TEMA 2. DISEÑO DE TUBERÍAS SIMPLES

≈0 ≈0

𝑧+𝑝

  es :Línea de cargas piezométricaso Línea de altura motrizo Línea de gradiente hidráulicoo Línea de pendiente hidráulica

Para un sistema de bombeo:

𝐻𝐵=𝑧2 −𝑧1+∑1

2

h𝑓𝑚𝐄𝐜 .𝟐 .𝟏

VARIABLES INVOLUCRADAS

Otras variables: g, Q o V

Variables relacionadas con el esquema del sistema: Ki

Variables involucradas propiamente con la tubería: D, L, k

Variables relacionadas con el fluido: , ,

Variables relacionadas con la energía impulsora del fluido: z1-z2, HB, PB

𝑧+ 𝑝

+ 𝑉2

2𝑔  es :

Línea de energía o Línea de nivel energéticoo Línea de pendiente de energíao Línea de gradiente de energía

TIPOS DE PROBLEMAS (depende de la variable desconocida)

Revisión (comprobación) Variables conocidas: D, Ki, H (o P), k, , , g, LIncógnitas: Q o V

Cálculo Variables conocidas: D, Ki, Q (o V), k, , , g, LIncógnitas: H o P

Diseño Variables conocidas: H (o P), Ki, Q (o V), k, , , g, LIncógnitas: D

Calibración Variables conocidas: D, Ki, H o P,Q (o V), , , g, LIncógnitas: k

Si el punto 2 corresponde a la salida de la tubería hay que considerar 3 situaciones:1º. El término de la altura de velocidad desaparece2º. Como consecuencia de lo anterior, el término de sumatoria de perdidas menores debe incluir un término de pérdidas por salida.3º. La presión en la salida es igual a la atmosférica (presión manométrica nula)

Por lo tanto la ecuación anterior quedaría como sigue:

Ecuación 2.1

 

Con la ecuación de Darcy-Weisbach:

se tiene:

y que:

Con la ecuación de Colebrook-White:

y con

𝑉=−2√2𝑔𝐷 h𝑓

√𝐿𝑙𝑜𝑔( 𝑘

𝐷3.71

+ 2.51𝐷

𝜈√𝐿√2𝑔𝐷 h𝑓

)𝐄𝐂.𝟐 .𝟑

1. Revisión (comprobación) Variables conocidas: D, Ki, H (o P), , , , g, LIncógnitas: Q o V

1. Leer Ki, H (o P), , , , g, L, E2. Suponer hf =z1 – z2 3. Calcular V con la ecuación 2.34. Calcular hf nueva con la ecuación 2.1 donde z1 es H 5. ¿Es |hf nueva - hf vieja| E ? NO, volver al paso 3 y calcular V nueva con la hf

nueva6. Q = VA

Ejemplo 2.1 Se desea calcular el caudal que puede ser movido a través de una tubería de PVC, de 300 mm de diámetro nominal y 730 m de longitud, que conecta dos tanques de abastecimiento de agua potable con una diferencia de nivel de 43.5 m. El diámetro real de la tubería es de 293 mm y su rugosidad absoluta es de 1.5 × 10-6 m. Todos los accesorios que forman parte del sistema, incluyendo la entrada y la salida, implican un coeficiente global de pérdidas menores Ki de 11.8. El agua se encuentra a 20 C

Procedimiento:

dz 43.5Ki 11.8ro 998 kg/m^3

mu 0.001005 Pa s

nu 0.000001007 m^2/s

epsilon 0.0000015 mg 9.80665 m/s^2D 0.293 mk 5.11945E-06L 730 m

hf V hf_nueva ha43.5 5.609099304 24.57143923 18.92856077

24.571439 4.114755307 33.31363194 10.18636806

33.313632 4.85406499 29.32436542 14.17563458

29.324365 4.529508714 31.15663604 12.34336396

31.156636 4.680965398 30.31736591 13.18263409

30.317366 4.612118187 30.70229216 12.79770784

30.702292 4.643802804 30.52585119 12.97414881

30.525851 4.629302332 30.60674935 12.89325065

30.606749 4.635955607 30.56966213 12.93033787

30.569662 4.632906471 30.58666548 12.91333452

30.586665 4.634304619 30.57887017 12.92112983

30.57887 4.633663672 30.58244403 12.91755597

30.582444 4.633957532 30.58080556 12.91919444

30.580806 4.633822811 30.58155673 12.91844327

30.581557 4.633884576 30.58121235 12.91878765

30.581212 4.633856259 30.58137023 12.91862977

30.58137 4.633869241 30.58129785 12.91870215

30.581298 4.633863289 30.58133104 12.91866896

30.581331 4.633866018 30.58131582 12.91868418

30.581316 4.633864767 30.5813228 12.9186772

30.581323 4.63386534 30.5813196 12.9186804

30.58132 4.633865077 30.58132106 12.91867894

30.581321 4.633865198 30.58132039 12.91867961

30.58132 4.633865143 30.5813207 12.9186793

30.581321 4.633865168 30.58132056 12.91867944

1. Leer Ki, H (o P), , , , g, L, E2. Suponer hf =z1 – z2 3. Calcular V con la ecuación 2.34. Calcular hf nueva con la ecuación 2.1 donde z1 es H 5. ¿Es |hf nueva - hf vieja| E ? NO, volver al paso 3 y calcular V nueva

con la hf nueva6. Q = VA

Q= 0.31244 m^3/sQ= 312.441 lts/shf= 30.5813 mha= 12.9187 mV= 4.63387 m/sf= 0.01121

Cálculo Variables conocidas: D, Ki, Q (o V), , , , g, LIncógnitas: H o P

Método de Newton-Raphson:

Se debe tener una función g(x) que cumpla las siguientes condiciones especiales para que exista convergencia:

1ª. Debe existir un intervalo I = (a, b), de modo que para todo x perteneciente a I, la función g(x) esté definida y pertenezca a I, lo cual significa que g(x) se aplica a sí misma. En el caso de la ecuación de Colebrook-White, para que la función no estuviera definida se necesitaría que el logaritmo no estuviera definido, caso imposible, ya que todos los términos dentro de la función logaritmo son positivos.2ª. La función de iteración g(x) tiene que ser continua en I. Nuevamente la función logaritmo cumple este requisito.3ª. La función g(x) tiene que ser diferenciable en I y que la pendiente de g(x) sea siempre menor que 1 y mayor que -1. La función mencionada es en efecto diferenciable y su pendiente es siempre mayor que -1, llegando a ser en casos extremos (Re = 2000, /D = 0.00001) -0.0289. Para números de Reynolds grandes la pendiente de g(x) tiende a cero, lo cual es menor que 1.

1

√ 𝑓=−2 𝑙𝑜𝑔( 𝜀

𝐷3.71

+2.51𝑅𝑒√ 𝑓 )

El método parte de la ecuación x = g(x), por tanto g(x) – x = 0

El valor de la aproximación a la raíz de la ecuación en la iteración i + 1 se calcula con base en la aproximación de la iteración i de acuerdo con la ecuación:

𝑥𝑖+1=𝑥 𝑖−𝑔 (𝑥 𝑖) −𝑥 𝑖

𝑔′ (𝑥 𝑖 ) −1

En la ec. de C-W:

𝑥=1

√ 𝑓

1

√ 𝑓=−2 𝑙𝑜𝑔( 𝜀

𝐷3.71

+2.51𝑅𝑒√ 𝑓 )

𝑔 (𝑥 )=− 2 𝑙𝑜𝑔( 𝜀𝐷

3.71+

2.51 𝑥𝑖𝑅𝑒 )

Con y  

𝑑𝑑𝑥 ( 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑢 )= 1

𝑢¿¿

𝑔 ′ (𝑥 )=−2

ln 10 (2.51𝑅𝑒

𝜀3.71𝐷

+2.51 𝑥𝑖𝑅𝑒

)

Procedimiento:

1. Leer /D, Re, semilla de f2. ¿ Es Re 2200 ? Sí; f = 64/Re (y fin del problema)3. No; entonces f1 = semilla de f

4. ¿Es ? Sí; y fin del Método de N-R5. No; hacer xi+1 = xi y regresar al paso 5 hasta que se cumpla el paso 8

Ejemplo 2.2 En un sistema de riego localizado de alta frecuencia para un cultivo de cítricos es necesario mover un caudal de agua de 42 lts/s desde el sitio de toma a la planta de fertirrigación. Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia de 970 m, estando la planta 16 m por encima de la toma. Si existe una tubería de PVC ( = 1.5 10-6 m) de 6 pulgadas de diámetro nominal, con un coeficiente global de pérdidas menores de 9.4, ¿cuál es la carga hidráulica que debe ser suministrada por la bomba en el sitio de la toma? Para agua = 1.14 10-6 m2/s.

Para una tubería de PVC de 6” de diámetro con RD de 21, el diámetro real es: D = 152.2 mm(de tablas ? como la anterior)

Por tanto el área A de la tubería es:

𝐴= 𝐷2

4=𝜋 (0.1522 m)2

4

𝐴=1.82 ×10−2 m2

𝐴= 𝐷2

4=𝜋 (0.1522 m)2

4=1.82 ×10− 2 m2

𝑉=𝑄𝐴

= 0.042m3 / s1.82×10−2 m2 =¿

𝑉=2.31 m / s

𝑅𝑒=𝑉𝐷𝜈

=2.31× 0.1522

1.14 ×10−6

𝑅𝑒=308405𝜀𝐷

=0.0000015

0.1522=9.86 ×10−6

Re 308405

epsilon 0.0000015 m

D 0.1522 m

k 9.85545E-06

A 0.018193623 m^2

Q 0.042 m^3/s

V 2.308501197

F(x) dF(x) xi+1f x F_x dF_x xi_1 fi+1

0.001 31.6227766 7.169976033-0.02718658 7.81716917 0.01636443

0.01636443 7.817169169 8.35726578-0.10665949 8.30521144 0.01449768

0.01449768 8.30521144 8.306711596-0.10062883 8.30657444 0.01449293

0.01449293 8.306574439 8.30657445-0.10061294 8.30657445 0.01449293

0.01449293 8.3065744498.306574449-0.10061294 8.30657445 0.01449293

f = 0.014492926

Procedimiento:

1. Leer /D, Re, semilla de f2. ¿ Es Re 2200 ? Sí; f = 64/Re (y fin del problema)3. No; entonces f1 = semilla de f

4. ¿Es ? Sí y fin del Método de N-R5. No hacer xi+1 = xi y regresar al paso 5 hasta que se cumpla el paso 8

EJEMPLO 2.3

En un sistema de riego localizado de alta frecuencia para un cultivo de cítricos se requiere mover un caudal de agua de 42 l/s desde el sitio de toma a la planta de fertirrigación. Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia de 970 m, estando la planta 16 m por encima de la toma. Si existe una tubería de PVC ( = 1.5×10-6 m) de 150 mm de diámetro nominal, con un coeficiente global de pérdidas menores de 9.4, ¿cuál es la altura que debe ser suministrada por la bomba en el sitio de toma? ¿Cuál es la potencia? Para agua = 1.14×10-6 m2/s.

CÁLCULO DE LA CARGA O POTENCIA REQUERIDA. Variables conocidas: D, , Q(o V), Km, , , g, L, Incógnita: H (o P) Procedimiento:1º. Leer D, , Q, Km, , , g, L, 2º. Calcular V = Q/A:3º. Calcular hm: 4º. Calcular Re y /D: 5º. Calcular f: 6º. Calcular hf con D-W: 7º. Calcular HB con la ecuación de la energía.

8º. Calcular la potencia de la bomba con 9º. Imprimir P. 10º. FIN.

𝑓 =1.325

[𝑙𝑛(𝐷

3.7+ 5.74

(𝑉𝐷 )0.9 )]

2

10− 6 ≤𝐷

≤ 10−2

5000 ≤𝑅𝑒≤ 108

Q 0.042 m^3/sL 970 mdz 16 mepsilon 0.0000015 mD 0.15 mKm 9.4nu 0.00000114 m^2/sg 9.80665 m/s^2rho 999.1 kg/m^3

V [m/s] hm [m] f_ [adim] h f [m] HB [m] P [kW]2.377 2.707 0.01437835 26.779 45.486 18.72

DISEÑO DE TUBERÍAS SIMPLES:

Variables conocidas: H (o P), D, Dn, k, Qd, Km, , , g, L, , z2, E

Incógnita: D

𝑉 𝑝2 =

2𝑔𝐻

(∑𝑘𝑚)

𝑉 𝑝=√ 2𝑔𝐻

(∑𝑘𝑚)Ecuación (2.5)

𝑉 𝑝=√ 2𝑔 (𝐻−h 𝑓 )(∑ 𝑘𝑚)

Ecuación (2.6)

Sea Vp = “velocidad de pérdida” (la velocidad que igualaría la sumatoria de las pérdidas menores y la altura disponible H.

∑ h𝑚=𝐻∑ h𝑚=(∑ 𝑘𝑚 )𝑉 𝑝

2

2𝑔

𝐻=(∑ 𝑘𝑚 )𝑉 𝑝2

2𝑔por lo tanto:

𝑉 𝑝2

2𝑔= 𝐻

(∑ 𝑘𝑚)

Cuando se calcula la primera velocidad de pérdida, en las siguientes iteraciones esta velocidad se calcula de acuerdo con la siguiente ecuación 2.6.

Metodología:

EJEMPLO 2.3

La tubería de descarga de la planta de tratamiento de aguas residuales del municipio de Ubaté tiene una longitud de 150 m desde el inicio hasta el sitio de entrega en el Río Suta y por ella debe pasar un caudal máximo de 120 l/s. La altura mínima de operación es 2.2 m y en la tubería se tienen pérdidas menores por entrada (km = 0.5), por un codo (km = 0.8), por uniones (km=10×0.1=1) y por salida (km = 1). Calcular el diámetro requerido de la tubería comercial en hierro galvanizado si la temperatura del agua es 14°C.

DATOS: L = 150 m = 0.00015 mQd = 0.012 m3/sH = 2.2 mKm = 0.5+0.8+1.0+1.0 = 3.3 (14°C) = 999.3 kg/m3 (14°C) = 1.17×10-3 Pas (14°C) = 1.17×10-6 m2

EJEMPLO 2.4

Suponiendo que la planta de tratamiento de Ubaté se localiza a sólo 15 m del Río Suta, sitio de descarga, la tubería tendría un total de 17 m de longitud. Si las uniones fueran roscadas, las pérdidas menores serían: entrada (km = 0.5), un codo (km = 0.8), uniones (km= 4×0.5 = 2.0) y salida (km = 1.0). Calcular el diámetro de la tubería comercial de PVC requerido para la descarga.

DATOS:

L = 17 m = 0.00015 mQd = 0.12 m3/sH = 2.2 mKm = 0.5+0.8+2.0+1=4.3 (14°C) = 1.17×10-6 m2/s

SOLUCIÓN:Q d 0.120H 2.2

epsilon 0.00015K m 4.300nu 0.00000117g 9.80665L 17

hf [m] D [m] V A Q ¿Q >= Qd ? hm Vp ¿Vp > V ? hfm2.200 0.100 3.359 0.008 0.026 NO 2.474 3.168 NO 4.6742.200 0.150 4.344 0.018 0.077 NO 4.137 3.168 NO 6.3372.200 0.200 5.203 0.031 0.163 SI 5.934 3.168 NO 8.1340.500 0.200 2.452 0.031 0.077 NO 1.318 2.785 SI 1.8180.500 0.250 2.821 0.049 0.138 SI 1.745 2.785 NO 2.2450.480 0.200 2.401 0.031 0.075 NO 1.264 2.801 SI 1.7440.480 0.250 2.763 0.049 0.136 SI 1.674 2.801 SI 2.1540.490 0.200 2.427 0.031 0.076 NO 1.291 2.793 SI 1.7810.490 0.250 2.792 0.049 0.137 SI 1.709 2.793 SI 2.1990.490 0.300 3.129 0.071 0.221 SI 2.146 2.793 NO 2.6360.490 0.250 2.792 0.049 0.137 SI 1.710 2.793 SI 2.200

PROCEDIMIENTO ALTERNATIVO

Con D-W:

h 𝑓= 𝑓 𝐿𝐷𝑉 2

2𝑔= 𝑓 𝐿

𝐷

(𝑄𝐴 )2

2𝑔=¿

h 𝑓= 𝑓 𝐿𝐷

𝑄2

2𝑔 𝐴2 = 𝑓 𝐿𝐷

𝑄2

( 4𝐷2)

2

2𝑔=¿

h 𝑓= 𝑓 𝐿𝐷

𝑄2

2

16𝐷4 2𝑔

= 𝑓 𝐿𝐷

𝑄2

2

8𝐷4𝑔

=¿

h 𝑓= 𝑓 8𝐿2 𝐷5

𝑄2

𝑔

Resolviendo para D:

𝐷5=( 8𝐿𝑄2

2h 𝑓 𝑔 ) 𝑓=𝑐1 𝑓

𝐷5=𝑐1 𝑓 ECUACIÓN (1)

Con la ecuación de continuidad:𝑉=𝑄𝐴

=𝑄

4𝐷2

→𝑉 𝐷2=4𝑄

→ (𝑉𝐷 )= 4𝑄 𝐷

y con𝑅𝑒=

(𝑉𝐷 )

=

4𝑄𝐷

=( 4𝑄 ) 1

𝐷=𝑐2

1𝐷

Por lo tanto: 𝑅𝑒=𝑐2

1𝐷 ECUACIÓN (2)

Procedimiento:

1º. Se supone f (i.e. f = 0.015).2º. Con la ecuación (1) resolver para D.3º. Con esta D, calcúlese la ecuación (2) para Re.4º. Encuéntrese /D.5º. Con Re y /D encuéntrese f con la ecuación de Swamee

𝑓 =1.325

[𝑙𝑛( 𝐷

3.7+ 5.74𝑅𝑒0.9 ) ]

2

6º. Utilícese el nuevo valor de f y repítase el procedimiento a partir del paso 2.

7º. Cuando el nuevo f no cambia respecto al anterior todas la ecuaciones se satisfacen y el problema queda resuelto para el último D.

Q d 0.120H 2.2

epsilon 0.00015Km 4.300nu 0.00000117g 9.80665L 17

hf2_ 2.2f_ D2_ epsilon/D2_ Re f_2

0.0150000 0.169 0.00089 772,601.6 0.012123420.0121234 0.162 0.00093 806,211.1 0.012035030.0120350 0.162 0.00093 807,392.0 0.0120320.0120320 0.162 0.00093 807,432.5 0.01203190.0120319 0.162 0.00093 807,433.9 0.01203190.0120319 0.162 0.00093 807,434.0 0.0120319

Procedimiento:1º. Se supone f (i.e. f = 0.015).2º. Con la ecuación (1) resolver para D.3º. Con esta D, calcúlese la ecuación (2) para Re.4º. Encuéntrese e/D.5º. Con Re y e/D encuéntrese f con la ecuación de Swamee6º. Utilícese el nuevo valor de f y repítase el procedimiento a partir del paso 2.

CALIBRACIÓN DE TUBERÍAS SIMPLES.

Con la ecuación de Darcy-Weisbach:

h 𝑓= 𝑓 𝐿𝐷𝑉 2

2𝑔𝐄𝐜 .(𝟏 .𝟑𝟖)

Despejando f se tiene

𝑓 =2𝑔𝐷 h𝑓

𝐿𝑉 2 𝐄𝐜 .(𝟐 .𝟕)

Ahora con la ecuación de Colebrook-White:

1

√ 𝑓=−2 𝑙𝑜𝑔( 𝑘

3.7𝐷+

2.51𝑅𝑒√ 𝑓 )

Con algunas operaciones algebraicas en la ecuación de C-W se tiene:

−1

2√ 𝑓=𝑙𝑜𝑔( 𝑘

3.7𝐷+

2.51𝑅𝑒√ 𝑓 )

10− 1

2√ 𝑓 = 𝑘3.7𝐷

+ 2.51𝑅𝑒 √ 𝑓

𝑘=3.7𝐷(10− 1

2√ 𝑓 −2.51𝑅𝑒√ 𝑓 )Ec . (2.8)

EJEMPLO 2.8 En la red del sistema de abastecimiento de agua de una ciudad se tiene una tubería de concreto con una longitud de 2.8 km, un diámetro de 1200 mm y un coeficiente global de pérdidas menores de 16.4. En una determinada condición de operación se mide un caudal de 3.72 m3/s y una caída en la altura piezométrica de 32 metros a lo largo de toda la longitud. Calcula la rugosidad absoluta de la tubería. El agua se encuentra a una temperatura de 14 °C

Datos:

L = 2800 m

∑K = 16.4

Qd = 3.72 m3/s

n(14 °C) = 1.17 x 10-6 m2/s

H = 32 m

D = 1200 mm

SOLUCIÓN:

Siguiendo el diagrama de flujo 6 se tiene

𝐴=𝜋4𝐷2=

𝜋4

×1.22=1.13 m 2

𝑉=𝑄𝐴

=3.721.13

=3.29 m / s

h𝑚=∑ 𝐾 𝑖𝑉 2

2𝑔=16.4 ×

3.292

2× 9.81=9.05 m

h 𝑓=𝐻−h𝑚=32 m − 9.05 m=22.95 m

Con la ecuación de Darcy-Weisbach:

h 𝑓= 𝑓 𝐿𝐷𝑉 2

2𝑔𝐄𝐜 .(𝟏 .𝟑𝟖)

Despejando f se tiene𝑓 =

2𝑔𝐷 h𝑓

𝐿𝑉 2 𝐄𝐜 .(𝟐 .𝟕)

𝑓 =2 × 9.81× 1.2× 22.95

2800× (3.29 )2=0.0178

Se calcula f con la ecuación (2.7)

Con algunas operaciones algebraicas en la ecuación de C-W se tiene:

−1

2√ 𝑓=𝑙𝑜𝑔( 𝑘

3.7𝐷+

2.51𝑅𝑒√ 𝑓 )

10− 1

2√ 𝑓 = 𝑘3.7𝐷

+ 2.51𝑅𝑒 √ 𝑓

𝑘=3.7𝐷(10− 1

2√ 𝑓 −2.51𝑅𝑒√ 𝑓 )Ec . (2.8)

Ahora con la ecuación de Colebrook-White:

1

√ 𝑓=−2 𝑙𝑜𝑔( 𝑘

3.7𝐷+

2.51𝑅𝑒√ 𝑓 )

𝑅𝑒=𝑉𝐷𝜈

=3.29×1.2

1.17 ×10− 6 =3 ′ 374,359

Se calcula k con la ecuación (2.8):

𝑘=3.7×1.2(10− 1

2√0.0178 −2.51

3374359√0.0178 )k = 0.77