tema 1: nociones b´asicas gabriel soler l´opez
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Gabriel Soler Lopez
Documento compilado con LATEX el 13 de enero de 2008
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Tema 1: Nociones basicas
Gabriel Soler Lopez
26 de septiembre de 2006
1. Conjuntos
Definiciones.
Llamaremos conjunto a cualquier coleccion de objetos. Cada uno de
esos objetos se llamara elemento del conjunto.
Usualmente se denotaran a los conjuntos con letras mayusculas y a
sus elementos con minusculas.
Un conjunto A se dira contenido en otro B y se denotara por
A ⊆ B cuando todo elemento de A pertenece tambien a B.
Dos conjuntos, A y B , se diran iguales si y solo si A ⊆ B y B ⊆ A.
La pertenencia de un objeto a a un conjunto A se denotara por
a ∈ A y la no pertenencia por a �∈ A.
Llamaremos conjunto vacıo, ∅, al conjunto que no tiene elementos.
Diremos que un conjunto es finito si solo contiene una cantidad finita
de elementos.
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Notacion
{x : x satisface P} denota al conjunto cuyos elementos satisfacen la
propiedad P .
1.1. Operaciones con conjuntos
Dados los conjuntos A, B y U tales que A ⊆ U y B ⊆ U :
1. La union de A y B es el conjunto: A∪B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.
2. La interseccion de A y B es el conjunto: A ∩ B = {x : x ∈A y x ∈ B}.
3. La diferencia de A y B es el conjunto: A\B = {x : x ∈ A y x �∈B}.
4. El complementario de A en U es el conjunto: Ac = U\A.
5. El producto cartesiano de A y B es el conjunto de pares: A×B =
{(a, b) : a ∈ A y b ∈ B}.
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1.2. Propiedades de estas operaciones
Dados dos conjuntos, A y B, contenidos en el conjunto U , se tiene:
1. Propiedad conmutativa de la union y la interseccion: A ∪ B =
B ∪ A, A ∩B = B ∩A.
2. Propiedad asociativa de la union y la interseccion: A∪ (B ∪C) =
(A ∪B) ∪ C, A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C.
3. Propiedad distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), A ∩(B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
4. A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅.
5. A ∪ U = U , A ∩ U = A.
6. A\B = A ∩Bc.
7. Leyes de Morgan: (A ∪B)c = Ac ∩Bc, (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc.
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2. Conjuntos “famosos”: los naturales,
los enteros y los racionales
No introduciremos axiomaticamente a estos conjuntos, nos limitare-
mos a comentar algunas de sus propiedades.
Los numeros naturales, N. Dentro de ellos hay definida una
suma, una multiplicacion y un orden, ası como la propiedad basica que
da lugar al principio de induccion:
Proposicion. Si un subconjunto de los numeros naturales S veri-
fica que 1 ∈ S y la propiedad “n ∈ S implica n + 1 ∈ S”, entonces
S = N.
Proposicion (Principio de Inducccion). Dada una familia {P (n) :
n ∈ N}, de forma que cada P (n) es una propiedad dependiendo del
correspondiente numero natural, tal que:
1. P (n0) es cierta para un cierto n0 ≥ 1;
2. si asumimos que P (n) es cierta para un n ≥ n0 ( hipotesis de
induccion), podemos probar que P (n + 1) es cierta;
entonces se verifica P (n) para todo numero natural n ≥ n0.
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Ejercicio.
Demostrar las siguientes propiedades:
1. 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)2
;
2. Demostrar que los para cualquier numero natural n el numero
32n+2 + 26n+1es un multiplo de 11;
3. Demostrar que para todo numero natural a, si n+ 1n es un numero
natural entonces na + 1na .
4. Demuestra que el numero de subconjuntos que tiene un conjunto
de n elementos es 2n.
5. Demuestra que el numero de subconjuntos de j elementos que tiene
un conjunto de n elementos es(nj
).
6. Demuestra que el numero de diagonales que se pueden trazar en
un polıgono de n lados es n(n−3)2
. ¿Por que n(n− 3) es par?
Los numeros enteros, Z, y los racionales, Q.
El conjunto del los numeros enteros es:
Z := {n : n ∈ N} ∪ {0} ∪ {−n : n ∈ N}y el conjunto de los numeros racionales:
Q := {ab
: a ∈ Z, b ∈ Z\{0}}6
.
Propiedades de la suma en Z:
1. Conmutativa: para cualesquiera a ∈ Z y b ∈ Z se verifica a+ b =
b + a.
2. Asociativa: para cualesquiera a ∈ Z, b ∈ Z y c ∈ Z se verifica
(a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para la suma que es el numero 0 y
que verifica a + 0 = 0 + a = a para cualquier a ∈ Z.
4. Para cada elemento a ∈ Z existe su elemento opuesto, que se
denota por −a y que verifica a + (−a) = −a + a = 0.
Propiedades del producto en Z:
1. Conmutativa: para cualesquiera a ∈ Z y b ∈ Z se verifica ab = ba.
2. Asociativa: para cualesquiera a ∈ Z, b ∈ Z y c ∈ Z se verifica
(ab)c = a(bc).
3. Existe un elemento neutro para el producto que es el numero 1
y que verifica 1a = a para cualquier a ∈ Z.
Propiedad de la suma respecto del producto:
7
1. Distributiva: para cualesquiera a ∈ Z, b ∈ Z y c ∈ Z se verifica
a(b + c) = ab + ac.
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Propiedades de la suma en Q:
1. Conmutativa: para cualesquiera a ∈ Q y b ∈ Q se verifica a+b =
b + a.
2. Asociativa: para cualesquiera a ∈ Q, b ∈ Q y c ∈ Q se verifica
(a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para la suma que es el numero 0 y
que verifica a + 0 = 0 + a = a para cualquier a ∈ Q.
4. Para cada elemento a ∈ Q existe su elemento opuesto, que se
denota por −a y que verifica a + (−a) = −a + a = 0.
Propiedades del producto en Q:
1. Conmutativa: para cualesquiera a ∈ Q y b ∈ Q se verifica ab =
ba.
2. Asociativa: para cualesquiera a ∈ Q, b ∈ Q y c ∈ Q se verifica
(ab)c = a(bc).
3. Existe un elemento neutro para el producto que es el numero 1
y que verifica 1a = a para cualquier a ∈ Q.
4. Para cada elemento a ∈ Q\{0} existe su elemento inverso, que
se denota por a−1 y que verifica aa−1 = a−1a = 1.
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Propiedad de la suma respecto del producto:
1. Distributiva: para cualesquiera a ∈ Q, b ∈ Q y c ∈ Q se verifica
a(b + c) = ab + ac.
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Senalaremos las diferencias esenciales de ambos conjuntos:
1. El supremo (menor de las cotas superiores, es decir, de los numeros
que son mayores o iguales que todos los del conjunto) de un con-
junto, S ⊂ Q, puede no existir en Q, por ejemplo E = {(1 + 1n
)n:
n ∈ N} esta acotado y no tiene supremo. En cambio, en los nume-
ros enteros, todo conjunto acotado superiormente tiene supremo.
Ejemplo
El conjunto A = {a ∈ Q : a <√
2} no tiene supremo en Q.
El conjunto B = {a ∈ Z : a <√
2} tiene supremo en Z y es
. . . . . . . . . .
2. Los numeros enteros no tienen inverso, mientras que los racionales,
menos cero, sı lo tienen.
3. En general no existen raıces cuadradas en ambos conjuntos.
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3. Aplicaciones
Definiciones
Una aplicacion entre dos conjuntos A y B es una ley que envıa
cada elemento de A a un elemento de B.
Las aplicaciones suelen denotarse por letras minusculas.
Para denotar que es una aplicacion entre A y B se suele escribir
f : A→ B.
f(a) = b significa que f envıa el elemento a al elemento b.
El conjunto A se llama dominio de la aplicacion f .
El conjunto f(A) = {f(a) : a ∈ A} se llama conjunto imagen de
f .
La aplicacion identidad en el conjunto A es la aplicacion IdA :
A→ A que verifica Id(a) = a para todo a ∈ A.
Operacion entre aplicaciones
Dadas dos aplicaciones, f : A → B y g : B → C, se define la
composicion de f y g como la aplicacion:
g ◦ f : A −→ C
a → g(f(a)).
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Tipos de aplicaciones
Dada una aplicacion f : A→ B se dice que f es:
1. inyectiva cuando, si a �= b entonces f(a) �= f(b),
2. suprayectiva cuando f(A) = B,
3. biyectiva cuando es a la vez inyectiva y suprayectiva.
Para una aplicacion biyectiva, f : A → B, se puede definir su
aplicacion inversa:
f−1 : B −→ A
b → f−1(b) = a/ f(a) = b.
Es claro ahora que f ◦ f−1 = IdB y f−1 ◦ f = IdA.
Ejercicio
Demostrar que no existe una aplicacion biyectiva entre los conjun-
tos N y P(N).
Construir una aplicacion biyectiva entre N y Z.
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4. Leyes de composicion. Estructuras
algebraicas
Definicion (Leyes de composicion). Una ley de operacion in-
terna o ley de composicion interna sobre un conjunto A es una apli-
cacion:
∗ : A× A −→ A
(a, b) → ∗(a, b) = a ∗ b.
Dados dos conjuntos, A y B, una ley de operacion externa sobre
el conjunto A es una aplicacion del tipo:
∧ : A×B −→ A
(a, b) → ∧(a, b) = a ∧ b.
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Propiedades que pueden verificar las leyes de compo-
sicion. Fijado un conjunto A y una ley de operacion interna ∗, se
tiene:
1. La ley de composicion interna ∗ es conmutativa si y solo si a∗b =
b ∗ a para cualesquiera a y b de A.
2. La ley de composicion externa ∗ es asociativa si y solo si a∗(b∗c) =
(a ∗ b) ∗ c para cualesquiera a, b y c de A.
3. Se dice que un elemento e ∈ A es elemento neutro para la
operacion ∗ si y solo si a ∗ e = e ∗ a = a.
4. Se dice que el elemento a ∈ A es simetrico de b ∈ A si y solo si
a ∗ b = b ∗ a = e (elemento neutro).
Observacion
Los elementos simetricos y neutros son unicos.
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Definicion (Grupo). Dado el conjunto G y una operacion definida
sobre el, ∗, diremos que el par (G, ∗) es un grupo si se tiene que la
operacion ∗ es asociativa, tiene elemento neutro y cualquier elemento
de G tiene simetrico.
Si ademas la operacion ∗ es conmutativa, estaremos ante un grupo
conmutativo o abeliano.
Ejemplos
(R, +) es un grupo abeliano.
(R\{0}, ·) es un grupo abeliano.
(Q, +) es un grupo abeliano.
(Q\{0}, ·) es un grupo abeliano.
(Z, +) es un grupo abeliano.
(Z\{0}, ·) no es un grupo abeliano.
(N, +) no es un grupo abeliano.
(N, ·) no es un grupo abeliano.
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(Z4, +) es un grupo abeliano, donde Z4 = {0, 1, 2, 3} y la ley de
operacion interna + viene definida por la siguiente tabla:
+ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
(Z4\{0}, ·) no es un grupo abeliano, donde Z4 = {0, 1, 2, 3} y la ley
de operacion interna · viene definida por la siguiente tabla:
· 0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
2 0 2 0 2
3 0 3 2 1
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Definicion (Anillo). Dado el conjunto G y dos operaciones internas
definidas sobre el, ∗ y +, diremos que la terna (G, +, ∗) es un anillo
si (G, +) es un grupo abeliano, la operacion ∗ es asociativa y ademas
para cualesquiera a, b y c de A, se tiene que a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c
y (a + b) ∗ c = a ∗ c + b ∗ c.
Si ademas la operacion ∗ es conmutativa, estaremos ante un anillo
conmutativo. Por otro lado, si la operacion ∗ tiene elemento neutro
diremos que el anillo tiene unidad.
Ejemplos
(R, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.
(Q, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.
(Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.
(N, +, ·) no es un anillo.
(Z4, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.
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Definicion (cuerpo). Dado el conjunto K y dos operaciones internas
definidas sobre el, ∗ y +, diremos que la terna (K, +, ∗) es un cuerpo si
es un anillo con unidad, 1, y ademas (K\{0}, ∗) es un grupo abeliano,
siendo 0 ∈ K el elemento neutro de la operacion +. Adicionalmente se
debe exigir 1 �= 0.
Ejemplos
(R, +, ·) es un cuerpo.
(Q, +, ·) es un cuerpo.
(Z, +, ·) no es un cuerpo.
(N, +, ·) no es un cuerpo.
(Z4, +, ·) no es un cuerpo.
(Z2, +, ·) es un cuerpo, siendo Z2 = {0, 1} y las operaciones definidas
por:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
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5. Los numeros reales
Llamaremos cuerpo de los numeros reales a un conjunto, denotado
por R, dotado de dos leyes de operacion interna, + y ·, y una relacion
binaria de orden ≤, de forma que:
1. (R, +, ·) es un cuerpo.
2. ≤ es un orden total, es decir, para cualesquiera x, y ∈ R o bien
x ≤ y o y ≤ x.
3. ≤ es compatible con las operaciones, es decir, para cualesquiera
x, y, z ∈ R:
Si x ≤ y entonces x + z ≤ y + z.
Si asumimos que 0 ≤ z y x ≤ y entonces x · z ≤ y · z.
4. Axioma de completitud: todo subconjunto, S de R, acotado supe-
riormente (resp. inferiormente) tiene un supremo (resp. ınfimo) en
R.
Asumiremos la existencia de un conjunto dotado de estas propiedades
y que contiene a los numeros racionales, puesto que la construccion es
bastante tecnica, difıcil y larga.
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Propiedades de R.
Proposicion (Propiedad arquimediana). Dados x, y ∈ R con
x > 0 (es decir, x ≥ 0 y x �= 0) existe n ∈ N tal que y < nx.
Proposicion (Parte entera de un numero real). Dado x ∈ R,
existe z ∈ Z tal que z−1 ≤ x < z. El numero z−1 recibe en nombre
de parte entera de x.
Proposicion (Densidad de los racionales). Dados x, y ∈ R
con x < y, existe q ∈ Q tal que x ≤ q ≤ y (el conjunto de los
numeros irracionales, I = R\Q, tambien es denso en R).
Principio de los intervalos encajados de Cantor.
Una familia de intervalos I1, I2, . . . , In, . . . , se dice que constituyen
una familia decreciente de intervalos encajados si verifican la relacion:
· · · ⊆ In ⊆ In−1 ⊆ I2 ⊆ I1.
Teorema (Cantor). Sea {In : n ∈ N} una familida decreciente
de intervalos encajados, cerrados. Entonces:
⋂n∈N
{In : n ∈ N} �= ∅.
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6. Los numeros complejos
Llamaremos numeros complejos al conjunto:
C = {a + bi : a, b ∈ R},
y definiremos sobre el las siguientes dos operaciones:
1.
+ : C× C −→ C
(a + bi, c + di) → (a + c) + (b + d)i,
2.
Δ : C× C −→ C
(a + bi, c + di) → (ac− bd) + (ad + bc)i.
Con estas dos operaciones se puede ver que (C, +, ·) es un cuerpo,
llamado cuerpo de los numeros complejos.
R es un subconjunto de los numeros complejos, en efecto, el numero
real a se puede identificar con el numero complejo a + 0i.
Para cada numero real z = a + bi, llamaremos parte real de z a a
y parte imaginaria a b.
Llamaremos unidad imaginaria a i, que normalmente se identifica
con√−1, ya que i2 = −1 + 0i = −1.
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Se define el conjugado de un numero complejo z = a+bi y se denota
por z como:
z = a + bi = a− bi.
Ejercicio
Demostrar que para cada par de numeros complejos, z1 y z2:
z1 + z2 = z1 + z2,
z1z2 = z1 z2,
z1z1 ∈ R, ademas z1z1 > 0 si z1 �= 0.
Observacion
Los numeros complejos es que aseguran la existencia de raıces pa-
ra cualquier polinomio, cosa que en R no sucede, sin ir mas lejos el
polinomio x2 + 1 no tiene raıces reales y sin embargo tiene raıces en C.
Observacion
Cualquier polinomio real r(x) se descompone como producto de po-
linomios de primer y segundo grado, los primeros asociados a las raıces
reales de r(x) y los segundos a las raıces complejas.
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6.1. Representacion modulo argumen-
tal de los numeros complejos.
El modulo de un numero complejo z es el numero real dado por
la raız cuadrada positiva de zz.
La expresion eiθ representa el numero complejo de modulo 1 cosθ +
isen θ. Aquı θ tiene un significado geometrico, es el angulo que el vector
(cos θ, sen θ) forma con el semieje positivo Ox.
Cualquier numero complejo z se puede expresar como el producto
meiθ, donde m es el modulo de z y eiθ es el complejo de modulo 1 dado
por z√zz
.
Operaciones entre numeros dados en representacion modu-
lo argumental
Dados z1 = m1eiθ1, z2 = m2e
iθ2 y r ∈ Q, se tiene:
1. z1z2 = m1eiθ1m2e
iθ2 = m1m2ei(θ1+θ2),
2. z1z2
= m1eiθ1
m2eiθ2
= m1m2
ei(θ1−θ2),
3. zr1 =(m1e
iθ1)r
= mr1e
rθ1.
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7. Ejercicios resueltos
Ejercicio
Demostrar la formula del binomio de Newton:
(a + b)n =n∑
j=0
(n
j
)ajbn−j
siendo n un numero natural mayor o igual que 1.
Demostraremos la formula por induccion.
Para n = 1 la formula se satisface ya que:
(a + b)1 =1∑
j=0
(1
j
)ajb1−j =
(1
0
)a0b1 +
(1
1
)a1b0 = b + a
Ahora deducimos la formula para n+1 partiendo de la formula para
n :
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(a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n
= (a + b)n∑
j=0
(n
j
)ajbn−j
= an∑
j=0
(n
j
)ajbn−j + b
n∑j=0
(n
j
)ajbn−j
=n∑
j=0
(n
j
)aj+1bn−j +
n∑j=0
(n
j
)ajbn+1−j
=n+1∑j=1
(n
j − 1
)ajbn+1−j +
n∑j=0
(n
j
)ajbn+1−j =
=n∑
j=1
(n
j − 1
)ajbn+1−j +
(n
n
)an+1b0 +
(n
0
)a0bn+1 +
n∑j=1
(n
j
)ajbn+1−j =
=
n∑j=1
[(n
j − 1
)ajbn+1−j +
(n
j
)ajbn+1−j
]+
(n
n
)an+1b0 +
(n
0
)a0bn+1
=n∑
j=1
[(n
j − 1
)+
(n
j
)]ajbn+1−j +
(n
n
)an+1b0 +
(n
0
)a0bn+1
=n∑
j=1
(n + 1
j
)ajbn+1−j +
(n + 1
n + 1
)an+1b0 +
(n + 1
0
)a0bn+1
=
n+1∑j=0
(n + 1
j
)ajbn+1−j
Ası que la formula del binomio de Newton vale para cualquier nume-
ro natural n.
26
Ejercicio
Da contraejemplo a las siguientes afirmaciones:
1. (A ∩B)c = Ac ∩ Bc
Solucion.
Esta afirmacion es falsa, basta con tomar A = {1, 2, 3, 4}, B =
{3, 4, 5, 6, 7} y U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ahora se tiene:
(A∩B)c = {3, 4}c = {1, 2, 5, 6, 7} �= ∅ = {5, 6, 7}∩{1, 2} = Ac∩Bc
2. (A ∪B)c = Ac ∪ Bc
Solucion.
Esta afirmacion tambien es falsa, basta con tomar A = {1, 2, 3, 4},B = {3, 4, 5, 6, 7} y U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Ahora se tiene:
(A ∪B)c = ∅ �= {1, 2, 5, 6, 7} = {5, 6, 7} ∪ {1, 2} = Ac ∪Bc
27
Ejercicio
Demostrar la siguiente igualdad del producto cartesiano:
(A× B) ∩ (C ×D) = (A ∩ C)× (B ∩D)
Solucion.
Demostramos la inclusion ⊆: sea (x, y) ∈ (A × B) ∩ (C × D),
ası que (x, y) ∈ A×B y (x, y) ∈ C×D; por lo tanto x ∈ A, y ∈ B y
x ∈ C, y ∈ D. Ahora se ve claro que x ∈ A∩C y que y ∈ B ∩D, por
lo tanto (x, y) ∈ (A ∩ C)× (B ∩D) y la inclusion esta demostrada.
Demostramos ahora la inclusion ⊇: sea (x, y) ∈ (A∩C)× (B∩D),
ası que x ∈ A∩C e y ∈ B ∩D, es decir x ∈ A, x ∈ C, y ∈ B, y ∈ D.
Ahora se ve claro que (x, y) ∈ A × B y que (x, y) ∈ C × D, por lo
tanto (x, y) ∈ (A× B) ∩ (C ×D).
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Ejercicio
Sean f : A → B, g : B → C y h : C → D tres aplicaciones,
demostrar que se cumplen las siguientes afirmaciones:
1. Si f y g son inyectivas entonces g ◦ f es inyectiva.
Solucion.
Tenemos que demostrar que tomados elementos a, c ∈ A tales que
a �= c entonces g ◦ f(a) �= g ◦ f(c). Por ser a �= c y f inyectiva
tenemos que f(a) �= f(c). Ahora aplicamos la inyectividad de g y
entonces: g ◦ f(a) = g(f(a)) �= g(f(c)) = g ◦ f(c). Ası que g ◦ f
es inyectiva.
2. Si f y g son suprayectivas entonces g ◦ f es suprayectiva.
Solucion.
En efecto, dado c ∈ C, por la suprayectividad de g sabemos que
existe b ∈ B tal que g(b) = c. Ahora la suprayectividad de f
implica la existencia de un elemento a ∈ A tal que f(a) = b.
Por lo tanto g(f(a)) = g ◦ f(a) = c y esto demuestra que todo
elemento de C es imagen de algun elemento de A, es decir g ◦ f es
suprayectiva.
3. Si f y g son biyectivas entonces g ◦ f es biyectiva.
29
Solucion.
Es consecuencia de la demostracion de los dos apartados anterio-
res.
4. Si g ◦ f es inyectiva entonces f es inyectiva.
Solucion.
Si f no fuera inyectiva existirıan a, b ∈ A tales que a �= b y
f(a) = f(b). Pero ahora tambien tendrıamos g(f(a)) = g(f(b)),
lo que contradice la inyectividad de g ◦ f . Ası que f debe ser
inyectiva.
30
Ejercicio
Demuestra que si un conjunto A tiene n elementos entonces el nume-
ro de subconjuntos de j elementos que se pueden formar con los ele-
mentos de A es(nj
).
Solucion.
Fijamos n y hacemos la demostracion por induccion en j.
Para j = 0 el unico subconjunto con 0 elementos es el conjunto
vacıo, ası que tenemos un unico subconjunto. Por otro lado(n0
)= 1,
ası que la propiedad se verifica.
Supongamos que la propiedad se verifica para un numero j, es decir:
“el numero de subconjuntos de j elementos que se pueden formar
con n elementos es(nj
)”
De esta hipotesis de induccion tendremos que deducir que la propie-
dad se verifica para j + 1, es decir:
“el numero de subconjuntos de j+1 elementos que se pueden formar
con n elementos es(
nj+1
)”
Para deducir esto pensamos que los subconjuntos de j +1 elementos
los puedo formar con los subconjuntos de j elementos anadiendoles los
n−j elementos que no estan en el subconjunto. No obstante un mismo
31
subconjunto construido ası, por ejemplo
S1 = {a1, a2, . . . , aj}
estara contado j + 1 veces porque se puede construir anadiendo el
ultimo elemento cualquiera de los del subconjunto.
Ası que el numero de subconjuntos de j +1 elementos que se pueden
formar con n elementos es:
(n
j
)n− j
j + 1=
n!(n− j)
(n− j)!j!(j + 1)=
n!
(n− j − 1)!(j + 1)!=
(n
j + 1
)y la propiedad queda demostrada.
32
Ejercicio
Desarrolla los binomios (a + b)3, (a + b)4 y (a + b)5.
Solucion.
Utilizaremos el triangulo de Tartaglia:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
... ... ... ... ... ... ... ...
33
Recordamos que este triangulo nos da los numeros combinatorios:
(00
)(
10
) (11
)(
20
) (21
) (22
)(
30
) (31
) (32
) (33
)(
40
) (41
) (42
) (43
) (44
)(
50
) (51
) (52
) (53
) (54
) (55
)(
60
) (61
) (62
) (63
) (64
) (65
) (66
)(
70
) (71
) (72
) (73
) (74
) (75
) (76
) (77
)... ... ... ... ... ... ... ...
34
Con estos datos podemos calcular los binomios solicitados:
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab3 + b3,
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4,
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5.
35
REPASO DE PRIMITIVAS
8. Consideraciones generales
El calculo de primitivas es el proceso contrario al de derivacion.
Dada una funcion real de variable real f : (a, b) → R, entendemos
por primitiva de f a una funcion F : (a, b) → R derivable y tal que
F ′(c) = f(c) para todo c ∈ (a, b).
Observacion. La primitiva de una funcion f : (a, b) → R no
es unica.
Dos primitivas de una misma funcion f : (a, b) → R, F y
G difieren en una constante. La prueba de esta segunda par-
te de la observacion consisten en ver que la funcion H(x) =
F (x)−G(x) es una funcion constante, lo cual se consigue de-
mostrando que la derivada de H es 0.
H ′(x) = F ′(x)−G′(x) = f(x)−g(x) = 0, luego H es constante.
8.1. Primitivas inmediatas
Solo sabiendo derivar podemos conocer la primitiva de una amplia
variedad de funciones, el conocimiento de dichas primitivas (elemen-
36
tales) junto con algunas tecnicas seran suficientes para poder calcular
primitivas de una amplia variedad de funciones.
1.∫
ax dx = ax
log a+ K, a > 0, a �= 1, I = (−∞, +∞),
2.∫
ex dx = ex + K, I = (−∞, +∞)
3.∫
xr dx = xr+1
r+1+ K, r �= −1, I = (0, +∞),
4.∫
x−1 dx = log x + K, I = (0, +∞),
5.∫
sen x dx = −cos x + K, I = (−∞, +∞),
6.∫
cos x dx = sen x + K, I = (−∞, +∞),
7.∫
1√1−x2 dx = arcsen x+K = π
2−arc cos x+K, I = (−1, +1),
8.∫
11+x2 dx = arctanx + K, I = (−∞, +∞),
9.∫
(1 + tan2 x) dx =∫
sec−2 x dx = tan x + K, I = (−π2, π
2),
10.∫
cosec2 x dx = −cotan x + K, I = (0, π),
A continuacion se relacionan algunas propiedades utiles para calcular
primitivas de otras funciones partiendo de las anteriores.
37
8.2. Utilizar la regla de la cadena para
las primitivas
Proposicion. Sean f y g funciones derivables definidas en el in-
tervalo (a, b). Entonces se verifica la formula:∫f ′(g(x))g′(x) dx = f ◦ g(x) + K.
Esta proposicion permite ampliar la relacion de primitivas dadas
anteriormente. En efecto, para cualquier funcion derivable f se tienen
las siguientes primitivas:
1.∫
af(x)f ′(x) dx = af(x)
log a+ K, a > 0, a �= 1,
2.∫
ef(x)f ′(x) dx = ef(x) + K,
3.∫
f(x)rf ′(x) dx = f(x)r+1
r+1 + K, r �= −1,
4.∫
f(x)−1f ′(x) dx = log f(x) + K,
5.∫
sen f(x)f ′(x) dx = −cos f(x) + K,
6.∫
cos f(x)f ′(x) dx = sen f(x) + K,
7.∫
1√1−f(x)2
f ′(x) dx = arcsen f(x) + K = π2− arc cos f(x) + K,
8.∫
11+f(x)2
f ′(x) dx = arctan f(x) + K,
9.∫
(1 + tan2 f(x))f ′(x) dx =∫
sec−2 f(x) dx = tan f(x) + K,
38
10.∫
f ′(x) cosec2 f(x) dx = −cotan f(x) + K,
Ejemplo. La integral de la funcion tangente se encuentra en la
situacion de la proposicion anterior. En efecto:∫tan x dx = − log |cos x| en todo intervalo tal que cos x �= 0.
39
8.3. Integracion de sumas y por partes
Proposicion. Dadas funciones f, g : (a, b)→ R y un numero real
λ, se verifica:
∫(f(x) + g(x)) dx =
∫f(x) dx +
∫g(x) dx,
∫λf(x) dx = λ
∫f(x) dx.
Ejemplo (Integracion de polinomios).∫(a0+a1x+a2x
2+. . . apxp) dx = a0x+a1
x2
2+a2
x3
3+. . . ap
xp+1
p + 1+K.
Proposicion (Regla de derivacion por partes). Dadas fun-
ciones f, g : (a, b) → R derivables, se verifica:∫f(x)g′(x) dx = f(x)g(x)−
∫f ′(x)g(x) dx.
40
Ejemplo. hola∫sen 2x dx =
∫sen x(−cos x)′ dx = −sen xcos x+
∫(sen x)′cos x dx =
−sen xcos x +∫
cos 2x dx,
de donde:∫sen 2x dx = −sen xcos x +
∫(1− sen 2x) dx.
Por lo tanto:
2∫
sen 2x dx = −sen xcos x + x y
∫sen 2x dx = −sen xcos x
2+
x
2.
Ejercicio.
Obtener una formula de recurrencia para calcular la primitiva∫
1(1+x2)r
dx.
41
Ejemplo. Calcula la primitiva I =∫
e−3xsen (2x)dx.
Procedemos por el metodo de integracion por partes haciendo
u = e−3x y dv = sen (2x)dx, ası que du = −3e−3xdx y v =
−12cos (2x).
I = −1
2e−3xcos (2x)− 3
1
2
∫cos (2x)e−3xdx.
Volvemos a hacer partes poniendo ahora u1 = e−3x y dv1 =
cos (2x)dx, ası que du1 = −3e−3xdx y v1 = 12sen (2x). Por lo tanto:
I = −1
2e−3xcos (2x)− 3
1
2
∫cos (2x)e−3xdx
= −1
2e−3xcos (2x)− 3
2
(e−3x1
2sen (2x) + 3
1
2
∫e−3xsen (2x)dx
)⇒ I = −1
2e−3xcos (2x)− 3
4e−3xsen (2x)− 9
4I
⇒ 13
4I = −1
2e−3xcos (2x)− 3
4e−3xsen (2x)
⇒ I = − 2
13e−3xcos (2x)− 3
13e−3xsen (2x).
42
Ejemplo. Calcula la primitiva I =∫
x arctanxdx.
Procedemos por el metodo de integracion por partes haciendo
u = arctanx y dv = xdx, ası que du = 11+x2dx y v = x2
2 .
I =x2
2arctan x− 1
2
∫x2
1 + x2dx
=x2 arctan x
2− 1
2
∫ (1 + x2
1 + x2− 1
1 + x2
)dx
=x2 arctan x
2− 1
2x− 1
2arctanx + K
43
9. Integracion por cambio de variable
Supongamos que queremos encontrar la primitiva de una funcion
f : (a, b) → R,∫
f(x) dx. En este apartado se trata de ver como
simplificar dicho calculo a traves de un cambio de variable. Supongamos
que t(x) denota una funcion invertible y derivable y calculemos su
derivada dtdx
= t′(x), que formalmente podemos escribir como dt =
t′(x) dx.
A traves de unos calculos justificativos que el alumno puede seguir
en el Libro de J. A. Fernandez Vina (Analisis matematico, tomo 1,
pagina 254) se puede obtener la igualdad:∫f(x) dx =
∫f(t)
1
t′(x)dt,
donde en el segundo miembro de la igualdad una ver hecha la primitiva
hay que substituir t por t(x).
44
Ejemplo. Vamos a calcular mediante un cambio de variable la
primitiva∫
1√x(1+x)
dx, consideraremos el cambio t =√
x.
Efectuando el cambio, tendremos:
∫1√
x(1 + x)dx =
∫2t
t(1 + t2)dt =∫
2
(1 + t2)dt = 2 arctan t = 2 arctan
√x.
45
10. Primitivas de fracciones racionales
El metodo para calcular primitivas de fracciones racionales se basa
en la descomposicion de una fraccion racional en fracciones simples.
Recordemos que una fraccion racional en la variable x no es mas que
un cociente de polinomios en la variable x. En cambio, una fraccion
racional simple o una fraccion simple es una fraccion racional de una
de las dos formas siguientes:
1. una fraccion racional cuyo numerador es una constante y cuyo
denominador es un polinomio de grado 1,
2. una fraccion racional cuyo numerador es un polinomio de grado 1
y cuyo denominador es un polinomio de grado 2 sin raıces reales.
Teorema. Toda fraccion racional F (x) = P (x)Q(x)
se descompone co-
mo:
F (x) = r(x) +
α1∑k=1
Ak
(x− a1)k+ · · · + +
αm∑k=1
Ak
(x− an)k,
donde los ai son las raıces de Q(x) = 0 y αi son las multiplicida-
des. Finalmente los Ai son numeros reales determinados y r(x) un
polinomio.
46
Teorema. Toda fraccion racional F (x) = P (x)Q(x)
se descompone co-
mo:
F (x) = r(x) +
α1∑k=1
A1k
(x− a1)k+ · · · + +
αm∑k=1
Ank
(x− an)k+
β1∑k=1
B1kx + C1
k
{[x− (b1 + c1i)][x− (b1 − c1i)]}k
+ · · · +βl∑
k=1
Blkx + Cl
k
{[x− (bl + cli)][x− (bl − cli)]}k,
donde los ai son las raıces reales de Q(x) = 0 y αi son las mul-
tiplicidades de dichas raıces, los bj + cji son las raıces complejas
de Q(x) = 0 y βj son las multiplicidades de dichas raıces. Final-
mente los Ai, Bi y Ci son numeros reales determinados y r(x) un
polinomio.
Apoyandose en el teorema anterior se puede deducir un metodo pa-
ra hacer primitivas de fracciones racionales. El metodo consistira en
obtener la descomposicion anterior y calcular primitivas sumando a
sumando.
47
11. Primitivas de expresiones que con-
tienen ax+bcx+d
Sea F una fraccion racional del tipo:
F
(x,
(ax + b
cx + d
)m1n1
,
(ax + b
cx + d
)m2n2
, . . . ,
(ax + b
cx + d
)mknk
),
de forma que n es el mınimo comun multiplo de los numeros n1, n2, . . . , nk.
Entonces el cambio de variable
tn =ax + b
cx + d,
transforma la primitiva∫
F dx en la primitiva de una fraccion racional
en la variable t.
Ejercicio.
Resolver las primitivas1:
1.∫
1√x+ 3√x
dx,
2.∫
1(1+x)
√1−x
dx,
3.∫
1(1+x)2
(1−x1+x
)1/2dx.
1Indicacion: los cambios necesarios seran tomar t igual a 6√
x,√
1− x y√
1−x1+x .
48
12. Las funciones hiperbolicas
Recordamos que las funciones seno y coseno se introducen utilizando
la funcion exponencial compleja de la forma que sigue:
cos x =eix + e−ix
2sen x =
eix − e−ix
2.
Si en vez de considerar la exponencial compleja consideramos la ex-
ponencial real obtendremos las funciones coseno y seno hiperbolicos
definidas concretamente como siguen:
Ch x =ex + e−x
2Sh x =
ex − e−x
2,
es facil ver que ambas funciones son continuas y estan definidas so-
bre todo R. Ademas, la funcion coseno hiperbolico es siempre mayor
que cero ya que la exponencial siempre es mayor que cero. Por lo tan-
to podemos dividir la funcion seno hiperbolico por la funcion coseno
hiperbolico y obtenemos la funcion tangente hiperbolica, continua y
definida sobre todo R:
Th x =Sh x
Ch x.
A partir de estas definiciones se pueden obtener sin dificultad las
propiedades basicas de las funciones hiperbolicas, propiedades analogas
(que no iguales) a las de las funciones trigonometricas:
49
Teorema.
Ch (−x) = Ch x cos (−x) = cos x
Sh (−x) = −Sh x sen (−x) = −sen x
Th (−x) = −Th (x) tan(−x) = − tanx
Ch 2x− Sh 2x = 1 cos 2x + sen 2x = 1
1− Th 2x =1
Ch 21 + tan2x =
1
cos 2x
Ch (x + y) = Ch xCh y + Sh xSh y cos (x + y) = cos xcos y − sen xsen y
Ch (2x) = Ch 2x + Sh 2x cos (2x) = cos 2x− sen 2x
Ch (x− y) = Ch xCh y − Sh xSh y cos (x− y) = cos xcos y + sen xsen y
Sh (x + y) = Sh xCh y + Ch xSh y sen (x + y) = sen xcos y + cos xsen y
Sh (2x) = 2Sh xChx sen (2x) = 2sen xcos x
Sh (x− y) = Sh xCh y − Ch xSh y sen (x− y) = sen xcos y − cos xsen y
Th (x + y) =Th x + Th y
1 + Th xTh ytan(x− y) =
tan x− tan y
1 + tan x tan y
Th (x− y) =Th x− Th y
1− Th xTh ytan(x + y) =
tan x + tan y
1− tan x tan y
Ademas de estas propiedades que dependen unicamente de la de-
finicion de las funciones hiperbolicas, por la propia definicion estas
funciones son derivables, viniendo recogidas sus propiedades en lo que
sigue:
50
Sh ′x =
(ex − e−x
2
)′=
ex + e−x
2= Ch x,
Ch ′x =
(ex + e−x
2
)′=
ex − e−x
2= Sh x,
Th ′x =
(Sh x
Ch x
)′=
Ch xCh x− Sh xSh x
Ch 2x=
1
Ch 2x.
(1)
Resumiendo:
Sh ′x = Ch x, Ch ′x = Sh x, Th ′x = 1Ch 2x
.
Ahora que conocemos las derivadas de las funciones hiperbolicas se
puede ver facilmente que Sh ′x y Th ′x son numeros reales estrictamente
mayores que cero, luego ambas funciones son estrictamente crecientes
y por lo tanto aplicaciones inyectivas. Estudiando los lımites cuando
x tiende a ±∞ conoceremos entre que intervalos ambas funciones son
biyectivas.
Observacion.
lımx→+∞ Sh x = +∞, lım
x→−∞ Sh x = −∞,
lımx→+∞
Th x = 1, lımx→−∞
Th x = −1.
51
Figura 1: Funcion seno hiperbolico
Teorema. Las funciones:
Sh : R −→ R
x → Sh xy
Th : R −→ (−1, 1)
x → Th x
son biyectivas.
Sin embargo, la funcion coseno hiperbolico no es una aplicacion bi-
yectiva cuando la consideramos definida sobre todo R, es mas, mediante
el uso de las derivadas de la funcion Ch se puede ver que dicha funcion
tiene un mınimo en x = 0.
12.1. Los argumentos hiperbolicos de
las funciones hiperbolicas
Hemos visto ya que las funciones seno y tangente hiperbolicas son in-
vertibles, con lo cual nos podemos plantear la busqueda de sus funciones
52
Figura 2: Funcion coseno hiperbolico
Figura 3: Funcion tangente hiperbolica
inversas, estas funciones se llamaran argumento del seno hiperbolico
y argumento de la tangente hiperbolica.
Aunque la funcion coseno hiperbolico no sea una biyeccion, si la con-
sideramos definida solo sobre la semirrecta positiva o negativa, sı que
es un biyeccion y tiene sentido buscar el argumento del coseno hi-
perbolico.
Argumento del seno hiperbolico
53
Partiendo de la igualdad y = Sh x, encontrar el argumento del seno
hiperbolico se trata de despejar x en funcion de y. Para ello seguimos
los siguientes pasos:
Sh x = y ⇒ ex − e−x
2= y ⇒ ex − e−x = 2y.
Ahora hacemos el cambio de variable z = ex, de donde 1z
= e−x:
Sh x = ex − e−x = 2y ⇒ z − 1
z= 2y ⇒ z2 − 2yz − 1 = 0 (2)
⇒ z =2y ±
√4y2 + 4
2= y ±
√1 + y2.
Ahora hay que observar que el signo menos anterior no tiene sentido
ya que para el, z serıa negativo, sin embargo z debe ser positivo por
ser igual a ex. Entonces:
ArgSh y = log(y +√
y2 + 1).
Argumento del coseno hiperbolico
Partiendo ahora de la igualdad y = Ch x, encontrar el argumento
del coseno hiperbolico se trata de despejar x en funcion de y. Para ello
procedemos como antes:
Ch x = y ⇒ ex + e−x
2= y ⇒ ex + e−x = 2y.
54
Ahora hacemos el cambio de variable z = ex, de donde 1z = e−x:
Ch x = ex + e−x = 2y ⇒ z +1
z= 2y ⇒ z2 − 2yz + 1 = 0 (3)
⇒ z =2y ±
√4y2 − 4
2= y ±
√y2 − 1.
En este caso el signo menos sı tiene sentido porque no hace que z
sea negativo. Entonces:
ArgCh y = log(y ±√
y2 − 1).
Argumento de la tangente hiperbolica
Observemos para empezar que la tangente hiperbolica solo estara de-
finida en el intervalo (−1, 1), ya que la tangente hiperbolica solo toma
valores en dicho intervalo. Partimos de la igualdad y = Th x y hacemos
en los calculo que siguen el cambio de variable z = ex:
Th x = y ⇒ ex − e−x
ex + e−x= y ⇒ z − 1
z= (z +
1
z)y ⇒ z2 − 1
z=
z2 + 1
zy
⇒ (y − 1)z2 = −1− y ⇒ z2 =1 + y
1− y⇒ x = log
√1 + y
1− y.
Por lo tanto:
ArgTh y = log
√1 + y
1− y.
55
12.2. Las derivadas de las funciones hi-
perbolicas y sus analogas trigo-
nometricas
Sh ′x = Ch x, sen ′x = cos x
Ch ′x = Sh x, cos ′x = −sen x
Th ′x =1
Ch 2x, tan′ x =
1
cos 2
ArgSh ′x =1√
1 + x2, arcsen ′x =
1
±√1− x2
ArgCh ′x =1
±√x2 − 1, arc cos′ x =
1
±√1− x2
ArgTh ′x =1
1− x2, arctan′ x =
1
1 + x2
(4)
13. Primitivas de expresiones que con-
tienen cos x y sen x
En esta seccion vamos a analizar como obtener primitivas del estilo∫f(cos x, sen x) dx, donde f es una fraccion racional y el intervalo
donde queremos calcular la primitiva sera (−π, π).
56
13.1. El cambio de variable x = 2 arctan t
El cambio de variable x = 2 arctan t, es decir, t = tan x2, pone en
correspondencia el intervalo (−π, π) con toda la recta real. Al realizar
este cambio sera de utilidad tener en cuenta las relaciones trigonometri-
cas usuales que dan las siguientes igualdades:
cos x =1− t2
1 + t2, sen x =
2t
1 + t2.
(5)
Al realizar este cambio de variable y tener en cuenta las relacio-
nes anteriores convertiremos la primitiva inicial en la de una fraccion
racional en la variable t:∫f(
1− t2
1 + t2,
2t
1 + t2)
2
1 + t2dt.
Aunque este cambio nos asegura el exito en la resolucion de primi-
tivas, otros pueden conllevar una resolucion mas simple. Veamoslo.
13.2. El cambio t = sen x
Si la fraccion racional f(sen x, cos x) es del estilo f1(sen x)cos x en-
tonces el cambio de variable t = sen x nos lleva a una resolucion mas
sencilla. Conviene notar que estaremos ante este caso cuando al dividir
57
f(sen x, cos x) por cos x nos quedan solo potencias pares de cos x, pues
basta poner cos 2x = 1− sen 2x.
13.3. El cambio t = cos x
Si la fraccion racional f(sen x, cos x) es del estilo f1(cos x)sen x en-
tonces el cambio de variable t = cos x nos lleva a una resolucion mas
sencilla que utilizando el primer cambio de la tangente del angulo mi-
tad. Conviene notar que estaremos ante este caso cuando al dividir
f(sen x, cos x) por sen x nos quedan solo potencias pares de sen x, pues
basta poner sen 2x = 1− cos 2x.
13.4. El cambio t = tan x
En el caso en el que la fraccion racional f(sen x, cos x) sea del es-
tilo f1(tan x) entonces se hace el cambio tan x = t y la primitiva∫f1(tan x) dx queda como∫
f1(tan x)
1 + tan2 x(1 + tan2 x) dx =
∫f1(t)
1 + t2dt.
Estaremos en este caso si al sustituir sen x por cos x tan x en la
expresion f(sen x, cos x) nos quedan solo cosenos elevados a exponentes
pares, pues basta poner entonces cos 2x = 11+tan2 x
.
58
13.5. Casos particulares
Un caso interesante de las primitivas de funciones trigonometricas
son las de la forma ∫cos nxsen mx dx,
donde los exponentes m y n son naturales. Utilizando las formulas
de trigonometrıa puede expresarse cos nx como una suma en la que
intervienen cosenos multiplos de x, y sen mx como una suma en la que
intervienen cosenos y senos multiplos de x. Al efectuar la multiplicacion
de dichas sumas apareceran productos de la forma sen (αx)cos (βx) y
productos de la forma cos (αx)sen (βx). Para calcular las integrales de
estos productos se descomponen en sumas utilizando las formulas:
2sen (αx)cos (βx) = sen [(α + β)x] + sen [(α− β)x] (6)
2cos (αx)cos (βx) = cos [(α + β)x] + cos [(α− β)x] (7)
Por otro lado, otra situacion interesante es aquella en la que dispone-
mos de una fraccion racional en las variables cos (r1x), cos (r2x), . . . , cos (rnx),
sen (s1x), sen (s2x), . . . , sen (smx), siendo los numeros r1, r2, . . . , rn,
s1, s2, . . . , sm son racionales. Tomemos el mınimo comun multiplo de
los denominadores de dichos numeros, p, y hagamos el cambio x = pt.
Con lo que obtendremos una primitiva donde intervienen cosenos y
59
senos multiplos enteros de t. Finalmente, cada una de las funciones
anteriores se puede expresar como un polinomio de cos t y sen t, con lo
que hemos pasado al primer caso de este apartado.
Ejercicio.
Resuelve:
1.∫
15+4cosx dx usando el cambio tan(x/2) = t,
2.∫
1+cos 2xcosx(1+sen 2x)
dx usando el cambio sen x = t,
3.∫
sen 2x1+cos 2x
dx usando el cambio tan x = t.
14. Primitivas de expresiones que con-
tienen√
ax2 + 2bx + c
En esta seccion se estudian las primitivas del estilo∫
f(x,√
ax2 + 2bx + c) dx,
donde f es una fraccion racional y a, b y c son numeros reales con a �= 0.
En estas primitivas siempre hay que tener en cuenta la identidad:
ax2 + bx + c = a
(x +
b
a
)2
+ac− b2
a,
lo cual sugiere hacer el cambio de variable t = x+b/a transformandose
la primitiva de partida en:∫f(t− b/a,
√at2 + d) dt.
60
En el caso que d sea cero, a debe ser positivo y la primitiva toma la
forma∫
f(t − b/a,√
at) dt, que no plantea dificultades. Por lo tanto
consideraremos que estamos en el caso d �= 0 y veremos la forma de
proceder distinguiendo tres casos.
1. d < 0 y a > 0. En este caso hacemos el cambio de variable√
a−d
t =
u y obtenemos la nueva primitiva∫f(
√−d
au− b
a,√−d
√u2 − 1) du =
∫f1(u,
√u2 − 1) du,
donde f1 es una fraccion racional. Esta ultima integral se resuelve
facilmente haciendo el cambio u = Ch v.
2. d > 0 y a > 0. En este caso hacemos el cambio de variable√−ad
t =
u y obtenemos la nueva primitiva∫f(
√d
−au− b
a,√
d√
1− u2) du =
∫f2(u,
√1− u2) du,
donde f2 es una fraccion racional. Esta ultima integral se resuelve
facilmente haciendo el cambio u = sen v.
3. d > 0 y a > 0. En este ultimo caso se hace el cambio√
adt = u y
obtenemos la nueva primitiva∫f(
√d
au− b
a,√
d√
u2 + 1) du =
∫f1(u,
√u2 + 1) du,
donde f1 es una fraccion racional. Esta ultima integral se resuelve
facilmente haciendo el cambio u = Sh v.
61
Tema 2: Matrices y determinantes
Gabriel Soler Lopez
26 de septiembre de 2006
1. Definicion de matriz. Tipos de ma-
trices
Definicion (Matriz).
Una matriz de tamano m×n sobre el cuerpo K es una coleccion de
m n elementos de K ordenados en una tabla de m filas y n columnas
de la forma:
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
,
con ai,j ∈ K para todo (i, j) ∈ {1, . . . , m} × {1, . . . , n}.
Notacion.
Al conjunto de todas las matrices de tamano m×n sobre el cuerpo
K se le denota por Mm×n(K).
62
Denotaremos a las matrices con letras mayusculas A, B, C, . . . .
Los elementos de las matrices se denotaran con minusculas a, b, c, . . . .
Si denotamos a una matriz por la letra A, entonces el elemento
de dicha matriz que esta en la fila i y columna j se le denota
genericamente por ai,j, ası que A = (ai,j)(i,j)∈{1,...,m}×{1,...,n}.
63
Tipos de matrices y mas notacion.
1. A = (ai,j)(i,j)∈{1,...,m}×{1,...,n} es cuadrada si el numero de sus filas
es igual al de columnas, es decir, si m = n.
2. A = (ai,j)(i,j)∈{1,...,m}×{1,...,n} es una matriz fila si m = 1.
3. A = (ai,j)(i,j)∈{1,...,m}×{1,...,n} es una matriz columna si n = 1.
4. Los elementos de la diagonal de A son {aii}i∈{1,...,mın(m,n)}.
5. S i A tiene todos los elementos por encima (respectivamente por
debajo) de la diagonal igual a 0 se dice que A es triangular inferior
(resp. triangular superior), es decir, si ai,j = 0 para todo j > i
(resp. ai,j = 0 para todo j < i).
6. Una matriz es diagonal si y solo si ai,j = 0 para todo i �= j.
7. Dos matrices A y B son iguales si y solo si tienen el mismo tamano,
por ejemplo m × n, y ademas para todo (i, j) ∈ {1, . . . , m} ×{1, . . . n} se tiene que ai,j = bi,j.
64
2. Operaciones con matrices
2.1. Traspuesta de una matriz
Dada una matriz A = (ai,j)(i,j)∈{1,...,m}×{1,...,n} ∈ Mm×n(K), defini-
mos la matriz traspuesta de A como:
At =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a21 · · · am1
a12 a22 · · · am2
... ... . . . ...
a1n a2n · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
,
es decir, es la matriz que se obtiene al poner las filas de A como co-
lumnas y las columnas como filas.
Definicion (matrices simetricas y antisimetricas).
A es simetrica si y solo si A = At
A es antisimetrica cuando A = −At
Ejercicio.
Comprobar que (At)t = A
65
2.2. Suma de matrices
Dentro del conjunto de matrices Mm×n(K) definimos la ley de ope-
racion interna suma
+ : Mm×n(K)×Mm×n(K) −→ Mm×n(K)
(A, B) → C = A + B,
de forma que cij = aij + bij para todo (i, j) ∈ {1, . . .m}×{1, . . . , n}.
Proposicion.
(Mm×n(K), +) es un grupo abeliano.
(A + B)t = At + Bt.
66
2.3. Producto de matrices
· : Mm×n(K)×Mn×h(K) −→ Mm×h(K)
(A, B) → C = A · B = AB,
cij =n∑
l=1
ailblj para todo (i, j) ∈ {1, . . .m} × {1, . . . , h}.
Proposicion
Dadas A ∈ Mm×n(K), B, C ∈Mn×h(K) y D ∈Mh×p(K), se tiene:
1. (AB)D = A(BD).
2. A(B + C) = AB + AC.
3. (AB)t = BtAt.
4. AIn = A = ImA; donde, para cada k ∈ N, Ik es la matriz de
tamano k × k que tiene unos en su diagonal y ceros fuera de ella.
5. Cuando el tamano de las matrices permite hacer el producto BA,
en general se tiene que AB �= BA.
Definicion (matriz invertible).
Una matriz A ∈ Mm×m(K) es invertible si existe B ∈ Mm×m(K)
tal que AB = BA = Im.
67
La matriz B se dice que es la inversa de A y se denota B = A−1.
68
2.4. Producto de matrices por escala-
res
Dado el cuerpo K y el conjunto de matrices Mm×n(K), se define la
siguiente ley:
· : K×Mm×n(K) −→ Mm×n(K)
(α, A) → B = α · A = αA
donde bij = αaij para todo (i, j) ∈ {1, . . . , m} × {1, . . . n}.
Proposicion
Si α , β ∈ K, A ,B ∈Mm×n(K) y C ∈ Mn×h(K), entonces:
1. α(A + B) = αA + αB.
2. (α + β)A = αA + βA.
3. (αA)t = αAt.
4. (αβ)A = α(βA).
5. α(AC) = (αA)C.
69
3. Rango de una matriz
A cada matriz A ∈ Mm×n(K) le vamos a asociar un numero natu-
ral perteneciente al conjunto {0, 1, 2, . . . , mın(m, n)}. Es decir, lo que
vamos a hacer es definir una aplicacion:
rg : Mm×n(K) −→ {0, 1, 2, . . . , mın(m, n)}A → rgA.
3.1. Transformaciones elementales por
filas
Dada una matriz A ∈ Mm×n(K), podemos definir sobre ella tres
tipos de transformaciones elementales por filas:
1. Intercambiar la fila i con la fila j:⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
... ... . . . ...
ai1 ai2 · · · ain
... ... . . . ...
aj1 aj2 · · · ajn
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Fij
−→
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
... ... . . . ...
aj1 aj2 · · · ajn
... ... . . . ...
ai1 ai2 · · · ain
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
70
2. Multiplicar la fila i por un escalar α �= 0:
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
... ... . . . ...
ai1 ai2 · · · ain
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Fi(α)
−→
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
... ... . . . ...
αai1 αai2 · · · αain
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
3. Sumar a la fila j la fila i multiplicada por un escalar α:
71
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
... ... . . . ...
ai1 ai2 · · · ain
... ... . . . ...
aj1 aj2 · · · ajn
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
F ij (α)
−→
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
... ... . . . ...
ai1 ai2 · · · ain
... ... . . . ...
aj1 + αai1 aj2 + αai2 · · · ajn + αajn
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
72
3.2. Transformaciones elementales por
columnas
Son analogas a las que hemos introducido por filas, dada una ma-
triz A ∈ Mm×n(K), definimos tres transformaciones elementales por
columnas:
1. Intercambiar la columna i con la columna j:
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
a11 · · · a1i · · · a1j · · · a1n
... . . . ... . . . ... . . . ...
am1 · · · ami · · · amj · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Cij
−→⎛⎜⎜⎜⎜⎝
a11 · · · a1j · · · a1i · · · a1n
... . . . ... . . . ... . . . ...
am1 · · · amj · · · ami · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .
2. Multiplicar la columna i por un escalar α �= 0:
73
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
a11 · · · a1i · · · a1n
... . . . ... . . . ...
am1 · · · ami · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Ci(α)
−→⎛⎜⎜⎜⎜⎝
a11 · · · αa1i · · · a1n
... . . . ... . . . ...
am1 · · · αami · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .
3. Sumar a la columna j la columna i multiplicada por un escalar
α:
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
a11 · · · a1i · · · a1j · · · a1n
... . . . ... . . . ... . . . ...
am1 · · · ami · · · amj · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Cij(α)
−→⎛⎜⎜⎜⎜⎝
a11 · · · a1i · · · a1j + αa1i · · · a1n
... . . . ... . . . ... . . . ...
am1 · · · ami · · · amj + αami · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .
74
3.3. Matrices equivalentes
Definicion (matrices equivalentes).
Diremos que dos matrices A, B ∈ Mm×n(K) son equivalentes si B
se puede obtener a partir de A haciendo sobre ella un numero finito de
operaciones elementales
Teorema
Dada una matriz no nula A ∈ Mm×n(K), mediante una serie de
transformaciones elementales por filas y columnas se puede llegar a
una matriz (unica) de la forma⎛⎝ Ir 0r×(n−r)
0(m−r)×r 0(m−r)×(n−r)
⎞⎠
Definicion (rango).
Dada una matriz A ∈ Mm×n(K), si A = 0m×n definimos rgA = 0,
en otro caso diremos que rgA = r si y solo si A es equivalente a⎛⎝ Ir 0r×(n−r)
0(m−r)×r 0(m−r)×(n−r)
⎞⎠
75
Proposicion
Dada una matriz no nula A ∈ Mm×n(K), A es equivalente a:⎛⎝ Nr Pr×(n−r)
0(m−r)×r 0(m−r)×(n−r)
⎞⎠ ,
donde Nr es una matriz triangular superior con todos los elementos de
la diagonal no nulos y Pr×(n−r) es una matriz cualquiera. En este caso
rgA = r.
Definicion (Matriz de rango completo).
A ∈ Mm×n(K) es de rango completo si y solo si rgA = mın{m, n}.
Proposicion
Dada A ∈Mm×n(K) y B ∈ Mn×h(K), se tiene:
1. rgA = rgAt,
2. rg (A + B) �= rgA + rgB en general.
3. Si A ∈ Mm×m(K) entonces: A es invertible si y solo si A es de
rango completo (es decir, tiene rango m).
4. Dos matrices, A, B ∈Mm×n(K), son equivalentes si y solo existen
matrices invertibles P ∈ Mm×m(K) y Q ∈ Mn×n(K) tales que
B = PAQ.
76
Ejercicio
Calcula el rango de las matrices:
1.
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 3
2 4 1
3 1 4
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ∈M3×3(R)
2.
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 3
2 4 1
3 1 4
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ∈M3×3(Q)
3.
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 3
2 4 1
3 1 4
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ∈M3×3(Z5)
77
4. Matrices Cuadradas
Definicion (matriz inversa).
Dada una matriz cuadrada A ∈ Mm(K), diremos que es invertible
si existe una matriz B tal que AB = BA = Im.
A la matriz B se le llama inversa de A y se le denota por B−1.
Proposicion
Si A ∈Mm(K) y A es invertible entonces A es una matriz de rango
completo.
78
4.1. Calculo de la inversa de una ma-
triz utilizando transformaciones ele-
mentales por filas
El metodo consiste en transformar con operaciones elementales solo
por filas hasta obtener la matriz identidad.
Esas mismas operaciones se le aplican a la matriz identidad y la
matriz que se obtiene es la inversa deseada.
Ejercicio
Usando este metodo comprueba que la inversa de
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 −1 1
−2 1 0
1 1 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
es
A−1 =1
5
⎛⎜⎜⎜⎜⎝−2 −3 1
−4 −1 2
3 2 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
79
Solucion
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 −1 1 | 1 0 0
−2 1 0 | 0 1 0
1 1 2 | 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F 12 (2)
F 13 (−1)
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 −1 1 | 1 0 0
0 −1 2 | 2 1 0
0 2 1 | −1 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F 23 (2)
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 −1 1 | 1 0 0
0 −1 2 | 2 1 0
0 0 5 | 3 2 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F3(2)
F2(5)
F1(10)
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
10 −10 10 | 10 0 0
0 −5 10 | 10 5 0
0 0 10 | 6 4 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F 31 (−10)
F 32 (−10)
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
10 −10 0 | 4 −4 −2
0 −5 0 | 4 1 −2
0 0 10 | 6 4 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F 21 (−2)
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
10 0 0 | −4 −6 2
0 −5 0 | 4 1 −2
0 0 10 | 6 4 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F1(110
)
F2(−15
)
F3(110
)
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 | −2/5 −3/5 1/5
0 1 0 | −4/5 −1/5 2/5
0 0 1 | 3/5 2/5 1/5
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
80
Ası que la inversa de la matriz A es la matriz:
1
5
⎛⎜⎜⎜⎜⎝−2 −3 1
−4 −1 2
3 2 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
81
4.2. Determinantes
Notacion.
Dada B ∈ Mm×n(K), denotaremos por MBij (o simplemente, si no
hay confusion por Mij) a la matriz de tamano (m− 1)× (n− 1) que
se obtiene eliminando de B la fila i y la columna j.
Definicion (Determinante).
Dada una matriz A ∈ Mm(K) le vamos a asociar un escalar de K que
llamaremos determinante de la matriz que definimos por induccion
sobre m:
1. Si A tiene tamano 1×1, es decir A = (a), entonces det A = |A| =a.
2. Si ahora A es de tamano m × m y suponemos definido el deter-
minante para todas las matrices de tamano (m − 1) × (m − 1)
(Δij = det MAij ), entonces: det A = |A| =∑m
j=1 aij(−1)i+jΔij
Observacion
El determinante de la matriz A es independiente de la fila i que
elijamos para calcularlo.
82
Propiedades
1.
∣∣∣∣∣∣a11 a12
a21 a22
∣∣∣∣∣∣ = a11a22 − a12a21
2.
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (a11a22a33+a12a31a23+a13a21a32)−(a11a23a32+
a12a21a33 + a13a31a22)
83
Proposicion
Dadas A, B ∈ Mm×m(K), se tiene:
1. det Fi(α)(A) = α det A y det Ci(α)(A) = α det A, es decir, el valor
del determinante de A queda multiplicado por α si multiplicamos
una de sus filas o columnas por α .
2. det Fij(A) = − det A y det Cij(A) = − det A, es decir, si inter-
cambiamos dos filas o columnas entre sı, el determinante cambia
de signo.
3. det F ji (α)(A) = det A y det Cj
i (α)(A) = det A, es decir, si suma-
mos a una fila (resp. columna) otra multiplicada por un elemento
α ∈ K, el determinante no cambia de valor.
4. Si una fila o columna de A es combinacion lineal de las demas,
entonces |A| = 0.
5. det A = det At.
84
6. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1m
... ... . . . ...
c1 + d1 c2 + d2 . . . cm + dm
... ... . . . ...
am1 am2 . . . amm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1m
... ... . . . ...
c1 c2 . . . cm
... ... . . . ...
am1 am2 . . . amm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 a12 . . . a1m
... ... . . . ...
d1 d2 . . . dm
... ... . . . ...
am1 am2 . . . amm
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
Proposicion
Dadas A, B ∈ Mm×m(K) se tiene:
1. det(AB) = det A det B.
2. Una matriz es invertible si y solo si |A| �= 0, en dicho caso |A−1| =1|A|.
85
4.3. Inversa de una matriz II
Fijamos una matriz invertible A.
Definicion (Adjunto de orden i, j de A).
El adjunto de orden i, j de A es el escalar Aij = (−1)i+jΔij.
Definicion (matriz adjunta de A).
La matriz adjunta de A sera la matriz de tamano m × m que
tiene en la posicion i, j al adjunto de orden i, j, a esta matriz se le
denotara por Adj A.
En la seccion anterior se ha visto que si una matriz A es invertible
entonces su determinante es no nulo. Ademas se verifica:
A−1 = |A|−1(Adj A)t.
86
Demostracion
Probaremos que
A|A|−1(Adj A)t = I
A|A|−1(Adj A)t = |A|−1A(Adj A)t
= |A|−1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
... ... ... . . . ...
ai1 ai2 ai3 . . . ain
... ... ... . . . ...
an1 an2 an3 . . . ann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
A11 A21 A31 . . . Aj1 . . . An1
A12 A22 A32 . . . Aj2 . . . An2
... ... ... . . . ... . . . ...
A1i A2i A3i . . . Aji . . . Ani
... ... ... . . . ... . . . ...
A1n A2n A3n . . . Ajn . . . Ann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Esta matriz producto tiene en la posicion (i, j) el valor:
cij = |A|−1(ai1Aj1 + ai2Aj2 + · · · + ainAjn)
Ahora distinguimos dos casos:
Si i = j entonces cii = |A|−1|A| = 1
Si i �= j entonces ai1Aj1 +ai2Aj2 + · · ·+ainAjn es el determinante
87
de la matriz ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 a13 . . . a1n
a21 a22 a23 . . . a2n
... ... ... . . . ...
ai1 ai2 ai3 . . . ain
... ... ... . . . ...
ai1 ai2 ai3 (fila j) ain
... ... ... . . . ...
an1 an2 an3 . . . ann
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
,
ası que cij = |A|−10 = 0.
88
Ejercicio
Usando este metodo comprueba que la inversa de
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 3 0
1 1 0
1 0 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
es
A−1 =1
4
⎛⎜⎜⎜⎜⎝−2 6 0
2 −2 0
1 −3 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Ejercicio
Calcula por los dos metodos explicados la inversa de la matriz A =⎛⎝1 2
2 3
⎞⎠ ∈ M2(Z5).
89
Ejercicio
De los dos metodos explicados para calcular la inversa de una matriz
¿Cual requiere un numero menor de operaciones?
Si A(n) y G(n) denotan el numero de operaciones que deben de
realizarse para calcular la inversa de una matriz de tamano n× n por
los metodos de los determinantes y Gauss respectivamente, se tiene:
A(n) = n n! + n2[(n− 1) (n− 1)!− 1] + 1
G(n) = 2n2 + 2(3n + 4n2)(n− 1) + 2n−1∑j=1
−6jn− 3j + 2j2.
90
Casos concretos
n A(n) G(n)
2 5 26
3 46 92
4 369 220
5 2976 430
6 25885 742
7 246912 1176
8 2580417 1752
9 29393200 2490
10 362879901 3410
1000 4,02387260077× 102573 3334331000
Para acabar pensemos que si un ordenador tarda una millonesima de
segundo en hacer una operacion entonces le costarıa 55,5722 minutos
invertir una matriz de tamano 1000 × 1000. En cambio necesitarıa
1,2759616314× 102558 siglos para invertirla por el metodo de la matriz
adjunta.
91
5. Ejercicios resueltos
I. Calcular el rango de la siguiente matriz en funcion de los valores
de a y b:
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a 0 0 b
b a 0 0
0 b a 0
0 0 b a
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
Solucion.
Utilizando el metodo de transformaciones elementales por filas y
columnas, tenemos:
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a 0 0 b
b a 0 0
0 b a 0
0 0 b a
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
b a 0 0
0 b a 0
0 0 b a
a 0 0 b
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
b �= 0
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 a/b 0 0
0 1 a/b 0
0 0 1 a/b
a 0 0 b
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
92
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 a/b 0 0
0 1 a/b 0
0 0 1 a/b
0 −a2/b 0 b
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 a/b 0 0
0 1 a/b 0
0 0 1 a/b
0 0 a3/b2 b
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 a/b 0 0
0 1 a/b 0
0 0 1 a/b
0 0 0 b− a4/b3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 a/b 0 0
0 1 a/b 0
0 0 1 a/b
0 0 0 b− a4/b3
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Ası que si b �= 0 se tienen las siguientes posibilidades:
Si b4 = a4 entonces rgA = 3. Ademas
b4 = a4 ⇔ ±b2 = ±a2 ⇔ b2 = a2 ⇔ b = ±a.
Si b �= ±a entonces rgA = 4.
Cuando b = 0 tenemos A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a 0 0 0
0 a 0 0
0 0 a 0
0 0 0 a
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
y por lo tanto:
si a = 0 entonces rgA = 0
si a �= 0 entonces rgA = 4
93
II. Sea la matriz A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 0 0
2 0 0 0
2 2 0 0
2 2 2 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, se pide:
(a) Calcular las sucesivas potencias de A.
Solucion. A2 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 0 0
0 0 0 0
4 0 0 0
8 4 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, A3 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
8 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
y
An =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
para todo n ≥ 4.
(b) Sea B = I4 + A, expresar Bn en funcion de I4, A, A2 y A3.
Solucion. Usando el binomio de Newton tenemos que
Bn = (I4 + A)n =
n∑j=0
⎛⎝ n
j
⎞⎠AjIn−j
Ahora suponemos que n ≥ 3 y simplificamos la expresion an-
terior:
94
Bn =3∑
j=0
⎛⎝ n
j
⎞⎠AjIn−j = I4 + nA +
n(n− 1)
2A2 +
n(n− 1)(n− 2)
6A3 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0
2n 1 0 0
2n + 2(−1 + n)n 2n 1 0
2n + 4(−1 + n)n + 43(−2 + n)(−1 + n)n 2n + 2(−1 + n)n 2n 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ .
Si n = 1 entonces B1 = I4 + A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0
2 1 0 0
2 2 1 0
2 2 2 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
Si n = 2 entonces B2 = (I4 + A)2 = I24 + A2 + 2A =⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0
4 1 0 0
8 4 1 0
12 8 4 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
(c) Demostrar que la inversa de B es I4 −A + A2 −A3.
Solucion. Se trata de ver que B(I4 − A + A2 − A3) = I4 =
(I4 −A + A2 −A3)B. En efecto:
B(I4 − A + A2 − A3) = (I4 + A)(I4 − A + A2 − A3) =
I4 − A + A2 − A3 + A− A2 + A3 −A4 = I4 − A4 = I4.
(I4 − A + A2 − A3)B = (I4 − A + A2 − A3)(I4 + A) =
I4 − A + A2 − A3 + A− A2 + A3 −A4 = I4 − A4 = I4.
95
(d) Expresar B−3 en funcion de I4, A, A2 y A3.
Solucion. B−3 = (I4 − A + A2 − A3)3 = (I4 − A + A2 −A3)2(I4 − A + A2 − A3) = (I4 − 2A + 3A2 − 4A3)(I4 − A +
A2 − A3) = I4 − 3A + 6A2 − 10A3.
96
III. Hallar la potencia n–esima de A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 3
0 1 2
0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ poniendo A =
I3 + B, siendo B una matriz a determinar.
Solucion.
La matriz B sera B = A− I3=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 2 3
0 0 2
0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .Como la matriz iden-
tidad conmuta con cualquier otra matriz podemos utilizar el bi-
nomio de Newton para calcular la potencia An = (B + I3)n =∑n
j=0
(nj
)Bj, ası que tenemos que calcular las potencias de la ma-
triz B.
B0 = I3 B3 =
⎛⎜⎜⎜⎝
0 0 0
0 0 0
0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎠
B1 =
⎛⎜⎜⎜⎝
0 2 3
0 0 2
0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎠ B4 = 0
B2 =
⎛⎜⎜⎜⎝
0 0 4
0 0 0
0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎠ Bn = 0 ∀n ≥ 4
97
Hacemos notar que A1 = A y que A2 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 4 10
0 1 4
0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠. Y ahora
calculamos An para n ≥ 3 siguiendo el binomio de Newton:
An = (B+I3)n =
(n
0
)B0+
(n
1
)B1+. . .
(n
n− 1
)Bn−1+
(n
n
)Bn
= I3 + nB +n(n− 1)
2B2
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ +
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 2n 3n
0 0 2n
0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ +
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 n(n−1)2
4
0 0 0
0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 2n 2n2 + n
0 1 2n
0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
98
IV. De las afirmaciones siguientes, demostrar las verdaderas y dar un
contraejemplo para las falsas:
(a) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
Solucion. Esta afirmacion es falsa, para verlo tomense A =⎛⎝ 1 0
0 0
⎞⎠ y B =
⎛⎝ 0 1
0 0
⎞⎠.
La misma afirmacion es cierta cuando las matrices A y B
conmutan. En cualquier caso sı que se verifica la igualdad
(A + B)2 = A2 + AB + BA + B2.
(b) A2 − B2 = (A−B)(A + B).
Solucion. Esta igualdad tambien es falsa y se puede ver con
las mismas matrices que en el ejercicio anterior.
(c) An+1 − In = (A− In)(In + A + A2 + ... + An).
Solucion. En este caso la igualdad es cierta ya que (A −In)(In + A + A2 + ... + An) = A + A2 + · · · + An + An+1 −In − A− A2 + ...−An = An+1 − In.
(d) Si P es una matriz regular, entonces (PAP−1)n = PAnP−1.
99
Solucion. La igualdad es cierta porque
(PAP−1)n =
PAP−1PAP−1PAP−1 . . . PAP−1︸ ︷︷ ︸n-veces
= PAnP−1.
(e) Si A es antisimetrica, entonces A2 es simetrica.
Solucion. Verdadero. Puesto que A es antisimetrica se tiene
que At = −A, entonces (A2)t = (AA)t = AtAt = (−A)(−A) =
A2, es decir, A2 es simetrica.
(f) Si A es antisimetrica y B es simetrica, entonces AB es anti-
simetrica si y solo si AB = BA.
Solucion. Verdadero. Por ser A antisimetrica y B simetrica
se tiene que At = −A y que Bt = B.
Demostramos primero que si AB es antisimetrica entonces
AB = BA. En efecto, por ser AB antisimetrica tenemos que
−AB = (AB)t = BtAt = B(−A) = −BA e igualando el
primer y ultimo miembro y dividiendo por −1 se tiene que
AB = BA.
Finalmente hay que ver que si AB = BA entonces AB es
antisimetrica.
100
(g) Si |AB| = 0, entonces |A| = 0 o |B| = 0.
Solucion. Esta afirmacion es cierta ya que si |AB| = 0 en-
tonces |AB| = |A||B| = 0 y por lo tanto o bien |A| = 0 o bien
|B| = 0.
(h) |A + B| = |A| + |B| .Solucion. Se puede comprobar facilmente que las matrices
A =
⎛⎝ 1 2
0 1
⎞⎠ y B =
⎛⎝ 0 0
1 0
⎞⎠ son un contraejemplo para
esta igualdad.
(i) |2A| = 2 |A| .
Solucion. Se puede comprobar con la matriz A =
⎛⎝ 1 0
0 1
⎞⎠
que la igualdad no se satisface.
101
V. Demostrar que si a, b, c son numeros reales se tiene que:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a− b− c 2a 2a
2b b− c− a 2b
2c 2c c− a− b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (a + b + c)3 .
Solucion. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a− b− c 2a 2a
2b b− c− a 2b
2c 2c c− a− b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣F 2
1 (1); F 31 (1)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a + b + c a + b + c a + b + c
2b b− c− a 2b
2c 2c c− a− b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
(a + b + c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1
2b b− c− a 2b
2c 2c c− a− b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣C2
1(−1)
=(a + b + c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 1 1
a + b + c b− c− a 2b
0 2c c− a− b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
−(a + b + c)2
∣∣∣∣∣∣1 1
2c c− a− b
∣∣∣∣∣∣= −(a + b + c)2(−a− b− c) = (a + b + c)3
102
VI. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a2 ab ab b2
ab a2 b2 ab
ab b2 a2 ab
b2 ab ab a2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
C21(1), C3
1(1), C41(1)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a2 + 2ab + b2 ab ab b2
a2 + 2ab + b2 a2 b2 ab
a2 + 2ab + b2 b2 a2 ab
a2 + 2ab + b2 ab ab a2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
F 12 (−1), F 1
3 (−1), F 14 (−1)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a2 + 2ab + b2 ab ab b2
0 a2 − ab b2 − ab ab− b2
0 b2 − ab a2 − ab ab− b2
0 0 0 a2 − b2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (a2 + 2ab + b2)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a2 − ab b2 − ab ab− b2
b2 − ab a2 − ab ab− b2
0 0 a2 − b2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (a + b)2(a2 − b2)
∣∣∣∣∣∣a2 − ab b2 − ab
b2 − ab a2 − ab
∣∣∣∣∣∣= (a + b)3(a− b)[(a2 − ab)2 − (b2 − ab)2]
= (a + b)3(a− b)(a2 + b2 − 2ab)(a2 − b2)
= (a + b)4(a− b)4 = (a2 − b2)4103
VII. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a b 0 0
0 a b 0
0 0 a b
b 0 0 a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a b 0
0 a b
0 0 a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣− b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b 0 0
a b 0
0 a b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a4 − b4
104
VIII. Sin desarrollar los determinantes, demostrar que:
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a b + c
1 b a + c
1 c a + b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0 (b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a2 a3
1 b2 b3
1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣bc a a2
ca b b2
ab c c2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Solucion.
(a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a b + c
1 b a + c
1 c a + b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣C2
3(1)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a a + b + c
1 b b + a + c
1 c c + a + b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (a+b+c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a 1
1 b 1
1 c 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣C1
3(−1)
=
(a + b + c)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a 0
1 b 0
1 c 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0
(b) Si a, b, c son las tres diferentes de 0, se tiene:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 a2 a3
1 b2 b3
1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1/a a a2
1/b b b2
1/c c c2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣C1(abc)
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣bc a a2
ac b b2
ab c c2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Supongamos ahora que una de ellas es 0, por ejemplo a = 0,
en este caso se tiene:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 0
1 b2 b3
1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣b2 b3
c2 c3
∣∣∣∣∣∣ bc∣∣∣∣∣∣b b2
c c2
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣bc 0 0
0 b b2
0 c c2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣105
IX. ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1
a b c d
a2 b2 c2 d2
a3 b3 c3 d3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣F 3
4 (−a)
F 23 (−a)
=
F 12 (−a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 1
0 b− a c− a d− a
0 b2 − ba c2 − ca d2 − da
0 b3 − b2a c3 − c2a d3 − d2a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b− a c− a d− a
b2 − ba c2 − ca d2 − da
b3 − b2a c3 − c2a d3 − d2a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (b− a)(c− a)(d− a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1
b c d
b2 c2 d2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣F 2
3 (−b)
=
F 12 (−b)
(b− a)(c− a)(d− a)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1
0 c− b d− b
0 c2 − cb d2 − db
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
106
= (b− a)(c− a)(d− a)
∣∣∣∣∣∣c− b d− b
c2 − cb d2 − db
∣∣∣∣∣∣= (b− a)(c− a)(d− a)(c− b)(d− b)
∣∣∣∣∣∣1 1
c d
∣∣∣∣∣∣= (b− a)(c− a)(d− a)(c− b)(d− b)(d− c)
107
X. Calcular el rango de la matriz
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 0 1 2 1
1 0 3 0 3 1
2 2 3 1 4 1
4 4 6 2 9 3
3 2 6 1 7 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Calculamos el rango de esta matriz realizando operaciones elemen-
tales por filas:
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 0 1 2 1
1 0 3 0 3 1
2 2 3 1 4 1
4 4 6 2 9 3
3 2 6 1 7 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
F 12 (−1)
F 13 (−2)
F 14 (−4)
F 15 (−3)
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 0 1 2 1
0 −2 3 −1 1 0
2 2 3 1 4 1
4 4 6 2 9 3
3 2 6 1 7 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
F 12 (−1)
F 13 (−2)
F 14 (−4)
F 15 (−3)
∼
108
Tema 3: Sistemas de ecuaciones lineales
Gabriel Soler Lopez
26 de septiembre de 2006
1. Definiciones basicas
Definicion (sistema de ecuaciones lineales).
Fijado un cuerpo K, que como ya dijimos siempre sera R y even-
tualmente C, y fijados numeros naturales m y n, un sistema de m
ecuaciones y n incognitas sobre el cuerpo K es un conjunto de ex-
presiones del estilo:
a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2
... ... ...
am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(S)
donde los elementos aij pertenecen al cuerpo K y los elementos xj son
las incognitas que queremos encontrar.
Convenio
Cuando m = 1, en vez de llamar a la expresion a11x1 + a12x2 +
· · ·+a1nxn = b1 sistema de 1 ecuacion con n incognitas, la llamaremos
109
simplemente ecuacion lineal de con n incognitas.
110
El sistema (S) se puede reescribir en forma matricial como:
Ax = b,
donde x =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x1
x2
...
xn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, b =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
b1
b2
...
bn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
y A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
Notacion.
La matriz A se llamara matriz asociada al sistema (S),
B = (A|b) es la matriz ampliada asociada al sistema (S)
Los bj son terminos independientes del sistema (S).
Definicion (Resolucion y discusion de un sistema).
Resolver el sistema (S) es encontrar un vector x en Kn tal que
Ax = b y discutirlo consiste en clasificarlo en uno de los siguiente
tipos:
1. Sistema compatible determinado (S.C.D.): es aquel que tiene
una unica solucion.
2. Sistema compatible indeterminado (S.C.I.): es aquel que tiene
multiples soluciones.
3. Sistema incompatible (S.I.): es aquel sistema que no tiene solu-
111
cion.
2. Teorema de Rouche-Frobenius
Dado el sistema Ax = b, se tiene:
1. si rg (A) = rg (A|b) entonces el sistema es compatible. Ademas:
a) cuando rg (A) = rg (A|b) = n el sistema es compatible deter-
minado,
b) y si rg (A) = rg (A|b) �= n el sistema es compatible indetermi-
nado.
2. si rg (A) �= rg (A|b) entonces el sistema es incompatible.
Definicion (sistema homogeneo).
si todos los elementos bi son 0, el sistema se dice que es homogeneo
y siempre tiene solucion.
112
3. Resolucion de sistemas, metodo de
Gauss
Dado el sistema de ecuaciones
a11x1 + a12x2 + · · · + a1mxm = b1
a21x1 + a22x2 + · · · + a2mxm = b2
... ... ...
an1x1 + an2x2 + · · · + anmxm = bn
⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
(S)
le asociaremos su sistema matricial Ax = b y el metodo consiste en:
1. Realizar transformaciones elementales por filas en la matriz (A|b)
hasta obtener una matriz del estilo:
⎛⎝ C d
E f
⎞⎠
siendo la matriz C de rango completo y triangular superior, la
matriz E de ceros y tanto d como f son matrices columna.
2. Si f = 0 entonces el sistema es compatible. Ademas, si rg (C) =nume-
ro de incognitas se tiene que (S) es compatible determinado. En
caso contrario es compatible indeterminado.
3. Si f �= 0 entonces el sistema (S) es incompatible.
113
Resolucion efectiva
Se considera ahora el sistema Cx = d ya que va a tener las mismas
soluciones que el sistema Ax = b (son equivalentes). El sistema Cx =
d puede estar en dos situaciones diferentes:
1. Si k = rg (C) < n entonces (S) es compatible indeterminado.
En este caso damos a las incognitas xk+1, xk+1, . . . , xn los valores
indeterminados (parametros) αk+1, αk+1, . . . , αn y resolvemos el
sistema:
c11x1 + c12x2 + · · · + c1kxk = d1 − c1,k+1αk+1 − · · · − c1,nαn
c21x1 + c22x2 + · · · + c2kxk = d2 − c2,k+1αk+1 − · · · − c2,nαn
. . . . . . . . . . . .
ck1x1 + ck2x2 + · · · + ckkxk = dk − ck,k+1αk+1 · · · − ck,nαn
2. Si rg (C) = n el sistema es compatible determinado y lo resolve-
mos facilmente de abajo hacia arriba sin necesidad de introducir
parametros.
114
4. Metodo de Cramer
Este metodo se puede utilizar cuando los sistemas tienen el mismo
numero de ecuaciones que de incognitas y el sistema es compatible
determinado, es decir:
Ax = b con A ∈ Mn×n(K) y rg (A) = n (A es invertible).
Ax = b⇒ A−1Ax = A−1b⇒ x = 1|A|Adj(A)tb.
Para cada 1 ≤ k ≤ n se tiene xk = 1|A|(∑n
j=1 Ajkbj), de donde:
xk =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1,k−1 b1 a1,k+1 . . . a1n
a11 . . . a1,k−1 b2 a1,k+1 . . . a1n
... ... ... ... ... ... ...
an1 . . . an,k−1 bn an,k+1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣|A| .
115
Justificamos la formula anterior y concluimos el tema:
xk = 1|A|(∑n
j=1 Ajkbj) = 1|A|(b1A1k + b2A2k + · · · + bnAnk)
= 1|A|
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
(−1)k+1b1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a21 . . . a2,k−1 a2,k+1 . . . a2n
a31 . . . a3,k−1 a3,k+1 . . . a3n
... ... ... ... ... ...
an1 . . . an,k−1 an,k+1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ . . .
· · · + bn(−1)n+n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1,k−1 a1,k+1 . . . a1n
a21 . . . a2,k−1 a2,k+1 . . . a2n
... ... ... ... ... ...
an−1,1 . . . an−1,k−1 an−1,k+1 . . . an−1,n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=1
|A|
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a11 . . . a1,k−1 b1 a1,k+1 . . . a1n
a11 . . . a1,k−1 b2 a1,k+1 . . . a1n
... ... ... ... ... ... ...
an1 . . . an,k−1 bn an,k+1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
116
5. Ejercicios resueltos
I. Discutir la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:
(a) Dado un sistema de m ecuaciones con n incognitas, Ax = b,
que admite solucion unica, entonces esta es x = A−1b.
Solucion. Falso, por ejemplo se puede verificar que el sistema⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1
6 10
9 15
⎞⎟⎟⎟⎟⎠⎛⎝ x1
x2
⎞⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
6
52
78
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
tiene como solucion unica a x1 = 2 y x2 = 4. Sin embargo no
existe la inversa de la matriz asociada al sistema por no ser
cuadrada.
(b) Si los sistemas Ax = b1 y Ax = b2 son compatibles, entonces
lo es Ax = b donde b = b1 + b2.
Solucion. En efecto, si ambos son compatibles existiran solu-
ciones respectivas x1 y x2 tales que Ax1 = b1 y Ax2 = b2.Por
lo tanto A(x1 + x2) = Ax1 + Ax2 = b1 + b2. Esto quiere decir
que x1 + x2 es solucion de Ax = b, donde b = b1 + b2.
(c) Un sistema con mas ecuaciones que incognitas es siempre in-
compatible.
117
Solucion. Falso. El contraejemplo del apartado (a) vale para
este apartado.
(d) Si un sistema de ecuaciones Ax = b es compatible determinado,
entonces A es una matriz cuadrada.
Solucion. Falso, ademas el contraejemplo del apartado (a)
tambien vale para este apartado.
(e) Si Ax = b es un sistema incompatible con 5 ecuaciones y 4
incognitas y el r(A) = 4 entonces r(A|b) = 5.
Solucion. Verdadero. En efecto, sabemos que rgA ≤ rg (A|b),ademas al ser el sistema incompatible entonces la desigualdad
es estricta. Ası que 4 < rg (A|b) y como el tamano de (A|b) es
5× 5 entonces rg (A|b) ≤ 5. Por lo tanto rg (A|b) = 5.
118
II. Discutir el siguiente sistema⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
ax + y + z = 1
x + ay + z = 1
x + y + az = 1
Asociamos al sistema la matriz ampliada y realizamos operaciones
de Gauss:
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
a 1 1 1
1 a 1 1
1 1 a 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F1,3
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 a 1 1
1 1 a 1
a 1 1 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F2 − F1
F3 − aF1
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 a 1 1
0 1− a a− 1 0
0 1− a2 1− a 1− a
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F3 − (1 + a)F2 ∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 a 1 1
0 1− a a− 1 0
0 0 2− a− a2 1− a
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Ahora discutimos el sistema segun los valores del parametro a:
Si a �= 1 y 2 − a − a2 �= 0, es decir, si a �= 1 y a �= −2
entonces rg (A) = rg (A|b) = 3 y el sistema es compatible y
determinado y las soluciones son:
119
• z = 1−a−(a−1)(a+2) = 1
a+2;
• y =(1−a) 1
a+21−a = 1
a+2;
• x = 1− z − ay = a+2−1−aa+2
= 1a+2
.
Si a = 1 entonces rgA = rg (A|b) = 1 y el sistema es com-
patible indeterminado, necesitandose 2 parametros reales para
resolverlo, α y β. Las soluciones serıan en este caso:
• z = α;
• y = β;
• x = 1− α− β.
Si a = −2 entonces rgA = 2 �= 3 = rg (A|b), por lo tanto el
sistema es incompatible.
120
III. Discutir el sistema:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x + y + z = a + 1
ax + y + (a− 1) z = a
x + ay + z = 1
Asociamos al sistema la matriz asociada ampliada y realizamos
operaciones elementales por filas:
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 a + 1
a 1 a− 1 a
1 a 1 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F2,3
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 a + 1
1 a 1 1
a 1 a− 1 a
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F2 − F1
F3 − aF1
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 a + 1
0 a− 1 0 −a
0 1− a −1 −a2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F2 + F3
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 a + 1
0 a− 1 0 −a
0 0 −1 −a2 − a
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Ahora discutimos y resolvemos el sistema segun los valores del
parametro a:
Si a �= 1 entonces rgA = rg (A|b) = 3 y el sistema es compa-
tible determinado, siendo las soluciones:
121
a) z = a(a + 1);
b) y = −aa−1
;
c) x = a + 1− a(a + 1) + aa−1 = −1−2a−a2+a3
a−1 .
Si a = 1 entonces rgA = 2 �= 3 = rg (A|b) y por lo tanto el
sistema es incompatible.
122
IV. Resolver el sistema:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
kx + y + z + t = k
x + ky + z + t = k
x + y + kz + t = k
x + y + z + kt = k
Empezamos construyendo la matriz ampliada al sistema y reali-
zando operaciones elementales por filas:
123
(A|b) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
k 1 1 1 k
1 k 1 1 k
1 1 k 1 k
1 1 1 k k
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
F1 − kF4
F2 − F4
F3 − F4
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 1− k 1− k 1− k2 k − k2
0 k − 1 0 1− k 0
0 0 k − 1 1− k 0
1 1 1 k k
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
intercambio de filas
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 k k
0 1− k 1− k 1− k2 k − k2
0 k − 1 0 1− k 0
0 0 k − 1 1− k 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
F3 + F2
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 k k
0 1− k 1− k 1− k2 k − k2
0 0 1− k 2− k − k2 k − k2
0 0 k − 1 1− k 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
124
F4 + F3
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 k k
0 1− k 1− k 1− k2 k − k2
0 0 1− k 2− k − k2 k − k2
0 0 0 3− 2k − k2 k − k2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Ahora discutimos el sistema distinguiendo los siguientes casos:
a) Si 1−k �= 0 y 3−2k−k2 �= 0 o lo que es lo mismo k �= 1, k �=−3, entonces rgA = rg (A|b) = 4 y el sistema es compatible
determinado. Se resuelve desde abajo hacia arriba:
A. t = k−k2
3−2k−k2 = k(1−k)−(k+3)(k−1)
= kk+3
;
B. z = k−k2
1−k− k(2−k−k2)
(1−k)(k+3)= k
3+k;
C. y = k−k2−(1−k2)t−(1−k)z1−k = k
3+k
D. x = k − kt− z − y = k3+k
b) Si k = 1 entonces
(A|b) ∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 k k
0 4 4 −8 −12
0 0 4 −4 −12
0 0 0 0 −12
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
y como rgA = 3 �= rg (A|b) = 4 el sistema es incompatible.
125
Tema 4: Espacios vectoriales
Gabriel Soler Lopez
7 de noviembre de 2006
1. Definiciones basicas y primeras con-
secuencias
Un conjunto no vacıo V se dice que es un espacio vectorial sobre el
cuerpo K si esta dotado de dos leyes de operacion:
O1. Una ley de operacion interna,
+ : V × V −→ V
(u,v) → u + v
O2. Una ley de operacion externa,
· : K× V −→ V
(k,v) → k · v
Estas leyes deben satisfacer las propiedades que siguen.
P1. Para cualesquiera elementos a, b y c de V , la operacion interna
satisface:
126
a) a + b = b + a (propiedad conmutativa).
b) (a + b) + c = a + (b + c) (propiedad asociativa).
c) Existe un elemento denotado por 0 tal que a + 0 = 0 + a = a
(0 es el elemento neutro).
d ) Existe un elemento c ∈ V tal que a + c = c + a = 0 (c es el
opuesto de a y usualmente se denota por −a).
127
P2. Para cualesquiera elementos a y b de V y λ, μ de K, la operacion
externa satisface:
a) λ(a + b) = λa + λb.
b) (λ + μ)a = λa + μa.
c) (λμ) · a = λ · (μ · a).
d ) 1K · a = a.
Notacion.
L os elementos de V se llamaran vectores y los de K reciben el
nombre de escalares, un espacio vectorial V sobre el cuerpo K se de-
notara por VK.
Ejemplo
Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R} es un espacio vectorial sobre R
con las operaciones siguientes:
+ : Rn × Rn −→ Rn
((xi)i∈N, (yi)i∈N) → (xi + yi)i∈N
· : R× Rn −→ Rn
(α, (xi)i∈N) → (αxi)i∈N
Aquı N = {1, 2, . . . , n}.128
Ejemplo
Sea P(n)R [X ] el conjunto de todos los polinomios en la variable x sobre
el cuerpo R y de grado menor o igual que n.
Un elemento de P(n)R [X ] tendra la siguiente forma:
a0 + a1x + a2x2 + · · ·+ anx
n con ai ∈ R para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.
P(n)R [X ] con las operaciones que siguen es un espacio vectorial sobre
R:
1.
+ : P(n)R [X ]× P
(n)R [X ] −→ P
(n)R [X ]
(p(x), q(x)) → p(x) + q(x)
donde p(x) + q(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + · · · + (an + bn)xn,
siendo p(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anx
n y q(x) = b0 + b1x +
b2x2 + · · · + bnx
n
2.
· : R× P(n)R [X ] −→ P
(n)R [X ]
(λ, p(x)) → λp(x)
donde λp(x) = λa0 + λa1x + λa2x2 + · · · + λanx
n si p(x) =
a0 + a1x + a2x2 + · · · + anx
n.
129
Propiedades
Dado el espacio vectorial V sobre el cuerpo K, se tiene que para cua-
lesquiera α, β ∈ K y u,v ∈ V se verifican las siguientes propiedades:
1. 0Ku = 0,
2. α0 = 0,
3. (−α)u = −αu = α(−u),
4. Si αu = αv con α �= 0 entonces u = v,
5. Si αu = βu con u �= 0 entonces α = β,
6. (−α)(−u) = αu.
130
2. Combinacion lineal, dependencia e
independencia lineal, sistema gene-
rador, espacio generado y bases
Definicion (Combinacion lineal).
Dado un espacio vectorial VK y un conjunto de vectores S = {u1,u2, . . . ,un},una combinacion lineal de S es una expresion del tipo:
α1u1 + α2u2 + · · · + αnun,
donde los αi son elementos de K para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.Definicion (Independencia lineal).
Un conjunto de vectores, S = {u1,u2, . . . ,un}, se dice libre o li-
nealmente independiente si para toda combinacion lineal de S que
sea igual al vector 0 implica que los escalares que la forman son 0.
Dicho de otro modo: si α1u1 + α2u2 + · · · + αnun = 0, entonces
α1 = α2 = · · · = αn = 0.
131
Definicion (Dependencia lineal).
Un conjunto de vectores S = {u1,u2, . . . ,un} se dice que es un
sistema ligado o que los vectores son linealmente dependientes si
el sistema S no es libre, es decir, existen escalares α1, α2, . . . , αn no
todos nulos que satisfacen:
α1u1 + α2u2 + · · · + αnun = 0.
Definicion (Sistema generador).
Un conjunto de vectores S = {u1,u2, . . . ,un} de un espacio vecto-
rial V sobre el cuerpo K se dice que genera a V si todo elemento de
V se puede expresar como combinacion lineal de vectores de S.
Ejemplo
El conjunto de vectores S = {e1, e2, . . . , en} de VR = Rn, definidos
por ej = (0, . . . , 0, 1(j), 0, . . . , 0) genera a V y ademas es linealmente
independiente.
Ejemplo
S = {1, x, . . . , xn} es un conjunto linealmente independiente y ge-
nerador de VR = P(n)R [X ].
132
Proposicion
1. No todo sistema libre es generador.
2. No todo sistema generador es libre.
3. Si S es generador y T es un conjunto de vectores cualquiera, en-
tonces S ∪ T tambien es generador.
4. Si S es libre y T ⊆ S entonces T es libre.
133
2.1. Bases de un espacio vectorial. Di-
mension
Definicion (Base).
Un conjunto de vectores S = {u1,u2, . . . ,un} se dice que es una
base de un espacio vectorial VK si S genera VK (es decir VK =< S >)
y ademas S es un sistema libre.
Proposicion
Cualquier vector del espacio vectorial VK se expresa de manera unica
como combinacion lineal de los elementos de base elegida.
Definicion (Coordenadas).
Dada una base S = {u1,u2, . . . ,un} de VK, las coordenadas de
un vector v ∈ VK son los unicos escalares {αi}ni=1 tales que v =
α1u1 + α2u2 + · · · + αnun.
134
2.2. Dimension de un espacio vectorial
Teorema 2.2.A
Todo espacio vectorial finitamente generado2 posee una base, ademas
el cardinal de cualquier base es un numero fijo que lo llamaremos di-
mension del espacio vectorial.
Convenio
Si VK = {0}, entonces βVk= ∅.
Resultados tecnicos que permiten probar el teorema
anterior
Proposicion 2.2.B
Si S es linealmente independiente y u �∈< S > entonces T = S ∪{u} es linealmente independiente.
2Esta propiedad tambien es cierta para espacios vectoriales en general
135
Demostracion
Pongamos que el conjunto S esta formado por elementos ui, re-
corriendo i un conjunto I , es decir: S = {ui}i∈I .
Para ver si T es linealmente independiente tomamos una combina-
cion lineal (finita) de vectores de T , la igualamos al vector 0 y deduci-
mos que los escalares que aparecen en la combinacion lineal son todos
cero.
Si
α1vi1 + α2vi2 + · · · + αkvik + βv = 0
entonces:
1. β = 0K porque en caso contrario:
v = −β−1(α1vi1 + α2vi2 + · · · + αkvik
)y esto es una contradiccion con la hipotesis v �∈< S >.
2. Como β = 0K se tiene:
α1vi1 + α2vi2 + · · · + αkvik = 0
y como S es linealmente independiente entonces:
α1 = α2 = · · · = αk = 0K.
�136
Teorema (Steinitz)
Sea S = {u1,u2, . . . ,un} una base del espacio vectorial VK y sea
T = {v1,v2, . . . ,vm} un conjunto de vectores linealmente indepen-
dientes. Entonces se pueden sustituir m vectores de la base S por los
vectores v1,v2, . . . ,vm, obteniendo una nueva base. En particular se
tiene que m ≤ n.
Demostracion
Haremos la demostracion de este teorema por induccion en m.
� Probamos el teorema cuando m = 1. Como S es una base de
V existiran escalares {αi}ni=1 tales que
v1 = α1u1 + α2u2 + · · · + αnun
Puesto que T es linealmente independiente se tiene que v1 �= 0 y
entonces existe al menos un ındice l ∈ {1, 2, . . . , n} para el que αl �= 0,
por lo tanto podemos escribir:
ul = −α−1l (α1u1 + α2u2 + · · · + αl−1ul−1 + αl+1ul+1 + · · · + αnun − v1) .
Sustituimos en la base S el vector ul por el vector v1 y obtenemos
el conjunto de vectores R = S\{ul}∪{v1}. Finalmente probamos que
R es una base:
137
Vemos primero que R es linealmente independiente. Para ello to-
mamos una combinacion lineal de los vectores de R igual al vector
0.
0 = β1u1 + β2u2 + · · · + βl−1ul−1 + βl+1ul+1 + · · · + βnun + γv1
= β1u1 + β2u2 + · · · + βl−1ul−1 + βl+1ul+1 + · · · + βnun
+γ(α1u1 + α2u2 + · · · + αnun)
= (β1 + γα1)u1 + (β2 + γα2)u2 + . . .
+(βl−1 + γαl−1)ul−1 + γαlul + (βl+1 + γαl+1)ul+1 + . . .
+(βn + γαn)un
Ası que:⎧⎨⎩ βj + γαj = 0K para todo j ∈ {1, 2, . . . , l − 1, l + 1, . . . n},
γαl = 0K
Como αl �= 0K entonces de la ultima ecuacion se deduce que γ =
0K y de las restantes: βj = 0K para todo j ∈ {1, 2, . . . , l − 1, l +
1, . . . n}. Por lo tanto R es linealmente independiente.
138
Vemos ahora que R es generador. Para ello tomamos un vector
v ∈ V y vemos que es combinacion lineal de los vectores de R.
Como S es una base entonces:
v = γ1u1 + γ2u2 + · · · + γl−1ul−1 + γlul + γl+1ul+1 + · · · + γnun
= γ1u1 + γ2u2 + · · · + γl−1ul−1
−γlα−1l (α1u1 + α2u2 + · · · + αl−1ul−1 + αl+1ul+1 + · · · + αnun − v1)
+γl+1ul+1 + . . . + γnun
= (γ1 − γlα−1l α1)u1 + (γ2 − γlα
−1l α2)u2 + · · · + (γl−1 − γlα
−1l αl−1)ul−1
−γlα−1l v1
+(γl+1 − γlα−1l αl+1)ul+1 + . . . + (γn − γlα
−1l αn)un,
lo que demuestra que R es generador.
139
� Suponemos ahora que el teorema es cierto para el entero m−1
y lo probamos para m.
Como el conjunto Tm−1 = {v1,v2, . . . ,vm−1} es linealmente inde-
pendiente y estamos suponiendo el resultado cierto para m− 1, pode-
mos sustituir m− 1 vectores de S por los vectores de Tm−1 obteniendo
una base
S1 = {v1,v2, . . . ,vm−1} ∪ {ui1,ui2, . . . ,uin−m+1}
donde 1 ≤ il ≤ n, l ∈ {1, 2, . . . , n−m + 1}.Ahora podemos utilizar el argumento desarrollado en el caso m = 1
y sustituir los vectores linealmente independientes de T ′ = {vm} por
un vector de la base S1. Ademas esa sustitucion se va a hacer por un
vector de la segunda parte del conjunto {ui1,ui2, . . . ,uin−m+1} (¿Por
que?) y se obtiene la prueba del teorema.
�
140
Ya estamos en condiciones de probar el teorema 2.2.A y el corolario
que sigue.
Demostracion del teorema 2.2.A.
Fijemos un sistema generador finito del espacio vectorial (que su-
pondremos que no es el formado solo por el vector 0, si lo fuera ya
sabemos por el convenio hecho que tiene base)
R = {w1,w2, . . . ,wk}
No es restrictivo suponer que en R no esta el vector 0, si lo estuviera
lo eliminamos y R seguirıa siendo generador.
Ahora procedemos a construir la base usando la proposicion 2.2.B.
Si el conjunto R1 = {w1} es generador entonces sera una base y hemos
terminado.
En caso contrario elegimos el numero n2 > 1 mas pequeno posible
para el que se cumple wn2 �∈< R1 >. Usando la proposicion 2.2.B se
tiene que R2 = {w1,wn2} es linealmente independiente. Si es genera-
dor hemos acabado, en caso contrario repetimos el proceso que tiene
que ser finito por serlo R.
Al final habremos conseguido un Rl linealmente independiente y
generador, es decir una base.
�141
Corolario
Si el espacio vectorial VK tiene una base finita, todas las bases de VK
tienen el mismo numero de vectores
Demostracion
Supongamos que tenemos dos bases de VK:
R = {u1,u2, . . . ,uk}S = {v1,v2, . . . ,vl}
Usando el teorema de Steiner considerando R base y S linealmente
independiente tenemos
l ≤ k.
Ahora por el mismo teorema considerando S base y R linealmente
independiente:
k ≤ l.
Ası que k = l.
�
142
Definicion (Dimension).
Dado un espacio vectorial VK, diremos que la dimension de V es
n si cualquier base tiene n elementos y representaremos la dimension
de VK por dim(VK) o dimVK.
Propiedades
1. La dimension de un espacio coincide con el numero maximo de
elementos que puede tener un conjunto linealmente independiente
y tambien con el numero mınimo de elementos que puede tener un
conjunto generador.
2. Todo conjunto de vectores linealmente independientes puede com-
pletarse hasta obtener una base.
143
2.3. Cambio de bases. Matriz de cam-
bio de base
Suponemos que sobre el espacio vectorial VK tenemos fijadas dos
bases, β = {u1,u2, . . . ,un} y β′ = {v1,v2, . . . ,vn}Queremos saber la relacion entre las coordenadas de un vector w en
β y β′.
Con el fin de determinar esa relacion construimos la matriz de cam-
bio de base de β a β′, para ello, cada vector de la base β′ se pone
como combinacion lineal de los elementos de la base β:
vi =
n∑j=1
αjiuj.
Por ultimo construimos la matriz cuadrada
Mββ′ = A = (αij)(i,j)∈{1,...,n}×{1,...,n}.
Detalle de la relacion
Tomamos w =∑n
j=1 yjuj =∑n
j=1 xjvj, x = (x1, x2, . . . , xn)t e
y = (y1, y2, . . . , yn)t.
w =n∑
i=1
xivi =n∑
i=1
xi
⎛⎝ n∑
j=1
αjiuj
⎞⎠ =
n∑j=1
(n∑
i=1
xiαji
)uj,
de donde yj =∑n
i=1 xiαji y la relacion deseada es:
y = Mββ′x.
3. Subespacios vectoriales
Definicion (Subespacio vectorial).
Un subconjunto H de un espacio vectorial VK diremos que es un
subespacio vectorial de VK si H con las operaciones, + y ·, de VK es
el mismo un espacio vectorial.
Proposicion
Un subconjunto H de VK es un subespacio vectorial de VK si y solo
si se verifican:
1. Para cualesquiera u y v de H se tiene que u + v ∈ H.
2. Para todo α de K y para todo u ∈ H se verifica αu ∈ H.
145
Ejemplo
Las soluciones de un sistema lineal de ecuaciones tiene estructura de
subespacio vectorial de Rn.
Ademas dim(H) = n − rg (A) (numero de parametros necesarios
para resolver el sistema).
Ejemplo
Dado un conjunto de vectores S del espacio vectorial VK, se tiene
que el espacio generado por S es un subespacio vectorial de VK.
Ejemplo
Sea VK un espacio vectorial de dimension n y sea β una base de VK.
Dada una matriz A ∈Mk×n(K) se tiene que
H = {(x1, x2, . . . , xn)β : A(x1, x2, . . . , xn)t = 0}
es un subespacio vectorial de VK de dimension n− rgA.
146
3.1. Rango de un conjunto de vecto-
res. Prueba del teorema de Rou-
che-Frobenius
Definicion (Rango).
El rango de un conjunto de vectores
S = {u1,u2, . . . ,un}
es la dimension del espacio vectorial < S >.
Propiedades
El rango de una matriz
A = (ai,j)(i,j)∈{1,...,m}×{1,...,n} =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
coincide con el rango del conjunto de Kn {vi = (aij)j=1,...,n}mi=1 (vecto-
res fila de A) y con el rango del conjunto de Km {wj = (aij)i=1,...,m}nj=1
(vectores columna de A).
147
Demostracion del teorema de Rouche-Frobenius
Ax = b, (8)
con x =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x1
x2
...
xn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, b =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
b1
b2
...
bn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
y A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... . . . ...
am1 am2 · · · amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
Escribimos la ecuacion 8 de la siguiente manera:
x1
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11
a21
...
am1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ x2
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a12
a22
...
am2
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+ · · · + xn
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a1n
a2n
...
amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
b1
b2
...
bn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, (9)
de donde se sigue:
1. Si rg (A) = rg (A|b), entonces el vector b es combinacion lineal de
los vectores de {wj = (aij)i=1,...,m}nj=1, con lo que existen escalares
xi, i ∈ {1, 2, . . . , n}, que verifican la ecuacion 9. Por lo tanto, el
sistema es compatible. Jugando otra vez con los rangos se ve que
si rg (A) �= rg (A|b) entonces el sistema es incompatible, puesto
que b no es combinacion lineal de {wj = (aij)i=1,...,m}nj=1.
2. Si rg (A) = rg (A|b) = n entonces la expresion de b como com-
148
binacion lineal de los vectores de {wj = (aij)i=1,...,m}nj=1 es unica,
puesto que estos ultimos son linealmente independientes. En con-
secuencia el sistema es compatible determinado.
149
3.2. Operacion con subespacios: inter-
seccion, union y suma
Fijamos un espacio vectorial VK y subespacios vectoriales H y H ′.
Proposicion
H ∩H ′ es un subespacio de VK.
Observacion
H ∪H ′ no es en general un subespacio de VK.
Definicion (Suma de subespacios vectoriales).
H + H ′ :=< H ∪ H ′ >, es decir, el subespacio suma es el espacio
generado por la union de los conjuntos H y H ′.
Definicion (Suma directa).
La suma H + H ′ se dice que es directa cuando para todo vector
v ∈ H + H ′, existen unicamente dos vectores v1 ∈ H y v2 ∈ H ′ tales
que v = v1 + v2.
Proposicion
La suma de H y H ′ es directa si y solo si H ∩H ′ = {0}.Acabamos este apartado con la importante formula de Grassmann.
150
Teorema (Grassman)
dim(H + H ′) = dim(H) + dim(H ′)− dim(H ∩H ′).
3.3. Ecuaciones cartesianas de un sub-
espacio vectorial
Dado un espacio vectorial VK, un subespacio de el H, y una base
β′′ = {e1, e2, . . . , ek} de VK, las ecuaciones que satisfacen las coorde-
nadas de los vectores de H expresados en la base β′′ reciben el nombre
de ecuaciones cartesianas de H respecto de la base β′′.
Procedimiento
� Tomamos una base de H, β = {w1,w2, . . . ,wm}.� Completamos β hasta una base de VK, β′ = {w1,w2, . . . ,wn}.� Elegimos un vector arbitrario v ∈ H y tomamos sus coordenadas
en β y β′′:
v = y1w1+y2w2+· · ·+ymwm = x1e1+x2e2+· · ·+xmem+· · ·+xnen
� Calculamos las coordenadas de los vectores ej respecto a β′: ej =∑nl=1 λljwj.
151
Ası que:
v =
n∑j=1
xjej =
n∑j=1
xj
(k∑
l=1
λljwl
)=
n∑l=1
⎛⎝ n∑
j=1
xjλlj
⎞⎠wl.
Y como v ∈ H, entonces
n∑j=1
xjλlj = 0 ∀l ∈ {m + 1, m + 2, . . . , n}.
(Ecuaciones cartesianas de H respecto de la base β′′ = {e1, e2, . . . , en})
152
4. Ejercicios resueltos
Ejercicio
Sea V un espacio vectorial sobre R y sea S = {u, v, w} un sistema
libre. ¿Es T = {u+v+w, v+3w, 2v+w} un sistema libre de vectores?
Solucion.
Veamos que T es linealmente independiente, para ello tomamos una
combinacion lineal de vectores de S igual al vector 0 y demostramos
que los coeficientes son todos cero:
α(u + v + w) + β(v + 3w) + γ(2v + w)
= αu + (α + β + 2γ)v + (α + 3β + γ)w = 0
S l.i.
⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
α = 0,
α + β + 2γ = 0,
α + 3β + γ = 0.
Como el sistema anterior es compatible y determinado (por tener su
matriz asociada rango 3) se tiene que la unica solucion es α = β =
γ = 0 y T es un sistema libre.
153
Ejercicio
Sea V un espacio vectorial sobre Z5 y sea {u, v, w} un conjunto de
vectores. ¿Es {u+v +w, v +3w, 2v +w} un sistema libre de vectores?
Solucion.
Veamos que T es linealmente dependiente y por lo tanto no es libre.
Para ello basta con encontrar una combinacion lineal de vectores de S
igual al vector 0 y con no todos sus coeficientes cero:
0(u + v + w) + 3(v + 3w) + 1(2v + w)
= 0v + 0w = 0.
154
Ejercicio
¿Es (R, +, ·) un espacio vectorial sobre R?
Solucion. Por las propiedades de los numeros reales sabemos que
(R, +) es un grupo abeliano. Ası que los cuatro primeros axiomas de
espacio vectorial (los referentes a la suma) se satisfacen.
Veamos ahora que tambien se cumplen las propiedades referentes al
producto. Para ello tomamos escalares cualesquiera λ, μ ∈ R y vectores
v, w ∈ R. Comprobamos que se satisfacen los cuatro axiomas en los
que esta involucrado el producto:
1. λ(v +w) = λv +λw se cumple, es la propiedad distributiva de los
numeros reales.
2. (λ + μ)v = λv + μv, otra vez se trata de la propiedad distributiva
en R.
3. (λμ)v = λ(μv), esta es la propiedad asociativa de los numeros
reales.
4. 1v = v es cierto ya que 1 es el elemento neutro del producto en R.
Ası que se satisfacen todos los axiomas de espacio vectorial y por lo
tanto (R, +, ·) es un espacio vectorial sobre R.
155
Ejercicio
Dados los subespacios de Z35
S = {(x, y, z) ∈ Z35 : x = y = 0},
T = {(x, y, z) ∈ Z35 : x + y + z = 0}
calcular:
(a) Una base y la dimension de S y T.
Solucion. La matriz asociada al sistema que define S es:
(A|b) =
⎛⎝1 0 0 | 0
0 1 0 | 0
⎞⎠
Ası que la dimension de S es 3− rgA = 3− 2 = 1.
Una base de S estara formada por un vector no nulo y que perte-
nezca a S:
βS = {(0, 0, 1)}
.
Ahora calculamos los datos solicitados de T . La matriz asociada
al sistema que define T es:
(C|d) =(1 1 1 | 0
)Ası que la dimension de S es 3− rgC = 3− 1 = 2.
156
Una base de T estara formada por dos vectores linealmente inde-
pendiente que pertenezcan a T :
βT = {(1, 0, 4), (0, 2, 3)}
.
(b) Calcular S ∩ T y S + T, dando una base de dichos subespacios.
Solucion.
S ∩ T
La matriz asociada al sistema que define este subespacio (union de
las ecuaciones que define a S y a T ) es:
(A|b) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 | 0
1 0 0 | 0
0 1 0 | 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F 12 (4)
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 | 0
0 4 4 | 0
0 1 0 | 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
F 23 (1)
∼
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 | 0
0 4 4 | 0
0 0 4 | 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Ası que dimS∩T = 3− rgA = 0, S∩T = {(0, 0, 0)} y βS∩T = ∅.
S + T
Utilizando la formula de Grassman se tiene: dimS + T = dimS +
dimT − dimS ∩ T = 2 + 1 = 3.
157
Por lo tanto S + T = Z35 y βS+T = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}.
(c) ¿Es la suma S + T directa?
Solucion. Sı porque la interseccion S ∩ T = {(0, 0, 0)}
(d) Card Z35, CardS y Card T .
Solucion. Card Z35 = 53 = 125 = CardT .
158
Ejercicio
Se consideran los siguientes conjuntos de vectores:
βA = {v1 = (1, 1, 1), v2 = (0, 1, 1), v3 = (1, 0, 1)},
βC = {w1 = (1, 1, 0), w2 = (0, 1, 1), w3 = (0, 0, 1)}, B = {(2, 2, 1)βC}
y se pide:
1. Calcular la matriz de cambio de base de la base βA a la base
canonica, es decir MβAβC.
Solucion. Esta matriz se construye poniendo por columnas las
coordenadas de los vectores de la base βC respecto a βA. Calcula-
mos esas coordenadas:
w1 := (1, 1, 0) = 2v1 − v2 − v3 = (2,−1,−1)βA,
w2 := (0, 1, 1) = v2 = (0, 1, 0)βA,
w3 := (0, 0, 1) = −v1 + v2 + v3 = (−1, 1, 1)βA.
Ası que:
MβAβC=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 0 −1
−1 1 1
−1 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
159
2. Calcular la matriz de cambio de base de la base βC a la base βA,
es decir MβCβA.
Solucion. Esta matriz se construye poniendo por columnas las
coordenadas de los vectores de la base βA respecto a βC .
v1 := (1, 1, 1) = w1 + w3 = (1, 0, 1)βC,
v2 := (0, 1, 1) = w2 = (0, 1, 0)βC,
v3 := (1, 0, 1) = w1 − w2 + 2w3 = (1,−1, 2)βC,
ası que:
MβCβA=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 1
0 1 −1
1 0 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
3. Dar las coordenadas de los vectores del conjunto B en la base βA.
Solucion. Usando la matriz MβAβCes facil calcular esas coorde-
nadas:[MβAβC
(2, 2, 1)tβC
]t= (3, 1,−1)βA
.
Por lo tanto:
B = {(3, 1,−1)βA}.
160
4. Calcular las ecuaciones del subespacio < B > respecto de la base
βA.
Solucion.
Antes de nada tenemos claro que se necesitan dos ecuaciones (di-
mension de R3-dimension de < B >).
Un vector (x, y, z)βA∈< B > si y solo si
(x, y, z)βA= α(3, 1,−1)βA
= (3α, α,−α)βA
⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 3α,
y = α,
z = −α
⇒⎧⎨⎩ x− 3y = 0,
y + z = 0.
161
Ejercicio
En R4 se consideran los subespacios vectoriales:
S =< (1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1) > y T = {(x, y, z, t) : x = 0, 2y−z−t = 0}
y se pide:
1. Una base, la dimension y las ecuaciones de S.
Solucion. Los dos vectores que generan S tambien son linealmen-
te independientes, por lo tanto son una base de S:
βS = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1)}.
Ahora calculamos las ecuaciones que debe satisfacer un vector
(x, y, z, t) ∈ S:
(x, y, z, t) = α(1, 0, 0, 0) + β(0, 1, 1, 1)⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = α,
y = β,
z = β,
t = β
⇒⎧⎨⎩ y − z = 0,
y − t = 0
2. Una base y la dimension de T .
Solucion. Como la dimension de T es 2 (dimR4-numero de ecua-
ciones linealmente independientes que definen a T ) bastara con
encontrar dos vectores linealmente independientes en T para dar
162
una base:
βT = {(0, 0, 1,−1), (0, 1, 2, 0)}.
3. Una base, la dimension y las ecuaciones de S ∩ T .
Solucion. Las ecuaciones de S ∩ T se obtienen como la union de
las ecuaciones de S con las ecuaciones de T :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = 0,
2y − z − t = 0,
y − z = 0,
y − t = 0
⇒
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0 0
0 2 −1 −1 0
0 1 −1 0 0
0 1 0 −1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
F2 − F3 − F4
⇒
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 1 −1 0 0
0 1 0 −1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x = 0,
y − z = 0,
y − t = 0
Ası que dimS ∩ T = 4 − rgA = 1 (A es la matriz asociada al
sistema que define S ∩ T ).
Ahora obtenemos la base de S ∩ T :
βS∩T = {(0, 1, 1, 1)}.
163
4. Una base, la dimension y las ecuaciones de S + T .
Solucion.
Usando la formula de Grassman se tiene que:
dimS + T = dimS + dimT − dimS ∩ T = 2 + 2− 1 = 3.
Un conjunto generador de S + T se obtiene uniendo conjuntos
generadores de S y de T , es decir:
S + T =< (1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1,−1), (0, 1, 2, 0) >,
de estos cuatro vectores ahora nos quedamos con tres que sean
linealmente independientes y tendremos una base de S + T . Es
facil darse cuanta que los tres primeros vectores son linealmente
independientes, luego:
βS+T = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1,−1)}.
Acabamos dando las ecuaciones que satisface el subespacio S +T ,
para ello tomamos (x, y, z, t) ∈ S + T y recordamos que necesita-
164
mos 1 ecuacion (dimR4 − dimS + T ), entonces:
(x, y, z, t) = α(1, 0, 0, 0) + β(0, 1, 1, 1) + γ(0, 0, 1,−1)
= (α, β, β + γ, β − γ)
⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
x = α,
y = β,
z = β + γ,
t = β − γ.
⇒ z + t− 2y = 0.
5. Dada la base β = {(1, 0, 0, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)},justifica si el vector (1, 2, 3, 4)β pertenece a alguno de los subespa-
cios S, T, S ∩ T, S + T .
Solucion. Obtenemos facilmente las coordenadas del vector (1, 2, 3, 4)β
en la base canonica:
(1, 2, 3, 4)β = (1, 0, 0, 0) + 2(1, 1, 0, 0) + 3(1, 1, 1, 0) + 4(1, 1, 1, 1)
= (10, 9, 7, 4).
Se comprueba facilmente que este vector no satisface las ecuacio-
nes de ninguno de los subespacios dados. Ası que (1, 2, 3, 4)β no
pertenece a ninguno de los subespacios propuestos.
165
Ejercicio
Sea M2×2(R) el espacio de las matrices de orden 2×2 sobre el
cuerpo R, estudiar si los siguientes conjuntos de matrices son su-
bespacios vectoriales. En caso de que sean subespacios vectoriales,
calcular las ecuaciones cartesianas de estos respecto de la base:
β =
⎧⎨⎩e1 =
⎛⎝1 0
0 0
⎞⎠ , e2 =
⎛⎝0 1
0 0
⎞⎠ , e3 =
⎛⎝0 0
1 0
⎞⎠ , e4 =
⎛⎝0 0
0 1
⎞⎠⎫⎬⎭
a) M1 = {A ∈M2×2(R) / A es simetrica}Solucion. M1 es un subespacio vectorial ya que:
Si A, B ∈ M1 entonces At = A y Bt = B. Por lo tanto
(A + B)t = At + Bt = A + B, es decir, A + B ∈ M1.
Si A ∈ M1 y α ∈ R entonces At = A y (αA)t = αAt = αA,
es decir, αA ∈M1.
Calculamos ahora las ecuaciones de M1 respecto de la base β:
sea H ∈ M1 con coordenadas en β las que siguen:
H = xe1 + ye2 + ze3 + we4 =
⎛⎝x y
z w
⎞⎠
Como Ht = H entonces y = z, es decir, y − z = 0. Esta es la
ecuacion lineal homogenea que satisfacen las coordenadas de
los vectores de M1 en la base β.
166
Calculamos ahora una base del subespacio M1. Si S es la matriz
asociada al sistema que define a M1, la dimension de M1 es
dimM2×2(R)− rgS = 4− 1 = 3.
Ası que basta con dar 3 vectores linealmente independientes de
M1 para tener una base:
βM1 =
⎧⎨⎩⎛⎝1 0
0 0
⎞⎠ ,
⎛⎝0 0
0 1
⎞⎠ ,
⎛⎝0 1
1 0
⎞⎠⎫⎬⎭
b) M2 = {A ∈M2×2(R) / A2 = A}
Solucion. A =
⎛⎝1 0
0 0
⎞⎠ ∈ M2, pero 5A =
⎛⎝5 0
0 0
⎞⎠ �∈ M2,
ası que M2 no es un subespacio vectorial.
c) M3 = {A ∈M2×2(R) / det(A) = 0}
Solucion. A =
⎛⎝1 0
0 0
⎞⎠ ∈ M3 y B =
⎛⎝0 0
0 1
⎞⎠ ∈ M3, pero
A + B =
⎛⎝1 0
0 1
⎞⎠ �∈ M3, ası que M3 no es un subespacio
vectorial.
d ) M4 = {A =
⎛⎝ 0 0
0 a
⎞⎠ ∈ M2×2(R) / a ∈ R }
Solucion. M4 es un subespacio vectorial porque:
167
Si A, B ∈ M4 entonces A =
⎛⎝0 0
0 a
⎞⎠ y B =
⎛⎝0 0
0 b
⎞⎠,
ası que: A + B =
⎛⎝0 0
0 a + b
⎞⎠ ∈M4.
Si A ∈ M4 y α ∈ R entonces A =
⎛⎝0 0
0 a
⎞⎠ y αA =
⎛⎝0 0
0 αa
⎞⎠ ∈ M4.
Como cualquier elemento de M4 es de la forma
⎛⎝0 0
0 a
⎞⎠ se
tiene que
βM4 =
⎧⎨⎩⎛⎝0 0
0 1
⎞⎠⎫⎬⎭
es una base de M4 al ser un sistema generador y linealmente
independiente.
168
Ejercicio
Comprobar si los siguientes conjuntos de R3 son subespacios vec-
toriales:
(a) W ={(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 = 0
}.
Solucion. Es un subespacio vectorial por ser sus elementos
las soluciones de un sistema lineal homogeneo. Ademas la di-
mension es 3 menos el rango de la matriz que define el sistema,
es decir la dimension es 3− 1 = 2.
(b) W ={(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + 2x2 + x3 = 1
}.
Solucion. No es un subespacio vectorial porque (1, 0, 0) ∈W
pero 2(1, 0, 0) �∈W .
(c) W ={(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 = x2 = 0
}.
Solucion. Es un subespacio vectorial por ser sus elementos
las soluciones de un sistema lineal homogeneo. Ademas la di-
mension es 3 menos el rango de la matriz que define el sistema,
es decir la dimension es 3− 2 = 1.
(d) W ={(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2 = 0 y x3 − x2 = 0
}.
Solucion. Es un subespacio vectorial por ser sus elementos
las soluciones de un sistema lineal homogeneo. Ademas la di-
mension es 3 menos el rango de la matriz que define el sistema,
169
es decir la dimension es 3− 2 = 1.
(e) W ={(x1, x2, x3) ∈ R3 : x1 + x2
2 = 0}
.
Solucion. No es un subespacio vectorial porque (−1, 1, 0) ∈W pero 5(−1, 1, 0) �∈W .
170
Ejercicio
Comprobar si los siguientes conjuntos de Z35 son subespacios vec-
toriales:
(a) W ={(x1, x2, x3) ∈ Z3
5 : x1 + x2 = 0}
.
Solucion. Por los mismos motivos que en el ejercicio anterior
(el mismo apartado) W es un subespacio vectorial. La dimen-
sion sigue siendo la misma por un razonamiento analogo.
(b) W ={(x1, x2, x3) ∈ Z3
5 : x1 + 2x2 + x3 = 1}
.
Solucion. No es un subespacio vectorial porque (1, 0, 0) ∈W
pero 2(1, 0, 0) �∈W .
(c) W ={(x1, x2, x3) ∈ Z3
5 : x1 = x2 = 0}
.
Solucion. Por los mismos motivos que en el ejercicio anterior
(el mismo apartado) W es un subespacio vectorial. La dimen-
sion sigue siendo la misma por un razonamiento analogo.
(d) W ={(x1, x2, x3) ∈ Z3
5 : x1 + x2 = 0 y x3 − x2 = 0}
.
Solucion. Por los mismos motivos que en el ejercicio anterior
(el mismo apartado) W es un subespacio vectorial. La dimen-
sion sigue siendo la misma por un razonamiento analogo.
(e) W ={(x1, x2, x3) ∈ Z3
5 : x1 + x22 = 0
}.
171
Solucion. No es un subespacio vectorial porque (4, 1, 0) ∈W
pero 2(4, 1, 0) = (3, 2, 0) �∈ W ya que 3 + 22 = 3 + 4 = 2 �= 0.
(f) W ={(x1, x2, x3) ∈ Z3
3 : x1(x21 + 2) = 0
}.
Solucion. Busquemos otra descripcion del conjunto W . El
vector (x, y, z) ∈ W si y solo si x(x2 − 1) = 0, ası que x = 0
o x2 = 1. Ademas la ecuacion x2 = 1 se satisface para los
valores de x = 1 y x = 2.
Ası que W = Z33 y por lo tanto es un subespacio vectorial.
172
Ejercicio
Sea A ∈Mk×n(K) y FA el conjunto formado por los vectores fila de
la matriz A (FA ⊂ Kn). Sea B una matriz obtenida de A mediante
una operacion elemental por filas y FB el conjunto formado por los
vectores fila de la matriz B (FB ⊂ Kn).
Entonces < FA >=< FB >.
Demostracion
Para esta demostracion hay que distinguir tres casos:
B se obtiene de A intercambiando dos filas. En este caso
FA = FB y claramente < FA >=< FB >.
B se obtiene de A multiplicando la fila j por un escalar
α �= 0. Si llamamos vl al vector fila l-esima de la matriz A
entonces:
FA = {v1, v2, . . . , vj−1, vj, vj+1, . . . , vk}
y
FB = {v1, v2, . . . , vj−1, αvj, vj+1, . . . , vk}.
Si v ∈< FA > entonces:
v = α1v1 + α2v2 + . . . αj−1vj−1 + αjvj + αj+1vj+1 + . . . αnvn
⇒ v = α1v1 + α2v2 + . . . αj−1vj−1 + αjα−1αvj + αj+1vj+1 + . . . αnvn,
173
es decir v ∈< FB >. Ası que hemos probado < FA >⊂<
FB >.
Probamos ahora la inclusion contraria. Si v ∈< FB > enton-
ces:
v = α1v1 + α2v2 + . . . αj−1vj−1 + αjαvj + αj+1vj+1 + . . . αnvn
,
ası que v ∈< FA >. Por lo tanto < FB >⊂< FA >.
Hemos probado por lo tanto la igualdad < FB >=< FA >.
B se obtiene de A sumando a la fila i la fila j multiplicada
por un escalar α �= 0. Si llamamos vl al vector fila l-esima de
la matriz A entonces:
FA = {v1, v2, . . . , vk}
y
FB = {v1, v2, . . . , vi−1, vi + αvj, vi+1, . . . , vk}.
Si v ∈< FA > entonces:
v = α1v1 + α2v2 + . . . αi−1vi−1 + αivi + αi+1vi+1 + . . . αnvn
⇒ v =
n∑l∈{1,2,...,n}\{i,j}
αlvl + αi(vi + αvj) + (αj − αiα)vj,
es decir v ∈< FB >. Ası que hemos probado < FA >⊂<
FB >.
174
Probamos ahora la inclusion contraria. Si v ∈< FB > enton-
ces:
v =n∑
l∈{1,2,...,n}\{i,j}αlvl + αi(vi + αvj) + αjvj
=n∑
l∈{1,2,...,n}\{i,j}αlvl + αivi + (ααi + αj)vj
ası que v ∈< FA >. Por lo tanto < FB >⊂< FA >.
Hemos probado por lo tanto la igualdad < FB >=< FA >.
175
Ejercicio
Sea P4[x] el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes
reales de grado menor o igual que cuatro. Dadas las siguientes
bases:
B1 ={x, x2 + 1, 2x4 + x3, x3 − x2 + x, x2 + x
}B2 =
{2x4 + 1, x3 − 1, x3 + 2x, x2, x3 − x2
}a) Halla la matriz de cambio de base de B1 a B2.
Solucion. Recurrimos a la definicion y calculamos las coorde-
nadas de los vectores de B2 en B1. Para simplificar la notacion
denotaremos a los vectores de ambas bases como sigue:
B1 = {u1, u2, u3, u4, u5}, B2 = {v1, v2, v3, v4, v5}.
v1 = 2x4 + 1 = 3u1 + u2 + u3 − u4 − 2u5 = (3, 1, 1,−1,−2)B1,
v2 = x3 − 1 = −3u1 − u2 + u4 + 2u5 = (−3,−1, 0, 1, 2)B1,
v3 = x3 + 2x = u4 + u5 = (0, 0, 0, 1, 1)B1,
v4 = x2 = −u1 + u5 = (−1, 0, 0, 0, 1)B1,
v5 = x3 − x2 = −u1 + u4 = (−1, 0, 0, 1, 0)B1,
Ası que:
176
MB1B2 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
3 −3 0 −1 −1
1 −1 0 0 0
1 0 0 0 0
−1 1 1 0 1
−2 2 1 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
b) Halla las coordenadas respecto de dichas bases del polinomio
p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1.
Solucion. Calculamos primero las coordenadas de p(x) en la
base B2:
p(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 =1
2v1 − 1
2v2 +
1
2v3 + 2v4 + v5
=
(1
2,−1
2,1
2, 2, 1
)B2
Ahora para calcular las coordenadas del vector en B1 basta con
hacer la multiplicacion:
MB1B2
(1
2,−1
2,1
2, 2, 1
)t
B2
=
(0, 1,
1
2,1
2,1
2
)t
B1
177
Tema 5: Aplicaciones lineales
Gabriel Soler Lopez
24 de noviembre de 2004
5. Preliminares
Antes de desarrollar los conceptos de este tema conviene aclarar o
repasar los conceptos de aplicacion y enumerar sus tipos. ecuacion
numerica:
Definicion (Aplicacion). Una aplicacion entre dos conjuntos, A y
B, es una ley que hace corresponder a cada elemento de A un unico
elemento de B.
Para denotar esta ley se le suele denotar por una letra del alfabeto
y se utiliza la notacion f : A → B.
Si el elemento a de A esta relacionado con el elemento b de B se
suele escribir f(a) = b, tambien se suele decir que b es la imagen de
a o que a es una antiimagen de b.
Definicion (Conjuntos asociados a una aplicacion f : A→ B).
Al conjunto A se le suele llamar conjunto original y al conjunto B
conjunto final.
178
El conjunto imagen de f se denota por f(A) y se define por la
igualdad:
f(A) := {y ∈ B : existe x ∈ A tal que f(x) = y}
Ejemplo. Dada la aplicacion f : N → N definida por f(n) = 2n,
se tiene:
El conjunto inicial de f es N,
El conjunto final de f es N,
El conjunto imagen es el conjunto de los numeros naturales
pares,
4 es la antiimagen de 8,
3 no es la imagen de ningun numero natural.
179
Definicion (Tipos de aplicaciones). 1. Una aplicacion f : A→B se dice inyectiva si se verifica:
si f(a) = f(b) entonces a = b.
2. Una aplicacion f : A → B se dice suprayectiva o exhaustiva
si se verifica:
todo elemento de B tiene una antiimagen.
3. Una aplicacion f : A→ B se dice biyectiva si se verifica:
f es inyectiva y exhaustiva.
Ejemplo. La aplicacion f : R → R definida por f(x) = x2 no es
inyectiva ni suprayectiva.
f no es inyectiva ya que f(2) = f(−2) = 4 y sin embargo 2 �= −2.
f no es suprayectiva ya que −1 no tiene antiimagen.
Proposicion (Aplicacion inversa). Si f : A → B es una apli-
cacion biyectiva entonces existe una aplicacion g : B → A tal que:
f ◦ g = 1B g ◦ f = 1A,
donde 1A y 1B son las siguientes aplicaciones:
1A : A −→ A
a → a
1B : B −→ B
b → b.
La aplicacion g se llama inversa de la aplicacion f.
180
Demostracion. La definicion de g : B → A se hace como sigue: para
cada elemento b ∈ B existe una unica antiimagen a por f (aplicacion
biyectiva) tal que f(a) = b.
Ahora se define g(b) = a y es rutinario comprobar que g satisface
las propiedades enunciadas.
181
6. Introduccion de las aplicaciones li-
neales
Definicion (Aplicacion lineal). Dados dos K-espacios vectoriales
V y W y una aplicacion f : V → W entre ellos, diremos que f es
lineal si verifica:
∀ u, v ∈ V f(u + v) = f(u) + f(v)
∀ α ∈ K y ∀ u ∈ V f(αu) = αf(u)
Ejemplo. Sea f : R → R la aplicacion definida por f(x) = 2x.
Entonces se tiene que f es lineal, ya que para cada x, y, α ∈ R:
1. f(x + y) = 2(x + y) = 2x + 2y = f(x) + f(y)
2. f(αx) = 2(αx) = α2x = αf(x)
182
Ejemplo. La aplicacion g : R2 → R3 la aplicacion definida por
g(x, y) = (x + y, x− y, x) es lineal, ya que:
∀u = (u1, u2), v = (v1, v2) ∈ R2 y ∀α ∈ R:
1.
g(u + v) = g ((u1, u2) + (v1, v2)) = g (u1 + v1, u2 + v2)
= (u1 + u2 + v1 + v2, u1 − u2 + v1 − v2, u1 + v1)
= g(u) + g(v) = g (u1, u2) + g (v1, v2)
= (u1 + u2, u1 − u2, u1) + (v1 + v2, v1 − v2, v1)
2. g(α(u1, u2)) = αg (u1, u2) (demostrar en casa).
Ejercicio (de la hoja distribuida). Determinar cuales de
las siguientes aplicaciones son lineales:
1. f : IR2 → IR2 dada por f(x, y) = (x− y, 2x− y2).
2. f : IR4 → IR2 dada por f(x, y, z, u) = (x−y, u+z, z, 2x−y).
3. f : IR2 → IR3 dada por f(x, y) = (x− y, x− 2y, 3y).
4. f : IR3 → IR3 dada por f(x, y, z) = (x− z + y, 2x− y −3z, z + y).
183
6.1. Propiedades de las aplicaciones li-
neales
Proposicion. f : V → W es lineal si y solo si f(αu + βv) =
αf(u) + βf(v) para cualesquiera α, β ∈ K y u, v ∈ V .
Demostracion.(⇒) Partimos en este caso de la premisa “f es lineal”,
por lo tanto usando simultaneamente las dos propiedades que de-
finen una aplicacion lineal, se tiene:
f(αu + βv) = f(αu) + f(βv) = αf(u) + βf(v)
(⇐) Para probar el recıproco tendremos que demostrar dos cosas:
1. Si u, v ∈ V entonces f(u+v) = f(u)+f(v). La demostracion
de este hecho es facil, en efecto:
f(u + v) = f(1u + 1v) = 1f(u) + 1f(v) = f(u) + f(v).
2. Si u ∈ V y α ∈ V entonces f(αu) = αf(u). La demostracion
de esto es la que sigue:
f(αu) = f(αu + 0v) = αf(u) + 0f(v) = αf(u).
184
Proposicion. Si f : V → W es lineal entonces f(0V) = 0W,
donde 0V y 0W denotan respectivamente los ceros de los espacios
vectoriales V y W .
Demostracion. f(0V) = f(0V + 0V) = f(0V) + f(0V). Ası que
f(0V) = f(0V) + f(0V) y si sumamos en ambos miembros el opuesto
de f(0V) se obtiene 0W = f(0V) como se querıa demostrar.
Proposicion. 1. La composicion de dos aplicaciones lineales es
lineal,
2. La inversa de una aplicacion lineal es tambien lineal.
185
6.2. Tipos de aplicaciones lineales
Definicion. 1. Isomorfismo: es una aplicacion lineal biyectiva.
2. Epimorfismo: es una aplicacion lineal suprayectiva.
3. Monomorfismo: es una aplicacion lineal inyectiva.
4. Si el espacio de partida y llegada es el mismo,f : V → V , y f es
lineal diremos que f es un endomorfismo.
5. Un endomorfismo biyectivo se llamara automorfismo.
186
7. Subespacios vectoriales asociados a
una aplicacion lineal
Definicion (Kernel e Imagen). Dada una aplicacion lineal f :
V →W , definimos el Kernel de dicha aplicacion como el subconjunto
de V definido por:
Ker f := {v ∈ V : f(v) = 0W}.
Para la misma aplicacion f se define la imagen de f como:
Im f := {f(v) : v ∈ V }.
Proposicion. 1. Ker f es un subespacio vectorial de V (Ker f ≤V ).
2. Im f es un subespacio vectorial de W (Im f ≤W ).
187
Demostracion. 1. Veamos que Ker f ≤ V , para ello es necesario
comprobar:
a) Si v, w ∈ Ker f entonces v + w ∈ Ker f . En efecto, como
v ∈ Ker f y w ∈ Ker f entonces f(v) = f(w) = 0W y por ser
f lineal:
f(v +w) = f(v)+f(w) = 0W +0W = 0W ⇒ v +w ∈ Ker f.
b) Si v ∈ Ker f y α ∈ R entonces αv ∈ Ker f . Procediendo de
forma analoga tenemos que f(v) = 0W ya que v ∈ Ker f y
ahora usando la linealidad de f :
f(αv) = αf(v) = α0W = 0W ⇒ αv ∈ Ker f.
2. Probemos ahora que Im f ≤ W . Igual que antes hay que probar
los siguientes dos apartados.
a) Si v, w ∈ Im f entonces v + w ∈ Im f . Como v ∈ Im f y
w ∈ Im f entonces existen v1, w1 ∈ V tales que f(v1) = v y
f(w1) = w y por ser f lineal:
f(v1 + w1) = f(v1) + f(w1) = v + w ⇒ v + w ∈ Im f.
b) Si v ∈ Im f y α ∈ R entonces αv ∈ Im f . Procediendo de
forma analoga tenemos que f(v1) = v para algun v1 ∈ V ya
188
que v ∈ Im f y ahora usando la linealidad de f :
f(αv1) = αf(v1) = αv ⇒ αv ∈ Im f.
Ejercicio
Ejercicio (de la hoja distribuida). Sea V un espacio vectorial
sobre un cuerpo K y sea f : V −→ V una aplicacion lineal. Se define
el conjunto invariante de f , denotado Inv(f), como el conjunto de
vectores los vectores v que permanecen invariantes por la aplicacion,
es decir,
Inv(f) = {v ∈ V : f(v) = v}
Demuestra que el conjunto invariante de una aplicacion lineal es un
subespacio vectorial.
7.1. Determinacion de un monomorfis-
mo por su kernel
Por definicion se tiene que la aplicacion lineal f : V → W sera ex-
haustiva si y solo si el subespacio vectorial Im f = W . Es decir f es
un epimorfismo si y solo si Im f = W .
189
Ahora nos gustarıa saber si hay alguna relacion entre que una apli-
cacion sea monomorfismo y su kernel. Dicha relacion existe y viene
recogida en el siguiente teorema.
Teorema. La aplicacion lineal f : V → W es un monomorfismo
si y solo si Ker f = {0V}
Demostracion.(⇒) Dada una aplicacion lineal cualquiera f : V →W
se tiene que f(0V) = 0W y por lo tanto 0V ∈ Ker f . Por otro lado
si existe algun v �= 0V tal que v ∈ Ker f tendrıamos que f(v) =
f(0V) = 0W y se romperıa la inyectividad, ası que forzosamente
Ker f = {0V}.
(⇐) Supongamos ahora que tenemos una aplicacion lineal que satisface
Ker f = {0V} y que ademas f(v) = f(w). Entonces 0W = f(v)−f(w) = f(v − w) por lo que v − w ∈ Ker f . Ası que v −w = 0V
y v = w, es decir, la aplicacion f es inyectiva.
Ejercicio (de la hoja distribuida). Calcula la aplicacion
lineal f : IR3 −→ IR3 sabiendo que
Ker(f) = {(x, y, z) ∈ IR3 :x + y + z = 0
x− y + 2z = 0}
y f(1, 0, 0) = (−1, 2, 0), f(0, 1, 0) = (1, 1, 0).
190
7.2. Un apunte sobre dimensiones que
os ayudara en los ejercicios
Proposicion. Dada una aplicacion lineal f : V → W se satisface:
dimV = dimKer f + dimIm f.
191
8. Matrices asociadas a una aplicacion
lineal
Definicion. Sean V y W espacios vectoriales sobre los que fijamos
respectivamente las siguientes bases:
β = {v1, v2, . . . , vn} β′ = {w1, w2, . . . , wm}.
Sea f : V → W una aplicacion lineal para la que conocemos las
imagenes de los elementos de β expresadas en coordenadas sobre la
base β′, es decir:
f(vi) =m∑
j=1
ajiwj = (a1i, a2i, . . . , ami)β′
La matriz asociada a f respecto de las bases β y β′ es:
Mββ′(f) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... ... . . . ...
am1 am2 . . . amn
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠∈ MdimW×dimV (K)
192
Ejercicio
Ejercicio. Sea f : IR4 → IR3 una aplicacion lineal definida por:
f(1, 1, 1, 1) = (0, 0, 1) f(1, 0, 1, 0) = (1, 1,−1)
f(1, 1, 1, 0) = (0, 0,−1) f(−1,−2, 0, 0) = (1, 1, 1)
Se pide calcular:
1. La matriz de f respecto a las bases canonicas.
Solucion.
193
8.1. Propiedades de las matrices de cam-
bio de base
Proposicion. Si f : V → W es una aplicacion lineal, v ∈ V
y w = f(v) y las coordenadas son v = (a1, a2, . . . , an)β y w =
(b1, b2, . . . , bm)β′, entonces:⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
b1
b2
...
bm
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
β′
= Mββ′(f)
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
a1
a2
...
an
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
β
Ejercicio
Ejercicio. Sea f : IR4 → IR3 una aplicacion lineal definida por:
f(1, 1, 1, 1) = (0, 0, 1) f(1, 0, 1, 0) = (1, 1,−1)
f(1, 1, 1, 0) = (0, 0,−1) f(−1,−2, 0, 0) = (1, 1, 1)
Se pide calcular:
2. La dimension y ecuaciones de Ker(f) e Im(f).
194
Proposicion (Matriz de la composicion de aplicaciones).
Si f : V → W y g : W → U son dos aplicaciones lineales entonces
g ◦ f : V → U es una aplicacion lineal. Ademas si β, β′ y β′′ son
bases respectivas de V , W y U , se tiene que:
Mββ′′(g ◦ f) = Mβ′β′′(g)Mββ′(f)
Proposicion (Relacion con matrices de cambio de bases).
Sea V un espacio vectorial, β y β′ bases del mismo y Id : V → V
la aplicacion identidad. Entonces
Mββ′(Id) = Mβ′β.
195
8.2. Matriz asociada a una aplicacion
lineal f respecto de otras bases
Dados espacios vectoriales V y W , una aplicacion lineal f : V →W
y bases respectivas de los anteriores espacios
βV = {v1, v2, . . . , vn} βW = {w1, w2, . . . , wm},
podemos construir la matriz MβV βW(f) como se ha explicado antes.
Suponed ahora que nos dan otras bases:
β′V = {v′1, v′2, . . . , v′n} β′W = {w′1, w′2, . . . , w′m}
y nos piden la matriz Mβ′V β′W (f). Para este calculo hay dos posibilida-
des:
1. Utilizar la definicion de aplicacion lineal (ya se ha explicado).
2. Utilizar la matriz MβV βW(f) y las matrices de cambio de base
MβV β′V y MβW β′W . Para obtener esta relacion hacemos notar:
196
El diagrama siguiente, donde Id1 e Id2 son la aplicacion identidad,
es conmutativo
(V, βV )
f
−→ (W, βW )
Id1 ↑ ↓ Id2
(V, β′V )
f
−→ (W, β′W )
En el diagrama se ve que f = Id2 ◦f ◦ Id1 y utilizando una pro-
posicion anterior para calcular la matriz de una composicion, se
tiene:
Mβ′V ,β′W (f) = Mβ′V ,β′W (Id2◦f ◦ Id
1) =
MβW ,β′W (Id2
)MβV ,βW(f)Mβ′V ,βV
(Id1
) =
Mβ′W ,βWMβV ,βW
(f)MβV ,β′V
Ejercicio
Ejercicio. Sea f : IR4 → IR3 una aplicacion lineal definida por:
f(1, 1, 1, 1) = (0, 0, 1) f(1, 0, 1, 0) = (1, 1,−1)
f(1, 1, 1, 0) = (0, 0,−1) f(−1,−2, 0, 0) = (1, 1, 1)
Se pide calcular:
197
3. La matriz de f respecto de la base canonica de IR4 y la base de
IR3,
B = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0)}
ası como las ecuaciones de la imagen de f en esta ultima base.
4. La matriz de f respecto de las bases de
B1 = {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (1, 1, 1, 1)} (de R4)
y
B2 = {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} (de R3),
ası como las ecuaciones del nucleo y la imagen de f en estas bases.
5. El rango de la aplicacion.
9. Ejercicios Resueltos
Ejercicio
Se considera la aplicacion lineal f : Rn → Rk que verifica:
f(1, 0, 1) = (1, 0), f(0, 1, 1) = (2, 3), f(0, 0, 1) = (1, 1).
En este ejercicio usaremos la notacion βA para denotar a la base de-
finida en el ejercicio anterior. Ademas β3C y β2
C seran respectivamente
las bases canonicas de R3 y R2.
198
Se pide:
1. Decir quienes son n y k.
Solucion. n = 3 y k = 2.
2. Calcular MβAβ2C(f).
Solucion. De las imagenes que nos dan de los vectores de βA
obtenemos:
MβAβ2C(f) =
⎛⎝ 1 2 1
0 3 1
⎞⎠ .
3. Calcular Mβ3Cβ2
C(f).
Solucion.
Mβ3Cβ2
C(f) = Mβ2
Cβ2CMβAβ2
C(f)MβAβ3
C=
⎛⎝ 1 0
0 1
⎞⎠⎛⎝ 1 2 1
0 3 1
⎞⎠⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0
0 1 0
−1 −1 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎝ 0 1 1
−1 2 1
⎞⎠
4. Calcular una base y las ecuaciones de Ker f .
Solucion. Un vector (x, y, z) pertenece a Ker f si y solo si
199
Mβ3Cβ2
C(f)(x, y, z)t = 0. Ası que:⎧⎨
⎩ y + z = 0,
−x + 2y + z = 0.
Por lo tanto dimKer f = 3−rgMβ3Cβ2
C(f) = 1 y βKer f = {(1, 1,−1)}.
5. Calcular una base y las ecuaciones de Im f .
Solucion. Sabemos que
Im f =< (0,−1), (1, 2), (1, 1) > .
Como el primer y segundo vector forman un conjunto de vectores li-
nealmente independientes y maximal entonces βIm f = {(0,−1), (1, 2)}.Ası que Im f = R2 y no se pueden dar ecuaciones de este subes-
pacio.
200
Ejercicio
Sea f : IRn → IRm la aplicacion cuya matriz asociada en las bases
canonicas es:
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 0
1 1
0 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Calcula:
(1.1). Los valores de n y de m (0,3 puntos).
Solucion. Los valores de n y de m son respectivamente 2 y 3, es
decir, el numero de columnas y filas de la matriz A.
(1.2). La expresion analıtica de f en las bases canonicas de Rn y Rm (0,4
puntos).
Solucion. f(x, y) =
⎡⎣A
⎛⎝ x
y
⎞⎠⎤⎦
t
= (2x, x + y, 2y).
(1.3). La matriz de f respecto de las bases
B = {(1, 1), (1, 0)} y B′ = {(1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}
(0,9 puntos).
Solucion. Vamos a calcular esta matriz utilizando la definicion de
la misma. Para ello debemos calcular las imagenes de los vectores
201
(1, 1) y (1, 0) por la aplicacion f y a calcular las coordenadas de
esas imagenes en la base B′:
f(1, 1) = (2, 2, 2) = 2(1, 1, 1) = (0, 0, 2)B′,
f(1, 0) = (2, 1, 0) = (1, 0, 0) + (1, 1, 0) = (1, 1, 0)B′.
Ası que la matriz de f respecto de las bases B y B es:
MBB′(f) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 1
0 1
2 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .
Responde justificadamente:
(1.4). ¿Se puede hacer la composicion f ◦ f? ¿Que tamano tendrıa la
matriz asociada a f ◦ f? (0,4 puntos).
Solucion. No se puede hacer la composicion porque el espacio de
partida y llegada de f no coinciden.
(1.5). ¿Es la aplicacion f invertible? (0,5 puntos).
Solucion. No, porque para que sea invertible tiene que ser un
endomorfismo.
202
Ejercicio
En este problema consideraremos los siguientes conjuntos:
β1 = {(1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (0, 1, 0, 1)},
β2 = {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 1, 1)},
β3 = {(1, 0, 0, a), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 0, 1)},
β4 = {(1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 0, 1)},
β5 = {(1, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1)},
β6 = {(1, 0, 1), (0, 0,−1), (0, 1, 1)}
y las aplicaciones lineales f : R4 → R3, g : Rk → Rl y h : Rm → Rn
definidas por:
f(x, y, z, t)β1 = (x + y + z, x, y − t)β4,
Mβ4β5(g) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 1
0 1 1
1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Mβ4β5(h) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 1
−1 1 1
1 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
203
1. Comprueba que los conjuntos β1, β2 y β3 son bases de R4.
Solucion. Para ver que estos conjuntos son bases basta con poner
los vectores por filas en una matriz y ver que el determinante es
diferente de 0.
Para el conjunto β1 tendrıamos
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 1 0
1 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −1 �= 0.
Para el conjunto β2 tendrıamos
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1 0
1 1 0 0
0 1 1 1
0 0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 �= 0.
Para el conjunto β3 tendrıamos
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 0 0 a
1 0 1 1
0 1 1 0
0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −1 �= 0.
204
2. Comprueba que los conjuntos β4, β5 y β6 son bases de R3.
Solucion. Igual que en el apartado anterior:
Para el conjunto β4 tendrıamos
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 1
1 0 0
0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −1 �= 0.
Para el conjunto β5 tendrıamos
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 1 0
1 0 0
0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −1 �= 0.
Para el conjunto β6 tendrıamos
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 1
0 0 −1
0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1 �= 0.
205
3. Calcula las siguientes matrices:
Mβ1β2, Mβ2β3, Mβ1β3, Mβ4β5, Mβ4β6, Mβ5β6.
Solucion.
Antes de empezar a calcular estas matrices adoptaremos la nota-
cion siguiente:
vji sera el vector i-esimo de la base βj, para valores de i entre
1 y 4 y de j entre 1 y 3.
wji sera el vector i-esimo de la base βj, para valores de i entre
1 y 3 y de j entre 4 y 6.
Ası que con esta notacion tenemos por ejemplo: v34 = (0, 0, 0, 1) y
w62 = (0, 0,−1).
Mβ1β2
Para construir esta matriz hay que poner las coordenadas de los
vectores de la base β2 en la base β1:
206
v21 = 2v1
1 − v12 − v1
3 + v14
v22 = 1v1
1 + 0v12 − v1
3 + v14
v23 = 1v1
1 − v12 + 0v1
3 + v14
v24 = 0v1
1 + 0v12 + 1v1
3 + 0v14
Ahora ponemos estas coordenadas por columnas y obtenemos la
matriz solicitada:
Mβ1β2 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 1 1 0
−1 0 −1 0
−1 −1 0 1
1 1 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Mβ2β3
Para construir esta matriz hay que poner las coordenadas de los
vectores de la base β3 en la base β2:
v31 = −av2
1 + (1 + a)v22 − v2
3 + (1 + a)v24
v32 = 0v2
1 + 1v22 − v2
3 + 2v24
v33 = 1v2
1 − v22 + 1v2
3 − v24
v34 = −1v2
1 + 1v22 + 0v2
3 + 1v24
207
Ahora ponemos estas coordenadas por columnas y obtenemos la
matriz solicitada:
Mβ2β3 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
−a 0 1 −1
1 + a 1 −1 1
−1 −1 1 0
1 + a 2 −1 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Mβ1β3
Para construir esta matriz hay que poner las coordenadas de los
vectores de la base β3 en la base β1:
v31 = −av1
1 + (1 + a)v12 + av1
3 + 0v14
v32 = 0v1
1 + 1v12 + 1v1
3 + 0v14
v33 = 2v1
1 − 2v12 − 1v1
3 + v14
v34 = −1v1
1 + 1v12 + 1v1
3 + 0v14
Ahora ponemos estas coordenadas por columnas y obtenemos la
208
matriz solicitada:
Mβ1β3 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
−a 0 2 −1
1 + a 1 −2 1
a 1 −1 1
0 0 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Mβ4β5
Para construir esta matriz hay que poner las coordenadas de los
vectores de la base β5 en la base β4:
w51 = w4
1 + 0w42 − w4
3
w52 = 0w4
1 + 1w42 + 0w4
3
w53 = w4
1 − w42 + 0w4
3
Ahora ponemos estas coordenadas por columnas y obtenemos la
matriz solicitada:
Mβ4β5 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 1
0 1 −1
−1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
209
Mβ4β6
Para construir esta matriz hay que poner las coordenadas de los
vectores de la base β6 en la base β4:
w61 = 0w4
1 + w42 + w4
3
w62 = 0w4
1 + 0w42 − w4
3
w63 = w4
1 − w42 + 0w4
3
Ahora ponemos estas coordenadas por columnas y obtenemos la
matriz solicitada:
Mβ4β6 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 1
1 0 −1
1 −1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Mβ5β6
Para construir esta matriz hay que poner las coordenadas de los
vectores de la base β6 en la base β5:
210
w61 = −w5
1 + 2w52 + w5
3
w62 = w5
1 − w52 − w5
3
w63 = 0w5
1 + 0w52 + 1w5
3
Ahora ponemos estas coordenadas por columnas y obtenemos la
matriz solicitada:
Mβ5β6 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝−1 1 0
2 −1 0
1 −1 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
211
4. Dados los subespacios vectoriales
S = {(x, y, z, t)β3 ∈ R4 : x+y+z+t = 0} y T =< (1, 2, 0, 1)β2 >,
se pide:
Calcular las dimensiones de S y T y bases de cada uno de los
subespacios (se pide que las coordenadas de los vectores de esas
bases esten dadas en la base β1).
Solucion. Esta claro que la dimension de T es 1 porque viene
generado por un unico vector no nulo, que por tanto sera una
base de T . En cuanto a S se tiene que su dimension es 4 menos
el rango del sistema que lo define, es decir, dimS = 4− 1 = 3.
Hemos dicho en el parrafo anterior que βT = {(1, 2, 0, 1)β2} es
una base de T , pero necesitamos expresar el vector de βT en
la base β1, para ello podemos utilizar la igualdad:
(x, y, z, t)β1 = [Mβ1β2(1, 2, 0, 1)tβ2]t,
donde (x, y, z, t)β1 son las coordenadas del vector (1, 2, 0, 1)β2
en la base β1. Haciendo el producto marcado se obtiene que
(1, 2, 0, 1)β2 = (4,−1,−2, 3)β1 y la base solicitada de T puede
ser:
βT = {(1, 2, 0, 1)β2} = {(4,−1,−2, 3)β1}212
Para encontrar una base de S podrıamos utilizar sus ecuacio-
nes, pero esto nos darıa una base con coordenadas en β3 y luego
tendrıamos que cambiar estas a la base β1. Otra opcion serıa
expresar las ecuaciones de S respecto de la base β1 y luego ob-
tener la base. Este es el procedimiento que vamos a usar porque
con el respondemos parcialmente a la siguiente pregunta. Para
calcular las ecuaciones de S respecto de la base β1 tomamos un
vector u = (x′, y′, z′, t′)β1 ∈ S y buscamos las ecuaciones que
satisfacen x′, y′, z′, t′. Empezamos calculando las coordenadas
del vector u en β3 (u = (x, y, z, t)β3):
(x, y, z, t)tβ3= Mβ3β1(x
′, y′, z′, t′)tβ1= M−1
β1β3(x′, y′, z′, t′)tβ1
=⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 1 −1 1
1 0 1 −1
0 0 0 1
−1 −a a 2− a
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(x′, y′, z′, t′)tβ1=
(y′ − z′ + t′, x′ + z′ − t′, t′,−x′ − ay′ + az′ + (2− a)t′)tβ3.
213
Ası que:
x = y′ − z′ + t′,
y = x′ + z′ − t′,
z = t′,
t = −x′ − ay′ + az′ + (2− a)t′
y las ecuaciones de S en β1 son:
0 = x + y + z + t
= y′ − z′ + t′ + x′ + z′ − t′ + t′ − x′ − ay′ + az′ + (2− a)t′
= (1− a)y′ + az′ + (3− a)t′ = 0 .
Ahora tenemos que obtener tres vectores de S linealmente in-
dependientes y que satisfagan las ecuaciones ultimas obtenidas.
Estos vectores pueden ser, por ejemplo, (1, 0, 0, 0)β1, (0, 0, a−3, a)β1, (0, 3, 2,−1)β1 y
βS = {(1, 0, 0, 0)β1, (0, 0, a− 3, a)β1, (0, 3, 2,−1)β1}
Calcula las ecuaciones cartesianas de S y de T en la base β1.
Solucion. Las ecuaciones de S en la base β1 ya las hemos
calculado en el apartado anterior, eran:
S = {(x′, y′, z′, t′)β1 ∈ R4 : (1− a)y′ + az′ + (2− a)t′ = 0}.214
Para calcular las ecuaciones de T en la base β1 seguimos el pro-
cedimiento usual. Tomamos (x′, y′, z′, t′)β1 ∈ T , por lo tanto
(x′, y′, z′, t′)β1 = α(4,−1,−2, 3)β1. Ahora tenemos que elimi-
nar el parametro α y obtener 3 ecuaciones homogeneas que
definan a T :
x′ = 4α, y′ = −α, z′ = −2α, t′ = 3α
⇒ x′ + 4y′ = z′ − 2y′ = t′ + 3y′ = 0.
215
Calcula los espacios S ∩ T y S + T (da las ecuaciones de
ambos espacios en la base β1 y bases cuyos vectores tengan sus
coordenadas expresadas respecto a β1).
Solucion.
S ∩ T
Las ecuaciones de la interseccion son:
(1− a)y′+ az′+ (2− a)t′ = x′+ 4y′ = z′ − 2y′ = t′+ 3y′ = 0,
este sistema tiene como matriz asociada a:⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 1− a a 2− a 0
1 4 0 0 0
0 −2 1 0 0
0 3 0 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
,
que tiene rango3 4 si a �= 54 y tiene rango 3 si a = 5
4.
• Si a �= 54
se tiene que dimS ∩ T = 4− 4 = 0 y por lo tanto
S ∩ T = {(0, 0, 0, 0)β1} y βS∩T = ∅ es una base de S ∩ T.
• Si a = 54
se tiene que dimS ∩ T = 4 − 3 = 1 y puesto
que el vector no nulo (−4, 1, 2,−3)β1 ∈ S ∩ T entonces
βS∩T = {(−4, 1, 2,−3)β1} es una base de S ∩ T.3Este rango se calcula usando el determinante de la matriz quitandole la columna de los terminos indepen-
dientes.
216
S + T
Distinguimos dos casos:
• Empezamos tomando a �= 54, en este caso S + T = R4
porque dimS+T = dimS+dimT−dimS∩T = 3+1−0 = 4.
• Ahora tomamos a = 54 y tenemos que dimS + T = dimS +
dimT−dimS∩T = 3+1−1 = 3. Calculamos el subespacio
suma:
S + T =< (4,−1,−2, 3)β1, (1, 0, 0, 0)β1,
(0, 0, a− 3, a)β1, (0, 3, 2,−1)β1 > .
Como sabemos que dimS + T = 3 y los 3 ultimos vecto-
res son linealmente independientes (son la base que hemos
calculado de S), obtenemos que:
βS+T = βS = {(1, 0, 0, 0)β1, (0, 0, a−3, a)β1, (0, 3, 2,−1)β1}
y que
S + T = S.
Finalmente:
S+T = S = {(x′, y′, z′, t′)β1 ∈ R4 : (1−a)y′+az′+(2−a)t′ = 0}.
217
¿Es la suma de ambos subespacios directa?
Solucion. Es directa excepto cuando a = 54.
218
5. Di cuales son los valores de k, l, m y n.
Solucion.
k = l = m = n = 3.
6. Calcula las ecuaciones, una base y la dimension de Ker f (todo ello
respecto de la base β2).
Solucion. Puesto que en este apartado nos piden datos sobre
Ker f respecto de la base β2 y en el siguiente sobre Im f relativos
a la base β6, disponer de la matriz Mβ2β6(f) sera de utilidad. Sin
embargo empezaremos calculando Mβ1β4(f) por ser facil de obtener
y posteriormente usaremos la igualdad:
Mβ2β6(f) = Mβ6β4Mβ1β4(f)Mβ1β2 (10)
Calculo de Mβ1β4(f). Por definicion tendremos que calcular las
imagenes (mediante f) de los elementos de la base β1 y expresar
sus coordenadas en β4. Esas coordenadas se ponen finalmente por
columnas en una matriz:
219
f(v11) = f((1, 0, 0, 0)β1) = (1, 1, 0)β4;
f(v12) = f((0, 1, 0, 0)β1) = (1, 0, 1)β4;
f(v13) = f((0, 0, 1, 0)β1) = (1, 0, 0)β4;
f(v14) = f((0, 0, 0, 1)β1) = (0, 0,−1)β4.
Ası que:
Mβ1β4(f) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 0
1 0 0 0
0 1 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Calculo de Mβ6β4.
Procedemos igual que en el apartado 3:
w41 = (1, 1, 1) = w6
1 + w62 + w6
3 = (1, 1, 1)β6;
w42 = (1, 0, 0) = w6
1 + w62 = (1, 1, 0)β6;
w43 = (0, 0, 1) = −w6
2 = (0,−1, 0)β6.
Ahora
220
Mβ6β4 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 0
1 1 −1
1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Ahora usamos la formula (10) y obtenemos:
Mβ2β6(f) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 0
1 1 −1
1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 0
1 0 0 0
0 1 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 1 1 0
−1 0 −1 0
−1 −1 0 1
1 1 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 1 1 0
2 0 1 1
1 1 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
2 1 1 0
−1 0 −1 0
−1 −1 0 1
1 1 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 1 1 1
4 2 3 1
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Calculo de Ker f
Ahora un vector (x, y, z, t)β2 ∈ Ker f si y solo si f((x, y, z, t)β2) =
(0, 0, 0)β6. Hacemos ahora calculos para obtener las ecuaciones de
Ker f .
221
[f((x, y, z, t)β2)]t = Mβ2β6(f)(x, y, z, t)tβ2
⇒ [f((x, y, z, t)β2)]t = (2x + y + z + t, 4x + 2y + 3z + t, t)β6 = (0, 0, 0)β6
⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
2x + y + z + t = 0,
4x + 2y + 3z + t = 0,
t = 0
sistema
matricial
⇒
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 1 1 1 0
4 2 3 1 0
0 0 0 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Ahora tenemos que la dimension de Ker f es 4 menos el ran-
go de la matriz asociada al sistema (3), es decir dimKer f = 1.
El vector (1,−2, 0, 0)β2 pertenece a Ker f , por lo tanto βKer f =
{(1,−2, 0, 0)β2} es una base de Ker f
222
7. Calcula las ecuaciones, una base y la dimension de Im f (todo ello
respecto de la base β6).
Solucion.
Sabemos que dimIm f = dimR4 − dimKer f = 4 − 1 = 3 y por
otro lado:
Im f =< (2, 4, 0)β6, (1, 2, 0)β6, (1, 3, 0)β6, (1, 1, 1, )β6 > .
Del sistema generador {(2, 4, 0)β6, (1, 2, 0)β6, (1, 3, 0)β6, (1, 1, 1, )β6}de Im f se puede extraer facilmente la base:
βIm f = {(1, 2, 0)β6, (1, 3, 0)β6, (1, 1, 1, )β6}.
Puesto que la dimension de Im f es 3 no se pueden calcular las
ecuaciones.
223
8. Calcula las matrices siguientes:
Mβ1β4(f), Mβ1β5(f), Mβ4β4(g◦h), Mβ4β4(h◦g), Mβ4β4(h), , Mβ4β4(g)
Solucion.
Mβ1β4(f)
Para calcular esta matriz es necesario obtener las imagenes, me-
diante f , de los vectores de β1 y dar las coordenadas del vector
imagen en la base β4. Esto ya se ha hecho en un apartado anterior:
f(v11) = (1, 1, 0)β4; f(v1
2) = (1, 0, 1)β4;
f(v13) = (1, 0, 0)β4; f(v1
4) = (0, 0,−1)β4.
Con estos datos tenemos:
Mβ1β4(f) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 0
1 0 0 0
0 1 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Mβ1β5(f)
Para calcular esta matriz es necesario obtener las imagenes, me-
diante f , de los vectores de β1 y dar las coordenadas del vector
224
imagen en la base β5:
f(v11) = (1, 1, 0)β4 = (2, 1, 1) = (0, 2, 1)β5;
f(v12) = (1, 0, 1)β4 = (1, 1, 2) = (−1, 2, 2)β5;
f(v13) = (1, 0, 0)β4 = (1, 1, 1) = (0, 1, 1)β5;
f(v14) = (0, 0,−1)β4 = (0, 0,−1) = (1,−1,−1)β5.
Con estos datos tenemos:
Mβ1β5(f) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 −1 0 1
2 2 1 −1
1 2 1 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Mβ4β4(g)
Para este calculo usaremos la formula:
Mβ4β4(g) = Mβ4β5Mβ4β5(g)Mβ4β4 = Mβ4β5Mβ4β5(g)I4 = Mβ4β5Mβ4β5(g)
Ası que:
Mβ4β4(g) = Mβ4β5Mβ4β5(g)
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 1
0 1 −1
−1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 1
0 1 1
1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 0 1
−1 1 1
−1 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
225
Mβ4β4(h)
Para este calculo usaremos la formula:
Mβ4β4(h) = Mβ4β5Mβ4β5(h)
Ası que:
Mβ4β4(h) = Mβ4β5Mβ4β5(h)
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 1
0 1 −1
−1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 1
−1 1 1
1 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0
−2 1 2
0 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
Mβ4β4(g ◦ h)
Para este calculo usaremos la formula:
Mβ4β4(g ◦ h) = Mβ4β4(g)Mβ4β4(h) =
Por lo tanto:
Mβ4β4(g ◦ h) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 0 1
−1 1 1
−1 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0
−2 1 2
0 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 0 −1
−3 1 1
−1 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
226
Mβ4β4(h ◦ g)
Para este calculo usaremos la formula:
Mβ4β4(h ◦ g) = Mβ4β4(h)Mβ4β4(g) =
Por lo tanto:
Mβ4β4(h ◦ g) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0
−2 1 2
0 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 0 1
−1 1 1
−1 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
2 0 1
−7 1 −3
1 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
227
9. ¿Es la aplicacion g biyectiva? ¿Cual es su inversa?
Solucion. Para que sea biyectiva debe ser simultaneamente inyec-
tiva y suprayectiva, es decir, se debe tener simultaneamente que
Ker g = 0 y que Im g = R3, o lo que es lo mismo, dimKer g = 0 y
dimIm g = 3.
Como dimIm g = rgMβ4β5(g) = 3 (porque el determinante de
Mβ4β5(g) es −1) y dimKer f = 3− dimIm f = 0, se tiene que g es
biyectiva.
Para calcular la inversa de g bastara con calcular la matriz asociada
a g−1 respecto de algunas bases. Obtendremos esta matriz usando
que Id = g ◦ g−1, por lo que:
Mβ4β5(g)Mβ5β4(g−1) = Mβ5β5(Id) = I3 ⇒Mβ5β4(g
−1) = (Mβ4β5(g))−1.
Haciendo los calculos necesarios obtenemos:
Mβ5β4(g−1) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 1
−1 1 1
1 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .
228
10. Determina Ker g, Ker h, Im g e Im h (todo respecto de la base β4)
y di si se verifica que alguna de las dos sumas siguientes es directa:
Ker h + Im h, Ker g + Im g.
Solucion.
Empezamos calculando las dimensiones de los espacios que quere-
mos calcular:
dimIm g = rgMβ4β5(g) = 3 ⇒ dimKer g = dimR3 − dimIm g = 0.
dimIm h = rgMβ4β5(h) = 3 ⇒ dimKer h = dimR3 − dimIm h = 0.
Ası que:
Ker g = Ker h = {(0, 0, 0)β4} e Im g = Im h = R3
Finalmente es claro que ambas sumas son directas puesto que:
Ker g ∩ Img = Ker h ∩ Im h = {(0, 0, 0)β4}
229
Tema 6: Diagonalizacion de matrices y
endomorfismos
Gabriel Soler Lopez
4 de diciembre de 2006
1. Introduccion
El objetivo del tema es encontrar, para un endomorfismo dado f :
Rm → Rm, una base β de Rm tal que la matriz Mββ(f) sea diagonal o
contenga el mayor numero posible de ceros.
Encontrar dicha base tendra su interes posteriormente para calcular
potencias arbitrarias de una matriz dada. A su vez, dichas potencias
permitiran calcular la exponencial.
Matricialmente, el objetivo descrito en las lıneas anteriores no es mas
que dada una matriz cuadrada A de tamano m × m, encontrar una
matriz invertible P tal que P−1AP sea diagonal.
Diagonalizar una matriz sera encontrar la matriz P y diagonalizar
el endomorfismo f : Rm → Rm consiste en encontrar la base β antes
descrita.
230
2. Polinomio caracterıstico, espectro, va-
lores propios y vectores propios
Definicion (Polinomio caracterıstico).
Dada una matriz A ∈ Mm×n(K), denotaremos por pA(x) al polino-
mio caracterıstico de A, que viene definido por pA(x) = |A− xIm|.Dado un endomorfismo f : Rm → Rm y elegida una base β de Rm,
se define el polinomio caracterıstico de f asociado a la base β como
el polinomio caracterıstico de la matriz Mββ(f). A este polinomio lo
denotaremos por pβf (x).
Observacion
El polinomio caracterıstico de un endomorfismo f : Rm → Rmno
depende de de la base elegida, con lo que podremos suprimir la coletilla
asociado a la base β y definir el polinomio caracterıstico asociado
a un endomorfismo f como el polinomio caracterıstico asociado a f
respecto de una base elegida β.
Definicion (Espectro).
El espectro de una matriz A ∈Mm(K) es el conjunto de las raıces
del polinomio caracterıstico y se denota por σ(A) y el espectro de
f : Rm → Rm es el conjunto de las raıces de su polinomio caracterıstico
y se denota por σ(f).
231
Observacion
El conjunto σ(A) tiene cardinal menor que m ya que el grado del
polinomio caracterıstico es m.
Definicion (Vectores y valores propios).
A los elementos de σ(A) (resp. σ(f)) los llamaremos valores propios
de A (resp. valores propios de f).
A cada elemento μ ∈ σ(A) (resp. μ ∈ σ(f)) le asociaremos un
subespacio vectorial Vμ que recibe el nombre de subespacio invariante
asociado a μ y que se define como sigue:
Vμ = {x ∈ Rm : Ax = μx}
(resp. Vμ = {x ∈ Rm : f(x) = μx}.)Los elementos x ∈ Vμ\{0} se llaman vectores propios asociados a
μ.
232
3. Teorema de diagonalizacion
Lema
Si λ, μ son dos valores propios de A (resp. de f), entonces:
1. Vμ ∩ Vλ = {0}, es decir, no existe x ∈ Rm\{0} que satisfaga
simultaneamente las ecuaciones Ax = μx y Ax = λx (resp.
f(x) = μx y f(x) = λx).
2. Vλ es un subespacio vectorial con 1 ≤ dimVλ ≤ m(λ), donde m(λ)
denota la multiplicidad de λ en el polinomio caracterıstico.
Ademas, si σ(A) = {λ1, λ2, . . . , λk} (resp. σ(f) = {λ1, λ2, . . . , λk}),la matriz es diagonalizable si y solo si:
Rm = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλk.
233
Teorema (Diagonalizacion). Sea A ∈ Mm(K) entonces A es
diagonalizable si y solo si se satisfacen las dos condiciones siguien-
tes:
1. Todos los valores propios son reales.
2. Para todo valor propio λ ∈ σ(A) se tiene dimVλ = m(λ).
Teorema (Diagonalizacion). Dado el endomorfismo f : Rm →Rm, entoces f es diagonalizable si y solo si se satisfacen las dos
condiciones siguientes:
1. Todos los valores propios son reales.
2. Para todo valor propio λ ∈ σ(f) se tiene dimVλ = m(λ).
Corolario. Si A ∈ Mm(K) (resp. f : Rm → Rmes un endomor-
fismo que) tiene m raıces distintas, entonces A es diagonalizable
(resp. f : Rm → Rmes diagonalizable).
234
Estos teoremas se pueden aplicar para calcular la forma diagonal de
una matriz y las matrices de paso que dan la diagonalizacion. Descri-
bimos este proceso para una matriz A ∈Mm(K):
1. Se calcula el polinomio caracterıstico pA(x) y el espectro σ(A). Si
este posee algun numero complejo, la matriz no es diagonalizable
y el proceso acaba.
2. Si σ(A) ⊂ R, para cada λ ∈ σ(A) se determina una base del sub-
espacio de los vectores propios asociados. Si para algun λ ∈ σ(A)
se tiene que dimVλ < m(λ), entonces la matriz no es diagonalizable
y el procedimiento acaba aquı.
3. Si dimVλ = m(λ) para todo λ ∈ σ(A), la matriz es diagonalizable.
La matriz diagonal, D, tiene en la diagonal principal los valores
propios de A repetidos tantas veces como indica su multiplicidad.
La matriz de paso, P , se construye colocando en cada columna uno
de los vectores propios de las bases anteriormente calculadas, de
forma que en la misma columna de la matriz D aparezca el valor
propio asociado.
4. Por ultimo, se tiene D = P−1AP .
235
4. Aplicaciones de la diagonalizacion:
potencias de matrices y series tem-
porales
4.1. Calculo de potencias.
Pasamos a dar una aplicacion de la diagonalizacion para el calculo
de la potencia n-esima de una matriz diagonalizable. Supongamos que
A ∈ Mm(R) es diagonalizable y k ∈ N, k ≥ 2. Entonces existe P ∈Mm(R) invertible y una matriz diagonal D de orden m tal que D =
P−1AP , de donde A = PDP−1. Entonces:
Ak =
k veces︷ ︸︸ ︷(PDP−1)(PDP−1) . . . (PDP−1) = P
k veces︷ ︸︸ ︷(DD . . .D) P−1 = PDkP−1,
lo cual nos da un nuevo metodo para el calculo de la potencia n-esima de
dicha matriz que puede ser mas sencillo que calcularla por la definicion,
dado que la potencia n-esima de una matriz diagonal es aquella matriz
diagonal cuyo elemento (i, i) es la potencia n-esima del elemento (i, i)
de la matriz original.
236
4.2. Series temporales.
Si ahora tenemos un sistema que evoluciona con el tiempo segun la
expresion:
xk = Axk−1,
donde A ∈ Mm(R) con A = PDP−1, k ∈ N y xl ∈ Mm×1(R)
para todo l ∈ N. Entonces tendremos que dado un valor inicial x0 ∈Mm×1(R) para la serie temporal, se verificara:
xk = Akx0 = PDkP−1x0,
de donde podemos saber el comportamiento asintotico de los valores
xk calculando el lımite:
lımk→∞
xk.
237
5. El teorema de Cayley-Hamilton
Dado un polinomio p(x) = anxn+an−1x
n−1+· · ·+a1x+a0 podemos
evaluar la matriz en el polinomio A, es decir p(A) = anAn+an−1A
n−1+
· · · + a1A + a0. Con esta notacion se tiene el teorema siguiente.
Teorema (Cayley-Hamilton). Dada A ∈ Mm(K) con polinomio
caracterıstico pA(x). Entonces pA(A) = 0.
Este teorema se puede aplicar para calcular la inversa de una matriz,
en efecto
0 = A−1pA(A) = An−1 + an−1An−2 + · · · + a1I + a0A
−1,
de donde
A−1 = −An−1 + an−1An−2 + · · · + a1I
a0.
Una apreciacion final es que a0 �= 0 ya que la matriz A es invertible
y por lo tanto no tiene al 0 como valor propio.
238
Ejercicio
Calcular la inversa de la matriz que sigue usando este metodo.
1, -1, 0, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 1, -1, 0, 0, 0, 1
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 −1 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 −1
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Solucion.
Calculamos el polinomio caracterıstico:
pA(x) = |A− xI4| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 −1 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 −1
0 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 1− 4x + 6x2 − 4x3 + x4.
Ası que:
I4 − 4A + 6A2 − 4A3 + A4 = 0
Despejamos la identidad y tenemos:
I4 = 4A− 6A2 + 4A3 −A4 = A(4I4 − 6A + 4A2 − A3)
239
Por lo tanto:
A−1 = 4I4 − 6A + 4A2 − A3
= 4
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠− 6
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 −1 0 0
0 1 −1 0
0 0 1 −1
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
+4
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 −2 1 0
0 1 −2 1
0 0 1 −2
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠−
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 −3 3 −1
0 1 −3 3
0 0 1 −3
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 1
0 1 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
240
6. Ejercicios Resueltos
Ejercicio
De la matriz B =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1
1 1 1
1 1 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ se pide:
1. El polinomio caracterıstico de B.
Solucion.
pB(x) = |B − xI3| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1− x 1 1
1 1− x 1
1 1 1− x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (1 − x)3 + 2 −
3(1− x) = (1− x)3 − 1 + 3x = 3x2 − x3 = x2(3− x).
2. Las raıces del polinomio caracterıstico y sus multiplicidades.
Solucion. Las raıces son 0 y 3 con multiplicidades 2 y 1 respec-
tivamente.
3. Determinar, justificadamente, si la matriz B es diagonalizable.
Solucion. Segun se vio en teorıa, por ser m(3) = 1 entonces
dimV3 = m(3) = 1.
Falta ahora por ver, para demostrar que B es diagonalizable, que
dimV0 = m(0) = 2. Pero esto es cierto porque dimV0 = 3−rg (B−
241
0I3) = 3− rg
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1
1 1 1
1 1 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = 3− 1 = 2.
Por lo tanto B es una matriz diagonalizable.
4. Si la matriz B es diagonalizable calcula la matriz diagonal D y
la matriz de paso P tal que D = P−1BP. Si la matriz no es
diagonalizable calcula B2 y B3.
Solucion.
Para dar la matriz P calculamos bases de V0 y de V3.
V3 = {(x, y, z) ∈ R3 : (B − 3I3)
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
x
y
z
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = 0}, es decir (x, y, z) ∈
V3 si y solo si4 ⎧⎨⎩ −2x + y + z = 0,
x− 2y + z = 0,
Ası que una base de V3 es β3 = {(1, 1, 1)}.
V0 = {(x, y, z) ∈ R3 : (B − 0I3)
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
x
y
z
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = 0}, es decir (x, y, z) ∈
4Fıjate que he quitado la primera ecuacion porque B − 3I3 tiene rango 2 y por lo tanto solo son necesarias
dos ecuaciones linealmente independientes.
242
V2 si y solo si5 {x + y + z = 0
Ası que una base de V0 es β0 = {(0, 1,−1), (1,−1, 0)}.
Ahora obtenemos:
P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 1 1
1 −1 1
−1 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ ,
para:
D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
0 0 0
0 0 0
0 0 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .
5Fıjate que me he quedado con una unica ecuacion porque B − 0I3 tiene rango 1.
243
Ejercicio
De una matriz diagonalizable A sabemos que tiene como polinomio
caracterıstico p(x) = (x− 1)(x− 3)2(x + 1). Responde a las siguientes
cuestiones:
1. ¿Cual es la dimension del subespacio {x ∈ R3 : Ax = 3x}?
Solucion. Por ser la matriz diagonalizable se tiene que la dimen-
sion del subespacio anterior V3 coincide con la multiplicidad de 3
en el polinomio caracterıstico. Ası que dimV3 = 2.
2. ¿Cual es el determinante de A? ¿Por que?
Solucion. Por ser la matriz A diagonalizable se tiene que P−1AP =
D, ası que |P−1AP | = |P−1||A||P | = |P |−1|A||P | = |A| =
|D| ⇒ |A| = |D|. Ası que |A| = 3 · 3 · 1 · (−1) = −9.
3. Escribe una matriz diagonal, D, para A.
Solucion.
D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
4. ¿Cual es el tamano de la matriz A?
244
Solucion. El tamano es el mismo que el tamano de D, es decir,
4× 4.
5. De los subespacios invariantes V1, V3 y V−1 conocemos unas ba-
ses: βV1 = {(1, 0, 0, 0)}, βV3 = {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} y βV−1 =
{(1, 1, 0, 0)}. Da la matriz de paso P tal que D = P−1AP .
Solucion.
P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 1
1 1 0 1
1 1 0 0
0 1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
245
Ejercicio
Dada la matriz A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝−1 3 3
−3 5 3
−3 3 5
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , se pide:
1. Calcular el polinomio caracterıstico pA.
Solucion.
pA(x) = |A−xI3| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣−1− x 3 3
−3 5− x 3
−3 3 5− x
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 20−24x+9x2−
x3 = −(x− 5)(x− 2)2
2. Calcular el espectro σA y especificar la multiplicidad de cada raız.
Solucion. σA = {5, 2}. Ademas m(5) = 1 y m(2) = 2.
3. Justificar si la matriz A es diagonalizable.
Solucion. Segun se vio en teorıa, por ser m(5) = 1 entonces
dimV5 = m(5) = 1.
Falta ahora por ver, para demostrar que A es diagonalizable, que
dimV2 = m(2) = 2. Pero esto es cierto porque dimV2 = 3−rg (A−
2I3) = 3− rg
⎛⎜⎜⎜⎜⎝−3 3 3
−3 3 3
−3 3 3
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = 3− 1 = 2.
246
Por lo tanto A es una matriz diagonalizable.
4. Dar la matriz diagonal D.
Solucion. Elijo D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
5 0 0
0 2 0
0 0 2
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ .
5. Dar la matriz de paso P .
Solucion.
Para dar esta matriz calculamos bases de V5 y de V2.
V5 = {(x, y, z) ∈ R3 : (A− 5I3)
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
x
y
z
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = 0}, es decir (x, y, z) ∈
V5 si y solo si6 ⎧⎨⎩ −3x + 3z = 0,
−3x + 3y = 0.
Ası que una base de V5 es β5 = {(1, 1, 1)}.
V2 = {(x, y, z) ∈ R3 : (A− 2I3)
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
x
y
z
⎞⎟⎟⎟⎟⎠ = 0}, es decir (x, y, z) ∈
6Fıjate que he quitado la primera ecuacion porque A − 5I3 tiene rango 2 y por lo tanto solo son necesarias
dos ecuaciones linealmente independientes.
247
V2 si y solo si7{−3x + 3y + 3z = 0 ⇒
{−x + y + z = 0
Ası que una base de V2 es β2 = {(0, 1,−1), (1, 1, 0)}.
Ahora obtenemos ya:
P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
1 0 1
1 1 1
1 −1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
6. Especificar la relacion entre A, D y P .
Solucion.
D = P−1AP.
7Fıjate que me he quedado con una unica ecuacion porque A− 2I3 tiene rango 1.
248
Ejercicio
De una matriz diagonalizable A sabemos que tiene como polinomio
caracterıstico p(x) = (x− 1)(x− 3)2(x + 1). Responde a las siguientes
cuestiones:
1. ¿Cual es la dimension del subespacio {x ∈ R3 : Ax = 3x}? (0,5
puntos)
Solucion. Por ser la matriz diagonalizable se tiene que la dimen-
sion del subespacio anterior V3 coincide con la multiplicidad de 3
en el polinomio caracterıstico. Ası que dimV3 = 2.
2. ¿Cual es el determinante de A? ¿Por que? (0,5 puntos)
Solucion. Por ser la matriz A diagonalizable se tiene que P−1AP =
D, ası que |P−1AP | = |P−1||A||P | = |P |−1|A||P | = |A| =
|D| ⇒ |A| = |D|. Ası que |A| = 3 · 3 · 1 · (−1) = −9.
3. Escribe una matriz diagonal, D, para A (0,5 puntos).
Solucion.
D =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
3 0 0 0
0 3 0 0
0 0 1 0
0 0 0 −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
249
4. ¿Cual es el tamano de la matriz A? (0,5 puntos)
Solucion. El tamano es el mismo que el tamano de D, es decir,
4× 4.
5. De los subespacios invariantes V1, V3 y V−1 conocemos unas ba-
ses: βV1 = {(1, 0, 0, 0)}, βV3 = {(1, 1, 1, 0), (1, 1, 1, 1)} y βV−1 =
{(1, 1, 0, 0)}. Da la matriz de paso P tal que D = P−1AP (0,5
puntos).
Solucion.
P =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 1 1 1
1 1 0 1
1 1 0 0
0 1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
250
Apendice
Exponenciales y potencias arbitrarias de
matrices, metodos de construccion
Gabriel Soler Lopez
20 de febrero de 2006
7. La exponencial
Centramos nuestros esfuerzos en esta seccion en dar un metodo
efectivo para construir la exponencial de una matriz eAt, siendo A
una matriz de Mm(R). Dicho metodo esta basado en el Teorema de
Cayley-Hamilton.
Supongamos que pA(x) es el polinomio caracterıstico de la matriz
A y que su espectro es σA = {λ1, λ2, . . . , λk} con multiplicidades
m(λi) = ri para todo 1 ≤ i ≤ k. Empezamos buscando para cada i,
1 ≤ i ≤ k, polinomios ai(x) de grado a lo sumo ri − 1 de manera que
se tenga la igualdad:
1
pA(x)=
k∑i=1
ai(x)
(x− λi)ri,
de donde se deduce:
1 =k∑
i=1
ai(x)pA(x)
(x− λi)ri.
251
Seguidamente evaluamos el polinomio anterior en x = A, de donde
se tiene 8:
Im =
k∑i=1
ai(A)pA(A)
(A− λi)ri,
que se puede escribir abreviadamente como:
Im =
k∑i=1
ai(A)qi(A) con qi(A) =pA(A)
(A− λi)ri.
Observemos que para todo i, 1 ≤ i ≤ k,
eAx = eλixIme(A−λiIm)x = eλix∞∑
j=0
(A− λiIm)jxj
j!,
y ahora multiplicando por qi(A):
qi(A)eAx = eλix
ri−1∑j=0
qi(A)(A− λiIm)jxj
j!, (11)
ya que por el Teorema de Cayley-Hamilton, para todo j ≥ ri, qi(A)(A−λiIm)j = pA(A)(A− λiIm)j−ri = 0.
Multiplicamos ahora la ecuacion 11 por ai(A) y obtenemos:
ai(A)qi(A)eAx = eλix
ri−1∑j=0
ai(A)qi(A)(A− λiIm)jxj
j!.
Por ultimo, sumamos las ecuaciones anteriores desde i = 1 hasta i = k
8La expresion pA(A)(A−λi)ri
no tiene sentido, ya que, no es posible que en un co-
ciente haya una matriz. Ası que dicha expresion, por convenio, sera una forma
abreviada de escribir la matriz∏n
j=1,j �=i(A− λj)rj
252
para obtener:
eAx =
k∑i=1
⎛⎝eλixai(A)qi(A)
ri−1∑j=0
(A− λiIm)jxj
j!
⎞⎠ . (12)
8. Potencia n-sima de una matriz
Conservando la notacion de la seccion anterior se trata ahora de
dar un metodo para la construccion de An para cualquier numero n
natural. Observemos que para cualquier i ∈ {1, 2, . . . , k} se tiene:
An = (A− λiIm + λiIm)n =n∑
j=0
⎛⎝ n
j
⎞⎠ (A− λiIm)jλn−j
i (13)
Multiplicamos ahora la ecuacion anterior por ai(A)qi(A) y obtene-
mos:
ai(A)qi(A)An =n∑
j=0
⎛⎝ n
j
⎞⎠ ai(A)qi(A)(A− λiIm)jλn−j
i
=
ri−1∑j=0
⎛⎝ n
j
⎞⎠ ai(A)qi(A)(A− λiIm)jλn−j
i
= ai(A)qi(A)
ri−1∑j=0
⎛⎝ n
j
⎞⎠ (A− λiIm)jλn−j
i (14)
253
Por ultimo sumamos la expresiones anteriores para todos los valores
de i:
An =k∑
i=1
ai(A)qi(A)An =k∑
i=1
ai(A)qi(A)
ri−1∑j=0
⎛⎝ n
j
⎞⎠ (A−λiIm)jλn−j
i .
(15)
9. Ejemplos
Ejemplo. Calcula eAx para la matriz
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
4 2 0 −3
−1 1 0 1
4 2 1 −3
1 1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Para utilizar el metodo basado en el teorema de Cayley-Hamilton es
necesario calcular el polinomio caracterıstico:
pA(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
4 2 0 −3
−1 1 0 1
4 2 1 −3
1 1 0 0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= x4 − 6x3 + 13x2 − 12x + 4.
254
Resolvemos ahora la ecuacion pA(x) = 0 y obtenemos que las raıces
del polinomio son 1 y 2, ambas con multiplicidad 2.
Tambien es necesario hacer la descomposicion:
1
pA(x)=
1
x4 − 6x3 + 13x2 − 12x + 4=−1 + 2x
(x− 1)2+
5− 2x
(x− 2)2
Ası que en este caso tenemos:
a1(x) = −1 + 2x, a2(x) = 5− 2x,
q1(x) =pA(x)
(x− 1)2= (x− 2)2, q2(x) =
pA(x)
(x− 2)2= (x− 1)2.
Finalmente:
eAx = exa1(A)q1(A)[(A− 1I4)0 + x(A− 1I4)
1] + e2xa2(A)q2(A)[(A− 2I4)0 + x(A− 2I4)
1]
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
−ex + e2xx + 2e2x −ex + e2xx + xe2x 0 2ex − 2e2xx− xe2x
−e2xx e2x(1− x) 0 e2xx
ex(−3− x) + 2e2x(3/2 + x) ex(−1− x) + 2e2x(1/2 + x) ex ex(3 + 2x) + 2e2x(−3/2− x)
−ex + e2x −ex + e2x 0 2ex − e2x
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
10. Aplicacion a las ecuaciones diferen-
ciales
Proponemos seguidamente un ejemplo para aclarar el metodo dado
de construccion de la exponencial.
255
Ejemplo. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales lineales:⎧⎨⎩ x′ = 4x + 2y,
y′ = 3x + 3y.
Solucion: segun lo expuesto hasta ahora, debemos calcular previamen-
te exp(Ax), siendo
A =
⎛⎝ 4 2
3 3
⎞⎠ .
Se ve facilmente que pA(x) = (x− 1)(x− 6), σA = {λ1 = 1, λ2 = 6},a1(x) = −1
5 y a2(x) = 15, de donde
eAx = ex(−1
5)I2(A−6I2)+e6x1
5I2(A−I2) =
1
5
⎛⎝ 3e6x + 2ex 32e6x − 2ex
3e6x − 3ex 2e6x + 3ex
⎞⎠
y por lo tanto cualquier solucion del sistema sera del tipo
y(x) =1
5
⎛⎝ 3e6x + 2ex 32e6x − 2ex
3e6x − 3ex 2e6x + 3ex
⎞⎠⎛⎝ c1
c2
⎞⎠ .
Exponemos otro ejemplo donde hay que utilizar los numeros com-
plejos.
Ejemplo. Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales:⎧⎨⎩ x′ = 3x− 5y,
y′ = x− y.
256
Solucion: en un primer paso calculamos exp(Bx) con
B =
⎛⎝ 3 −5
1 −1
⎞⎠ .
Como pB(x) = (x− 1− i)(x− 1 + i), σB = {λ1 = 1 + i, λ2 = 1− i},a1(x) = + 1
2i y a2(x) = − 12i, se tiene
eBx = e(1+i)x 1
2iI2[A− (1− i)I2]− e(1−i)x 1
2iI2[A− (1 + i)I2] =
ex
⎛⎝ 2sen x + cos x −2sen x
sen x −2sen x + cos x
⎞⎠ .
Ası que cualquier solucion del sistema sera del tipo
y(x) =
⎛⎝ 2sen x + cos x −2sen x
sen x −2sen x + cos x
⎞⎠⎛⎝ c1
c2
⎞⎠ .
Acabamos esta seccion resolviendo un sistema no homogeneo por el
metodo de variacion de las constantes, tal y como explicamos en la
pagina ??.
Ejemplo. Resolver el sistema:⎧⎨⎩ x′ = 4x + 2y + et,
y′ = 3x + 3y,
257
Solucion: para esta ecuacion ya hemos encontrado la solucion del sis-
tema lineal homogeneo. Ası que debemos encontrar una solucion par-
ticular del sistema no homogeneo con el metodo de variacion de las
constantes. Calculamos pues.⎛⎝ c1(x)
c2(x)
⎞⎠ =
1
5
∫ ⎛⎝ 3e−6x + 2e−x 2e−6x − 2e−x
3e−6x − 3e−x 2e−6x + 3e−x
⎞⎠⎛⎝ ex
0
⎞⎠ dx
=1
5
∫ ⎛⎝ 3e−5x + 2
3e−5x − 3
⎞⎠ dx =
1
5
⎛⎝ −3e−5x
5 + 2x + c1
−3e−5x
5 − 3x + c2
⎞⎠ dx,
ası que una solucion particular del sistema sera
yp(x) =1
5
⎛⎝ 3e6x + 2ex 32e6x − 2ex
3e6x − 3ex 2e6x + 3ex
⎞⎠ 1
5
⎛⎝ −3e−5x
5+ 2x
−3e−5x
5− 3x
⎞⎠
=1
25ex
⎛⎝ 10x− 3
3− 15x
⎞⎠ .
Y la solucion general del sistema sera:
yg(x) =
⎛⎝ 3e6x + 2ex 32e6x − 2ex
3e6x − 3ex 2e6x + 3ex
⎞⎠⎛⎝ c1
c2
⎞⎠ +
1
25ex
⎛⎝ 10x− 3
3− 15x
⎞⎠ .
El calculo hecho de la exponencial de una matriz en esta seccion nos
va a dar la estructura de las soluciones de un sistema de ecuaciones
diferenciales lineales. En particular, la interpretacion de la ecuacion 12
permite probar la proposicion que sigue.
258
Proposicion. Sean A ∈ Mm(R) e y(t) una solucion de y′ = Ay.
Entonces cada una de las coordenadas de y(t) es una combinacion
lineal de las funciones
tketacos tb, tketasen tb,
donde a + bi recorre el conjunto de los valores propios de A con
b ≥ 0 y 0 ≤ k < m(a + bi).
Temas 1, 2 y 3 del Bloque II. Repaso del calculo
diferencial de una variable Gabriel Soler Lopez 11
enero de 2004
1. Introduccion a los numeros reales
En este tema se estudia la continuidad y la diferenciabilidad de fun-
ciones reales de variable real. Conviene por lo tanto, repasar las propie-
dades del conjunto de los numeros reales. Ya sabemos que el conjunto
de los numeros reales es un cuerpo, pero ademas satisface otras propie-
dades que se utilizan en el desarrollo del calculo diferencial.
259
1.1. Los numeros reales son un cuerpo
que completa a los numeros racio-
nales Q
El siguiente ejemplo sencillo muestra la necesidad de completar los
numeros racionales.
Ejemplo. La longitud de la diagonal del cuadrado que sigue no se
puede medir con un numero racional.
1��
�
�
1
�
�
√2
¿Sabeis demostrar que√
2 no es racional?
Si√
2 fuera racional existirıan numeros enteros a y b tales que:
√2 =
a
b,
ademas se pueden elegir a y b primos entre sı, es decir, se pueden
elegir de manera que la fraccion esta simplificada.
260
Elevando al cuadrado la expresion anterior se tiene:
2 =a2
b2⇒ 2b2 = a2
Ası que el numero a2 es par y a tambien debe ser par, es decir
a = 2m para cierto numero entero m. Por lo tanto:
2b2 = 4m2 ⇒ b2 = 2m2.
De lo anterior se tiene que b2 es par y por lo tanto b tambien es
par. Pero esto es una contradiccion con el hecho de que a y b sean
primos entre si.
2. Propiedades del conjunto de los nume-
ros reales R
2.1. Propiedades algebraicas
Los numeros reales son un cuerpo, es decir, satisfacen los siguientes
axiomas para cualesquiera numeros reales x, y y z:
Axioma 1. La suma es conmutativa: x + y = y + x.
Axioma 2. La suma es asociativa: x + (y + z) = (x + y) + z.
Axioma 3. El numero real 0 verifica x + 0 = x (0 es el elemento
neutro de la suma).
261
Axioma 4. Existe un numero denotado por−x tal que x+(−x) = 0.
Axioma 5. El producto es conmutativo: x + y = y + x.
Axioma 6. El producto es asociativo: x + (y + z) = (x + y) + z.
Axioma 7. El numero real 1 verifica x · 1 = x (1 es el elemento
neutro del producto).
Axioma 8. Existe un numero denotado por x−1 tal que x ·x−1 = 1.
Axioma 9. Se verifica la propiedad distributiva del producto respec-
to a la suma: x · (y + z) = x · y + x · z.
Ejercicio.
Usando los axiomas demostrar:
1. Si dos elementos x, y ∈ R verifican que x+y = y, entonces x = 0.
2. Si dos elementos x, y ∈ R verifican que x · y = y, entonces x = 1.
3. Si x + y = 0 entonces y = −x.
4. Dados a, b ∈ R, la solucion de la ecuacion a+x = b es x = (−a)+b
262
2.2. El orden en R
Definicion (Relacion de orden). Definimos en el conjunto de los
numeros reales la relacion ≤ de la siguiente forma:
a ≤ b ⇔ ∃x ∈ R+ ∪ {0} tal que a + x = b
Proposicion. La relacion de orden anterior verifica las siguientes
propiedades:
Reflexiva: para todo numero real x se verifica x ≤ x.
Antisimetrica: para cualesquiera numeros reales a, b si a ≤ b y
b ≤ a entonces a = b.
Transitiva: para cualesquiera numeros reales a, b, c, si a ≤ b y
b ≤ c entonces a ≤ c.
Orden total: para cualesquiera a, b ∈ R siempre se tiene que o
bien a ≤ b o bien b ≤ a.
Proposicion (El orden y la aritmetica). Dados a, b, c, d ∈ R,
se tiene:
1. Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c.
2. Si a ≤ b y c > 0 entonces ac ≤ bc.
3. Si a ≤ b y c < 0 entonces ac ≥ bc.
263
4. Si a ≤ b y c ≤ d entonces a + c ≤ b + d.
2.3. Densidad de Q y de I = R\Q en R
Teorema. Si x, y ∈ R, x < y, existe r ∈ Q tal que x < r < y.
Teorema. Si x, y ∈ R, x < y, existe i ∈ I tal que x < i < y.
2.4. Principio del encaje Cantor
Dada una sucesion de intervalos [an, bn] tales que:
1. an ≤ an+1,
2. bn ≥ bn+1,
3. lımn→∞(bn − an) = 0,
entonces existe un unico numero real r tal que
{r} =⋂n∈N
[an, bn]
Observacion. Este principio tiene gran importancia para probar,
por ejemplo, el teorema de Bolzano.
264
3. Axioma del supremo
Definicion. Dado un conjunto A ⊆ R, se dice que el numero a ∈ R
es una cota superior del conjunto A si se verifica que x ≤ a para
todo x ∈ A.
Dado un conjunto A ⊆ R, se dice que el numero b ∈ R es una cota
inferior del conjunto A si se verifica que x ≥ b para todo x ∈ A.
Si un conjunto tiene una cota superior se dice que esta acotado
superiormente .
Si un conjunto tiene una cota inferior se dice que esta acotado in-
feriormente .
Si un conjunto esta acotado superior e inferiormente se dice que esta
acotado.
La menor de las cotas superiores de un conjunto se llama supremo
del conjunto.
La mayor de las cotas inferiores de un conjunto se llama ınfimo del
conjunto.
Si el supremo de un conjunto esta dentro del conjunto entonces se
llama tambien maximo del conjunto.
Si el ınfimo de un conjunto esta dentro del conjunto entonces se
llama tambien mınimo del conjunto.
265
Ejemplo. Para el conjunto (1, 7] tenemos:
8 10 y 7 son cotas superiores del conjunto.
7 es el supremo y tambien el maximo del conjunto.
1 es el ınfimo del conjunto pero no existe el mınimo.
Completitud de R. R es un cuerpo completo, es decir, cualquier
conjunto acotado superiormente tiene un supremo.
Observacion. El conjunto Q no es completo porque si tomamos
el conjunto
A = {r ∈ Q : r ≤√
2}
se tiene que esta acotado superiormente por ejemplo por 2, pero
no tiene supremo en Q.
3.1. Lımites de funciones
Definicion (Lımite lateral por la derecha). Se dice que el lımite
de la funcion f : (a, b) ⊂ R → R por la derecha en el punto x0 es l
y se denota por lımx→x+0
f(x) = l si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal
que si x ∈ (x0, x0 + δ) entonces |f(x)− l| < ε.
266
Definicion (Lımite lateral por la izquerda). Se dice que el
lımite de la funcion f : (a, b) ⊂ R → R por la izquierda en el punto x0
es l y se denota por lımx→x−0f(x) = l si para todo ε > 0 existe δ > 0
tal que si x ∈ (x0 − δ, x0) entonces |f(x)− l| < ε.
Definicion (Lımite). Se dice que el lımite de la funcion f : (a, b) ⊂R → R en el punto x0 es l y se denota por lımx→x0 f(x) = l si para
todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) entonces
|f(x)− l| < ε.
Proposicion. Dada una funcion f : (a, b) → R son equivalentes
los dos apartados siguientes:
1. Existe lımx→x0
f(x) y es igual a l,
2. existen los lımites lımx→x+
0
f(x) y lımx→x−0
f(x) y son iguales a l.
Ejemplo. Dada la funcion
f(x) =
⎧⎨⎩ x + 1 si x ≥ 1
x + 2 si x ≤ 1,
se tiene:
1. lımx→1+
f(x) = 2, ya que para todo ε > 0 tomando δ = ε se tiene
que si x ∈ (1, 1+δ) entonces |f(x)−2| = |x+1−2| = |x−1| =x− 1 < 1 + δ − 1 = δ = ε.
267
2. lımx→1−
f(x) = 3, ya que para todo ε > 0 tomando δ = mın{ε, 12}
se tiene que si x ∈ (1− δ, 1) entonces
|f(x)− 3| = |x + 2− 3| = |x− 1| = 1− x (16)
y como 1− δ < x < 1 entonces −1 < −x < δ − 1 y sumando
1 en la desigualdad
0 < 1− x < δ. (17)
Ahora usando las ecuaciones 16 y 17 tenemos:
|f(x)− 3| < δ = mın{ε, 1
2} ≤ ε,
con lo que queda probado que lımx→1−
f(x) = 3.
3. lımx→1
f(x) no existe ya que los lımites laterales son diferentes.
4. Continuidad
Definicion (Funcion continua en un punto). Sea f : (a, b) →R una funcion y x0 ∈ (a, b), decimos que f es continua en x0 si y solo
si:
para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x ∈ (x0− δ, x0 + δ)
entonces f(x) ∈ (f(x0)− δ, f(x0) + δ).
268
Nota: x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) es equivalente a |x− x0| < δ.
Proposicion. Sea f : (a, b) → R una funcion y x0 ∈ (a, b), enton-
ces son equivalentes:
1. La funcion f es continua en el punto x0,
2. f(x0) = lımx→x0
f(x).
Definicion (Funcion continua). Sea f : (a, b) → R, diremos que
es continua si es continua en todos sus puntos.
Definicion (Funcion discontinua en un punto). Sea f : (a, b) →R, diremos que es discontinua en x0 si no es continua en el punto x0.
Definicion (Funcion discontinua). Sea f : (a, b) → R, diremos
que es discontinua si es discontinua en alguno de sus puntos.
4.1. Tipos de discontinuidad
Dada una funcion f(a, b) → R y x0 ∈ (a, b), distinguiremos tres
tipos de discontinuidades.
Discontinuidad evitable. f presenta una discontinuidad evitable
en el punto x0 si:
lımx→x+
0
f(x) = lımx→x−0
f(x) �= f(x0).
269
Discontinuidad de primera especie o de salto. f presenta una
discontinuidad de salto en el punto x0 si:
lımx→x+
0
f(x) �= lımx→x−0
f(x).
Discontinuidad de segunda especie o esencial. f presenta una
discontinuidad esencial en el punto x0 si no existen o son infinitos
uno o los dos lımites laterales.
270
4.2. Teoremas relativos a funciones con-
tinuas
Teorema (Weierstrass). Toda funcion f(x) continua en un in-
tervalo cerrado [a, b] admite un maximo y un mınimo (absoluto)
en [a, b].
Teorema (Bolzano). Si una funcion f(x) es continua en un in-
tervalo cerrado [a, b] y se cumple que f(a)f(b) < 0 entonces existe
c ∈ (a, b) tal que f(c) = 0.
5. Derivabilidad de funciones reales de
variable real
Definicion (Derivada de una funcion en un punto). Dada
una funcion f : (a, b) → R y c ∈ R se define la derivada de f en el
punto c como:
f ′(c) = lımh→0
f(c + h)− f(c)
h.
Si una funcion f es derivable en todos sus puntos entonces diremos
que la funcion es derivable.
Proposicion (Propiedades de la derivada). Dadas funciones
271
derivables f, g : (a, b) → R se tiene:
(f + g)′(c) = f ′(c) + g′(c).
(f · g)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c).
Si k es una constante (kf)′(c) = kf ′(v).
Si g(c) �= 0 entonces(
fg
)′(c) = f ′(c)g(c)−f(c)g′(c)
f(c)2.
Si h = f ◦ g entonces h′(c) = f ′(g(c))g′(c).
Si f es inversa de g, es decir, si f ◦ g = g ◦ f = Id entonces
g′(x) = 1f ′(g(x)).
Proposicion (Algunas derivadas de funciones concretas).
Si f : (a, b) → R es una funcion derivable entonces:
♣ (sen x)′ = cos (x) ♣ (cos x)′ = −sen (x)
♣ (log x)′ = 1x
♣ (tanx)′ = 1 + tan2(x) = 1cos 2(x)
♣ (ax)′ = ax log a ♣ (ex)′ = ex
♣ (arcsen x)′ = 1√1−x2 ♣ (arc cos x)′ = −1√
1−x2
♣ (arctan x)′ = 11+x2
Teorema (Relacion entre derivabilidad y continuidad). Si
la funcion f(a, b) → R es derivable en el punto c ∈ (a, b) entonces
es continua en dicho punto.
272
5.1. Teoremas relativos a funciones de-
rivables
Teorema (Rolle). Sea f : [a, b] → R una funcion continua en
[a, b] y derivable en (a, b). Si f(a) = f(b), existe al menos un punto
α ∈ (a, b), tal que f ′(α) = 0.
Teorema (Del valor medio de Lagrange). Sea f : [a, b] →R una funcion continua en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces
existe al menos un punto α ∈ (a, b), tal que
f(b)− f(a)
b− a= f ′(α).
Teorema (Del valor medio de Cauchy). Sean f, g : [a, b] → R
funciones continuas en [a, b] y derivables en (a, b). Entonces existe
al menos un punto α ∈ (a, b), tal que
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=
f ′(α)
g′(α).
Teorema (Regla de L’Hopital). Sean las funciones f, g : [a, b] →R derivables en un entorno del punto c ∈ (a, b) y tales que las de-
rivadas no se anulan simultaneamente en ningun punto de dicho
entorno, salvo en c. Si ambas tienden simultanemente a 0 (o a
infinito) cuando x tiende a c, se verifica:
lımx→c
f(x)
g(x)= lım
x→c
f ′(x)
g′(x).
273
5.2. Crecimiento, decrecimiento, maxi-
mos y mınimos
Teorema (Crecimiento y decrecimiento). Sea f : (a, b) → R
una funcion derivable. La funcion f es creciente en (a, b) si y solo
si f ′(x) ≥ 0.
La funcion f(x) es decreciente en (a, b) si y solo si f ′(x) ≤ 0.
Teorema (Crecimiento y decrecimiento estricto). Sea f :
(a, b) → R una funcion derivable. Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b)
entonces f es estrictamente creciente en (a, b).
Si f ′(x) < 0. para todo x ∈ (a, b) entonces f es estrictamente
decreciente en (a, b).
Teorema (Extremos). Sea f : (a, b) → R una funcion derivable
n veces en el punto c ∈ (a, b) y tal que
f ′(c) = f ′′(c) = · · · = f (n−1)(c) = 0; f (n)(c) �= 0.
Entonces, si n es par y f (n)(c) < 0, la funcion presenta un maxi-
mo relativo en c. Si n es par y f (n)(c) > 0, la funcion presenta un
mınimo relativo en c.
274
5.3. Concavidad, covexidad y puntos de
inflexion
Definicion (Convexidad). Se dice que la funcion f : (a, b) → R
es convexa en el intervalo (a, b) si para cualesquiera x1 y x2 de (a, b),
se tiene que el segmento rectilıneo que une los puntos (x1, f(x1)) y
(x2, f(x2)) queda por encima de la grafica de f .
Figura 4: Ejemplo de funcion convexa
Definicion (Concavidad). Se dice que la funcion f : (a, b) → R
es concava en el intervalo (a, b) si para cualesquiera x1 y x2 de (a, b),
se tiene que el segmento rectilıneo que une los puntos (x1, f(x1)) y
(x2, f(x2)) queda por debajo de la grafica de f .
Figura 5: Ejemplo de funcion concava
275
Teorema. Sea f : (a, b) → R una funcion dos veces derivable.
Entonces:
1. Si f ′′(x) > 0 en (a, b) entonces f es convexa en (a, b).
2. Si f ′′(x) < 0 en (a, b) entonces f es concava en (a, b).
Definicion (Punto de inflexion). Una funcion f : (a, b) → R se
dice que presenta un punto de inflexion en c ∈ (a, b) si en dicho punto
pasa de convexa a concava o viceversa.
Teorema. Sea f : (a, b) → R una funcion que tiene un punto de
inflexion en c, entonces f ′′(c) = 0.
Esta condicion es necesaria pero no suficiente.
Teorema. Sea f : (a, b) → R una funcion derivable n veces en
c ∈ (a, b) y tal que:
f ′(c) = f ′′(c) = · · · = f (n−1)(c) = 0 y f (n)(c) �= 0.
Entonces, si n es impar la funcion f presenta un punto de in-
flexion en la abscisa c.
276
5.4. Representaciones graficas de fun-
ciones
El estudio y la representacion grafica de una funcion y = f(x) se
suele realizar siguiendo el siguiente orden para determinar:
1. Dominio de la funcion.
2. Puntos de corte con los ejes de coordenadas.
3. Simetrıas respecto del eje 0Y (aquellas funciones que verifican
f(x) = f(−x) para todo x, se llaman funciones pares) y respecto
del eje 0X (aquellas funciones que verifican f(x) = −f(−x) para
todo x, se llaman funciones impares).
4. Zonas de crecimiento y decrecimiento.
5. Maximos y mınimos.
6. Zonas de concavidad y convexidad.
7. Puntos de inflexion.
8. Asıntotas.
277
6. Aproximacion local de una funcion
6.1. Introduccion
Dado un polinomio de grado n, Pn(x), es posible desarrollarlo en
potencias de x− a y escribirlo de la forma:
Pn(x) = a0 + a1(x− a) + a2(x− a)2 + · · · + an(x− a)n
Si derivamos sucesivamente el polinomio obtenemos:
P ′n(x) = a1 + 2a2(x− a) + 3a3(x− a)2 · · · + nan(x− a)n−1
P ′′n (x) = 2a2 + 3 · 2(x− a) + 4 · 3(x− a)2 + . . . n · (n− 1)an(x− a)n−2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
P (n)n (x) = n!an
Si tomamos x = a en las expresiones anteriores se obtienen las
siguientes igualdades:
Pn(a) = a0, P ′n(a) = a1, P ′′
n (a) = 2a2, P ′′′n (a) = 3·2a3, . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , P (n)n (a) = n!an
Despejando los valores de ai y sustituyendo en Pn(x) tenemos:
Pn(x) = Pn(a) +P ′
n(a)
1!(x− a) +
P ′′n (a)
2!(x− a)2 + · · · + P
(n)n (a)
n!(x− a)n
278
6.2. Desarrollo de Taylor de una fun-
cion
Pregunta. Si tenemos una funcion real de variable real f que ad-
mite derivadas hasta el orden n + 1 en el punto x = a ¿Es posible dar
una expresion similar a la anterior para ella?
Respuesta. La igualdad
f(x) = f(a) +f ′(a)
1!(x− a) +
f ′′(a)
2!(x− a)2 + · · · + f (n)(a)
n!(x− a)n
no es cierta porque si lo fuera, f serıa un polinomio y no tiene por
que serlo.
Aunque la igualdad anterior no sea cierta sı es posible saber cual es
la diferencia entre el miembro de la izquierda y el de la derecha. Esto
es importante porque si dicha diferencia es pequena podremos utilizar
un polinomio para aproximar la funcion f .
279
Fijamos en lo que sigue una funcion f real y de variable real, n + 1
veces derivable en el punto x = a.
Definicion (Polinomio de Taylor y Mac-Laurin). El polino-
mio Pn(x) = f(a) + f ′(a)1! (x− a) + f ′′(a)
2! (x− a)2 + · · ·+ f (n)(a)n! (x− a)n
recibe el nombre de Polinomio de Taylor (o desarrollo de Taylor) de
orden n de la funcion f en el punto a.
Si a = 0 entonces este polinomio tambien se llama Polinomio de
Mac-Laurin (o desarrollo de Mac-Laurin) de orden n de la funcion f .
Definicion (Resto de orden n). El resto de orden n de la funcion
f en el punto a es:
Rn+1(x) =f (n+1)(ξ)
(n + 1)!(x− a)n+1, con ξ ∈ (a, x).
Teorema (Taylor). Se verifica la igualdad:
f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)
280
Definicion (Funcion o((x−a)n)). Una funcion real de variable real
g se dice que es una o((x− a)n) (o pequena de (x− a) de orden n) si
verifica:
lımx→a
g(x)
(x− a)n= 0
Teorema. Rn+1(x) es una o((x− a)n), es decir:
lımx→a
Rn+1(x)
(x− a)n= 0.
Ejercicio. Calcula el desarrollo de Mac-Laurin de orden n de las fun-
ciones ex, sen x y cos x.
7. Resolucion de ecuaciones por el meto-
do de biparticion
Dada una ecuacion f(x) = 0 con f continua en [a, b] y tal que
f(a)f(b) < 0 y con una raız unica r en [a, b], el metodo de biparticion
consiste en realizar los siguientes pasos:
1. Calcular el punto medio entre a y b, es decir m0 = a+b2
,
2. Si f(m) = 0 entonces r = m0,
3. En caso contrario tomamos el intervalo [a1, b1] ⊂ [a, b] entre [a, m0]
o [m0, b]. Elegimos aquel en el que la funcion toma en los extremos
puntos opuestos, es decir, r ∈ [a1, b1].
281
4. Volvemos al primer paso y repetimos la operacion hasta que r =
mn (puede que no se consiga).
Si no conseguimos la raız en un numero finito de pasos, al menos
tendremos una sucesion de intervalos encajados en la que se encuentra
la raız:
r ∈ · · · ⊂ [an, bn] ⊂ · · · ⊂ [a1, b1] ⊂ [a, b],
ademas:
bn − an =b− a
2n.
Teorema. (an) es una sucesion creciente y (bn) es una sucesion
decreciente, ambas acotada, y por lo tanto convergentes.
Ası que:
lımn→∞ an = α ≤ b
y
lımn→∞ bn = β ≥ a,
ademas:
lımn→∞(an − bn) = α− β = 0 ⇒ α = β.
Ademas este lımite es la raız de la ecuacion porque:
lımn→∞ f(an)f(bn) = f(α)2 ≤ 0 ⇒ f(α) = 0.
282
7.1. Cota del error absoluto en la n-
sima aproximacion
Si tomamos como valor aproximado de r a an, tenemos:
0 ≤ r − an ≤ b− a
2n.
Si tomamos como valor aproximado de r a bn, tenemos:
0 ≤ bn − r ≤ b− a
2n.
283
7.2. Ejemplo
La ecuacion f(x) = x3 + 4x2 − 10 = 0 tiene una raız en [1, 2], ya
que f(1) = −5 y f(2) = 14, si aplicamos el algoritmo de biseccion
obtenemos los valores de la tabla que sigue:
Figura 6: Ejemplo del metodo de biparticion
284
7.3. Ejemplo
Calcular una raız de la ecuacion f(x) = 0 para la funcion f(x) =
cos x− x en el intervalo [0, π2].
En este ejemplo tenemos f(0) = 1 > 0 y f(π2) = −π
2, con lo cual
empezamos calculando el punto medio del intervalo de partida, es decir:
m1 = π4≈ 0,7853981633974483.
Figura 7: Grafica de la funcion f(x) = cos x− x
285
n xn f(xn)
1 0.7853981633974483 f(x) = −0,0782913822109007
2 0.39269908169872414 f(x) = 0,5311804508125626
3 0.5890486225480862 f(x) = 0,24242098975445903
4 0.6872233929727672 f(x) = 0,08578706038996975
5 0.7363107781851077 f(x) = 0,0046403471698514
6 0.760854470791278 f(x) = −0,03660738783981099
7 0.7485826244881928 f(x) = −0,015928352815779867
8 0.7424467013366502 f(x) = −0,005630132459280346
9 0.739378739760879 f(x) = −0,0004914153002637534
10 0.7378447589729933 f(x) = 0,0020753364865229162
11 0.7386117493669362 f(x) = 0,0007921780792695676
12 0.7389952445639076 f(x) = 0,0001504357420498703
13 0.7391869921623933 f(x) = −0,00017047619334453756
286
n xn f(xn)
14 0.7390911183631504 f(x) = −0,000010016828909886755
15 0.739043181463529 f(x) = 0,0000702103057914627
16 0.7390671499133397 f(x) = 0,000030096950741631545
17 0.739079134138245 f(x) = 0,000010040113990528177
18 0.7390851262506977 f(x) = 1,1655808984656346× 10−8
19 0.7390881223069241 f(x) = −5,0025832334377185× 10−6
20 0.7390866242788109 f(x) = −2,4954628828899317× 10−6
21 0.7390858752647542 f(x) = −1,2419033295074655× 10−6
22 0.7390855007577259 f(x) = −6,151237084139893× 10−7
23 0.7390853135042118 f(x) = −3,017339367250571× 10−7
24 0.7390852198774547 f(x) = −1,450390605395313× 10−7
25 0.7390851730640762 f(x) = −6,669162500028136× 10−8
26 0.7390851496573869 f(x) = −2,7517907730256752× 10−8
27 0.7390851379540423 f(x) = −7,931049372800203× 10−9
Vemos por lo tanto que r∗ = 0,7390851379540423 es casi una raız
ya que f(x) = −7,931049372800203× 10−9, ademas podemos utilizar
la formula del error dada antes para ver la distancia entre r∗ y la raız
exacta r:
|r − r∗| ≤ b− a
2n=
π2
227=
π
228≈ 1,17033× 10−8.
8. Metodos iterativos
8.1. Introduccion
Fijemos una ecuacion f(x) = 0 con f una funcion continua en [a, b]
y f(a)f(b) < 0 y con raız unica en el intervalo [a, b].
La idea de los metodos iterativos es transformar la ecuacion f(x) = 0
en una equivalente del tipo g(x) = x, partir de un punto x0 y generar
la sucesion xn+1 = g(xn) esperando que xn converja a la raız buscada.
La forma mas facil de transformar la primera ecuacion en la segunda
es sumar a la ecuacion el valor x. En efecto, sumando x en los dos
miembros de f(x) = 0 tendrıamos:
f(x) + x = x,
con lo cual las ecuaciones f(x) = 0 y g(x) = f(x) + x = x tendrıan
las mismas soluciones.
288
8.2. El metodo de Newton-Raphson
Suponemos aquı que la funcion f es derivable. La idea de este metodo
es utilizar las tangentes a la curva y = f(x) como aproximacion de la
curva.
Se trata en este metodo de iterar la funcion g(x) = x− f(x)f ′(x)
.
Observacion. Si la sucesion xn converge hacia s, entonces s es
una raız de la ecuacion f(x) = 0.
Ejemplo. Calcular una raız de la ecuacion f(x) = 0 para la fun-
cion f(x) = cos x− x en el intervalo [0, π2 ].
Solucion. 1. Puesto que f(0)f(π2) = (cos 0−0)(cos π
2− π2) = −π
2 < 0
la ecuacion que queremos resolver tiene solucion en el intervalo
indicado en el enunciado.
2. La solucion es unica ya que f ′(x) = −sen x− 1 < 0 en el intervalo
(0, π2).
3. Aplicamos el metodo de Newton para construir la sucesion:
xn+1 = xn − cos xn − xn
sen xn − 1,
es decir, en este caso estamos iterando la funcion g(x) = x− cos x−xsen x−1
289
cuya grafica es:
Figura 8: Grafica de la funcion g(x) = x− cos x−xsen x−1
Eligiendo x0 = π4
obtenemos:
n xn f(xn)
0 0.7853981635
1 0.73955361337 -0.000754874682502682
2 0.7390851781 −7,512986643920527× 10−8
3 0.7390851332 −7,771561172376096× 10−16
4 0.7390851332 0
290
8.3. Resultados sobre la convergencia
Teorema (Convergencia global). Sea f de clase C2 verificando:
1. f(a)f(b) < 0,
2. Para todo x ∈ [a, b] se tiene que f ′(x) �= 0 (crecimiento o
decrecimiento estricto)
3. Para todo x ∈ [a, b], f ′′(x) ≥ 0 (alternativamente se puede
tener para todo x ∈ [a, b], f ′′(x) ≤ 0)
4. max{| f(a)f ′(a)|, | f(b)
f ′(b)|} ≤ b− a
Entonces existe una unica raız s de f(x) = 0 en [a, b] y la sucesion
(xn)n del metodo de Newton converge hacia s para todo x0 ∈ [a, b]
tal que f(x0)f′(x0) ≥ 0.
8.4. Ejemplo
El metodo de Newton para la ecuacion cos x− x = 0 en el intervalo
[0, π2 ] converge para cualquier valor x0 ∈ [0, π
2 ].
Ası que tenemos f(x) = cos x − x, f ′(x) = −sen x − 1 y f ′′(x) =
−cos x.
Ya hemos visto antes que f(0)f(π2 ) < 0, luego se satisface la primera
hipotesis del metodo de Newton.
291
Ademas la hipotesis 2 se cumple porque f ′(x) = −sen x−1 �= 0 y la
hipotesis 3 se cumple porque f ′′(x) = −cos x ≤ 0 para todo x ∈ [0, π2 ].
Por ultimo tenemos que
|f(0)/f ′(0)| =∣∣∣∣ cos 0
−sen 0− 1
∣∣∣∣ = 1
y que
|f(π/2)/f ′(π/2)| =∣∣∣∣ cos (π/2)
−sen (π/2)− 1
∣∣∣∣ =π
4≤ π
2− 0 =
π
2,
con lo que nuestro ejemplo tambien verifica la hipotesis cuarta y tene-
mos la convergencia global del metodo de Newton en nuestro ejemplo
en el intervalo [0, π2 ].
9. Ejercicios Resueltos
Ejercicio
Calcula el lımite siguiente utilizando desarrollos de Taylor
lımx→0
sen 3(x2)
1− cos (x3).
Solucion. Haremos desarrollos de Taylor del numerador y denomi-
nador de orden 6:
sen x = x− x3
3! + x5
5! + o(x6),
sen x2 = x2 − x6
3! + o(x6),
292
sen 3x2 = x6 + o(x6),
cos x = 1− x2
2!+ x4
4!− x6
6!+ o(x6),
cos x3 = 1− x6
2!+ o(x6),
1− cos x3 = x6
2!+ o(x6).
Ası que:
lımx→0
x6 + o(x6)x6
2!+ o(x6)
=1 + o(x6)
x6
12!
+ o(x6)x6
= 2.
293
Ejercicio
Calcula el lımite siguiente utilizando desarrollos de Taylor
lımx→0
[1− cos 2(x2)]sen 3(x)
x log(1 + x6).
Solucion. Haremos desarrollos de Taylor del numerador y denomi-
nador de orden 7:
sen x = x− x3
3! + x5
5! − x7
7! + o(x7),
sen 2x = x2 + x6
36 − 2x4
3! + 2x6
5! + o(x7),
sen 3x = sen xsen 2x = x3 − x5
3! + x7
5! + x7
36 + o(x7),
cos x = 1− x2
2! + x4
4! − x6
6! + o(x7),
cos x2 = 1− x4
2! + o(x7),
cos 2x2 = 1− 2x4
2! + o(x7).
1− cos 2x2 = 2x4
2! + o(x7).
[1− cos 2x2]sen 3x = x7 + o(x7).
log(1 + x) = x− x2
2 + x3
3 − x4
4 + x5
5 − x6
6 + x7
7 + o(x7).
log(1 + x6) = x6 + o(x7).
x log(1 + x6) = x7 + o(x7).
294
Ası que:
lımx→0
[1− cos 2(x2)]sen 3(x)
x log(1 + x6)= lım
x→0
x7 + o(x7)
x7 + o(x7)= lım
x→0
1 + o(x7)x7
1 + o(x7)x7
= 1
295
Ejercicio
Calcula los lımites siguientes:
(a) lımx→0x5−x log(1+x4)
sen 3(x2)(b) lımx→0
sen 3(x2)x5−x log(1+x4)
(c) lımx→0[1−cos 2(x2)]sen 3(x)
x log(1+x6)(d) lımx→0
log(1+x3)1−cos 3(x)
Solucion.
(a) 0, haciendo un desarrollo de orden 6; (b) el lımite no existe,
aunque sı que existen los lımites laterales (+∞ cuando x tiende a 0
por la izquierda y−∞ cuando x tiende a 0 por la derecha). Se necesitan
hacer desarrollos de orden 6 y luego investigar el signo de la funcion
que aparece en el denominador [f(x) = x(x4− log(1 + x4))] cuando x
es cercano a 0; (c)
296
Ejercicio
Calcula el lımite siguiente usando desarrollos de Taylor:
lımx→0
2sen x4
1− cos (x2)
Solucion. Hacemos desarrollos de Taylor del numerador y denomi-
nador de orden 4:
lımx→0
2x4 + o(x4)
1− 1 + x4/2 + o(x4)= lım
x→0
2 + o(x4)x4
12
+ o(x4)x4
= 4.
297
Tema 7: Integracion unidimensional
Gabriel Soler Lopez
20 de febrero de 2006
1. Particiones de un intervalo. Suma
superior e inferior de Riemann
Definicion (Particion del intervalo). Dado un intervalo [a, b],
una particion de [a, b] es un conjunto finito P = {x0, x1, . . . , xn} tal
que a = x0 < x1 < . . . < xn−1 < xn = b.
A los intervalos [xi, xi+1], i = 0, 1, . . . n− 1, se les llama intervalos
de la particion P .
Se define el diametro de la particion P como el numero real positivo
δ(P) = max{|xi+1 − xi|, i = 0, 1, . . . , n− 1}.Dadas dos particiones P , P′ de [a, b], diremos que P′ es mas fina
que P si P ⊆ P′. Claramente, en ese caso δ(P′) ≤ δ(P).
298
Definicion (Sumas inferiores y superiores de Riemann).
Sea f : [a, b] → R y P = {x0, x1, . . . , xn} una particion de [a, b]. Se
define la suma inferior de Riemann de f para la particion P como:
s(P , f, [a, b]) =
n−1∑i=0
mi(xi+1 − xi)
donde mi = inf{f(x) : x ∈ [xi, xi+1]}, 0 ≤ i ≤ n− 1.
Figura 9: Sumas inferiores de Riemann de la funcion seno
299
Se define la suma superior de Riemann de f como:
S(P , f, [a, b]) =
n−1∑i=0
Mi(xi+1 − xi),
donde Mi = sup{f(x) : x ∈ [xi, xi+1]}, 0 ≤ i ≤ n− 1.
Figura 10: Sumas superiores de Riemann de la funcion seno
Proposicion. Si f : [a, b] → R, P y P′ son particiones de [a, b]
tales que P′ es mas fina que P entonces:
s(P , f, [a, b]) ≤ s(P′, f, [a, b])
y
S(P′, f, [a, b]) ≤ S(P , f, [a, b]).
300
Ejemplo.
sen : [0, π2 ] −→ R
x → sen x,
escogiendo la particion Pn = {0, 1n
π2 ,
2n
π2 , . . . ,
n−1n
π2 ,
nn
π2 = π
2}, la suma
inferior de Riemann es:
s(Pn, sen , [0,π
2]) =
n−1∑j=0
sen
(jπ
2n
)π
2n,
y la superior:
S(Pn, sen , [0,π
2]) =
n−1∑j=0
sen
((j + 1)π
2n
)π
2n.
Tambien podemos calcular sumas de Riemann sin elegir necesaria-
mente el maximo y el mınimo en cada intervalo, sino un punto arbitra-
rio, estas tendran su utilidad a la hora de las clases practicas.
Definicion (Sumas de Riemann). Sea f : [a, b] → R, P =
{x0, x1, . . . , xn} una particion de [a, b] y ξ = (ξ1, . . . , ξn−1) un vector
tal que ξi ∈ [xi, xi+1] para todo i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Se define la
suma de Riemann de f para la particion P y la eleccion ξ como:
s(P , f, [a, b], ξ) =
n−1∑i=0
f(ξi)(xi+1 − xi).
301
2. Funciones integrables Riemann. In-
terpretacion geometrica
Definicion (Funcion integrable Riemann). Sea f : [a, b] → R
y (Pn)∞n=1 una sucesion de particiones de [a, b] tales que:
Pn+1 es mas fina que Pn, n = 1, 2, . . . ,∞
lımn→∞ δ(Pn) = 0.
Se dice que f es integrable Riemann o integrable en [a, b] si existen
y coinciden los lımites:
lımn→∞ s(Pn, f, [a, b]) = lım
n→∞ S(Pn, f, [a, b])
A este valor se le llama integral de Riemann o integral de f en [a, b]
y se denota por∫ b
a f(x)dx.
Los numeros a y b se les llaman lımites de integracion.
Adoptaremos el convenio∫ a
b f(x)dx = − ∫ b
a f(x)dx y cuando a = b,
definiremos∫ a
a f(x)dx = 0.
302
Observacion (Interpretacion geometrica). Observemos que si
f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], al aumentar n consideramos cada
vez particiones mas finas, luego las sumas inferiores de Riemann
se aproximan cada vez mas por defecto al area comprendida entre
la grafica f(x), el eje OX, la recta x = a y la recta x = b y con
las sumas superiores nos aproximamos por exceso.
Ası que si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] y f es integrable Riemann,∫ b
a f(x)dx coincide con el area determinada por la grafica de f(x), el
eje OX y las rectas x = a y x = b.
303
Proposicion (Aplicacion al calculo de lımites). Sea f : [a, b]→R y (Pn)
∞n=1 una sucesion de particiones de [a, b] tales que Pn+1 es
mas fina que Pn, n = 1, 2, . . . ,∞, y lımn→∞ δ(Pn) = 0. Si f es inte-
grable en [a, b], entonces se verifica:∫ b
a
f(x)dx = lımn→∞ s(P , f, [a, b], ξn),
donde, para todo n ∈ N, ξn = (ξn1 , ξn
2 , . . . , ξnn−1) forma parte de una
sucesion de vectores cualquiera tales que ξj ∈ [xnj , x
nj+1] para todo
j ∈ {0, . . . , n− 1}.
304
3. Funciones integrables: propiedades
La relacion entre continuidad e integrabilidad es estrecha, los dos
siguientes teoremas lo muestran.
Teorema (Continuidad-Integrabilidad). Si f : [a, b] → R es
continua entonces f es integrable en [a, b].
Teorema. Si f : [a, b] → R es una funcion acotada y tiene como
maximo un numero finito de puntos de discontinuidad, entonces f
es integrable en [a, b].
Con respecto a la integral de Riemann y las operaciones entre fun-
ciones se obtiene:
Proposicion. Sean f, g : [a, b] → R integrables y α ∈ R. Entonces
f + g, αf , |f | y fg son integrables, ademas:
1.∫ b
a (f(x) + g(x))dx =∫ b
a f(x)dx +∫ b
a g(x)dx.
2.∫ b
a αf(x)dx = α∫ b
a f(x)dx.
3. Si f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces:∫ b
a f(x)dx ≥ 0.
4. Si f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces:∫ b
a f(x)dx ≥∫ b
a g(x)dx.
5.∫ b
a |f(x)|dx ≥ | ∫ b
a f(x)dx|.305
6. Si c ∈ [a, b] entonces∫ b
a f(x)dx =∫ c
a f(x)dx +∫ b
c f(x)dx.
Por ultimo daremos el primer teorema de la media:
Teorema (Media). Si f : [a, b] → R es continua, entonces existe
ξ ∈ (a, b) tal que∫ b
a f(x)dx = f(ξ)(b− a).
Teorema (Teorema fundamental del calculo integral). Sea
f : [a, b] → R una funcion integrable. Entonces definimos F :
[a, b] → R tal que F (x) =∫ x
a f(t)dt. Si f es continua en x0 ∈ [a, b]
entonces F es derivable en x0 y F ′(x0) = f(x0).
Ası que, para derivar
F : [1, +∞) −→ R
x → ∫ x
1 e−1t2 dt,
no es necesario el calculo de la integral, basta con aplicar el teorema
anterior para obtener que si x0 ∈ (1, +∞) se tiene:
F ′(x0) = e−1x20 .
306
4. La regla de Barrow. Integracion por
partes y cambio de variable
Proposicion. Sea f : [a, b] → R una funcion continua, entonces
la funcion:
F : [a, b] −→ R
x → ∫ x
a f(x)dx,
es una primitiva de f .
El siguiente resultado permite, a partir del conocimiento de una
primitiva de una funcion integrable, calcular integrales de esta. Sera el
procedimiento que utilicemos a la hora de calcular integrales.
Teorema (Barrow). Si f : [a, b] → R es continua y F : [a, b] → R
es una primitiva de f , entonces∫ b
a f(x)dx = [F (x)]ba = F (b)−F (a).
307
Por ultimo, introduciremos las tecnicas de integracion por partes y
por cambio de variable que permiten simplificar el calculo de integrales.
Teorema (Integracion por cambio de variable). Sea f : [a, b] →R una funcion integrable en [a, b] y g : [c, d] → R una funcion in-
yectiva con derivada integrable en [c, d], de tal manera que g(c) = a
y g(d) = b. Entonces:∫ b
a
f(x)dx =
∫ d
c
f(g(t))g′(t)dt.
Teorema (Integracion por partes). Dadas dos funciones de-
rivables, f, g : [a, b] → R, con derivadas integrables en [a, b], se
tiene: ∫ b
a
f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]ba −∫ b
a
g(x)f ′(x)dx.
308
5. Aplicaciones del calculo integral al
calculo de longitudes, areas y volu-
menes
Calculo de la longitud de una curva. Consideremos la curva
definida por la funcion derivable f : [a, b] → R. Entonces la longitud
de dicha curva es:
L =
∫ b
a
√1 + f ′(x)2dx
Calculo del area de una superficie plana. Recordemos que
por definicion de la integral de Riemann, si f : [a, b] → R con f(x) ≥ 0
para todo x ∈ [a, b] es integrable, entonces el area delimitada por la
grafica de f(x), el eje Ox y las rectas x = a y x = b es∫ b
a f(x)dx.
Como consecuencia de esto, si f, g : [a, b] → R son integrables con
f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, b] entonces el area delimitada por las
graficas de f(x) y g(x), la recta x = a y la recta x = b es:
A =
∫ b
a
(f(x)− g(x))dx
309
Calculo del area de un solido de revolucion al girar sobre
el eje Ox. Consideremos el solido tridimensional que se obtiene al
girar la grafica de la funcion9 f : [a, b] → R derivable y con derivada
continua sobre el eje Ox. Entonces el area de la superficie exterior de
dicho solido es:
A = 2π
∫ b
a
f(x)√
1 + f ′(x)2dx
Calculo del area de un solido de revolucion al girar sobre
el eje Oy.
A = 2π
∫ b
a
x√
1 + f ′(x)2dx
Calculo del volumen de un solido de revolucion al girar
sobre el eje Ox. Consideremos el solido tridimensional que se ob-
tiene al girar la grafica de la funcion10 f : [a, b] → R integrable sobre
el eje Ox. Entonces el volumen de dicho solido es
V = π
∫ b
a
f(x)2dx
Calculo del volumen de un solido de revolucion al girar
sobre el eje Oy.
V = π
∫ b
a
|y′(x)|x2dx
9Suponemos que dicha grafica no corta al eje Oy10Suponemos que dicha grafica no corta al eje Ox
310
Ejemplo. Calcula el volumen de un toro (donut) que se obtiene
al girar un cırculo de radio r alrededor de un eje que se encuentra
a distancia a del centro del cırculo.
Suponemos que el eje de rotacion es el eje y y que el centro del
cırculo se encuentra sobre el eje de abscisas, es decir el centro es
el punto (a, 0).
�
�x
y
a a + ra− r
(x− a)2 + y2 = r2
El cırculo que estamos girando tiene ecuacion (x−a)2 +y2 = r2,
ası que y = ±√r2 − (x− a)2. Definamos y1 =√
r2 − (x− a)2,
ası que:
311
V = 2
(π
∫ a+r
a
x2 x− a√r2 − (x− a)2
dx− π
∫ a
a−r
x2 a− x√r2 − (x− a)2dx
)
= 2π
∫ a+r
a−r
x2 x− a√r2 − (x− a)2
dx
Hacemos ahora el cambio de variable x − a = rsen θ, ası que
dx = rcos θdθ y x = a + rsen θ.
V = 2π
∫ 5π/2
3π/2
(a + rsen θ)2rsen θ
rcos θrcos θdθ
= 2π
∫ 5π/2
3π/2
(a + rsen θ)2rsen θdθ
= 2π
∫ 5π/2
3π/2
a2rsen θ + r3sen 3θ + 2ar2sen 2θdθ
= 2πa2r [−cos θ]5π/23π/2 − 2πr3
[cos θ − cos 3θ
3
]5π/2
3π/2
+2π2ar2
[θ
2− sen (2θ)
4
]5π/2
3π/2
= 2ar2π2
312
Otra forma de realizar el ejercicio: girando alrededor del
eje de abscisas un cırculo de centro (0, a) y radio r, que tendra por
ecuaciones a x2 + (y− a)2 = r2, por lo tanto y = a±√r2 − x2. En
este caso:
V = π
∫ r
−r
(a +√
r2 − x2)2dx− π
∫ r
−r
(a−√
r2 − x2)2dx
= π
∫ r
−r
[(a +√
r2 − x2)2 − (a−√
r2 − x2)2]dx
= π
∫ r
−r
4a√
r2 − x2dx
Hacemos ahora el cambio de variable x = rsen θ, dx = rcos θdθ:
V = π4a
∫ 5π/2
3π/2
rcos θrcos θdθ
= π4ar2
∫ 5π/2
3π/2
cos 2θdθ
= 4ar2π
[θ
2+
sen (2θ)
4
]5π/2
3π/2
= 2ar2π2.
313
Ejemplo. Calcula el area de un toro (donut) que se obtiene al
girar un cırculo de radio r alrededor de un eje que se encuentra a
distancia a del centro del cırculo.
Suponemos que el eje de rotacion es el eje y y que el centro del
cırculo se encuentra sobre el eje de abscisas, es decir el centro es
el punto (a, 0).
�
�x
y
a a + ra− r
(x− a)2 + y2 = r2
El cırculo que estamos girando tiene ecuacion (x−a)2 +y2 = r2,
ası que y = ±√r2 − (x− a)2. Definamos y1 =√
r2 − (x− a)2,
ası que:
314
1
2A = 2π
∫ a+r
a−r
x√
1 + y′1(x)2dx
= 2π
∫ a+r
a−r
x
√1 +
(x− a)2
r2 − (x− a)2dx
= 2π
∫ a+r
a−r
x
√r2
r2 − (x− a)2dx
Hacemos ahora el cambio de variable x = rsen θ, dx = rcos θdθ:
1
2A = 2π
∫ 5π/2
3π/2
(a + rsen θ)r
rcos θrcos θdθ
= 2πr
∫ 5π/2
3π/2
(a + rsen θ)dθ
= 2πr[aθ − rcos θ]5π/23π/2
= 2πraπ = 2arπ2.
Ası que A = 4arπ2.
315
6. Metodos numericos para calcular in-
tegrales.
La regla del trapecio Dada una funcion f : [a, b] → R inte-
grable, la regla del trapecio consiste en aproximar la integral definida∫ b
a f(x)dx por∫ b
a P1(x)dx, donde P1(x) es el unico polinomio de grado
1 (recta) que pasa por los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Ası que:∫ b
a
f(x)dx ≈∫ b
a
P1(x)dx =b− a
2(f(a) + f(b))
y el error que cometemos en dicha aproximacion, si la funcion f es de
clase C2, es:
E = − 1
12(b− a)3f ′′(c),
donde c es un punto del intervalo (a, b).
El error anterior puede reducirse si utilizamos la regla del trapecio
compuesta, esta consiste en dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos
de longitud h = b−an
y aplicar la regla del trapecio simple a cada uno
de los intervalos [a + jh, a + (j + 1)h] con j ∈ {0, 1, . . . , n− 1}. Este
metodo proporciona la aproximacion:∫ b
a
f(x)dx ≈ h
2
(f(a) + 2
n−1∑i=1
f(a + ih) + f(b)
),
316
para esta aproximacion el error que se comete, si f es de clase C2, es:
E = − 1
12(b− a)h2f ′′(c),
siendo c un punto del intervalo (a, b).
317
La regla de Simpson. La idea de esta regla es aproximar la fun-
cion f : [a, b] → R a integrar por el polinomio de grado 2 (unico) que
pasa por los puntos (a, f(a)), (a+b2 , f(a+b
2 )) y (b, f(b)). De esta manera,
se obtiene la aproximacion:∫ b
a
f(x)dx ≈∫ b
a
P2(x)dx =b− a
6
(f(a) + 4f(
a + b
2) + f(b)
).
Ademas, si la funcion es de clase C4, existe c ∈ (a, b) tal que, el error
que se comete en la aproximacion es:
E = − 1
2880(b− a)5f (iv)(c).
Al igual que en la regla del trapecio, si subdividimos el intervalo
[a, b] en n partes (con n numero par) y aplicamos a cada una de ellas
la regla de Simpson, se obtiene una mejor aproximacion de la integral:
∫ b
a
f(x)dx ≈ h
3
⎛⎝f(a) + 2
n/2∑i=2
f(a + 2(i− 1)h)
+4
n/2∑i=1
f (a + (2i− 1)h) + f(b)
⎞⎠ ,
con un error, si f es de clase C4, dado por:
E = − 1
180(b− a)h4f (iv)(c),
estando c en (a, b).
318
Ejemplo. Comparacion del valor de∫ 4
3 (sen x + cos x + ex)dx =
33,278341730851935 calculado usando las reglas del trapecio y Simp-
son haciendo n particiones del intervalo [3, 4], (2 ≤ n ≤ 50).
Programa de Mathematica:
TrapecioCompuesta[fun , a , b , n ] :=
{integral = 0;
h = (b− a)/n;
For[j = 0, j < n,
integral = integral+Trapecio[fun, a+hj, a+(j+1)h];
j = j + 1];
integral//N}
Tambien se puede definir el metodo del trapecio compuesto en
Mathematica usando las formulas desarrolladas en la teorıa:
TrapecioCompuestaBis[fun , a , b , n ] :=
{h = (b− a)/n;
integral = (f [a] + f [b]) ∗ h/2;
For[j = 1, j <= n− 1,
integral = integral + hf [a + jh];
j = j + 1];
integral//N}319
SimpsonCompuestaBis[fun,a,b,n] :=
{h = (b− a)/n;
integral = (f [a] + f [b]) ∗ h/3;
For[j = 1, j <= n/2,
integral = integral + 4h/3f [a + (2j − 1)h];
j = j + 1];
For[j = 2, j <= n/2,
integral = integral + 2h/3f [a + 2(j − 1)h];
j = j + 1];
integral//N}
For[n = 2, n <= 50,
simpson = SimpsonCompuesta[f, 3, 4, n];
trapecio = TrapecioCompuesta[f, 3, 4, n];
exacto = Integrate[f [x], x, 3, 4];
errorsimpson = Error[simpson, exacto];
errortrapecio = Error[trapecio, exacto];
Print[“Para n=”, n, “ el valor aproximado por Simpson es:
”,
InputForm[simpson], “ y por el trapecio: ”, InputForm[trapecio]];
Print[“El error de Simpson es: ”, errorsimpson, “ y el del
320
trapecio: ”,
errortrapecio];
n = n + 2;
]
Print[“El valor exacto de la integral es: ”, InputForm[exacto
// N]]
Resultados obtenidos con Mathematica:
1. Para n = 2 el valor aproximado por Simpson es: 33,279058180108045
y por el trapecio: 34,02019810976089.
El error de Simpson es: 0,000716449 y el del trapecio: 0,741856.
2. Para n = 4 el valor aproximado por Simpson es: 33,278386777441625
y por el trapecio: 33,46434316252127.
El error de Simpson es: 0,0000450466 y el del trapecio: 0,186001.
3. Para n = 6 el valor aproximado por Simpson es: 33,27835063881905
y por el trapecio: 33,36105351045315.
El error de Simpson es: 8,907967109506032× 10−6 y el del tra-
pecio 0,08271177960120712.
4. Para n = 8 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834455048327
y por el trapecio: 33,32487587371154.
321
El error de Simpson es: 2,8196313290873576 × 10−6 y el del
trapecio 0,04653414285960866.
5. Para n = 10 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834288598059
y por el trapecio: 33,308126180449406.
El error de Simpson es: 1,1551286529520866 × 10−6 y el del
trapecio 0,029784449597466844.
6. Para n = 12 el valor aproximado por Simpson es: 33,278342287970716
y por el trapecio: 33,29902635672758.
El error de Simpson es: 5,571187766673091× 10−7 y el del tra-
pecio 0,020684625875641016.
7. Para n = 14 el valor aproximado por Simpson es: 33,278342031588494
y por el trapecio: 33,29353903317648.
El error de Simpson es: 3,007365545482088× 10−7 y el del tra-
pecio 0,01519730232454708.
8. Para n = 16 el valor aproximado por Simpson es: 33,2783419071449
y por el trapecio: 33,28997738129034.
El error de Simpson es: 1,7629296666932248 × 10−7 y el del
trapecio 0,011635650438402534.
322
9. Para n = 18 el valor aproximado por Simpson es: 33,278341840913676
y por el trapecio: 33,28753544812954.
El error de Simpson es: 1,100617434968143× 10−7 y el del tra-
pecio 0,00919371727760665.
10. Para n = 20 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834180306481
y por el trapecio: 33,285788709597796.
El error de Simpson es: 7,221287989800373× 10−8 y el del tra-
pecio 0,007446978745856425.
11. Para n = 22 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834178017495
y por el trapecio: 33,28449630017032.
El error de Simpson es: 4,9323015671731696 × 10−8 y el del
trapecio 0,006154569318378433.
12. Para n = 24 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834176567768
y por el trapecio: 33,28351330515993.
El error de Simpson es: 3,4825741179744796 × 10−8 y el del
trapecio 0,005171574307989202.
13. Para n = 26 el valor aproximado por Simpson es: 33,2783417561365
y por el trapecio: 33,28274829693282.
323
El error de Simpson es: 2,5284559113103455 × 10−8 y el del
trapecio 0,004406566080883634.
14. Para n = 28 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834174965024
y por el trapecio: 33,282141281985496.
El error de Simpson es: 1,8798298695443805 × 10−8 y el del
trapecio 0,003799551133563339.
15. Para n = 30 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834174511683
y por el trapecio: 33,281651570503875.
El error de Simpson es: 1,4264893932747214 × 10−8 y el del
trapecio 0,0033098396519430917.
16. Para n = 32 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834174187124
y por el trapecio: 33,28125077568126.
El error de Simpson es: 1,1019305246051658 × 10−8 y el del
trapecio 0,00290904482931853.
17. Para n = 34 el valor aproximado por Simpson es: 33,278341739498465
y por el trapecio: 33,28091860547047.
El error de Simpson es: 8,646533045109095× 10−9 y el del tra-
pecio 0,0025768746185359515.
324
18. Para n = 36 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834173773128
y por el trapecio: 33,28064024271764.
El error de Simpson es: 6,87934220700015× 10−9 y el del tra-
pecio 0,002298511865698627.
19. Para n = 38 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834173639335
y por el trapecio: 33,2804046637003.
El error de Simpson es: 5,5414186572733115 × 10−9 y el del
trapecio 0,0020629328483703357.
20. Para n = 40 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834173536551
y por el trapecio: 33,28020352969805.
El error de Simpson es: 4,513575957432181× 10−9 y el del tra-
pecio 0,0018617988461169244.
21. Para n = 42 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834173456529
y por el trapecio: 33,28003043881075.
El error de Simpson es: 3,713348517564441× 10−9 y el del tra-
pecio 0,001688707958815483.
22. Para n = 44 el valor aproximado por Simpson es: 33,278341733934774
y por el trapecio: 33,27988041017379.
325
El error de Simpson es: 3,0828413155603585 × 10−9 y el del
trapecio 0,0015386793218492567.
23. Para n = 46 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834173343264
y por el trapecio: 33,279749521588194.
El error de Simpson es: 2,5807007641986957 × 10−9 y el del
trapecio 0,001407790736261516.
24. Para n = 48 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834173302867
y por el trapecio: 33,279634650548246.
El error de Simpson es: 2,1767287972096483 × 10−9 y el del
trapecio 0,001292919696306738.
25. Para n = 50 el valor aproximado por Simpson es: 33,27834173270066
y por el trapecio: 33,27953328627316.
El error de Simpson es: 1,8487280595280708 × 10−9 y el del
trapecio 0,0011915554212247326.
26. El valor exacto de la integral es: 33,278341730851935.
326
7. Integrales impropias de primera es-
pecie
Las integrales impropias de primera especie son aquellas donde al-
guno o ambos lımites de integracion son infinitos.
Definicion. Si f : [a, +∞) → R es tal que f es integrable en [a, b]
para todo b > a, se define∫ +∞
a
f(x)dx = lımt→∞
∫ t
a
f(x)dx.
Si el valor anterior es finito, diremos que la integral anterior es conver-
gente, si es +∞ o −∞ diremos que es divergente y si no existe diremos
que es oscilante.
De forma analoga se define∫ a
−∞ f(x)dx para f : (−∞, a] → R.
Si f : R → R es integrable en [a, b] para todo a, b ∈ R, a < b,
entonces diremos que la integral impropia∫ +∞−∞ f(x)dx es convergente
si existe a ∈ R tal que∫ a
−∞ f(x)dx y∫ +∞
a f(x)dx son convergentes y
en ese caso se define11∫ +∞
−∞f(x)dx =
∫ a
−∞f(x)dx +
∫ +∞
a
f(x)dx.
Por ultimo, se dice que∫ +∞
a f(x)dx es absolutamente convergen-
te si∫ +∞
a |f(x)|dx es convergente. Se hara notar que toda integral11Demostraremos que este valor no depende del numero a ∈ R escogido
327
impropia absolutamente convergente es convergente.
Calculo de integrales impropias de primera especie. Al
igual que para la integral de Riemann, las integrales impropias son
faciles de calcular cuando se conoce una primitiva del integrando.
Teorema. 1. Si f : [a, +∞) → R es tal que∫ +∞
a f(x)dx es con-
vergente y F (x) es una primitiva de f(x) entonces:∫ +∞
a
f(x)dx = lımt→+∞F (t)− F (a).
2. Si f : (−∞, a] → R es tal que∫ a
−∞ f(x)dx es convergente y
F (x) es una primitiva de f(x) entonces:∫ a
−∞f(x)dx = F (a)− lım
t→−∞F (t).
3. Si f : (−∞, +∞) → R es tal que∫ +∞−∞ f(x)dx es convergente
y F (x) es una primitiva de f(x) entonces:∫ +∞
−∞f(x)dx = lım
x→+∞F (x)− lımx→−∞F (x).
Criterios de convergencia. Como ya sabemos, es posible que sea
muy difıcil o incluso imposible encontrar una primitiva de una funcion
dada. Ası, serıa muy interesante obtener criterios que permitan conocer
el caracter de una integral impropia sin conocer su valor.
328
Vamos a introducir criterios para funciones f : [a, +∞) → R tales
que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, +∞). De forma analoga se tienen los
criterios para integrales impropias del tipo∫ a
−∞ f(x)dx siendo f(x) ≤ 0
para todo x ∈ (−∞, a].
Proposicion. Sea f : [a, +∞) → R tal que f(x) ≥ 0 para todo x ∈[a, +∞), f es integrable en [a, b] para todo b > a y lım
x→+∞f(x) > 0.
Entonces∫ +∞
a f(x)dx es divergente.
Ası, aplicando este criterio se obtiene la divergencia de integrales
impropias del tipo∫ +∞
a xndx siendo n ≥ 0 o de∫ +∞
1x2+1x2+2
dx, pe-
ro no podemos decir nada sobre el caracter de la integral impropia∫ +∞0 e−x2
dx.
Los siguientes criterios permiten deducir el caracter de ciertas inte-
grales impropias a partir del conocimiento del caracter de integrales
impropias de otras funciones.
Proposicion (Criterio de comparacion). Sean f, g : [a, +∞) →R positivas tales que f, g son integrables en [a, b] para todo b > a
y supongamos que f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ [a, +∞). Entonces:
1. Si∫ +∞
a f(x)dx es convergente entonces∫ +∞
a g(x)dx es conver-
gente.
329
2. Si∫ +∞
a g(x)dx es divergente entonces∫ +∞
a f(x)dx es divergen-
te.
Proposicion (Criterio del lımite). Sean f, g : [a, +∞) → R
dos funciones positivas integrables en [a, b] para todo b > a. Sea
l = lımx→+∞
f(x)g(x)
∈ R. Entonces:
1. Si l > 0,∫ +∞
a f(x)dx es convergente (divergente) si y solo si∫ +∞a g(x)dx es convergente (divergente).
2. Si l = 0 y∫ +∞
a f(x)dx es divergente entonces∫ +∞
a g(x)dx es
divergente.
3. Si l = 0 y∫ +∞
a g(x)dx es convergente entonces∫ +∞
a f(x)dx es
convergente.
Es sencillo demostrar que para a ∈ R,∫ +∞
a1xα es convergente si
α > 1 y divergente si α ≤ 1. El criterio anterior junto con el caracter
de estas integrales impropias permiten obtener el caracter de muchas
integrales impropias.
330
8. Integrales impropias de segunda es-
pecie
Supongamos que tenemos una funcion f [a, b) → R integrable en
[a, c] para todo c ∈ (a, b) y tal que lımx→b−
f(x) = ∞ ¿Que significado
tiene la expresion∫ b
a f(x)dx? En principio, a esta expresion no la hemos
dotado de un significado concreto ya que la funcion f no es acotada,
nos ocuparemos en esta seccion de darle un significado.
Definicion (Integral impropia de segunda especie). Sea f
una funcion como antes. Entonces, se define∫ b
a
f(x)dx = lımt→b−
∫ t
a
f(x)dx.
Si este lımite es finito, se dice que la integral impropia de segunda
especie∫ b
a f(x)dx es convergente, si es infinito se dice que es divergente
y si no existe se dice que es oscilante.
Analogamente, si f : (a, b] → R es integrable en [c, b] para todo
c ∈ (a, b) y lımx→a+
= ∞, se define
∫ b
a
f(x)dx = lımt→a+
∫ b
t
f(x)dx
y se tienen analogas definiciones de convergencia, divergencia y oscila-
cion.
331
Al igual que para integrales impropias de primera especie, en las
condiciones anteriores de la funcion f , se dice que la integral∫ b
a f(x)dx
es absolutamente convergente si y solo si∫ b
a |f(x)|dx es convergente.
Ademas se vera que la convergencia absoluta de una integral de segunda
especie implica tambien la convergencia de la integral.
Calculo de las integrales impropias de segunda especie.
Para estas integrales tambien dispondremos de un analogo a la regla
de Barrow, la dos proposiciones siguientes lo recogen.
Proposicion. Sea f : (a, b] → R tal que lımx→a+
f(x) = ∞,∫ b
a f(x)dx
es convergente y supongamos que F (x) es una primitiva de f(x).
Entonces: ∫ b
a
f(x)dx = F (b)− lımt→a+
F (t).
Proposicion. Sea f : [a, b) → R tal que lımx→b−
f(x) = ∞,∫ b
a f(x)dx
es convergente y supongamos que F (x) es una primitiva de f(x).
Entonces: ∫ b
a
f(x)dx = lımt→b−
F (t)− F (a).
Criterios de convergencia de las integrales impropias de
segunda especie. En cuanto a los criterios de convergencia, dispon-
dremos del criterio de comparacion y del lımite, ambos los enunciamos
332
para integrales impropias que tienen su singularidad en el lımite infe-
rior. Los resultados analogos para cuando se tiene la singularidad en
el extremo superior son tambien ciertos y se deja su enunciado como
ejercicio al alumno.
Proposicion (Criterio de comparacion). Sean f, g : (a, b] →R positivas, integrables en [c, b] para todo c ∈ (a, b) y tales que
lımx→a+
f(x) = lımx→a+
g(x) = +∞. Si f(x) ≥ g(x) para todo x ∈ (a, b]
entonces:
1. Si∫ b
a f(x)dx es convergente entonces∫ b
a g(x)dx es convergente.
2. Si∫ b
a g(x)dx es divergente entonces∫ b
a f(x)dx es divergente.
Proposicion (Criterio del lımite). Sean f, g : (a, b] → R fun-
ciones positivas, integrables en [c, b] para todo c ∈ (a, b) y tales que
lımx→a+
f(x) = lımx→a+
g(x) = ∞. Sea l = lımx→a+
f(x)g(x) ∈ R. Entonces:
1. Si l �= 0,∫ b
a f(x)dx es convergente (resp. divergente) si y solo
si∫ b
a g(x)dx es convergente (resp. divergente).
2. Si l = 0 y∫ b
a g(x)dx es convergente entonces∫ b
a f(x)dx es con-
vergente.
3. Si l = 0 y∫ b
a f(x)dx es divergente entonces∫ b
a g(x)dx es diver-
gente.
333
De este criterio, junto con el hecho de que para funciones del tipo
f(x) = 1(x−a)α se tiene que
∫ b
a1
(x−x0)αdx es convergente si α < 1 y
divergente si α ≥ 1, se obtiene la convergencia de muchas integrales
impropias de segunda especie.
334
Tema 8: Integracion multidimensional
Gabriel Soler Lopez
marzo de 2006
1. Integrales de Riemann en rectangu-
los
Definicion (Particion de rectangulos). Consideremos el rectangu-
lo [a, b] × [c, d] y sean P1 = {a = x0, x1, . . . , xn = b} y P2 = {c =
y0, y1, . . . , ym = d} particiones de [a, b] y [c, d] respectivamente. En-
tonces, diremos que
P1 × P2 = {(xi, yj) ∈ R2 : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}
es una particion de [a, b]× [c, d].
A partir de P1 × P2 se obtiene una descomposicion del rectangulo
como union de los rectangulos Rij = [xi, xi+1] × [yj, yj+1], 0 ≤ i ≤n− 1, 0 ≤ j ≤ m− 1.
Definiremos por diametro de la particion al numero δ(P1 × P2) =
max(i,j)∈{0,...,n−1}×{0,...,m−1}
√(xi+1 − xi)2 + (yj+1 − yj)2.
335
Definicion (Sumas de Darboux-Riemann). Sea f : [a, b] ×[c, d] → R una funcion acotada y
P1 × P2 = {(xi, yj) ∈ R2 : 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m}
una particion de [a, b]× [c, d]. Entonces:
1. Se define la suma inferior de Darboux-Riemann de f asociada
a la particion P1 ×P2 como
s(f,P1 × P2) =
n−1∑i=0
m−1∑j=0
mij(xi+1 − xi)(yj+1 − yj),
donde mij = mın{f(x, y) : (x, y) ∈ [xi, xi+1]× [yj, yj+1]}.
2. Se define la suma superior de Darboux-Riemann de f asociada
a la particion P1 ×P2 como
S(f,P1 ×P2) =
n−1∑i=0
m−1∑j=0
Mij(xi+1 − xi)(yj+1 − yj),
donde Mij = max{f(x, y) : (x, y) ∈ [xi, xi+1]× [yj, yj+1]}.
336
Definicion (Funcion integrable Riemann). Se dice que la fun-
cion f : [a, b] × [c, d] → R es integrable Riemann si existe un unico
numero real, I , tal que:
s(f,P1 ×P2) ≤ I ≤ S(f,P1 ×P2)
para toda particion P1 × P2 de [a, b]× [c, d]. Entonces diremos que I
es la integral (doble) de f en [a, b]× [c, d] y escribiremos:∫∫[a,b]×[c,d]
f(x, y)dxdy = I.
Proposicion. Dada f : [a, b]×[c, d] → R entonces, si f es continua
es integrable.
Interpretaciones para calcular areas y volumenes
1. Cuando la funcion f es positiva, la integral de f en [a, b] × [c, d]
coincide con el volumen delimitado por la grafica de la funcion f
y dicho rectangulo.
2. Cuando la funcion f es identicamente igual a 1, el valor de la
integral es (b− a)(d− c), es decir, el area del recinto sobre el que
integramos. Esta observacion trivial tendra importancia cuando
generalicemos la integral a otro tipo de recintos.
337
Teorema (Fubini). Si f : [a, b]× [c, d] → R es continua entonces:∫∫[a,b]×[c,d]
f(x, y)dxdy =
∫ d
c
(∫ b
a
f(x, y)dx
)dy
=
∫ b
a
(∫ d
c
f(x, y)dy
)dx
Ejercicio
Calcular para Ω = [0, 1]× [0, 3] las integrales
(a)∫∫
Ω xydxdy. (b)∫∫
Ω xeydxdy. (c)∫∫
Ω y2sen xdxdy.
338
2. Integral doble sobre recintos basicos
de R2
Definicion (Recinto basico de R2). Un recinto basico de R2 es
un conjunto acotado, Ω ⊂ R2, que tiene interior no vacıo y frontera
formada por una union finita de curvas de la forma y = f(x) y x =
g(y), donde f y g son funciones reales de una variable real continuas.
Definicion (Integral de Riemann sobre conjuntos basicos).
Sea f : Ω → R una funcion acotada donde Ω es un recinto basico y
sea [a, b]× [c, d] el menor rectangulo que contiene a Ω. Entonces, si la
funcion
f : [a, b]× [c, d] −→ R
(x, y) → f (x, y) =
⎧⎨⎩ f(x, y) si (x, y) ∈ Ω,
0 si (x, y) /∈ Ω,
es integrable, diremos que f es integrable en Ω. En ese caso se define
la integral (doble) de f en Ω como:∫∫Ω
f(x, y)dxdy =
∫∫[a,b]×[c,d]
f(x, y)dxdy.
339
Interpretaciones geometricas de integrales sobre recintos
basicos
Si Ω es un recinto basico y f : Ω → R una funcion, entonces:
1. Cuando la funcion f es positiva, la integral de f en Ω coincide con
el volumen delimitado por la grafica de la funcion f y el conjunto
Ω.
2. Cuando la funcion f es identicamente igual a 1, el valor de la
integral es el area del recinto Ω.
340
Propiedades de las integrales sobre recintos basicos
Teorema. Si Ω es un recinto basico de R2 y f : Ω → R es continua
entonces f es integrable Riemann en Ω.
Proposicion. Sea Ω ⊆ R2 un recinto basico, f, g : Ω → R inte-
grables y α, β ∈ R. Entonces:
1. αf + βg es integrable en Ω y:∫∫Ω
(αf(x, y) + βg(x, y))dxdy = α
∫∫Ω
f(x, y)dxdy
+β
∫∫Ω
g(x, y)dxdy.
2. Si f(x, y) ≥ 0 para todo (x, y) ∈ Ω, entonces∫∫
Ω f(x, y)dxdy ≥0.
3. Si f(x, y) ≥ g(x, y) ∀(x, y) ∈ Ω entonces∫∫
Ω f(x, y)dxdy ≥∫∫Ω g(x, y)dxdy.
4.∫∫
Ω f(x, y)dxdy =∫∫
Int(Ω) f(x, y)dxdy.
5. Sea Ω = Ω1∪Ω2 con Ω1∩Ω2 = ∅ y Ω1, Ω2 son recintos basicos.
Entonces:∫∫Ω
f(x, y)dxdy =
∫∫Ω1
f(x, y)dxdy +
∫∫Ω2
f(x, y)dxdy.
341
Calculo de integrales sobre recintos basicos
Para calcular la integral de f : Ω → R, siendo Ω un recinto basico:
(1.) Fijamos una de las dos variables de integracion y el intervalo maxi-
mo sobre el que vamos a integral dicha variable.
(2.) Despues delimitaremos los lımites de integracion de la segunda
variable respecto a la primera.
En concreto, si fijamos en (1.) como variable a la x:
Definimos los conjuntos Ωx = {y ∈ R : (x, y) ∈ Ω}.
Elegimos
a = mın{x : Ωx �= ∅}, b = max{x : Ωx �= ∅}
y para cada x ∈ (a, b) tomamos
c(x) = mın{y : y ∈ Ωx}
y
d(x) = max{y : y ∈ Ωx}.
Supondremos ademas que (c(x), d(x)) ∈ Ωx y que f es continua.
Con esta notacion se tiene:
342
Teorema (Fubini).∫∫Ω
f(x, y)dxdy =
∫ b
a
(∫ d(x)
c(x)
f(x, y)dy
)dx.
343
Ejercicio
Calcular las integrales dobles siguientes en los recintos que se indican:
1.∫∫
Ω ydxdy en Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}.
2.∫∫
Ω(3y3 + x2)dxdy en Ω = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1, }.
3.∫∫
Ω√
xydxdy en Ω = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1, y2 ≤ x ≤ y}.
4.∫∫
Ω yexdxdy en Ω = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y2}.
5.∫∫
Ω y + log xdxdy en Ω = {(x, y) ∈ R2 : 0,5 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x}.
Ejercicio
Calcular las integrales dobles siguientes en los recintos que a continuacion se
dan:
1.∫∫
Ω(4 − y2)dxdy en el recinto limitado por las ecuaciones y2 = 2x e y2 =
8− 2x.
2.∫∫
Ω(x4 + y2)dxdy en el recinto limitado por y = x3 e y = x2.
3.∫∫
Ω(x+y)dxdy en el recinto limitado por y = x3 e y = x4 con −1 ≤ x ≤ 1.
4.∫∫
Ω(3xy2−y)dxdy en la region limitada por y = |x|, y = −|x| y x ∈ [−1, 1].
344
Ejercicio
Calcular la superficie de las siguientes regiones:
1. Cırculo de radio R.
2. Elipse de semiejes a, b.
3. La region limitada por las ecuaciones x2 = 4y y 2y − x− 4 = 0.
4. La region limitada por las ecuaciones x + y = 5 y xy = 6.
5. La region limitada por las ecuaciones x = y y x = 4y − y2.
Ejercicio
Calcular el volumen de los siguientes solidos:
1. El limitado por x2 + y
3 + z4 = 1 y los planos de coordenadas.
2. El tronco limitado superiormente por z = 2x + 3y e inferiormente por el
cuadrado [0, 1]× [0, 1].
3. Esfera de radio R.
4. Cono de altura h y radio de la base R.
5. El tronco limitado superiormente por la ecuacion z = 2x+1 e inferiormente
por el disco (x− 1)2 + y2 ≤ 1.
345
3. Calculo de integrales dobles median-
te cambio de variables
Teorema. Sea Ω un subconjunto abierto y basico de R2 y sea f :
Ω → R una funcion integrable. Sea Δ un abierto de R2 y Φ : Δ →R2 una funcion tal que:
1. Φ(Δ) = Ω,
2. Φ es diferenciable en Δ y
3. |J(Φ(u, v))| �= 0 para todo (u, v) ∈ Δ.
Entonces, se verifica que Δ es un abierto basico y:∫∫Ω
f(x, y)dxdy =
∫∫Δ
f(Φ(u, v))|J(Φ(u, v))|dudv.
El cambio de variable que mas emplearemos en R2 es el cambio a
coordenadas polares, dado por:
Φ : (0, +∞)× (0, 2π) −→ R2
(r, θ) → (rcos θ, rsen θ).
Ademas |JΦ(r, θ)| = r.
346
4. Integrales de Riemann en prismas
rectangulares de R3
El concepto de integral triple sobre prismas rectangulares (productos
de tres intervalos) se introduce de forma analoga al de la integral doble
sobre rectangulos. Ponemos de manifiesto sus propiedades.
Proposicion. Dada f : [a, b]× [c, d]× [e, f ] → R entonces, si f es
continua es integrable.
Interpretacion geometrica para el calculo de volumenes
Cuando la funcion f es identicamente igual a 1, el valor de la integral
es (b− a)(d− c)(f − e), es decir, el volumen del prisma sobre el que
integramos.
Teorema (Fubini). Si f : [a, b] × [c, d] × [e, f ] → R es continua
entonces:
347
∫∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]
f(x, y)dxdydz
=
∫ f
e
(∫ d
c
(∫ b
a
f(x, y, z)dx
)dy
)dz
=
∫ b
a
(∫ d
c
(∫ f
e
f(x, y)dz
)dy
)dx
348
Ejercicio
Calcular para Ω = [0, 1]× [0, 3]× [−1, 1] las integrales
(a)∫∫∫
Ω xyzdxdydz. (b)∫∫∫
Ω xey+zdxdydz. (c)∫∫∫
Ω y2z3sen xdxdydz.
349
5. Integral triple sobre recintos basicos
de R3
Definicion (Recinto basico). Un recinto basico es un conjunto
acotado Ω ⊂ R3 que tenga interior no vacıo y frontera formada por
una union finita de superficies de la forma z = f(x, y),y = g(x, z)
y x = h(y, z), donde f , g y h son funciones continuas reales de dos
variables reales.
Definicion (Integral de Riemann sobre conjuntos basicos).
Sea f : Ω → R una funcion acotada donde Ω es un recinto basico de
R3 y sea [a, b]× [c, d]× [e, f ] el menor prisma rectangular que contiene
a Ω. Si la funcion
f : [a, b]× [c, d]× [e, f ] −→ R
(x, y, z) → f(x, y, z) =
⎧⎨⎩ f(x, y, z) si (x, y, z) ∈ Ω,
0 si (x, y, z) /∈ Ω,
es integrable, diremos que f es integrable en Ω. En ese caso se define
la integral de f en Ω como:∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdy =
∫∫∫[a,b]×[c,d]×[e,f ]
f(x, y, z)dxdydz.
Interpretacion geometrica
350
∫∫∫Ω f(x, y, z)dxdydz da el valor del volumen del recinto Ω cuando
f(x, y, z) = 1 para todo (x, y, z) ∈ Ω. Este hecho se utilizara bastante
en las clases de problemas.
351
Propiedades de la integral triple sobre recintos basicos
Teorema. Si Ω es un recinto basico de R3 y una funcion f : Ω →R continua, entonces f es integrable Riemann en Ω.
Ademas las propiedades vistas para integrales dobles sobre recintos
basicos se verifican tambien en este contexto.
Ejercicio
Calcular las integrales que a continuacion se piden en los recintos correspon-
dientes:
1.∫∫∫
Ω(ysen z+x)dxdydz en Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : y ≥ z ≥ y2, 0 ≤ x, y ≤ 1}.
2.∫∫∫
Ω xdxdydz en Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≥ y2 + x2, 0 ≤ z ≤ 1}.
3.∫∫∫
Ω yxzdxdydz en Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : −5 ≤ z ≤ y2 +x, −1 ≤ x, y ≤ 1}.
Ejercicio
Calcular el volumen del solido limitado superiormente por z = 1 e inferiormente
por z =√
x2 + y2.
352
Ejercicio
Calcular el volumen del solido limitado superiormente por el cilindro parabolico
z = 1− y2, inferiormente por el plano 2x + 3y + z + 10 = 0 y lateralmente por
el cilindro circular x2 + y2 + x = 0.
Ejercicio
Hallar el volumen del solido limitado por los paraboloides de ecuaciones z =
2− x2 − y2 y z = x2 + y2.
353
6. Calculo de integrales triples median-
te cambio de variables
Teorema. Sea Ω un subconjunto abierto basico de R3 y sea f :
Ω → R integrable. Sea Φ : Δ → R3 donde Δ es un subconjunto
abierto de R3 tal que:
1. Φ(Δ) = Ω,
2. Φ es diferenciable en Δ y
3. |J(Φ(u, v, w))| �= 0 para todo (u, v, w) ∈ Δ.
Entonces Δ es un abierto basico y:∫∫∫Ω
f(x, y, z)dxdydz =
∫∫∫Δ
f(Φ(u, v, w))|J(Φ(u, v, w))|dudvdw.
Los cambios de coordenadas mas importantes en R3 son los cambios
a coordenadas esfericas y cilındricas.
354
Coordenadas cilındricas
Φ : R+ × [0, 2π[×R −→ R3 \ {(0, 0, 0)}(r, θ, z) → (rcosθ, rsinθ, z)
Si (x, y, z) ∈ R3 \ {(0, 0, 0)} tal que Φ(r, θ, z) = (x, y, z) entonces:
r =√
x2 + y2
θ es el angulo que forma el vector de posicion del punto (x, y, 0)
con la parte positiva del eje OX .
Ademas |JΦ(r, θ, z)| = r.
Coordenadas esfericas
Φ : R+ × [0, 2π[×[0, π] −→ R3 \ {(0, 0, 0)}(r, θ, ϕ) → (rcos θsen ϕ, rsen θsen ϕ, rcos ϕ)
Si (x, y, z) ∈ R3 \ {(0, 0, 0)} es tal que Φ(r, θ, ϕ) = (x, y, z) entonces:
r =√
x2 + y2 + z2
θ es el angulo que forma el vector de posicion del punto (x, y, 0)
con la parte positiva del eje Ox
355
ϕ es el angulo que forma el vector de posicion del punto (x, y, z)
con el vector de posicion del punto (x, y, 0) (colatitud).
Ademas |JΦ(r, θ, ϕ)| = r2sen ϕ.
356
Ejercicio
Haciendo uso de las coordenadas esfericas x = rcos θsen φ, y = rsen θsen φ
y z = rcosφ, calcular:
1. El volumen de una esfera de radio R.
2.∫∫∫
Ω(x2 + y2 + z2)dxdydz en el recinto Ω = {(x, y, z) ∈ R3 : 1 ≤x2 + y2 + z2 ≤ 2}.
3. El volumen del recinto del apartado (b).
357
Tema 9: Funciones de varias variables.
Continuidad
Gabriel Soler Lopez
abril de 2006
1. Topologıa en Rn
Definicion (Norma, espacio vectorial normado). Una norma
sobre Rn es una aplicacion:
‖ · ‖ : Rn −→ Rn
x → ‖x‖,que satisface las siguientes propiedades para cada par de vectores x, y:
(a) ‖x‖ ≥ 0 y ‖x‖ = 0 si y solo si x = 0.
(b) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (desigualdad triangular).
(c) Para todo numero real λ se tiene que ‖λx‖ = |λ|‖x‖.
El par (Rn, ‖ · ‖) recibe el nombre de espacio vectorial normado.
358
Ejemplo. (R, | · |), (Rn, ‖ · ‖2), (Rn, ‖ · ‖∞), (R, ‖ · ‖1) son espacios
vectoriales normados para las definiciones siguientes:
1. | · | es el valor absoluto de numeros reales.
2. Si x = (x1, . . . , xn), ‖x‖2 =√
x21 + x2
2 + · · · + x2n,
3. ‖x‖1 = |x1| + |x2| + · · · + |xn|,
4. ‖x‖∞ = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}.
Ejercicio
Da una razon que justifique que la aplicacion f : R2 → R, definida
por f(x, y) = sen (y + x), no es una norma
Solucion. La aplicacion no es una norma porque f(0, π) = 0 y
(0, π) �= (0, 0).
1.1. Nociones topologicas asociadas a
un espacio normado
El concepto analogo al de intervalo en el caso multidimensional es
el de bola, este permitira desarrollar la topologıa de Rn.
Definicion (Bola, dico). Fijada una norma ‖ · ‖ de Rn, dado un
punto x ∈ Rn y un numero real ε > 0, se define la bola abierta o disco
359
abierto de centro x y radio ε (resp. bola cerrada o disco cerrado de
centro x y radio ε) como el conjunto
D(x, ε) = {y ∈ Rn : ‖x− y‖ < ε}
(resp. D(x, ε) = {y ∈ Rn : ‖x− y‖ ≤ ε}).
Definicion (Conjunto abierto y cerrado). Un conjunto A ⊂ Rn
se dice abierto si y solo si o A = ∅ o bien para todo punto x ∈ A
existe ε > 0 tal que D(x, ε) ⊂ A.
Un conjunto F ⊂ Rn se dice cerrado si y solo si Rn\F = {x ∈ Rn :
x �∈ F} es abierto.
Definicion (Interior, clausura y frontera de un conjunto).
Dado un conjunto D ⊂ Rn se define el interior de D, y se denota por
IntD, como el mayor conjunto abierto contenido en D. La clausura
de D, denotada por ClD, es el menor conjunto cerrado que contiene
a D. La frontera de D se denota por FrD y se define como FrD =
ClD\IntD.
Los conjuntos abiertos y cerrados satisfacen las propiedades que re-
cogemos en la siguiente proposicion.
360
Proposicion. 1. ∅ y Rn son conjuntos abiertos y cerrados a la
vez.
2. La union numerable de conjuntos abiertos es un conjunto abier-
to.
3. La interseccion numerable de conjuntos cerrados es un con-
junto cerrado.
4. La union finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.
5. La interseccion finita de conjuntos abiertos es un conjunto
abierto.
6. Un conjunto es abierto si y solo si coincide con su interior.
7. Un conjunto es cerrado si y solo si coincide con su clausura.
8. El interior de un conjunto A es la union de todos los conjuntos
abiertos contenidos en A.
9. La clausura de un conjunto A es la interseccion de todos los
conjuntos cerrados que contienen a A.
361
Definicion (Conjuto acotado y compacto). Un conjunto A ⊂Rn se dice acotado si y solo si existe un numero real positivo k tal que
‖x‖ ≤ k para todo x ∈ A. El conjunto A se dira compacto si y solo
si ademas de ser acotado es cerrado.
Definicion (Puntos de acumulacion, interiores y aislados).
Dado un conjunto A ⊂ Rn y un punto x ∈ Rn, se dice que x es un
punto de acumulacion de A si para todo numero ε > 0 se tiene que
D(x, ε) ∩ A\{x} �= ∅. El conjunto de los puntos de acumulacion se
denota por A′.
Se dice que el punto x es interior a A si y solo si pertenece a IntA.
Por ultimo se dira que x es un punto aislado de A si y solo si es un
punto de ClA que no es de acumulacion.
Ejercicio
Pon un ejemplo de un conjunto no compacto en R2 y justifica por
que no es compacto.
Solucion. {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 5} no es compacto porque no
esta acotado.
362
2. Funciones de varias variables. Lımi-
tes
Iniciamos esta seccion dando la definicion de funcion de varias varia-
bles y funciones coordenadas de estas. Posteriormente introduciremos
el concepto de curva de nivel, el cual nos permitira obtener interpreta-
ciones graficas de funciones.
Definicion (Funcion de varias variables). Una funcion de varias
variables es una aplicacion f : A → B, siendo A un subconjunto de
Rn y B un subconjunto de Rm.
Definicion (Acotacion). Una funcion de varias variables, f : A ⊂Rn → Rm, se dice que esta acotada si existe un numero real K tal que
‖f(x)‖ < K para todo x ∈ A.
363
Definicion (Algebra de funciones). Dado el conjunto de las fun-
ciones de varias variables con dominio en A ⊂ Rn y valores en Rm,
F(A, Rm), se definen las siguientes leyes en dicho conjunto:
1. Suma de funciones: dadas las funciones f ,g : A → Rm, se
define la funcion suma de ambas como sigue:
f + g : A −→ Rm
x → f(x) + g(x).
2. Multiplicacion de funciones: si m = 1, dadas f, g : A → R
se define la funcion producto como sigue:
f · g : A −→ R
x → f(x)g(x).
3. Division de funciones: si m = 1, dadas f, g : A → R, si
g(x) �= 0 para todo x ∈ A, se define la funcion cociente como
sigue:fg
: A −→ R
x → f(x)g(x)
.
4. Norma de funciones: dada la funcion f : A → Rm, se define
la funcion norma de f como:
‖f‖ : A −→ R
x → ‖f(x)‖.
364
Por ultimo destacamos el concepto de curva de nivel para una funcion
escalar de varias variables reales, las isobaras e isotermas son ejemplos
de tales curvas.
Definicion. Dada una funcion real de dos variables f : A ⊂ R2 → R,
definimos la curva de nivel de altura k como el conjunto {(x, y) ∈ A :
f(x, y) = k}.
365
3. Lımite de funciones de varias varia-
bles. Propiedades
Generalizamos ahora el concepto de lımite de funciones reales de
variable real para funciones de varias variables.
Definicion (Lımite). Sea D ⊆ Rn, f : D → Rm, x0 ∈ D′ y l ∈ Rm.
Diremos que el lımite de la funcion f cuando x tiende a x0 es l, y se
representa por lımx→x0
f(x) = l, si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0
tal que si x ∈ D y 0 < ‖x− x0‖ < δ entonces ‖f(x)− l‖ < ε.
Proposicion. Sea D ⊆ Rn, x0 ∈ D′ y f : D → Rm una funcion
con funciones coordenadas f1, f2, . . . , fm. Entonces lımx→x0
f(x) = l =
(l1, l2, . . . , lm) si y solo si lımx→x0
fi(x) = li para todo i ∈ {1, 2, . . . , m}.
Proposicion (Unicidad del lımite). Dado D ⊆ Rn, x0 ∈ D′ y
una funcion de varias variables f : D → Rm, entonces si existe el
lımite de la funcion f en el punto x0, este es unico.
366
Ejemplo
Demuestra que lım(x,y)→(0,0)x4+y4
x2+y2 = 0.
Solucion. Fijado ε > 0 tendremos que encontrar δ > 0 tal que si
‖(x, y)− (0, 0)‖2 =√
x2 + y2 < δ entonces∣∣∣x4+y4
x2+y2
∣∣∣ = x4+y4
x2+y2 < ε.
Como
x4 + y4
x2 + y2<
x4 + y4 + 2x2y2
x2 + y2=
(x2 + y2)2
x2 + y2= x2 + y2 < δ2,
entonces basta con tomar δ =√
ε.
367
Proposicion. Dado un subconjunto D ⊂ Rm, un punto de acu-
mulacion x0 ∈ D′, funciones f ,g : D → Rm y elementos m, n de
Rm, se verifican:
Si lımx→x0
f(x) = m y lımx→x0
f(x) = n entonces lımx→x0
(f + g)(x) =
m + n.
Ademas, si m = 1, se tiene que:
Si lımx→x0
f(x) = m y lımx→x0
g(x) = n entonces lımx→x0
(f · g)(x) =
m · n.
Si f esta acotada y lımx→x0
g(x) = 0 entonces lımx→x0
(f · g)(x) = 0.
368
4. Calculo de lımites de funciones de
dos variables
4.1. Lımites Iterados
Proposicion. Sea f : D ⊂ R2 → R y (x0, y0) ∈ D′, supongamos
que lx,y = lımy→y0
lımx→x0
f(x, y) ∈ R y que ly,x = lımx→x0
lımy→y0
f(x, y) ∈ R.
Entonces, si existe lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = l se tiene que lx,y = ly,x = l.
Como consecuencia del resultado anterior podemos afirmar la no
existencia de lımite, en particular, el resultado anterior admite las in-
terpretaciones siguientes:
1. Si lx,y, ly,x ∈ R y lx,y �= ly,x entonces no existe lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
2. Si lx,y, ly,x ∈ R y coinciden, el unico valor que puede ser lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
es lx,y = ly,x pero no podemos asegurar que exista dicho lımite.
3. Puede no existir lx,y o ly,x o los dos y que exista lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
Un ejemplo de este caso es la funcion f : R2 → R definida por
f(x, y) = ysen (1/x) si x �= 0 y por f(0, y) = 0. En efecto, para
esta funcion se verifica que lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0, lımx→0
lımy→0
f(x, y) =
0 y sin embargo lımy→0
lımx→0
f(x, y) no existe.
369
Ejemplo
Estudiar la existencia del lımite en el punto (0, 0) de la funcion
f : R2 \ {(0, 0)} → R dada por
f (x, y) =x2 + y
x2 + y2.
Solucion. Si se utilizan lımites reiterados se obtienen diferentes
valores y se puede justificar de esta manera que el lımite doble no
existe:
lımy→0 lımx→0x2+yx2+y2 = lımy→0
yy2 = ±∞ (dependiendo el signo de
si el lımite se hace por la derecha o por la izquierda).
lımx→0 lımy→0x2+yx2+y2 = lımy→0
x2
x2 = 1.
4.2. Lımites direccionales
Definicion (Lımite direccional). Sea f : D ⊂ R2 → R una
funcion real de dos variables reales y g : A ⊂ R → R una funcion real
de variable real tal que x0 ∈ A′ y lımx→x0
g(x) = y0. Si (x0, y0) ∈ D′,
se define el lımite direccional de f a lo largo de g en (x0, y0) como
lg = lımx→x0
f(x, g(x)).
Una propiedad basica de los lımites direccionales viene recogida en
la siguiente proposicion.
370
Proposicion. Sean f : D ⊂ R2 → R y g : A ⊂ R → R tales que
x0 ∈ A′ y lımx→x0
g(x) = y0. Entonces, si existe lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) =
l ∈ R se tiene que l = lg.
Esta proposicion tiene consecuencias a tener en cuenta a la hora del
calculo de lımites. Sean g1 y g2 funciones en las condiciones de g de la
definicion anterior y f como en la misma definicion. Se verifican:
1. Si lg1 �= lg2, entonces no existe el lımite lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
2. Si lg1 /∈ R, entonces no existe lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
3. Si existe lg1 ∈ R entonces, si existe lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y), este coincide
con lg1.
A partir de ahora nos restringiremos al calculo de lımites en (0, 0) ya
que para calcular un lımite en un punto (x0, y0), lım(x,y)→(x0,y0)
f(x, y), una
simple translacion hace que este coincida con lım(x,y)→(0,0)
f(x+x0, y+y0).
Para intentar demostrar que un cierto lımite no existe, utilizaremos
funciones del tipo g(x) = mxn.
371
Ejemplo
Estudiar la existencia del lımite en el punto (0, 0) de la funcion
f : R2 \ {(0, 0)} → R dada por
f (x, y) =x2 + y
x2 + y2.
Solucion. Hacemos un lımite direccional acercandonos por la parabo-
la y = λx2:
lımx→0
x2 + λx2
x2 + λ2x4= lım
x→0
x2(1 + λ)
x2(1 + λx2)= 1 + λ
Como el lımite direccional depende de la parabola elegida entonces
no existe el lımite doble planteado.
372
4.3. Paso a coordenadas polares
Presentamos ahora un resultado que permite calcular el lımite de
una funcion f : D ⊂ R2 → R en el punto (0, 0) usando coordenadas
polares.
Proposicion. Sea D ⊆ R2 tal que (0, 0) ∈ D′ y f : D → R. Si
existe l ∈ R tal que lımr→0
f(rcos θ, rsen θ) = l para todo θ ∈ [0, 2π[ y
|f(rcos θ, rsen θ) − l| ≤ F (r) para todo θ ∈ [0, 2π[ donde F es una
funcion real de variable real que satisface lımr→0
F (r) = 0, entonces
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = l.
Ejemplo
Estudiar la existencia del lımite en el punto (0, 0) de la funcion
f : R2 \ {(0, 0)} → R dada por
f (x, y) =x4 + 3x2y2 + 2xy3
(x2 + y2)2.
Solucion.
Si hacemos el lımite por coordenadas polares obtenemos:
lımr→0
f(rcos θ, rsen θ)
= lımr→0
r4
r4(cos 4θ + 3cos 2θsen 2θ + 2cos θsen 3θ)
= cos 4θ + 3cos 2θsen 2θ + 2cos θsen 3θ
373
Como este lımite depende del angulo θ no va a existir el lımite.
Demostramos la no existencia recurriendo a los lımites direccionales.
Hacemos un lımite direccional acercandonos por las rectas y = mx:
lımx→0
x4 + 3x2m2x2 + 2xm3x3
(x2 + m2x2)2= lım
x→0
x4
x4
1 + 3m2 + 2m3
(1 + m2)2=
1 + 3m2 + 2m3
(1 + m2)2
Como el lımite direccional depende de m entonces no existe el lımite
doble planteado.
Ejemplo
Estudiar la existencia del lımite en el punto (0, 0) de la funcion
f : R2 \ {(0, 0)} → R dada por
f (x, y) =2x5 + 2y3
(2x2 − y2
)(x2 + y2)2
.
Solucion.
Empezamos calculando los lımites reiterados para ver si nos da al-
guna informacion:
lımx→0 lımy→0 f(x, y) = lımx→02x5
x4 = 0
lımy→0 lımx→0 f(x, y) = lımy→0−2y5
y4 = 0
Ası que si existe el lımite valdrıa 0.
Intentamos ver si realmente existe usando coordenadas polares:
374
lımr→0
f(rcos θ, rsen θ) = lımr→0
2r5cos 5θ + 2r3sen 3θ(2r2cos 2θ − r2sen 2θ)
r4
= lımr→0
r5(2cos 5θ + 4 sen3 θcos 2θ − 2sen 3θsen 2θ)
r4
= lım r(2cos 5θ + 4 sen3 θcos 2θ − 2sen 3θsen 2θ) = 0
Ahora tenemos que hacer la acotacion de |f(rcos θ, rsen θ)− 0| por
una funcion F (r) que solo dependa de r y que tienda a 0 cuando r
tiende a 0:
|f(rcos θ, rsen θ)− 0| = |r(2cos 5θ + 4 sen3 θcos 2θ − 2sen 3θsen 2θ)|≤ r[2|cos 5θ| + 4|sen 3θcos 2θ| + 2|sen 3θsen 2θ|] ≤ 8r = F (r)
Como lımr→0 F (r) = 0 entonces obtenemos finalmente:
lım(x,y)→(0,0)
f(x, y) = 0.
375
5. Continuidad de funciones de varias
variables
Generalizamos en este apartado la definicion de continuidad de fun-
ciones reales de variable real a las funciones de varias variables.
Definicion (Continuidad). Sea D ⊆ Rn, f : D → Rm y x0 ∈ D,
diremos que f es continua en x0 si y solo si para todo ε > 0 existe
d > 0 tal que si ‖x− x0‖ < d entonces ‖f(x)− f(x0)‖ < ε.
Diremos que la funcion f es continua si y solo si es continua en todos
los puntos de D.
Al igual que en el caso de funciones reales de variable real habıa una
estrecha relacion entre la continuidad y los lımites, para las funciones de
varias variables existe un resultado analogo que damos a continuacion.
Proposicion. Dada una funcion de varias variables f : D ⊂ Rn →Rm y dado x0 ∈ D′, entonces son equivalentes:
1. f es continua en x0,
2. existe el lımite lımx→x0
f(x) y es igual a f(x0).
376
5.1. Propiedades de las funciones con-
tinuas
Proposicion. Dado un subconjunto D ⊂ Rm y funciones f ,g :
D → Rm continuas en x0 ∈ D, se verifican:
f + g es continua e x0.
‖f‖ : D → R es continua en x0.
Ademas, si m = 1, se tiene que:
f · g es continua en x0.
Proposicion. Sean f : D ⊂ Rn → Rm y g : E ⊂ Rm → Rk dos
funciones de varias variables tales que f(D) ⊂ E. Sea x0 ∈ D tal
que f es continua en x0 y g es continua en f(x0). Entonces g ◦ f
es continua en x0.
Estos teoremas tienen bastante importancia, pues a partir de ellos y
basandonos en la continuidad de las funciones coordenadas
Xi : D ⊂ Rn −→ R
x = (x1, x2, . . . , xn) → xi,
se obtiene que los polinomios de varias variables reales son continuos y
la composicion de las funciones que conocemos tambien. Por ejemplo,
funciones del tipo f(x, y, z) = (sen (x2y), esen (x+yz)) son continuas.
377
Al igual que para las funciones reales de variable real, dada una
funcion real dependiente de varias variables reales, f : D ⊂ Rn → R,
diremos que m ∈ D (resp. M ∈ D) es un mınimo absoluto (resp.
maximo absoluto) de f si y solo si f(m) ≤ f(x) (resp. f(x) ≤ f(M))
para todo x ∈ D.
Teorema (de los valores extremos). Dado un conjunto com-
pacto K ⊂ Rn y una funcion continua f : K → R, existen valores
m ∈ K y M ∈ K que son respectivamente mınimo y maximo
absolutos de la funcion f .
Ejercicio
Estudia la continuidad de la funcion que sigue:
f (x, y) =
⎧⎨⎩
sen xyx
si x �= 0,
y si (x, y) = (0, y) .
Solucion.
Para decidir si es continua hay que ver si se verifica:
lım(x,y)→(0,k)
f(x, y) = f(0, k) = k.
Si se verifica la igualdad anterior entonces la funcion f sera continua.
En caso contrario no lo serıa.
378
Comprobamos que en este caso se verifica lım(x,y)→(0,k) f(x, y) = k.
Ası que, fijado ε > 0, debemos encontrar δ > 0 tal que si ‖(x, y) −(0, k)‖1 = |x| + |y − k| < δ entonces |f(x, y)− k| < ε.
Primera consideracion: puesto que lımx→0 1 − sen xx
= 0, para
εx = ε4(|k|+1)
existe δ0 > 0 tal que si |x− 0| < δ0 entonces∣∣∣1− sen x
x
∣∣∣ < ε
4. (18)
Segunda consideracion: elegimos ahora
δ = mın{1, ε
8, δ0}. (19)
Demostracion del lımite: suponemos ahora que ‖(x, y)−(0, k)‖1 =
|x| + |y − k| < δ, entonces:
|f(x, y)− k| ≤∣∣∣sen x
xy − k
∣∣∣ + |y − k|≤∣∣∣(sen x
x− 1)
y + y − k∣∣∣ + |y − k|
≤∣∣∣(sen x
x− 1)
y∣∣∣ + 2|y − k|
≤∣∣∣(sen x
x− 1)∣∣∣ |y| + 2|y − k| (usando ahora la ecuacion (18))
≤ ε
4(|k| + 1)|y| + 2|y − k| (usando (19) tenemos que
|y||k| + 1
< 1)
≤ ε
4+ 2|y − k| ≤ (usando (19)
≤ ε
4+ 2
ε
8=
ε
2< ε.
379
Tema 10: Funciones de varias variables.
Diferenciabilidad
Gabriel Soler Lopez
24 de mayo de 2006
6. Derivadas direccionales y derivadas
parciales
En este apartado generalizaremos la nocion de derivada introducida
para las funciones reales de una variable real.
Definicion (Derivada direccional). Sea D un subconjunto abier-
to de Rn, f : D → Rm y v ∈ Rn \ {0}. Si a ∈ D, se define la derivada
direccional en la direccion del vector v de f en a como el lımite:
Dvf(a) = lımt→0
f(a + tv)− f(a)
h
380
Cuando la derivada direccional se hace en la direccion de la base
canonica, se obtiene la definicion de derivada parcial :
Definicion (Derivada parcial). Sea i ∈ {1, 2, . . . , n}, ei el i-
esimo vector de la base canonica de Rn, D un subconjunto abierto
de Rn y f : D → Rm. Se define la derivada parcial i-esima de la
funcion f en el punto a ∈ D y se denota por ∂f∂xi
(a) o por Dif(a) como
∂f∂xi
(a) = Deif(a).
Sea i ∈ {1, 2, . . . , n} y consideremos la funcion de una variable real
f i que se obtiene de f fijando todas las coordenadas de a excepto la
i-esima, es decir:
f i(xi) = f(a1, . . . , ai−1, xi, ai+1, . . . , an).
Entonces la derivada de esta funcion (de una variable) en a es:
lımt→0
(f ij(ai + t)− f i
j(ai))nj=1
t=
lımt→0
(f ij(a1, . . . , ai−1, ai + t, ai+1, . . . , an)− f i
j(a1, . . . , ai−1, ai, ai+1, . . . , an))nj=1
t=(
∂f ij
∂xi(a)
)n
j=1
.
Ası, la derivada parcial i-esima evaluada en a es el valor que se
obtiene de sustituir a en la funcion que resulta de derivar f respecto
de xi considerando las otras variables constantes.
381
Esta generalizacion de derivada tiene una diferencia notable respecto
a la derivada de de funciones reales de una variable real, pues la exis-
tencia en un punto de estas, no implica la continuidad en dicho punto.
El siguiente ejemplo ilustra este hecho.
Ejemplo.
f : R2 −→ R
(x, y) → f(x, y) =
⎧⎨⎩
y2
xsi x �= 0
0 si x = 0.
Para esta funcion, dado un vector v = (v1, v2) ∈ R2 con v1 �= 0, se
tiene que la derivada direccional de f en (0, 0) en la direccion de
v es:
Dvf((0, 0)) = lımt→0,t�=0
t2v22
tv1
t=
v22
v1,
para los vectores v de la forma v = (0, v2), la derivada direccional
es:
Dvf((0, 0)) = lımt→0,t�=0
0
t= 0.
Ası que la funcion f admite derivada direccional en el punto (0, 0)
respecto de cualquier vector. Sin embargo, si calculamos el lımite
de la funcion en el origen segun la direccion de la parabola y2 =
2λx, este depende de λ, en particular vale 2λ. Ası que la funcion
f no es continua en el origen.
382
6.1. Interpretacion geometrica de las
derivadas parciales de una funcion
de dos variables
La derivada de una funcion real de variable real, f : D → R, en un
punto a representaba la pendiente de la tangente a la curva {(x, f(x)) :
x ∈ D} en el punto (a, f(a)).
Dada una funcion real de dos variables reales, f : D ⊂ R2 → R, su
grafica {(x1, x2, f(x1, x2)) : (x1, x2) ∈ D} representa una superficie.
En cuanto a la interpretacion de las derivadas parciales de la funcion
f : D ⊂ R2 → R, si f admite derivadas parciales en (x0, y0) ∈ D,
entonces veremos que la ecuacion del plano tangente a la grafica de f
en (x0, y0) viene dada por:
z − f(x0, y0) =∂f
∂x(x0, y0)(x− x0) +
∂f
∂y(x0, y0)(y − y0).
383
7. Diferencial de una funcion. Propie-
dades
Introducimos en este apartado el concepto de funcion diferenciable
que si implicara continuidad.
Definicion (Diferencial). Sea D un subconjunto abierto de Rn,
f : D → Rm y a ∈ D. Se dice que f es diferenciable en a si existe
una aplicacion lineal T : Rn → Rm tal que
lımh→0
‖f(a + h)− f(a)−T(h)‖‖h‖ = 0.
En ese caso, a la aplicacion lineal T se le llama diferencial de f en a
y se denota por df(a).
Teorema. Dado un subconjunto abierto D de Rn, se tiene que si
f : D → Rm es diferenciable en a ∈ D entonces f es continua en
a.
Las nociones de derivada direccional y diferencial estan estrechamen-
te relacionadas, esta relacion la recoge la siguiente proposicion.
Teorema. Sea D un subconjunto abierto de Rn, f : D → Rm y
a ∈ D. Si f es diferenciable en a y v ∈ Rn, entonces f es admite
derivada direccional en a en la direccion de v. Ademas:
df(a)(v) = Dvf(a).
384
En particular ∂f∂xi
(a) = df(a)(ei) para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Cuando tratamos con funciones reales de variable real, la derivabili-
dad y diferenciabilidad son conceptos equivalentes. En efecto:
Proposicion. Si D es un abierto de R y f : D → R es derivable
en a ∈ D, entonces f es diferenciable en a y df(a)(t) = f ′(a)t.
Para funciones de varias variables reales, ambas nociones no son
equivalentes, el teorema anterior muestra que la diferenciabilidad im-
plica existencia de derivadas direccionales. Sin embargo el recıproco
no es cierto, en efecto, la funcion de un ejemplo anterior admite de-
rivadas direccionales y no es diferenciable porque no es continua. A
pesar de este ejemplo, si las derivadas parciales son continuas sı que la
derivabilidad implica diferenciabilidad:
Teorema. Sea D un abierto de Rn que contine al punto a. Si las
derivadas parciales, ∂f∂xi
(i ∈ {1, 2, . . . , n}), existen en un entorno
del punto a y son continuas en el punto a, entonces la funcion f
es diferenciable en a.
Ademas, el recıproco del teorema anterior no es cierto puesto que la
385
funcion:
f : R2 −→ R
(x, y) → f(x, y) =
⎧⎪⎨⎪⎩
(x2 + y2)sen 1√x2+y2
si (x, y) �= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0),
muestra que existen funciones diferenciables en un punto (el punto
(0, 0) para esta funcion f) cuyas derivadas parciales no son continuas
en dicho punto.
Demostracion.
Empezamos calculando la parcial de f respecto de x. En los puntos
distintos del origen se calcula haciendo una derivada parcial normal.
Sin embargo en el origen:
∂f
∂x(0, 0) = lım
t→0
f(t, 0)− f(0, 0)
t
= lımt→0
t2sen
(1
t
)= 0
Ası que:
∂f
∂x(x, y) =
⎧⎪⎨⎪⎩
2xsen 1√x2+y2
− x√x2+y2
cos 1√x2+y2
si (x, y) �= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0),
Esta derivada parcial no es continua en el origen porque el lımite
cuando (x, y) tiende a (0, 0) no existe. En efecto, tomamos las direc-
386
ciones y = λx y obtenemos que
lımx→0
2xsen1
x√
1 + λ2− 1√
1 + λ2cos
1
x√
1 + λ2
no existe porque el primer sumando tiende a 0, pero el segundo no tiene
lımite.
Por ultimo vamos a probar que df(0, 0)(h1, h2) = 0. Efectivamente:
lım(x,y)→(0,0)
|f(h1, h2)− f(0, 0)− df(0, 0)(h1, h2)|‖(h1, h2)‖2
= lım(x,y)→(0,0)
(h21 + h2
2)sen1√
h21+h2
2√h2
1 + h22
= lım(x,y)→(0,0)
√h2
1 + h22sen
1√h2
1 + h22
= 0
387
7.1. Propiedades de la diferencial
Senalamos en este apartado las propiedades mas relevantes de la
diferencial.
Teorema. Dado un abierto D ⊂ Rn, a ∈ D y funciones f ,g :
D → Rm, se verifican:
1. Si f es diferenciable en a entonces es continua en a.
2. Si f es diferenciable en a entonces la diferencial de f en a es
unica.
3. f es diferenciable en a si y solo si las funciones coordenadas
de f lo son.
4. Si f y g son funciones diferenciables en a, entonces f + g es
diferenciable en a. Ademas:
d(f + g)(a) = df(a) + dg(a).
Teorema (Regla de la cadena). Sean D y E subconjuntos abier-
tos de Rn y Rm respectivamente y sean f : D → Rm y g : E → Rk
tales que f(D) ⊆ E. Si a ∈ D verifica que f es diferenciable en a
y g lo es en f(a), entonces g ◦ f es diferenciable en a y
d(g ◦ f)(a) = dg(f(a)) ◦ df(a).
388
7.2. Matriz Jacobiana
Hacemos uso ahora del algebra lineal aprendida en el bloque primero
de la asignatura. Ya que la diferencial de una funcion f : D ⊂ Rn →Rm en un punto a ∈ D es una aplicacion lineal, esta estara determinada
por su matriz asociada respecto de las bases canonicas de Rn y Rm.
Definicion (Matriz Jacobiana). Sea D un subconjunto abierto
de Rn, f : D → Rm y a ∈ D tal que f es diferenciable en a. Se define
la matriz Jacobiana de f en a como
Jf(a) = MB,B′(df(a)),
siendo B y B′ las bases canonicas de Rn y Rm respectivamente.
Concretamente, si f es diferenciable en a entonces:
Jf(a) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
∂f1∂x1
(a) ∂f1∂x2
(a) . . . ∂f1∂xm
(a)
∂f2∂x1
(a) ∂f2∂x2
(a) . . . ∂f2∂xm
(a)
... ... . . . ...
∂fm∂x1
(a) ∂fm∂x2
(a) . . . ∂fm∂xn
(a)
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Un caso particular de la matriz Jacobiana es el vector gradiente de
una funcion diferenciable real definida en un abierto de Rn, f : D ⊂Rn → R. En este caso la matriz Jacobiana de la funcion en un punto
a recibe el nombre de vector gradiente de f en el punto a y se denota
por ∇f(a).
389
Ahora podemos obtener las propiedades de la matriz Jacobiana tra-
duciendo las propiedades de la diferencial anteriormente enunciadas:
Teorema. Dados abiertos D ⊂ Rn y E ⊂ Rm, a ∈ D, funciones
f ,g : D → Rm y h : E → Rk tales que f(D) ⊆ E, f y g son
diferenciables en a y h es diferenciable en f(a), se verifican:
1. J(f + g)(a) = Jf(a) + Jg(a),
2. J(g ◦ f)(a) = Jg(f(a))Jf(a).
390
8. Derivadas parciales de orden supe-
rior
Sea D un subconjunto abierto de Rn, f : D → Rm e i ∈ {1, 2, . . . , n}.Si existe ∂f
∂xien todo punto de D, se puede definir una funcion
∂f∂xi
: D −→ Rm
a → ∂f∂xi
(a),
a la cual le podemos estudiar la existencia de sus derivadas parciales.
Sea j ∈ {1, 2, . . . , n} y definamos la segunda derivada parcial :
Definicion (Derivada parcial segunda). En las condiciones an-
teriores, entendemos por derivada parcial segunda de f , primero res-
pecto de xi y despues respecto de xj en a ∈ D como
∂2f
∂xixj(a) =
∂
∂xj
(∂f
∂xi
)(a).
Del mismo modo se definen las derivadas parciales terceras, cuar-
tas, etc...
Definicion (Funcion de clase Ck). La funcion f anteriormente
introducida se dice de clase Ck si tiene todas las derivadas k-esimas
continuas en D. Escribiremos f ∈ Ck(D, Rm).
391
Una pregunta que parece natural hacerse es que si dados i, j ∈{1, . . . , n}, es verdad que ∂2f
∂xixj(a) = ∂2f
∂xjxi(a). En general dicha igual-
dad no se da, pero los siguientes teoremas12 dan condiciones para que
sı sea cierta.
Teorema (Schwarz). Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto y f :
D → Rm una funcion tal que ∂f∂xi
y ∂f∂xj
son continuas en D siendo
i, j ∈ {1, . . . , n} distintos. Si existe ∂2f∂xixj
: D → Rm y es continua
en a ∈ D entonces existe ∂2f∂xjxi
(a) y se da la igualdad:
∂2f
∂xixj(a) =
∂2f
∂xjxi(a)
.
Teorema (Young-Heffter). Sea D ⊂ Rn un conjunto abierto y
f : D → Rm una funcion tal que ∂f∂xi
y ∂f∂xj
estan definidas en D y
son diferenciables en el punto a ∈ D. Entonces existen ∂2f∂xixj
(a) y
∂2f∂xjxi
(a) y son iguales.
12Aunque solo damos dos teoremas sobre permutabilidad, el primero en probar un teorema de este corte fue
O. Bonnet bajo hipotesis mas restrictivas que A. Schwarz
392
Acabamos poniendo un ejemplo que deja claro que existen funciones
para las que sı que importa el orden de derivacion. La funcion:
f : R2 −→ R
(x, y) → f(x, y) =
⎧⎨⎩
xy(x2−y2)x2+y2 si (x, y) �= (0, 0),
0 si (x, y) = (0, 0),
admite las derivadas ∂2f∂x2x1
(0, 0) y ∂2f∂x1x2
(0, 0) pero son distintas. En
efecto:∂2f
∂x2x1(0, 0) = 1 y
∂2f
∂x1x2(0, 0) = −1.
393
9. Extremos relativos y absolutos de
funciones reales de varias variables
Empezamos recordando la nocion de extremo absoluto de una fun-
cion real, e introduciendo las nociones de extremos relativos. Para ello
fijamos una funcion real definida en un abierto D de Rn, f : D → R.
Definicion (Extremos absolutos y relativos). Un punto M ∈D (resp. m ∈ D) diremos que es un maximo relativo (resp. mınimo
relativo) si existe un entorno U ⊂ D de M (resp. de m) tal que
f(x) ≤ f(M) (resp. f(m) ≤ f(x)) para todo x ∈ U .
Un punto M ∈ D (resp. m ∈ D) diremos que es un maximo
absoluto (resp. mınimo absoluto) si f(x) ≤ f(M) (resp. f(m) ≤f(x)) para todo x ∈ D.
Teorema (Condicion necesaria para la existencia de extre-
mos relativos). Sea D un abierto de Rn y una funcion f : D →R de clase C1. Si a ∈ D es un extremo relativo de f entonces
∂f∂xi
(a) = 0 para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.
394
Esta condicion, sin embargo, no es suficiente. En efecto, la funcion
f : R2 −→ R
(x, y) → (y − x2)(y − 2x2),
tiene sus dos derivadas parciales primeras iguales a 0 en el punto (0, 0),
pero este no es un extremo relativo. Es por tanto introducir condiciones
adicionales para asegurar la existencia de extremos.
Definicion (Hessiano). Sea i ∈ {1, 2, . . . , n} y supongamos que la
funcion f introducida al principio de esta seccion es de clase C2, para
ella definimos la matriz hessiana de orden i en un punto a como:
Hif(a) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
∂2f∂x12(a) ∂2f
∂x1x2(a) . . . ∂2f
∂x1xi(a)
∂2f∂x2x1
(a) ∂2f∂x22(a) . . . ∂2f
∂x2xi(a)
... ... . . . ...
∂2f∂xix1
(a) ∂2f∂xix2
(a) . . . ∂2f∂xi
2(a)
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
Se define el Hessiano de orden i de la funcion f en el punto a como:
Δif(a) = |Hif(a)|.
395
Teorema. Sea D un abierto de Rn, f : D → R una funcion de
clase C2 y a ∈ D tal que ∂f∂x1
(a) = ∂f∂x2
(a) = · · · = ∂f∂xn
(a) = 0.
Consideremos la sucesion:
1, Δ1f(a), Δ2f(a), . . . , Δn−1f(a), Δnf(a),
entonces:
1. Si todos los terminos de la sucesion de numeros anteriores son
positivos la funcion tendra un mınimo relativo en a.
2. Si los terminos de la sucesion anterior son alternadamente
positivos y negativos, entonces la funcion tendra un maximo
relativo.
3. En otro caso no se puede asegurar nada, puede existir o no
extremo relativo.
Para funciones de dos variables, se tiene que si Δ2f(a) < 0
entonces a no es extremo relativo de f .
Para los casos no contemplados anteriormente es necesario un anali-
sis en las proximidades del punto crıtico para determinar si este es o
no un extremo relativo de la funcion.
396
Ejemplo
Calcula los extremos relativos de la funcion f(x, y) = xy + 50x + 20
y
con x > 0 e y > 0;
Solucion.
∂f
∂x(x, y) = y − 50
x2= 0 ⇒ yx2 − 50 = 0 ⇒ y =
50
x2
∂f
∂y(x, y) = x− 20
y2= 0 ⇒ xy2 − 20 = 0
Sustituyendo el valor de y de la primera ecuacion en la segunda:
x502
x4− 20 = 0 ⇒ 125 = x3 ⇒ x = 5 e y =
50
x2= 2
Ası que debemos estudiar la presencia de un extremo relativo solo
en el punto (5, 2), para ello calculamos el Hessiano en dicho punto.
∂2f
∂x2(x, y) =
100
x3
∂2f
∂y2(x, y) =
40
y3
∂2f
∂x∂y(x, y) =
∂2f
∂y∂x(x, y) = 1
Hf(x, y) =
⎛⎝100
x3 1
1 400y3
⎞⎠⇒ Hf(5, 2) =
⎛⎝100
1251
1 5
⎞⎠
397
Ahora la sucesion 1, Δ1, Δ2 es 1 > 0, 100125 > 0, 500
125 − 1 > 0, luego en
(5, 2) la funcion f presenta un mınimo relativo.
Ejemplo
Calcula los extremos relativos de la funcion f(x, y) = xy log(x2+y2)
siendo (x, y) �= (0, 0);
Solucion.
Empezamos haciendo las parciales para buscar los puntos candidatos
a extremos:
∂f
∂x(x, y) = y log(x2 + y2) + xy
1
x2 + y22x = 0,
∂f
∂y(x, y) = x log(x2 + y2) + xy
1
x2 + y22y = 0,
Ahora resolvemos este sistema:
y log(x2 + y2) = − 2x2y
x2 + y2, (20)
x log(x2 + y2) = − 2xy2
x2 + y2, (21)
de aquı deducimos:
y
x=
2x2y
2xy2=
x
y⇒ y2 = x2 ⇒ y = ±x
398
Sustituyendo el valor obtenido para y en la ecuacion (20):
±x log(2x2) = ∓x⇒ ±x log(2x2)± x = 0
⇒ ±x(log(2x2) + 1) = 0 ⇒ log(2x2) + 1 = 0
⇒ log(2x2) = −1 ⇒ e−1 = 2x2 ⇒ 1
2e= x2
⇒⎧⎨⎩ x = 1√
2e
x = 1−√2e
Ası que los puntos donde posiblemente se encuentran los extremos
relativos son:
p1 =
(1√2e
,1√2e
)p2 =
(1√2e
,− 1√2e
)p3 =
(− 1√
2e,− 1√
2e
)p4 =
(− 1√
2e,
1√2e
)Estudiamos ahora el hessiano de f :
399
∂2f
∂x2(x, y) = y
2x
x2 + y2+
4xy(x2 + y2)− 2x · 2x2y
(x2 + y2)2
= y2x
x2 + y2+
4xy3
(x2 + y2)2
∂2f
∂y2(x, y) = x
2y
x2 + y2+
4xy(x2 + y2)− 2y · 2y2x
(x2 + y2)2
= y2x
x2 + y2+
4yx3
(x2 + y2)2
∂2f
∂x∂y(x, y) = log(x2 + y2) + y
2y
x2 + y2+
2x2(x2 + y2)− 2y · 2x2y
(x2 + y2)2
= log(x2 + y2) +2y2
x2 + y2+
2x4 − 2x2y2
(x2 + y2)2
Finalmente calculamos el hessiano, para ello distinguiremos dos ca-
sos, primero lo calcularemos en los puntos en los que x = y, p1 y p3,
y luego lo calcularemos en los puntos en los que x = −y, p2 y p4.
Es importante que te des cuenta de que no hace falta recurrir al valor
exacto de x e y, lo que simplifica los calculos.
Puntos p1 y p3.
Hf(p1) = Hf(p3) =
⎛⎝2 0
0 2
⎞⎠
Para estos dos puntos, como la sucesion 1,Δ1 = 2, Δ1 = 4, esta formada
por terminos positivos se deduce que en ellos hay un mınimo relativo.
400
Puntos p2 y p4.
Hf(p2) = Hf(p4) =
⎛⎝−2 0
0 −2
⎞⎠
Para estos dos puntos, como la sucesion 1,Δ1 = −2, Δ2 = 4, esta for-
mada por terminos alternadamente positivos y negativos se deduce que
en ellos hay un maximo relativo.
9.1. Multiplicadores de Lagrange
En este apartado presentamos el metodo de los multiplicadores de
Lagrange para calcular extremos de una funcion condicionados por
algunas ligaduras, aprenderemos pues a resolver problemas del estilo:
“encontrar los puntos que estan sobre el cilindro de ecuacion x2+y2 = 1
y sobre el plano de ecuacion x + y + z = 1 y cuya distancia al origen
de coordenadas sea maxima o mınima”, en este problema, se trata de
encontrar un maximo o un mınimo de la funcion f(x, y, z) = x2+y2+z2
cuando la consideramos definida solo en el conjunto {(x, y, z) ∈ R3 :
x2 + y2 + z2 = 1, x + y + z = 1}.
Planteamiento del problema. Sea D un conjunto abierto de Rp+q, f una
funcion real definida sobre D y g1, g2, . . . , gp : D → R funciones de
401
clase C1 tales que el rango 13 de la matriz(∂gi
∂xj
)(i,j)∈{1,...,p}×{1,...,p+q}
sea igual a p. Sea S el conjunto definido por S = {x ∈ D : gi(x) =
0, i = 1, . . . , p} y sea a ∈ S.
Se dice que el punto a es un maximo relativo condicionado (resp.
mınimo relativo condicionado) por las ecuaciones gi(x) = 0, i =
1, . . . p, cuando existe un entorno U de a tal que f(a) ≥ f(x) (resp.
f(a) ≤ f(x)) para todo x ∈ S ∩ U .
Con estas definiciones se tiene la siguiente relacion necesaria para la
existencia de extremos relativos condicionados.
Teorema (Condicion necesaria). Si la funcion anterior f es
de clase C1, para que la funcion f tenga un maximo relativo con-
dicionado en el punto a es necesario que existan numeros reales
λ1, λ2, . . . , λp tales que la funcion
L = f + λ1g1 + λ2g2 + · · · + λpgp
tenga nulas todas sus derivadas parciales primeras en a (los nume-
ros λi reciben el nombre de multiplicadores de Lagrange).
Teorema (Condicion suficiente). Supongamos que tanto las
funciones gi como la funcion f son de clase C2 y existen numeros13Esta condicion viene a expresar que ninguna ligadura es redundante
402
reales λ1, λ2, . . . , λn tales que la funcion L = f + λ1g1 + . . . λpgp
tiene todas sus primeras derivadas parciales en a ∈ D ∩ S nu-
las. Entonces para que f tenga en a un mınimo (resp. maximo)
relativo condicionado es suficiente que se verifique:
h (Hp+qL(a)) ht > 0 (resp.h (Hp+qf(a)) ht < 0),
para todo vector h = (h1, h2, . . . , hn) �= 0 tal que Jgi(a)ht = 0 para
todo i ∈ 1, . . . , p.
Esta vision general del metodo plantea problemas para entenderlo,
por lo que daremos seguidamente, como proceder en los casos en que
D sea un abierto de R2 o R3.
El metodo de los multiplicadores de Lagrange en R2. Supongamos que f es
una funcion de clase C2 definida sobre un conjunto abierto D de R2,
sea el conjunto de ligaduras S = {(x, y) ∈ D | g(x, y) = 0}, siendo g
una funcion real de clase C2 definida sobre D. Para aplicar el metodo
de los multiplicadores de Lagrange consideraremos la funcion
Fλ : D −→ R
(x, y) → f(x, y) + λg(x, y).
Entonces resolvemos el sistema que sigue, teniendo en cuenta las
403
condiciones de ligadura, ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
∂Fλ∂x (x, y, λ) = 0,
∂Fλ∂y (x, y, λ) = 0,
g(x, y) = 0,
ahora, los puntos solucion son candidatos a extremos relativos condi-
cionados de f .
Sea (x0, y0) uno de los candidato a extremo relativo condicionado,
siendo λ0 el valor de λ que dio lugar a tal solucion. Planteamos la
ecuacion∂g
∂x(x0, y0)h1 +
∂g
∂y(x0, y0)h2 = 0,
de la que despejamos una de las dos incognitas, h1 o h2, en funcion de
la otra.
Por ultimo evaluamos con la incognita despejada la expresion:
(h1, h2) ·H2Fλ0(x0, y0) ·⎛⎝ h1
h2
⎞⎠
=∂2Fλ0
∂x2(x0, y0)h
21 + 2
∂2Fλ0
∂xy(x0, y0)h1h2 +
∂2Fλ0
∂y2(x0, y0)h
22,
y se tiene:
1. Si la expresion es siempre positiva, entonces (x0, y0) es un mınimo
relativo condicionado de f .
404
2. Si la expresion es siempre negativa, entonces (x0, y0) es un maximo
relativo condicionado de f .
3. En otro caso tendremos que analizar en las proximidades de (x0, y0)
si este es o no un extremo relativo condicionado.
Ejemplo
Calcular los extremos de la funcion que sigue f(x, y) = xy si x+y =
1;
Solucion. La funcion de Lagrange sera:
L(x, y) = xy + λ(x + y − 1)
y se deben satisfacer las condiciones:
∂L∂x
(x, y) = y + λ = 0,
∂L∂y
(x, y) = x + λ = 0,
g(x, y) = x + y − 1 = 0
⎫⎪⎪⎪⎪⎬⎪⎪⎪⎪⎭⇒ y = −λ = x,
−2λ− 1 = 0
⎫⎬⎭⇒
⎧⎨⎩ λ = −1
2,
x = y = 12.
Ası que el punto candidato a extremo relativo es (x, y) = (1/2, 1/2)
para λ = −1/2.
Calculamos el jacobiano de g: Jg(x, y) = (1, 1) ⇒ Jg(1/2, 1/2) =
(1, 1). Calculamos seguidamente los vectores (h1, h2) tales que:
(∂g
∂x(1/2, 1/2),
∂g
∂y(1/2, 1/2)
)⎛⎝h1
h2
⎞⎠ = 0 ⇒ h1+h2 = 0 ⇒ h2 = −h1.
405
Ahora hacemos el calculo del hessiano de L para λ = −1/2:
∂2L∂x2 (x, y) = 0 ∂2L
∂x∂y(x, y) = 1
∂2L∂y2 (x, y) = 0
HL(x, y) =
⎛⎝0 1
1 0
⎞⎠
Estudiamos el signo de (h1, h2)HL(x, y)(h1, h2)t cuando h2 = −h1 �=
0 y x = y = 1/2:
(h1, h2)
⎛⎝0 1
1 0
⎞⎠⎛⎝ h1
−h1
⎞⎠ = (h1,−h1)
⎛⎝ h1
−h1
⎞⎠ = −h2
1 − h21 < 0
Ası que en el punto (1/2, 1/2) es un maximo condicionado.
Ejemplo
Calcula los extremos condicionados de la siguiente funcion f(x, y) =
cos 2x + cos 2y si x− y = π4 ;
Solucion. Estudiaremos la funcion lagrangiana:
L(x, y) = cos 2x + cos 2y + λ(x− y − π/4),
∂L
∂x= −2cos xsen x + λ = 0 ⇒ 2cos xsen x = λ,
∂L
∂y= −2cos ysen y + λ = 0 ⇒ 2cos ysen y = λ.
406
Por otro lado impondremos la ligadura:
g(x, y) = x− y − π/4 = 0 ⇒ x− y = π/4.
Ası que:
sen (2x) = λ,
sen (2y) = λ,
x− y = π/4.
Resolvemos este sistema y obtenemos:
x = π/4 + y,
sen (π/2 + 2y) = λ = sen (π/2)cos (2y) + cos (π/2)sen (2y) ⇒ cos (2y) = λ.
Ahora tenemos:
cos (2y) = λ
sen(2y) = −λ
⎫⎬⎭⇒ tan(2y) = −1 ⇒ 2y = −π/4 + kπ, k ∈ Z
⇒⎧⎨⎩ y = −π
8 + kπ/2,
x = π8 + kπ/2, k ∈ Z.
407
Ası que los puntos candidatos a extremos condicionados son:
(xk, yk) = (π
8+ kπ/2,−π
8+ kπ/2), k ∈ Z,
λk = sen (2xk) = sen (π
4+ kπ) = (−1)k
√2
2.
Calculamos ahora el jacobiano de g en estos puntos:
Jg(xk, yk) = (1,−1),
y ahora los vectores (h1, h2) tales que Jg(xk, yk)(h1, h2)t = 0 :
(1,−1)
⎛⎝ h1
h2
⎞⎠ = 0 ⇒ h1 − h2 = 0 ⇒ h1 = h2.
Estudiamos el hessiano para decidir si hay extremos condicionados:
∂2L
∂x2= −2cos (2x) ∂2L
∂x∂y = 0
∂2L
∂y2= −2cos (2y)
H2L(xk, yk) =
⎛⎝−2cos (2xk) 0
0 −2cos (2yk)
⎞⎠ =
⎛⎝−2
√2
2 (−1)k 0
0 −2√
22 (−1)k
⎞⎠
=
⎛⎝√2(−1)k+1 0
0√
2(−1)k+1
⎞⎠
408
Finalmente computamos el signo de (h1, h1)H2L(xk, yk)(h1, h1)t pa-
ra todo h1 > 0:
(h1, h1)H2L(xk, yk)(h1, h1)t = (h1, h1)
⎛⎝√2(−1)k+1 0
0√
2(−1)k+1
⎞⎠ (h1, h1)
t
= (h1, h1)
⎛⎝h1
√2(−1)k+1
h1
√2(−1)k+1
⎞⎠ = h2
1
√2(−1)k+1 + h2
1
√2(−1)k+1 =
2h21
√2(−1)k+1
Ası que si k es par entonces 2h21
√2(−1)k+1 < 0 y tenemos un maxi-
mo condicionado en (xk, yk). Por el contrario si k es impar entonces
2h21
√2(−1)k+1 > 0 y tenemos un mınimo condicionado en (xk, yk).
409
10. El teorema de la funcion implıcita
Teorema. Sea D un subconjunto abierto de Rn×Rm, supongamos
que fi = fi(x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) ∈ Ck(D, R) 1 ≤ i ≤ m, k ∈ N, y
sea (a,b) = (a1, . . . , an, b1, . . . , bm) ∈ D. Supongamos que∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
∂f1∂y1
(a,b) ∂f1∂y2
(a,b) . . . ∂f1∂ym
(a,b)
∂f2∂y1
(a,b) ∂f2∂y2
(a,b) . . . ∂f2∂ym
(a,b)
... ... . . . ...
∂fm∂y1
(a,b) ∂fm∂y2
(a,b) . . . ∂fm∂yn
(a,b)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣�= 0.
Entonces existe un subconjunto abierto U de Rn tal que (a1, . . . , an) ∈U , un subconjunto abierto V de Rm tal que (b1, . . . , bm) ∈ V y una
unica funcion ϕ ∈ Ck(U, V ) con funciones coordenadas ϕ1, . . . , ϕm
tales que:
1. U × V ⊆ D.
2. fi(x1, . . . , xn, ϕ1(x1, . . . , xn), . . . , ϕm(x1, . . . , xn)) = 0, 1 ≤ i ≤m. Ademas, si (x1, . . . , xn) ∈ U y si (x1, . . . , xn, y1, . . . , ym) ∈U × V verificando que f(x1, . . . xn, y1, . . . , ym) = 0 entonces
ϕ(x1, . . . , xn) = (y1, . . . , ym).
3. ϕ(a1, . . . , an) = (b1, . . . , bm).
410
Aunque este resultado no nos da una expresion de ϕ, de las ecuacio-
nes fi(x1, . . . , xn, ϕ(x1, . . . , xn)) = 0, 1 ≤ i ≤ m, se pueden obtener
las derivadas parciales de ϕ en (a1, . . . , an) y ası, se puede obtener una
aproximacion de ϕ en un entorno de (a1, . . . , an) mediante un polino-
mio de Taylor. Estos calculos se veran en las clases de problemas.
Ejemplo
Comprobar que el sistema de ecuaciones⎧⎨⎩ x + y + z = 0
x− y − 2xz = 0
define a (x, y) como funciones implıcitas de z en un abierto del punto
z = 0 con los valores (x, y) = (0, 0) . Calcular las derivadas primeras y
segundas de dicha funcion en el punto considerado.
Solucion.
Definimos las funciones:
f1(x, y, z) = x + y + z
f2(x, y, z) = x− y − 2xz
Puesto que:
1. f1(0, 0, 0) = f2(0, 0, 0) = 0 y
2.
∣∣∣∣∣∣∂f1∂x
(0, 0, 0) ∂f1∂y
(0, 0, 0)
∂f2∂x
(0, 0, 0) ∂f2∂y
(0, 0, 0)
∣∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣1 1
1 −1
∣∣∣∣∣∣ = −2 �= 0,
411
deducimos:
1. Existe un abierto U de (0, 0) y V de 0 tales que U × V ⊂ R3.
2. Existe
ϕ : V → U
z → (ϕ1(z), ϕ2(z))
tal que fi(ϕ1(z), ϕ2(z), z) = 0 para todo z ∈ V y para i ∈ {1, 2}.Tanto ϕ1 como ϕ2 son funciones de clase C∞.
3. ϕ1(0) = 0 = ϕ2(0).
Ahora usamos que ϕ1(z) + ϕ2(z) + z = 0 y que ϕ1(z) − ϕ2(z) −2zϕ1(z) = 0. Derivamos ambas expresiones y obtenemos: ϕ′1(z) +
ϕ′2(z) + 1 = 0 y ϕ′1(z) − ϕ′2(z) − 2ϕ1(z) − 2zϕ′1(z) = 0. Particu-
larizando ahora ambas expresiones en z = 0 tenemos:
ϕ′1(0) + ϕ′2(0) + 1 = 0,
ϕ′1(0)− ϕ′2(0) = 0.
Resolviendo este sistema se tiene que ϕ′1(0) = −12 = varphi′2(0).
412
11. El teorema de la funcion inversa
Teorema (Funcion inversa). Sea D un subconjunto abierto de
Rn, f : D → Rn una funcion de clase Ck, k ∈ N, y a ∈ D tal que
|Jf(a)| �= 0. Entonces existen subconjuntos abiertos de Rn, U y V ,
tales que:
1. a ∈ U y f(a) ∈ V .
2. f|U : U → V es biyectiva y f−1 : V → U es de clase Ck
3. Jf−1(f(y)) = (Jf(x))−1 para todo y ∈ V y x ∈ U tales que
f(x) = y.
413