Momento de un par

Cuando dos fuerzas tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par .

El momento total del par respecto al punto O es la suma de los momentos de cada fuerza en O:

FrFrM BAO

Fd

senFrMOx

y

z

A

B

rA

rB

MO

r

d

F

-F

Frr BA

Fr

O

FF OOO MMM

FrM AOF

FrM BO F

Como el vector r es independiente de la elección de O, se obtendrá el mismo resultado eligiendo otro punto O’.

Por lo tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto en el plano formado por el par.

x

y

z

A

B

r’A

r’B

MO’

A

B

rA

rB

x

y

z

MO

F

-F

r

d

d

F

-F

MO

'OO MM

O

O’

BABA 'r'rrrr

A partir de la definición de un par, se concluye que:

Dos pares, uno formado por las fuerzas F1 y –F1, y otro formado por las fuerzas F2 y –F2 tendrán momentos iguales si se cumple que

1. Los dos pares tienen la misma magnitud: F1d1=F2d2

2. Los dos pares se encuentran en planos paralelos (o en el mismo plano)3. Los dos pares tienen el mismo sentido.

d1

F1

-F1

M1

d2

F2

-F2

M2

El único movimiento que un par le puede impartir a un cuerpo rígido es de rotación.

Ejemplo: Las fuerzas paralelas de igual magnitud ejercidas hacia arriba y hacia abajo sobre los brazos de una cruceta producen un movimiento de rotación sobre la tuerca.

¿Estos pares son equivalentes?

x

y

z

6 in20 lb 20 lb

4 in

4 in

M=120lb in

x

y

z

30 lb

30 lb

4 in

M=120 lb in

x

y

z

30 lb

30 lb

4 in

M=120lb in

Es decir, producen el mismo efecto sobre la caja?

Si. Los pares que tienen el mismo momento M, son equivalentes

Ejemplo 1: Reemplace el par y la fuerza mostrados en la figura por una sola fuerza equivalente aplicada a la palanca. Determine la distancia desde el eje hasta el punto de aplicación de esta fuerza equivalente.

300 N30 cm

150 N

150 N

4 cm 45º

Respuesta: Primero calculamos el momentos de la fuerza en A respecto al punto O.

jmim

j45senm3.0i45cosm3.0r

2023

2023

OA

jN300F

kmN245

kN300m

0N3000

0mm

kji

FrM

2023

2023

2023

OAO

300 N30 cm

150 N

150 N

4 cm 45º

rOA

O

A

kmN12

kN150m08.0

00N150

0m08.00

kji

FrMp

jm08.0r

iN150F

Después calculamos el momentos del par

300 N30 cm

150 N

150 N

4 cm 45ºr

kmN245MO

kmN120Mp

kmN12245

kmN12kmN245

MMM pO

300 N

R

45º

ji

j45senRi45cosRR

2R

2R

jN300F

kN2

R300N300

2

Rk

0N3000

02

R

2

Rkji

FRM

m

300

122452R

kmN12245kN2

R300

Ahora sumamos los momentos calculados

Ejemplo 2. Determine las componentes del par simple que es equivalente a los dos pares mostrados en la figura.

Tarea para entregar el día lunes 1 de abril de 2013 al inicio de la sesión de clase.

Respuesta: Método por pares

km18.0kcm18r CD

jmN4.5

ikN30m18.0FrM DCDCD

iN30F D

Para el momento del par formado por las fuerzas de 30 N en C y D, separadas por una distancia de 18 cm, sobre el mismo plano (x-z) tenemos que

rCD

F

Para encontrar el par correspondiente a cada una las fuerzas en D y E sin que se altere el sistema, colocamos un par de fuerzas de 20 N en A.

km09.0r AD

jN20F D

imN80.1imN80.1

jkN20m09.0FrM DADAD

im12.0r EA

jN20F A

kmN40.2

jiN20m12.0FrM AEAEA

kmN40.2jmN4.5imN80.1

MMMM EAADCDtotal

Respuesta: Método por suma de momentos en un punto fijo

Se calcula la suma de los momentos de las cuatro fuerzas dadas con respecto a un punto arbitrario.

En este caso, el punto D nos simplifica los cálculos, ya que los vectores de posición de los puntos de aplicación de dos fuerza son cero.

Así que, sólo necesitamos calcular los momentos de las fuerzas en los puntos C y E.

EDECDCDEDCtotal FrFrMMM

km18.0kcm18r DC

km09.0im12.0r DE

iN30F C

jmN40.5

ikN30m18.0FrM CDCDC

jN20F E

kmN4.2imN18.0

0N200

m09.00m12.0

kji

FrM EDEDE

kmN40.2jmN4.5imN80.1M total

Ejemplo 3. Una placa de acero está sometida a la acción de dos pares, según se muestra en la figura. Determine (a) el momento del par formado por las fuerzas de 40 N, (b) el valor de si d=820 mm, y la resultante de los dos pares es de 8 N m en sentido contrario a las manecillas del reloj, (c) la distancia perpendicular entre las dos fuerzas de 24 N si la resultante de los dos pares es cero.

(a) El momento del par formado por las fuerzas de 40 N.

mN24

m600.0N40LFM 1N40

L=600 mm

m600.0mm600L

N40F1

(b) El valor de si d=820 mm, y la resultante de los dos pares es de 8 N m en sentido contrario a las manecillas del reloj.

cosmN68.19

cosm820.0N24

cosdFhFM 22N24

6.35123

100arccos

68.19

16

mN68.19

mN16cos

La resultante de los pares es de 8 N m

El momento del par de 24 N es

L=600 mm

d

h mN8

cosmN68.19mN24

MMM N24N40total

(c) La distancia perpendicular entre las dos fuerzas de 24 N si la resultante de los dos pares es cero.

mN24M'M

0M'M

N40N24

N40N24

mm1000m1

mN24N24'M N24

L=600 mm

d

Ejemplo 4. Si P=0, reemplace los dos pares restantes por un solo par equivalente; especifique su magnitud y la dirección de su eje.

Encontramos el momento del par de 25 lb

jin16iin4.39r CB

klb25F B

rCB

jinlb985iinlb400

lb2500

0in16in4.39

kji

FrM BCBlb25

Encontramos el momento del par de 36.5 lb

kin44jin16r AB

rAB

kin44iin4.39r AC

rAC

9281.0in44in16in44in4.39

in44in44in16in4.39

rr

rrcos

2222ABAC

ABAC

d

plano

planolb5.36lb5.36

Ldlb5.36

LMM

senrd AB

in43.17dº86.219281.0arccos

kin4.630jin6.1733iin704

in44in160

in440in4.39

kji

rrL

222

ABAC

2222222 in43.1974in4.630in6.1733in704L

k32.0j88.0i36.0

L

LL

kinlb58.203jinlb85.559iinlb03.229

k32.0j88.0i36.0in43.17lb5.36M lb5.36

kinlb58.203jinlb85.1544iinlb03.629MMM lb5.36lb25total

Ejemplo 5. Dos trabajadores usan bloques y polipastos conectados a la parte inferior de una viga I para elevar un gran tanque cilíndrico. Si la tensión en la cuerda AB es de 54 lb, reemplace la fuerza ejercida en A por la cuerda AB con un sistema equivalente fuerza-par en E.

Respuesta:

kft9jft18ift25.2

kft9jft5.4ft5.22ift25.2L AB

ft25.20

ft9ft18ft25.2L 222AB

k44.0j89.0i11.0

kft25.20

ft9j

ft25.20

ft18i

ft25.20

ft25.2LAB

klb24jlb48ilb6

k44.0j89.0i11.0lb54LFF ABABAB

jft5.22r EA

rEA

LAB

klb24jlb48ilb6FAB

jft5.22rEA

kftlb135iftlb540

lb6ft5.22klb24ft5.22i

lb24lb48lb6

0ft5.220

kji

FrM ABEAE