tema 33 dinámica de los modelos de cournot

Tema 33

Dinámica de los modelos de Cournot

En los modelos de oligopolio con competencia en cantidades la variable estratégica es la cantidad que

cada empresa produce de un bien, que en general supondremos que es homogéneo. Estas empresas deciden

la cantidad a producir de forma simultánea e independientemente y los consumidores compran todo lo que

se produce a un precio que depende de la producción total del mercado, que denotamos por Q.

En los modelos de Cournot dinámicos que vamos a ver las empresas compiten en producción a lo largo

del tiempo y en cada periodo producen una cantidad determinada de un bien homogéneo. Estas empresas

toman sus decisiones sobre la cantidad a producir en un periodo concreto con la información acumulada

sobre todo lo producido por cada empresas en cada uno de los períodos anteriores (decimos que las em-

presas tienen información completa sobre la producción). Si los niveles de producción son iguales a las

producciones de equilibrio a ninguna empresa le interesa variar unilateralmente su producción y seguirán

produciendo continuamente las mismas cantidades de equilibrio que en el modelo estático. Sin embargo, si

los niveles de producción son distintos al nivel de equilibrio al menos una de las empresas puede aumentar

sus beneficios modificando su producción. Así, en cada periodo las empresas toman una nueva decisión so-

bre sus niveles de producción con el fin de maximizar sus beneficios, de forma que se desarrolla un proceso

de ajuste dinámico en tiempo discreto. Las hipótesis sobre cómo realizan las empresas este proceso de

ajuste determinan la estabilidad del equilibrio y, por tanto, las conclusiones del modelo.

1013

Bloque VIII. TEORÍA DE JUEGOS

33.1. Modelos de Cournot estáticos

♦ La dependencia del precio de la producción total se modeliza mediante una curva inversa de demanda

decreciente y en nuestro caso vamos a considerar dos hipótesis: demanda lineal y demanda isoelástica.

▶ Si la función inversa de demanda es lineal es de la forma

p(Q) = a − bQ con 0 < b < a

a es el precio de reserva (precio al que se deja de adquirir el

producto)

b es la sensibilidad de los consumidores a las variaciones en la

producción total.

▶ Si la función inversa de demanda es isoelástica es de forma

hiperbólica

p(Q) = a/Q

a es un parámetro de escala positivo (a > 0)

no existe precio de reserva.

♦ También consideramos que las empresas tienen unos costes de producción que sólo dependen de la

producción de la propia empresa y vienen dados para cada empresa i por una función Ci(qi), donde qi es la

producción de la empresa i.

▶ Cuando los costes de producción de la i-ésima empresa son lineales y, por lo tanto, sus costes margi-

nales son constantes, vienen dados por Ci (qi) = ciqi.

▶ Cuando los costes marginales son variables consideramos que los costes marginales son variables a

escala y que la función de costes es cuadrática: Ci (qi) = ciqi + eiq2i .

Si ei > 0 los costes marginales son crecientes a escala

Si ei = 0 los costes marginales son constantes

Si ei < 0 los costes marginales son decrecientes a escala

PROYECTO MATECO 3.14159 Página 1014

http://personal.us.es/jmiguel/PROYECTOMATECO.html

TEMA 33. DINÁMICA DE LOS MODELOS DE COURNOT

Si la demanda es lineal en el último caso distinguiremos entre costes marginales ligeramente decre-

cientes donde ei > −b2 y costes marginales fuertemente decrecientes donde −b

2 > ei > −b

Aunque comenzaremos con el duopolio, en general en el mercado operan n empresas cuyo objetivo es

maximizar beneficios y compiten fijando la producción. En este caso consideramos como nueva variable la

producción de todos los rivales de la empresa i que denotamos por Qi y es Qi = Q − qi.

Estas empresas se enfrentan a un problema de optimización donde los beneficios dependen de la

producción de sus rivales

maxqi∈Rπi (qi,Qi) = max

qi∈Rqi p(Q) −Ci (qi)

En determinados casos es posible obtener la función de reacción de la empresa al resolver la ecua-

ción correspondiente a la condición de primer orden del problema para cada Qi. Esta función de reacción

proporciona la cantidad óptima de producción para la empresa i cuando los rivales producen una determi-

nada cantidad y corresponderá a un máximo de los beneficios siempre que esta función sea cóncava. El

equilibrio de Cournot-Nash se obtendrá cuando todas las empresas estén dando su mejor respuesta a las

correspondientes producciones de los rivales

q∗i = R(Q∗i

)∀i = 1, . . . , n

En los modelos con demanda lineal impondremos que la producción sea siempre mayor o igual que cero

e incorporaremos límites a la producción caracterizando la función de reacción como una función continua-

mente diferenciable a trozos. Nos referiremos a estos modelos como modelos no lineales (reservaremos este

término para estos modeloa aunque los modelos con demanda isoelástica tampoco son lineales).

qi = Ri (Qi) =

0, si z∗i ≤ 0

Li, si z∗i ≥ Li

z∗i , en otro caso

z∗i =a − c

2(b + e)−

b2 (b + e)

Qi, .

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33.1.1. Modelos con demanda lineal

Comenzaremos recordando el modelo de duopolio de Cournot con demanda lineal y costes marginales

constantes para ambas empresas en el que la variable estratégica es la producción (cantidad de un bien

homogéneo que los consumidores compran en su totalidad).

Práctica 4 (Mathematica) En el modelo de duopolio de Cournot con demanda lineal y costes marginales

constantes

a) Definir las funciones básicas del modelo y obtener las funciones de reacción de las empresas com-

probando que determinan un máximo del problema.

b) Calcular el equilibrio de Cournot-Nash y representar gráficamente las curvas de reacción junto con

el punto de equilibrio para a = 35, b = 3, c1 = 1, c2 = 2.

c) Calcular la producción total de mercado en equilibrio y el precio al que se vende. ♣

Ejemplo 33.1 (Modelo de oligopolio de Cournot con demanda lineal y costes marginales constantes) Al

igual que en el modelo de duopolio de Cournot, en el correspondiente modelo de oligopolio la variable

estratégica es la cantidad que cada empresa produce de un bien homogéneo que los consumidores com-

pran a un precio que depende de la producción total del mercado según una función inversa de demanda

decreciente lineal p(Q) = a − bQ. Los costes de producción de las empresas dependen linealmente de la

producción de la propia empresa, qi según una función Ci(qi) = ciqi con ci ≥ 0.

Solución

El problema de optimización al que se enfrentan las empresas depende de la producción de los rivales

max{qi∈R}

πi (qi,Qi) = max{qi∈R}

qi (a − bqi − bQi) − ciqi.

Resolviendo la condición de primer orden para qi obtenemos su curva de reacción

∂πi (qi,Qi)∂qi

= a − 2bqi − bQi − ci = 0 =⇒ qi = R (Qi) =a − ci

2b−

12

Qi




Como la función de beneficios verifica la condición de segundo orden para máximo

∂2πi (qi,Qi)

∂qi2 = −2b ≤ 0

existe un equilibrio de Cournot-Nash que cumple

q∗i = R(Q∗i

)∀i = 1, . . . , n

Para determinar este equilibrio en primer lugar expresamos la curva de reacción como función de la

producción total del mercado restando qi/2 a ambos lados de la ecuación correspondiente a su curva de

reacción y multiplicándola por 2

qi = R (Qi) =a − ci

2b−

12

Qi =⇒ qi =a − ci

b− Q

A continuación hacemos el sumatorio de los n niveles de producción individuales que escribimos en

función del coste marginal medio del mercado

Q =na −

∑ni=1 ci

b− nQ Q = n

(a − c

b− Q

)

Por último, de esta ecuación obtenemos la producción total de mercado en el equilibrio, Q, y la susti-

tuimos en la curva de reacción para determinar el equilibrio de Cournot-Nash.

Q∗ =n

n + 1a − c

b=⇒ q∗i =

a − ci

b−

nn + 1

a − cb

Obsérvese que si sustituimos el nivel de producción de equilibrio en la función de demanda obtenemos

el precio de equilibrio que es una media ponderada entre el precio de reserva y el coste marginal medio de

los competidores

p∗ =1

n + 1a +

nn + 1

cM. ♣

Para un número pequeño de empresas (incluyendo el caso del duopolio) hay una diferencia considerable

entre el precio de reserva y el coste marginal medio. Sin embargo, conforme aumenta el número de com-




petidores esta diferencia se hace cada vez más pequeña hasta igualar, o aproximar, el precio y los costes

marginales medios del mercado. Así, uno de resultados fundamentales del modelo es que el aumento de la

competencia en el mercado cuando se incrementa el número de empresas presiona a la baja sobre el precio.

Para un número de empresas suficientemente alto el peso relativo de cada empresa en el mercado se hace

tan pequeño que el mercado está, a todo los efectos, en competencia perfecta.

Ejercicio 33.2 (Modelo de oligopolio de Cournot con demanda lineal y costes marginales variables) De-

mostrar que si en el modelo de Cournot (ejemplo 33.1) consideramos que los costes de producción de las

empresas son variables a escala según una función Ci(qi) = ciqi + eiq2i el precio de equilibrio es

p∗ =1

n + 1a +

nb(n + 1) b + 2e

c ♣

Estudiando el precio de equilibrio de forma similar al modelo con costes marginales constantes llegamos

a la misma conclusión. Conforme aumenta el número de empresas en el mercado la competencia presiona

a la baja sobre el precio. Si el parámetro e es mayor que cero y los costes marginales son crecientes a escala

el número de empresas necesarios para el que el equilibrio se asemeje a la competencia perfecta es mayor

que con costes lineales. Si el parámetro e toma un valor negativo y los costes marginales son decrecientes a

escala las empresas aún tienen mayor capacidad para elevar el precio por encima del coste marginal.

33.1.2. Modelos con demanda isoelástica

Ejemplo 33.3 (Modelo de duopolio de Cournot con demanda isoelástica y costes marginales constantes)

Consideramos ahora una función inversa de demanda isoelástica y unos costes de producción que dependen

linealmente de la producción de la propia empresa, Ci(qi) = ciqi con ci ≥ 0.

En este caso la función de beneficios es

π (qi,Qi) = qi

(a

Qi + qi

)− ciqi

La función de reacción para este modelo se obtiene de la condición de primer orden

∂πi (qi,Qi)∂qi

=aQi

(Qi + qi)2 − ci = 0,




donde la condición de segundo orden se cumple para todo nivel de producción total mayor o igual que cero

∂2πi (qi,Qi)

∂qi2 = −

2aQi

(qi+Qi)3 ≤ 0.

La función de reacción para este modelo parte del origen y au-

menta hasta alcanzar un máximo donde comienza a descender

asintóticamente hacia cero

qi = Ri (Qi) =√

aQi√

ci− Qi ♣

Obsérvese que este modelo no puede describir el monopolio, ya que una producción nula no tiene

sentido debido a la forma hiperbólica de la función de demanda que hace que cuando no hay producción

rival se obtiene que la producción de la propia empresa también sería nula al sustituir en la función de

reacción. Sin embargo, destaca por ser la función de demanda isoelástica coherente con la teoría económica,

ya que se obtiene de una función de utilidad Cobb-Douglas.

Ejercicio 33.4 (Modelo de oligopolio de Cournot con demanda isoelástica y costes marginales constantes)

Considerar las mismas hipótesis que en el ejemplo 33.3 pero con un número de empresas n con n ≥ 2.

a) Demostrar que la función de reacción para este modelo es qi = Ri (Qi) =√

aQi√

ci− Qi

b) Demostrar que la producción total de equilibrio para el mercado verifica

Q = nQ −ca

nQ2

donde c es el coste marginal medio de las empresas del mercado.

Indicación: Sumar la producción de los rivales Qi a ambos lados de la función de reacción y elevarla

al cuadrado para despejar qi y sumar todas las producciones individuales.

c) Demostrar que la producción óptima de la empresa i es

q∗i =(n − 1) a

nc−

(n − 1)2cia

(nc)2 ∀i = 1, 2, . . . , n,




Indicación: Obtener la producción total de mercado resolviendo la ecuación anterior y sustituirla en

la producción individual de cada empresa.

d) Demostrar que el precio de equilibrio es

p∗ =n

n − 1c

Observamos que en el modelo con demanda isoelástica el precio de equilibrio, que en el modelo con

demanda lineal dependía del precio de reserva y el coste marginal medio del mercado, pasa a ser totalmente

dependiente de este coste marginal medio y es proporcional al número de empresas que compiten. Al igual

que en el modelo con demanda lineal, el aumento de la competencia que supone el incremento del número

de empresas limita la capacidad de estas empresas a elevar el precio por encima de sus costes marginales.

Para un número de empresas suficientemente alto, se igualarán y habrá competencia perfecta.

Práctica 5 (Mathematica) En el modelo de duopolio de Cournot con demanda isoelástica y costes margi-

nales constantes

a) Definir las funciones básicas del modelo y obtener las funciones de reacción de las empresas com-

probando que determinan un máximo del problema.

b) Calcular el equilibrio de Cournot-Nash y representar gráficamente las curvas de reacción junto con

el punto de equilibrio para a = 7, c1 = 2, c2 = 3. ♣

33.1.3. Modelos generales con concavidad

Un modelo de oligopolio cóncavo es un modelo de oligopolio basado en el modelo de Cournot en el

que las hipótesis sobre demanda y costes son muy generales. Así, el precio depende de la producción total

del mercado a través de una función de demanda inversa estrictamente decreciente

p = f (Q) con f ′(Q) < 0




Del mismo modo, los costes de producción, que sólo dependen de la producción propia, se modelizan con

una función no negativa

Ci(qi) con Ci(qi) < 0∀i = {1, . . . , n}

Al igual que en el resto de modelos de Cournot, sus beneficios dependen de la producción rival y las

empresas se enfrentan a un problema de mejor respuesta

max{qi}πi

(qi,Qi

)=max{qi}

(qi f (qi + Qi)−C

(qi))

La condición de primer orden es

∂πi (qi,Qi)∂qi

= f (qi + Qi)+qi f′

(qi + Qi)−C′

(qi) = 0

La concavidad de la función de beneficios depende de los supuestos sobre las funciones de demanda y

costes y en un oligopolio cóncavo se imponen dos condiciones:

Los ingresos marginales de una empresa disminuyen para niveles altos de producción rival (ingreso

marginal decreciente)

f ′ (Q) + qi f ′′ (Q) ≤ 0.

El límite inferior de la segunda derivada de la función de costes corresponde a la pendiente de la

función de demanda

f ′ (Q) < C′′i (qi) .

Si derivamos implícitamente la ecuación con respecto a qi podemos comprobar que en este caso la

función de beneficios es estrictamente cóncava con respecto a qi para i = 1, . . . , n:

∂2πi (qi,Qi)

∂qi2 =2 f

′

(qi + Qi) + qi f′′

(qi + Qi)−C′′

(qi) < 0




Por tanto, la función de reacción de la empresa i, que proporciona la mejor respuesta de la empresa a

la producción de sus rivales, es

Ri (Qi) =

0 si f (Qi) −C′(0) ≤ 0

Li si f (Li + Qi) + Li f ′(Li + Qi) −C′(Li) ≥ Li

z∗i en otro caso

donde denotamos por z∗i la única solución de la ecuación correspondiente a la condición de primer orden

f(z∗i + Qi

)+ z∗i f ′

(z∗i + Qi

)−C′

(z∗i)= 0

Obsérvese que la solución es única al ser el lado izquierdo monótonamente decreciente en z∗i con valor

positivo para z∗i = 0 y negativo para z∗i = Li.

En un oligopolio cóncavo siempre existe un único equilibrio, en el todas las empresas estén dando su

mejor respuesta a las correspondientes producciones de los rivales

q∗i = R(Q∗i

)∀i = 1, . . . , n

En estos modelos de oligopolio, incluso si no es posible resolver explícitamente la ecuación correspon-

diente a la condición de primer orden, podemos obtener la derivada de la función de reacción derivando

implícitamente la ecuación correspondiente a la condición de primer orden con respecto a la producción

rival. Esta derivada es menor o igual que 0, de forma que la función de reacción es decreciente, y mayor

que -1, con lo que no decrece muy rápido.

Ejercicio 33.5 Demostrar que con demanda lineal la primera condición para que el oligopolio sea cóncavo

se verifica siempre y la segunda sólo cuando los costes marginales no son fuertemente decrecientes. ♣

33.2. Dinámica de mejor respuesta

El primer proceso de ajuste dinámico que analizaremos recibe el nombre de dinámica de mejor res-

puesta y es la base de las dos formas de ajuste que utilizaremos para modelizar el comportamiento de las




empresas. En la dinámica de mejor respuesta las empresas producen la cantidad correspondiente a la mejor

respuesta a la producción de sus rivales en el periodo anterior. Los dos métodos de ajuste dinámico que

utilizaremos tienen a la dinámica de mejor respuesta como caso particular, el primero está relacionado con

la capacidad de las empresas para variar sus niveles de producción y en la dinámica de mejor respuesta las

empresas lo pueden variar instantáneamente. El segundo corresponde a la formación de expectativas sobre

la producción rival en el periodo actual y en la dinámica de mejor respuesta las empresas consideran que

sus rivales van a mantener en el periodo actual los niveles de producción del periodo anterior (expectativas

ingenuas).

En la dinámica de mejor respuesta las empresas tratan de dar la mejor respuesta a la producción de sus

rivales. Pero como sólo tienen información de los periodos anteriores consideran que la cantidad producida

conjuntamente por todos sus rivales en este periodo va a ser la misma que en el periodo anterior

qit = BRi(Qi,t−1

)con i = 1, . . . , n.

Estas ecuaciones forman un sistema dinámico n-dimensional cuyas soluciones dependen de las condi-

ciones iniciales y estamos interesados en su comportamiento a largo plazo. En particular, queremos deter-

minar si sus posibles equilibrios son estables, ya que sólo en este caso tendrán sentido económico.

El equilibrio del sistema es un equilibrio dinámico, en el que a largo plazo se mantiene constante la

producción de las empresas, y un equilibrio estratégico, en el que cada una de las empresas da su mejor

respuesta a la producción de sus rivales

qit−1 = qit = q∗i , ⇐⇒ q∗i = BRi(Q∗i

)con i = 1, . . . , n

Práctica 6 (Mathematica) Partiendo del duopolio estático de Cournot con función inversa de demanda

lineal y costes marginales variables:

1. Plantear el duopolio dinámico con dinámica de mejor respuesta

2. Comprobar que el equilibrio dinámico coincide con el estático




3. Sin resolver el sistema representar las trayectorias del sistema partiendo de distintas condiciones

iniciales para valores de los parámetros que representen adecuadamente los distintos casos

4. Resolver el sistema y representar sus trayectorias a partir de las soluciones del sistema para valores

adecuados de los parámetros.

5. Estudiar la estabilidad del sistema en función del parámetro e en el caso simétrico (obtener la matriz

del sistema y sus autovalores). ♣

Nota (Lema previo) Para analizar la estabilidad de los distintos modelos vamos a utilizar que

λ1 = λ2 = · · · = λn−1 = a − bλn = a + (n − 1) b

son los autovalores de la matriz

A =

a b . . . b

b a . . ....

......

. . . b

b . . . b a

Si esta es la matriz de un sistema lineal, el equilibrio es estable si todos sus autovalores tienen módulo

menor que uno e inestable si algún autovalor tiene módulo mayor que uno (si todos los autovalores tienen

módulo uno el sistema es neutralmente estable). ♣

Proposición 33.6 (Teorema de Theocharis) En el modelo de Cournot con dinámica de mejor respuesta,

función inversa de demanda lineal y costes marginales constantes

a) El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n<3

b) El equilibrio de Cournot-Nash es periódicamente estable siempre que n=3

c) El equilibrio de Cournot-Nash es inestable siempre que n>3. ♣

Práctica 7 (Mathematica) Demostrar el teorema de Theocharis a partir de los autovalores de la matriz del

sistema (utilizar el comando REDUCE). ♣




Proposición 33.7 En el modelo de Cournot con dinámica de mejor respuesta, función inversa de demanda

lineal y costes marginales variables

a) El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable si

n <2eb+ 3 y e > −b/2

b) El equilibrio de Cournot-Nash es inestable en otro caso (excepto n = 2eb + 3). ♣

Práctica 8 (Mathematica) Demostrar la proposición anterior a partir de los autovalores de la matriz del

sistema (utilizar el comando REDUCE). ♣

La estabilidad del equilibrio depende del número de empresas en el mercado y de sus costes. Si los

costes marginales son constantes sólo pueden convivir de manera estable dos empresas. Cuando los costes

marginales son variables, cuanto más rápidamente aumenten los costes mayor será el número de empresas

que puedan convivir en el mercado sin llevar a trayectorias divergentes. Sin embargo los costes marginales

decrecientes reducen el número total de empresas que pueden competir en el mercado y si son fuertemente

decrecientes es inestable independientemente del número de empresas.

El modelo de Cournot con dinámica de mejor respuesta, demanda isoelástica y costes marginales cons-

tantes no es lineal. En este caso no podemos hallar las soluciones del sistema y tenemos que aproximarlo

mediante su desarrollo de Taylor alrededor del punto de equilibrio y estudiar si las desviaciones del equili-

brio se aproximan asintóticamente a cero

xt = J(q∗,Q∗i

)xt−1 con xt = (q1t − q∗1, q2t − q∗2, . . . , qn − q∗n) t

El equilibrio del sistema es estable si todos los autovalores de la matriz jacobiana tienen módulo menor

que uno e inestable si algún autovalor tiene módulo mayor que uno (al contrario que en los sistema lineales

no sabemos nada si todos tienen módulo uno).

Práctica 9 (Mathematica) En el modelo de Cournot con dinámica de mejor respuesta, función inversa de

demanda isoelástica y costes marginales constantes




a) Plantear el duopolio con dinámica de mejor respuesta y obtener el equilibrio del modelo

b) Representar las trayectorias del sistema para distintas condiciones iniciales y valores adecuados de

los parámetros

c) Estudiar la estabilidad del sistema (obtener la matriz jacobiana del sistema en el punto de equilibrio

y calcular sus autovalores). ♣

Proposición 33.8 En el modelo de Cournot con dinámica de mejor respuesta, función inversa de demanda

isoelástica y costes marginales constantes

a) El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable si n < 4.

b) El equilibrio de Cournot-Nash es inestable si n > 4. ♣

Práctica 10 (Mathematica) Demostrar la proposición anterior a partir de los autovalores de la matriz

jacobiana del sistema en el punto de equilibrio (utilizar el comando REDUCE).

Esquema

1. El punto de equilibrio es

q∗i =(n − 1) a

nc−

(n − 1)2an2c

2. La matriz jacobiana del sistema es

J (q,Q) =

0 a2√

acQ1− 1 . . . a

2√

acQ1− 1

a2√

acQ2− 1 0 . . . a

2√

acQ2− 1

......

. . ....

a2√

acQn− 1 a

2√

acQn− 1 · · · 0

3. La matriz jacobiana del sistema en el equilibrio es

J(q∗,Q∗i

)=

0 n2(n−1) − 1 . . . n

2(n−1) − 1

n2(n−1) − 1 0 . . . n

2(n−1) − 1...

.... . .

...

n2(n−1) − 1 n

2(n−1) − 1 · · · 0




4. Sus autovalores son

λ1, λ2, . . . , λn−1= 1 −n

2 (n − 1)y λn= (n − 1)

(n

2(n − 1)− 1

)

5. Se estudia la estabilidad del sistema mediante el comando REDUCE. ♣

33.3. Modelos con ajuste dinámico de la respuesta

33.3.1. Ajuste parcial de la producción propia

En la dinámica de mejor respuesta las empresas cambian la cantidad que producen a voluntad, pero una

empresa no siempre puede realizar cambios en la producción cuando quiere. El proceso de ajuste dinámico

de la producción de la propia empresa está relacionado con su capacidad para hacer variar su producción,

de forma que en cada periodo la empresa determina la mejor respuesta a la producción de los rivales en el

periodo anterior. Una vez determinada y añade, o sustrae, a su producción del periodo anterior una parte

proporcional de lo que le falta, o sobra, para alcanzar su mejor respuesta. El factor de proporcionalidad, α,

determina el incremento de la producción, de forma que cuanto mayor es, más rápido es posible realizar el

cambio en la producción. Este parámetro recibe el nombre de velocidad de ajuste y cumple 0 < αi ≤ 1∀ i).

Cuando este parámetro es uno, el ajuste es instantáneo y corresponde a la dinámica de mejor respuesta

qit= qi,t−1 + αi(BRi (Qit−1) − qi,t−1

)= (1 − αi) qi,t−1 + αiBRi (Qit−1) .

El parámetro αi nunca puede ser igual a cero, ya que esto implica que la empresa es incapaz de hacer variar

la producción y no tiene otro remedio que mantener el nivel de producción inicial a lo largo del tiempo.

Práctica 11 (Mathematica) Plantear el duopolio dinámico con ajuste de la producción propia partiendo

del duopolio de Cournot con función inversa de demanda lineal y costes marginales constantes:









4. Estudiar la estabilidad del sistema en función del parámetro e en el caso simétrico (obtener la matriz

del sistema y sus autovalores). ♣

Proposición 33.9 En el oligopolio dinámico con ajuste de la producción propia, función inversa de de-

manda lineal y costes marginales constantes.

1. El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n < 4−αα

2. El equilibrio de Cournot-Nash es periódicamente estable cuando n = 4−αα

3. El equilibrio de Cournot-Nash es inestable en otro caso. ♣


sistema en el punto de equilibrio (utilizar el comando REDUCE).

esquema

1. La matriz del sistema es

1 − α −α2 . . . −α

2

−α2 1 − α . . . −α

2...

.... . .

...

−α2 . . . . . . 1 − α

2. Los autovalores de la matriz del sistema son

λ1, λ2, . . . , λn−1 = 1 −α

2λn = 1 −

n + 12

α

3. Estudiar la estabilidad del sistema mediante el comando REDUCE. ♣

El número de empresas que pueden coexistir en el mercado sin desestabilizar el equilibrio depende de

la velocidad del ajuste en la producción. Cuanto menor sea la velocidad de ajuste mayor será el número de

empresas que puedan operar en el mercado sin desestabilizar el equilibrio.





del duopolio estático de Cournot con función inversa de demanda lineal y costes marginales variables:






4. Obtener la matriz del sistema y sus autovalores, estudiando en el caso simétrico la estabilidad del

sistema en función de los parámetros. ♣

Teorema 33.10 En un oligopolio dinámico con ajuste parcial de la producción propia, demanda lineal y

costes marginales variables

1. El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que

n <4(b + e) − (b + 2e)α

αbe > −b/2

2. El equilibrio de Cournot-Nash es inestable en otro caso (excepto n = 4(b+e)−(b+2e)ααb ). ♣


sistema en el punto de equilibrio (utilizar el comando REDUCE).

Esquema

1. La matriz del sistema es

1 − α −αb2(b+e) . . . −αb

2(b+e)

−αb2(b+e) 1 − α . . . −αb

2(b+e)...

.... . .

...

−αb2(b+e) . . . . . . 1 − α




2. Los autovalores de la matriz del sistema es

λ1 = λ2 = · · · = λn−1 = 1 − α(

(b + 2e)2 (b + e)

)λ

n= 1 − α

(1 +

b(n − 1)2(b + e)

)


El número de empresas que pueden operar en el mercado sin perder la estabilidad depende de la veloci-

dad de ajuste, los costes marginales y la pendiente de la demanda y aumenta conforme aumentan los costes

marginales y la velocidad de ajuste.


del duopolio de Cournot con función inversa de demanda isoelástica y costes marginales constantes.


2. Representar las trayectorias del sistema partiendo de distintas condiciones iniciales para valores de

los parámetros que representen adecuadamente los distintos casos

3. Obtener la matriz del sistema y sus autovalores, estudiando en el caso simétrico la estabilidad del


Teorema 33.11 En el duopolio dinámico con ajuste de la producción propia, función inversa de demanda

isoelástica y costes marginales constantes.

1. El equilibrio de Cournot-Nash es asintóticamente estable siempre que n < 4/α.

2. El equilibrio de Cournot-Nash es inestable siempre que n > 4/α. ♣

Práctica 16 (Mathematica) Demostrar la proposición anterior a partir de los autovalores de la matriz

jacobiana del sistema en el punto de equilibrio (utilizar el comando REDUCE).

Esquema




1. la matriz jacobiana es

J (q,Q) =

1 − α α(

a2√

acQ1− 1

). . . α

(a

2√

acQ1− 1

)α(

a2√

acQ1− 1

)1 − α . . . α

(a

2√

acQ1− 1

)...

.... . .

...

α(

a2√

acQ1− 1

)α(

a2√

acQ1− 1

)· · · 1 − α

2. la matriz jacobiana en el equilibrio es

J(q∗,Q∗i

)=

1 − α α(

n2(n−1) − 1

). . . α

(n

2(n−1) − 1)

α(

n2(n−1) − 1

)1 − α . . . α

(n

2(n−1) − 1)

......

. . ....

α(

n2(n−1) − 1

)α(

n2(n−1) − 1

)· · · 1 − α

3. Los autovalores son

λ1, λ2, . . . , λn−1 = 1 − αn

2(n − 1)λn =

2 − αn2


Nota Siempre que la función de mejor respuesta es diferenciable la matriz jacobiana en el punto de equi-

librio del modelo de Cournot con ajuste parcial de la producción propia tiene la forma

J (q,Q) =

1 − α1 α1r1 . . . α1r1

α2r2 1 − α2 . . . α2r2

......

. . ....

αnrn αnrn · · · 1 − αn




donde ri es la derivada de la función de mejor respuesta en el punto de equilibrio del sistema (BR′i(Q∗i )) y es

una generalización tanto del modelo con demanda lineal y costes marginales variables, donde

r = −b

2 (b + e)

como del modelo con demanda isoelástica y costes marginales constantes, donde

r =n

2 (n − 1)− 1 ♣

33.3.2. Formación de expectativas sobre la producción rival

Al igual que en un proceso con ajuste de la producción propia, la empresa determina la mejor respuesta

a la producción de los rivales. Sin embargo, no responde a la producción de los rivales en el periodo anterior,

si no que responde a la producción que espera que los rivales produzcan en el periodo actual.

Para determinar la cantidad a producir desarrollan un proceso de formación de expectativas sobre la

producción de sus rivales que depende de la capacidad de las empresas para aprender de lo sucedido en el

pasado. En la formación de expectativas adaptativas la empresa observa el error cometido en la predic-

ción del periodo anterior y modifica sus expectativas sobre la producción de sus rivales. Para formar una

nueva expectativa modifica la expectativa que tuvo en el periodo añadiendo o sustrayendo una cantidad pro-

porcional al error cometido en la predicción del periodo anterior. El factor de proporcionalidad, βi, recibe

el nombre de velocidad de ajuste y determina la magnitud de los cambios en las expectativas y cumple

0 < βi ≤ 1 (si fuese cero la empresa sería incapaz de cambiar sus expectativas):

Mejor respuesta a la producción que esperan de sus rivales

qit=BRi(Qe

it), ∀i = 1, 2, . . . , n

Formación adaptativa de expectativas

Qeit = Qe

i,t−1 + βi

(Qi,t−1 − Qe

i,t−1

)= (1 − βi) Qe

i,t−1 + βiQi,t−1




El comportamiento de las empresas queda caracterizada por 2n ecuaciones. Las n primeras determinan la

reacción a las expectativas sobre la producción de los rivales y las n segundas determinan estas expectativas

con la información disponible sobre la producción en el periodo anterior.

El equilibrio del sistema es el equilibrio de Cournot, que se alcanza si tanto la producción de las empre-

sas como sus expectativas sobre la producción se mantienen constantes. Los procesos de ajuste dinámico

no influyen en el nivel de producción final del sistema pero sí determinan si es estable y, en este caso, el

número de períodos necesarios para alcanzarlo.

Aunque al ampliar el sistema para caracterizar la formación de expectativas con n ecuaciones se pierde

la estructura de las matrices que nos ha permitido analizar la estabilidad de los procesos con ajuste de la

producción propia, los resultados son los mismos que para ajuste de la producción, de forma que cuanto

más lento sea el ajuste de las expectativas, más empresas podrán competir en el mercado sin desestabilizar

el equilibrio de Cournot.

Esto es debido a que los autovalores no nulos de la matriz jacobiana en el punto de equilibrio del sistema

correspondiente a un proceso de formación de expectativas sobre la producción de los rivales

J (q∗,Q∗) =

J11 J12

J21 J22

, con

J11 =

0 βr . . . βr

βr 0 . . . βr...

.... . .

...

βr βr . . . 0

J12 =

(1 − β) r 0 . . . 0

0 (1 − β) r . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . (1 − β) r

J21 =

0 β . . . β

β 0 . . . β

......

. . ....

β β . . . 0

J22 =

(1 − β) 0 . . . 0

0 (1 − β) . . . 0...

.... . .

...

0 0 . . . (1 − β)

son los mismos autovalores que los de la matriz del sistema correspondiente a un proceso de ajuste de la

producción propia.




J =

1 − β rβ . . . rβ

rβ 1 − β · · ·...

......

. . ....

rβ rβ . . . 1 − β

.

Por tanto, las condiciones de estabilidad del sistema correspondiente a un proceso de formación de

expectativas son las mismas que la de un sistema correspondiente a un proceso de ajuste de la producción

(intercambiando los parámetros α y β).

Práctica 17 (Mathematica) Considerando tanto demanda lineal y costes marginales variables (caso I)

como demanda isoelástica y costes marginales constantes (caso II)

a) Plantear el duopolio con formación de expectativas adaptativas

b) Obtener la matriz del sistema y sus autovalores, estudiando en el caso simétrico la estabilidad del


En un oligopolio simétrico suponemos que todas las empresas tienen las mismas características y

todos los parámetros el mismo valor. Esto nos permite tener una única empresa que representa a todas y

cada una de las empresas. Si además suponemos que todas tienen los mismos niveles de producción y las

mismas expectativas sobre la producción rival tenemos sólo dos variables: la producción de la empresa y

sus expectativas sobre la producción rival. De este modo, reducimos nuestro sistema dinámico a un sistema

bidimensional en el que las únicas variables son la producción de la empresa y sus expectativas sobre la

producción rival.

Práctica 18 (Mathematica) Considerando demanda lineal y costes marginales variables

a) Plantear un modelo de oligopolio simétrico con formación de expectativas adaptativas sobre la pro-

ducción rival y ajuste instantáneo de la producción.

b) Estudiar la estabilidad del sistema en función de los parámetros y comprobar que las condiciones de

estabilidad son las mismas que las de los correspondiente modelos generales en el caso simétrico,

con la salvedad de que los costes marginales pueden ser fuertemente decrecientes (obtener la matriz

del sistema y sus autovalores).




33.3.3. Ajuste producción propia y formación expectativas sobre producción rival

En el último modelo de Cournot dinámico que vamos a analizar vamos a introducir tanto el ajuste parcial

de la producción propia como la formación de expectativas adaptativas sobre la producción rival. En este

modelo, cada empresa desarrolla expectativas sobre la producción rival mediante un proceso adaptativo con

velocidad de ajuste βi, determina su mejor respuesta a estas expectativas y ajusta la producción propia con

velocidad de ajuste αi.

Formación de expectativas adaptativas sobre la producción rival (con velocidad de ajuste βi):

Qeit = Qe

i,t−1 + βi

(Qi,t−1 − Qe

i,t−1

)= (1 − βi) Qe

i,t−1 + βiQi,t−1

Ajuste de la producción propia (con velocidad de ajuste αi).

qit= qi,t−1 + αi(BRi

(Qe

it)− qi,t−1

)= (1 − αi) qi,t−1 + αiBRi

(Qe

it).

Las dos formas de ajuste son diferentes fases del proceso. Los ajustes en la producción propia de una

empresa reflejan el retardo al cambiar sus niveles de producción efectivos y la adaptación de sus expectati-

vas sobre la producción rival el aprendizaje sobre sus predicciones. El sistema está en equilibrio cuando la

producción de cada empresa alcanza un valor constante en el tiempo y, como en todo modelo con expecta-

tivas, la predicción de la producción de sus rivales también se mantiene constante en el tiempo.


como demanda isoelástica y costes marginales constantes (caso II):

a) Plantear el duopolio con formación de expectativas adaptativas y ajuste parcial de la producción

b) Obtener la matriz del sistema y estudiar la estabilidad del sistema en función de los parámetros en

el caso simétrico.

En el caso que analizamos consideramos que todas las empresas son iguales en términos paramétricos,

ajustan su producción propia con la misma velocidad y también ajustan sus expectativas sobre la producción

de sus rivales con la misma velocidad. Para estudiar la estabilidad del modelo consideraremos que la función




de reacción es diferenciable en un entorno del equilibrio analizado, denotando r = BR′(Q∗i ). En este estudio

distinguimos entre dos procesos:

El proceso simétrico en el que consideramos que las empresas parten de las mismas condiciones

iniciales, sus niveles de producción son iguales y sus expectativas sobre la producción de sus corres-

pondientes rivales también son las mismas. La matriz jacobiana es

1 − α + (n − 1)rαβ rα

(n − 1)β 1 − β

.

El proceso general en el que las empresas pueden tener producciones. expectativas y condiciones

iniciales diferentes. La matriz jacobiana es

J =

(1−α) αβr . . . αβr α(1−β

)r 0 . . . 0

αβr (1−α) . . . αβr 0 α(1−β

)r . . . 0

......

. . ....

......

. . ....

αβr αβr . . . (1−α) 0 0 . . . α(1−β

)r

0 β . . . β(1−β

)0 . . . 0

β 0 . . . β 0(1−β

). . . 0

......

. . ....

......

. . ....

β β . . . 0 0 0 . . .(1−β

)

Nota El polinomio característico de esta matriz se puede escribir como

|J−λI|=pn (λ) p (λ)n−1

donde el primer polinomio es el polinomio característico de la matriz jacobiana del proceso simétrico

pn (λ)=λ2−[(

1−β)+ (1−α)+ (n − 1)α β r

]λ+ (1−α)

(1−β

)PROYECTO MATECO 3.14159 Página 1036



y el segundo polinomio corresponde formalmente al polinomio p0 (λ), que aparece con cualquier número

de empresas en en el oligopolio

p (λ)=λ2−[(

1−β)+ (1−α)−α β r

]λ+ (1−α)

(1−β

)Aunque esta descomposición nos permite obtener los autovalores, ya que los polinomios son de segundo

grado y siempre podemos calcular sus raíces, sus expresiones son complicadas y no es posible trabajar

directamente con ellas. Para determinar cuándo el módulo de los autovalores es menor que uno, vamos a

utilizar las condiciones de Jury, que para un polinomio Q(x) con coeficiente de líder uno son

Q (1) > 0 Q (−1) > 0 Q (0) < 1.

En primer lugar analizamos los autovalores del polinomio p (λ), en el que las condiciones de Jury son:

(I) (r + 1)αβ > 0

(II) 2 (1 − α) + 2 (1 − β) + αβ − rαβ > 0

(III) (1 − α) (1 − β) < 1

La condición (III) se verifica siempre pues α y β son menores o iguales que uno y mayores que cero.

Como no son cero, la condición (II) se puede escribir como 2(1−α)+2(1−β)+αβαβ

> r, indicando que la derivada

de la función de reacción tiene que ser menor que cierto número positivo, lo que se cumple siempre ya

que en todos los casos considerados r es menos o igual que cero. La condición (I) se verifica si la derivada

de la función de reacción es mayor que −1, con lo que en oligopolios cóncavos se verifica siempre. Si la

demanda es lineal solo se verifica cuando los costes marginales no son fuertemente decrecientes (cuando

sí lo son el proceso general es siempre inestable). Por lo tanto, en estos casos la estabilidad del proceso

general depende de la estabilidad del proceso simétrico, donde las condiciones de Jury para el polinomio

correspondiente, pn (λ), son

(I) (1 + r − nr)αβ > 0

(II) 2 (1 − α) + 2(1 − β) + αβ + (n − 1)rαβ > 0




(III) (1 − α) (1 − β) < 1

La condición (III) es la misma que para el polinomio anterior y se verifica siempre. La condición (I)

también se verifica siempre pues r ≤ 0. Por lo tanto, excepto en el caso de demanda lineal con costos

marginales fuertemente decrecientes donde el proceso siempre es inestable, tenemos que la condición que

determina la estabilidad es la condición (II), que puede escribirse para r , 0 como

n < 1 +(−

1r

) (2α−1

) (2β−1

)

El factor −1r es mayor que uno y los otros dos crecen indefinidamente desde uno (en los casos extremos

de ajuste instantáneo y expectativas ingenuas respectivamente). Por lo tanto, el número de empresas que el

mercado puede acomodar sin generar inestabilidad aumenta bajando cualquier velocidad de ajuste.

En el caso de demanda lineal con costes marginales fuertemente decrecientes, podemos encontrar dife-

rencias de comportamiento del proceso simétrico con el proceso general. En este caso, el proceso general es

inestable pero el proceso simétrico pude ser estable. Si reducimos las velocidades de ajuste el único límite

para obtener un oligopolio simétrico estable es mantener positivos tanto los costes totales como los costes

marginales.


como demanda isoelástica y costes marginales constantes (caso II), plantear un modelo de oligopolio

simétrico con los siguientes procesos de ajuste

a) Dinámica de mejor respuesta.

b) Ajuste de la producción propia (expectativas ingenuas).

c) Formación de expectativas adaptativas sobre la producción rival (ajuste instantáneo de la produc-

ción).

d) Ajuste de la producción propia y formación de expectativas adaptativas sobre la producción rival.

En cada caso comprobar que las condiciones de estabilidad son las mismas que las de los correspon-

diente modelos generales en el caso simétrico, con la salvedad de que los costes marginales pueden ser

fuertemente decrecientes. ♣




33.4. Modelos no lineales

En los modelos lineales desarrollados hasta ahora la función de reacción de las empresas también es

lineal y está definida para todos los números reales. Por tanto, una empresa podría decidir producir una

cantidad negativa para determinados niveles de producción de sus rivales. En particular, si los costes mar-

ginales son constantes puede darse cuando la diferencia entre los costes marginales de la empresa i y el

precio de reserva son muy pequeño o si hay un número grande de empresas en el mercado cuya producción

conjunta superan un determinado nivel.

Cualquiera que sea la causa, la empresa no puede producir una cantidad negativa y lo que le conviene

es dejar de producir. Esto nos obliga a imponer una cota inferior a la producción que limite la cantidad pro-

ducida de las empresas a niveles no negativos. Al imponer también un límite superior sobre la producción,

que refleja sus limitaciones físicas, podemos definir la función de reacción como una función a trozos que

incorpora ambas cotas y asegura que los niveles de producción sean económicamente racionales (si además

imponemos que la suma de todos los límites a la producción no hagan negativo el precio).Si denotamos por

z∗i la mejor respuesta a la producción rival Qi prevista por las funciones de respuesta lineales (sin limitarlas)

la nueva función de mejor respuesta es lineal a trozos y queda

qi = Ri (Qi) =

0 siz∗i ≤ 0

Li siz∗i ≥ Li

z∗i en otro caso

En el caso de costes marginales creciente los lími-

tes de capacidad puede ser superiores a los niveles

previstos por las funciones de respuesta lineales o

inferiores pero el punto de equilibrio sigue siendo el

mismo.

En el modelo de duopolio con demanda lineal y costes marginales variables si una de las empresas no

produce la otra se encuentra en posición de monopolio. Así, si la empresa 1 se encuentra en esta posición




(q2 = 0) su producción óptima (producción de monopolio) es z∗1 = qM1 )

qMi =

a − ci

2(b + e)

El nivel de producción de una empresa necesario para expulsar a su rival es la cantidad mínima que

tiene que producir para que la mejor respuesta de la otra empresa sea no producir. Por ejemplo, para que la

mejor respuesta de empresa 2 sea no producir la empresa 1 produce

qLi =

a − c−i

b

Cuando la producción de monopolio de cada una de las empresas es superior al nivel necesario para

expulsar a su rival

qLi =

a − c−i

b<

a − ci

2(b + e)=qM

i

aparecen equilibrios monopolísticos en los que ambas empresas dan su mejor respuesta mientras una em-

presa no produce y la otra produce la cantidad de monopolio-

La aparición de equilibrios monopolísticos depende del carácter de los costes. Cuando los costes margi-

nales son crecientes o ligeramente decrecientes el único equilibrio del sistema es el equilibrio de Cournot-

Nash, que a partir de ahora llamaremos equilibrio interior, ya que en esta situación nunca conviene producir

más de qL (es necesario que los límites de producción sean superiores al nivel de producción del equilibrio

interior pues si no la producción de equilibrio es igual a estos límites).

Si los costes marginales son fuertemente decrecientes la pendiente de la función de reacción de cada

empresa es menor que la de su rival y su producción de monopolio es superior al nivel necesario para

expulsar a su rival.

En este caso, las funciones de reacción se cruzan en tres puntos distintos y

hay tres posibles equilibrios: el equilibrio interior y dos equilibrios de fron-

tera correspondientes a los equilibrios de monopolio en los que una empre-

sa expulsa a la otra del mercado y que sólo se diferencian en la empresa

que sobrevive (E1 es el equilibrio en el que la empresa uno es monopolista

y E2 en el que la empresa dos es la monopolista:




E1=

(a−c1

2(b+e1), 0

), E2=

(0,

a−c2

2(b + e2)

).

Práctica 21 (Mathematica) Definir las funciones básicas del modelo de duopolio no lineal de Cournot con

demanda lineal y costes cuadráticos y comprobar que las funciones de reacción de las empresas son

R1 (q2) =

0 si z∗1 ≤ 0

L1 si z∗1 ≥ L1

z∗1 en otro caso

z∗1 =a − c1 − bq2

2(b + e1)R2 (q1) =

0 si z∗2, ≤ 0

L1 si z∗2 ≥ L2

z∗2 en otro caso

z∗2 =a − c2 − bq1

2(b + e2)

(Numérico) Representar las funciones de reacción de ambas empresas y los posibles equilibrios de

Cournot-Nash para valores adecuados de los parámetros que recojan los distintos casos.

(Paramétrico) Calcular los posibles equilibrios de Cournot-Nash, determinar condiciones de exis-

tencia tanto para el equilibrio interior como para los equilibrios monopolísticos y comparando estas

condiciones con las condiciones teóricas que relacionan la producción de monopolio con la produc-

ción necesaria para expulsar al rival. ♣

Cuando en un oligopolio con función inversa de demanda lineal y funciones de coste cuadráticas im-

ponemos límites de capacidad y condiciones de no negatividad a las funciones de reacción obtenemos

funciones de reacción diferenciables a trozos. Si los costes marginales no son fuertemente decrecientes solo

tenemos el equilibrio interior y su posible estabilidad es global. Sin embargo, si los costes marginales son

fuertemente decrecientes existen equilibrios adicionales al equilibrio interior en la frontera. En este caso,

el equilibrio interior es inestable y los equilibrios monopolísticos, en los que al menos una empresa está

fuera del mercado, son localmente estables y el resultado final depende de las estructuras de costes y, más

importante aún, de las condiciones iniciales, que hacen que las cuencas de atracción de los equilibrios mo-

nopolísticos sean relevantes. En esta sección vamos a analizar un duopolio no lineal con función inversa de

demanda lineal y funciones de coste cuadráticas en el que las funciones de respuesta son funciones lineales




a trozos (ver práctica 21)

R1 (q2) =

0 si z∗1 ≤ 0

L1 si z∗1 ≥ L1

z∗1 en otro caso

z∗1 =a − c1 − bq2

2(b + e1)R2 (q1) =

0 si z∗2, ≤ 0

L1 si z∗2 ≥ L2

z∗2 en otro caso

z∗2 =a − c2 − bq1

2(b + e2)

El proceso de ajuste dinámico utilizado es el ajuste parcial de la producción propia y las expectativas de

las empresas son ingenuas. Por tanto, las ecuaciones que gobiernan el sistema son

Tn :

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α1R1

(q2,t−1

),

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α2R2(q1,t−1

),

En este modelo, el plano de fases está limitado al

conjunto [0,L1]×[0,L2] y se divide en hasta nueve

regiones, que corresponden a las distintas combi-

naciones de las ramas de las funciones de reacción.

Reg1 0 ≤ CR1[q2] ≤ L1, 0 ≤ CR2[q1] ≤ L2

Reg2 0 ≤ CR1[q2] ≤ L1, CR2[q1] ≥ L2

Reg3 CR1[q2] ≤ 0, CR2[q1] ≥ L2

Reg4 CR1[q2] ≤ 0, 0 ≤ CR2[q1] ≤ L2

Reg5 CR1[q2] ≤ 0, CR2[q1] ≤ 0

Reg6 0 ≤ CR1[q2] ≤ L1, CR2[q1] ≤ 0

Reg7 CR1[q2] ≥ L1, CR2[q1] ≤ 0

Reg8 CR1[q2] ≥ L1, 0 ≤ CR2[q1] ≤ L2

Reg9 CR1[q2] ≥ L1, CR2[q1] ≥ L2

La numeración de estas regiones la mantendremos tanto para su representación en el plano de fases

como para la enumeración de las aplicaciones correspondientes las regiones representadas.

T1

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α1z∗1t,

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α2z∗2t,T2

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α1z∗1t,

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α2L2,T3

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α10,

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α2L2,

T4

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α10,

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α2z∗2t,T5

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α10,

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α20,T6

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α1z∗1t,

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α20,

T7

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α1L1,

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α20,T8

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α1L1,

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α2z∗2t,T9

q1t = (1 − α1) q1,t−1 + α1L1,

q2t = (1 − α2) q2,t−1 + α2L2,




En general, para cada empresa tenemos cuatro fronteras.La frontera inferior aparece al imponer que la

producción sea no negativa y la superior al imponer límites a la producción. También aparece como frontera

la producción de monopolio, al ser la mejor respuesta a la producción rival cuando el rival no produce. La

última frontera corresponde a la mejor respuesta al límite en la producción de la empresa rival y solo aparece

si los límites de capacidad afectan a la producción de los oligopolistas e interrumpen la curva de reacción.

q1 = 0

q1 = CR1[L2] =a − c1 − 2(b + e1)L2

bq1 = CR1[0] = qM

1 =a − c1

bq1 = L1

q2 = 0

q2 = CR2[L1] =a − c2 − 2(b + e2)L1

bq2 = CR2[0] = qM

2 =a − c2

bq2 = L2

Vamos a suponer que los límites son superiores a cualquier nivel previsto por la curva de reacción, con

lo que la última frontera toma valores negativos y desaparece del plano de fases.

Práctica 22 (Mathematica) Considerando un duopolio no lineal dinámico en el que se produce un ajuste

parcial de la producción propia (demanda lineal y costes cuadráticos).

a) Definir las regiones del plano de fases y comprobar que bajo las condiciones impuestas sólo hay

cuatro regiones.

b) Calcular la matriz jacobiana del sistema en cada una de las regiones.

c) Determinar la región a la que pertenecen cada uno de los equilibrios y estudiar su estabilidad.

Solución (estabilidad)

Las matrices jacobianas de las cuatro regiones del plano de fases son (los superíndices corresponden

con las regiones)

J1 =

1 − α1−α1b

2(b+e2)

−α2b2(b+e2) 1 − α2

J6 =

1 − α1−α1b

2(b+e2)

0 1 − α2

J4 =

1 − α1 0

−α2b2(b+e2) 1 − α2

J5 =

1 − α1 0

0 1 − α2

La matriz J1 corresponde al equilibrio interior, que es globalmente estable cuando los costes marginales

son crecientes o ligeramente decrecientes e inestable cuando son fuertemente decrecientes. Las matrices J6




y J4 corresponden a los equilibrios monopolísticos E1 y E2, en los que una de las dos empresas se hace con

todo y la otra es expulsada, que son localmente estables (los autovalores, 1 − α1 y 1 − α2, son menores que

1 para las velocidades admitidas). La cuarta matriz, J5, corresponde a una región que no tiene un equilibrio

y no influye en la estabilidad (tendríamos que analizarla si algún equilibrio estuviera en la frontera). ♣

Cuando los costes marginales son fuertemente decrecientes el equilibrio final depende de los niveles de

producción iniciales de las empresas, que denotaremos por q10 y q20 (condiciones iniciales). Si la produc-

ción inicial de la empresa uno está próxima a su nivel de equilibrio y la de la segunda cerca de cero, el

equilibrio final es el monopolio de la empresa uno, en el que la empresa dos deja de producir. Se produce

una situación análoga si la producción inicial de la empresa dos está próxima a su nivel de equilibrio y la de

la primera cerca de cero. Sin embargo, cuando ambos niveles de producción iniciales están cerca del límite

de capacidad o próximas a cero, el sistema es neutralmente estable y entra en un ciclo entre ambos puntos.

En un proceso con ajuste instantáneo de la producción (α = 1) aparecen tres cuencas de atracción que

tienen forma rectangular. La de color blanco es la cuenca de atracción del equilibrio E1 y la de de azul claro

la del equilibrio E2. Las dos regiones moradas forman la cuenca de atracción del ciclo, que oscila entre

el origen en el que no produce ninguna empresa y en otro punto en el que ambas empresas producen la

cantidad de monopolio, (qM1 , q

M2 ).

En este caso, el tamaño de cada región depen-

de de los valores de los parámetros correspon-

dientes a su estructura de costes. Si los costes

marginales de una de las dos empresas decre-

cen más rápido que los de su rival su cuenca es

mayor.

Cuando incluimos ajuste parcial de la produc-

ción, al disminuir la velocidad de ajuste las

cuencas de atracción pierden su forma rectan-

gular y las cuencas de los equilibrios de mo-

nopolio se amplían a costa de la del ciclo, que

desaparece progresivamente. ♣



tema 33 dinámica de los modelos de cournot

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