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CUADERNO DE MATEMÁTICA
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Teorema de Pitágoras
Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
La hipotenusa es el lado de mayor longitud en el triangulo rectángulo.
Los catetos son los dos lados menores del triangulo, los cuales forman un Angulo recto.
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c²=a²+b²
Hipotenusa Cateto
c=a²+b²
b=c²-a²
a=c²-b²
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Ejercicios
c= (2)²+(3)²c= 4+9c= 13c=3.6
c = ?
a = 2
b = 3
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a= (5)² - (3)²a= 25 - 9a= 16a=4
c = 5
a = ?
b = 3
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b= (7)² - (4)²b= 49 - 16b= 33b=5.7
c = 7
a = 4
b = ?
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Trigonometria
La trigonometría es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.
Es una rama importante de las matemáticas dedicada al estudio de la relación entre los lados y ángulos de un triángulo rectángulo, con una aplicación inmediata en geometría.
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NOMBRE ABREVIACION
DEFINICION
seno sen cat. op./hip.
coseno cos cat. adv./hip.
tangente tan cat. op./cat. adv.
cotangente cot cat. adv. / cat. op.
secante sec hip. /cat. adv.
cosecante csc hip. / cat. op.
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Ejercicios
gh
f
sen= h/g cot=f/h
cos=f/g sec=g/f
tan=h/f csc=g/h
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sen= 2/3 cot=1/2
cos=1/3 sec=3
tan=2 csc=3/2
c = 3b= 2
a = 1
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c = 5b = 4
a = 3
sen= 4/5 cot=3/4
cos=3/5 sec=5/3
tan=4/3 csc=5/4
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Funciones Trigonométricas
Función 45º 30º 60º
Seno 2/2 1/2 3/2
Coseno 2/2 3/2 1/2
Tangente 1 3/3 3
Cotangente 1 3 3/3
Secante 2 23/3 2
Cosecante 2 2 23/3
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PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
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Propiedad Reflexiva
Se dice que una relación es un conjunto es reflexiva cuando cada elemento del conjunto esta relacionado consigo mismo.
1 1
2 2
3 3
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Propiedad Simétrica
Una relación es simétrica cuando cada ves que a esta relacionada con b, entonces lo esa con a.
1
2
3
5
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Propiedad Transitiva
Una relación es transitiva si cada vez que esta relacionado con b esta relacionado con c. aRb^bRc aRc
13 17
25
36
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Función
Una relación f de A en B denota por f=a B es una función si y solo si a cada elemento x que pertenece al conjunto Ale corresponde un único elemento y que pertenece al conjunto B atreves de f.
2
14
56
3
7
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Ejercicios
mesa
silla
vaso
mesa
silla
vaso
L1
L2
L3
L1
L2
L3
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Intervalos
Es un conjunto de números que se encuentran entre dos extremos.
a b
+ -
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Intervalo abierto
No incluye los extremos, se lo representa ( ).
-4 9
+ -
-4 < x < 9
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Intervalo cerrado
Incluye los extremos, se lo representa .
5 10
+ -
5 x 10
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Dominio y Rango de una función restringida
f(x)=2x+1
Dominio: -4 ≤ x ≤ -3Rango: -7≤ x ≤ 5
x y (x,y)
-4 -7 (-4,-7)
2 5 (2,5)
-3 -5 (-3,-5)
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f(x)=x+2
Dominio: -1 ≤ x ≤ 3Rango: 1 ≤ x ≤ 5
x y (x,y)
-1 1 (-1,1)
3 5 (3,5)
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Rectas Paralelas y Perpendiculares
Paralelas: L1 // L2 Dos rectas son paralelas si y solo si son
pendientes son iguales.L1 // L2 = m1 = m2
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Perpendiculares: L1 L2 Dos rectas son perpendiculares si y solo si el
producto de sus pendientes es igual a 1.
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Ecuación de la forma y=mx+b
y=m x + b intersección con el eje y pendiente
y=2x-1x y (x,y)
1 1 (1,1)
2 3 (2,)
m=1-3 1-2m=2
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Ecuación de la recta Punto-Pendiente
y - y1 = m (x - x1)
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Ejercicios
Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto P (-2,4) y tiene de pendiente 3
P= (-2,4) y- y1= m(x-x1)m=3 y-4= 3(x+2)
y-4= 3x+6
-3x+6-4-6=0Y=3x+10 forma y= mx + b-3x+y-10=0 forma general
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Determinar la ecuación de una recta que pasa por el punto (2/7, -3) y tiene de pendiente (1/2)
P ( 2/7,-3) Y-Y1=m (x-x1)m=1/2 y+3= 1/2 (x-2/7)
y+3= 1/2x – 2/14 y=1/2x – 2/14- 3
y=1/2x – 22/7 forma y=mx + b4y= 7x-44-7X+14Y+44=0 forma general
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Ecuación de la recta Punto- Punto
y-y1 = m(x-x1)
m = y2-y1 x2-x1
y-y1 =y2-y1 (x-x1) x2-x1
Punto-Pendiente
Pendiente
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Ejercicios
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (3,2) y Q (-4,1)
P (3,2) Y-2 = (x-3) Q (-4,1) y-2 =-1/7 (x-3)
y-2 = x/7- 3/77y-14=x-3 R: -x+7y-11= 0-x+7y-14+3 = 0
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Determinar la ecuación de la recta que
pasa por P (-1, 7) y Q (3,5)
P (-1,7)Y-7 = (x+1)Q (3,5) y-7 = -2/4 (x+1)
y- 7 = -x/2 - 1/2 R: x+2y-13=02y- 14 = -x-1x+2y-14+1= 0
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Ecuación Simétrica dela recta
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Ejercicios
Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 3y+2y-6= 0
3y+2y-6=03x/6 + 2y/6 = 6/6 (÷6)x/2 + y/3 = 1a= 2 P (2,0)B=3 P (0,3)
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Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 2x+3y-5= 0
2x+3y-5 = 02x+3y = 5 (÷5) a= 5/2 P (5/2, 0)2x/5 +3y/5 = 1 B= 5/3 P (0, 5/3)
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Función Creciente
x1, x2 € Drx1 < x2 f (x1) < f (x2)x1 < x2
Una función se llama creciente para todo x1, x2 elementos del dominio de la función se cumple que : x1<x2 f (x1) < f (x2)
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Función Decreciente
x1, x2 € Drx1 > x2 f (x1) > f (x2)x1 > x2
Una función se llama decreciente si para todo x1, x2 elementos del dominio de la función se cumple que: x1 < x2 f (x1) > f(x2)
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Distancia entre dos punos
Dp1p2= (x2-x1)² +(y2-y1)²
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Ejercicio
Determinar la distancia entre dos puntos A(-3,5) B(2,-2)
A=(x1,y1) B(x2,y2)Dab= (-3-2)² +(-5-2)²Dab= (-5)² +(-7)² Dab= 25+49Dab= 74
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SISTEMA DE ECUACIONES
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Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos variables ejemplo:
X+3y=8 2x+y=9Resolver un sistema de ecuaciones consiste en
encontrar los valores de las variables que hacen que se cumpla la igualdad
Los métodos de resolución de un sistema son:1. método grafico2. método de adición3. método de sustitución4. método de igualación
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Método Grafico
Consiste en graficar en un plano cartesiano las dos ecuaciones lineales las posibilidades de solución son las siguientes
Solución única Infinitas soluciones Sin soluciones
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Solución Única
Esta posibilidad se da cuando las dos rectas se intersecan y la solución esta dada por el punto de intersección de las dos rectas
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Infinitas Soluciones
Esta posibilidad se da cuando la una recta coincide con la otra
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Sin Soluciones
Esta posibilidad se da cuando las dos rectas son paralelas
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Método de Sustitución
Para resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución se debe seguir el siguiente procedimiento:
1er Paso: Es conveniente que se despeje una variable con coeficiente 1
2do Paso: Sustituimos la otra ecuación el valor de la variable despejada en la primera obteniendo una ecuación de primer grado con una variable
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3er Paso: Resolvemos la ecuación obteniendo en el paso anterior siendo este valor .
4to Paso: Sustituimos el valor obteniendo en el paso anterior en cualquier ecuación del sistema ( de preferencia en la que se encuentra despejada) y luego hallamos el valor de la otra variable
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Ejercicio
7/3x-2y=4/35/4x+3/2y=-7
(7x-6y)/3=4/3 (5x+6y)/4=-77x-6y=4 5x+6y=-28-6y=-7x+4 6y=-5x-286y=7x-4 y=(-5x-28)/6y=(7x-4)/6
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x y (x;y)
4 4 (4;4)
-2 -3 (-2;-3)x y (x;y)
4 -8 (4;-8)
10 11 (10;11)
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Método de Adición
Este método también con el método de eliminación o reducción, es el mas sencillo de todos los métodos si se aplica adecuadamente. Se fundamenta en eliminar una de las variables at raves de a adición de las ecuaciones. En la aplicación de este método podemos considerar el siguiente proceso:
1. Obtener coeficientes numéricos opuestos en una delas
variables de las 2 ecuaciones del sistema.2. Adicionar las 2 ecuaciones y eliminar dicha variable.3. Resolver la ecuación obtenida y hallar el valor de la
variable.4. Sustituir de la variable conocida en cualquiera e las
ecuaciones del sistema y hallar e valor de otra variable.
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Ejercicio
2x+y=52x+3y=8 -2x-y=-5 2x+3/2=5
2x+3y=8 2x=5-3/2 0+2y=3
2y=3 y=3/22x=7/2x=7/4
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Método de Igualación
Un sistema de ecuaciones se puede resolver por el método de igualación siguiendo este proceso:
1. Despejar la misma variable en las 2 ecuaciones.2. Igualar los resultados obtenidos.3. Resolver la nueva ecuación y encontrar el valor
de la una variable.4. Sustituir el valor obtenido con el paso anterior
en cualquier ecuación del sistema.
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Ejercicio
2x-y=20 2x+y=48y=2x-20y =48-2x2x-20=48-2x2x+2x=48+204x=68x=17
Sustituir:y=2x-20y=2(17)-20y=34-20y=14
R: x=17 y=14
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Inecuación lineal
Una inecuación lineal con 2 variables se puede expresar de las siguiente formas: 1) Ax + By + C > 0 Ejemplo: 3x + 2y - 1 > 0 2) Ax + By + C < 0 Ejemplo: x + y < 0 3) Ax + By + C ≥ 0 Ejemplo: -2x + 4y - 5 ≥ 0 4) Ax + By + C ≤ 0 Ejemplo: 3/2x + 1/4y ≤ 0 La solución de una inecuación con 2 variables corresponde al conjunto de pares ordenados que permiten que se cumpla la desigualdad. Por lo tanto la solución se observara en el gráfico como una región que se encuentra sombreada sobre o bajo una recta.
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Ejemplo
Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación lineal 3x + y ≤ 2. 3x + y ≤ 2 1er. Paso:
Cambiar los signos de orden con un igual. 3x + y = 2 2do. Paso:
Despejar "y" 3x + y = 2 y = 2 - 3x
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3er. Paso: Tabla de valores
4to. Paso: Graficar
x y (x;y)
0 2 (0;2)
1 -1 (1;-1)
-1 5 (-1;5)
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5to. Paso: Determinar zona solución
Sobre la recta Bajo la recta ( 3 ; 5 ) ( -3; 1 )
3x + y ≤ 2 3x + y ≤ 23(3) + 5 ≤ 2 FALSO 3(-3) + 1 ≤ 2
VERDADERO9 + 5 ≤ 2 (-9) + 1 ≤ 2 14 ≤ 2 (-8 ) ≤ 2 Observación: Si la inecuación tiene los símbolos > o < la recta se
grafica con líneas entrecortadas esto quiere decir que las partes que pertenecen a la recta no son parte de la solución.
Si la inecuación tiene los símbolos > o < la recta se grafica con línea continua esto quiere decir que los puntos que pertenecen a la recta son parte de la solución.
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Ecuaciones Cuadráticas
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar como : ax² + bx + c = 0 En donde a, b y c son números reales y a ≠ o.
Ejemplo:1) 3x² + 2x - 7 = 0 a b c
2) x² - 9 = 0 a= 1b= 0c= -9
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Factor Común Diferencia de cuadrados Trinomios :Cuadrados perfectosForma x² + bx + cForma ax² + bx + c Ejemplo:
x² - 3x = x ( x -3 )y² - 16 = (y + 4) (y - 4 )x²- 4x + 4 = (x - 2)²x² + 5x + 6 = ( x + 3)(x+ 2)3x² + 13x + 12 = ( 3x + 4 ) ( x + 3)
3X 4 = 4XX 3 = 9X
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Método de Factorización
Este método consiste en descomponer en factores a la ecuación cuadrática y luego aplicar el teorema a*b = 0 ; entonces b= 0 o a=0, es decir para encontrar cada una de la raíces, cada uno de los factores se iguala a 0 y se despeja la variable.
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Ejemplo
Resolver la siguiente ecuación cuadrática por el Método de Factorización. x² + 3x -10 = 0 Factorizar (x + 5) (x -2) = 0 Teorema del
factor 0x + 5 = 0 x= -5
x - 2 = 0
x = 2
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Comprobación
x = - 5 x = 2
(-5)² + 3(-5)- 10 = 0 2² + 3(2)- 10 = 025 - 15 - 10 = 0 4 + 6 - 10 = 025 -25 = 0 10 – 10 = 00 = 0 0 = 0
4x² - 9 = 0 (2x + 3) (2x - 3) 2x - 3 = 02x = -3 2x = 3x = -3/2 x= 3/2
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Método de Completación al cuadrado
Una ecuación cuadrática se puede resolver utilizando el método de completación del cuadrado que consiste en transformar a dicha ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. Para ella se debe sumar a los dos miembros de la ecuación. La expresión de ( b/2)², con el coeficiente numérico de la variable al cuadrado igual a 1.
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Método por formula
Para resolver una ecuación cuadrática por este método se aplica la siguiente formula:
x=-b ± b² - 4ac 2ªEn donde: a= coeficiente numérico de b= coeficiente numérico de c= termino independiente Para resolver por medio de la formula se puede seguir el
siguiente proceso:1. Expresar la ecuación en la forma 2. Identificar los coeficientes a, b y c de la ecuación.3. Reemplazar los valores en la formula y determinar las raíces e
la ecuación.
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Naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática
Discriminante
D > 0 (positivo)
D < 0 (negativo)
D = 0
La ecuación tiene 2 raíces R y diferentes
La ecuación tiene 1 solución en los R
La ecuación no tiene solución en los R
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Ejercicios3x²+11x+6=0a=3b=11c=6D > 0 La ecuación va a tener 2 soluciones
2x²+3x+4=0a=2b=3c=4D < 0 La ecuación no va a tener soluciones
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Propiedad de las raíces de una ecuación cuadrática
ax²+bx+c=0
Raíces x1; x2
Propiedades
Suma Producto
x1+x2=-b/a x1*x2=c/a
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EjercicioDadas las raíces determinar la ecuación cuadrática
x1=-1x2=7
Suma: x1+x2=-b/a -1+7=6Producto: x1 * x2= c/a (-1)(7)=-7 Ecuación: x²+6x-7=0