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Tema 54.Cónicas como secciones planas de la superficie cónica.
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1
TEMA 54. Cónicas como secciones planas de la
superficie cónica.
1. Introducción
Se puede considerar a la cultura de la Grecia clásica como los padres de la geometría
moderna. Entre las diferentes figuras geométricas que estudiaron estaban las cónicas.
El primero en descubrir estas curvas fue Memecno (350 a.C.) Apolonio 100 años después
estudió estas curvas y sus propiedades, así como obtenerlas a partir de la intersección de
planos a la superficie cónica. Con su descubrimiento sus propiedades quedaron de manifiesto.
El desarrollo de las teoría de las cónicas fue bastante rápido, de hecho en el siglo IV Aristeo
y Euclides en escriben libros describiendo las propiedades de todas las cónicas.
Apolonio fue el primero en demostrar que las curvas se obtenían de cortar un mismo cono
por diferentes planos, existiendo tres tipos de superficies:
a. Elipse si el ángulo del plano con el eje del cono es mayor que la directriz del cono (si el
ángulo es de 90o es una circunferencia)
b. Hipérbola, si el plano es menor que el ángulo de al de la generatriz (en la actualidad las
dos ramas forman una hipérbola en aquella época se llamaba hipérbola a cada rama).
c. Parábola, si el ángulo del plano es igual que el ángulo de la generatriz.
El interés de las cónicas se reavivó con el astrónomo Kepler que consideraba elíptico el
movimiento de los planetas. Hoy se sabe que dependiendo de la energía del astro la curva
puede ser cualquiera de las tres cónicas: Si E<0 elipse (planetas ligados a la estrella); si E=0
parábola, si E>0 hipérbola (muchos de los cometas).
La aritmetización de la geometría que surge a partir de Descartes y Fermat llega también a
las cónicas, tal que estudiadas desde un punto de vista analítico como lugares geométricos se
pueden comprobar muchas de las relaciones vistas también de forma geométrica. Desde el
punto de vista analítico las cónicas son curvas con expresión analítica de la forma
A·x2+B·y
2+Cx·y+Dx+Ey+F=0. Si hay término x·y es debido a que la cónica gira respecto los ejes.
2. Las cónicas: generación, definición y elementos.
2.1. Generación de las cónicas como intersección de plano y cono.
Como hemos comentado en la introducción las cónicas se pueden estudiar como
intersección de planos con las superficies cónicas (aunque también surgen con intersección
con otras cuádricas). Veamos visualmente las tres cónicas en función del ángulo de corte del
plano con del eje del cono y del ángulo ϕ de la generatriz con el eje:
α=90o α>ϕ α=ϕ α<ϕ
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2.2. Elementos de las cónicas: ejes, focos, directrices y vértices.
Para obtener elementos y relacionarlos con la generación de la cónica como intersección
del cono y el plano necesitamos definir dos esferas auxiliares, que llamaremos
esferas son tangentes a la superficie cónica y al plano. En el caso de la
esfera. Veamos la definición de los elementos:
• Focos: son los puntos de tangencia de las esferas con el plano interceptor
� Elipse: los focos dentro de la curva y equidistantes del centro.
� Parábola: un único foco dentro de la curva
� Hipérbola: dos focos equidistantes al centro cada uno dentro de una rama.
• Directriz: el plano que contiene a la curva tangente entre la esfera y el cono corta al
plano interceptor formando una recta denominada directriz de la cónica.
� Elipse: dos directrices f
� Parábola: una sola directriz exterior a la parábola y a la misma distancia de la
curva que el foco
� Hipérbola: dos directrices paralelas y exteriores a la curva
• Ejes y vértices : la recta que une los focos de la elipse y de la hipérbola se llama eje
focal y corta a las dos curvas en A y A’ denominados vértices. En la elipse la recta
perpendicular al eje por el centro es el eje menor y corta en otros dos vértices B y B’.
Las distancias entre los focos se llama distancia focal d(F,F’)=2c.
es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y corta a la curva en su
único vértice, V.
La relación entre las distancias de la curva a los focos y a la directrices
construir estas como lugares geométricos como veremos más adelante.
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Elementos de las cónicas: ejes, focos, directrices y vértices.
Para obtener elementos y relacionarlos con la generación de la cónica como intersección
del cono y el plano necesitamos definir dos esferas auxiliares, que llamaremos
la superficie cónica y al plano. En el caso de la parábola
esfera. Veamos la definición de los elementos:
: son los puntos de tangencia de las esferas con el plano interceptor
Elipse: los focos dentro de la curva y equidistantes del centro.
Parábola: un único foco dentro de la curva
rbola: dos focos equidistantes al centro cada uno dentro de una rama.
que contiene a la curva tangente entre la esfera y el cono corta al
plano interceptor formando una recta denominada directriz de la cónica.
: dos directrices fuera de la curva y a la misma distancia del centro.
Parábola: una sola directriz exterior a la parábola y a la misma distancia de la
curva que el foco
dos directrices paralelas y exteriores a la curva
: la recta que une los focos de la elipse y de la hipérbola se llama eje
focal y corta a las dos curvas en A y A’ denominados vértices. En la elipse la recta
perpendicular al eje por el centro es el eje menor y corta en otros dos vértices B y B’.
ancias entre los focos se llama distancia focal d(F,F’)=2c. En la parábola el eje
es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y corta a la curva en su
relación entre las distancias de la curva a los focos y a la directrices
construir estas como lugares geométricos como veremos más adelante.
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Elementos de las cónicas: ejes, focos, directrices y vértices.
Para obtener elementos y relacionarlos con la generación de la cónica como intersección
del cono y el plano necesitamos definir dos esferas auxiliares, que llamaremos ε y ε’. Estas
arábola sólo hay una
: son los puntos de tangencia de las esferas con el plano interceptor:
Elipse: los focos dentro de la curva y equidistantes del centro.
rbola: dos focos equidistantes al centro cada uno dentro de una rama.
que contiene a la curva tangente entre la esfera y el cono corta al
plano interceptor formando una recta denominada directriz de la cónica.
uera de la curva y a la misma distancia del centro.
Parábola: una sola directriz exterior a la parábola y a la misma distancia de la
: la recta que une los focos de la elipse y de la hipérbola se llama eje
focal y corta a las dos curvas en A y A’ denominados vértices. En la elipse la recta
perpendicular al eje por el centro es el eje menor y corta en otros dos vértices B y B’.
En la parábola el eje
es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco y corta a la curva en su
relación entre las distancias de la curva a los focos y a la directrices nos permiten
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2.3. Las cónicas como lugares geométricos. La excentricidad.
Dado un punto de P de la cónica si unimos P
con el vértice del cono, O, la recta es una
generatriz del cono que es tangente a la esfera
en el punto que llamamos M. Si trazamos la otra
tangente a la esfera por P esta pasará por el foco
(por definición de foco). Por propiedades
tangentes exteriores a una circunferencia se
cumple que PM=PF
Por otro lado, llamamos D al punto de la
generatriz más próximo a P, de forma que la
recta PD es perpendicular a la generatriz. Por ser
D y M del mismo plano, la proyección de PD
sobre el eje del cono tendrá el mismo valor:
PM·cos(α)=PD·cos(β), como PM=PF se cumple:
)cos(
)cos(ecte
PD
PF===
αβ
Se cumple entonces que la distancia de todo punto de la elipse al foco y a la directriz es
constante e igual a e. Ocurre lo mismo para la p
la excentricidad:
• Elipse(β>α ): e=cos(
cos(
• Parábola (β=α): e=
• Hipérbola (β<α): e=
Las cónicas son lugares geométricos
foco y la directriz están relacionadas de la forma que se cumple
La excentricidad en la eli
focales y el eje focal: Ad
Fde =
(
(
Se traza por el vértice del cono un plano perpendicular al eje de cono. Este plano corta al
eje focal de la elipse en un punto Q, alineado con A, F, F’ y A
bisectriz exteriores a dos circunferencias (esferas) desde un punto (vértice) se cumple:
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Las cónicas como lugares geométricos. La excentricidad.
a cónica si unimos P
con el vértice del cono, O, la recta es una
generatriz del cono que es tangente a la esfera ε
en el punto que llamamos M. Si trazamos la otra
tangente a la esfera por P esta pasará por el foco
(por definición de foco). Por propiedades de la
tangentes exteriores a una circunferencia se
Por otro lado, llamamos D al punto de la
generatriz más próximo a P, de forma que la
recta PD es perpendicular a la generatriz. Por ser
D y M del mismo plano, la proyección de PD y PM
sobre el eje del cono tendrá el mismo valor:
)=PD·cos(β), como PM=PF se cumple:
)( dadexcentrici
Se cumple entonces que la distancia de todo punto de la elipse al foco y a la directriz es
constante e igual a e. Ocurre lo mismo para la parábola y la hipérbola diferenciándose sólo en
)cos(
)cos(
αβ
<1 � d(P,F)<d(P,d)
): e=)cos(
)cos(
αβ
=1 � d(P,F)=d(P,d)
): e=)cos(
)cos(
αβ
>1 � d(P,F)>d(P,d)
cónicas son lugares geométricos en los que la distancia entre un punto de la curva y el
foco y la directriz están relacionadas de la forma que se cumple edPd
FPd=),(
),(
La excentricidad en la elipse y en la hipérbola es igual a la relación entre las distancias
a
c
a
c
AA
FF==
2
2
)',
)',. Veámoslo para la elipse:
Se traza por el vértice del cono un plano perpendicular al eje de cono. Este plano corta al
eje focal de la elipse en un punto Q, alineado con A, F, F’ y A’. Aplicando el teorema de la
bisectriz exteriores a dos circunferencias (esferas) desde un punto (vértice) se cumple:
O
M
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Las cónicas como lugares geométricos. La excentricidad.
Se cumple entonces que la distancia de todo punto de la elipse al foco y a la directriz es
arábola y la hipérbola diferenciándose sólo en
en los que la distancia entre un punto de la curva y el
e .
ación entre las distancias
Se traza por el vértice del cono un plano perpendicular al eje de cono. Este plano corta al
Aplicando el teorema de la
bisectriz exteriores a dos circunferencias (esferas) desde un punto (vértice) se cumple:
D
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3. Estudio particular de la elipse.
3.1. Teorema previo.
Antes de definir la elipse desde un punto de vista geométrico en 2 dimensiones
necesitamos definir el siguiente teorema.
Teorema: la suma de las distancias
constante: PF+PF’=cte=2a.
Definición elipse en 2 dimensiones
teorema se puede definir la elipse como el lugar
geométrico en dos dimensiones de los puntos cuya
suma de distancias a los dos puntos
es constante.
A’
F’
F
α
β
δ
M’
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Estudio particular de la elipse.
Teorema previo.
Antes de definir la elipse desde un punto de vista geométrico en 2 dimensiones
ir el siguiente teorema.
de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los dos focos es
Demostración: Las tangentes desde P a la esfera
son PM=PF1 y a la esfera ε’ son PM’=PF
por propiedades de tangentes exteriores). Se
cumple entonces que PF1+PF2=PM+PM’, como
hemos visto PM+PM’=cte, luego se cumple el
teorema. Para ver el valor de la constante no
tenemos más que coger cualquiera de los vértices
A o A’ de la elipse y ver que la suma de las
distancias es el eje real, es decir 2a
Definición elipse en 2 dimensiones: A partir de este
teorema se puede definir la elipse como el lugar
geométrico en dos dimensiones de los puntos cuya
suma de distancias a los dos puntos fijos llamados focos
A
γ
sen
sen
QA
QF
AQ
FQ===cos(
cos(
)(
)(
'
'
αδγ
(se cumple β=90- γ y α=90-δ)
Aplicando propiedades de razón:
ea
c
AA
FF
AQAQ
FQFQ===
−−
2
2
'
'
'
'
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Antes de definir la elipse desde un punto de vista geométrico en 2 dimensiones
de un punto cualquiera de la elipse a los dos focos es
Las tangentes desde P a la esfera ε
’ son PM’=PF2 (igualdad
por propiedades de tangentes exteriores). Se
=PM+PM’, como
hemos visto PM+PM’=cte, luego se cumple el
teorema. Para ver el valor de la constante no
tenemos más que coger cualquiera de los vértices
y ver que la suma de las
distancias es el eje real, es decir 2a
Q
e=)cos(
)cos(
αβ
propiedades de razón:
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3.2. Elementos y relaciones métricas.
Los elementos de la elipse son:
• Ejes de la elipse: son las dos rectas de simetría de la figura. El que contiene a los focos
se llama eje focal o eje mayor, el perpendicular se denomina no focal o menor. Los
puntos de intersección de los ejes con la elipse se llaman vértices y se denotan como
A, A’ (eje mayor) y B, B’ (eje menor). El tamaño del eje mayor AA’=2a también se llama
eje mayor (abuso de la notación) y BB’=2b, eje menor.
• Centro de la elipse: es el centro de simetría obtenido por la intersección de los dos
ejes de simetría (ejes de la elipse). Se suele denotar por O.
• Los focos: los puntos interiores de la elipse situados en el eje mayor y donde se
cumple que PF+PF’=2a. La distancia entre los focos FF’=2c se llama distancia focal.
Relación pitagórica de la elipse: la suma de la semidistancia focal al cuadrado y del
semieje menor al cuadrado es igual al semieje mayor al cuadrado: a2=b
2+c
2.
Demostración: el triángulo OBF tiene dos catetos,
b y c. Por otro lado la hipotenusa es a, pues se
cumple que B es un punto de la elipse y BF=BF’ por
tanto BF+BF’=2a, luego BF=a
Al ser un triángulo rectángulo cumple el teorema
de Pitágoras: a2=b
2+c
2
3.3. Excentricidad de la elipse.
En el apartado 2 del tema definimos la excentricidad como el cociente entre coseno de los
ángulos que forman el plano interceptor y la directriz o como el cociente de la distancia focal y
el eje mayor, a
ce = . Como a>c se cumple que 0<e<1 en la elipse. Podemos expresar la
relación entre los dos ejes en función de la excentricidad:
a2=b
2+c
2 y c=e·a �
2
22
1 e
ba
−= . �
21
1
eb
a
−=
Se cumple que si la excentricidad se
aproxima a 0 entonces el eje mayor se aproxima
al menor y la distancia focal a cero, esto hace
que la elipse se acerca a una circunferencia. Si la
excentricidad se aproxima a 1 entonces a/b se
aproxima a infinito, por lo que la elipse estará
muy achatada.
e=0
e=0.3
e=0.5
e=0.9
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3.4. Estudio analítico.
Cartesianas: Por sencillez vamos a situar el centro en el origen, O(0,0), y el eje mayor en el
eje OX y menor por tanto en OY. Los focos están en F’(-c,0) y F(c,0), los vértices en A(a,0), A’(-
a,0), B(0,b) y B’(0,-b), cumpliéndose que a2=b
2+c
2. Un punto P(x,y) es de la elipse si cumple:
d(P,F)+d(P,F’)=2a � aycxycx 2)()(2222 =++++− . Elevando dos veces al
cuadrado para eliminar las raíces se cumple b2·x
2+a
2·y
2=a
2·b
2, que dividiendo entre a
2·b
2 :
baconb
y
a
x>=+ ,1
2
2
2
2
En el caso general en el que el centro O(x0,y0) sólo tenemos que cambiar x por x-x0 e y-y0:
baconb
yy
a
xx>=
−+
−,1
)()(2
2
0
2
2
0 .
Si cambiamos los ejes sólo tenemos que cambiar x por y: baa
yy
b
xx>=
−+
−,1
)()(2
2
0
2
2
0
Paramétricas:
+=
+=
)(·
)·cos(
0
0
tsenbyy
taxx o
+=
+=
)(·
)·cos(
0
0
tsenayy
tbxx con t∈[0,2·π)
En el caso general donde se rotan los ejes un ángulo α las expresiones surgen de hacer la
transformación x’=x·cos(α)-y·sen(α), y’=x·sen(α)+y·cos(α), apareciendo términos x·y.
Ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto (Px,Py) lo más sencillo es calcularla en
paramétricas, siendo el valor del punto en t0:
)(·
)·cos(
)(·
0
0
0
ttga
b
dx
dy
tbdt
dy
tsenadt
dx
−=
=
−=� ))(( xoy Pxttg
a
bPy −−=−
4. Estudio particular de la hipérbola.
4.1. Teorema previo.
Teorema: todos los puntos de la hipérbola cumplen que el módulo de la diferencia entre
sus distancias a los focos de la misma es constante e igual a la distancia entre las dos ramas, 2a
Demostración semejante a la elipse, pues se cumple que PF=PM y PF’=PM’ y PF’=PM’,
luego PF’-PF’=PM-PM’=k=2a.
Definición: la hipérbola es la curva con dos dimensiones que es lugar geométrico de los
puntos cuya diferencia (en valor absoluto) de las distancias del punto a los focos es constante.
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4.2. Definición y elementos. Relación métrica
Los elementos de la hipérbola son los que siguen:
• Ejes de la hipérbola: tiene dos ejes de simetría, el que pasa por los focos se llama eje
real o eje focal. El otro que es perpendicular al anterior no corta a la hipérbola y se
llama eje imaginario.
• Vértices de la hipérbola: el eje real corta a la curva en dos puntos, que se denominan
vértices reales, A y A’.
• Centro de la hipérbola: centro de simetría, intersección de los dos ejes de la curva.
• Focos: son los puntos que generan la hipérbola como dijimos en la definición.
La relación métrica que relaciona los semiejes real, imaginario y la semidistancia focal es:
c2=a
2+b
2, siendo 2c=d(F,F’), 2a=d(A,A’) y 2b=d(B,B’).
Demostración: por definición de ejes imaginarios (donde cortan las rectas tangentes
y=-(b/a)·x )
4.3. Excentricidad y forma de la hipérbola.
En el apartado 2 definimos la excentricidad como el cociente entre la distancia de todo
punto de la curva al foco y a la directriz, que coincidía con el siguiente cociente a
ce = . Por la
relación métrica se cumple que c≥a, por lo que e≥1. Relacionando la distancia focal con el eje
real en función de la excentricidad nos permite ver las ramas de la hipérbola más o menos
abiertas según el valor de e:
e=∞
e=5
e=2
e=1
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Se llama hipérbola equilátera aquella en el que los ejes real e imaginario son iguales, b=a,
por tanto c= a·2 y por tanto su excentricidad será 2=e .
4.4. Estudio analítico.
Calcularemos primero la expresión analítica de las hipérbolas centradas en el origen y con
eje OX eje real. Si F’(-c,0) y F(c,0) son los focos de la hipérbola y 2a el tamaño del eje real. Por
la definición se cumple que si P(x,y) es de la hipérbola |d(P,F)-d(P,F’)|=2a:
aycxycx 2)()( 2222 =++−+− . Operando de forma equivalente a la elipse, elevando al
cuadrado dos veces y utilizando la regla métrica c2=a
2+b
2 la expresión de la hipérbola reducida:
12
2
2
2
=−b
y
a
x, ahora no hay restricciones entre a y b pudiendo ser mayor uno u otro.
Si el eje real pasa a ser el eje vertical la expresión será equivalente cambiando x por y:
12
2
2
2
=−b
x
a
y
En el caso general donde el centro está en C(x0, y0) las ecuaciones serán las mismas
desplazando el centro:
1)()(
2
2
0
2
2
0 =−
−−
b
yy
a
xx o 1
)()(2
2
0
2
2
0 =−
−−
b
xx
a
yy
Podemos poner la expresión analítica de la hipérbola en forma paramétrica a partir de las
razones hiperbólicas (se puede demostrar su equivalencia a partir igualdad: ch2(x)-sh
2(x)=1
OXesrealejetshbyy
tchaxx
+=
+=
)(·
)(·
0
0 OYesrealeje
tchbyy
tshaxx
+=
+=
)(·
)(·
0
0
Un caso particular muy interesante es cuando tenemos una hipérbola equilátera y giramos
los ejes 45o, en este caso la expresión analítica se comporta como una función con expresión:
2
a=x·y
2
± (se obtiene a partir de la matriz de giro de los ejes:
−=
)45cos()45(
)45()45cos(45 sen
senM o
Se cumple que 2
a=x·y
2
, entonces está en los
cuadrantes I y III.
En el caso 2
a-=x·y
2
estará en los cuadrantes II y IV
x·y=2
x·y=-2
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Ecuaciones de las asíntotas
x
xa
b
x
ym
xx
±==
∞→∞→limlim
Luego las asíntotas son y
En el caso de las hipérbolas equiláteras las asíntotas son y=x e y=
entonces son los ejes coordenados.
5. Estudio particular de la parábola.
5.1. Definición y elementos.
Definición: la parábola con
que equidistan de F y d. Elementos característicos de la parábola son los siguientes:
• Foco (F): punto a partir del que se define la parábola
• Directriz (d): es la recta a pa
• Vértice (V): el punto más próximo del foco y de la directriz. Está a distancia P de ambos
5.2. Distancia del foco a la directriz y forma de la parábola
En el caso de la elipse la excentricidad es
forma de la misma. Es el parámetro P (distancia del Foco a la directriz es 2P), la que determina
la forma de la curva. Cuanto mayor sea el valor de P más abierta es la curva. Si P>0 el vértice es
un mínimo y si P<0 será un máximo.
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de las asíntotas: son asíntotas oblicuas de la forma y=mx+n. Calcuemos m y n:
a
b
x
x
±=−12
y limlim 2±=−=∞→∞→
xa
bmxyn
xx
xa
byex
a
by −==
En el caso de las hipérbolas equiláteras las asíntotas son y=x e y=-x, y si está girada 45
entonces son los ejes coordenados.
Estudio particular de la parábola.
Definición y elementos.
la parábola con foco F y recta directriz d es el lugar geométrico de los puntos
que equidistan de F y d. Elementos característicos de la parábola son los siguientes:
Foco (F): punto a partir del que se define la parábola
): es la recta a partir de la cual se define la parábola.
Vértice (V): el punto más próximo del foco y de la directriz. Está a distancia P de ambos
Distancia del foco a la directriz y forma de la parábola
En el caso de la elipse la excentricidad es constante e igual a 1, por tanto no determina la
forma de la misma. Es el parámetro P (distancia del Foco a la directriz es 2P), la que determina
la forma de la curva. Cuanto mayor sea el valor de P más abierta es la curva. Si P>0 el vértice es
si P<0 será un máximo.
P=∞
P=0 P=1
P=1/4
P=-1 P=-1/4
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: son asíntotas oblicuas de la forma y=mx+n. Calcuemos m y n:
012 =− xa
bm
x, y si está girada 45o
foco F y recta directriz d es el lugar geométrico de los puntos
que equidistan de F y d. Elementos característicos de la parábola son los siguientes:
Vértice (V): el punto más próximo del foco y de la directriz. Está a distancia P de ambos
constante e igual a 1, por tanto no determina la
forma de la misma. Es el parámetro P (distancia del Foco a la directriz es 2P), la que determina
la forma de la curva. Cuanto mayor sea el valor de P más abierta es la curva. Si P>0 el vértice es
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5.3. Estudio analítico.
a) Vértice en el origen y directriz paralela eje OY: se cumple que las ecuaciones de la
directriz y foco son d: x=-P y F(P,0). Aplicando la definición d(P,F)=d(P,d) siendo P(x,y)
los puntos de la parábola se cumple:
d(P,F)=22
)( yPx +− y PxdPd +=),( � PxyPx +=+− 22)( . Elevando al
cuadrado la expresión es xPy ··42 = .
Si P es negativo (directriz por encima del eje OX) la expresión será xPy ··42 −=
b) Vértice en el origen y directriz paralela eje OX: sólo hay que permutar las dos
coordenadas: yPx ··42 = o yPx ··42 −=
c) Vértice en (x0,y0): )·(·4)( 0
2
0 xxPyy −±=− o )·(·4)( 0
2
0 yyPxx −±=−
6. Presencia de las cónicas en la naturaleza, técnica y el arte.
6.1. Presencia en la Naturaleza
1. Movimiento de los cuerpos celestas y partículas atómicas: los movimientos de los
cuerpos sometidos a potenciales centrales de la forma V=r
K− como la de los cuerpos
celestes ( V=r
MG·− ) o el electrostático (
r
KV
···4 επ−= ) son trayectorias cónicas. Que
sea la trayectoria una parábola, elipse o hipérbola depende de la energía del astro:
a) E<0 (ligado al otro astro): movimiento elíptico con al que está ligado en uno de los
focos. Es el caso de los planetas o los satélites.
b) Si E>0 (no ligado): su trayectoria no cerrada siendo la órbita una hipérbola.
Muchos cometas.
c) En el límite E=0 su trayectoria es una parábola.
En el caso del potencial eléctrico es equivalente al gravitatorio si las cargas distinto
signo (atractivo).
2. Tiro parabólico: es el movimiento de un cuerpo sometido a la gravedad ( aceleración
constante en dirección vertical) y con componente de velocidad paralela al suelo
(perpendicular a la gravedad) distinta de cero:
Eje OX: x=x0+vx·t Eje OY: y=y0+vy·t-g·t2/2.
Despejando la t: 2
2
0
00·2
)()(
xx
y
v
xxgxx
v
vyy
−−−+=
6.2. Presencia en la técnica.
Las propiedades genéricas de las cónicas hace que su uso sea muy importante en la óptica
o en la recepción y transmisión de señales (bien acústicas, de radio, móvil televisión…). Para
entender las propiedades hay que utilizar la ley de Snell: todo rayo de luz que llegue a una
Tema 54.Cónicas como secciones planas de la superficie cónica.
Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 11
superficie cumple que la componente reflejada y transmitida forma un mismo ángulo respecto
a la normal de la superficie a la que llega.
• En la elipse el ángulo que forma un foco con todo punto P de la curva es igual que
forma con el otro foco con respecto a la recta normal en P.
Si tenemos un espejo elíptico, todo rayo (de luz, o sonido) emitido desde el foco
reflejará en un punto cualquiera de la elipse y pasará por el otro foco. Así si dos
personas situadas en los focos pueden comunicarse de forma sencilla aunque no
hablen uno enfrente de otro.
• En la hipérbola se cumple que los rayos que pasan por un foco se reflejan de forma
que la proyección del rayo reflejado pasa por el otro foco.
• En la parábola los rayos que inciden paralelos al eje de simetría al ser reflejados por el
espejo estos pasan por el foco y al revés, los que pasan por el foco se transmiten
paralelos al eje de simetría. Esta propiedad es ideal para recibir todos los rayos en un
punto (foco) y para enviar luz en forma paralela (bombilla en el foco de la luz en el
coche).
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6.3. En el arte
En la arquitectura los arcos parabólicos se utilizan en la construcción de puentes,
viaductos, puertas de iglesias… la propiedad técnica de la parábola hace posible que pueda
soportar grandes cargas.
Las cónicas son muy utilizadas por Gaudí en sus construcciones y por Picasso en la pintura.
7. Conclusiones.
Las cónicas se abordan como lugares geométricos en dos dimensiones en la asignatura de
Matemáticas I de 1º de Bachillerato.