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Introducción Formalización Utilidad esperada Actitud frente al riesgo Aplicaciones Anomalías

Tema 1: Teoría de la decisión bajo incertidumbreMicroeconomía Avanzada II

Iñigo Iturbe-Ormaeche

U. de Alicante

2008-09


Introducción

Formalización

Utilidad esperada

Actitud frente al riesgo

Aplicaciones

Anomalías


Un billete de lotería

Hasta ahora hemos estudiado decisiones sin incertidumbreEn este tema vamos a considerar decisiones bajoincertidumbre:Los objetos de elección son distribuciones de probabilidadsobre resultados

Un billete de lotería cuesta 5 euros. Con una probabilidad de1/100 podemos ganar un premio de 400 euros. Debemoselegir entre:

COMPRAR EL BILLETE: Con una probabilidad de 1/100ganamos 400 5 = 395 euros, y con una probabilidad de99/100 ganamos 5 euros.

NO COMPRAR EL BILLETE: Con una probabilidad de 1obtenemos 0 euros.


Una decisión de cartera

Hay dos fondos de inversión. El fondo A invierte 1/3 en rentaja y el resto en renta variable. El fondo B invierte 2/3 enrenta ja. La renta ja tiene un rendimiento (jo) del 6%anual. La renta variable tiene un rendimiento de 0% con 1/2de probabilidad o de un 21% con 1/2 de probabilidad.Debemos decidir en qué fondo invertimos:

Si invierto 1 euro en el fondo A, con 1/2 obtengo(1/3)(6%) + (2/3)(0%) = 2% y con 1/2 obtengo(1/3)(6%) + (2/3)(21%) = 16%

Si invierto 1 euro en el fondo B, con 1/2 obtengo(2/3)(6%) + (1/3)(0%) = 4% y con 1/2 obtengo(2/3)(6%) + (1/3)(21%) = 11%


El valor esperado

¿Cómo eligen los individuos entre este tipo de alternativas? Durante algún tiempo se pensó que el criterio para elegir es elde comparar los valores esperadosUna alternativa que ofrece los pagos (x1, .., xn) con lasprobabilidades (p1, .., pn) tiene un valor esperado de:

x = p1x1 + ..+ pnxn =n

∑i=1pixi

En el ejemplo de la decisión de cartera podemos calcular losvalores esperados de las dos carteras:

Cartera A: (1/2)(2%) + (1/2)(16%) = 9% Cartera B: (1/2)(4%) + (1/2)(11%) = 7,5%


Una alternativa actuarialmente justa

Una alternativa con incertidumbre cuyo valor esperado es 0 sedice que es actuarialmente justa

Por ejemplo, si hay 20 estudiantes y a cada uno le vendo unbillete de lotería por 1 euro, ¿cuál debe ser el valor del premiopara que la lotería sea actuarialmente justa?

Otro ejemplo: Podemos apostar cualquier cantidad x alresultado de lanzar un dado. Si acertamos el resultado deldado, obtenemos un premio igual a 5 veces la cantidadapostada. ¿Es un juego actuarialmente justo?

Ahora la cuestión a la hora de evaluar un juego es:¿Es razonable jarse sólo en el valor esperado?


La Paradoja de San Petersburgo

Lanzamos una moneda al aire hasta que salga cara. En cuantosalga cara se acaba el juegoSi sale cara en la tirada m, el premio que obtenemos es 2m

¿Cuánto pagarías por participar en este juego?

¿Cuánto pagarías si valoras el juego de acuerdo a su valoresperado?

Problema: Los individuos no se comportan de acuerdo a lapredicción de la teoría:Hay que buscar una nueva teoría

Propuesta de Gabriel Cramer y Daniel Bernoulli:Ganar 200 no tiene necesariamente un valor doble que ganar100


La Paradoja de San Petersburgo-2

Los individuos usan una función u() con la que evalúan losresultados monetarios. En lugar de emplear x = ∑i pixi paraevaluar las alternativas, usan ∑i piu(xi ), donde u esestrictamente cóncavaUna ganancia de 200 tiene un valor de menos del doble queuna ganancia de 100

Por ejemplo, si usamos u(x) = ln(x), tenemos u(100) = 4,6y u(200) = 5,3. El valor de ganar 200 es un 15% mayor queel valor de ganar 100Si usamos u(x) =

px , tenemos u(100) = 10 y

u(200) = 14,14, un 41% mayor

En el ejemplo de la Paradoja de San Petersburgo, si usamos lafunción ln(x), lo máximo que estaríamos dispuestos a pagarpor jugar es 4 euros (aprox.)


Denición de lotería simple

Z = fz1, .., zK g : conjunto de resultados Una lotería simple L es una distribución de probabilidadsobre el conjunto de resultados:

L = (z1, p1; z2, p2; ..; zK , pK ),

donde pk 0 y p1 + p2 + ..+ pK = 1Llamamos L al conjunto de todas las loterías simples

Si jamos el conjunto de resultados, una lotería quedadescrita sólo por las probabilidades

L = (p1, p2, .., pK ).


Ejemplos de loterías simples

Ejemplo 1: Hay sólo dos resultados, Z = fz1, z2gz1 : ganar 100 eurosz2 : perder 50 euros

L = f(p, 1 p) j 0 p 1g

¿Qué lotería preeres, (1/2, 1/2) o (2/3, 1/3)? Ejemplo 2: Hay tres resultados posibles, Z = fz1, z2, z3g

L = f(p1, p2, 1 p1 p2) j 0 p1, p2 1g

Ejemplo 3: Hay un conjunto innito de resultados, porejemplo, Z = RAhora L es el conjunto de distribuciones de probabilidad sobreR


Lotería compuesta

Lotería degenerada: La que da un resultado jo (toda laprobabilidad se concentra en un resultado)En el caso en el que sólo hay tres resultados posibles, hay tresloterías degeneradas:(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1)

Lotería compuesta: Es una lotería en la que los resultadosson a su vez loterías.

Ejemplo: Lanzamos una moneda al aire. Si sale cara, lanzamosa continuación un dado y ganamos lo que sale en el dado. Sisale cruz, lanzamos un dado y ganamos 1 euro si sale 1, 2, 3 o4 en el dado o 10 euros si sale 5 o 6Vemos que Z = f1, 2, 3, 4, 5, 6, 10gSi sale cara ganamos la lotería esf1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 1/6, 0gSi sale cruz ganamos la lotería f2/3, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3g


Reducción de loterías compuestas a loterías simples

En general, si tomamos dos loterías M,N 2 L y un númeroα 2 [0, 1] la lotería compuesta αM + (1 α)N es la loteríacon la que ganamos M con probabilidad α o N conprobabilidad 1 α

Las loterías compuestas se pueden reducir a loterías simplesEn el ejemplo, tenemos nalmente la lotería simple:

f5/12, 1/12, 1/12, 1/12, 1/12, 1/12, 2/12g

Supondremos que el individuo sólo se preocupa por las loteríasreducidas sobre resultados nales


Preferencias sobre loterías

Suponemos que el individuo tiene una relación de preferencias% sobre el conjunto LEsta relación de preferencias es COMPLETA y TRANSITIVATambién denimos y En concreto, si L % M, pero M L, entonces L MSi L % M y a la vez M % L, entonces L M

CONTINUIDADTomamos tres loterías cualesquiera L,M,N 2 L tales queL % M % NEntonces existe un número α 2 [0, 1] tal queαL+ (1 α)N M


Propiedad de independencia Las tres propiedades que suponemos sobre % (COMPLETA,TRANSITIVA, CONTINUA) garantizan que existe unafunción de utilidad que representa %Esto es, existe U : L ! R tal que:

L % M , U(L) U(M)

La siguiente propiedad (INDEPENDENCIA) nos garantiza quela función que representa las preferencias % tiene una formaparticular, llamada UTILIDAD ESPERADA

INDEPENDENCIAPara cualesquiera L,M,N 2 L y α 2 [0, 1] :

L % M , αL+ (1 α)N % αM + (1 α)N


Intuición de la propiedad de independencia

Supongamos tres resultados, Z = fcerveza, pastel, manzanagAdemás preeres una cerveza a un pastel

¿Cuál preeres de las dos loterías compuestas siguientes?Con 1/2 ganas una cerveza y con 1/2 ganas una manzanaCon 1/2 ganas un pastel y con 1/2 ganas una manzana

Independencia dice que debes preferir la primera


Teorema de la utilidad esperada

Si una relación de preferencias % es COMPLETA,TRANSITIVA, CONTINUA y cumple INDEPENDENCIA,entonces existe una función de utilidad U : L ! R tal que:(i) Para cualesquiera loterías L,M 2 L :

L % M , U(L) U(M)

(ii) Para cualesquiera loterías L,M 2 L y α 2 [0, 1] :

U(αL+ (1 α)M) = αU(L) + (1 α)U(M)

Asignamos a cada lotería una utilidad que es la mediaponderada de las utilidades de los diferentes resultados.Las ponderaciones son las probabilidades


Transformaciones admisibles de la función de utilidad

Si U representa las preferencias %, la función de utilidadU 0 = aU + b (con a > 0) también representa las preferencias% y además preserva la propiedad de la utilidad esperada

Ejemplo: Sólo hay tres resultados posibles y jamosu1 = 1, u2 = 2/3, u3 = 0Para cualquier lotería L = (p1, p2, p3) tenemosU(L) = p1 + 2

3p2 Consideramos U 0(L) = aU + b (con a > 0). Ahorau01 = a+ b, u

02 = (2/3)a+ b, u03 = b. Para cualquier

L = (p1, p2, p3):

U 0(L) = aU(L) + b = a(p1 +23p2) + b

U 0 tiene la forma de la utilidad esperada, ya que coincide conp1u01 + p2u

02 + p3u

03 (Comprobarlo)


Aversión al riesgo

A partir de ahora todos los resultados son cantidades de dinero Sea una lotería L = (x1, p1; ..; xK , pK g, donde x representacantidades de dineroLa utilidad esperada de L es:

U(L) = p1u(x1) + ..+ pK u(xK )

Suponemos que si x > x 0, entonces u(x) > u(x 0)El valor esperado de L es LE = p1x1 + ..+ pK xK

Decimos que un individuo es averso al riesgo si entre LE y L,preere LE

¿Qué nos dice esto respecto a la Paradoja de SanPetersburgo?


Aversión al riesgo 2

EjemploL es una lotería con la que ganamos 300 euros con 1/2 o 100euros con 1/2Calculamos LE = 200Si un individuo es averso al riesgo, preere 200 euros (LE )frente a la lotería L

Si el individuo preere la lotería, decimos que es amante delriesgo

Si el individuo está indiferente entre L y LE , decimos que esneutral frente al riesgo. Un individuo neutral frente al riesgosólo se preocupa por el valor esperado


Equivalente cierto

El equivalente cierto de una lotería L, al que llamamos cL,es aquella cantidad de dinero para la que se cumple:

U(L) = U(cL)

Entonces, si alguien me ofrece una cantidad mayor que cL porla lotería, ¿estaré dispuesto a venderla?¿Y si me pagan menos que cL?

Ejemplo: En la lotería de arriba con 1/2 gano 300 y con 1/2gano 100. Además U(x) = ln(x).Calculamos cL :

ln(cL) =12ln(300) +

12ln(100)

Calculamos que cL = 173,205

(Ejercicio: Calcular que si U(x) =px , entonces cL = 186,6)


Equivalente cierto-2

Vemos que cL = 173,205 < LE = 200De hecho esto siempre es cierto para un averso al riesgo. ¿Porqué?

Como es averso, U(LE ) > U(L) Por la denición de cL, U(L) = U(cL) Por lo tanto, U(LE ) > U(L) = U(cL) ! LE > cL


Concavidad de la función de utilidad

Si un individuo es averso al riesgo, la función U es cóncava.Para verlo pensemos en una lotería que paga 100 euros si allanzar una moneda sale cara, o nada si sale cruz

Fijamos U(100) = 1 y U(0) = 0 ¿Qué preeres, la lotería o un billete de 50 euros? Para la mayoría, es mejor el billete de 50. Entonces:

U(50) >12U(100) +

12U(0) =

12.

Si U(50) > 1/2, la función U es necesariamente cóncava


Figura 1


Prima del riesgo

La prima del riesgo de la lotería L es:

pR (L) = LE cL

La prima del riesgo es la cantidad máxima que el individuoestá dispuesto a pagar para obtener la cantidad segura LE enlugar de la lotería L. Para un averso U(LE ) > U(L) = U(cL)

Supongamos que le hacemos pagar la cantidad m y le damosLE . Su utilidad será U(LE m)Si m es pequeño, U(LE m) > U(L) = U(cL)Si m es grande, U(LE m) < U(L) = U(cL)pR (L) es el valor que hace U(LE pR (L)) = U(L) = U(cL)

(Ejemplos: Si u(x) = ln(x), pR = 26,8; si u(x) =px ,

pR = 13,3)


Ejemplo de cálculo de la prima del riesgo

u(x) =px

Sea una lotería L con la que podemos ganar 900 euros con1/3 o nada con 2/3Calculamos LE = 300 euros

El equivalente cierto es la cantidad cL tal que:

pcL =

13

p900+

23

p0

Es decir,pcL = 10, por lo tanto cL = 100 euros

La prima del riesgo es LE cL = 200 euros (lo máximo quepagaría por evitar el riesgo)


Deniciones alternativas de aversión al riesgo

TEOREMALos siguientes enunciados son equivalentes:(i) U presenta aversión al riesgo(ii) U es cóncava(iii) pR (L) > 0 para toda lotería L no constante


Cuánto apostar Un individuo averso al riesgo tiene una riqueza W y puedeapostar cualquier cantidad a cierto evento (por ejemplo, queun equipo de fútbol gane la Liga) cuya probabilidad es p

Si apuesta α, gana 2α si el evento ocurre y 0 si no ocurrePor lo tanto, con probabilidad p acaba teniendoW α+ 2α = W + αCon probabilidad 1 p acaba teniendo W α

Para decidir cuánto apostar, resuelve el problema:

m«axα0

[pu(W + α) + (1 p)u(W α)]

La condición de primer orden es (puede haber una soluciónesquina en α = 0):

pu0(W + α) (1 p)u0(W α) 0,

con igualdad si α > 0


Cuánto apostar 2 Podemos ver que α = 0 siempre que p 1/2 Para ello calculamos el valor esperado de la apuesta:

p(W + α) + (1 p)(W α) = W + (2p 1)α

Si p 1/2, para cualquier valor de α tenemos que:

W + (2p 1)α| z Valor esp. de apostar

W|zValor esp. de no apostar

Ahora supongamos que u(x) = exp(rx) con r > 0Podemos resolver la condición de primer orden:

α =12rln

p1 p

El resultado es independiente de W


Cuánto apostar 3

Si tomamos u(x) = x 1r1r , obtenemos:

α =Ω 11+Ω

W

donde Ω = (p/1 p) 1r El individuo apuesta una fracción constante de su riquezaEn concreto, si r = 1, tenemos que α = (2p 1)W


Seguros

Supongamos que hay un suceso negativo (por ejemplo, unincendio) que puede ocurrir con probabilidad πSi se produce el incendio perdemos D eurosTenemos una riqueza W y suponemos que D WPor lo tanto se enfrenta a la lotería:

W D con probabilidad πW con probabilidad 1 π

La utilidad esperada es:

πu(W D) + (1 π)u(W )

Supongamos que alguien vende seguros contra incendios.¿Cuánto seguro estará dispuesto a comprar?

La respuesta dependerá del precio del seguro


Seguros 2

Supongamos que comprar un euro de seguro cuesta q eurosEs decir, por cada q euros que paga, recibirá 1 euro en casode que haya un incendioSi q = 0,05, para recibir 1000 euros en caso de incendio, hayque pagar una prima de 0,05 1000 = 50 euros

Llamamos α a la cantidad de seguro que compramos. Esta esla variable de elecciónPor lo tanto tiene que elegir entre loterías del tipo:

W D αq + α con probabilidad πW αq con probabilidad 1 π

donde α 2 [0, Wq ] es el número de unidades de seguro quecompra

Las compañías de seguros maximizan sus beneciosesperados


Seguros 3

La compañía de seguros se enfrenta a la lotería:αq con probabilidad 1 π

αq α con probabilidad π

El benecio esperado es:

(1 π)αq + π(αq α)

Suponemos que los benecios esperados no pueden sernegativos

(1 π)αq + π(αq α) 0 =) q π

¿Qué ocurre si q < π?


Seguros 4

La utilidad esperada para un individuo que compra α unidadesde seguro:

m«axα0

(1 π)u(W αq) + πu(W D + α(1 q))

Si α es una solución debe cumplir:q(1π)u0(W αq)+π(1 q)u0(W D+ α(1 q)) 0

A partir de ahora suponemos que el seguro es actuarialmentejusto. Esto quiere decir que en promedio la empresa ni ganani pierde: q = π


Seguros 5

Primero vemos que NO puede ocurrir α = 0

Si fuese α = 0 (y dado que q = π) sustituimos en lacondición de primer orden:

q(1 q)u0(W ) + q(1 q)u0(W D) 0

O simplemente:u0(W D) u0(W )

Esto es imposible ya que la función u es cóncava Por lo tanto, α debe resolver:q(1π)u0(W αq)+π(1 q)u0(W D+ α(1 q)) =0


Seguros 6

Como q = π :

u0(W D + α(1 q)) = u0(W αq)

Al ser u cóncava:

W D + α(1 q) = W αq

Finalmente α = D

En resumen, si el seguro es actuarialmente justo, un individuoaverso al riesgo se asegura completamente contra la pérdida

¿Y si q > π, es decir, el seguro no es actuarialmente justo?


Decisión de cartera Un individuo averso al riesgo tiene una riqueza W > 0Puede invertir en:

Un activo sin riesgo que paga 1 euro por cada euro invertido Un activo arriesgado que paga z euros por euro invertido,donde z es una variable aleatoria con función de densidad f (z)

Suponemos que:

E (z) =Zzf (z)dz > 1

¿Por qué?

Llamamos x a la cantidad invertida en el activo arriesgadoSuponemos 0 x WNos interesa averiguar si x > 0 (recordar que es averso alriesgo)


Decisión de cartera 2 El problema es:

m«axx2[0,W ]

Zu(xz +W x)f (z)dz

(Si invierte x en activo arriesgado se convierte en xz al naldel periodoComo invierte el resto en activo seguro, acaba con W x)

La condición de primer orden es:Zu0(xz +W x)(z 1)f (z)dz

Si evaluamos en x = 0 :Zu0(W )(z 1)f (z)dz = u0(W )

Z(z 1)f (z)dz

Pero esto es positivo, por lo que x > 0


Mercados de seguros Un averso al riesgo puede perder la totalidad del valor de unbien, valorado en M > 0La probabilidad es π

La lotería a la que se enfrenta tiene un valor esperado LE :

LE = π 0+ (1 π)M = (1 π)M

Si un seguro (completo) le cuesta x , estará dispuesto acomprarlo siempre que:

U(M x) U(L) = U(cL)

Las empresas están dispuestas a ofrecer pólizas tales que:

x πM 0

Es decir, los benecios esperados deben ser positivos


Mercados de seguros 2

Vemos que hay posibilidad de contrato ya que ambasrestricciones son compatibles

Por un lado tenemos: M x cL o x M cL Por otro lado tenemos que πM x En total, el precio x debe cumplir:

πM x M cL

Esto puede ocurrir siempre que πM < M cL ¿Es esto posible?


Paradoja de Allais

Hay tres posibles resultados: 500 euros, 100 euros y 0 eurosSe trata de elegir entre las dos loterías siguientes:

L = (0, 1, 0). Esto signica 100 euros seguros M = (0,10, 0,89, 0,01). Aquí ganas 500 con un 10%, 100 conun 89% o nada con un 1%

Ahora hay que elegir entre las loterías siguientes: L0 = (0, 0,11, 0,89). Ganas 100 con un 11% o nada con un89%

M 0 = (0,10, 0, 0,90). Ganas 500 con un 10% o nada con un90%


Paradoja de Ellsberg 1

Tengo dos urnas, ambas con 100 bolas:La urna A tiene 50 bolas rojas y 50 negrasLa urna B tiene x bolas rojas y 100 x bolas negras

Yo voy a sacar una bola al azar de una de las dos urnas. Sisaco una bola roja ganas 20 euros. Si saco una bola negra noganas nada

Tienes que elegir de qué urna saco la bola ¿Quién preere que la saque de la urna A?


Paradoja de Ellsberg 2

Ahora cambiamos el juego. Saco una bola al azar de una delas dos urnas. Si es negra ganas 20 euros. Si es roja no ganasnada

Tenéis que elegir de qué urna saco la bola ¿Quién preere que la saque de la urna A?


Framing e¤ects

Imagina que España se prepara para la aparición de unaenfermedad inusual que se espera produzca la muerte de 600personasSe han propuesto dos programas alternativos para combatir laenfermedadLas consecuencias de cada uno de ellos son:

Con el programa A se salvarán 200 personas Con el programa B hay una probabilidad de 2/3 de que no sesalve nadie y de 1/3 de que se salven los 600

¿Qué programa crees que se debería adoptar, el A o el B?


Framing e¤ects 2

Imagina que España se prepara para la aparición de unaenfermedad inusual que se espera produzca la muerte de 600personasSe han propuesto dos programas alternativos para combatir laenfermedadLas consecuencias de cada uno de ellos son:

Con el programa C morirán 400 personas Con el programa D hay una probabilidad de 2/3 de quemueran 600 y de 1/3 de que no muera nadie

¿Qué programa crees que se debería adoptar, el C o el D?


Ganancias y pérdidas

Imagínate que te doy 1000 euros. A continuación tienes queelegir entre las alternativas siguientes:A: Ganar 1000 euros con 1/2, no ganar nada con 1/2B: Ganar 500 euros seguros (probabilidad 1)

¿Cuál eliges, A o B? Ahora imagínate que te doy 2000 euros. A continuación tienesque elegir entre las alternativas siguientes:C: Perder 1000 euros con 1/2, no perder nada con 1/2D: Perder 500 euros seguros (probabilidad 1)

¿Cuál eliges, C o D?


Ganancias y pérdidas 2

De acuerdo a la posición nal del individuo A = C y B = D.El patrón típico de resultados no es consistente con la utilidadesperada. En particular observamos que los individuos sonaversos al riesgo respecto de las ganancias, pero amantes delriesgo respecto de las pérdidas

¿Qué es lo que cambia entre las dos situaciones de arriba? Elpunto de partida o de referencia. En el primer caso lasalternativas A y B contienen ganancias respecto a lasituación inicial (1000 euros)

En el segundo caso las alternativas C y D representanpérdidas respecto a la situación inicial (2000 euros)

tema 1: teoría de la decisión bajo incertidumbre - … · introducción formalización utilidad...

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