tema ii integrales uney

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA I

TEMA II: INTEGRALES (INTEGRAL INDEFINIDA)

ANTECEDENTES HISTÓRICOS

Hay, primordialmente, dos matemáticos coetáneos íntimamente ligados a los inicios

del cálculo infinitesimal, el inglés Newton (1642-1727) y el alemán Leibniz (1646-1716), si

bien, hubo otros matemáticos que de una u otra forma trabajaron en ello, como Kepler,

Fermat (1601-1665), Cavalieri (1598-1647), incluso Arquímedes (Ap. 288 a.C.- Ap. 213

a.C.), que utilizó un método para el cálculo de áreas que se aproxima rudimentariamente al

cálculo integral. Newton y Leibniz (Newton unos años antes) sientan las bases del análisis

infinitesimal aunque por vías distintas, quedando fuera de toda sospecha que alguno se

aprovechase de los hallazgos del otro. Aunque en los inicios se comunicaban los progresos

que hacía cada uno, llegaron a surgir comentarios de matemáticos ajenos a todo ello que, en

ocasiones, calificaban la obra de Newton como plagio de la de Leibniz; en otras ocasiones

era a la inversa, y esto provocó la enemistad de ambos.

Todo esto hizo que Newton, poco antes de morir y habiendo fallecido Leibniz unos

años antes, ordenara suprimir un comentario de su obra «Principia» en el que se citaba a su

otrora amigo como autor de un procedimiento de cálculo similar al suyo. Leibniz es,

además, el responsable de la actual simbología del cálculo infinitesimal, y no sólo eso; fue

el primer matemático que utilizó el · para expresar una multiplicación y ÷ para denotar un

cociente, entre otras muchas más aportaciones.

FUNCIÓN PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN

Dada una función cualquiera f(x) definida en un intervalo cerrado ,,ba se llama

función primitiva de xf a otra función xF cuya derivada sea xf en dicho intervalo.

Es decir, xfxF para todo x de .,ba Así, por ejemplo:

La función xsen es una primitiva de xcos puesto que .cos xxsen

La función xln es una primitiva de x

1 puesto que .

1ln

xx

La derivada de 3

3x es ,3

3

1

3

223

xxx

por lo cual

3

3x es una primitiva de .2x

PROPIEDADES DE LAS PRIMITIVAS DE UNA FUNCION

PRIMERA PROPIEDAD: Si xF es una primitiva de xf y C una constante

cualquiera (un número), la función xF + C es otra primitiva de xf .

TEMA II: INTEGRALES


DEMOSTRACIÓN: Basta recordar que la derivada de una suma de funciones es

igual a la suma de las derivadas de las funciones, y que la derivada de una constante es

siempre cero.

.0 xfxfCxFCxF

EJERCICIO: Encontrar tres primitivas de la función xcos .

RESOLUCIÓN: Se sabe que xsen es una primitiva de xcos . Luego, tres

primitivas de xcos son, por ejemplo, ,3xsen ,2lnxsen .3

xsen

SEGUNDA PROPIEDAD: Si una función tiene una primitiva, entonces tiene

infinitas primitivas.

DEMOSTRACIÓN: Si xF es una primitiva de xf , para cualquier constante C,

CxF es otra primitiva según la anterior propiedad. Así, hay tantas primitivas como

valores se le quieran dar a C.

TERCERA PROPIEDAD: Dos primitivas de una misma función se diferencian en

una constante. Esto es, xF y xG son primitivas de la función xf , entonces

.cteCxGxF

DEMOSTRACIÓN: Hay que recordar que si una función xf definida en un

intervalo cualquiera tiene derivada cero en todos los puntos, entonces la función xf es

constante. Es decir, si 0 xf , entonces .Cxf Pues bien, si xF es una primitiva de

xf , ;xfxF y si xG es otra primitiva de xf , entonces también

;xfxG luego, restando miembro a miembro,

,0

xfxfxGxFxGxF de donde se deduce que .CxGxF

LA INTEGRAL INDEFINIDA

DEFINICIÓN: Llamamos a F una antiderivada de f en el intervalo I, si

)()( xfxFdx

d en I, es decir, si xfxF para toda x en I, esto es:

)()(' )()( xfxFsisóloysícxFdxxf

TEMA II: INTEGRALES


En donde:

nIntegració de Variable

Integrando

nIntegració de Constante)()(

daAntideriva o Primitiva Integral de Signo

cxFdxxf

NOTA: Esta definición se puede interpretar de la siguiente manera: Al integrar una

función xf obtenemos como resultado xF ; si este resultado se deriva obtendremos

como resultado al integrando y además nos sirve como comprobación.

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRAL INDEFINIDA

Observa las siguientes propiedades, las cuales debemos tomar en cuenta para el

cálculo de integrales indefinidas.

HOMOGENEIDAD (PRODUCTO POR UN ESCALAR): Sí f es integrable y k es

un número real cualquiera, entonces kf es integrable:

dxxfkdxxfk )( )(

ADITIVIDAD (SUMA O DIFERENCIA): Sean f y g son dos funciones

integrables, entonces:

dxxgdxxfdxxgxfii

dxxgdxxfdxxgxfi

)( )( )()( )

)( )( )()( )

Un factor constante k puede escribirse antes del signo de integral, donde c es la

constante de integración.

cxkdxkdxk

TEMA II: INTEGRALES


REGLA DE LAS POTENCIAS PARA INTEGRALES INDEFINIDAS.

cx

ndxx nn 1

1

1 donde el exponente n es un número racional y n -1

INTEGRALES DE FUNCIONES TRASCENDENTES

En las FUNCIONES TRASCENDENTES se encuentran las

TRIGONOMÉTRICAS, LAS EXPONENCIALES Y LAS LOGARÍTMICAS. Para

calcular este tipo de integrales se usan las siguientes fórmulas de integración.

cuduu

cuduu

sen cos

cos sen

cuduu sec ln tan

cuuduu

cusenduu

cuduuu

cuduuu

tan sec ln sec

ln cot

csc cot csc

sec tan sec

cuuduu cot csc ln csc

cuduu

cuduu

cot csc

tan sec

2

2

ca

adua

cuu

du

cedue

uu

uu

ln

ln

APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO

Observa en los siguientes ejemplos cómo se aplican las propiedades de la integral

indefinida. Vamos unos ejemplos:

1. Calcular la siguiente integral indefinida dxx3 5

PASO 1: El 5 es una constante que se puede escribir fuera de la integral.

dxxdxx 5 5 33

PASO 2: Para encontrar una antiderivada de x3 (o sea la primitiva) aplicamos la

fórmula siguiente:

cxn

dxx nn

1

1

1

TEMA II: INTEGRALES


O sea que:

cxdxx

133

13

1 5 5

PASO 3: Se realizan las operaciones indicadas y se obtiene finalmente el resultado.

cxdxx 43 4

5 5

Para realizar la comprobación de la integral, se deriva el resultado, esto es:

dx

cdxcx

dx

d 4

4

5

4

5 144

Recuerda que la derivada de una constante es igual a cero. Al simplificar se obtiene al

integrando.

34 54

5xcx

dx

d

NOTA: Recuerda que al hacer mención de la antiderivada o primitiva nos estamos

refiriendo a la integral indefinida.

Ahora veamos la aplicación de estas propiedades en una función polinomial.

2. Calcula la integral indefinida dxxxx 2543 35 y realiza la comprobación.

PASO 1: Se escribe la integral, recordando que la suma o resta de funciones es igual

a la suma o resta de las integrales, esto es:

dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535

PASO 2: Los factores constantes se escriben fuera de la integral y se aplica la

fórmula de una potencia, como se muestra a continuación:

dxdxxdxxdxxdxxxx 2 5 4 3 2543 3535

PASO 3: Se integra cada una de éstas.

1

155 15

1 33 cxdxx

TEMA II: INTEGRALES


4

3

11

2

133

22

11

1 5 5

13

1 44

cxdx

cxdxx

cxdxx

PASO 4: Se sustituyen los valores, tomando en cuenta que 4321 ccccc .

cxxxxdxxxx 22

5

4

4

6

3 2543 24635

PASO 5: Finalmente se simplifica el resultado.

cxxxxdxxxx 22

5

2

1 2543 24635

Para verificar el resultado, se deriva el polinomio y se obtiene el integrando.

02)2(2

546

2

12

2

5

2

1 35246

xxxcxxxx

dx

d

Simplificando se obtiene:

254322

5

2

1 35246

xxxcxxxx

dx

d

Analiza los siguientes procedimientos para calcular integrales indefinidas

trascendentes.

3. Calcula la integral indefinida dxx sen y realiza la comprobación.

PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, por lo tanto:

cxdxx cos sen

PASO 2: Se realiza la comprobación derivando el resultado.

xxcdx

dx

dx

dcx

dx

d sen0 sen cos) (cos

Ahora resuelve los siguientes ejercicios, aplicando las propiedades de la integral

indefinida.

TEMA II: INTEGRALES


4. Calcula la integral indefinida dxx 3

PASO 1: Este tipo de integrales se resuelven de forma inmediata, perteneciente al caso

en el que .3a Por tanto:

Cdxx

x 3ln

3 3

PASO 2: Realiza la comprobación derivando el resultado.

5. Probar la certeza de la igualdad

Cx

x

x

dx

1

1ln

2

1

1 2

Para lo cual basta demostrar que la derivada de la función Cx

x

1

1ln

2

1es .

1

12x

EJERCICIOS:

a) Calcula la integral dxxxx 4839 23 y realiza la comprobación.

b) Calcula la integral dxx cos y realiza la comprobación.

c) Analiza con atención cada uno de las siguientes expresiones y calcula las integrales

aplicando el método de integración respectivo.

1. dxxxxx 72 234

2.

dxxxx 8

5

62 23

3.

dxxx

2

3

4

1

3

2 2

4. dxxx 304 23

5. dxx 2 3

6. dxx 2

3

7. dxxx 123

8. dxxx 231

9. dxxx 96 24

d) Analiza las siguientes expresiones y aplicando el procedimiento adecuado, calcula las

integrales trascendentes.

10. dxxe x )2(

11. dxx

1

12. dxx sec2 2

13. dxx cos5

14. dxx

3

sen

15. dxx

3

8

TEMA II: INTEGRALES


TABLA DE COMPROBACIÓN

Número de

pregunta Respuesta correcta

1. cxxxxxdxxxxx 72

1

3

1

2

1

5

172 2345234

2.

cxxxdxxxx 23423 4

5

2

2

18

5

62

3. cxxxdxxx

2

3

8

1

9

2

2

3

4

1

3

2 232

4. cxxxdxxx 30

3

4

4

1)304( 3423

5. cxdxx 23 2

6. cxdxx 2

5

2

3

5

2

7. cxxxdxxx 925

196 3524

8. cxxxdxxx 22

3

3

212

9. cxxxdxxx 22

1231 23

10. cxedxxe xx 22

11. cxdxx

ln1

12. cxtandxx 2 sec2 2

13. cxdxx sen5 cos5

14. cxdx

xcos

3

1

3

sen

15. cxdx

xln

3

8

3

8

TEMA II: INTEGRALES


La utilización de estas dos propiedades constituye el llamado MÉTODO DE

DESCOMPOSICIÓN en el que como principio conviene descomponer el integrando lo

más posible, aplicando las propiedades anteriores; a veces, conviene hacer un hábil manejo

de constantes, sumar y restar una misma cantidad ó multiplicar y dividir por un mismo

número.

EJEMPLO: Justificar cada paso.

Kxxdxx

xdxdxx

xdxdxx

xx

ln7

2

1172

2

177 2

2

3

3.- CUADRO DE INTEGRALES INMEDIATAS.

TIPOS FORMAS

SIMPLES COMPUESTAS

1. Potencial (n-1) Kn

xdxx

nn

1

1

Kn

axdxax

nn

1

1

2. Logarítmico Kxdxx

ln1

dxbax

1

3. Exponencial K

a

adxa

Kedxe

xx

xx

ln

4. Seno Kxdxx cossen

5. Coseno Kxdxx sencos

6. Tangente Kxtanxdx secln

7. Cotangente Kxanxdx senlncot

8. Secante Ktanxdxx 2sec

9. Cosecante Kxandxxec cotcos 2

10. Arco seno Kxarcdxx

sen1

1

2

11. Arco tangente Kxtanarcdxx

21

1

12. Arco secante Kxarcdxxx

sec1

1

2

TEMA II: INTEGRALES


Aunque no son inmediatas, hay algunas que aparecen con mucha frecuencia y

conviene saber. Son las siguientes:

dxcbxax

nmxedx

cbxaxdx

xa

2222

1,

1

EJEMPLOS: Justificar cada paso.

1) .22

1

21

2

1

2

1

21

2

1

2

1

4

4

4

1

4

12222

Kx

atandxx

dxx

dxx

dxx

2)

Kx

dxx

dxx

dxxx

dxxx

2

12arctan

2

1

2

1

2)12(

2

2

1

2)12(

1

2144

1

344

1

2

222

3)

tangentearcotiponeperianotipo

13

8

13

32

13

832

13

522222

dx

xxdx

xx

xdx

xx

xdx

xx

x

EL MÉTODO DE SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE

Consiste en sustituir la variable “ x ” por una nueva variable; veamos el siguiente:

TEOREMA: Sea g una función derivable y supóngase que F es una antiderivada

de .f Entonces haciendo el cambio de variable ,xgu tenemos que:

cxgFcuFduufdxxgxgf ))(()()()(')(

Observa el siguiente ejemplo donde se aplica este método.

EJEMPLO: Evalúa la siguiente integral: dxxx 4 2

TEMA II: INTEGRALES


PASO 1: Se hace el cambio de variable, tomando 42 xu , entonces la derivada de

u es:

dxxdu 2

PASO 2: Se sustituyen estos valores en la integral, esto es:

2

4 2

1

2 duudxxx

Observa que dxxdu 2 y en el integrando sólo se tiene dxx , entonces dxxdu

2 .

PASO 3: Se aplican las propiedades de la integral; esto es, 2

1se escribe fuera de la

integral por ser una constante:

2

1 4 2

1

2 duudxxx

PASO 4: Se realiza la integral, obteniendo lo siguiente:

cu

duu

12

12

1

2

11

2

1

2

1

cucucu

2

3

2

32

3

3

1

6

2

2

32

1

PASO 5: Se hace el cambio de variable de 42 xu y se sustituye en el resultado:

cxdxxx 2

322 4

3

1 4 cx

32 43

1

Más adelante desarrollaremos otros ejemplos donde se aplique este método.

EJERCICIOS: Lee con atención los siguientes reactivos y resuelve lo que se pide. I.- Aplica el método de sustitución y evalúa las siguientes integrales, escribe tu desarrollo y

la solución.

1. dxxx432 5

2. dxx6

93

3.

dxe

ex

x

21

4. dxx5

1

5. dxxx cos sen3

dxx

x

9

32

TEMA II: INTEGRALES



Número de pregunta Respuesta correcta

1

dxxdu

dxxduxu 223

3 3 5

cxdxxx53432 5

15

15

2

dxdu

dxduxu 3

3 93

cxdxx76

9321

193

3

dxedu

dxedueu xxx 2

2 21

cedxe

e x

x

x

21ln2

1

21

4

dxduxu 1

cxdxx65

16

11

5

dxxduxu cos sen

cxdxx 43 sen

4

1 sen

6

dxxdu

dxxduxu 2

2 92

cxdxx

x9ln

2

3

9

3 2

2

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR PARTES

El método de integración por partes se basa en la integración de la fórmula derivada

del producto de dos funciones. Veamos el siguiente procedimiento para obtener la fórmula

de integración por partes: Sea xuu y ,xvv entonces:

)(')()(')()()( xuxvxvxuxvxuDx

Integrando ambos lados de la ecuación se obtiene la siguiente expresión:

dxxuxvdxxvxuxvxu )(')( )(')()()(

Despejando la primera integral tenemos:

dxxuxvxvxudxxvxu )(')()()( )(')(

TEMA II: INTEGRALES


Sí dxxuduydxxvdv )(' )(' , entonces la ecuación anterior se puede escribir de la

forma siguiente:

duvvudvu

La cual es la fórmula para integrar por partes. El éxito de éste método, depende de la

elección apropiada de u y dv , lo cual se consigue solamente con la práctica.

EJEMPLO: Para aplicar este método, vamos a evaluar la siguiente integral:

dxxx cos

PASO 1: Se escribe dxxx cos como el integrando de esta integral es dvu ;

entonces:

dxduyxu

PASO 2: Si dxxdv cos , entonces, para encontrar v se integran ambos lados,

obteniendo:

dxxdv cos , entonces cxv sen

PASO 3: Los valores de vydvduu , , se sustituyen en la fórmula, quedando de la

siguiente manera:

dxxxxdxxx sensen cos

La integral de cxdxx cos sen , sustituyendo este resultado en la integral

anterior, se obtiene el resultado.

cxxxdxxx cossen cos

Recuerda que las constantes de integración están incluidas en “c”.

EJERCICIOS: Aplica el método de integración por partes y calcula las siguientes

integrales.

1. dxxx sen

2. dxx ln

3. dxex x2

4. dxxx cos 4

TEMA II: INTEGRALES




1 xvdxxdvdxduxu cos sen

cxxxdxxx coscos sen

2 xvdxdvdx

xduxu

1 ln

cxxxdxx ln ln

3

xx evdxedvxdxduxu 2 2

dxxeexdxex xxx 222

La integral del lado derecho se realiza otra vez por partes, esto

es: xx evedvdxduxu 1111 2 2

cxxedxex xx 2222

4 xvdxxdvdxduxu sen cos 4 4

cxxxdxxx cos4sen4 cos4

INTEGRACION POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA

Si el integrando contiene una expresión de la forma:

a u u a o a u2 2 2 2 2 2 , Elevada a cualquier exponente, la integración se realiza

mediante una sustitución trigonométrica, de acuerdo con la siguiente tabla:

EJEMPLO: Resuelve la siguiente integral: dxxI 225

TEMA II: INTEGRALES


SOLUCIÓN: El cambio a realizar en este tipo de integrales es tx sen5

ttsensentxdttdx cos5)1(25)5(2525 ;.cos5 222

Entonces: .cos25.cos5.cos5 2 tdtdtttI (*)

Hacemos tdtI 21 cos y la resolvemos por partes:

dvdttut .cos ;cos ; tdttvdudtt sen.cos ;.sen

dttdtttdttttdttttI .coscos.sen)cos1(cos.sen.sencos.sen 2221

Es decir, ;cos. 11 IttsetI y por tanto, 2

cos.sen1

tttI

Resultado que llevado a (*) nos da )cos.(2

25ttsentI . Si deshacemos el cambio de

variable: 5

25cos que sale ,1cossenrelación la dey ;

5sen

222 x

tttx

t

Finalmente queda: Cx

xxI 5

arcsen2

2525

2

1 2

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Halla el valor de la siguiente integral: dx

xa

aI

22

2. Resuelve: dx

xxI

267

1

3. Demostrar que

Caxxdxax

2

2ln

1

4. Resuelve

dxx 4

2

2

TEMA II: INTEGRALES


5. Resuelve: 2082 xx

dx



1 Buscando el arco seno resulta: Ca

xaI arcsen.

2

Eliminamos el término en x haciendo el cambio .2

btx

Después buscamos el arco seno y se obtiene Cx

I

4

3arcsen

3 Hágase el cambio xtax 2

4 Cxx 4ln2 2

5 2

4arctg

2

1 x

INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Las funciones racionales son de la forma )(

)()(

xQ

xPxf donde )(xP y )(xQ son

funciones polinómicas y están definidas en todos los puntos de R menos en aquellos donde

se anula el denominador.

NOTA IMPORTANTE: Las integrales de muchas funciones racionales pueden

calcularse directamente; por eso, hay que comprobar primero si el integrando pertenece a

alguno de estos tipos:

a) Forma potencial

b) Forma neperiana

c) Forma arco tangente

d) Forma neperiano-arco tangente

Vistos con anterioridad. Si no corresponde a ninguno de estos tipos, lo que haremos

será transformar nuestra función racional en una suma de fracciones que tienen por

denominador polinomios de primer o segundo grado irreducibles (descomposición en

fracciones simples).

TEMA II: INTEGRALES


Estudiaremos solamente el caso en el que todas las raíces del denominador sean

reales puesto que es el único caso que exigen en Selectividad.

El esquema de descomposición en fracciones simples es el siguiente:

.........................................................................

)....(....................)()(

)....(....................)(

)(....................)(

)(

23

2

triplelinealfactorpx

R

px

Q

px

P

doblelinealfactormx

N

mx

M

simpleslinealesfactorescx

C

bx

B

ax

A

xQ

xP

Para la determinación de las constantes ... ...,P, Q,...,M, N,..A, B, C,.. se hace lo

siguiente:

a) Se multiplica la igualdad anterior por ),(xQ obteniéndose la igualdad polinómica

)(xP

b) Se dan valores numéricos en ambos miembros, tantos como constantes haya que

determinar. Por comodidad se utilizan las raíces obteniéndose un sistema de ecuaciones.

c) Se resuelve el sistema y las soluciones obtenidas se sustituyen en las fracciones

simples.

EJEMPLOS:

a) Calcular: 42x

dx

SOLUCIÓN:

Notemos que:

224

1

2 xxxxQ

xP

Ya que las raíces simple son: 2,2 xQ

TEMA II: INTEGRALES


La descomposición en fracciones simples, en este caso, es de la forma:

224

12

x

B

x

A

x

Para determinar el valor de “ A ” y de “ B ” operamos las fracciones:

221 xBxA

Dando a “ x ” los valores de las distintas raíces, en la igualdad anterior obtenemos los

valores de los coeficientes: “ A ” y “ B ”.

4

141222212

4

141222212

BBBAx

AABAx

Ahora ya podemos escribir la igualdad:

24

1

24

1

4

12

xxx

Por tanto la integral pedida se puede calcular como suma de dos inmediatas:

kxxdx

x

dx

x

dxdx

xdx

xx

dx2ln

4

12ln

4

1

24

1

24

1

24

1

24

1

42

b) Calcular: dxxxx

x

1

5323

SOLUCIÓN: Vamos a descomponer en fracciones simples la función racional:

TEMA II: INTEGRALES


1

53)(

23

xxx

xxf

El denominador se descompone como ,112

xx entonces podremos

descomponer como:

1)1(11

53)(

223

x

C

x

B

x

A

xxx

xxf

Multiplicando la igualdad anterior por 211 xx resulta:

1111532

x-x++Cx++Bx-=Ax+

Dando valores:

Para ,1x tenemos .428 B=B=

Para ,1x tenemos .2

142 A=A=

Para ,0x (por ejemplo) tenemos:

.C=-C-C-C=A+B-C2

15

2

9

2

954

2

155

Entonces tenemos que:

1

21

)1(

4

1

21

1

53223

xxxxxx

x.

Los factores simples así obtenidos son fácilmente integrables, pues serán de la forma

potencial ó neperiana. En nuestro caso:

Kxx

x

dxx

dxx

dxx

dxxxx

x

1ln2

1

1

41ln

2

1

12

1

)1(

4

12

1

1

53223

TEMA II: INTEGRALES


EJERCICIOS: Resolver los siguientes integrales racionales:

dx

x

xxiiidx

xx

xxiidx

xx

xi .

2

12).

23

53).

5

32)

4

2

34

2

2

EJERCICIOS SOBRE FORMULAS DE RECURRENCIA

1. Hallar la formula de recurrencia para calcular dxxxsen nm cos12 y calcular

.cos43 dxxxsen

2. Hallar la formula de recurrencia para calcular dxxxsen nm 12cos y calcular

.cos34 dxxxsen

3. Hallar la formula de recurrencia para calcular dxex xn y calcular dxex x3

4. Hallar la formula de recurrencia para calcular dxxxn cos y calcular

.cos3 dxxx

5. Hallar la formula de recurrencia para calcular dxxsenxn y calcular

.4 dxxsenx

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

González, J., Ortiz, J., Acosta, A., Azocar, A. (1995). MATEMÁTICA I. Estudios

Generales. Tomo II. Sexta Edición. UNA. Caracas, Venezuela.

Pulcell, E. y Varberg, D. (1993). Cálculo con geometría analítica. Segunda edición,

Prentice Hall Hispanoamericana, S. A. México-Englewood cliffs.

Saenz, J. (1995). Cálculo Diferencial para ciencias e ingeniería. Primera Edición.

Hipotenusa Barquisimeto- Venezuela.

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“Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no

pensar.”

Hipatia de Alejandría.

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