MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE LA CALIDAD

INGENIERIA DE TELECOMUNICACIONES

TEMA 4: CONTROL POR VARIABLESHoja de ejercicios

(Entregar el 7 -problema de examen-)

1. Un proceso industrial fabrica un sensor de velocidad para un controlador electrónico para frenos ABS. Lasespecificaciones de dicho sensor requieren que su impedancia sea de 30 kohms ± 10 kohms. Para realizarel control estadístico de ese proceso se recogen muestras de 6 sensores cada media hora. Con los datos deun total de 30 muestras se obtiene la siguiente información:

¯x = 30.11

R = 5.40

s = 1.82

sT = 2.00

(a) Construye todos los gráficos de control que sepas.

(b) Suponiendo que el proceso está bajo control, estima la capacidad con los tres estimadores de ladispersión que se tienen.

(c) Utilizando el estimador sT , calcula los índices de capacidad que conozcas (excepto el Cpm) y comentasus valores.

(d) Si se produjese un cambio en la media de +3 kohms, ¿cuánto tiempo se tardaría, por término medio,en detectarlo con el gráfico de la media basado en sT ?

SOLUCIÓN:

(a) Gráfico de control para la media:El gráfico teórico es

LCS = μ+ 3σ√n

Línea central = μ

LCI = μ− 3 σ√n

(1)

donde μ se estimará con la media total ¯x y n = 6. Para estimar σ se tiene tres alternativas: s, sT yR. El gráfico de control utilizando s es:

LCS = ¯x+ 3s

c2√n

Línea central = ¯x

LCI = ¯x− 3 s

c2√n

(2)

donde c2 = 0.8686. Por tanto:

LCS = 30.11 + 31.82

0.8686√6= 32.60

Línea central = 30.11

LCI = 30.11− 3 1.82

0.8686√6= 27.54

(3)

El gráfico de medias, utilizando el estimador sT es

LCS = ¯x+ 3sT

c4√n

Línea central = ¯x

LCI = ¯x− 3 sTc4√n

(4)

donde c4 = 0.9515. Se tiene entonces que

LCS = 30.11 + 32.00

0.9515√6= 32.69

Línea central = 30.11

LCI = 30.11− 3 2.00

0.9515√6= 27.54

(5)

El gráfico de medias utilizando el estimador R es

LCS = ¯x+ 3R

d2√n

Línea central = ¯x

LCI = ¯x− 3 R

d2√n

(6)

donde d2 = 2.534. Por tanto,

LCS = 30.11 + 35.40

2.534√6= 32.72

Línea central = 30.11

LCI = 30.11− 3 5.40

2.534√6= 27.50

(7)

El gráfico de control para la dispersión utilizando sT es:

LCS = B4sTLínea central = sT

LCI = B3sT

Como B3 = 0.030 y B4 = 1.970, se tiene que

LCS = 1.970× 2.00 = 3.94Línea central = 2.00

LCI = 0.030× 2.00 = 0.06

El gráfico de control para la dispersión utilizando R es

LCS = D4RLínea central = R

LCI = D3R

Como D3 = 0,D4 = 2.004, se tiene

LCS = 2.004× 5.40 = 10.82Línea central = 5.40

LCI = 0

(b) La capacidad es 6σ. Si se utiliza s como estimador de σ se tiene que

σ1 =s

c2=

1.82

0.8686= 2.10⇒ Capacidad=12.6

Con el estimador sT resulta

σ2 =sTc4=

2.00

0.9515= 2.10⇒ Capacidad=12.6

y con el rango:

σ3 =R

d2=5.40

2.534= 2.13⇒ Capacidad=12.8

(c) • Indice de capacidad Cp :

Cp =LTS-LTI6σ

=20

12.6= 1.58

Es mayor que 1, luego el proceso es capaz. Además es mayor que 1.33, por lo que el procesotiene un nivel de calidad aceptable.

• Indices de capacidad unilaterales. Si utilizamos la distancia de cada extremo a ¯x obtendremosuna idea de lo centrado que está el proceso en cada lado comparado con la distancia 3σ. Puedeinterpretarse como el índice de capacidad a cada lado de ¯x.

CpL =¯x− LTI3σ

=30.11− 20

6.3= 1.60,

CpU =LTS-¯x3σ

=40− 30.11

6.3= 1.57.

Ambos coeficientes son similares. El CpL es algo superior, indicando que las especificacionesinferiores se están cumpliendo con más holgura que las superiores. Si se usa el valor nominalμN = 30 obtendremos un indice de capacidad a cada lado del nominal. Si el proceso está muydescentrado, este índice será menos informativo que si se calculase con ¯x.

CpL =μN − LTI

3σ=30− 206.3

= 1.58,

CpU =LTS-μN3σ

=40− 306.3

= 1.58.

Como el nominal está en el centro de las tolerancias se obtiene de nuevo el índice de capacidadCp

• Indice de capacidad unilateral mínimo Cpk. Dadas las características del proceso, es más intere-sante utilizar en los índices unilaterales el valor ¯x. Por tanto

Cpk = min (CpL, CpU ) = 1.57.

• Indice de capacidad recíproco:Cr =

1

Cp= 0.63

Como es menor que 1 es capaz. Además, como es menor que 0.75 puede considerarse que el nivelde calidad es bastante satisfactorio.

• Coeficiente K:K =

¯x− μN12(LTS-LTI)

=30.11− 30

10= 0.011.

El proceso está bastante centrado. El sesgo es muy pequeño y hacia el límite de tolerancias supe-rior. El proceso está desplazado hacia el límite de tolerancia superior una distancia equivalenteal 1.1% de la distancia que hay entre el nominal y el LTS (esta interpretación se hace al coincidirel nominal con el centro del intervalo de tolerancias).

• Para calcular el valor de n del coeficiente n-sigma se ha de expresar el intervalo de toleranciasen función de la estimación de σ. Por tanto se tiene que

LTS-LTI = 20 = 2n× 2.10⇒ n = 4.76

Podemos decir, entonces que, aproximadamente, la calidad del proceso tiene un nivel 5-sigma.El nivel es bueno, pero no llega al ’mítico’ six-sigma.

(d) Con los datos que se poseen, y suponiendo normalidad, la media muestral sigue la distribución

x ∼ N

µ30.11,

2.102

6

¶≡ N

¡30.11, 0.8572

¢.

Si se produce un cambio en la media de +3 ohms, las nuevas medias muestrales (y) tiene la distribución(estimada)

y ∼ N(33.11, 0.8572)

mientras que los límites de control siguen siendo LCS=32.69, LCI=27.54. Se detectará el cambio sila media muestral se sale de los límites. La probabilidad de que eso ocurra es

P (fuera de límites) = 1− P (dentro de límites)

= 1− P (27.54 ≤ y ≤ 32.69)

= 1− P

µ27.54− 33.11

0.857≤ z ≤ 32.69− 33.11

0.857

¶= 1− P (−6.50 ≤ z ≤ −0.49)= 1− 0.312 = 0.688.

Luego la probabilidad de detectar el cambio en una muestra es p = 0.688. El número medio demuestras para detectar el cambio será:

Número medio de muestras=1

p= 1.45

Como se recoge una muestra cada media hora, se tardará en detectar el desajuste una media de 43minutos

2. Para controlar el proceso de fabricación de piezas metálicas se establece un control para la longitudmediante gráficos de control de medias y rangos. Se ha comprobado que la variable tiene una distribuciónnormal. Para diseñar los gráficos de control se han tomado 30 muestras de tamaño n = 6 con los siguientesresultados:

30Xi=1

xi = 6000;30Xi=1

Ri = 150.

donde xi y Ri son la media y el rango, respectivamente, de cada muestra. Se pide:

(a) Calcular los límites de control de los gráficos de media y rango.

(b) Si ambos gráficos indican que el proceso está bajo control y las especificaciones o límites de toleranciapara la longitud son de 200±5; determinar el índice de capacidad Cp del proceso y el porcentaje depiezas defectuosas que fabricará en estado de control.

(c) Si se desajusta el proceso y fabrica con media igual a 199 ¿cuál es la probabilidad de detectar elcambio con el diagrama de la media en la muestra siguiente? (Tomar como varianza del proceso, laestimada en los apartados anteriores).

(d) ¿Cuántas muestras habrá que tomar, por término medio, para detectar este desajuste?

SOLUCIÓN:

(a) El gráfico para la media es:

xi ∈ x± 3 R

d2√n,

y para el rango:(D3R,D4R),

donde los valores d2,D3 y D4 se obtienen de las tablas.La media total y el rango medio son

x =6000

30= 200; R =

150

30= 5.

Como d2 = 2.534 se tiene que, para la media:

LCS = 202.4,

LCI = 197.6

Para el rango se tiene que D3 = 0 y D4 = 2.004. Por tanto

Ri ∈ (0, 10.02)

(b) El índice de capacidad es

Cp=LT2 − LT1

6σ,

donde LT2 = 205 y LT1 = 195. Para estimar σ se utulizará que

σ =R

d2=

5

2.534= 1.9732.

Operando:Cp=0.8447.

Si se denomina X a la variable aleatoria resistencia a la tensión de la pieza, y tomando σ = 1.9732y μ = 200 se tiene que, cuando el proceso está bajo control

X ∼ N(200, 1.97322).

El porcentaje de piezas defectuosas será:

P (defectuosas) = 1− P (195 < X < 205)

= 1− P (−2.53 < z < 2.53) = 0.0114

= 1.14%.

(c) Lo que se pide esp = P (197.6 > xi > 202.4) = 1− P (197.6 < xi < 202.4),

pero utilizando que

xi ∼ N

"199,

µ1.97√6

¶2#.

Estandarizando:

p = 1− P

µ197.6− 1991.97/

√6

< z <202.4− 1991.97/

√6

¶= 1− 0.9591

= 0.0409 = 4.09%

(d) Si la probabilidad de detectar el desajuste es de p = 0.0409, serán necesarias, por término medio:

número medio de muestras para detectar el desajuste=1

p= 24.

3. En una fundición se efectúa un control de procesos por variables haciendo mediciones de la dureza delingotes X. Se supone que X se distribuye normalmente con media μ y desviación típica σ, ambasconocidas. Si se toman muestras de tamaño n, se pide:

(a) Calcular cuántos lingotes (n) debemos emplear si queremos detectar cambios en la dureza media demagnitud +2σ, con probabilidad 0.8, manteniéndose la varianza constante.

(b) Si las muestras se obtienen cada media hora, calcular el tamaño muestral mínimo necesario paradetectar el anterior desajuste en menos de una hora, por término medio.

SOLUCIÓN:

(a) Hay que calcular n tal que P (fuera de los límites)=1− P (dentro de los límites) = 0.8. Por tanto

P (μ− 3σ/√n ≤ x ≤ μ+ 3σ/

√n|μ0 = μ+ 2σ) = 0.2.⇒

P

µ(μ− 3σ/√n)− (μ+ 2σ)

σ/√n

≤ z ≤ (μ+ 3σ/√n)− (μ+ 2σ)

σ/√n

¶= P

¡−3− 2

√n ≤ z ≤ 3− 2

√n¢≈ P

¡z ≤ 3− 2

√n¢= 0.2

El valor z0 tal que P (z ≤ z0) = 0.2 es -0.84. Por tanto

3− 2√n = −0.84⇒ n > 3.68 =⇒ n = 4

(b) Si el tiempo medio hasta la detección ha de ser menos de una hora, se tendrá que detectar el desajuste,por término medio, en menos de dos muestras. Por tanto, el suceso que se ha de detectar ha de teneruna probabilidad mínima de p = 0.5. El problema es similar al del apartado anterior con p = 0.5en lugar de p = 0.8. Si se detecta el desajuste cuando la media muestral está fuera de los límites decontrol, el problema consiste en encontrar n tal que

P (μ− 3σ/√n ≤ x ≤ μ+ 3σ/

√n|μ0 = μ+ 2σ) = 0.5⇒

P¡−3− 2

√n ≤ z ≤ 3− 2

√n¢≈ P

¡z ≤ 3− 2

√n¢= 0.5

El valor z0 tal que P (z ≤ z0) = 0.5 es 0. Por tanto

3− 2√n = 0⇒ n > 2.25 =⇒ n = 3.

4. Un proceso produce un componente eléctrico cuya principal característica viene medida por la variable x.Cuando el proceso se encuentra bajo control, la variable x sigue una distribución normal de media 200 yvarianza 25. Un ingeniero (ingeniero A) de la empresa propone controlar la calidad del proceso evaluandoel valor de cada componente y comparándolo (cada uno) con un intervalo que contenga al 99,7% de lapoblación. Si algún valor se encuentra fuera del intervalo se interpretará como señal de que el procesoestá fuera de control. Se pide:

(a) Construir un intervalo de confianza que contenga al 99.7% de los componentes que se fabrican.

SOLUCION:El intervalo corresponderá a 3 desviaciones típicas. Sea xi el valor de un componente genérico. Entonces

xi ∈ 200± 3×√25 = 200± 15

xi ∈ (185, 215)

5. En la misma empresa del problema anterior, otro ingeniero (ingeniero B) propone controlar la calidadpromediando lo valores de x obtenidos en muestras de 25 componentes, en lugar de hacerlo con lasobservaciones individuales. Sea x a la media muestral de estas 25 medidas. Se considerará que el procesoestá fuera de control si el valor de x está fuera de un intervalo de confianza que contenga al 99.7% de losvalores posibles de x.

(a) Construir un intervalo de confianza que contenga el 99.7% de estas medias cuando el proceso estábajo control.

(b) ¿Por qué este intervalo es diferente al del problema 4?

SOLUCION:

(a) La media muestral tiene distribución

x ∼ N

µ200,

25

25

¶= N (200, 1) .

Un intervalo de tres desviaciones típicas es

x ∈ 200± 3× 1x ∈ (197; 203).

(b) Es más estrecho pues cuanto más datos se agrupen la media se estima mejor

6. El proceso mencionado en el problema 4 se desajusta y pasa a producir componentes cuya valor de xtiene una media de 195 y la misma varianza. Después de producir 25 componentes, los ingenieros Ay B comprueban si el proceso ha estado bajo control. Con el fin de comparar la efectividad de cadaprocedimiento se pide lo siguiente.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de detectar el desajuste si comprobamos los componentes uno a uno? Esdecir, que algun componente de los 25 se encuentre fuera del intervalo construido en el ejercicio 4(método del ingeniero A)

(b) ¿Cuál es la probabilidad de detectar el desajuste utilizando la media de los 25 componentes?. Esdecir, que la media muestral se encuentre fuera del intervalo del ejercicio 5

SOLUCION:

(a) La variable x tiene ahora la siguiente distribución

xi ∼ N (195, 25) .

La probabilidad de que se encuentre fuera del intervalo (185;215) es

P (xi < 185|xi ∼ N (195, 25)) + P (x > 215|xi ∼ N (195, 25)) = 0.023 + 0.

Y la probabilidad de que se encuentre dentro será, entonces,

P (185 < xi < 213) = 1− 0.023 = 0.977.

Si examinan los 25 componentes uno a uno, la probabilidad de detectar el desajuste será igual a laprobabilidad de que alguno de ellos esté fuera del intervalo. Entonces

P (detectar desajuste) = P (algun componente fuera del intervalo)

= 1− P (ninguno fuera del intervalo)

= 1− P (todos dentro del intervalo)

= 1− {P (185 < xi < 213)}25 = 0.44

Luego el ingeniero A detecta que se está bajo control con probabilidad pA = 0.44.

(b) La nueva media muestral seguirá la distribución

x ∼ N

µ195,

25

25

¶= N(195, 1).

La probabilidad de que esta variable aleatoria esté fuera del intervalo (197;203) es igual a

P (x < 197) + P (x > 203) = 0.977 + 0 = 0.977

Por tanto, el ingeniero B detecta la desviación con una probabilidad pB = 0.977 que es muchísimomás alta que haciendo el análisis individual. Este ejercicio demuestra que es mucho más eficaz basarla detección de un desajuste utilizando medias que valores individuales. A mayor tamaño muestral,mayor será la probabilidad de detectar el desajuste y más eficaz será el control estadístico.

Nombre(s):

7. En un proceso de producción que se encuentra en estado de control se toman muestras de n = 4 artículoscada 10 minutos para construir con ellas gráficos de control. La variable que interesa en cada artículoes su peso x, que sigue una distribución normal x ∼ N(μ, σ2). En cada muestra se anota el valor mediode las cuatro mediciones xi y el rango Ri. Después de inspeccionar 24 muestras se tiene que la media detodas las mediciones es

=x = 203.88 y la media de los 24 rangos es R = 4.82. Se pide

(a) Estimar la media μ y la desviación típica σ de la distribución de x (1 punto)

μ = ; σ = ;

(b) Estimar la capacidad del proceso (1 punto) Capacidad=

(c) Obtener el gráfico para visualizar la evolución de las medias (1 punto)

LCS= ; l.c.: ; LCI= ;

(d) Obtener el gráfico para visualizar la evolución de la dispersión (1 punto)

LCS= ; l.c.: ; LCI= ;

(e) Si se produjese un aumento del peso medio de 3 unidades ¿Cuál es la probabilidad de detectarlo enla siguiente muestra? (1 punto)

Probabilidad de detectarlo=

(f) ¿Cuánto tiempo se tardará, por término medio, en detectar dicho desajuste? (1 punto)

Tiempo medio=

(g) Utilizando las estimaciones de μ y σ del apartado (a) calcula el tamaño muestral mínimo n que seríanecesario para, por término medio, detectar un desajuste de 3 unidades en menos de una hora.

Tamaño muestral=

(h) Obtener el gráfico de control para las medias que se utilizaría en el caso de usar el tamaño muestraldel apartado anterior

LCS= ; l.c.: ; LCI= ;