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TEMA 2 F. MATEMATICOS.

TEMA 2

Continuidad y diferenciabilidad de funciones reales de variablereal.

1. Repaso de las funciones elementales

En cualquier tarea cientıfica, la necesidad de trabajar con distintas cantidades y porcentajesde sustancias, medidas de temperatura, etc, y relacionarlas entre sı por leyes (fısicas, quımicas,...) exige el uso de funciones, en general de varias variables. Comenzamos recordando aquı al-gunos de los conceptos basicos sobre funciones reales de variable real.

Definicion 1 (Funcion real de variable real) Definimos funcion real de variable reala una aplicacion de un subconjunto D de R que hace corresponder a cada numero real x ∈ Dotro numero real unico; lo expresamos de la siguiente forma:

f : D ⊆ R −→ R

x −→ f(x) = y

A x se le llama variable independiente, a f(x) a y variable dependiente o imageny al conjunto D se le llama dominio de definicion o campo de existencia.

1.1. Dominio y rango de funciones

Llamamos dominio de una funcion f , D(f), al conjunto de valores x de R para los quetiene sentido evaluar f(x).

Los casos mas simples son:

D(√

x) = {x ≥ 0} = R+, D(log x) = {x > 0}, D

(1

f(x)

)= {x ∈ D(f) | f(x) 6= 0}.

Dadas dos funciones con el mismo dominio f, g : D ⊂ R → R, se definen las siguientesfunciones (observa que determinadas operaciones requieren condiciones adicionales, que nosobligan a modificar el dominio para que todo tenga sentido):

Funcion suma f + g : D ⊂ R→ R : x 7→ [f + g](x) = f(x) + g(x).

Funcion diferencia f − g : D ⊂ R→ R : x 7→ [f − g](x) = f(x)− g(x).

Funcion producto fg : D ⊂ R→ R : x 7→ [fg](x) = f(x)g(x).

Funcion cociente f/g : {x ∈ D | g(x) 6= 0} ⊂ R→ R : x 7→ [f/g](x) = f(x)/g(x).

Funcion compuesta f ◦ g : {x ∈ D | g(x) ∈ D} ⊂ R→ R : x 7→ [f ◦ g](x) = f(g(x)).

I.T.I. MECANICA Curso 2006/07 1 FUNDAMENTOS MATEMATICOS

TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.2 Simetrıas entre funciones

Ejemplo 2 Calcular el dominio de la siguiente funcion y =√

x2−42x+3

Como es una raız cuadrada, el radicando tendra que ser no negativo; ademas por ser elradicando un cociente, el denominador del mismo tiene que ser distinto de cero, por tanto:

x2 − 42x + 3

≥ 0, 2x + 3 6= 0 =⇒ D =[−2,−3

2

)∪ [2, +∞)

Definicion 3 (Recorrido) Se define el recorrido de una funcion como el conjunto for-mado por las imagenes de los elementos del dominio. Es decir:

Im(f) = { f(x) / x ∈ Dom(f) }.

Ejemplo 4 Calcular el rango o recorrido de y = x2.

En este caso el dominio es todo R, y los valores que toma y cuando colocamos en vez de xun numero real son todos los positivos y el cero.

Definicion 5 (Grafo) Sea f : D ⊆ R → R, llamamos grafo de f y lo representamos porGf al siguiente conjunto:

Gf = { (x, y) ∈ R× R / x ∈ D, y = f(x) } .

A la representacion del grafo en el plano se le denomina grafica de la funcion.

1.2. Simetrıas entre funciones

Las propiedades de simetrıa permiten hacer representaciones de funciones con menos traba-jo, esto es, basta conocer algunos tipos de funciones o algunas partes de la representacion paraobtener otras cuantas parecidas o para finalizar la grafica de una funcion dada.

Decimos que una funcion f : D ⊂ R → R es simetrica par si f(x) = f(−x) ∀x ∈D, −x ∈ D. Ası, la grafica de una funcion simetrica par es reflejada por un espejo: el ejevertical OY, tambien llamado eje de ordenadas.

Ejemplo 6 Todo polinomio en el que solo aparezcan terminos con potencias pares (y = p(x) =a2nx2n + a2n−2x

2n−2 + . . . + a2x2 + a0) es obviamente par.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.2 Simetrıas entre funciones

-

6

x

y

La parabola y = x2

La funcion valor absoluto,

|x| = abs(x) ={

x si x ≥ 0,−x si x < 0,

es otro caso particular de funcion simetrica par. Representala.

Si la funcion verifica que f(x) = −f(−x), entonces se dice que f es simetrica impar, essimetrica respecto al origen de coordenadas.

Ejemplo 7 Sea y = x3. Trivialmente se tiene que (−x)3 = −x3.

-

6

x

y

Una funcion cubica: y = x3

Otros ejemplos de la misma simetrıa apareceran cuando recordemos las funciones trigonometri-cas (la funcion seno es impar, mientras que la funcion coseno es par, y la funcion tangente, alser el cociente de la primera entre la segunda es impar tambien).

Definicion 8 (Funcion periodica) Sea f : D ⊆ R → R y T ∈ R+, f es una funcionperiodica si se verifica:

f(x + T ) = f(x) ∀x ∈ D.

Al mınimo valor de T que verifica dicha relacion se le llama perıodo.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.3 Polinomios

Definicion 9 (Funcion inversa) Una funcion g decimos que es inversa o recıprocade la funcion f en D si,

f ◦ g = g ◦ f = i,

siendo i la funcion identidad, definida como i(x) = x, ∀x ∈ D.

A dicha funcion g, cuya existencia no siempre es posible, la denotaremos desde ahora porf−1, sin que deba entenderse esto como una potencia negativa.

Ejemplo 10 Las funciones Lnx y ex son inversas si x > 0.

Teorema 11 (Propiedad reflexiva de las inversas) Los grafos de dos funciones inversasson simetricos respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Ejemplo 12 Las funciones y = x2 e y =√

x, planteadas ambas en el dominio R+, son in-versa una de la otra. Su representacion en el primer cuadrante pone de manifiesto la simetrıamencionada. Observese que en este caso las graficas se cortan en el punto (1, 1).

-¡¡

¡¡

¡¡

¡¡

¡¡¡µ

6

x

y

y = xy = x2

y =√

x

Simetrıa respecto la bisectriz

1.3. Polinomios

Las funciones mas faciles de definir, de evaluar en puntos concretos (y de derivar e integrar,esto se vera en los proximos temas) son los polinomios, es decir, cualquier expresion de la forma

p(x) = anxn + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0,

donde n es un numero natural y los coeficientes an, an−1, . . . , a1, a0 son numeros reales. Decimosque el polinomio es de grado n cuando es el mayor natural con coeficiente an 6= 0. Por supuesto,el dominio de definicion de un polinomio es todo R.

Recordemos que los polinomios de grado 1 son las rectas del plano, y que los polinomios degrado 2 son parabolas. Para ver su representacion y ecuaciones, veamos los anexos del tema (alfinal).


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.3 Polinomios

El comportamiento de y para |x| suficientemente grande (si va a ∞ o a −∞) dependeexclusivamente del signo del coeficiente del termino de mayor grado.

Vemos ası que de modo natural nos ha surgido el problema de definir lo que entendemospor “lımites”, ya que la representacion global de cualquier funcion exige conocer esos valores.Lo analizaremos en la proxima seccion, antes hacemos un breve recordatorio sobre la division yfactorizacion de polinomios.

Divisiones entre polinomios

Aparecera de modo natural a veces el cociente entre polinomios. Recuerda que se puede hacerdicho calculo como una division ordinaria con divisor de varias cifras. Sin embargo, hay uncaso particularmente sencillo, posible de calcular de otra forma, el caso en que el denominadores un monomio de primer grado: la Regla de Ruffini. Toma los coeficientes del polinomio delnumerador y el opuesto (cambio de signo) del coeficiente de grado cero del denominador y operacomo en el ejemplo (baja el primer coeficiente, multiplica, pon el resultado arriba y suma):

Ejemplo 13 Queremos calcular el cocientex3 − 3x2 − 7x− 8

x− 5

1 -3 -7 -8

5 5 10 151 2 3 7

Observa los numeros obtenidos a traves de la operacion anterior. Salvo el ultimo (recuadra-do), que es el resto, los demas, denotan los coeficientes de un polinomio un grado menor, o sea,2:

Esto nos dice que

x3 − 3x2 − 7x− 8x− 5

= (x− 5)(x2 + 2x + 3) + 7

(compruebalo desarrollando la expresion de la derecha). Dicho de otro modo, si evaluamos p(5),siendo p(x) = x3 − 3x2 − 7x− 8, obtenemos p(5) = 7.

El caso interesante se produce cuando el resto es cero (en lugar de 7), eso dice que cierto numero(en este caso habrıa sido 5) es un cero o raız del polinomio y, por tanto, que este puedefactorizarse como (x− 5) por otro polinomio de un grado menos.

Ejemplo 14 Sea q(x) = x4 + x3 − 7x2 + 4. Puedes comprobar que q(2) = 0, eso indica queq(x) = (x− 2)r(x) con r(x) otro polinomio de grado 3. Para hallarlo desarrollamos por Ruffini(ojo, hay que poner los coeficientes de todos los monomios, incluidos 0 por aquellos que noaparecen):

1 1 -7 0 4

2 2 6 -2 -41 3 -1 -2 0


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.4 Lımites

Comprueba, desarrollando el producto, que se tiene la siguiente igualdad:

x4 + x3 − 7x2 + 4 = (x− 2)(x3 + 3x2 − x− 2).

1.4. Lımites

La nocion rigurosa (matematica) de lımite representa la idea intuitiva que tenemos de acer-camiento. Tenemos una funcion f : D ⊂ R→ R, cabe preguntarse por el lımite de f(x) cuandox ∈ D se acerca a un valor a.

Definicion 15 Decimos que lımx→a

f(x) = l si

∀ε > 0, ∃δ(ε) > 0 tal que 0 < |x− a| < δ implica |f(x)− l| ≤ ε.

Observese que no pedimos que a sea un punto del dominio de D, ni por tanto que x llegue atomar dicho valor. Lo que se describe matematicamente es que si exijo acercarme mucho conf(x) al valor l basta para ello acercarme suficientemente con x al valor a.

Recordemos que graficamente esto significa que dentro del rectangulo comprendido entre lasrectas y = l±ε y x = a±δ estan todos los puntos de la grafica de f(x) cuando x ∈ (a−δ, a+δ),salvo quizas el (a, f(a)), segun se observa en la figura[1].

-

6

◦

0 X

Y

x0 − δ a + δa

l − ε

l + ε

l

Figura 1: Lımite de una funcion en un punto

Teorema 16 (Unicidad del lımite de una funcion en un punto) El lımite de una fun-cion en un punto, si existe, es unico.

En realidad, en la definicion de lımite aparece un valor absoluto, esto simplemente representa quenos podemos acercar por los dos lados, izquierda y derecha. Dicho de otro modo: la existenciade un lımite (cuando x tiene a un valor finito) es el resultado de dos lımites laterales, queexistan los lımites cuando solo nos acercamos por la izquierda y cuando solo nos acercamos porla derecha, y que ademas dichos lımites coincidan.

Definicion 17 Se dice que existe el lımite por la derecha (observa la notacion) lımx→a+

f(x) = l

si para todo ε > 0 existe un valor δ(ε) > 0 tal que si 0 < x − a < δ entonces se satisface que


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.4 Lımites

|f(x)− l| ≤ ε.

Analogamente, se dice que existe el lımite por la izquierda lımx→a−

f(x) = l si para todo ε > 0

existe un valor δ(ε) > 0 tal que si 0 < a− x < δ entonces se satisface que |f(x)− l| ≤ ε.

Observa que aunque los lımites laterales existan, no siempre tienen porque coincidir:

Ejemplo 18 Sea la funcion f : R\{0} → R definida como f(x) = |x|x . Es facil ver, con la

definicion de la funcion valor absoluto que

lımx→0+

f(x) = 1, lımx→0−

f(x) = −1.

Propiedades de los lımites

Proposicion 19 Sean f, g, h : D ⊆ R→ R

1. Si f tiene lımite en x0, entonces f esta acotada en algun entorno de x0.

2. Si a ≤ f(x) ≤ b, ∀x ∈ (x0 − r, x0 + r) − {x0}, y existe el lımite de f en x0, entoncesse verifica:

a ≤ lımx→x0

f(x) ≤ b

3. Si existen lımx→x0

f(x) = lımx→x0

g(x) = l y ademas se cumple f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), entonces

lımx→x0

h(x) = l.

4. Si existe lımx→x0

f(x), entonces se verifica:

lımx→x0

| f(x) | =∣∣∣∣ lımx→x0

f(x)∣∣∣∣

Haciendo un analisis exhaustivo, debemos definir varios lımites mas: en los casos en que ellımite diverja (es decir, valga infinito), o bien, cuando el lımite se toma haciendo tender x ainfinito. Ambas nociones tienen que ver con que los valores, bien de f(x) o de x se van haciendocada vez mayores.

Definicion 20 Decimos que lımx→a

f(x) = ∞ si para todo valor M > 0 por grande que sea, existe

un valor δ(M) > 0 tal que si |x− a| < δ, entonces f(x) > M .

Por supuesto, con poco esfuerzo podemos precisar lo que significa que lımx→a

f(x) = −∞, estosera que

∀M > 0, ∃δ(M) > 0, | 0 < |x− a| < δ, ⇒ f(x) < −M.

En todo los casos decimos que la recta x = a es una asıntota vertical de la funcion.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.5 Continuidad

Ademas, se dice que lımx→∞ f(x) = l si para todo ε > 0 existe un valor M(ε) > 0 tal que para

todos los elementos x ≥ M(ε), se tiene que |f(x)− l| ≤ ε. La extension de la definicion para loscasos lım

x→−∞ f(x) = l (La recta y = l se llama asıntota horizontal) y lımx→±∞ f(x) = ±∞ son

obvias a partir de las anteriores.

En este ultimo caso, si m = lımx→±∞

f(x)x

6= 0, la funcion tiene asıntota oblicua, de

ecuaciony = mx + n con n = lım

x→±∞ [f(x)−mx].

Ejemplos 21 Calcular los siguientes lımites:

1. lımx→1+

ln(x− 1)x

lımx→1+

ln(x− 1)x

= lımε→0+

ln ε

1 + ε= −∞

2. lımx→+∞ e1−x

lımx→+∞ e1−x = lım

x→+∞1

ex−1= 0.

Proposicion 22 (Algebra de lımites) Dadas dos funciones f, g : D ⊂ R→ R, si existen loslımites lım

x→af(x) = p y lım

x→ag(x) = q, entonces se verifica que

lımx→a

(f(x) + g(x)) = lımx→a

f(x) + lımx→a

g(x) = p + q,

lımx→a

(f(x)g(x)

)= lım

x→af(x)

lımx→a

g(x)= pq,

Si lımx→a

g(x) = q 6= 0, entonces lımx→a

f(x)g(x)

=lımx→a

f(x)

lımx→a

g(x)= p/q.

Si existe el lımx→q

f(x), entonces lımx→a

f(g(x)) = lımx→q

f(x).

No obstante, hay casos en los que el lımite no se puede calcular, dando lugar a indetermina-ciones: ∞±∞, 0 · ∞, 0

0 , ∞∞ , 1∞, 00 y ∞0.

1.5. Continuidad

Definicion 23 f : D ⊂ R→ R se dice continua en a ∈ D si el lımite lımx→a

f(x) existe y coincide

con el valor f(a). Se dice que f es continua si lo es en todos los puntos de su dominio.

Proposicion 24 Algebra de funciones continuas. Si f, g : D ⊂ R → R son funcionescontinuas, entonces las funciones suma, diferencia, producto, cociente, y composicion (dondetengan sentido) tambien lo son.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.6 Indeterminaciones, calculo de lımites y discontinuidades

Las funciones que son continuas tienen buenas propiedades. Enunciamos algunas de ellas:

Teorema 25 Sea f : D → R una funcion continua, con D = [a, b] ⊂ R un intervalo cerrado.Entonces se satisfacen las siguientes propiedades:

(Bolzano) Si f(a) y f(b) tienen distinto signo, existe un valor c ∈ [a, b] tal que f(c) = 0.

-

6

(a, f(a))

(b, f(b))

• • •c1 c2 c3

Teorema de Bolzano.

(Valor intermedio) f toma todos los valores entre f(a) y f(b) al menos una vez en D.

(Acotacion) f esta acotada, es decir, existe un valor C > 0 tal que |f(x)| ≤ C para todox ∈ D.

(Weierstrass o Maximo y mınimo) Existen dos valores, M y m que son maximo y mınimode f en D, y son alcanzados por f , es decir, existen xM , xm ∈ D tales que f(xM ) = M yf(xm) = m.

(Heine-Borel) f es uniformemente continua sobre D, es decir, dado ε > 0, existe un valorδ(ε) > 0 tal que si |x− x′| ≤ δ, entonces |f(x)− f(x′)| ≤ ε.

En particular, una funcion continua definida sobre un intervalo cerrado alcanza todos los valoresentre su maximo y su mınimo.

Ejemplo 26 Demostrar que la ecuacion x3 − 3x + 1 = 0 tiene al menos una raız real en elintervalo [1, 2].

Consideremos la funcion f(x) = x3− 3x + 1. Como f(1) = −1, f(2) = 3 y es continua en[1,2], por el teorema de Bolzano podemos afirmar que la funcion f(x) = 0 para algun c ∈ (1, 2) .En consecuencia la ecuacion anterior tiene al menos una raız en el intervalo [1, 2].

1.6. Indeterminaciones, calculo de lımites y discontinuidades

A veces ocurre que para el calculo de lımites no basta con la mera sustitucion, tendremosindeterminaciones1

Veremos metodos generales para el calculo de lımites. La regla de L’Hopital, que tambien esmuy util, la veremos al estudiar la derivabilidad, y tiene el inconveniente de que solo sirve parafunciones derivables.

1Esto es: no hay ningun resultado unico valido para resolver dicho lımite, cada caso debe tratarse particular-mente


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.6 Indeterminaciones, calculo de lımites y discontinuidades

1. Lımites de funciones racionales. Indeterminaciones del tipo ∞∞

Para calcular lımx→∞

P (x)Q(x)

, con P (x), Q(x) funciones polinomicas, dividimos en el nu-

merador y denominador de la fraccion por xn, con n = max{gr P(x), gr Q(x)}.

Ejemplos 27 a) lımx→∞

2x2 + x

3x2 + 1= lım

x→∞2 + 1

x

3 + 1x2

=23.

De este ejemplo deducimos que si gr P (x) =gr Q(x) ⇒ lımx→∞

P (x)Q(x)

=an

bn.

b) lımx→∞

x

x3 + x + 1= lım

x→∞

1x2

1 + 1x2 + 1

x3

= 0

De este ejemplo deducimos que si gr P (x) <gr Q(x) ⇒ lımx→∞

P (x)Q(x)

= 0.

c) lımx→∞

x2

x + 1= lım

x→∞1

1x + 1

x2

=10

= ∞.

De este ejemplo deducimos que si gr P (x) >gr Q(x) ⇒ lımx→∞

P (x)Q(x)

= ∞.

Lımite de una diferencia. Indeterminaciones del tipo ∞−∞.

Si tenemos que calcular lımx→x0

[f(x)−g(x)] = ∞−∞, procedemos a descomponer f(x)−g(x).

Ejemplos 28 a) lımx→+∞(2x − 3x) = lım

x→+∞ 3x[(23)x − 1] = −∞.

Una posible descomposicion es expresar f(x) − g(x) como f(x)[1 − g(x)f(x) ] si f(x) es la

funcion mayor.

b) lımx→+∞(x − √

x) se puede hacer como antes, pero hay otro procedimiento general que

se aplica con raıces cuadradas f(x)−√

g(x), es multiplicar y dividir por el conjugadof(x) +

√g(x).

lımx→+∞(x−√x) = lım

x→+∞x2 − x

x +√

x= (

∞∞) = lım

x→+∞1− 1

x1x + 1

x32

=10

= +∞, porque x−√x >

0 si x > 0.

Lımites de funciones racionales. Indeterminaciones del tipo 00 . El caso de cocientes

polinomicos de nuevo permite resolver facilmente el caso de indeterminacion del tipo 00 ,

ya que el valor lımite al que tiene x es un cero de ambos polinomios, y por tanto un factorque se puede simplificar en la expresion original:

lımx→2

x2 − 4x− 2

= lımx→2

(x + 2) = 4.

Lımites de potencias. Indeterminaciones del tipo 1∞.

El lımite de una potencia se calcula como el lımite de la base elevado al lımite del ex-ponente. Para resolver las indeterminaciones del tipo 1∞, hacemos uso del numero e,

que recordemos que es lımx→∞(1 +

1x

)x = e, y por tanto de forma analoga usaremos que

lımx→∞(1 +

1f(x)

)f(x) = e con lımx→∞ f(x) = ∞.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.7 Funciones exponenciales y logarıtmicas

Ejemplo 29 Calcular lımx→0

(1+senx)1x = (1∞) = lım

x→0(1+

11

senx

)1x = lım

x→0[(1+

11

senx

)1

senx ]senx

x =

elımx→0senx

x = e1 = e

Discontinuidades

Negando las distintas opciones que intervienen en la nocion de continuidad, es posibleanalizar todos los casos en los que tendremos discontinuidades.

Caso 1: Existe el lımite, pero no coincide con el valor que la funcion tiene asignado en esepunto. Por ejemplo, si definimos

f(x) ={

x + 1 si x ∈ R\{0},2 si x = 0.

Claramente existe el lımite en cero, lımx→0

f(x) = 1, pero no coincide con el valor asignado. Porrazones obvias a esta posibilidad la llamaremos discontinuidad evitable.

Caso 2: Existen los lımites laterales, y son finitos, pero no iguales:

f(x) =

+1 si x > 0,0 si x = 0,−1 si x < 0.

Esta posibilidad se llamara discontinuidad inevitable de salto finito.

Caso 3: Existen los lımites laterales, pero alguno de ellos (o ambos) valen infinito. Eso leocurre a la funcion f(x) = 1/x definida en R\{0}. Esta posibilidad se llamara discontinuidadinevitable de salto infinito.

Caso 4: No existe el lımite, sin ser el caso 2 o 3. Cuando veamos la representacion de lasfunciones trigonometricas, podremos comprobar que ese es el caso de lım

x→0sen(1/x). Esta ultima

opcion se llamara discontinuidad por oscilacion.

Ejercicio: Averigua el valor de c para que la siguiente funcion sea continua:

f(x) =

x3 − x2 − 11x− 4x2 − 16

si x 6= 4,

c si x = 4.

Sol. c = 29/8.

1.7. Funciones exponenciales y logarıtmicas

Seguimos introduciendo algunas funciones elementales. Para ello, recordamos brevementealgunas propiedades de las potencias (sea a > 0 una constante, y m, n ∈ R):

aman = am+n, (am)n = amn, a0 = 1.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.7 Funciones exponenciales y logarıtmicas

Por tanto, y dado que por definicion

y = loga(x) si y solo si ay = x,

se tienen las siguientes propiedades basicas de los logaritmos2:

log(AB) = log A + log B,

log(Am) = m log A,

log 1 = 0.

Considerense una funcion potencial y = ax y su inversa respecto de la composicion, la fun-cion logarıtmica en base a, y = loga(x). Teniendo en cuenta la simetrıa respecto de la bisectrizde los cuadrantes 1 y 3 (la funcion y = x), de funciones inversas respecto de la composicion,las representaciones graficas de ambos tipos de funciones resultaran muy faciles.

Comenzamos suponiendo que a > 1. Ası,

lımx→∞ ax = ∞, lım

x→−∞ ax = 0.

La representacion de la funcion y = ax es:

-x

6y

1•

a > 1

y = ax

Mientras que por simetrıa par entre esa funcion, y la que tiene por base el inverso a−1, obten-drıamos la siguiente grafica:

2Por comodidad en la notacion, no explicitamos la base, puede ser cualquiera en general; normalmente, se usala notacion ln x para logaritmo en base e (logaritmo neperiano), log x para logaritmo en base 10, y loga x si sedesea usar otra base a.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.8 Funciones trigonometricas

-x

6y

1•

0 < a < 1

y = ax

Utilizando el hecho de la simetrıa respecto de la diagonal y = x, las graficas de las funcioneslogarıtmicas con base a mayor que 1, son de la forma:

-x

6y

1•a > 1

y = loga x

La representacion de y = loga x siendo 0 < a < 1 no es difıcil ahora.

1.8. Funciones trigonometricas

Daremos las caracterısticas basicas que nos ayuden a “intuir” sus representaciones.Si x /∈ [0, 2π], el seno y el coseno se definen de modo que:

{senx = sen(x + 2nπ)cosx = cos(x + 2nπ)

con n ∈ Z, x ∈ [0, 2π]. En el primer cuadrante seno y coseno se

definen de la siguiente forma, y de forma analoga cuando esta en otro cuadrante ( x ∈ [0, 2π]) :


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 1.8 Funciones trigonometricas

Las restantes razones trigonometricas se definen:

tgx =senx

cosx; ctgx =

1tgx

; cosecx =1

senx; secx =

1cosx

.

Las funciones seno y coseno son periodicas de periodo 2π, y la tangente y cotangente son periodi-cas de periodo π.

La propiedad fundamental de la trigonometrıa (o teorema de Pitagoras) nos dice que: sen2x+cos2x = 1, por lo que senx, cosx ∈ [−1, 1].

Las graficas de las funciones circulares elementales son:

Enumeramos las relaciones trigonometricas que nos seran de gran utilidad en siguientestemas :

1. 1 + tg2x = 1cos2x

; 1 + ctg2x = 1sen2x



2. sen2x = 2senx · cosx; cos2x = cos2x− sen2x

3. senx2 =

√1−cosx

2 ; cosx2 =

√1+cosx

2

4. sen(x + y) = senx · cosy + cosx · seny

cos(x + y) = cosx · cosy − senx · seny

5. senx + seny = 2sen(x+y2 ) · cos(x−y

2 )

senx− seny = 2cos(x+y2 ) · sen(x−y

2 )

cosx + cosy = 2cos(x+y2 ) · cos(x−y

2 )

cosx− cosy = −2sen(x+y2 ) · sen(x−y

2 )

La funcion tangente es una funcion impar y es periodica tambien, pero de periodo π.

x-

6y

y = tanx

π/2 π 3π/2 2π

2. Funciones derivables. Aplicaciones

Con la creacion de la geometrıa analıtica por Rene Descartes (1596-1650) y Pierre Fermat(1601-1665), muchos de los problemas geometricos se volvieron a plantear en terminos de expre-siones algebraicas y se determinaron nuevas clases de curvas empleando ecuaciones algebraicasen vez de condiciones geometricas. El concepto de derivada evoluciono en este nuevo contextoal intentar resolver dos problemas que en un principio no parecıan guardar relacion alguna.Uno era el problema clasico de determinar la recta tangente a una curva en un punto dado.El otro era el problema de encontrar los valores maximos y mınimos de una funcion. En estecapıtulo vamos a tratar el problema de la diferenciacion y como consecuencia de el los problemasanteriormente citados.



Derivada de una funcion en un punto. Relacion con la continuidad

Definicion 30 Sean I = (a, b) un intervalo abierto, f : I ⊆ R→ R una funcion real de variablereal y x0 ∈ I. Decimos que f es derivable en x0 si existe y es finito el siguiente lımite

lımx→x0

f(x)− f(x0)x− x0︸︷︷︸

Cociente incremental

. (1)

Al valor del lımite se le llama derivada de f en x0 y se denota por f ′(x0). Cuando existe, de launicidad del lımite se deduce la unicidad de la derivada de una funcion en un punto.

Diremos que f es derivable en I si existe f ′(x0) para cualquier x0 ∈ I.

Considerando x−x0 = h en la definicion anterior, obtenemos la siguiente expresion (equivalente)para la derivada de f en x0:

f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h)− f(x0)h

. (2)

Durante el desarrollo del tema utilizaremos indistintamente las expresiones (1) y (2) segunconvenga en cada caso.

Para que exista el lımite (1) es necesario que existan los lımites laterales por la derecha ypor la izquierda de x0 y que sus valores coincidan. Esto nos conduce a definir las derivadaslaterales de f por la derecha y por la izquierda de x0 como

f ′(x+0 ) = lım

x→x+0

f(x)− f(x0)x− x0

, f ′(x−0 ) = lımx→x−0

f(x)− f(x0)x− x0

.

La funcion es derivable en x0 cuando las derivadas laterales anteriores existen y coinciden.Si existen y no coinciden, la funcion no es derivable en x0; en este caso a x0 se le denominapunto anguloso de f . Si alguno de los lımites laterales no existe, la funcion no es derivableen dicho punto.

Ejemplo 31 Sea f(x) = |x|. Hallar, utilizando la definicion, las derivadas laterales en x0 = 0.

lımx→0+

f(x)− f(0)x− 0

= lımx→0+

x− 0x

= 1; lımx→0−

f(x)− f(0)x− 0

= lımx→0−

−x− 0x

= −1.

Como los lımites anteriores existen y son finitos, podemos afirmar que existen las derivadaslaterales y f ′(0+) = 1, f ′(0−) = −1. Sin embargo, las derivadas laterales no coinciden, por loque la funcion valor absoluto no es derivable en el 0 (punto anguloso), donde tiene un pico.



Ejercicio: Hallar, utilizando la definicion, las derivadas laterales de la siguiente funcion enx0 = 0

g(x) ={

xsen 1x si x ∈ R\{0},

0 si x = 0.

Se puede comprobar facilmente que las funciones f y g de los ejemplos anteriores son con-tinuas en x = 0 y sin embargo no son derivables en dicho punto. No obstante, sı ocurre locontrario, la derivabilidad asegura la continuidad (es una condicion mas fuerte):

Teorema 32 Sea f : I ⊆ R→ R una funcion real de variable real derivable en x0 ∈ I, entoncesf es continua x0.

Demostracion

Escribimos f(x)− f(x0) =f(x)− f(x0)

x− x0(x− x0). Tomando lımite en ambos miembros cuan-

do x tiende a x0 y utilizando el algebra de lımites obtenemos

lımx→x0

[f(x)− f(x0)] = lımx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

(x− x0)

= lımx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

lımx→x0

(x− x0)

= f ′(x0) · 0 = 0.

Por tanto, lımx→x0 f(x) = f(x0), esto es, la funcion es continua en x0.

Interpretaciones fısica y geometrica de la derivada

• La derivada nos proporciona un instrumento para el calculo de velocidades. Supongamosque y = s(t) nos da el camino recorrido por un movil en lınea recta a lo largo del tiempo. Lavelocidad media entre los instantes t y t0 se define de manera natural como vm = s(t)−s(t0)

t−t0.

Para calcular la velocidad en el instante t0, considero vm cuando t se aproxima a t0 tanto comoqueramos, esto es,

vt0 = lımt→t0

s(t)− s(t0)t− t0

= s′(t0).

La derivada de una funcion en un punto resuelve el problema que planteabamos en la intro-duccion, pues f ′(x0) es el valor de la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcionen el punto (x0, f(x0)).

Consideremos la figura [2]. Sea x1 ∈ E(x0), tomemos xi ∈ (x0, xi−1), i = 2, 3, . . . se

tienef(xi)− f(x0)

xi − x0= tg αi, i = 1, 2, . . . Observamos que las rectas P1P0, P2P0, · · · , siendo



Pi(xi, f(xi)) tienden a la recta tangente t, luego

f ′(x0) = lımx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= lımn→∞

f(xn)− f(x0)xn − x0

= lımn→∞ tg αn = tg α.

Es decir, la derivada de una funcion en un punto es la pendiente de la recta tangente a la

-

6

P0

P1P2t

x2

´´

´´

´´

´

¡¡

¡¡

¡

¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢¢¢¢

¢¢¢¢

¢¢

f(x1)− f(x0)

x1 − x0

x0 x1

α α1

X

Y

0

Figura 2: Interpretacion geometrica de la derivada

grafica de dicha funcion en el punto. La ecuacion de la recta tangente t sera, entonces:

t(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0).

Si f es continua en x0 y

lımx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= ±∞,

la funcion no es derivable aunque sı tiene tangente vertical en x0.

Funcion derivada. Calculo de funciones derivadas

Si una funcion es derivable en un intervalo I = (a, b), podemos definir a partir de ella unanueva funcion, la que a cada x0 ∈ I le asocia el valor f ′(x0).

Definicion 33 Sea f : I ⊂ R → R una funcion derivable en I. La funcion derivada de f

en I, f ′, denotado tambien df

dxo Df , se define como

f ′ : I ⊂ R −→ R

x −→ f ′(x).

A partir de la definicion y usando propiedades basicas del algebra de lımites, se puedendemostrar las siguientes propiedades generales de derivacion

Proposicion 34 Sean f, g : I ⊂ R→ R funciones derivables en I. Se verifica:



1. Linealidad de la derivacion. Si k ∈ R, entonces

(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x),

(kf(x))′ = kf ′(x).

2. Derivada del producto (f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

3. Derivada del cociente (siempre que estemos en un entorno donde g no se anule)(

f(x)g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)(g(x))2

.

4. Derivada de una funcion compuesta. Regla de la cadena. Consideramos la com-posicion de las funciones f y g (cuando tenga sentido)

f g

g ◦ f : I ⊆ R −→ f(I) ⊆ R −→ R

x −→ f(x) −→ g(f(x)) = (g ◦ f)(x).

Si f es derivable en x0 ∈ I y g es derivable en f(x0), entonces la funcion composicion(f ◦ g) es derivable en x0 y ademas

(f ◦ g)′(x0) = g′(f(x0))f ′(x0).

5. Derivada de la funcion inversa. Si f es continua en I y con derivada no nula enx0 ∈ I, entonces la funcion inversa (si existe)

f−1 : f(I) ⊆ R −→ Ry −→ f−1(y)

es derivable en y0 = f(x0) y se verifica

(f−1)′(y0) =1

f ′ (f−1(y0))=

1f ′(x0)

.

Utilizando las propiedades anteriores y la propia definicion de la derivacion podemos hallarreglas utiles para calcular derivadas.

• Derivada de las funciones elementales



POTENCIA (xn)′ = nxn−1 (f(x)n)′ = nf(x)n−1f ′(x)

TRIGONOMETRICAS

(senf(x))′ = f ′(x) cos f(x)

(cos f(x))′ = −f ′(x) senf(x)

(tan f(x))′ =[1 + (tan f(x))2

]f ′(x)

EXPONENCIALES

(ef(x)

)′= ef(x)f ′(x)

(af(x)

)′= (ln a)af(x)f ′(x)

LOGARITMICAS

(ln f(x))′ =1

f(x)f ′(x)

(loga f(x))′ =1

ln a

1f(x)

f ′(x)

INVERSAS TRIGONOMETRICAS

(arcsenf(x))′ =f ′(x)√

1− f(x)2

(arc cos f(x))′ =−f ′(x)√1− f(x)2

(arctan f(x))′ =f ′(x)

1 + f(x)2

• Derivacion logarıtmica. Dada la funcion y = f(x), la derivacion logarıtmica consisteen tomar logaritmos neperianos en ambos miembros de la igualdad y derivar. Este metodo seutiliza sobre todo para el calculo de la derivada de las funciones de la forma f(x) = [h(x)]g(x).Tomando logaritmos en ambos miembros resulta

ln f(x) = ln [(h(x)]g(x) = g(x) ln h(x),

donde en la ultima igualdad hemos utilizado las propiedades del logaritmo (ver Tema 0).

Derivando esta ultima expresion obtenemos

f ′(x)f(x)

= g′(x) ln h(x) + g(x)h′(x)h(x)

,

de donde se deduce la expresion de f ′(x) sin mas que despejar en la ecuacion anterior y susti-tuyendo la expresion de f(x):

f ′(x) = [h(x)]g(x)

[g′(x) lnh(x) + g(x)

h′(x)h(x)

].


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 2.1 Derivadas de orden superior. Derivacion implıcita

Nota: La idea de tomar logaritmos es util tambien en el calculo de lımites de las funcionesde la forma f(x) = [h(x)]g(x).

Ejercicio: Calcular lımx→0

xx (Indicacion: Considerar l = lımx→0

xx, tomar logaritmos en ambos

miembros y utilizar propiedades basicas de los logaritmos ası como del algebra de lımites).

2.1. Derivadas de orden superior. Derivacion implıcita

Definicion 35 Si f ′ es derivable en I, su derivada se llama derivada segunda o derivada deorden dos, y se denota por f ′′. En general, la derivada n-esima de f se denota f (n), y sedefine como la derivada de f (n−1) (si existe). Cuando existe la derivada de cualquier orden deuna funcion f en I, esta se dice que es infinitamente derivable y se escribe f ∈ C∞(I).

Dentro del calculo de derivadas n-esimas es muy util la formula de Leibnitz para calcularderivadas del producto de funciones. Podremos aplicar el siguiente teorema para el calculo de laderivada n-esima de funciones que se puedan expresar como producto de otras mas simples.

Teorema 36 (Formula de Leibnitz) Sean f y g funciones definidas de I en R, n veces deriv-ables. Entonces, el producto fg tiene derivada n-esima y se verifica

(f · g)(n) (x) = f (n)(x)g(x) +(

n1

)f (n−1)(x)g′(x) +

(n2

)f (n−2)(x)g′′(x)

+ . . . +(

nn−1

)f ′(x)g(n−1)(x) + f(x)g(n)(x)

=n∑

k=0

(nk

)f (n−k)(x)g(k)(x),

donde recordemos que el numero de combinaciones de a sobre b es(

ab

)=

a!(a− b)! b!

.

Derivacion implıcita. Hasta ahora hemos trabajado con curvas dada en forma explıcita,esto es, expresiones donde la variable dependiente y aparece despejada, y = f(x). Sin embargo,como consecuencia de la regla de la cadena podemos derivar en las expresiones de curvas dada deforma implıcita, esto es, cuando la variable y no esta despejada (y no representa necesariamenteuna funcion). Es lo que llamamos derivacion implıcita.

Ejemplo 37 Dada la circunferencia x2 + y2 = 9, hallar la ecuacion de la recta tangente en elpunto (2,

√5).

Si despejamos la incognita y de la ecuacion que define la circunferencia, nos queda y =±√9− x2. Como queremos calcular la tangente en (2,

√5), tendrıamos que elegir la rama pos-

itiva y =√

9− x2, y derivar explıcitamente.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 2.2 Aplicaciones de la derivada

En vez de despejar, y derivar, observamos que y2 es una composicion de funciones, y que sillamamos y′ = dy

dx, de la regla de la cadena se deduce

dy2

dx=

dy2

dy

dy

dx= 2yy′.

Utilizando la derivacion implıcita en la ecuacion x2 + y2 = 9 que define la circunferencia,obtenemos

2x + 2yy′ = 0;

de donde despejando se obtiene que y′ = −xy . Por tanto, y′|(2,

√5)

= − 2√5. Ası, la ecuacion de la

recta tangente buscada es y −√5 = − 2√5(x− 2).

2.2. Aplicaciones de la derivada

Recta tangente a una curva dada

(a) En forma explıcita. Dada la curva y = f(x), con f una funcion definida en unintervalo I, y x0 ∈ I tal que f es derivable en dicho punto. La recta tangente a la curva en unpunto x0 viene dada por la ecuacion

y − f(x0) = f ′(x0)(x− x0)

(ver en seccion 1,3 interpretacion geometrica de la derivada).

Ejemplo 38 Calculo de la recta tangente a f(x) = x2 y que pasa por x0 = 1.

Se tiene que f ′(x) = 2x, por tanto, f ′(1) = 2. Por otro lado, f(1) = 1, con lo que la ecuacionde la recta tangente sera y − 1 = 2(x− 1).

(b) En forma implıcita. La ecuacion de la recta tangente en este caso es la misma quela del anterior. La diferencia radica en el calculo de f ′(x0), donde hay que utilizar derivacionimplıcita, consecuencia de la regla de la cadena (ver Ejemplo 37).

(c) En forma parametrica. Supongamos una curva en el plano dada en forma parametri-ca, esto es, f(t) = (x(t), y(t)) definida en un intervalo I ⊆ R. Para t0 ∈ I, si (x′(t0), y′(t0)) 6=(0, 0), se trata de un vector de la tangente a la curva en el punto correspondiente, y la ecuacionde la recta tangente viene dada por la expresion

x− x(t0)x′(t0)

=y − y(t0)

y′(t0).

Velocidad y aceleracion instantanea.

Si y = s(t) nos da el espacio recorrido por un movil a lo largo del tiempo, la velocidadinstantanea en el momento t0 es s′(t0) = v(t0) (ver en seccion 1,3 interpretacion fısica de



la derivada). Si la curva viniera dada en forma parametrica, tendrıamos un vector velocidad−→v = (v1, v2) = (x′(t0), y′(t0)). El modulo de dicho vector ( |−→v | =√

v21 + v2

2 ) nos darıa tambienla velocidad instantanea.

La aceleracion a(t) viene dada por la derivada segunda de s(t), esto es, a(t) = s′′(t) =v′(t). Es muy frecuente encontrarse en la vida real con magnitudes que representan la tasa decrecimiento de otras ya dadas: reacciones quımicas, en el estudio del agua que penetra en suelo,radioactividad...

Teoremas fundamentales del calculo diferencial. Enunciamos algunos resultados clasicosrelativos al uso de la derivada. Serviran en este tema para localizar valores optimos de funcionesy soluciones de ecuaciones y para dar dos metodos de aproximacion de dichas soluciones: metodode la biseccion y metodo de Newton-Raphson. Ademas, estos resultados resultan imprescindiblespara la demostracion de las aplicaciones de la derivadas al estudio local de funciones.

Teorema 39 Sean a < b y f, g : [a, b] ⊆ R→ R funciones continuas y derivables en todo puntode (a, b). Se satisfacen las siguientes propiedades:

(ROLLE) Si f(a) = f(b), entonces existe al menos un punto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

(Incrementos finitos de LAGRANGE) ∃ c ∈ (a, b) tal quef(b)− f(a)

b− a= f ′(c).

(Valor medio de CAUCHY) Existe un punto c ∈ (a, b) tal que

[f(b)− f(a)]g′(c) = [g(b)− g(a)]f ′(c).

(Regla de L’HOPITAL) Sean f y g funciones derivables en un entorno del punto x0,tales que lım

x→x0

f(x) = 0 y lımx→x0

g(x) = 0. Si g′(x) 6= 0 en dicho entorno, y existe el lımite

lımx→x0

f ′(x)g′(x)

, entonces existe el lımite lımx→x0

f(x)g(x)

y coincide con el anterior. Esto es,

lımx→x0

f(x)g(x)

= lımx→x0

f ′(x)g′(x)

.

La demostracion del teorema se basa en que la derivada de una funcion se anula en un extremorelativo de dicha funcion (lo veremos posteriormente). Ası, cada apartado es consecuencia opequena generalizacion del anterior.

Notas:

1. La regla de L’Hopital tambien es valida para las indeterminaciones del tipo

lımx→x0

f(x)g(x)

=∞∞ , y lım

x→∞f(x)g(x)

=∞∞ o

00.



2. La regla de L’Hopital no siempre resuelve estas indeterminaciones, como ocurre con lımx→∞

e3x + ex

e2x − ex.

A veces, tendrıamos que aplicar varias veces L’Hopital, por ejemplo,

lımx→0

senx− tanx

x3.

En la seccion 4 veremos como aproximar localmente una funcion, con lo que tendremosuna nueva herramienta para el calculo de lımites como el anterior.

Veamos ahora algunas de las aplicaciones de la derivada al estudio local de funciones. En loque sigue, consideraremos f : I = (a, b) ⊆ R→ R una funcion real de variable real y x0 ∈ I.

Crecimiento y decrecimiento de una funcion

Recordemos que una funcion f se dice creciente (resp. estrictamente creciente) si a < bimplica f(a) ≤ f(b) (resp. (f(a) < f(b))).

Analogamente, f se dice decreciente (resp. estrictamente decreciente) si a < b implicaf(a) ≥ f(b) (resp. (f(a) > f(b))).

Podemos conocer el crecimiento y decrecimiento de una funcion por el estudio del signo desu funcion derivada:

Proposicion 40 Si f es derivable, se verifica:

1. Si f ′(x) ≥ 0 (f ′(x) > 0) ∀x ∈ I, entonces f es creciente en I (estrictamente creciente).

2. Si f ′(x) ≤ 0 (f ′(x) < 0) ∀x ∈ I, entonces f es decreciente en I (estrictamentedecreciente).

El recıproco no es cierto, es decir, pueden existir funciones estrictamente crecientes tales quesu derivada NO es estrictamente positiva, como por ejemplo le ocurre a la funcion f(x) = x3,que es estrictamente creciente, pero su derivada en el punto x0 = 0 se anula.

Extremos relativos de una funcion

Decimos que f : I = (a, b) ⊆ R→ R alcanza en x0 su

Maximo absoluto (resp. mınimo absoluto) si f(x0) ≥ f(y) (resp. f(x0) ≤ f(y)) paracualquier y ∈ I.

Maximo relativo (resp. mınimo relativo) si f(x0) ≥ f(y) (resp. f(x0) ≤ f(y)) paracualquier y en un entorno de x0.



Las funciones continuas definidas en intervalos cerrados alcanzan sus valores maximos ymınimos (ver Teorema 25 del tema ). Ahora bien, una funcion derivable es en particular unafuncion continua. Ademas, los maximos o mınimos son puntos donde la funcion pasa de sercreciente a decreciente o viceversa. Se tiene entonces el siguiente resultado:

Proposicion 41 Si existe f ′(x) y f alcanza en x un maximo o un mınimo relativo entoncesf ′(x) = 0.

Notas:

1. El hecho que f ′(x0) = 0 NO implica la existencia de maximo o mınimo local (como ocurrecon la funcion f(x) = x3 en el punto x0 = 0, donde tiene un “punto de inflexion” cuyadefinicion veremos posteriormente).

2. En los extremos del intervalo de definicion de la funcion pueden alcanzarse maximos ymınimos relativos. En estos puntos extremos, al no poder calcular los dos lımites laterales,no tiene por que existir funcion derivada, y si existe, la derivada no tiene por que valer 0.Por ejemplo, f : [0, 2] → R, f(x) = x2, que alcanza su maximo absoluto en su dominiode definicion en el punto x0 = 2 donde la derivada no se anula f ′(2) = 4 6= 0.

Al igual que estudiamos el crecimiento y decrecimiento de una funcion por el signo de suderivada, podemos dar la siguiente caracterizacion de extremo relativo mediante el signo de laderivada segunda:

Proposicion 42 Si f ′(x0) = 0, f ′′(x0) 6= 0 , se verifica:

1. Si f ′′(x) > 0 entonces f alcanza mınimo relativo en x0.

2. Si f ′′(x) < 0 entonces f alcanza maximo relativo en x0.

¿Que ocurre si f ′′(x0) = 0? Ademas de conocer los extremos relativos y el crecimiento deuna funcion, tambien es util conocer la posicion de la recta tangente a una curva con respectoa ella. Esto se utiliza en la representacion de funciones. Ademas, nos permitira responder a lapregunta anterior en la mayorıa de las funciones que manejaremos:

Concavidad y convexidad de una funcion

La posicion de la recta tangente a una curva con respecto a ella nos permite conocer la“forma”de la funcion en cada momento.



((((((((((

((((((((((

Concava Convexa

Dada f : I ⊆ R → R derivable en x0 ∈ I. Diremos que f es convexa (resp. concava) enx0 si existe un entorno de dicho punto donde la curva esta por encima (resp. debajo) de la rectatangente en x0.

Estudiando el signo de la derivada segunda de una funcion, se tiene la siguiente identificacionde zonas de concavidad y convexidad:

Proposicion 43 Si f ′′(x) es continua en un entorno de x0 se verifica:

1. Si f ′′(x0) > 0, entonces f es convexa en un entorno de x0,

2. Si f ′′(x0) < 0 entonces f es concava en un entorno de x0.

En las condiciones anteriores se dice que f tiene un punto de inflexion en x0 si el arco decurva esta a distintos lados de la recta tangente, como le ocurre a la funcion f(x) = x3 en elpunto x0 = 0.

Si existe la derivada segunda de una funcion en un punto de inflexion, esta debe anularse,ya que por la proposicion anterior, pasar de concava a convexa (o viceversa) significa un cambioen el signo de la funcion. Ası, los puntos de inflexion deben ser ceros de la derivada segunda:esto es, si x0 es un punto de inflexion, debe ser f ′′(x0) = 0.

Veamos como aplicacion de todo esto, la representacion grafica de una funcion:

Ejemplo 44 Veamos la representacion grafica de la curva: f(x) = x3

2 (x2−4).

Dominio. El dominio es R− {−2, 2}.

Continuidad. La funcion es continua en su dominio.

Corte con los ejes. La grafica corta a los ejes en el punto (0, 0).

Simetrıa. Puesto que se cumple: f(x) = −f(−x), la funcion es impar o simetrica respectodel origen.

Asıntotas.

- Verticales: Lo son las rectas x = 2 y x = −2, ya que lımx→2

f(x) = +∞ y por simetrıa

se tiene: lımx→−2

f(x) = −∞.

- Oblicuas: Si las tiene la ecuacion es y = mx + n.



m = lımx→∞

f(x)x

= lımx→∞

x2

2(x2 − 4)=

12.

n = lımx→∞ f(x)−mx = lım

x→∞x3

2(x2 − 4)− x

2= 0.

Por consiguiente la asıntota oblicua es y = 12x.

Monotonıa. Para estudiar la monotonıa calculamos primero la derivada.

f ′(x) = x4−12x2

2(x2−4)2.

f ′(x) = 0 ⇒ x = −2√

3 x = 0, x = 2√

3

(−∞, −2√

3) (−2√

3,−2) (−2, 0) (0, 2) (2, 2√

3) (2√

3, ∞)f ′(x) + − − − − +f(x) cre. decrec. decre. decrec. decre. cre.

Por tanto tiene un maximo en (−2√

3, −3√

32 ) y un mınimo en (2

√3, 3

√3

2 ).

Concavidad y convexidad. Para ello calculamos la derivada segunda.

f ′′(x) = 4 x (x2+12)(x2−4)3

.

Los posibles puntos de inflexion son aquellos en los que la derivada segunda se anula o noexiste. En este caso, la derivada segunda cambia de signo en: −2, 0 y 2, pero en 2 y -2 lafuncion no esta definida. Solo hay un punto de inflexion en x = 0.

3. Aproximacion local de funciones

Si nos preguntasen que valor numerico tiene ln 1,1, sin usar calculadora, no tendrıamos lasherramientas para precisar exactamente su valor.

Observemos la definicion de funcion derivada en un punto lımx→x0

f(x)− f(x0)x− x0

= f ′(x0). Pode-

mos escribir

f(x)− f(x0)x− x0

≈ f ′(x0), si x → x0

y despejando obtenemos f(x)︸︷︷︸no

≈x→x0

f(x0)︸︷︷︸no

+ f ′(x0)(x− x0)︸︷︷︸pol 1er

= recta tangente a f en x0.

Con esto hemos obtenido una aproximacion de f mediante su recta tangente. Esto nos dala idea de cercanıa entre una funcion y su recta tangente al menos en un entorno del punto en



que se estudia. El error cometido en la aproximacion viene dado por

E = |valor real - valor aproximado|.

Vamos a aplicar el razonamiento anterior para calcular un valor aproximado de ln 1′1:

Consideramos f(x) = lnx; nos interesa tomar x0 = 1, ya que sabemos que f(1) = ln 1 = 0.Por otro lado, como f ′(x) = 1

x , se tiene que f ′(1) = 1. Sustituyendo los datos anteriores en laformula de la recta tangente obtenemos la siguiente aproximacion

f(1′1) = ln 1′1 ≈ f(1) + f ′(1)(1′1− 1) = 0 + 1(0′1) = 0′1.

Resulta que ln 1′1 = 0′0953101..., y hemos obtenido el valor aproximado ln 1′1 ≈ 0′1. Hemoscometido un error

E = |valor real - valor aproximado| = |0′1− 0′0953101...| = 0′004689... = 10−34′689 . . .

(hemos dado una aproximacion hasta la centesima).

Existen distintos metodos para calcular valores con mejores aproximaciones como la formulade Taylor o formula de interpolacion.

Estudiaremos en esta seccion la aproximacion de funciones mediante la formula de Taylor:generaliza la aproximacion (de grado 1) que da la recta tangente. Con su ayuda, podemos aprox-imar funciones en un entorno mediante un polinomio algebraico. Sera especialmente importantela expresion del error, tambien llamado resto, pues nos dice la diferencia entre el valor real y elaproximado. Un error no se calcula de forma exacta (de serlo, ¡tendrıamos el valor exacto dela funcion!), sino que usaremos la expresion para hacer acotaciones (por cantidades pequenas)y ası tener estimaciones a priori sobre como de buena es nuestra aproximacion.

Teorema 45 (Formula de Taylor) Sean f : I ⊆ R → R derivable hasta el orden n en x0 ∈ I(n ∈ N). Entonces, para cualquier x ∈ I se verifica la siguiente igualdad denominada desarrollode Taylor de orden n en un entorno de x0

f(x) =f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +f ′′(x0)

2(x− x0)2

+ . . . +f (n−1)(x0)(n− 1)!

(x− x0)n−1 +f (n)(x0)

n!(x− x0)n +

f (n+1)(ξ)n! k

(x− ξ)n−k+1(x− x0)k

=n∑

k=0

f (k)(x0)k!

(x− x0)k

︸︷︷︸Tf,x0,n(x)

+f (n+1)(ξ)

n! k(x− ξ)n−k+1(x− x0)k

︸︷︷︸Resto

,

para todo k = 1,..., n + 1, donde ξ ∈ (x, x0) es un numero que depende de x, x0 y k.

Al polinomio Tf,x0,n(x) se la llama polinomio de Taylor. La caracterıstica de este polinomioes que tiene el mismo valor que f en x0 y en las n primeras derivadas.



La expresion del resto que hemos dado es general. Mas facil de recordar resulta la expresionpara el caso particular en que tomamos k = n + 1 :

f(x)− Tf,x0,n(x) =f (n+1)(ξ)(n + 1)!

(x− x0)n+1,

siendo ξ un punto intermedio entre x0 y x. Ası, si “controlamos” (acotamos) la derivada n +

1−esima de f en todo un intervalo que contenga a x y a x0, y si(x− x0)n+1

(n + 1)!es suficientemente

pequeno (eventualmente con n grande, y por ejemplo con |x− x0| ≤ 1), podemos afirmar que elresto es pequeno, y que la aproximacion que de f(x) da el polinomio de Taylor es buena.

Ejercicio: Calcular un valor aproximado hasta la milesima de ln 1′1.

Si el desarrollo anterior se realiza en un entorno de x0 = 0, este se denomina desarrollode McLaurin.

Dada una funcion, su desarrollo de Taylor lo realizamos hasta el orden n segun convenga encada caso, dependiendo del grado de precision con que queramos aproximar la funcion.

Las funciones que son infinitamente derivables en un punto x0 se pueden expresar por sudesarrollo de Taylor “infinito”en un intervalo que contiene al punto. Esta es la idea que definelas denominadas funciones analıticas. En general se tiene el siguiente resultado:

Teorema 46 (Desarrollo en serie de Taylor) Sean f : I ⊆ R→ R infinitamente derivable (estoes, f ∈ C∞(I)) y x0 ∈ I, entonces, para cualquier x ∈ (x0 −R, x0 + R) se verifica

f(x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)k!

(x− x0)k,

donde R se denomina radio de convergencia de la serie de Taylor y viene dada por el siguientelımite

R =

lım sup

n→∞n

√∣∣fn)(x0)∣∣

n!

−1

.

Aplicaremos el desarrollo de Taylor al calculo de lımites. Si f es una funcion tal que f(x) → 0cuando x → 0, se tienen los siguientes infinitesimos equivalentes :

senf(x) ∼ f(x) 1− cos f(x) ∼ f(x)2

2tan f(x) ∼ f(x)

log(1 + f(x)) ∼ f(x), ef(x) − 1 ∼ f(x).

Ejemplo 47 Supongamos que tenemos que calcular el siguiente lımite

lımx→0

sen x− tanx

x3.



Trabajamos un poco con la funcion del numerador para buscar los infinitesimos.

senx− tanx = sen x− senx

cosx=

senx(cosx− 1)cosx

;

Considerando los infinitesimos anteriores, tendrıamos que

senx− tanx =senx (cos x− 1)

cosx∼ −xx2

2

1− x2

2

;

Sustituyendo y operando se concluye que

lımx→0

sen x− tanx

x3= lım

x→0

−x3

2−x2

x3= lım

x→0

−12− x2

= −12.

(El calculo del lımite anterior aplicando la regla de L’Hopital se hace mas complicado).

Si conocemos los polinomios de Taylor Tf,x0,n, Tg,x0,n (o mas aun, sus desarrollos asintoticos,es decir, de cualquier orden) de dos funciones f y g, entonces se pueden obtener los de algunasfunciones definidas en terminos de f y g. Esto se debe a una consistencia natural entre el pare-cido de una funcion con su polinomio de Taylor, y el polinomio de Taylor relativo a operacionesentre funciones con respecto a dichas operaciones entre los respectivos polinomios. Aunque nolas utilizaremos expresamente en este curso, enunciamos a continuacion dichas propiedades,pues pueden ayudarnos en muchas ocasiones a simplificar los calculos.

Propiedades del polinomio de Taylor

Proposicion 48 Sean f y g funciones con derivadas hasta de orden n en el punto x0, entoncesse cumplen las siguientes propiedades::

Linealidad Si C1 y C2 son constantes, se verifica

T(C1f+C2g),x0,n = C1Tf,x0,n + C2Tg,x0,n.

Producto El polinomio de Taylor de grado n de la funcion (f ·g) en el punto x0 es el polinomioque se obtiene al suprimir en el polinomio producto (Tf,x0,n · Tg,x0,n) los terminos de gradomayor o igual que n + 1.

Cociente Si g(x0) 6= 0, entonces el polinomio de Taylor de grado n de la funcion f/g en elpunto x0 es el polinomio cociente que se obtiene al dividir los desarrollos asintoticos deTaylor de f y g en x0 hasta grado n inclusive.

Derivacion La derivada del polinomio de Taylor grado n de f es el polinomio de Taylor degrado n− 1 de f ′; es decir, se tiene que:

(Tf,x0,n)′ = Tf ′,x0,n−1.

Integracion Si F es una primitiva de f entonces el polinomio de Taylor de grado n + 1 de Fes una primitiva del polinomio de Taylor de grado n de f ; es decir, se tiene que:

∫Tf,x0,ndx = TF,x0,n+1



Proposicion 49 Sean f : I ⊂ R −→ R, con x0 ∈ I, g : f(I) −→ R con y0 = f(x0) ∈ f(I),donde f y g son funciones con derivada hasta el orden n en el punto x0 para f y en el puntoy0 para g. Entonces el polinomio de Taylor de orden n de la funcion (g ◦ f)(x) en el punto x0,es el polinomio que se obtiene al suprimir en la composicion de los desarrollos asintoticos3 deg y f, Tg,y0,∞ (Tf,x0,∞(x)) , los terminos de grado mayor o igual que n + 1.

4. Resolucion Numerica de una Ecuacion en una Variable

Son muchos los problemas en ciencia e ingenierıa que se pueden modelar matematicamentecomo una ecuacion f(x) = 0, siendo f una funcion de la variable x. Los valores de x solucionesde dicha ecuacion son llamados ceros de la funcion f o raıces de la ecuacion.

Es bien conocido que existen muchas ecuaciones de la forma f(x) = 0 que admiten unasolucion expresable en funcion de los coeficientes de la ecuacion, por ejemplo si f es un polinomiode segundo grado. Sin embargo, existen muchas otras ecuaciones que no admiten que su solucionpueda ser expresada a traves de funciones elementales. Si f(x) = senx−ex entonces la ecuacionf(x) = 0 no puede resolverse de forma analıtica. Sin embargo, por un sencillo argumento grafico,es facil comprobar que esta ecuacion tiene infinitas soluciones negativas y ninguna positiva. Estassoluciones son las abcisas de los puntos de corte entre las graficas de las funciones senx y ex.

En este tema estudiamos algunas de las tecnicas numericas que nos permiten abordar estetipo de problemas. Es importante destacar el hecho de que las tecnicas que estudiaremos sonsiempre iterativas, es decir, partiremos de una aproximacion inicial x0 de la raız x∗ de f yposteriormente construiremos una sucesion de numeros reales {xn}n∈IN que converja hacia x∗

cuando n →∞.

4.1. Metodo de la Biseccion para el calculo de raıces.

El teorema de Bolzano establecia condiciones suficientes para la existencia de al menos uncero de una funcion continua.

Teorema 50 (Teorema de Bolzano). Sea f continua en cada punto del intervalo cerrado[a, b] y supongamos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos(f(a) · f(b) < 0). Existe entonces, al menos, un c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.3Observa que en la composicion, igual que en la division, y al contrario que en la suma, la resta o el producto,los terminos de los desarrollos de Taylor de f y g responsables de las n primeras potencias en la composicion finalno son exclusivamente los n primeros de Tf y Tg.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 4.1 Metodo de la Biseccion para el calculo de raıces.

-

6

(a, f(a))

(b, f(b))

• • •c1 c2 c3

Figura 3.1: Teorema de Bolzano.

El algoritmo siguiente se basa en el teorema de Bolzano y consiste en ir estrechando demanera sistematica el intervalo en el cual una funcion continua cambia de signo. De esta formaconseguiremos obtener un intervalo arbitrariamente pequeno que contenga el cero de la funcion.El metodo de biseccion para un funcion f continua en [a0, b0] procede de la forma siguiente:

1. Si f(a0) · f(b0) < 0, entonces f tiene al menos un cero en el intervalo (a0, b0). Tomamosentonces c0 = a0+b0

2 el punto medio de dicho intervalo.

2. Se plantean entonces tres casos posibles:

• (i) Si f(c0) = 0 hemos acabado puesto que c0 es la raız buscada.

• (ii) Si f(a0) · f(c0) < 0,entonces f tiene al menos un cero en el intervalo (a0, c0).Definimos a1 = a0, b1 = c0 y tomamos c1 = a1+b1

2 el punto medio entre a1 y b1.

• (iii) En caso contrario, es decir, si f(a0) · f(c0) > 0, entonces f tiene al menos un ceroen el intervalo (c0, b0). Definimos a1 = c0, b1 = b0 y tomamos c1 = a1+b1

2 el punto medioentre a1 y b1.

Continuando de forma sistematica este proceso conseguimos una sucesion de intervalosencajados

(a0, b0) ⊃ (a1, b1) ⊃ · · · ⊃ (an, bn) ⊃ · · ·de manera que la anchura de cada uno de ellos es la mitad que la del anterior y cumpliendoque el cero de la funcion f siempre esta contenido en todos los intervalos.

Sobre la convergencia de este metodo tenemos el siguiente resultado:

Teorema 51 (Convergencia del metodo de biseccion). Sea f continua en cada punto delintervalo cerrado [a, b] y supongamos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos (f(a) · f(b) < 0).Sea {cn}n∈IN la sucesion de puntos medios de los intervalos generados por el metodo de biseccion.Entonces existe un numero x∗ ∈ (a, b) tal que f(x∗) = 0 y, ademas,

|x∗ − cn| ≤ b− a

2n+1para n = 0, 1, ...,


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 4.2 Metodo de Newton-Raphson.

en particular, la sucesion {cn}n∈IN converge al cero; esto es,

lımn→∞ cn = x∗.

Una de las virtudes del metodo de biseccion es que la formula proporciona una estimacionpredeterminada de la precision de la solucion calculada. El numero N de bisecciones sucesivasque nos garantizarıa que el punto medio cN es una aproximacion a un cero con un error menorque un valor prefijado δ es

N = E

[ln(b− a)− ln(δ)

ln(2)

]

donde E[x] denota la parte entera de un numero x.

4.2. Metodo de Newton-Raphson.

Si f(x),f ′(x) y f ′′(x) son continuas cerca de una raız x∗, esta informacion adicional sobre lanaturaleza de f(x) puede usarse para desarrollar algoritmos que produzcan sucesiones {xn}n∈IN

que converjan a x∗ mas rapidamente que en el metodo de biseccion. El metodo de Newton-Raphson es uno de los algoritmos mas utiles.

Para obtener la sucesion, partimos de un valor inicial x0 que este suficientemente cercano ax∗. El siguiente punto de la sucesion x1 se construye como la interseccion de la recta tangente ala funcion f en el punto (x0, f(x0)) con el eje de abscisas, es decir la interseccion de las rectasy = f(x0) + f ′(x0)(x − x0) y y = 0. De esta forma tenemos que x1 = x0 − f(x0)

f ′(x0) . El siguientepunto se obtiene trazando la recta tangente a f en el punto (x1, f(x1)) e intersectandola con eleje y = 0 y ası sucesivamente.

Generalizando el proceso descrito tenemos que la sucesion {xn}n∈IN esta definida por elproceso iterativo:

xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn)

.

Con la interpretacion grafica que disponemos para este metodo es facil comprobar que no siempretendremos la convergencia deseada de {xn}n∈IN a x∗ para cualquier valor inicial x0. Es muyconveniente tomar x0 lo mas proximo posible a la raız x∗. El siguiente teorema nos aclara estacuestion.

Teorema 52 (Teorema de Newton-Raphson). Seax∗ ∈ [a, b] un cero de la funcion f . Supongamos que f admite derivada hasta segundo orden,continua en [a, b] y que f ′(x∗) 6= 0. Entonces existe un δ > 0 tal que la sucesion definidapor el proceso iterativo de Newton-Raphson converge hacia x∗ para cualquier valor inicial x0 ∈[x∗ − δ, x∗ + δ].

Si x∗ es una raız simple de f(x) = 0, entonces el metodo de Newton-Raphson convergemas rapidamente que el metodo de biseccion, pues aquı en cada iteracion doblamos (aproxi-madamente) el numero de cifras decimales exactas. Para describir estos hechos de maneraprecisa, definimos a continuacion la nocion de orden de una raız y el concepto de orden deconvergencia de una sucesion, que es una medida de la velocidad de convergencia de dichasucesion.


TEMA 2 F. MATEMATICOS. 4.2 Metodo de Newton-Raphson.

Definicion 53 (Orden de una raız) Supongamos que f(x) y sus derivadas f ′(x), . . . , f (M)(x)estan definidas y son continuas en un intervalo centrado en el punto x∗. Diremos que f(x) = 0tiene una raız de orden M en x = x∗ si

f(x∗) = 0, f ′(x∗) = 0, · · · , f (M−1)(x∗) = 0 y f (M)(x∗) 6= 0.

Las raıces de orden M = 1 se suelen llamar raıces simples, mientras que si M > 1,entonces se llaman raıces multiples.

Definicion 54 (Orden de convergencia) Supongamos que {xn}n∈IN converge a x∗ y seaEn = x∗ − xn para cada n ≥ 0. Si existen dos constantes positivas A > 0 y R > 0 talesque

A = lımn→∞

|x∗ − xn+1||x∗ − xn|R

= lımn→∞

|En+1||En|R

entonces se dice que la sucesion converge a x∗ con orden de convergencia R y el numero A sellama constante asintotica del error. En particular si R = 1 la convergencia se dice lineal y siR = 2 se llama cuadratica.

En el caso del metodo de biseccion la convergencia es lineal, por el contrario el metodo deNewton-Raphson tiene un orden de convergencia cuadratico en raıces simples y lineal en raıcesmultiples.

Teorema 55 (Orden de convergencia del metodo de Newton-Raphson). Supongamosque el metodo de Newton-Raphson genera una sucesion que converge a un cero x∗ de la funcionf(x). Si x∗ es una raız simple,entonces la convergencia es cuadratica:

|En+1| ≈ |f ′′(x∗)|2|f ′(x∗)| |En|2 para n suficientemente grande.

Si x∗ es una raız multiple de orden M > 1, entonces la convergencia es lineal:

|En+1| ≈ M − 1M

|En| para n suficientemente grande.



5. Anexo I: Funciones elementales. Propiedades y graficas.

Funciones polinomicas de grado 1: rectas

Tienen como ecuacion general y = f(x) = ax+ b, donde a representa la pendiente (tangentedel angulo que forma la recta con el eje OX) y n el termino independiente (valor de la funcionen x=0). Para representarla graficamente basta conocer dos puntos de ella y unirlos con unalınea recta.

Otras ecuaciones de la recta son:

1. Ecuacion de la recta que pasa por dos puntos distintos A = (a1, a2) y B = (b1, b2):

x− a1

b1 − a1=

y − a2

b2 − a2

2. Ecuacion en forma punto-pendiente: y−a2 = m(x−a1), donde m representa la pendiente.

6. Anexo II: Conicas. Propiedades y graficas.

A) Funciones polinomicas de grado 2: parabolas

Si su ecuacion es de la forma y − y0 = a(x− x0)2, tienen como vertice el punto (x0, y0), ysus ramas van hacia arriba si a > 0, o hacia abajo si a < 0. Observamos entonces que elvertice tambien se puede calcular como el mınimo de la funcion si a > 0 o como el maximosi a < 0.



Si su ecuacion es de la forma x− x0 = a(y − y0)2, tienen como vertice el punto (x0, y0), ysus ramas van hacia la derecha si a > 0, o hacia la izquierda si a < 0.

B) Circunferencias

Son el lugar geometrico de todos los puntos del plano que distan de uno dado, denominadocentro, una distancia constante, denominada radio. Tienen por ecuacion reducida (x−x0)2+(y − y0)2 = r2, donde C = (x0, y0) es el centro y r el radio.



C) Elipses

Son el lugar geometrico de los puntos del plano que equidistan de dos puntos fijos denomi-nados focos. Su ecuacion reducida es (x−x0)2

a2 + (y−y0)2

b2= 1, donde C = (x0, y0) es el centro

de la elipse, a el semieje mayor y b el semieje menor.



Observamos que si a = b, tenemos la circunferencia de centro C = (x0, y0) y radio a = b,por lo que la circunferencia es una elipse donde el semieje mayor y menor coinciden.

7. Problemas

Dominios.

1. Determinar el dominio de definicion de las funciones que se indican:

a) f(x) =

√1− x

1 + x.

b) f(x) =x

ln x.

c) f(x) =1

ln (x2 − x)

Lımites.

2. Estudia la existencia de los siguientes lımites y calcula su valor o los valores de los lımiteslaterales correspondientes cuando existan:

a) lımx→0

e|x|x .

b) lımx→0

1−√1− x2

x2

Derivadas: interpretacion geometrica.

3. Halla los valores de las constantes a, b y c para los que las graficas de los polinomiosf(x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 − c se cortan en el punto (1, 2) con la misma pendiente.

4. Hallar los angulos bajo los que se cortan las lıneas siguientes:

a) la recta y = 4− x y la parabola y = 4− x2

2 ,

b) las curvas y = senx, y = cosx en el intervalo (0, π2 ).

Continuidad y derivabilidad. Derivadas laterales.

5. Estudia la continuidad y derivabilidad de la funcion

f(x) ={

x ln |x| si x 6= 0,0 si x = 0.

¿Tiene recta tangente en todos los puntos?.



6. Considera la siguiente funcion:

f(x) =

1 + 5x sen π2x si x < 0,

B si x = 0,

x + 1 si 0 < x ≤ 1,

3−Ax2 si x > 1.

Estudia los valores de A y B para los que f es continua en todo R. ¿Es derivable en elcero con los valores obtenidos?.

7. Estudia la continuidad y derivabilidad de

a) f(x) = x2 cos 1x si x 6= 0, f(0) = 0. b) f(x) = |x2 − 1|+ 2|x− 1|.

Derivadas de funciones inversas y compuestas.

8. Calcula las derivadas de las siguientes funciones mediante su funcion inversa:

a) f(x) = ax, b)f(x) = arc senx, c) f(x) = n√

x.

9. Calcula las derivadas de las siguientes funciones mediante derivacion logarıtmica:

a) f(x) = xln x, b) f(x) = (senx)tan x, c) f(x) = (arctanx)√

x.

10. Calcula las derivadas de las siguientes funciones compuestas:

a) f(x) = arc sen√

1−x1+x , b) f(x) = 2

√3 arctan

x√3

+12

ln (x2 + 3).

Derivadas de orden superior. Derivacion implıcita.

11. Halla la derivada n-esima de las siguientes funciones:

a) f(x) = senx, b) f(x) = e5x+8x3, c) f(x) = ln (1 + x).

12. Probar que las siguientes curvas son ortogonales en su interseccion ( dos graficas sonortogonales en su interseccion si sus rectas tangentes en ese punto son perpendicularesentre sı)

2x2 + y2 = 6 e y2 = 4x.

Diferencial de una funcion.

13. Utilizando el concepto de diferencial, halla de manera aproximada el incremento de volu-men de una esfera de 30 cm de radio cuando este aumenta en 0′5 milımetros.



14. El perıodo de un pendulo viene dado por T = 2π√

Lg donde L es la longitud del pendulo, g

es la aceleracion de la gravedad y T el tiempo (en segundos). Si el pendulo se ha calentadode manera que su longitud ha crecido un 0,5%:

a) Calcular el porcentaje aproximado de cambio del perıodo (porcentaje del error relativode T )

b) Con lo obtenido en a), hallar el error aproximado del reloj de dicho pendulo en undıa.

Crecimiento y decrecimiento. Extremos relativos.

15. Halla los maximos y mınimos de las funciones :

a) f(x) = x3 − |x|, b) f(x) = ex senx.

16. Averiguar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones :

a) f(x) = 2x1+x2 , b) f(x) = cos x− x.

17. Prueba que y = ax+bcx+d no tiene extremos relativos ((c, d) 6= (0, 0)).

18. Hallar los puntos de inflexion y zonas de concavidad/convexidad de y = xsen(lnx), parax > 0.

19. Dada la funcion f(x) = |x|e|x−1| estudia:

a) su derivabilidad (zonas de crecimiento y decrecimiento),

b) su maximos y mınimos y

c) sus puntos de inflexion (zonas de concavidad y convexidad).

Optimizacion de funciones.

20. Hallar los puntos de la grafica de y = 4− x2 que estan mas proximos del punto (0, 2).

21. Se quiere construir una caja abierta con base cuadrada, empleando 108 cm2 de material.¿Que dimensiones produciran una caja de volumen maximo?.

22. Un trozo de madera de 12 dms. de largo tiene forma de tronco de cono circular recto conbases de diametros 4 y 4 + h dms. (h > 0). Determina, en funcion de h, el cilindro rectode mayor volumen que se puede cortar de este trozo de madera, de manera que su ejecoincida con el del tronco de cono.

Teoremas fundamentales del calculo diferencial.

23. Sea f(x) = 1− x2/3. Comprueba que f(1) = f(−1) = 0 y que f ′(x) 6= 0. ¿Contradice estoel Teorema de Rolle?.



24. Demuestra que la ecuacion x3− 3x+ b = 0 no puede tener mas de una raız en el intervalo−1 ≤ x ≤ 1 (cualquiera que sea el valor de b).

25. Prueba que entre cualquier par de soluciones de la ecuacion ex senx = 1 existe al menosuna solucion de ex cosx = −1. Sugerencia: una solucion de ex senx = 1 es una raız def(x) = e−x − sen x.

26. Sea la funcion

f(x) =

{3−x2

2 si x ≤ 1,

1x si x > 1.

¿Es posible aplicar el Teorema de Lagrange a f en el intervalo [0, 2]?. Si la respuesta esafirmativa, dibuja la grafica de la funcion, la de la recta que la corta en los puntos deabsisa x = 0 y x = 2 y la de la(s) tangente(s) a f en [0, 2] paralela(s) a dicha recta.

27. Explica por que no es valida la formula de Cauchy para las funciones f(x) = x3 y g(x) = x2

en el intervalo [−1, 1] en la forma de cociente.

28. Calcula los siguientes lımites:

a) lımx→0

(2π arc cosx

) 1x , b) lım

x→0

x(ex+1)−2(ex−1)x3 , c) lım

x→0

(sen x

x

) 1x2 ,

d) lımx→1+

xx−x1−x+ln x , e) lım

x→1−(lnx ln (1− x)), f) lım

x→1(1− x) tan πx

2 ,

g) lımx→+∞

(a

1x +b

1x

2

)x

con a y b > 0, h) lımx→a

ax−xa

x−a con a > 0, i) lımx→+∞x2e−0′01x.

Representacion grafica de funciones.

29. Representa graficamente las funciones siguientes:

a)f(x) =x2 + 1x2 − 1

b)f(x) =x3

x2 − 1

c)f(x) =

√x3

x− 3

d)f(x) =x2 − 4x + 1

e)f(x) = xLnx− 2x

f)f(x) =x + 2ex + 1

Formula de Taylor. Formula de Mac-Laurin. Aplicaciones.

30. Dado el polinomio f(x) = x3 + 4x2− 5x + 8, escribirlo en potencias de (x− 2), utilizandodos metodos distintos.



31. Desarrolla en serie de Taylor las siguientes funciones en los puntos que se indican:

a) ex en 0, b) ex en 1, c) senx en 0,

d) cosx en 0, e) lnx en 1, f) loga x en 1.

32. Descompon mediante la formula de Taylor la funcion f(x) = 1x en un entorno del punto

x0 = 1.

33. Obten el desarrollo de Mac-Laurin de f(x) = 3x+2x2−5x+6

.

34. Sea f(x) =

sen x si x > 0,0 si x = 0,

x− x3

6 si x < 0.

a) ¿Para que valores de x es derivable la funcion?.

b) Calcula la funcion derivada.

c) ¿Cuantas veces es f derivable en x = 0?.

d) Escribe la formula de Taylor de dicha funcion en x = 0 utilizando el polinomio demayor grado posible.

35. Calcula con un error menor que una diezmilesima 3√

e.

36. Calcula ln 1,1 con un error menor que 10−4.

37. Calcula los siguientes lımites, utilizando desarrollos limitados de Taylor

a) lımx→∞

(3√

x3 + x2 − x)

b) lımx→0

(1− cosx)arcsenx

xtg2xc) lım

x→0

ln(1 + x)− senx

1− ex

Metodo de biseccion.

38. La ecuacion ex − 3x = 0 tiene por raız a r = 0,61906129. Comenzando con el intervalo[0, 1], realizar seis iteraciones por el Metodo de biseccion para encontrar la raız aproximada.¿Cuantos decimales significativos tiene dicha aproximacion?. ¿Cuantas iteraciones sonnecesarias para que la raız obtenida tenga un error menor que 10−4?

39. Utilizar el Metodo de biseccion para encontrar una solucion aproximada con un errormenor que 10−2 en el intervalo [4, 4,5] para la ecuacion x = tg(x).

40. Sabiendo que existe una raız de la ecuacion x3 + x = 6 entre 1.55 y 1.75, ¿cuantasiteraciones son necesarias hasta obtener mediante el metodo de biseccion, un intervalo deamplitud menor o igual que 10−3 que contenga a la raız?. Calcular todas las iteracionesnecesarias.

41. Aplicar el Metodo de biseccion a F (x) = x3 − 17 = 0, a fin de determinar la raız cubicade 17 con un error menor que 0.125.



Metodo de Newton.

42. Aplicando el Metodo de Newton, encontrar una raız proxima a x0 = 0 para la ecuacionf(x) = 3x + senx− ex = 0.Redondear los calculos a cinco cifras significativas e iterar hasta que se cumpla | xi −xi−1 |≤ 0,001.

43. La funcion f(x) = 4x−7x−2 tiene una raız en x=1.75. Utilizar el metodo de Newton con las

siguientes aproximaciones iniciales, estudiando en cada caso, previamente, si se produceun proceso convergente o no a la raız.a)x0 = 1,6 , b)x0 = 1,5 , c)x0 = 3

44. Mediante el Metodo de Newton modificado, encontrar una raız proxima a x0 = 0 de laecuacion x− 2−x = 0.Utilizar tres decimales redondeados en cada iteracion hasta que se cumpla | xi − xi−1 |≤10−3.

45. La concentracion c de una bacteria contaminante en un lago decrece segun la expresion:

c(t) = 80e−2t + 20e−0,5t

siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el numero debacterias se reduzca a 7. (Utilizar el Metodo de Newton).

46. En los casos siguientes, aplicar el metodo de Newton con la estimacion inicial propuesta,y explicar por que falla el metodo.

a) y = 2x3 − 6x2 + 6x− 1, x1 = 1.

b) y = 4x3 − 12x2 + 12x− 3, x1 = 32 .

c) y = −x3 + 3x2 − x + 1, x1 = 1.

d) y = 3√

x− 1, x1 = 2.


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