con conocer dos puntos de la recta.Consideramos la siguiente tabla de valores:

x y

1

3

� si x � 1 � y � 1 � 1 � 0 �tenemos el punto �1, 0� � A� si x � 3 � y � 3 � 1 � 2 �tenemos el punto �3, 2� � B

Nos queda la tabla:

22

x y

1 0

3 2

Se trata de una función creciente, continua en todo su dominio.23 BIS Representa la función afín y � �x � 1, e indica si es creciente o decreciente.

La representación gráfica de una función afin es siempre una recta, por lo que para pintarla nosbastará con conocer dos puntos de la recta.Consideramos la siguiente tabla de valores:

x y

2

4

� si x � 2 � y � �2 � 1 � � 1 �tenemos el punto �2,�1� � A� si x � 4 � y � �4 � 1 � � 3 �tenemos el punto �4,�3� � B

Así, nos queda la tabla de valores:

x y

2 �1

4 �3

Cuya representación gráfica es

1. La función es decreciente y continua en todo su dominio.Conclusión :

23

Dada una función afín y � mx� n, tendremos una recta creciente si m es positivo , y unadecreciente si m es negativo . Además , la recta pasará por el punto �0, n�, por eso n sellama ordenada en el origen .

23 bis bis Representa sobre unos mismos ejes de coordenadas las siguientes funciones afines:� y � 2x � 1� y � 4x � 1� y � x � 1

� y � 12

x � 1

Para cada una habremos de construir una tabla con dos valores, pues recordamos que unarecta queda unívocamente determinada cuando conocemos dos de sus puntos.

� Tabla de y � 2x � 1 �x 1 3

y 3 7� �A � �1, 3�,B � �3, 7��

� Tabla de y � 4x � 1 �x 1 3

y 5 13� �C � �1, 5�,D � �3, 13��

� Tabla de y � x � 1 �x 1 3

y 2 4� �E � �1, 2�,F � �3, 4��

� Tabla de y � 12

x � 1 �x 2 4

y 2 3� �G � �2, 2�,H � �4, 3��

1. Conclusión :� Dependiendo del coeficiente de x la inclinación de la recta , y por tanto , el ángulo

que forma con el eje OX , cambia , de ahí que "m"(coeficiente de la x ) reciba elnombre de pendiente de la recta .

� Todas las rectas pasan por el punto �0, 1� que está sobre el eje OY , tambiénconocido como eje de ordenadas . Date cuenta de que la segunda coordenada deeste puntos se trata de n , que en este caso es 1 . Por eso , "n" recibe el nombre deordenada en el origen .

23 remate Dadas las rectas, o funciones afines, siguientes:

y � 5x � 3

y � �3x � 2

y � 76

x � 5

y � � 49

x � 11

Se pide:23.1) La pendiente de cada una de las rectas.

24

� y � 5x � 3 � m � 5� y � �3x � 2 � m � �3

� y � 76

x � 5 � m � 76

� y � � 49

x � 11 � m � � 49

23.2) La ordenada en el origen, así como las coordenadas del punto asociado a ella.

� y � 5x � 3 �n � �3

punto �0,�3�

� y � �3x � 2 �n � 2

punto �0, 2�

� y � 76

x � 5 �n � �5

punto �0,�5�

� y � � 49

x � 11 �n � 11

punto �0, 11�

Vamos a pasar a pintar las rectas sólo conociendo los datos de su pendiente y su ordenada enel origen, a diferencia de pintar las rectas dando una tabla de valores para conocer dos de suspuntos.

23 traca final Representa estas rectas, o funciones afines, empleando sólamente los conceptos dependiente y ordenada en el origen.� y � 5x � 3

Por el método tradicional, una recta queda unívocamente determinada cuando se conocen dos

de sus puntos. Por ello, consideramos la siguiente tabla de valores: x 0 4

y

� � si x � 0 � y � 5 � 0 � 3 � � 3 � A � �0,�3�� si x � 4 � y � 5 � 4 � 3 � 17 � B � �4, 17�

Me queda de la forma:

x 0 4

y �3 17

Ahora vamos a emplear los conceptos según nos lo pide el problema:

� y � 5x � 3 �m � 5

n � �3 �punto �0,�3�

Hemos pintado el punto �0,�3�, que está asociado a la ordenada en el origen, y desde el noshemos movido una unidad a la derecha y hemos subido cinco pues la pendiente es m � 5.

25

� y � �3x � 2 �m � �3

n � 2 �punto �0, 2�

Primero hay que pintarla utilizando una tabla de valores.

(Para los alumnos)En segundo lugar, utilizando los conceptos de pendiente y ordenada en el origen.Hemos pintado el punto �0, 2�, que está asociado a la ordenada en el origen, y desde el noshemos movido una unidad a la derecha y hemos bajado tres pues la pendiente esm � �3.También, puede ser una unidad a la izquierda y subir tres unidades.

� y � 76

x � 5 �m � 7

6n � �5 �punto �0,�5�

Hemos pintado el punto �0,�5�, que está asociado a la ordenada en el origen, y desde el nos hemosmovido seis unidades a la derecha(denominador) y hemos subido siete(numerador) pues la pendiente esm � 7

6.También, puede ser seis unidades a la izquierda y bajar siete unidades.

26

� y � � 49

x � 11 �m � � 4

9n � 11 �punto �0, 11�

Hemos pintado el punto �0, 11�, que está asociado a la ordenada en el origen, y desde el nos hemosmovido nueve unidades a la derecha(denominador) y hemos bajado cuatro(numerador) pues la pendientees m � � 4

9.También, puede ser nueve unidades a la izquierda y subir cuatro unidades.

Tareas 18-03-2014: 129, 131, 132, 134,Tareas 19-03-2014: 136, 137, 139, 140, 141Tareas 20-03-2014: 143, 145: todos los ejercicios de la página 167

6.6 EscalasActividades Página 1811. a) ¿A qué escala está dibujado este plano?

En una habitación las longitudes se miden en metros.

La escala será E �Lrepresentación

Lreal idad� 0. 008

1� 0. 008

Si medimos una unidad de la regleta es 0. 8 cm � 0. 008Entonces la escala es 8 : 1000 pues así

E � 81000

� 0. 008

Ahora bien, también es cierto que:

E � 81000

� 4500

� 2250

� 1125

fracción irreducible:

27

La escala buena es 1 : 125b) ¿Cuántos metros de largo mide la cocina?La cocina en el plano mide de largo 2. 4 cm � 0. 024 mTenemos la siguiente tabla:

plano 1 0. 024 m

realidad 125 xm

Se trata de magnitudes directamente proporcionales, por lo que será:1

125� 0. 024

x � x � 0. 024 � 1251

� 3 m mide la cocina de largo en la realidad.

c) ¿Y de ancho?La cocina en el plano mide de ancho 2. 3 cm � 0. 023 mTenemos la siguiente tabla:

plano 1 0. 023 m

realidad 125 xm

Se trata de magnitudes directamente proporcionales, por lo que será:1

125� 0. 023

x � x � 0. 023 � 1251

� 2. 875 m mide la cocina de ancho en la realidad.

d) Imagínate que necesitamos comprar un frigorífico para esta casa. Su ubicación seráel hueco de la cocina marcado con un asterisco. ¿De cuántos centímetros de anchopodemos comprar el frigorífico?

En el plano, el ancho mide 0. 5 cmTenemos la siguiente tabla:

plano 1 0. 5 cm

realidad 125 xcm

Se trata de magnitudes directamente proporcionales, por lo que será:1

125� 0. 5

x � x � 0. 5 � 1251

� 62. 5 cm habrá de medir de ancho el frigorífico en la realidad.

e) ¿Cuántos metros cuadrados tiene el salón?Tendremos que calcular el largo y el ancho del salón.� El largo en el plano es 5. 1 cm

Tenemos la siguiente tabla:

plano 1 5. 1 cm

realidad 125 xcm

Se trata de magnitudes directamente proporcionales, por lo que será:1

125� 5. 1

x � x � 5. 1 � 1251

� 637. 5 cm � 6. 375 m es el largo del salón en la realidad.

� El ancho del salón en el plano es 3. 5 cmTenemos la siguiente tabla:

plano 1 3. 5 cm

realidad 125 xcm

Se trata de magnitudes directamente proporcionales, por lo que será:1

125� 3. 5

x � x � 3. 5 � 1251

� 437. 5 cm � 4. 375 m es el ancho del salón en la realidad.

Finalmente la superficie será 4. 375 � 6. 375 � 27. 891 m2

Esta cantidad no es la real, pues habría que quitarle la viga y un trozo que es del cuarto debaño.f) ¿Y la habitación?

Vamos a hacer el problema de otra forma. Vemos que en el plano, las habitaciones estánllenas de cuadrados. Cada cuadrado tiene de lado 0. 3 cmTenemos la siguiente tabla:

28

plano 1 0. 3 cm

realidad 125 xcm

Se trata de magnitudes directamente proporcionales, por lo que será:1

125� 0. 3

x � x � 0. 3 � 1251

� 37. 5 cm en la realidad mide el lado del cuadrado

Entonces el área de cada cuadrado es 37. 52 � 1406. 3 cm2

En la habitación hay 12 � 11 � 2 � 11 � 3 � 6 � 2 � 2 � 171El área será: 1406. 3 � 171 � 2. 404 8 � 105 � 240480 cm2 � 24. 048 m2

FOTOCOPIAS DEL LIBRO DE EJERCICIOS DE 2 º E.S.O. DE LAEDITORIAL SM : TEMA 10 ESCALAS

117 Una maqueta de la torre de Pisa hecha a escala 1 : 300 mide 18 centímetros. ¿Cuánto mide latorre de Pisa en realidad?Tenemos la siguiente tabla:

maqueta 1 18 cm

realidad 300 xcm

Se trata de magnitudes directamente proporcionales, por lo que será:1

300� 18

x � x � 18 � 3001

� 5400 cm � 54 m es la altura real de la torre de Pisa.

Tareas 26-03-2014: 118, 119, 120122 Una copia de un dibujo hecha en una fotocopiadora mide 20 centímetros de ancho por 15

centímetros de alto. Si se ha aplicado una ampliación del 200%, ¿cuánto media el dibujooriginal?

La escala utilizada es E �Lrepresentación

Lreal� 200

100� 2

1, es decir, la escala es 2 : 1

Ten en cuenta que el 100% se convierte en un 200%Tenemos la siguiente tabla:

realidad 1 xcm ycm

copia 2 20 cm 15 cm

Se trata de magnitudes directamente proporcionales será:

�12

� x20

� x � 202

� 10 cm de ancho tiene el dibujo

�12

�y

15� x � 15

2� 7. 5 cm de alto tiene el dibujo

Tareas 26-03-2014: 123, 124125 En una maqueta de la pirámide de Keops, el lado de la base mide 16 centímetros. En realidad,

la pirámide tiene por base un cuadrado de 240 metros de lado.a) ¿A qué escala está hecha la maqueta?

La escala viene dada por E �Lrepresentación

Lreal� 16

24000� 4

6000� 2

3000�

� 11500

Entonces la escala es 1 : 1500Recuerda que 240 m � 24000 cmb) ¿Qué altura tendrá la maqueta de la pirámide, si la verdadera altura de la misma es

de 159 metros?Tenemos la siguiente tabla:

maqueta 1 xm

realidad 1500 159 m

Se trata de magnitudes directamente proporcionales, por lo que será:1

1500� x

159� x � 159

1500� 0. 106 m � 10. 6 cm es la altura de la maqueta de la pirámide de

Keops.

29

Tareas 26-03-2014: 126, 127, 128129 Juan y Rocío van a ir de excursión a la sierra. Salen de su pueblo y quieren llegar al Pico del

Oso. Han consultado un mapa de escala 1 : 150000 y han visto que en el mismo la distancia esde 8. 5 centímetros. Calcula en kilómetros la distancia entre su pueblo y el Pico del Oso.Tenemos la siguiente tabla:

plano 1 8. 5 cm

realidad 150000 xm

Se trata de magnitudes directamente proporcionales, por lo que será:1

150000� 8. 5

x � x � 150000 � 8. 51

� 1. 275 � 106 cm � 1275000 cm �

� 12. 75 kmTareas 27-03-2014: 130, 131, 132, 133, 13443 Sobre un mapa una distancia de 7.5 km está representada por el segmento ĀB� de longitud 1.5

cm. Halla la escala.

E �Lrepresentación

Lreal� 1. 5cm

7. 5km� 1. 5cm

750000cm� 0. 3

150000� 0. 1

50000� 2. 0 � 10�6 �

� 0. 000002 � 2 : 1000000Esto significa:� 2 mm del mapa son 1000000 mm de la realidad� 3 m del mapa son 1500000 m de la realidad� 4 km del mapa son 2000000 km de la realidad44 ¿Qué distancia representa el segmento ĀB� de un mapa en cada uno de los casos siguientes?a) ĀB� � 6cmy la escala es de 10 km por cada centímetro.Serán 60 km.

E �Lrepresentación

Lreal� 1cm

10km� 1cm

1000000cm� 0. 000001 � 1 : 1000000

b) ĀB� � 4cmy la escala es 1 : 50000Esto significa que 1 cm del mapa son 50000 cm de la realidad.Entonces 4 cm del mapa serán 4 � 50000 � 200 000cm � 2000m de la realidad.c) ĀB� � 2cmy la escala es 1 : 1000000Esto significa que 1 cm del mapa son 1000000 cm de la realidad.Entonces 2 cm del mapa serán 2 � 1000000 � 2000 000cm � 20kmd) ĀB� � 7cmy la escala es 250 m por unidad.

E �Lrepresentación

Lreal� 1cm

250m� 1cm

25000cm� 0. 000 04 � 4 : 100000

Esto significa que 4 cm del mapa son 100000 cm de la realidad.Tenemos que hacer una regla de tres directa:

4 100000

7 x� 4

7� 100000

x � x � 7 � 1000004

� 175 000

Entonces 7 cm del mapa son 175000cm � 1750me) ĀB� � 3cmy la escala es 1 : 0. 1Esto significa que 1 cm del mapa son 0.1 cm de la realidad.Esta vez el mapa es más grande que la realidad.Entonces 3 cm del mapa serán 0. 3cm � 3mmde la realidad.45 Sobre un mapa, una distancia de 200 km está representada por el segmento C�D� . Halla la

longitud de dicho segmento en cada caso:a) la escala del mapa es 50 km por centímetro.Esto significa que 1 cm del mapa son 50 km de la realidad.Entonces los 200 km de la realidad son 200 � 50 � 4cmdel mapa.b) la escala del mapa es 10.000 m por centímetro.Esto significa que 1 cm del mapa son 10000 m� 10kmde la realidad.Entonces los 200 km de la realidad son 200 � 10 � 20cmdel mapa.

30

c) la escala es 1 : 500000Esto significa que 1 cm del mapa son 500000 cm� 5kmde la realidad.Entonces los 200 km de la realidad son 200 � 5 � 40cm del mapa.d) la escala es 1 : 1000000Esto significa que 1 cm del mapa son 1000000 cm � 10 km de la realidadEntonces los 200 km de la realidad son 200 � 10 � 20 cm del mapa.e) la escala es 1 : 150000Esto significa que 1 cm del mapa son 150000 cm� 1. 5 km de la realidadEntonces los 200 km de la realidad son 200 � 1. 5 � 133. 33 � 133. 3� cm del mapa.Tareas 13-02-2013: todos los ejercicios de la página 181.

EJERCICIOS DE LAS FOTOCOPIAS SOBRE FUNCIONES

Pagina 21. Halla f��1�, f�0� y f�1� para cada una de las siguientes funciones:c) f�x� � x2 � 1

� f��1� � ��1�2 � 1 � 1 � 1 � 0 � 0

� f�0� � 02 � 1 � 0 � 1 � �1 �no existe� f�1� � 12 � 1 � 1 � 1 � 0 � 0

Tareas 14-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 12 Halla el valor de f��2�, f�0� y f�1� en cada una de las gráficas siguientes:

c) f�x� �

1x � 2

if x � �2

�x if �2 � x � 0

x � 2 if x � 0

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

3

x

y

� f��2� � 2� f�0� � �2� f�1� � �1

Tareas 14-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 2

Pagina 33 Halla el dominio de las siguientes funciones:

f) y � 3x2 � 5x � 2Una raiz cuadrada tiene sentido si el radicando es positivo o cero. Entonces hemos de averiguar losvalores de x para los cuales 3x2 � 5x � 2 � 0Vamos a resolver la siguiente ecuación de 2º grado completa 3x2 � 5x � 2 � 0

31

a � 3

b � 5

c � �2

x ��b � b2 � 4ac

2a�

�5 � 52 � 4 � 3 � ��2�2 � 3

��5 � 25 � 24

6�

�5 � 496

�

� �5 � 76

�

�5 � 76

�5 � 76

�

26

�126

�

13�2

La recta real queda dividida en tres trozos sobre los que hemos de estudiar el signo de 3x2 � 5x � 2

intervalo ���,�2� intervalo �2, 13

intervalo 13

,�

signo 3x2 � 5x � 2 � � �

� tomamos un valor cualquiera del intervalo ���,�2� :� x � �3 � 3 � ��3�2 � 5 � ��3� � 2 � 3 � 9 � 15 � 2 � 27 � 17 � 10 0

� tomamos un valor cualquiera del intervalo �2, 13

:

� x � 0 � 3 � 02 � 5 � 0 � 2 � �2 � 0

� tomamos un valor cualquiera del intervalo 13

,�

� x � 1 � 3 � 12 � 5 � 1 � 2 � 3 � 1 � 5 � 2 � 3 � 3 � 6 0

Concluimos que Dom�f� � ���,�2� � 13

,�

Es decir, los numeros menores o iguales que �2 junto con los números mayores o iguales que 13

3x2 � 5x � 2

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

3x2 � 5x � 2

32

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

10

20

30

40

50

60

70

80

90

x

y

c) y � x2 � 95 � x

Como se trata de una fracción, hay problemas cuando el denominador es cero, dado que no tiene sentidodividir entre cero.Por lo tanto, hacemos el denominador cero:5 � x � 0 � 5 � xEntonces Dom�f� � R� �5�Gráficamente tenemos

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-30

-20

-10

10

20

x

y

Tareas 18-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 34 Halla el dominio y el recorrido de las funciones cuyas gráficas son:

c) Dom�f� � R� ��1�Dado que si colocamos un sol encima de la gráfica, y otro sol debajo, nos queda sombreado todo el ejeOX menos el punto �1.Im f � RDado que si colocamos un sol a la derecha, y otro sol a la izquierda, de la gráfica nos queda sombreadotodo el eje OY.Tareas 18-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 46 Halla la variación de las funciones siguientes en el intervalo ��2, 2�

c) f�x� � |x|Será f�2� � f��2� � |2| � |�2| � 2 � 2 � 0Gráficamente sería:

33

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y

Tareas 18-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 67 Observa la gráfica de las siguientes funciones y di si crece o decrece en el intervalo dado.

c) Tenemos que la función es creciente sobre el intervalo �0, 2� y es decreciente sobre el intervalo ��2, 0�,pues respectivamente gana altura al desplazarse de izquierda a derecha y pierde altura al desplazarse deizquierda a derecha.Tareas 18-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 78 Observa la gráfica de cada una de las siguientes funciones y di en qué intervalos crece o

decrece la función. Halla, además, los mínimos y los máximos absolutos, si los hay.c)

�4x � 12 if �3 � x � �2

4x � 4 if �2 � x � �1

x � 1 if �1 � x � 3

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

x

y

Crece en el intervalo ��2, 3�, pues al desplazarnos de izquierda a derecha vamos ganando altura.Decrece en el intervalo ��3,�2�, pues al desplazarnos de izquierda a derecha vamos perdiendo altura.Máximos en x � 3 pues sobre ese punto del eje OX a su alrededor las alturas son menores.Mínimos en x � �2 pues sobre ese punto del eje OX a su alrededor las alturas son mayores.Tareas 18-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 89 Di si la función es creciente o decreciente en los puntos que se indican. ¿Representa alguno de

ellos un máximo o mínimo absoluto?c) x � 0

34

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

x

y

A la izquierda de x � 0, la función es decreciente mientras que a la derecha la función es creciente. Esdecir, alrededor de x � 0 las alturas son mayores que en x � 0, por lo tanto tenemos un mínimo absolutoen ese punto.Tareas 20-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 910 Indica en qué intervalos son crecientes o decrecientes las siguientes funciones:d) f�x� � |x|Primero vamos a calcular unos valores absolutos:� |�2| � 2 � ���2� �el valor absoluto es el número sin ningún tipo de signo, de ahí que al �2 le

corresponda el 2.� |�5| � 5 � ���5�� |2| � 2� |5| � 5

Concluimos que a los números negativos el valor absoluto le asocia el opuesto del número, mientras quea los números positivos el valor absoluto le asocia el mismo número. Esto se resume en:

f�x� ��x if x � 0

x if x � 0

Vamos a pintar esta función que está dividida en dos trozos:

� �x if x � 0

Es una recta, bueno un trozo de ella, pues sólo vamos a pintar sobre los valores de x que son negativos.Es decir, vamos a pintar una semirecta, pues es la mitad de una recta.

Tabla de valores�x �2 �5

y 2 5

� x if x � 0

Es una recta, bueno un trozo de ella, pues sólo vamos a pintar sobre los valores de x que son cero opositivos. Es decir, vamos a pintar una semirecta, pues es la mitad de una recta.

Tabla de valores�x 3 6

y 3 6

El resultado gráficamente es:

35

Decimos que la función es decreciente en el intervalo ���, 0� del eje OX pues al desplazarnos deizquierda a derecha vamos perdiendo altura. Decimos que la función es creciente en el intervalo �0,��del eje OX pues al desplazarnos de izquierda a derecha vamos ganando altura.Tareas 20-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 1011 Halla los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones

c) ��x � 3��x � 1��x � 1��x � 3� 29

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

� Cortes con el eje OX� �a, 0� donde a es un número cualquiera.Tenemos cuatro puntos de corte con este eje; donde se cortan el eje horizontal con la línea verde de lagráfica de la función.Serían los puntos ���3, 0�, ��1, 0�, �1, 0�, �3, 0��Ten en cuenta que en todos estos puntos la segunda coordenada vale 0.� Cortes con el eje OY� �0,b� donde b es un número cualquiera.

Tenemos un punto de corte con este eje; donde se cortan el eje vertical con la línea verde de la gráficade la función.Sería el punto �0,�2�Ten en cuenta que este único punto tiene la primera coordenada igual a 0.12 Halla los puntos de corte con los ejes en las siguientes funciones:

d) f�x� �2x � 1 if x � 2

�x � 7 if x 2

� Cortes con el eje OX� �a, 0� donde a es un número cualquiera.Ten en cuenta que en todos estos puntos la segunda coordenada vale 0.

36

Distinguiremos:

� � 2x � 1 � 0 � 2x � �1 � x � �12

cuando x � 2

� �x � 7 � 0 � 7 � x cuando x 2

Cortes con el eje OX � �12

, 0 , �7, 0�

� Cortes con el eje OY� �0,b� donde b es un número cualquiera.Ten en cuenta que este único punto tiene la primera coordenada igual a 0.f�0� � 2 � 0 � 1 � 1 pues 0 � 2Cortes con el eje OY � �0, 1�Gráficamente es:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Tareas 21-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 12.13 Estudia la continuidad de las siguientes funciones dadas por sus gráficas.c) Es continua en todo su dominio pues la podemos pintar entera sin levantar el lápiz del papelTareas 21-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 1314 Di en qué puntos la función es discontinua. En los puntos obtenidos, ¿es posible dar algún valor

a f�x� para que la función sea continua?c) La función es discontinua en x � 1, pues sobre ese valor de x debemos levantar el lápiz del papel paraseguir pintando la función.Tareas 21-02-2013: todos los ejercicios que faltan del 1415 Representa la función f�x� e indica sis tiene algún punto de discontinuidad.

f�x� �

1x if �2 � x � 0

x2 if 0 � x � 2

�2x � 6 if 2 � x � 4

Hemos de pintar la gráfica sobre cada intervalo del eje OX.� intervalo ��2, 0� están todos los valores de x que cumplen que �2 � x � 0.

Tabla de valoresx �2 �1 �0. 1

y 1�2

� �0. 5 1�1

� �1 1�0. 1

� �10

Esto es un trozo de una curva.� intervalo �0, 2� están todos los valores de x que cumplen que 0 � x � 2.

Tabla de valores x 0 1 2

y 02 � 0 12 � 1 22 � 4

Esto es un trozo de una parábola.� intervalo �2, 4� están todos los valores de x que cumplen que 2 � x � 4

37

Tabla de valores x 2. 1 3 4

y �2 � 2. 1 � 6 � 1. 8 �2 � 3 � 6 � 0 �2 � 4 � 6 � � 2

Esto es un trozo de una recta.Los puntos quedarían representados de la forma siguiente:

La unión de los puntos daría lugar a la gráfica:

-3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

x

y

La función es discontinua en los valores de x � �0, 2� pues sobre esos valores de x he de levantar el lápizdel papel para poder pintar la gráfica de la función.21 Interpreta la siguiente gráfica que representa el ángulo de observación con el que un viandante

de 1.8 m de altura observa una estatua de 3 m situada sobre un pedestal de 2 m de altura,cuando el viandante se acerca a ella desde una distancia de 10 m.

Vamos a empezar por destripar la función:� Dominio� Dom�f� � �0, 10� pues son los valores del eje OX sobre los que hay curva pintada.� Recorrido� Im f � �18, 62� sería la sombra de la gráfica sobre el eje OY si colocas un sol a la

izquierda de la gráfica.� Continuidad�Es continua en todo su dominio, pues se puede dibujar de izquierda a derecha sin

levantar el lápiz del papel.� Puntos de corte con los ejes:

� Con el eje OX�no hay dado que la gráfica no toca el este eje.� Con el eje OY� �0, 18�

� Extremos relativos:� Máximos relativos�Se alcanza la máxima altura (62) sobre el valor x � 1� Mínimos relativos�Se alcanza la mínima altura (18) sobre el valor x � 10

38

� Monotonía:� Creciente en los intervalos� �0, 1� pues sobre estos valores del eje OX la función al

desplazarse de izquierda a derecha gana altura (la segunda coordenada cada vez esmayor).

� Decreciente en los intervalos� �1, 10� pues sobres estos valores del eje OX la función aldesplazarse de izquierda a derecha pierde altura (la segunda coordenada cada vez esmenor).

La interpretación sería que cuando uno está lejos no necesita levantar mucho la cabeza para ver laestatua, luego según te vas acercando, tienes que ir levantando más la cabeza. Cuando estás a menosde un metro, ya te molesta levantar la cabeza por que no puedes apreciar bien la estatua cuando estástan próximo.24 Halla las pendientes de las rectas AB,BC,DC,AD. Indica las que sean paralelas.

� Recta AB �estando en el punto A, si me desplazo cuatro lugares a la derecha y subo seis acaboen el punto B. Entonces la pendiente es m � 6

4� 3

2� Recta BC �estando en el punto B, si me desplazo tres lugares a la derecha y bajo siete acabo en

el punto C. Entonces la pendiente es m � �73

� Recta DC �estando en el punto C, si me desplazo dos lugares a la izquierda y bajo tres acabo enel punto D. Entonces la pendiente es m � �3

�2� 3

2� Recta AD �estando en el punto D, si me desplazao cinco lugares a la izquierda y subo cuatro

acabo en el punto A. Entonces la pendiente es m � 4�5

� � 45

Son paralelas las rectas que pasan por A y B y por D y C. Sus pendientes son iguales.

25 Representa las funciones

y � 15

x

y � 15

x � 2

y � 15

x � 4

Lo vamos a hacer utilizando el significado de pendiente y ordenada en el origen.

� y � 15

x

Tenemos que:

� � pendiente m � 15

�Dado un punto de la recta, podemos obtener otro a partir de este

desplazándonos cinco lugares a la derecha y subiendo uno.� ordenada en el origen n � 0 �pasa por el punto �0, 0�

Por lo tanto, representaremos el punto �0, 0� y a partir de este nos desplazaremos cinco lugares a laderecha y uno arriba para marcar otro punto de la recta. La recta la dibujaremos pasando por estos dospuntos.

� y � 15

x � 2

39

Tenemos que:

� � pendiente m � 15

�Dado un punto de la recta, podemos obtener otro a partir de este

desplazándonos cinco lugares a la derecha y subiendo uno.� ordenada en el origen n � 2 �pasa por el punto �0, 2�

Por lo tanto, representaremos el punto �0, 2� y a partir de este nos desplazaremos cinco lugares a laderecha y uno arriba para marcar otro punto de la recta. La recta la dibujaremos pasando por estos dospuntos.

� y � 15

x � 4

Tenemos que:

� � pendiente m � 15

�Dado un punto de la recta, podemos obtener otro a partir de este

desplazándonos cinco lugares a la derecha y subiendo uno.� ordenada en el origen n � �4 �pasa por el punto �0,�4�

Por lo tanto, representaremos el punto �0,�4� y a partir de este nos desplazaremos cinco lugares a laderecha y uno arriba para marcar otro punto de la recta. La recta la dibujaremos pasando por estos dospuntos.

Claramente las tres rectas son paralelas dado que todas tienen la misma pendiente.Tareas 27-02-2013:26,2728 Se pide la ecuación de la recta r paralela a la del gráfico y que pase por el punto A � �3,�1�b)

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

Como las dos rectas son paralelas, habrán de tener la misma pendiente. Por lo tanto, hemos deaveriguar la pendiente de la recta dada.

La ordenada en el origen de la recta dada es n � 12

. Es decir, pasa por el punto �0, 12�. Partiendo de

este punto, si me desplazo un lugar a la derecha y tres hacia arriba acabo en otro punto de la recta. Esto

40

nos permite afirmar que la pendiente de la recta es m � 31

� 3.

Ya tenemos que la recta pedida será de la forma y � 3x � nComo la recta pasará por el punto �3,�1� será �1 � 3 � 3 � n � �1 � 9 � n �

� �1 � 9 � n � n � �10La recta es y � 3x � 10Tareas 27-02-2013: 28 apartado a29 Halla la ecuación de la recta s sabiendo que:

a) Tiene ordenada en el origen �4, y es paralela a la que pasa por los puntosA � ��1, 3�

B � �5, 0�

La situación gráficamente es:

Vamos a calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B. Partiendo de B, nosdesplazamos seis lugares a la izquierda y subimos tres para acabar en A. Entonces la pendiente esm � 3

�6� � 1

2Ya tenemos la pendiente de la recta s, que será m � � 1

2�es paralela a la recta que pasa por A y B) y

conocemos su ordenada en el origen, n � �4. De ahí que su ecuación sea y � � 12

x � 4

Tareas 28-02-2013: 29 apartado b

PROBLEMAS DE LAS HOJAS FOTOCOPIADAS DE ESCALAS117 Una maqueta de la torre de Pisa hecha a escala 1:300 mide 18 centímetros. ¿Cuánto mide la

41

torre de Pisa en realidad?La escala 1:300 significa que 1 cm de la maqueta son 300 cm de la realidad.Tenemos la siguiente tabla:

maqueta (cm) realidad (cm)

1 300

18 x

Se trata de una regla de tres directa� 118

� 300x � x � 300 � 18 � 5400cm�

� 54 mTareas 28-02-2013: 118, 119, 120, 122, 123, 124,125 En una maqueta de la pirámide de Keops, el lado de la base mide 16 cm. En realidad, la

pirámide tiene por base un cuadrado de 240 metros de lado.a) ¿A qué escala está hecha la pirámide?Tenemos que 16 cm de la maqueta son 240 m� 24000 cm. La escala será

1624000

� 46000

� 23000

� 11500

. Es decir, la escala es 1:1500 que se interpreta como que 1 cm de la

maqueta son 1500 cm en la realidad.b) ¿Qué altura tendrá la maqueta de la pirámide, si la verdadera altura de la misma es de 159 m?Tenemos la tabla siguiente de magnitudes directamente proporcionales:

maqueta (cm) pirámide (cm)

1 1500

x 159 m � 15900 cm

Resulta que 1x � 1500

15900� x � 15900

1500� 159

15� 53

5� 10. 6

La altura de la pirámide de la maqueta es 10.6 cm.Tareas 1-03-2013: 126, 127, 128, 129, 130, 131, 132, 134

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