tema 4 integrales 2014-i

Tema 4 Introducción al Cálculo Integral

Introducción al Cálculo Superior

Tema 4- Introducción al Cálculo Integral

Bibliografía básica • (S) Stewart, “Cálculo de una variable (trascendentes tempranas)”. Thompson. Cap. 5. • (SHE) Salas, Hille y Etgen. “Calculus, Volumen I”. Reverté. Cap 5 • (EE) Eduardo Espinoza Ramos. “Análisis Matemático II”. Cap 1-2.

Introducción al Cálculo Superior


Índice 1. Introducción. 2. La integral como área bajo la curva. 3. Estimación de un área. Suma de Riemann. 4. La integral definida (o de Riemann). 5. El teorema fundamental del cálculo. 6. La integral indefinida. 7. Métodos de integración. 8. Integración directa o por simplificación. 9. Integración por cambio de variable o sustitución. 10. Área entre dos curvas

4 Introducción al Cálculo Superior

¿Qué es la integral de una función? Algunas ideas de forma muy informal

3. Es lo contrario de una derivada

� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

Notación: Integral definida de la función 𝑓 𝑥 en el intervalo [𝑎, 𝑏]

1. Es el área bajo la curva y el eje X 2. Es la suma de muchas cosas muy pequeñas

Es un número y se representa por

1. Introducción


Sea 𝑓 una función real definida en el intervalo [𝑎, 𝑏]. La integral de la función 𝑓(𝑥) sobre dicho intervalo representa el área de la región limitada por la curva, el eje OX y las perpendiculares por los puntos a y b. La integral es el área algebraica; si está sobre el eje x es positiva, bajo el eje x es negativa. Entonces en un intervalo puede ser positiva, negativa o cero. Es, por tanto, el ‘área neta’. Si queremos calcular el área real, sin signo, hay que cambiar el signo de las áreas bajo el eje x

2. La integral como área bajo la curva


Ejemplo: Calcular gráficamente la siguiente integral

𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2. 𝑓 1 = −1;𝑓 4 = 2

El área entre 1 y 2 es negativa de valor 𝐴1 = 12

1 × 1 = 12

El área entre 2 y 4 es positiva de valor 𝐴2 = 12

2 × 2 = 2

Al tratarse de un función lineal, el área se calcula fácilmente al tratarse de áreas triangulares.

� 𝑥 − 2 𝑑𝑥 4

1

� 𝑥 − 2 𝑑𝑥 = � 𝑥 − 2 𝑑𝑥 + � 𝑥 − 2 𝑑𝑥4

2

2

1

4

1= −

12 + 2 =

32

−𝐴1 𝐴2

𝐴1

𝐴2

http://www.matap.uma.es/~svera/docs/apuntesitt.html




Ejemplo: Calcular gráficamente la siguiente integral

� 25 − 𝑥2𝑑𝑥 5

−5

Representamos la función 𝑦 = 25 − 𝑥2

que se trata de una semicircunferencia de radio 5: 𝑥2 + 𝑦2 = 52

El área es, por tanto, � 25 − 𝑥2𝑑𝑥 5

−5=

12𝜋52 =

25𝜋2

En muy pocas ocasiones, el área se podrá calcular mediante figuras geométricas conocidas. Necesitamos un método más general pata integrar: SUMA DE RIEMANN





Suma de Riemann

Rieman (discípulo de Gauss) desarrolló una teoría de integración (por eso a las integrales que vemos en este tema se les denomina también integral de Riemann) basada en la descomposición del área en rectángulos. La idea es: 1. Definir rectángulos que vayan aproximando el área de manera sucesiva (a

medida que los hacemos más pequeños, se adaptan mejor al área).

2. Llevar dicha descomposición al límite (rectángulos muy estrechos) para calcular el área exacta.

Nota: aunque toda la exposición se hace en base a rectángulos, podría usarse otra figura que convenga para la resolución del problema

3. Estimación de un área. Suma de Riemann


Dividimos el intervalo [𝑎, 𝑏] en 𝑛 subintervalos de la misma longitud Δ𝑥 (podrían ser diferentes) por medio de la partición 𝑃 formada por los 𝑛 + 1 puntos 𝑃 = 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 , también llamados puntos de muestreo, tal que

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏; con Δ𝑥 =𝑏 − 𝑎𝑛

= 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1

En cada subintervalo 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 se define un rectángulo de altura 𝑓 𝑥𝑖∗ , 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], siendo 𝑥𝑖∗ un punto cualquiera del intervalo.

Aproximamos el área A con rectángulos de base [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

𝐴 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏𝑎 ≈ 𝑆𝑛 = 𝑓 𝑥1∗ Δ𝑥 + 𝑓 𝑥2∗ Δ𝑥 + ⋯+ 𝑓 𝑥𝑛∗ Δ𝑥 = ∑ 𝑓 𝑥𝑖∗ Δ𝑥𝑛

𝑖=1

Área rectángulos=Suma de Riemann



En cada subintervalo 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 se define un rectángulo de altura 𝑓 𝑥𝑖∗ , 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

Para una misma partición 𝑃 , se pueden definir diferentes sumas de Riemann , además de la ya definida 𝑆𝑛, dependiendo de cómo construyamos los rectángulos.

Utilizando como altura el mínimo de la función en el intervalo, es decir:

Suma inferior 𝑳𝒏:

𝐿𝑛 = �𝑚𝑖Δ𝑥𝑛

𝑖=1

donde

𝑚𝑖 = min{𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]} 𝑚1

𝑚12



En cada subintervalo 𝑥𝑘 , 𝑥𝑘+1 se define un rectángulo de altura 𝑓 𝑥𝑖∗ , 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]

Utilizando como altura el máximo de la función en el intervalo, es decir:

𝑈𝑛 = �𝑀𝑖Δ𝑥𝑛

𝑖=1

donde

𝑀𝑖 = max{𝑓 𝑥 : 𝑥 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖]} 𝑀1 𝑀12

Suma superior 𝑼𝒏:

Para una misma partición 𝑃 , se pueden definir diferentes sumas de Riemann , además de la ya definida 𝑆𝑛, dependiendo de cómo construyamos los rectángulos.



𝐿𝑛 ≤ 𝑆𝑛 ≤ 𝑈𝑛

Resulta evidente que para una partición P

donde recordemos que la altura de los rectángulos en 𝑆𝑛, 𝑓 𝑥𝑖∗ , se toma en un punto cualquiera 𝑥𝑖∗ ∈ 𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖 , es decir, mi ≤ 𝑓 𝑥𝑖∗ ≤ 𝑀𝑖.

𝑈𝑛 = �𝑀𝑖Δ𝑥𝑛

𝑖=1

𝐿𝑛 = �𝑚𝑖Δ𝑥𝑛

𝑖=1

𝑆𝑛 = �𝑓 𝑥𝑖∗ Δ𝑥𝑛

𝑖=1

Asimismo, se cumplirá que

𝐿𝑛 ≤ � 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎≤ 𝑈𝑛

La partición en rectángulos no nos proporciona entonces una solución única, sino una aproximación. El área que se obtiene depende de cómo lo hagamos. ¿Cómo puede este método garantizar la solución exacta? –’paso al límite’-

Esta expresión sólo nos dice que el valor de la integral está acotado entre esos dos valores.



Teorema

Sea 𝑓 𝑥 una función continua definida en el intervalo 𝑎, 𝑏 . Entonces, existe un único valor 𝐼 que cumple

Algunos resultados importantes que nos dicen que SÍ se puede calcular el área exacta ‘rellenándola’ con rectángulos.:

𝐿𝑛 ≤ 𝐼 ≤ 𝑈𝑛 para cualquier partición 𝑃 del intervalo [𝑎, 𝑏]

A ese número I se le denomina integral definida (o simplemente integral) de 𝑓 entre 𝑎 y 𝑏 y se denota por

Definición

� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎



Cuantos más puntos de muestreo tenga la partición P, mejor es la aproximación de cada suma, inferior 𝐿𝑛 o superior 𝑈𝑛, al cálculo del área. Ambas sumas tienden a converger.

http://www.geogebra.org/en/upload/files/inma_gijon_cardos/Integrales/integral_definida.html


http://www.geogebra.org/en/upload/files/inma_gijon_cardos/Integrales/integral_definida.html


Teorema Si 𝑓 es continua en [𝑎, 𝑏] o es acotada con un número finito de discontinuidades debidas a saltos entonces

lim𝑛→∞

𝐿𝑛 = lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = lim𝑛→∞

𝑆𝑛 = 𝐴 ≡ � 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

entonces decimos que 𝑓 es integrable 𝑒𝑛 [𝑎, 𝑏]

a b

Integrables en [a,b]

a b

No integrables en [a,b]

a b

a b

(Puede calcularse su área) (No puede calcularse su área)



Definición

� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim𝑛→∞

�𝑓 𝑥𝑖 Δ𝑥𝑛

𝑖=1

𝑏

𝑎

El teorema anterior nos dice que si 𝑛 → ∞ no importa cómo tomemos la altura de los rectángulos. Lo más sencillo es usar el valor de 𝑓 en los puntos de muestreo, es decir 𝑓 𝑥𝑖 . Podemos definir la integral definida como

con Δ𝑥 =𝑏 − 𝑎𝑛 ; y 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖Δ𝑥

Esta definición mejora la intuición de lo que hacemos en una integral

Si 𝑛 → ∞ , es decir, si hacemos que el número de rectángulos tienda a infinito, necesariamente tendremos rectángulos de base infinitesimal.

Δ𝑥 = 𝑏−𝑎𝑛

→ 0,

La integral es el ‘paso al límite’ de un sumatorio de términos infinitesimales

4. La integral definida (o de Riemann)




𝑖=1

𝑏

𝑎

La integral es el ‘paso al límite’ de un sumatorio de términos infinitesimales

El símbolo ∫ viene de la S de suma, pues una integral es una suma de infinitos términos sobre un soporte continuo (no numerable), a diferencia del sumatorio ∑ que se usa para sumar un número de términos sobre soporte discreto (numerables aunque sean infinitos). Los extremos del intervalo a y b se les denomina límites de integración, y delimitan el intervalo en el que se define el área; los límites entre los que se encuentra la variable 𝑥.





𝑖=1

𝑏

𝑎

La integral es el ‘paso al límite’ de un sumatorio de términos muy pequeños. Es la suma de ‘infinitos infinitésimos’

El término 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 es el equivalente a término 𝑓 𝑥𝑖 Δ𝑥 que aparece en la suma de Riemann. Simboliza el área de un rectángulo genérico posicionado en el punto 𝑥. A la función 𝑓 𝑥 se le denomina ‘integrando’. El rectángulo tiene altura 𝑓(𝑥) y base 𝑑𝑥 (se lee ‘diferencial de x’)

¿Qué un diferencial de 𝑥? En este contexto, 𝒅𝒅 representa de forma simbólica a una cantidad muy pequeña, infinitesimal, pero no nula.

El término 𝒅𝒅 también nos dice que estamos integrando respecto a la variable 𝒅. La integral definida es un número, no depende de 𝒅. Por tanto, podría usarse cualquier otra letra en lugar de 𝒅

� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑏

𝑎= � 𝑓 𝑣 𝑑𝑣

𝑏

𝑎= � 𝑓 𝑡 𝑑t

𝑏

𝑎



Algunas propiedades de la integral definida

1)� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 0𝑎

𝑎 2)� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = −� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

𝑏

𝑏

𝑎

Si 𝑓 y 𝑔 son continuas

3)� [𝑓 𝑥 ± 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = � 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎± � 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑎

4)� 𝑐𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑎

𝑏= 𝑐 � 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑎

𝑏

(se demuestran fácilmente usando que la integral es el límite de una suma de Riemann)

5)� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏

𝑎� 𝑓 𝑥 𝑑𝑥𝑐

𝑎+ � 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝑏

𝑐

Ejemplo:

� 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝑥2 + 5 − 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = � 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥𝜋

0+ 3� 𝑥2𝑑𝑥

𝜋

0+ 5𝜋 − � 𝑒𝑥𝑑𝑥

𝜋

0

𝜋

0



Ejemplo:

� 𝑐𝑑𝑥 𝑏

𝑎= lim

𝑛→∞�𝑓 𝑥𝑖 Δ𝑥𝑛

𝑖=1

= lim𝑛→∞

�𝑐𝑏 − 𝑎𝑛

𝑛

𝑖=1

= 𝑐(𝑏 − 𝑎) lim𝑛→∞

�1𝑛

𝑛

𝑖=1

� 𝑐𝑑𝑥 𝑏

𝑎

= 𝑐(𝑏 − 𝑎) lim𝑛→∞

1𝑛

1 + 1 + 1 + ⋯+ 1

con Δ𝑥 =𝑏 − 𝑎𝑛

; y 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖Δ𝑥 = 𝑎 + 𝑖𝑏 − 𝑎𝑛

= 𝑐(𝑏 − 𝑎)

Como el área de este ejemplo es un rectángulo, es fácil comprobar el resultado: 𝐴 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑎𝑡𝑎𝑎𝑎 = 𝑏 − 𝑎 𝑐.

a b

c



Ejemplo:

� 2𝑥𝑑𝑥 = 2� 𝑥𝑑𝑥3

0 = 2 lim

𝑛→∞�𝑥𝑖Δ𝑥𝑛

𝑖=1

= 2 lim𝑛→∞

�3𝑖𝑛

×3𝑛

𝑛

𝑖=1

3

0

� 2𝑥𝑑𝑥 3

0

= 18 lim𝑛→∞

1𝑛2�𝑖𝑛

𝑖=1

= 18 lim𝑛→∞

1𝑛2

1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛

con Δ𝑥 =3 − 0𝑛

=3𝑛

; y 𝑥𝑖 = 0 +𝑖3𝑛

=3𝑖𝑛

= 18 lim𝑛→∞

1𝑛2𝑛 1 + 𝑛

2= 18 lim

𝑛→∞

𝑛2

2𝑛2= 18 ×

12

= 9

Como el área de este ejemplo es un triángulo, es fácil comprobar el resultado: 𝐴 = 1

23 × 6 = 9.

suma progresión aritmética

=𝑛 1 + 𝑛

2

Este procedimiento basado en la suma de Riemann es conceptualmente muy intuitivo, pero poco operativo. Para funciones más complejas se complica mucho.



Problemas

� 𝑥2𝑑𝑥 3

0


1. Resuelve

ayudándote de los siguientes resultados

y � 𝑥3𝑑𝑥 3

0

2. Expresa los siguientes límites como una integral definida

𝑎) lim𝑛→∞

�𝑖4

𝑛5

𝑛

𝑖=1

𝑏) lim𝑛→∞

�1

1 + 𝑖𝑛

2

𝑛

𝑖=1


Ejemplo:

� 𝑡𝑑𝑡 = lim𝑛→∞

�𝑖𝑥𝑛

×𝑥𝑛

𝑛

𝑖=1

= 𝑥2 lim𝑛→∞

1𝑛2�𝑖𝑛

𝑖=1

𝑡

0= 𝑥2 lim

𝑛→∞

1𝑛2

1 + 2 + 3 + ⋯+ 𝑛

𝐹 𝑥 = � 𝑡𝑑𝑡 𝑥

0 con Δ𝑡 =

𝑥𝑛 ; y 𝑡𝑖 =

𝑖𝑥𝑛

= 𝑥2 lim𝑛→∞

1𝑛2𝑛 1 + 𝑛

2=𝑥2

2

En este ejemplo se ilustra lo que vamos a enunciar como resultado general: la integral es lo contrario de la derivada

Vemos que 𝐹′ 𝑡 = 𝑡.

La función integral Si f es continua en [a,b], y c es cualquier número en [a,b], entonces por cada 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] fijo la integral

𝐹 𝑥 = � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥

𝑐

es un número, y si dejamos variar x, será una función, que denotaremos por 𝐹, función definida en [𝑎, 𝑏]



3. Es lo contrario de una derivada

1. Es el área bajo la curva y el eje X 2. Es la suma de muchas cosas muy pequeñas

Necesitamos un procedimiento más sencillo para calcular las integrales

5. El Teorema fundamental del cálculo



Teorema fundamental del cálculo-Parte I

Si 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 la función

Como vimos en un ejemplo anterior, podemos definir una integral como una función

𝑔 𝑥 = � 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥

𝑐

𝑔 𝑥 = � 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥

𝑎; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

es continua en [𝑎, 𝑏], y diferenciable en (𝑎, 𝑏), y 𝑔′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 .

Este teorema también puede escribirse como 𝑑𝑑𝑥� 𝑓(𝑡)𝑑𝑡

𝑥

𝑎= 𝑓(𝑥)

cuando 𝑓 es continua. Si primero integramos 𝑓 y diferenciamos el resultado, obtenemos de nuevo 𝑓.


Demostración: Si 𝑥 y 𝑥 + ℎ están en (𝑎, 𝑏)

𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥 = � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥+ℎ

𝑎− � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥

𝑎= � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡

𝑥+ℎ

𝑥

y para ℎ ≠ 0 𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥ℎ

=1ℎ� 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥+ℎ

𝑥

Tendremos que

𝑚ℎ ≤ � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥+ℎ

𝑥≤ 𝑀ℎ

𝑓(𝑎)ℎ ≤ � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑥+ℎ

𝑥≤ 𝑓(𝑣)ℎ

𝑓(𝑎)ℎ ≤𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥

ℎ ≤ 𝑓(𝑣)ℎ



Demostración (cont)

𝑓(𝑎)ℎ ≤𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥

ℎ≤ 𝑓(𝑣)ℎ

Si ℎ → 0 ⇒ 𝑎 → 𝑥 ∧ 𝑣 → 𝑥

y por el Tma. del sandwich

𝑔′ 𝑥 =𝑔 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥

ℎ = 𝑓(𝑥)

⇒ 𝑓(𝑎) → 𝑓 𝑥 ∧ 𝑓(𝑣) → 𝑓(𝑥)



Definición de antiderivada

Una función 𝐹 se dice que es una antiderivada, o primitiva, de 𝑓 en un intervalo 𝐼 si 𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 , ∀𝑥 ∈ 𝐼.

Ejemplo Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥2. Una antiderivada será 𝐹 = 𝑥3

3, pues

𝐹′ 𝑥 =3𝑥2

3= 𝑥2

También sería una antiderivada la función G 𝑥 = 𝑥3

3+ 100, pues también verifica que

𝐺′ 𝑥 = 𝑥2. Cualquier función de la forma 𝐻 𝑥 = 𝑥3

3+ 𝐶, con 𝐶 una constante, son son

también antiderivadas

Teorema Si 𝐹 es una antiderivada de 𝑓 en un intervalo 𝐼, la antiderivada más general es F 𝑥 + 𝐶 donde C es una constante arbitraria



Ejemplos:

La antiderivada más general de 𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛, 𝑛 ≥ 0 es

𝐹 𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1 + 𝐶 ⇒ 𝐹′ 𝑥 =𝑛 + 1 𝑥𝑛

𝑛 + 1 = 𝑥𝑛

La antiderivada más general de 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) es 𝐹 𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 ⇒ 𝐹′ 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

La función primitiva más general de 𝑓 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 2𝑥4 − 1𝑥 es

𝐹 𝑥 = −4 cos 𝑥 +25 𝑥

5 − 2 𝑥 + 𝐶



Teorema fundamental del cálculo – Parte II (regla de Barrow)

Si 𝑓 es continua en 𝑎, 𝑏 , entonces

� 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏

𝑎= 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎

donde 𝐹 es cualquier antiderivada (o primitiva) de 𝑓, es decir, una función tal que 𝐹′ = 𝑓. La integración y la derivación son, por tanto, operaciones inversas

Demostración:

Del TFC-Parte I teníamos que 𝑔 𝑥 = � 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑥

𝑎; 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏

de donde se tiene que

𝑔 𝑎 = � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 0𝑎

𝑎;

𝑔 𝑏 = � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑏

𝑎;



Demostración (cont.) Por tanto 𝑔(𝑏) − 𝑔(𝑎) = � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑏

𝑎

Si 𝐹(𝑥) es antiderivada de 𝑓(𝑥) se cumplirá que 𝐹 𝑥 =𝑔 𝑥 + 𝐶, y por tanto

𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎 = 𝑔 𝑏 + 𝐶 − 𝑔 𝑎 + 𝐶 = 𝑔 𝑏 − 𝑔 𝑎 ) = � 𝑓 𝑡 𝑑𝑡𝑏

𝑎

Para hallar la integral definida de una función continua en un intervalo cerrado seguiremos el siguiente proceso:

a) Se halla una primitiva (antiderivada) cualquiera de la función, sin tener en cuenta la constante (la más sencilla).

b) Se sustituyen en esta primitiva los límites de integración -el superior y el inferior- y se restan los resultados

� 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 𝑏

𝑎= 𝐹 𝑥 𝑎

𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹 𝑎



Ejemplo: Calcula ∫ 𝑥3𝑑𝑥1−2

� 𝑥3𝑑𝑥 =𝑥4

4 −2

1

=14 −

164 = −

154

1

−2

Ejemplo: Calcula ∫ 𝑥2𝑑𝑥10

� 𝑥2𝑑𝑥 =𝑥3

3 0

1

=13− 0 =

13

1

0

Basta con encontrar una primitiva de 𝑥2 y evaluarla en los límites de integración

Ejemplo Hallar el área de la región bajo la gráfica de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) entre 0 y 𝜋



Integrales indefinidas: son una forma de expresar las antiderivadas

Si no tenemos especial interés en el intervalo [𝑎, 𝑏] y sólo queremos mostrar que 𝐹 es una antiderivada de 𝑓, que en un intervalo abierto significa que 𝐹𝐹 = 𝑓, entonces omitimos los límites de integración.

�𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 + 𝐶

Se llama integral indefinida de una función f(x) al conjunto formado por todas sus primitivas (antiderivadas), y se denota por:

Definición:

Ejemplo:

6. Integrales indefinidas

�𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 �𝑎𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶

�𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝑥𝑛+1

𝑛 + 1 + 𝐶,𝑛 ≠ −1 �[𝑔 𝑥 ]𝑛 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 =𝑔 𝑥 𝑛+1

𝑛 + 1 + 𝐶,𝑛 ≠ −1

�1𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥 + 𝐶 �

𝑔𝑔(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ln 𝑔(𝑥) + 𝐶

�1

2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 �

𝑔𝑔(𝑥)2 𝑔(𝑥)

𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) + 𝐶

�𝑎𝑥𝑑𝑥 =𝑎𝑥

ln𝑎 + 𝐶 �𝑎𝑔(𝑥)𝑔𝑔(𝑥)𝑑𝑥 =𝑎𝑔(𝑥)

ln𝑎 + 𝐶

�𝑒𝑥𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 �𝑒𝑔(𝑥)𝑔𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒𝑔(𝑥) + 𝐶

�sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 �sin(𝑔(𝑥))𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = − cos(𝑔 𝑥 ) + 𝐶

�cos𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 �cos(𝑔 𝑥 ) 𝑔𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = sin(𝑔 𝑥 ) + 𝐶

�sec2 𝑥 𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 �sec2(𝑔 𝑥 )𝑔𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = tan(𝑔(𝑥)) + 𝐶

�𝑎

𝑎2 + 𝑥2 𝑑𝑥 = tan−1 𝑥𝑎 + 𝐶 �

𝑎𝑔𝑔(𝑥)𝑎2 + [𝑔(𝑥)]2 𝑑𝑥 = tan−1

𝑔(𝑥)𝑎 + 𝐶

�1

𝑎2 − 𝑥2𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1

𝑥𝑎 + 𝐶 = −cos−1

xa + C �

𝑔𝑔(𝑥)𝑎2 − [𝑔 𝑥 ]2

𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛−1𝑔(𝑥)𝑎 + 𝐶 = −cos−1

𝑔 𝑥𝑎 + 𝐶

TABLA DE INTEGRALES INDEFINIDAS INMEDIATAS

1.a 1.b

2.a 2.b

3.a 3.b

4.a 4.b

5.a 5.b

6.a 6.b

7.a 7.b

8.a 8.b

9.a 9.b

10.a 10.b

11.a 11.b


Tabla más extensa



Más tablas en http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Integrales


http://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Integrales


Otras integrales que son frecuentes:

1.b 2.a 3.a



Métodos de integración más habituales

1. Integración directa (integrales inmediatas) Si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a 𝑓(𝑥) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la integral. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas. A las más comunes, se les denomina inmediatas.

2. Simplificación o descomposición en integrales inmediatas. Operamos en la función para descomponerla en funciones sobre las que aplicar integración directa (por ejemplo, una combinación lineal de funciones potenciales)

3. Método de sustitución o cambio de variable.

Se basa en realizar un reemplazo de variables adecuado que permita convertir el integrando en algo sencillo sobre lo que aplicar integración directa. En muchos casos, donde las integrales no son triviales, se puede transformar para obtener a una integral de tabla para encontrar fácilmente su primitiva. Este método realiza lo opuesto a la regla de la cadena en la derivación.

4. Integración por partes (próximo curso) 5. Integrales racionales (próximo curso) 6. Integración numérica (próximo curso)

7. Métodos de integración


Índice 1. Introducción. 2. La integral como área bajo la curva. 3. Estimación de un área. Suma de Riemann. 4. La integral definida (o de Riemann). 5. El teorema fundamental del cálculo. 6. La integral indefinida. 7. Métodos de integración. 8. Integración directa o por simplificación. 9. Integración por cambio de variable o sustitución.


42 9.a

2.a 10.a

8. Integración directa o por simplificación


2.b


51 Introducción al Cálculo Superior 1.b 2.a 3.a



Problemas ¿Qué está mal en el siguiente desarrollo?

Resuelve las siguientes integrales (puedes ayudarte de la tabla de integrales inmediatas de la pag. 35)



Problemas Verificar:

Resolver:

Resolver:



9. Integración mediante sustitución cambio de variable

Se buscar reducir una integral complicada haciendo un cambio de variable, de manera que la integral expresada en términos de la nueva variable sea una integral inmediata (en tablas). El procedimiento no es del todo mecánico, sino que hay que aplicar algo de ingenio. El método consiste en los siguientes pasos

1. Partimos de la integral (podría ser definida)

�𝑓 𝑥 𝑑𝑥

2. La reescribimos para que tenga la forma

por ejemplo �1

5𝑥 + 3 2 𝑑𝑥

manipulándola algebraicamente si fuese necesario �𝑓 𝑔 𝑥 𝑔𝑔(𝑥)𝑑𝑥

En nuestro ejemplo podemos hacer que 𝑔 𝑥 = 5𝑥 + 3 como 𝑔′ 𝑥 = 5 multiplicamos y dividimos por 5 en la integral

�1

5𝑥 + 3 2 𝑑𝑥

=

15�

55𝑥 + 3 2 𝑑𝑥


3. Realizamos el cambio de variable 𝑔 𝑥 = 𝑎

𝑔 𝑥 = 𝑎 𝑔′ 𝑥 =𝑑𝑔 𝑥𝑑𝑥 =

𝑑𝑎𝑑𝑥

𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑎

� 𝑓 𝑔 𝑥 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 = �𝑓 𝑎 𝑑𝑎

= 𝐹 𝑎 + 𝐶

de tal manera que ∫ 𝑓 𝑎 𝑑𝑎 sea ya una integral sencilla

15�

55𝑥 + 3 2 𝑑𝑥

= 𝑎 = 5𝑥 + 3

𝑑𝑎 = 5𝑑𝑥 =15�𝑎−2𝑑𝑎

= −

15𝑎

−1 + 𝐶

4. Deshacemos el cambio

−15𝑎

−1 + 𝐶 = −1

5 5𝑥 + 3 + 𝐶



A continuación se muestran algunos ejemplos extraídos del libro

Cálculo para la ingeniería, de Salvador Vera

http://www.matap.uma.es/~svera/docs/calitt.html


http://www.matap.uma.es/~svera/docs/calitt.html


Cuando se trata de integrales definidas, se puede resolver de dos maneras: 1. Calculando la integral indefinida y aplicando los límites al finalizar el Paso 4

Ejemplo � 𝑥2 − 1 𝑥3 − 3𝑥 + 2 3𝑑𝑥

2

0

Con el método 1, resolvemos

Para evaluar la integral sólo necesitamos una antiderivada. Por ejemplo la que tiene C=0



Cuando se trata de integrales definidas, se puede resolver de dos maneras: 1. Calculando la integral indefinida y aplicando los límites al finalizar el Paso 4 2. Modificar los límites tras el cambio e variable y resolver la integral

definida, es decir

Ejemplo � 𝑥2 − 1 𝑥3 − 3𝑥 + 2 3𝑑𝑥 2

0

Con el método 2, utilizando el mismo cambio de variable

𝑎 = 𝑥3 − 3𝑥 + 2 𝑥 = 0 ⇒ 𝑎 = 2; 𝑥 = 2 ⇒ 𝑎 = 4



Ejemplo

Hacemos el cambio 𝑎 = 𝑥2 + 1 ⇒ 𝑑𝑎 = 2𝑥𝑑𝑥 ⇒ 𝑥2 = 𝑎 − 1



Problemas



Áreas entre dos curvas

Si queremos hallar el área Ω comprendida entre dos curvas (funciones) tendremos que restar al área de la función que está ‘por encima’ (frontera superior) , Ω1 , el área de la función que está ‘por debajo’ (frontera inferior), Ω2.

= -

10. Área entre dos curvas

poner en valor absoluto, fuera o dentro????


Ejemplo Halla el área comprendida entre la recta 𝑦 = 𝑥 + 2 y la parábola 𝑦 = 𝑥2. (ver figura)

En primer lugar tenemos que calcular los límites de integración, que serán los puntos de intersección entre ambas curvas, señalados como puntos rojos en la figura.

En los puntos rojos de la figura se verifica que

𝑥2 = 𝑥 + 2 ⇒ 𝑥2 − 𝑥 − 2 = 0 ⇒ 𝑥 = {−1,2}

El área es entonces

� 𝑥 + 2 − 𝑥2𝑑𝑥 =12 𝑥

2 + 2𝑥 −13 𝑥

3

−1

2

= 2 + 4 −83 −

12 − 2 +

13

2

−1=

92



El cálculo del área entre dos curvas no se ve afectado si las áreas son positivas o negativas, es decir, si intersectan con el eje X

Si subimos el área C unidades para que esté enteramente en la parte de 𝑓 𝑥 > 0 no cambia nada en el cálculo del área



Ejemplo Calcula el área de la figura

Ejemplo Encuentra el área entre 𝑦 = 4𝑥 y 𝑦 = 𝑥3

La función que forma la frontera superior en el intervalo [−2,0] es x3, mientras que en el intervalo [0 , 2] es 4𝑥.



Para calcular el área neta hay que tener en cuenta que el área bajo el eje X es negativa

+



Ejemplo Calcula ∫ (𝑥2 − 2𝑥)3−1

La integral es el área bajo la curva, es decir:

Ω = Ω1 − Ω2 + Ω3 = � 𝑥2 − 2𝑥3

−1=

𝑥3

3 − 𝑥2−1

3

=43

Por el contrario, el área neta total sería

𝐴 = Ω1 + Ω2 + Ω3 = � 𝑥2 − 2𝑥0

−1− � 𝑥2 − 2𝑥

2

0+ � 𝑥2 − 2𝑥

3

2

=𝑥3

3 − 𝑥2−1

0

−𝑥3

3 − 𝑥20

2

+𝑥3

3 − 𝑥22

3

= 4



Problemas Dibuja la región delimitada por las curvas y calcula su área.

(Del libro de Salas, Hille & Etgen)


tema 4 integrales 2014-i

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