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Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria www.joseluislorente.es) 1

TEMA 37. Razón de semejanza en el plano. Consecuencias. Teorema de Tales. Razones trigonométricas

TEMA 37. Razón de semejanza en el plano. Consecuencias. Teo-

rema de Tales. Razones trigonométricas.

1. Introducción.

El concepto de semejanza es bastante intuitivo, así decimos que dos figuras son semejan-

tes si “son de la misma forma pero diferente tamaño”. La definición matemática de semejanza

está, como veremos, basada en las transformaciones que mantienen los ángulos de las figuras

(isogonales).

La semejanza está ampliamente relacionada con la proporcionalidad, siendo de hecho el

origen de la proporcionalidad la comparación de las distancias de las figuras semejantes.

Desde un punto de vista histórico se considera que la Grecia clásica es de las culturas anti-

guas la más destacada en el estudio de la semejanza y la proporcionalidad. Pensadores desta-

cados son Tales de Mileto, Pitágoras y su escuela y Ptolomeo.

En la actualidad la proporcionalidad es utilizada por el arte así como en varias ciencias co-

mo la arquitectura, cartografía.

2. Aplicaciones isogonales.

2.1. Traslaciones.

Definición: dado un vector libre en plano, ��, llamaremos traslación en ��, y se denota co-

mo �� a una aplicación en el plano (ℝ2) que a cada punto P le hace corresponder con el punto

P’ de tal forma que se cumple uPP =' :

�� : ℝ2 → ℝ2

P → ��(P)= P’ tal que uPP ='

Propiedad característica de la traslación: la condición necesaria y suficiente para que una

trasformación en el plano sea una traslación es que el vector definido por dos puntos PQ se

transforme en otro vector equipolente ''QP . Matemáticamente esto queda descrito por :

∀ P, Q ∈ ℝ2 y sea P’=��(P) y Q’=��(Q) se cumple �� traslación ''QPPQ =↔ . Demostración:

→ Sean ''QPPQ = , se cumple que los 4 puntos forman un paralelogramo y por tanto

uQQPP == '' y por tanto es una traslación.

← Sea una traslación, se cumple uQQPP == '' , veamos que ''QPPQ =

''''''''

''QPPQigualando

uQPQPPPPQ

uPQQQPQPQ=

+=+=

+=+=

P

P’

Q

Q’



Propiedades de la traslación ��:

Propiedad 1: Es una aplicación biyectiva: es fácil de demostrar pues �� es la aplicación

inversa, y por tanto si tiene inversa la aplicación es biyectiva

Propiedad 2: Si 0=u ��=Id , es decir la aplicación identidad, pues '0' PPPP =↔=

Propiedad 3: La traslación es una isometría (conserva las distancias). Demostración: a par-

tir de la propiedad característica se cumple que si P y Q son dos puntos y P’ y Q’ se cumple que

d(P,Q)= )','('' QPdQPPQ == .

Propiedad 4: La traslación transforma una recta en otra recta paralela a la dada. Demos-

tración: la recta en forma vectorial r: rvtAX ·+= , se cumple que la traslación de la recta es

r’: ��(X)=X’= rrr vtAvtuAuvtA ·'··· +=++=++ que es una recta paralela a r.

Propiedad 5: La traslación transforma un plano en otro plano paralelo al dado. Demostra-

ción: el plano en forma vectorial π: wvAX ·· µλ ++= , se cumple que la traslación de este

plano es π’: ��(X)=X’= wvAwvuAuwvA ··'···· µλµλµλ ++=+++=+++ que es un

plano paralelo a π.

Propiedad 6: toda traslación es una aplicación isogonal directa, es decir conserva los ángu-

los. Demostración: es consecuencia de que la traslación transforma las rectas y los planos en

rectas y planos paralelos, y por tanto se mantiene los ángulos.

Propiedad 7: la traslación de una circunferencia es otra circunferencia de mismo radio y

centro el traslado de la primera. Demostración ( ))(),cos(·: tsentrOXc += , si la traslada-

mos ��(X)=X’= ( ) ( ) ( ))(),cos(·'0)(),cos(·)(),cos(· tsentrtsentruOutsentrO +=++=++

que es otra circunferencia con mismo radio centro O’=O+u =��(O).

El grupo de las traslaciones: sean dos traslaciones �� y �� definimos la composición de

ambas a otra traslación: �� o��=�� . Se cumple el conjunto de todas las traslaciones con la

composición (�ℝ� , °) es grupo conmutativo . La demostración es trivial al ser los vectores en

el plano grupo abeliano con la suma.

2.2. Giros en el plano.

Definición: se llama giro de centro O∈ℝ2, y un ángulo α∈[0,360o) a la aplicación G0,α(P)=P’

tal que se cumple:

1) |OP |=| 'OP |

2) α= ∠( OP , 'OP )

Nota: sentido de giro antihorario es α>0 y horario α<0.



Propiedad característica: sean P y Q dos puntos en el plano y P’ y Q’ sus transformados, se

cumple que la aplicación es un giro de ángulo α si y sólo si: d(P,Q)=d(P’,Q’) y α= ∠( PQ , )''QP

Demostración: �dado un giro de ángulo α, se cumple que el triángulo OPQ y O’P’Q’ son igua-

les (mismos ángulos) y los lados iguales |OP|=|OP’|, luego d(P,Q)=d(P’,Q’). Veamos el ángulo

�Si ∠(OQ , )'OQ =α y d(P,Q)=d(P’,Q’) entonces los triángulos OPQ y OP’Q’ son iguales

y como tienen el vértice O en común se obtienen uno a partir del otro con un giro

Propiedades del giro GOα:

Propiedad 1: El giro es una aplicación biyectiva .

Demostración: el giro con mismo centro y ángulo –α es su aplicación inversa: GOα◦ GO-α=Id.

Propiedad 2: Los giros son aplicaciones isométricas porque conservan distancias.

Demostración: a partir de la propiedad característica tenemos que las distancias de los

puntos se mantiene (d(P,Q)=d(P’,Q’)).

Propiedad 3: transforma las rectas en otras rectas que forman con la anterior un ángulo

igual al ángulo de giro.

Demostración r: rvtAX ·+= GO,α(X)=X’=A’+t· 'rv que es otra recta con vector director el

girado, 'rv , que como hemos visto en la propiedad característica forma un ángulo con rv igual

al ángulo de giro, y por tanto las rectas se cortan formando el mismo ángulo.

Propiedad 4: el giro transforma una circunferencia en otra de igual radio y centro el trans-

formado del centro de la original por el giro.

Demostración: X∈Circunferencia si d(X,C)=r siendo C el centro. El punto C se transforma en

GO,α(C)=C’ y por al ser una isometría conserva las distancias y los puntos transformados X’

cumple d(X’,C’)=d(X,C)=r.

Nota: si el centro de giro es el centro de la circunferencia C=C’ y por tanto X=X’, por lo que

la transformada de la circunferencia es ella misma.

α

α

γ O P

Q

P’

Q’

O’

β

β

γ

γ x y

y=180-γ

x=α+γ

z=180-x=180-α-γ

t=∠(OQ , )'OQ =180-z-γ=α z

t

M



Propiedad 5: el giro es una transformación isogonal directa (conserva los ángulos).

Demostración: sean dos semirrectas r y s con origen común que forman un ángulo β por el

giro se transforman como vimos en la propiedad 3 en otras dos semirrectas con origen común

(el transformado del punto origen inicial). Para ver que el ángulo es el mismo veamos el dibujo

El grupo de los Giros: todos los giros con mismo centro O con la composición tiene estruc-

tura de grupo abeliano (Go,o ).

Demostración:

Veamos como transforma un punto la composición: (Goαo Goβ)(P)= Goα(P’)=P’’ donde:

1. |''||'||| OPOPOP ==

2. ∠(OP , 'OP )=β, ∠( 'OP , ''OP )=α � ∠(OP , ''OP )=α+β

Luego (Goαo Goββββ)=Goα+ββββ es decir un giro con centro en O y ángulo α+β. Como la suma de

números reales cumple las propiedades conmutativa, asociativa, elemento neutro e inverso la

composición de giros también la cumplirán y por tanto será un grupo siendo el elemento neu-

tro GO,0 y el opuesto de GOα es GO-α

Invariantes con el giro:

1. Si el giro es α=360·k o (con k∈ℤ) es la transformación identidad

2. Si α≠360·k entonces el único punto invariante es el centro de giro.

3. Existen figuras que de forma global, no punto a punto son invariantes a giros:

a. Circunferencia si el centro del giro es el centro de la misma

b. Polígono regular si el centro de giro es el centro del mismo y α=360·m/n con

m∈ ℤ y n=nº de lados del polígono.

2.3. Simetría central o respecto a un punto.

Definición: se denomina simetría respecto a un punto O a la transformación SO que a cada

punto del plano P∈ℝ2 le hace corresponder su simétrico P’=SO(P) donde O es el punto medio

de P y P’, es decir OPOP '=

α

α β

x

r1

r2

r1’ r2’

∠(r2,r2’)=α

∠(r1,r1’)=α

∠(r1,r2)=β

∠(r1’,r2’)= ∠(r1,r2)+ ∠(r2,r2’)- ∠(r1,r1’)=α+β-α=β



Propiedad característica: la condición necesaria y suficiente para que una transformación

en el plano sea simetría es que se cumpla '´QPPQ −= siendo P’=SO(P), Q’=SO(Q) ∀P,Q∈ℝ2

Demostración:

� Sea So una simetría central se cumple PQQOOPOQOPQP −=+=+= ''''

� Sea '´QPPQ −= y O el punto medio de P y P’ tal que OPOP −=' veamos que se

cumple que Q’ es el transformado por SO : QOQPPOQPOPOQ =+=+= '''' .

Propiedades:

Propiedad 1: La simetría central es isometría.

Demostración d(P,Q)= =−= |'´||| QPPQ d(P’,Q’)

Propiedad 2: Transforma una recta en otra recta paralela.

Demostración: Sea r:X=P+λ·v , sean P1 y P2∈r, se cumple que vkPP ·21 = , los transforma-

dos de estos puntos serán P1’ y P2’ ∈ r’ y cumplen que vkPPPP ·'' 2121 −=−= también es vec-

tor proporcional a v . Al ser cierto para toda pareja de puntos de r los transformados estarán

alineados y formando un vector proporcional a v ,esto implica que sea una recta r’ paralela a r.

Propiedad 3: La simetría central es una transformación isogonal directa

Demostración: transforma rectas en restas paralelas, luego conserva los ángulo. Para ver

que es directa supongamos dos semirrectas con origen común: r1≡P+λ· 1v y r2≡P+λ· 2v con

λ∈ ℝ+ siendo el ángulos entre ellas ∠(r1,r2)= ∠( 1v , 2v )= α. Sus transformadas serán semirrec-

tas paralelas con origen común y expresión r1’≡P’-λ· 1v y r2’≡P’-λ· 2v con λ∈ ℝ+ cuyo ángulo

determinado por sus vectores directores ∠(r1’,r2’)= ∠(- 1v ,- 2v )= α

Invariantes con la simetría central:

1. El único punto invariante es el centro de giro.


a. Circunferencia si el centro la simetría es el centro de la misma

b. Polígono regular de lados pares si el centro de la simetría es el centro polígono

2.4. Simetría axial o respecto de un eje

Definición: se denomina simetría axial o respecto a un eje (recta) a la aplicación Se tal que

Se(P)=P’ siendo el eje de la mediatriz del segmento PP’.

P’

P

O

α r1

r2

r1’

r2’

α Nota: mismo signo porque los

dos ángulos sentido horario



Propiedad característica: Sean P y Q ∈ ℝ2 y P’,Q’ sus transformados, la condición necesa-

ria y suficiente para que la transformación sea una simetría axial es que d(P,Q)=d(P’,Q’) y

∠( ),ePQ =-∠( ),'' eQP

Demostración:

� por construcción se cumple que los 4 vértices forman una trapecio equilátero, donde por

tanto d(P,Q)=d(P’,Q’) y los ángulos son los mismos pero en sentido contrario, es decir opuestos

� Sea d(P,Q)=d(P’,Q’) y ∠( ),ePQ =-∠( ),'' eQP se cumple que el eje es la mediatriz de PP’ y

QQ’ al pasar por el punto medio de las mismas y al formar mismo ángulo ser perpendicular a

ambos segmentos.

Propiedades:

Propiedad 1: La simetría axial es isometría.

Demostración: se deduce por la propiedad característica d(P,Q)=d(P’,Q’).

Propiedad 2: Transforma rectas en rectas, es decir puntos alineados en puntos alineados.

Demostración: sean P,Q y R alineados con Q entre P y R, por la propiedad característica:

d(P,R)=d(P,Q)+d(Q,R)= d(P’,Q’)+d(Q’,R’) pero se cumple también d(P,R)=d(P’,R’). Luego

d(P’,Q’)+d(Q’,R’)=d(P’,R’) y estarán alineados.

Propiedad 3: La simetría axial es isogonal inversa

Demostración: ∠(r1’, r2’)=∠(r1’,e)+ ∠(e,r2’)=- ∠(r1,e)- ∠(e,r2’)=- ∠(r1,r2)

Invariantes con la simetría axial:

1. Los únicos puntos invariantes son los situados en el eje de giro.


a. Circunferencia si el eje pasa por el centro

b. Polígono regular si eje pasa por su centro y por la mitad de alguno de sus lados

3. Homotecia

Definición: sea un punto O∈ℝ2 y k∈ ℝ-{0}, se llama homotecia de centro en O y razón k y

se denota HO,k a la transformación que a cada punto P le hace corresponder P’= HO,k(P) tal que

'·OPkOP = . Según el signo y el valor de k pueden ocurrir 4 cosas:

• Homotecia directa o positiva (k>0): El punto y su transformado situados en una semi-

rrecta con origen en el centro de homotecia.

P P’

Q Q’

x

e

r1

r2 r2’

r1’

Nota: distinto signo porque un

ángulos sentido horario y el otro

antihorario

Jose Luis Lorente (preparador oposiciones secundaria


• Homotecia inversa o negativa (k<0):

y su transformado.

• Si |k|>1 el transformado más lejos del origen y si |k|<1 más cerca.

Propiedad característica:

ria y suficiente para que la transformación sea una

sean paralelos.

Demostración: Utilizaremos el teorema de Tales que demostraremos en el apartado 6.

� Si los lados son paralelos unimos P con P’ y Q con Q’ y como son paralelos se cumplen

que los triángulos OPQ y OP’Q’ en posición de Tales y por tanto los lados proporcionales:

OP’=kOP y OQ’=kOQ y es una homotecia

� Si es una homotecia se cumple que OP’=kO

tenemos dos triángulos OPQ, OP’Q’ que al ser los lados proporcionales con misma constante

se cumple que los dos triángulos en posición de Tales y los lados proporcionales.

Propiedades de la Homotecia:

Propiedad 1: Un segmento AB de tamaño l se transforma en otro A’B’ de tamaño |k|·l .

Demostración: OBBA =''

Propiedad 2: la homotecia transforma puntos alineados en puntos

Demostración: Sean A, B, C puntos alineados

alineados que d(A,C)=d(A,B)+d(B,C). Sus transformados cumplen por la propiedad anterior

d(A’,B’)=k·d(A,B), d(B’,C’)=k·d(B,C) y d(B’,C’)=k·d(B,C) y por tanto si a la igualdad anterior la

multiplicamos por |k| tendremos

Propiedad 3: la homotecia transforma rectas en rectas en rectas paralelas.

Demostración: es consecuencia de la propiedad característica y de la propiedad 2

Corolario: si una recta pasa

0>k>-1

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Razón de semejanza en el plano. Consecuencias. Teorema de Tales. Razones trigonométricas

rsa o negativa (k<0): el centro de la homotecia situada entre el punto

Si |k|>1 el transformado más lejos del origen y si |k|<1 más cerca.

Propiedad característica: Sean P y Q ∈ ℝ2 y P’,Q’ sus transformados, la condición neces

ria y suficiente para que la transformación sea una homotecia es que los segmentos PQ y P’Q’

Utilizaremos el teorema de Tales que demostraremos en el apartado 6.

Si los lados son paralelos unimos P con P’ y Q con Q’ y como son paralelos se cumplen


OP’=kOP y OQ’=kOQ y es una homotecia

Si es una homotecia se cumple que OP’=kOP y OQ’=kOQ, si unimos P con P’ y Q con Q’



Propiedades de la Homotecia:

Un segmento AB de tamaño l se transforma en otro A’B’ de tamaño |k|·l .

ABkOAOBkOAOB =−=− )('' � ABkBA |·|'' =

la homotecia transforma puntos alineados en puntos alineados

Demostración: Sean A, B, C puntos alineados y A’, B’, C’ sus homóticos. Se cumple por ser



tendremos d(A’C’)=d(A’,B’)+d(B’,C’) y por tanto A’, B’, C’ alineados.

la homotecia transforma rectas en rectas en rectas paralelas.


: si una recta pasa por el centro de la homotecia su homotecia es la misma recta.

k>1

7

Razón de semejanza en el plano. Consecuencias. Teorema de Tales. Razones trigonométricas

el centro de la homotecia situada entre el punto

y P’,Q’ sus transformados, la condición necesa-

homotecia es que los segmentos PQ y P’Q’

Utilizaremos el teorema de Tales que demostraremos en el apartado 6.

Si los lados son paralelos unimos P con P’ y Q con Q’ y como son paralelos se cumplen


P y OQ’=kOQ, si unimos P con P’ y Q con Q’



Un segmento AB de tamaño l se transforma en otro A’B’ de tamaño |k|·l .

AB

alineados.

y A’, B’, C’ sus homóticos. Se cumple por ser



d(A’C’)=d(A’,B’)+d(B’,C’) y por tanto A’, B’, C’ alineados.

la homotecia transforma rectas en rectas en rectas paralelas.


su homotecia es la misma recta.



Demostración: se cumple que O’=O luego rectas paralelas y con punto común son iguales.

Propiedad 4: la homotecia es una transformada isogonal directa, es decir conserva ángu-

los. Demostración: Sean ∠ ( )ACAB, =α y ∠ ( )'','' CABA =α’ se verifica:

)cos(·

·

·

·

''·''

''·'')'cos(

2

2

αα ====BCAB

BCAB

BCABk

BCABk

CBBA

CBBA � α’=±α

Si k>0 α’=α � los puntos no cambian de orden (ver en el dibujo del principio)

si k<0 α’=α � los puntos cambian de orden pero sentido de giro no (ver dibujo)

Propiedad 5: una homotecia con k<0 se puede obtener como composición de la misma

homotecia con k=|k| y una simetría respecto el mismo centro de la homotecia.

Demostración: veamos que H-k,O=SO◦Hk,O. Para cualquier P∈ℝ2 se cumple que Hk,O(P)=P’ tal

que OPkOP =' y aplicando luego SO(P’)=P’’ tal que ''' OPOP −= , luego SO◦Hk,O(P)=P’’ cum-

pliéndose OPkOP −='' , luego se cumple que P’’= H-k,O(P).

4. Semejanza en el Plano.

Definición de semejanza: una semejanza en el plano está formado por la composición de

transformaciones isogonales: giro, traslación, simetrías y homotecias.

Propiedades semejanza:

Propiedad 1: la semejanza es una aplicación isogonal.

Demostración: la semejanza es composición de aplicaciones isogonales, luego la semejanza

es isogonal.

Propiedad 2: las semejanzas con la composición forman un grupo conmutativo.

Demostración: la semejanza es composición de aplicaciones que son grupo y que conmu-

tan, luego la semejanza también será grupo.

Propiedad 3: la semejanza transforma rectas en rectas, segmentos AB de tamaño l en

segmentos A’B’ de tamaño |k|·l, circunferencias de radio r en circunferencias de radio r’=|k|·r.

Demostración: es trivial a partir de ver como transforman los distintos elementos las de-

más aplicaciones.

Ejemplo de semejanza



5. Teorema de Tales.

Tales de Mileto fue un matemático griego que estudió las razones de semejanza de las fi-

guras de semejanza de las figuras dedujo lo que hoy se conoce como el teorema de Tales.

Teorema de Tales: Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus la-

dos, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.

Demostración:

Se cumple que los triángulos BDE y CED tienen la misma área, pues tienen la misma base y

la altura de ambos triángulos es la distancia entre dos rectas paralelas. Calculemos las áreas:

|'|·|·|5.0|'|·|·|5.0)(

|DD'|·|EC0.5·|=a(CED)

|EE'|·|BD0.5·|=a(BDE)

EEAEDDADADEa ==

||

||

||

||

||||

||

||||

||

||

||

||

||

||

||

)(

)(

||

||

)(

)(

AC

AE

AB

ADk

AEEC

AE

ADBD

AD

EC

AE

BD

AD

EC

AE

CEDa

ADEa

BD

AD

BDEa

ADEa

==→+

=+

→=

=

=

Por otro lado BCkABACkADAEDE =−=−= )( � ||

||

||

||

||

||

BC

DE

AC

AE

AB

ADk ===

Por otro lado los tres ángulos son iguales, al estar formado por lados paralelos. Luego se

cumple que los ángulos iguales y los lados proporcionales, luego los triángulos son semejantes.

6. Semejanza de figuras en el plano.

6.1. Definiciones y propiedades.

Definición de figura en el plano: es un conjunto de 3 o más puntos ordenados tal que tres

puntos no consecutivos ni están nunca alineados (el consecutivo de Pn es P1). El conjunto de

figuras planas se denota como ℱ.

Ejemplo: F1=(P1, P2, P3, P4, P5)

Nota: las figuras curvas tienen infinitos .

puntos

A D E’ B

C

E

D’

P1

P2

P3

P4 P5



Definición dos figuras F1 y F2∈∈∈∈ " semejantes, que denotaremos como F1≡F2, cuando

existe una aplicación de semejanza que nos relaciona ambas figuras: F1≡F2 � ∃ S: S(F1)=F2

Proposición: la semejanza es una relación binaria de equivalencia.

Demostración:

1. Reflexiva: F≡F pues tomando Id∈S se cumple Id(F)=F

2. Simétrica: F1≡F2 � F2≡F1 pues si S(F1)=F2 como las simetrías es grupo con la com-

posición existe S-1 tal que S-1(F2)=F1

3. Transitiva: Si F1≡F2 y F2≡F3 � F1≡F3: se cumple que S1(F1)=F2 y S2 (F2)=F3 entonces

S=S1◦S2 es simetría (grupo con la composición) y se cumple S(F1)=F3 y por eso F1≡F3

Como la semejanza es relación de equivalencia podemos definir el conjunto cociente ℱ/≡

formada por las figuras no semejantes entre sí.

Propiedades de las figuras semejantes: por las propiedades de la semejanza se cumple:

1. Ángulo homólogos iguales

2. Mismo orden e incidencias

3. Todos los lados proporcionales dos a dos con constante k (la de la razón de homo-

tecia)

Proposición: sean F1 y F2 dos figuras semejantes de proporción k se cumple que las áreas

se relacionan con k2: a(F2)=k2·a(F1).

Demostración: el área es siempre producto de dos longitudes de la figura, como todas las

longitudes de F2 son k veces que las de F1 el área, producto de dos longitudes, se relacionarán

con k2.

Ejemplos de figuras semejantes: los polígonos regulares, las circunferencias, las elipses de

misma excentricidad.

6.2. Semejanza de triángulos.

Es fundamental el estudio de la semejanza en los triángulos, pues todo polígono se puede

descomponer en triángulos y estos serán semejantes si todos los triángulos que lo forman

semejantes con misma razón k de semejanza.

Debido a la estructura del triángulo para ver la semejanza entre dos triángulos no es nece-

sario comprobar que los tres ángulos iguales y los tres lados proporcionales. Criterios:

1er

criterio de semejanza: dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo igual y los la-

dos que lo forman son proporcionales.

Demostración: se cumple ABkBA ='' , ACkCA ='' y 'ˆˆ AA =

Se cumple BCKACBAkCAABCB =−=−= )('''''' , luego el otro lado proporcional.

Si desplazamos y giramos un triángulo podemos ponerle superpuesto sobre el otro, como

el ángulo igual y los lados proporcionales por el teorema de Tales los otros lados paralelos y

por tanto los ángulos iguales al estar formado por lados paralelos.



2º Criterio de semejanza: si dos triángulos dos ángulos iguales estos son semejantes.

Demostración: sean 'ˆˆ AA = y 'ˆˆ BB = , como los ángulos de un triángulo suman 180o

'ˆˆ CC = . Si traslados y giramos un triángulo y lo ponemos con lados superpuestos con vértice

en común A=A’ como los ángulos son iguales los lados paralelos y estarán en posición de Tales

y por tanto los lados proporcionales.

3er

Criterio de semejanza: si dos triángulos tienen los tres lados proporcionales estos son

semejantes.

Demostración: kBC

CB

AC

CA

AB

BA===

'''''', definimos un nuevo triángulo AB’’C’’ semejante

a ABC tal que la razón de semejanza entre ambos es k, por lo que AB’’=A’B’, AC’’=A’C’,

B’’C’’=B’C’. Como tienen los tres lados iguales por construcción estos dos triángulos son igua-

les, luego A’B’C’ es semejante de ABC.

6.3. Semejanza de polígonos.

Teorema: dos figuras F1 y F2 son semejantes si la descomponer ambas en triángulos los

triángulos son semejantes y de la misma proporción.

Demostración: por construcción, veamos un ejemplo:

Lados proporcionales: CB

BC

BC

CB

BD

DB

ED

DE

AE

EA

AD

DA

AB

BA ''''''''''''''======

A B

C

E

D

D’

E’

A’ B’

C’

Triángulo I ABD≡A’B’D’ con k

Triángulo II AED≡A’E’D’ con k

Triángulo III BCD≡B’C’D’ con k

Ángulos:

'ˆ'ˆ'ˆˆˆˆ AAAAAA IIIIII =+=+=

IIIIIIIIII BBBBB ''ˆ`'ˆˆ`ˆˆ +=+=

'ˆ'ˆˆˆ CCCC IIIIII ===

'ˆ'ˆ'ˆ'ˆˆˆˆˆ DDDDDDDD IIIIIIIIIIII =++=++=

'ˆ'ˆˆˆ EEEE II ===

I II III

I’ II’ III’



7. Razones de trigonometría.

Según el 2º criterio de semejanza dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un

ángulo igual (además del recto). Así que la razón entre los lados sólo depende del ángulo α del

triángulo rectángulos. Esto ya se dieron cuenta los griegos que elaboraron tablas de los cocien-

tes de los lados en función del ángulo.

contiguocateto

opuestocatetotg

b

c

b

c

b

c

hipotenusa

contiguocateto

a

b

a

b

a

b

hipotenusa

opuestocatetosen

a

c

a

c

a

c

====

====

====

)(

)cos(

)(

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

α

α

α

Es importante darse cuenta que el valor de las razones trigonométricas depende del ángu-

lo y no del triángulo.

Como sabemos a partir del teorema de Pitágoras el valor de la hipotenusa (a) de un trián-

gulo es mayor que el de los dos catetos (b y c), por tanto se cumple que:0<sen(α)<1,

0<cos(α)<1 cuando α∈(0,90º).

A partir de estas razones trigonométricas fundamentales podemos definir las siguientes:

opuestocateto

contiguocateto

tgg

contiguocateto

hipotenusa

senec

opuestocateto

hipotenusa

==

==

==

)(

1)(cot

)(

1)(cos

)cos(

1)sec(

αα

αα

αα

Relación entre las razones trigonométricas: Los valores de sen(α), cos(α) y tg(α) no son

independientes, están relacionados entre sí como veremos en este apartado. De hecho sa-

biendo que α∈(0º,90º) conociendo el valor de una de las tres razones podemos obtener las

otras dos:

a3 a2 a1

b1 b2

b3

c3 c2

c1

α



Relación 1 �� )cos(

)()(

αα

αsen

tg =

Ralación 2 �� 1)(cos)( 22 =+ ααsen

Ralación 3 �� )(cos

1)(1

2

2

αα =+ tg

Notación: 2222 ))(cos()(cos))(()( αααα == sensen

Demostración:

1) )()cos(

)(α

αα

tgcontcat

opuecat

hip

contcat

hip

opuecat

sen===

2) 1)(cos)(2

2

2

2222

22 ==+

=

+

=+

hip

hip

hip

contcatopcat

hip

contcat

hip

opcatsen

Pitagoras 444 8444 76

αα

3) )(cos

1

)(cos

)()(cos

)(cos

)(1)(1

22

22

2

22

αααα

αα

α =+

=+=+sensen

tg

8. Conclusiones

La semejanza se trabaja en secundaria en 3º ESO (Teorema de Tales) y la trigonometría en

4º de la ESO y en 1º Bachillerato de ciencias. La trigonometría es una herramienta básica para

resolver multitud de problemas geométricos. Para triángulos no rectángulos se utiliza en teo-

rema del seno y del coseno que se demuestran a partir de las razones trigonométricas.

Las razones trigonométricas se amplían para cualquier ángulo a partir de la circunferencia

gniométrica.

tema 37. razón de semejanza en el plano. consecuencias...

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