145

SISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTAOBJETIVOS

1. Conocer el fundamento teórico del sistema diédrico y suaplicación para describir con exactitud las particularidades ytridimensionalidad de los objetos.

2. Entender la utilidad de la tercera proyección, empezando arelacionarla con la vista de perfil.

3. Resolver problemas de puntas y rectas, utilizando vistasauxiliares para determinar segmentos en verdadera mag-nitud.

1 SISTEMA DIÉDRICO:ELEMENTOS Y NOTACIONES

Como se ha indicado en la Unidad Didácticaanterior, el sistema diédrico es el sistema de re-presentación más importante y base para el es-tudio y análisis de los demás. Aporta una infor-mación más detallada y analítica del objeto queningún otro sistema de representación, puescada detalle es resuelto por un dibujo a escalaverdadera (sin deformación lineal ni angular )más la información de sus medidas escritas encifras de lectura directa.

1.1 Planos de proyección.

En este sistema se utiliza la proyección ortogo-nal y sus elementos principales son los llamadosplanos de proyección , o planos de referenciafundamentales: el plano Horizontal (H ), quese supone en posición horizontal, y el planoVertical (V ) , que es perpendicular al H .

Ambos planos de referencia V y H se cortanbajo un diedro recto y dividen al espacio encuatro regiones denominadas cuadrantes:

• Primer cuadrante: espacio comprendido entreel semiplano horizontal anterior (H +) y el se-miplano vertical superior (V +) .

• Segundo cuadrante: espacio comprendido en-tre el semiplano horizontal posterior (H -) y elsemiplano vertical superior (V +) .

• Tercer cuadrante: espacio delimitado por elsemiplano horizontal posterior H - y el semi-plano vertical inferior (V -) .

• Cuarto cuadrante: espacio delimitado por elsemiplano horizontal H + y el vertical V -.

1.2 Línea de tierra ( LT).

Es la recta común a los planos de proyección.Se trata de la recta virtual alrededor de la cualimaginamos gira el plano horizontal (H ) parasuperponerse sobre el vertical (V ) . Su nota-ción simplificada es LT, y se representa en lí-nea fina con dos trazos gruesos y cortos en susextremos o bien por una línea fina de trazos ydoble punto; es lo que genéricamente puedeentenderse como línea de plegamiento delplano de proyección horizontal (H ) sobre elplano de proyección vertical (V ) .

1.3 Plano de la tercera proyección.

Es aquel perpendicular a los dos principales deproyección. Se trata, por tanto, de un plano deperfil o plano lateral, de ahí su notación con laletra P ( fig.1.3).

A veces (para facilitar las representaciones ymejorar la comprensión de lo que se proyectasobre los planos de referencia), es necesariorecurrir a un tercer plano de proyección de es-tas características (ver lámina 45).

1.4 Planos bisectores.

Son dos planos, perpendiculares entre sí, quedividen a cada diedro en dos partes iguales, re-sultando el espacio parcelado en ocho diedrosu octantes. Todos los puntos contenidos en es-tos planos equidistan de los planos de proyec-ción horizontal H y vertical V .

1.5 Sistema de coordenadas.

Antes de intentar la solución gráfica de un pro-blema, es necesario describir la posición relati-vas de los datos. Uno de los sistemas más utili-

zados es el de las coordenadas cartesianas,donde la localización de cualquier punto puedehacerse si se describe su posición con respec-to a los tres ejes X, Y, Z ( fig.1.3) .

El origen se sitúa en un punto de la LT, el eje X(coordenada desplazamiento) se extiendecon su parte positiva hacia la derecha, el eje Y(coordenada alejamiento), perpendicular-mente al anterior y con su parte positiva haciael observador y, el eje Z (coordenada altura ocota), perpendicular a los anteriores y con sen-tido positivo hacia arriba.

1.6 Convencionalismos y notaciones.

Los puntos se designan por letras mayúsculasdel alfabeto latino. Así, por ejemplo, un punto Aviene dado por sus proyecciones ortogonalesA’, A’’ y A’’’ sobre el plano horizontal (H ) , elplano vertical (V ) y el plano perfil (P ) res-pectivamente.Asimismo, las rectas se designan por letras mi-núsculas del alfabeto latino. Así, una recta r delespacio viene dada por sus proyecciones r ’, r’’y r ’’’ sobre los planos de proyección H , V yP respectivamente.

Cuadrante

Cuadrante

1.4 Perspectiva de los planos que dividen al espacio en ocho octantes. A la derecha, su situación en el espacio, vistos de perfil.Nótese que el observador se considera, siempre, situado en el primer diedro.

1.3 Situación del plano de la tercera proyección o plano de perfil PP.1.1 y 1.2 Situación en el espacio de los planos de proyección HH y VV .

5

6

7

8

245°

45°

Octante

1VISTA DE PERFIL

4Primer plano bisector

2º plano bisector

V +

45° 45°

V-

H-

H +

IVIII

II

1er b

isecto

r2º bisector

I

6 7

8

1

23

4

5

IVIII

II I

90°

Z

X

O

P

90°

90°

Y

Plano de la

terceraproyección

(perfil )

Plano Vertical

P

3

V+

V+

V-

V-

H+H+

H-H-

Plano Vertical y plano del papel

90°

LT

Semiplano vertical superior

Semiplano vertical inferiorSemiplano horizontal anterior

Semiplano horizontal posterior

CuadranteI

III

II

IV

V+

V+

V-

V-

H+H+

H-H-

HH

VV

Plano Horizontal

Plano Horizontal

Cuadrante

146

Plano del papelPASO 1

2.1a Secuencia imaginaria para la representación, sobre el plano del papel de un punto A.

Z

-Z

-X

-Y

A”

A’Y

XO

A”YA

A

O

Z

X

YXA

A’

ZAO

X

Y

Z

A’

A”

Z A

YA

X A

2.1b Representación de un punto A (XA,YA,ZA).

H+H+

VVPASO 2

V+

V+

V-

V-

H+H+

H-H-

V+

V+

H-H-

Plano Horizontal

V-

V-

Plano VerticalPlano Vertical

Plano Horizontal

A’

A’’

D’

D’’

C”

C’

B’’

B’

E’

E’’

F’

F’’A

A’’

D

D’’

B

C’ B’’

C

C’’

B’ E”F’

A’D’

H+H+

F F’’

E E’’

V+

V+

V-

V-

H-H-

VV

I

III

II

IV

Plano Vertical

Plano Horizontal

Plano del papel (V )

2.2a Perspectiva y representación diédrica de otros puntos del espacio.

N’ N’’

R’

R’’

M’’

M’

=

=

=

=

2.2b Perspectiva y representación diédrica de puntos situados en los planos bisectores.

Segundo plano

bisector Primer plano

bisector

M’’N

N’’

R

R’

M

S’’

Ha

M’

S’

Plano Vertical Plano del papel (V )

S’ S’’

VV

ViVi

Ha

HaHa

Plano Horizontal

R’’

VsVs

S

2 EL PUNTO

Cualquier objeto tridimensional está formadopor un conjunto de puntos. El punto no tiene di-mensiones: representa una posición específicaen el espacio, así como el extremo de una líneao la intersección de dos líneas.

Gráficamente, la posición del punto se indicamediante una cruz o por un círculo diminutoque visualmente le ubica en su centro.

2.1 Representación.

Si imaginamos un punto A en el espacio ( fig.2.1a ) la proyección ortogonal sobre el planohorizontal H es otro punto A’. Se comprendeque cualquier otro punto de la recta AA’ tiene lamisma proyección sobre H , lo que nos indicaque la proyección A’ no es suficiente para re-presentar al punto A del espacio.

Para individualizar la representación del punto Ase proyecta sobre el plano vertical V , obtenien-do A’’ . Estas dos proyecciones A’ y A’’ situadasen H y V , respectivamente, representan elpunto A en el espacio. Esta representación esreversible, esto es, si se conocen las proyeccio-nes A’ y A’’, el punto A del espacio estaría en laintersección de las perpendiculares a H y V ,por A’ y A’’, respectivamente.

Para pasar de las tres dimensiones del espacioa las dos dimensiones del plano, hacemoscoincidir el plano horizontal con el plano vertical–o plano del dibujo–, y todo lo que está situadosobre el horizontal H se superpone sobre elvertical haciéndole girar, alrededor de la rectaintersección de ambos (LT ). La línea de refe-rencia que liga la proyección A’ con A’’, sobreel papel, es perpendicular a la LT.

Todo punto del espacio, tal como el A, puedesituarse por medio de las tres coordenadas car-tesianas ( XA , YA , ZA ) referidas al triedro de ejescon origen en un punto de la LT, siendo:

XA: la coordenada desplazamiento . Con refe-rencia a un plano de perfil que pasa por elorigen de coordenadas.

YA: la coordenada alejamiento. Distancia delpunto A al plano vertical (AA’’). Alejamientospositivos son los que ocupan aquellos puntossituados por delante del plano vertical V .

ZA: la coordenada cota. Distancia del punto Aal plano horizontal (AA’). Se considera positiva,cuando el punto está situado por encima delplano horizontal H .

2.2 Posiciones de los puntos en el espacio.

Las infinitas posiciones que un punto puede te-ner en el espacio respecto a los planos de pro-yección pueden reducirse a 17 posiciones dis-tintas. El análisis y estudio de todas ellas ( lá-mina 44) amplía la visualización espacial y ofre-ce la base de orientación de los objetos en elespacio real, dando una clara interpretación enla pantalla visual del entendimiento.

El punto A , situado en el primer cuadrante, ca-racteriza la posición de todos los puntos ubica-dos en este diedro: su proyección horizontal A’siempre se encuentra por debajo de la LT,mientras que la proyección vertical A’’ se sitúapor encima de ésta. Por tanto, todos los puntos

situados en el primer cuadrante tienen aleja-miento y cota positivos ( figs. 2.1b y 2.2a) .

Cuando el punto, caso del B , se encuentraen el segundo cuadrante, la cota es positivapero su alejamiento negativo ( fig. 2.2a): B’’aparecerá por encima de la LT pero la pro-yección B’ cae sobre H - (alejamiento nega-tivo) por lo que su representación diédrica sesitúa también por encima de la línea de tierra.

El punto C , perteneciente al tercer cuadrante,tiene negativos su cota y su alejamiento. Poreso su proyección C’’ queda por debajo de laLT ( zona perteneciente al semiplano V -) , y suproyección horizontal C’ queda por encima dela LT ( zona perteneciente al semiplano H -) .

El punto D, del cuarto cuadrante, tiene cota ne-gativa (D’’ queda por debajo de la LT) y, por te-ner alejamiento positivo, su proyección D’ se si-túa por debajo de la LT, es decir, en semiplanohorizontal H +.

Finalmente, el punto E pertenece al plano ho-rizontal y está situado sobre el semiplano H +.El punto F en el semiplano vertical V +, tienealejamiento cero.

En resumen, todos los puntos situados en el I yel II cuadrante tienen su proyección verticalpor encima de la LT (cota positiva) y los del IIIy IV cuadrante por debajo de la LT (cota nega-tiva). Asimismo, los puntos del I y IV cuadran-te tienen su proyección horizontal por delantede la LT (alejamiento positivo) y los del II y III

por detrás de la LT (alejamiento negativo).

Además de los planos fundamentales de pro-yección H y V , existen dos planos que tieneninterés en el sistema diédrico: los llamados pla-nos bisectores ( fig. 2.2b) , que dividen a loscuadrantes en diedros de 45°. Todos aquellospuntos situados en ellos equidistan de los pla-nos H y V y, por tanto, tendrán, en valor abso-luto, igual cota que alejamiento. En la fig. 2.2bse han representado los puntos M y R situadosen el primer plano bisector y los puntos N y Sen el segundo bisector.

147

3 LA RECTA

Geométricamente una recta queda definidamediante dos de sus puntos.

3.1 Representación.

En el sistema diédrico una recta r del espaciovendrá dada, al menos, por dos proyecciones:la horizontal r ’ y la vertical r’’. En ocasiones,será conveniente y necesario representar latercera proyección r’’’ (sobre un plano de per-fil ), como recurso para definir con claridad suporción en el espacio.

En la fig. 3 se ha dibujado la recta r dada porlos puntos A y B situados en el primer y cuar-to cuadrante respectivamente.

3.2 Criterio de pertenencia de punto a recta.

Todo punto perteneciente a una recta, tienesus proyecciones sobre las proyecciones co-rrespondientes de la recta.

3.3 Trazas y cuadrantes de paso:partes vistas y ocultas de una recta.

Se llaman trazas de una recta a los puntos deintersección de dicha recta con los planos deproyección. Si la recta se designa por r (r’ - r’’),llamamos R1 ( R’1 -R’’1 ) y R2 ( R’2 -R’’2 ) a suspuntos traza con el plano horizontal y vertical,respectivamente. Lógicamente una recta tienecomo máximo dos trazas, puesto que en el me-jor de los casos pasará por tres cuadrantes. Sisólo tuviera una traza, por ser paralela a uno delos planos de proyección, pasaría únicamentepor dos cuadrantes. También puede sucederque la recta no tenga trazas: es el caso de to-das las paralelas a la línea de tierra.

Para determinar los puntos traza, se secuencianlas dos proyecciones principales de la recta has-ta sus puntos de corte con la línea de tierra: enesa vertical se localizan dichos puntos ( fig. 3).

En diédrico, supuestos opacos los planos deproyección H y V , se representa en líneacontinua el segmento de recta perteneciente alprimer diedro, el resto se dibuja con línea dis-continua.

3.4 Puntos de intersección de la recta conlos planos bisectores.

El punto de intersección J (J’- J ’’) de la rectacon el segundo plano bisector ( fig. 3 ) , resultaser el punto común a sus dos proyeccionesdiédricas: punto con igual cota que alejamien-to, en valor absoluto.

Por análogo razonamiento, el punto I ( I’- I’’) esel de intersección de la recta con el primer bi-sector, y queda determinado trazando rectasque partiendo de los puntos de corte de las pro-yecciones con la línea de tierra, formen ángulosiguales con ellas, como se aprecia en la fig. 3 .

3.5 Posiciones más significativas.

Entre las posiciones más notables se encuen-tran las siguientes rectas:

• Horizontal h: paralela al plano horizontal H .• Frontal f: paralela al plano vertical V .• Recta que pasa por la línea de tierra.• De perfil: contenida en el plano de perfil P .

Plano del papel

R’’1

R’’2

R’2

R’1

r’

Cuadrante

I’’

I’

=

=R’’1

R’2r’

A’’

A’

B’

B’’

A

A’

A’’

B

B’B’’

IV

Cuadrante

I

Cuadrante

II

r’’

J’ J’’

LEYENDA

r : AB

R1 : r ØH

R2 : r ØV

I : r Ø1erB

J : r Ø2ºB

II

IIIR1 R’1

R2 R’’2

r’’

r

V +V +

V -V -

IV

I

3.5 Características y representación de una recta horizontal, de una recta frontal, de una recta que pasa por la línea de tierra y de una recta de perfil.

3 Perspectiva y representación diédrica de una recta rcualquiera, dada por dos puntos A y B situados en el

primer y cuarto cuadrante respectivamente.

N’’

N ’

M ’

M’’

P’’2

P’1

(P1)

(M)

(p)

p’

(N)

B’F’1

F’’1

f Ø2ºB

J’ J”

f’’

f’

C’

C’’

q’’

q’

A’’

A’

H‘‘2

H’2

Punto intersección de la rectacon el 2º bisector: hØ2ºB

h‘‘

h’

I’ I’’

II I IV I III I

I’1 I’’1

P’2 P’’1

H2h’’

h’

Recta horizontal Recta de perfil

P2

(P1)

P1

(p)

q’’

q’

f’’

f’p’

p’’

Plano de perfil

AB

I

C M

(N)

(M)V +V +

Recta frontal

F1

Recta que pasa por LT

hf

q

N

p

V-V- H+

H-H-

H+

PP

VV

H+H+

H-H-

p’’

B’’

148

4 POSICIONES RELATIVAS DE DOSRECTAS

Si dos rectas se cortan, tienen un punto en co-mún y, por tanto, las proyecciones diédricas dedicho punto se encuentran ligadas, lógicamen-te, por la misma línea de referencia: es el casode las rectas r y s (fig.4.1) que se cortan en elpunto P cuya línea de referencia hace corres-ponder la proyección vertical P’’ con la horizon-tal P’ y viceversa.

Cuando dos rectas o dos segmentos tales co-mo AB y CD no se cortan ( fig. 4.2) es, obvia-mente porque se cruzan. Cuando esto sucede,los puntos comunes de las proyecciones homó-nimas no se encuentran en la misma línea dereferencia.

Así, los puntos P y Q que parecen coincidir enla proyección vertical (P’’ ≡ Q’’ ) no tienen co-rrespondencia única sobre la proyección hori-zontal. Análogamente sucede al secuenciar lospuntos M y N , que siendo coincidentes sobre laproyección horizontal no lo son sobre la corres-pondiente proyección vertical, como se apreciaen la fig. 4.2 .

5 VERDADERA MAGNITUD DE UNSEGMENTO: VISTA AUXILIAR

Un segmento aparecerá con su longitud realen una vista, si es paralelo al plano de proyec-ción. La confirmación del paralelismo debe ob-tenerse si se observa la imaginaria línea de tie-rra –o línea de plegamiento– paralela a la vistao proyección adjunta: es el caso de un seg-mento frontal con su proyección horizontal pa-ralela a la línea de tierra, o el de un segmentohorizontal con su proyección vertical paralelaa la línea de tierra considerada.

Pueden emplearse varias técnicas para en-contrar la verdadera magnitud de un segmen-to oblicuo. Aqui exponemos en cuatro pasos,el método de la vista auxiliar también deno-minado método de cambio de plano de pro-yección.

En el ejemplo que se acompaña se conocenlas proyecciones diédricas del segmento AB ,oblicuo a los planos de proyección verticalesH y V , del que se precisa determinar su ver-dadera longitud.

z

A’

B’

B’’

A’’

A’’1

B’’1

H

V1

V

H

Verd

ader

a m

agni

tud

de A

B

A’

B’

B’’

A’’

A’’1

B’’1

H

V1

V

H

A’

B’

B’’

A’’

V

H

H

V1

5.1 Perspectivadel cambio de pla-no vertical que convierteal segmento AB en frontal a éste.

A

BB’’

z

z

A’’

A’’1

B’’1

Nuevo plano vertical

Plano del dibujo

VVPlano vertical

H

V1V

1

Plano horizontal H

PASO 1Dibujadas las proyeccio-nes diédricas del seg-mento AB, se traza unanueva línea de tierra pa-ralela a la proyecciónhorizontal A’B’, con elpropósito de dibujaruna proyección auxiliarque situe al segmentodel espacio paralelo alnuevo plano de proyec-ción VV1.

PASO 2Por los extremos del seg-mento A’B’ se lanzan lí-neas de referencia per-pendiculares a la nuevalínea de tierra definidapor la proyección auxi-liar (HH -VV1), mientrasen la proyección verti-cal de partida (HH -VV )se miden las cotas zA yzB de dichos puntos.

PASO 3Se trasladan las distan-cias zA y zB a la vista au-xiliar, medidas desde elnuevo plano de proyec-ción (HH -VV1), obtenien-do las nuevas proyec-ciones A’’1 y B’’1 respec-tivamente.

PASO 4La magnitud A’’1 B’’1es la verdadera longi-tud del segmento ABdado.

Pasos en la obtenciónde la verdadera mag-nitud del segmentoAB, aplicando el méto-do de la vista auxiliar.

5.2

zA

zB

z A

z B

zzA

zB

A’

B’

B’’

A’’

H

V1

V

H

B’

A’

V

H

V

H

4.1 Rectas r y s que se cortan.

4.2 Rectas AB y CD que se cruzan.

D’’M’’

P’

Q’

B’’

M’ N’

P’’ Q’’

N’’

C’’

A’’

C’

A’

B’

D’

P’’

r’’s’’

P’

r’

s’

P U N T O S I T U A C I Ó NP U N T O S I T U A C I Ó N

Representa, en PROYECCIONES DIÉDRICAS, los puntos A, B, C, D...y R, dados por sus coordenadas X, Y, Z (desplazamiento, alejamientoy cota, respectivamente), indicando en el cuadro inferior su POSICIÓNESPACIAL con relación a los ELEMENTOS PRINCIPALES que configuranel Sistema Diédrico: planos de proyección HH y VV ; planos bisectores;

línea de tierra; y plano de perfil que pasa por el origen de coordenadas,situado en el punto medio de la línea de tierra.

A modo de ejemplo, se ubica la POSICIÓN del punto A y se comen-ta la SITUACIÓN de los puntos A y L.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVASISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

REPRESENTACIÓN Y ALFABETO DEL PUNTO 2

3

1

44

A’’

A’

O

Z

X

Y

A (-120, 60, 25 ) Primer cuadrante y por debajo del primer plano bisector

B (-105, -30, 50 )

C ( -90, -30, 0 )

D ( -75, 0, 50 )

E ( -60, 25, -60 )

F ( -45, 40, 40 )

G ( -30, -32, -50 )

H ( -15, -35, 35 )

I ( 0, -50, -40 )

J ( 15, -45, 30 )

K ( 30, 65, -44 )

L ( 45, 55, 0 ) Semiplano horizontal anterior (H +)

M ( 60, -40, -40 )

N ( 75, 30, 50 )

P ( 90, 0, 0 )

Q ( 105, 0, -55 )

R ( 120, 45, -45 )

Segundo cuadrante y por encima del segundo plano bisector

Semiplano horizontal posterior (H -)

Semiplano vertical superior (V +)

Cuarto cuadrante y por debajo del segundo plano bisector

Primer cuadrante y primer plano bisector

Tercer cuadrante y por debajo del primer plano bisector

Segundo cuadrante y segundo plano bisector

Tercer cuadrante y por encima del primer plano bisector

Segundo cuadrante y por debajo del segundo plano bisector

Cuarto cuadrante y por encima del segundo plano bisector

Tercer cuadrante y primer plano bisector

Primer cuadrante y por encima del primer plano bisector

En la línea de tierra

Semiplano vertical inferior (V -)

Cuarto cuadrante y segundo plano bisector

B’ C’

B’’

C’’ D’

D’’

E’

E’’

F’

F’’

=

=

G’’

G’

I’’

I’

J‘

J’’

K’’

K’

L’

L”

M’’

M’

N’’

N’

Q’

Q’’

H’ H’’

P’ P”

R’ R’’

VERIFICACIÓN

Considerando el punto A (40, y, z), perteneciente al PRIMER PLANO BISECTOR, distante 80 mm.de la línea de tierra y situado en el PRIMER CUADRANTE, se pide:

a) Trazar las PROYECCIONES DIÉDRICAS del punto A .

b) Indicar las PROYECCIONES de un punto B , simétrico de A , respecto al SEGUNDO BISECTOR.

c ) Indicar las PROYECCIONES de un punto C , simétrico de A , respecto al PLANO VERTICAL.

d) Indicar las PROYECCIONES de un punto D, simétrico de A , respecto al PLANO HORIZONTAL.

Z

X

Y

O

A

D

C

B

45°

1er b

isecto

r

90°

CROQUIS DE INTERPRETACIÓN

V +

H +H – LT

=

=

==

2º bisector

V –

PH

PV

A’ B” D’ D”

A” B’ C’ C”

Considerando el punto A (40, y , z), perteneciente al PRIMER PLANO BISECTOR, distante 80 mm.de la línea de tierra y situado en el PRIMER CUADRANTE, se pide:

a) Trazar las PROYECCIONES diédricas del punto A .

b) Indicar las PROYECCIONES de un punto B , simétrico de A , respecto al SEGUNDO BISECTOR.

c ) Indicar las PROYECCIONES de un punto C , simétrico de A , respecto al PLANO VERTICAL.

d) Indicar las PROYECCIONES de un punto D, simétrico de A , respecto al PLANO HORIZONTAL.

A’’’

45º

80

V +

1er b

isecto

r

H +

80

/

28

0/

2

150

VV

HH

PP

VV

HH

PP

VV

HH

PP

VV

HH

PP

3 SEGMENTO HORIZONTAL

Un segmento AB puede tomar, respecto a los PLANOS DE PROYEC-CIÓN HH , VV y PP , tres claras posiciones: ser HORIZONTAL, ser VERTI-CAL o ser OBLICUO.

La propuesta consiste en que dibujes las proyecciones diédricas –ALZA-DO, PLANTA y LATERAL IZQUIERDO– del segmento AB, en cada unade las SEIS SITUACIONES que muestran las ilustraciones en PERSPEC-TIVA CABALLERA.

En todos los ejercicios se parte de conocer la SITUACIÓN del punto A,EXTREMO del SEGMENTO considerado. El otro extremo B se dimen-sionará, en cada caso, estableciendo la correcta correspondencia entrevistas.

Asimismo, y sobre las vistas en que se produzca, indica dónde el seg-mento se proyecta en su VERDADERA MAGNITUD.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVASISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

POSICIONES DE UN SEGMENTO 2

3

1

45

A’

A”

A’ B’

A”A”’

B”’B

B”

A

v.m

.

v.m

.

H

V P

A” A’’’

B” B”’

A”

A’

B

B”A

B’

A”’

B”’

A”

A’

B

B”

A

B ’

A”’

B’’’

H

H

V P

H

V P

A’

A’’

A”

A’ B

A

B’

B”

B’’’

A’’’

H

V P

A”

A’’

A’

A”

A’

B

A

B’

B”

A”’

B”’A’’

A’

A’’

A’

B

A

B’

B’’

A”’B’’’

H

VV

4 SEGMENTO DE PERFIL

VV

HH

PP

PP

A’ B’

A’

H

V P

H

V P

1 SEGMENTO VERTICAL 2 SEGMENTO DE PUNTA

5 SEGMENTO FRONTAL 6 SEGMENTO OBLICUO

v.m.

v.m

.

A”’ B”

B’

B”

v.m.

A”’ B”’

B’

B”

v.m.

B”

B’

A”’

B”’

v.m.

B”

B’

A”’

B”’B”

B’

A”

B”’

VERIFICACIONES

1. Dibujar las VISTAS DIÉDRICAS del segmento AB, paralelo a los planos de PROYECCIÓN VERTICAL y HORIZONTAL,esto es, a la LÍNEA DE TIERRA. ¿Sobre qué PROYECCIONES se puede obtener su LONGITUD REAL?

H

V P

2. Conocidas las PROYECCIONES o VISTAS PRINCIPALES del segmento de perfil PQ, se pide:

a) Situar las PROYECCIONES de su punto medio M.

b) Determinar la PROYECCIÓN HORIZONTAL del punto N.

c ) Medir la VERDADERA MAGNITUD del segmento PQ dado.

d) Determinar los ÁNGULOS que el segmento forma con los PLANOS DE PROYECCIÓN HH y VV.

H

V P

VVHH

PP

A’’

A’

B

B’’

A

B ’

A’’’B’’’

P’’

N’’

Q’’

Q’

P’

A’

A”

1. Dibujar las VISTAS DIÉDRICAS del segmento AB, paralelo a los planos de PROYECCIÓN VERTICAL y HORIZONTAL,esto es, a la LÍNEA DE TIERRA. ¿Sobre qué PROYECCIONES se puede obtener su LONGITUD REAL?

A’’’ B’’’v.m.

v.m.

A’ B’

A” B”

2. Conocidas las PROYECCIONES o VISTAS PRINCIPALES del segmento de perfil PQ, se pide:

a) Situar las PROYECCIONES de su punto medio M.

b) Determinar la PROYECCIÓN HORIZONTAL del punto N.

c ) Medir la VERDADERA MAGNITUD del segmento PQ dado.

d) Determinar los ÁNGULOS que el segmento forma con los PLANOS DE PROYECCIÓN HH y VV.

P’’

30º

60ºN’’

M’’

Q’’

P’’’

N’’’

M’’’

Q’’’

Q’

M’

N’

P’

Verdadera magnitud de PQ

COMENTARIO

a).- El punto medio M del segmento, siempre está situado en el punto medio de sus correspondientes proyecciones.

c).- Verdadera magnitud del segmento PQ = 50 mm.

d).- Ángulo de PQ con el plano HH : 30º y, con el plano VV : 60º.

152

1. Dada la recta r por dos de sus puntos: A (0, -10, 75) y B (105, 20, -30),te proponemos:

a) Determina los PUNTOS TRAZA de la RECTA, e indica las partesVISTAS y OCULTAS de la misma, al suponer opacos los PLANOSDE PROYECCIÓN.

b) Especifica los CUADRANTES y OCTANTES que atraviesa.

c ) Señala los PUNTOS DE INTERSECCIÓN con los planos bisectores.

2. Conocida la POSICIÓN del punto M:

a) Dibuja, señalando partes VISTAS y OCULTAS, las PROYECCIONESde la RECTA de perfil p, sabiendo que pasa por M y forma 45º conel plano HH . La recta tienen sus PUNTOS TRAZA sobre los SEMI-PLANOS HH ++ y VV ++.

b) Dibuja la RECTA HORIZONTAl que pasa por M y atraviesa alSEMIPLANO VV ++ hacia la derecha, bajo un ÁNGULO de 30º.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVASISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

REPRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE UNA RECTA 2

3

1

46

ESQUEMA ( VISTO EN PERFIL )DE LA SITUACIÓN DE LA RECTA

EN EL ESPACIO

O

M’

M”

A”

45˚

IVIII

II

1er b

isect

or2º bisector

I

6 7

8

1

23

4

5

IVIII

II I

A

R2

IR1

J

B

r

1 2V +

V-

H-

H +

A’

H”2

H’2

(M)

(P1)

P’1

P”2

30°

45°P’2 P”1R”1αα

R’1

B”

I’

B’

R’2

R”2

I”

=

=

J’ J”

∞

∞

∞

∞

CUADRANTE

OCTANTE

COMENTARIO

Intersección de la recta r con los planos bisectores:

A’

• Con el primer plano bisector: Punto I ( I’ - I’’ ).• Con el segundo plano bisector: Punto J (J’ - J’’ ).

II I IV

r”

r’

78123

h’

h’’

p’

p’’ (p)

VERIFICACIONES

A’

A’’

B’

C”

D’

1. Dibujar, por los puntos señalados y según muestra la PERSPECTIVA adjunta, lasPROYECCIONES DIÉDRICAS PRINCIPALES de las RECTAS indicadas, determinandosus PUNTOS TRAZA y especificando partes VISTAS y OCULTAS de las mismas.

2. Dada una RECTA de perfil p definida por los puntos A y B, se pide:

a) Hallar los PUNTOS TRAZA de la RECTA y, con ello, representar sus partesVISTAS y OCULTAS.

b) Determinar la VERDADERA MAGNITUD, en milímetros, del segmento AB.

c ) Indicar los ÁNGULOS que la RECTA forma con los PLANOS HORIZONTAL yVERTICAL, respectivamente.

A’

A’’

B’

B’’

t’

r’

n”AB

C

Dm’’

m’

T1

R2 r’’

N1 n’

B’’

C’

D’’

VV

HH

Paralela a la LT Vertical De punta Situada en elV

m

r

n

t

r’’ R’’2 C’’

1. Dibujar, por los puntos señalados y según muestra la PERSPECTIVA adjunta,las PROYECCIONES DIÉDRICAS PRINCIPALES de las RECTAS indicadas,determinando sus PUNTOS TRAZA y especificando partes VISTAS y OCULTASde las mismas.

m’’

m’

n’’

N’’1 R’2

r’

t’’

t’

2. Dada una RECTA de perfil p definida por los puntos A y B, se pide:

a) Hallar los PUNTOS TRAZA de la RECTA y, con ello, representar sus partesVISTAS y OCULTAS.

b) Determinar la VERDADERA MAGNITUD, en milímetros, del segmento AB.

c ) Indicar los ÁNGULOS que la recta forma con los PLANOS HORIZONTAL yVERTICAL, respectivamente.

(P2) P’’

P’1

p’

p”

(P1)

(A)

(B)

P’’1 P’2

COMENTARIO

AB = (A )(B ) = 70 mm.

α : ángulo que forma la recta pcon el plano H.

β : ángulo que forma la recta pcon el plano V : 90-α

α

β

A’

A’’

B’

B’’

β

n’ N’1 B’

T’1 T’’1

B’’

C’

D’’

154

1. Dibuja, a la vista de la perspectiva adjunta, las PROYECCIONESDIÉDRICAS de una recta r contenida en el PRIMER PLANO BISECTOR.

2. Dibuja las PROYECCIONES de una recta s, contenida en el 2º BISECTOR.3. Representa las PROYECCIONES DIÉDRICAS de una recta p perpendicular

al PRIMER PLANO BISECTOR, con punto traza horizontal P1 (P’1- P’’1 ).4. Representa las PROYECCIONES DIÉDRICAS de una recta q perpendicular

al SEGUNDO PLANO BISECTOR, con punto traza vertical Q2 (Q’2- Q’’2 ).

5. Las PROYECCIONES DIÉDRICAS que se acompañan representan dosrectas a y b que se cortan. Determina el PUNTO DE ENCUENTRO ytraza la PROYECCIÓN HORIZONTAL de la recta a.

6. La figura representa el cruce de DOS TUBERÍAS CILÍNDRICAS. Com-pleta la figura teniendo en cuenta la VISIBILIDAD de las tuberías alCRUZARSE. Representa las partes VISTAS con TRAZO CONTINUOy OMITE las partes o zonas OCULTAS.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVASISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

POSICIONES PARTICULARES Y RELATIVAS ENTRE RECTAS 2

3

1

47

3 RECTAPERPENDICULAR ALPRIMER BISECTOR

4 RECTAPERPENDICULAR ALSEGUNDO BISECTOR

5 RECTAS QUE SE CORTAN

1 RECTA CONTENIDA EN EL PRIMER PLANO BISECTOR 2 RECTA CONTENIDA EN EL SEGUNDO PLANO BISECTOR

6 CRUCE DE TUBERÍAS: VISIBILIDAD

b’’

A’’

A’

b’

P’1

P’’1 Q’2

M’

M’’

II

s’’

s’

==s

N’

N’’

NM’’

M

M’

e’’

a’’

=

=

N’ N’’r’’

r’

=

=

PERSPECTIVA DE SITUACIÓN

III

I

r

PERSPECTIVA DE SITUACIÓN

H+H+

V +V +

H-H-

V-

V-

H+H+

V +V +

IV

e’

Q’’2

r’

r’’

α

α

=

C’

D’A’ B’

B’’

A’’

I’’

I’

q’’

q’

p’

a’

Q”1 Q’2

Q’1 Q’’2

IIII IVII

C’’ D’’

P’’1 P’2

p’’

s’ s’’

P”2

4 RECTA POR DEBAJO DEL SEGUNDO BISECTOR3 RECTA POR ENCIMA DEL SEGUNDO BISECTOR

2 RECTA POR DEBAJO DEL PRIMER BISECTOR

VERIFICACIONES

a’

c” d’

b”

D’2

D”2

Dibujar las PROYECCIONES DIÉDRICAS de las RECTAS que a continuación se especifican, indicando sus partes VISTAS y OCULTAS y explicando susPARTICULARIDADES y SITUACIÓN en el espacio.

1. Recta PARALELA y por ENCIMA del PRIMER PLANO BISECTOR, de PROYECCIÓN HORIZONTAL a’.

2. Recta PARALELA y por DEBAJO del PRIMER PLANO BISECTOR, de PROYECCIÓN VERTICAL b’’.

3. Recta PARALELA y por ENCIMA del SEGUNDO PLANO BISECTOR, de PROYECCIÓN VERTICAL c’’ y PUNTO TRAZA VERTICAL C2 (C’2 - C’’2).

4. Recta PARALELA y por DEBAJO del SEGUNDO PLANO BISECTOR, de PROYECCIÓN HORIZONTAL d’ y PUNTO TRAZA VERTICAL D2 (D’2 - D’’2).

1 RECTA POR ENCIMA DEL PRIMER BISECTOR

C’2

C”2

Dibujar las PROYECCIONES DIÉDRICAS de las RECTAS que a continuación se especifican, indicando sus partes VISTAS y OCULTAS y explicando susPARTICULARIDADES y SITUACIÓN en el espacio.

1. Recta PARALELA y por ENCIMA del PRIMER PLANO BISECTOR, de PROYECCIÓN HORIZONTAL a’.2. Recta PARALELA y por DEBAJO del PRIMER PLANO BISECTOR, de PROYECCIÓN VERTICAL b’’.3. Recta PARALELA y por ENCIMA del SEGUNDO PLANO BISECTOR, de PROYECCIÓN VERTICAL c’’ y PUNTO TRAZA VERTICAL C2 (C’2-C’’2 ).

4. Recta PARALELA y por DEBAJO del SEGUNDO PLANO BISECTOR, de PROYECCIÓN HORIZONTAL d’ y PUNTO TRAZA VERTICAL D2 (D’2-D’’2 ).

β

b’

β

c’

α

α

A’2 A”1

A”2 A’1

a”

d”

B’2B”1

B”2B’1

C”1

C’1

D”1

D’1

γγ

δδ

I II III

II I III

I IV III

II III IV

156

Dado el segmento AB mediante sus PROYECCIONES DIÉDRICAS, teproponemos utilices el «Método de las vistas auxiliares» para disponerel segmento en OTRAS POSICIONES más favorables.1. Cambia el planoVV por otro VV11 para convertir el segmento AB en

FRONTAL respecto a este último y poder medir su VERDADERADIMENSIÓN sobre la nueva proyección vertical. Después, y bajoesta última posición, cambia el PLANO HORIZONTAL para convertir

la recta en VERTICAL.2. Siguiendo análogo proceso al anterior, convierte al segmento dado

en HORIZONTAL cambiando el PLANO HORIZONTAL HH : el seg-mento tendrá MAGNITUD REAL en la nueva proyección horizontal.Nota.- Comprueba que obtienes la MISMA DIMENSIÓN que en elapartado anterior e indica NUMÉRICAMENTE la longitud del mismo.

GEOMETRÍA DESCRIPTIVASISTEMA DIÉDRICO. EL PUNTO Y LA RECTA

nombre y apellidos

nº curso/grupo fecha

VERDADERA MAGNITUD DE UN SEGMENTO: MÉTODO DE VISTAS AUXILIARES 2

3

1

48

1 VISTAS AUXILIARES DE UN SEGMENTO OBLICUO PARA SITUARLEEN POSICIÓN VERTICAL

2 VISTA AUXILIAR DE UN SEGMENTO OBLICUO PARA SITUARLEEN POSICIÓN HORIZONTAL

H1

V

A’’

B’’

V

H

A’

B’

H

V

V1

H

B’

A’’

B’’

A’

YA

Verd

ader

a m

agni

tud

de A

B

YB

YA

B’1

A’1

DATOSVistas del segmento obli-cuo a los planos de proyec-ción y .

Vistas del segmento hori-zontal respecto al nuevoplano horizontal de referen-cia (la nueva línea detierra será paralela a la pro-yección vertical A”B”delsegmento).

Verdadera m

agnitud de AB

DATOS

PASO 1

Vistas del segmnto oblicuo a losplanos de proyección y .

Vistas del segmento frontal res-pecto al nuevo plano vertical dereferencia .

Vistas del segmento vertical res-pecto al nuevo plano horizontalde referencia ( la nueva líneade tierra será perpendicular a laproyección vertical del segmentoA’’1B’’1 ).

H1

V1

B’1A’1

Z A

ZA

V1

H1

H V

Y B

Z B

ZB

VERDADERA MAGNITUD DEL SEGMENTO AB = 50 mm.

B’’1

A’’1

H1

A’

PASO 2

A’’

B’’

B’

H

V

V1

HVVHH

V

H