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Apuntes de Álgebra y Cálculo matricial Curso 2019/2020

1

BLOQUE DE ÁLGEBRA Y CÁLCULO MATRICIAL 1. DEFINICIÓN DE MATRIZ Una matriz es una tabla de números colocados en filas y columnas. Las representamos incluyendo los datos entre unos paréntesis grandes. Las filas son horizontales y las columnas son verticales. El primer índice indica la fila y el segundo indica la columna. Decimos que una matriz es de dimensión n x p cuando tiene n filas y p columnas.

nxpijaA

npnn

p

p

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

Dos matrices son iguales si tienen las mismas dimensiones y son iguales elemento a elemento.

BA ijij ba ji,

1.1 Tipos de matrices según su forma

Matriz fila: es una matriz de la forma 1 x p. También se llama vector fila. 213 A

Matriz columna: es una matriz de la forma n x 1. También se llama vector columna.

1

5

2

A

Matriz rectangular: Es una matriz en la que n ≠ p

22

51

12

A

Diagonal principal de una matriz: es la diagonal que va de izquierda a derecha y de arriba abajo. Son los

elementos iia

Matriz cuadrada de orden n: Es aquélla donde hay el mismo número de filas y de columnas, n=p

112

201

132

A

1.2 Tipos de matrices cuadradas

Matriz diagonal: Es una matriz en la cuál todos los elementos fuera de la diagonal principal son nulos,

0ija ji, ji

300

020

001

A

Matriz triangular inferior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son cero

300

120

321

A

Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos encima de la diagonal

principal son cero

312

022

001

A


2

Matriz simétrica: es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal principal son iguales.

945

417

572

3 x 3A

Matriz antisimétrica: es una matriz cuadrada en la que los elementos simétricos respecto de la diagonal

principal son opuestos. Los elementos de la diagonal principal deben ser ceros.

036

305

650

3 x 3A

Matriz unidad o identidad: Es una matriz cuadrada y escalar que sólo tiene unos en la diagonal principal,

1iia ; 0ija ji, ji

100

010

001

A

Matriz escalar: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

300

030

003

A

2. OPERACIONES CON MATRICES 2.1 Suma de matrices Para sumar dos matrices, tienen que tener la misma dimensión para poder sumar elemento a elemento. El resultado es otra matriz de la misma dimensión. Ejemplo:

172

031

231

A

411

122

311

B

581

151

522

BA

2.1.1 Propiedades de la suma a) Asociativa: A + ( B + C ) = ( A+ B ) + C b) Conmutativa: A + B = B + A c) Matriz nula o elemento neutro para la suma: Es la matriz que tiene todos los elementos nulos. A + O

= O + A = A d) Matriz opuesta: Es la que obtenemos al cambiar de signo a todos sus elementos. Se verifica:

A + ( - A ) = ( - A ) + A = 0 2.2 Resta de matrices Para restar dos matrices, deben tener la misma dimensión para poder restar elemento a elemento. Ejemplo:

172

031

231

A

411

122

311

B

363

113

140

BA

2.3 Producto de un número real por una matriz Multiplicamos dicho número por cada uno de los elementos de la matriz. Ejemplo:

172

031

231

A

2144

062

462

2A


3

Ejercicio 1: Dadas las matrices

605

432A y

472

305B , calcula

BAb

BAa

)

)

BAd

BAc

53)

32)

2.4 Producto de matrices 2.4.1 Producto de una matriz fila por una matriz columna El producto de una matriz fila por una matriz columna lo obtenemos multiplicando elemento a elemento y sumando los resultados. Sólo se pueden multiplicar filas y columnas cuando tienen el mismo número de elementos.

136103).1()2.(35.2

3

2

5

132

2.4.2 Producto de dos matrices Para poder multiplicar dos matrices, la primera tiene que tener tantas columnas como filas la segunda. El resultado es una matriz que tiene tantas filas como la primera y tantas columnas como la segunda. Se obtiene multiplicando cada fila de la primera matriz por cada columna de la segunda matriz.

nxqpxqnxp CBA

Ejemplo:

312

022

001

33xA

00

20

13

23xB

46

66

13

)( 23xBA


603

215A y

0350

2123

1052

B

a) Razona si se puede realizar el producto BA y, en caso de que se pueda, hazlo.

b) Razona si se puede realizar el producto AB y, en caso de que se pueda, hazlo. 2.4.3 Propiedades del producto

a) Asociativa: CBACBA )()(

b) No conmutatividad (de hecho, a veces no puede ni siquiera multiplicarse) ABBA Matriz unidad o elemento neutro del producto: En el producto de matrices cuadradas, es la matriz

nxnI , identidad. Se verifica AAIIA

c) El producto no es simplificable: CABA NO CB

Si el producto de dos matrices es la matriz nula, no necesariamente alguna de ellas es nula

0BA NO 0 A Ó 0B

2.4.4 Propiedad distributiva del producto respecto de la suma

CABACBA )(

ACABACB )(

2.5 Trasposición de matrices Se llama matriz traspuesta a la matriz que obtenemos al cambiar las filas por las columnas. Si una matriz es de

dimensión n x p, su traspuesta es de dimensión p x n. La traspuesta de la matriz A la representamos por TA y se

lee “traspuesta de A”. Ejemplo:

011

002A

00

10

12TA


4

2.5.1 Propiedades de la trasposición de matrices

a) AATT

b) TTTBABA

c) TTT

ABBA


605

432A y

472

305B

TTT

T

BABACompruebab

Aa

)

)


05

32A y

51

24B comprueba que TTT

ABBA

Ejercicio 5: Escribe un ejemplo de cada uno de los siguientes casos. ¿Qué tipo de matrices son?

T

T

AAb

AAa

)

)

2.6 Potencia de una matriz Para calcular la potencia de una matriz, tiene que ser cuadrada. Y definimos la potencia de matrices, de la misma manera que la potencia de números, mediante un producto.

AAAn ..........

n veces

Ejemplo: Sea

100

010

001

A , entonces

100

010

001

100

010

001

100

010

0012A

2.6.1 Potencias repetidas Algunas veces nos piden hallar una potencia muy alta de una matriz. En este caso hacemos las primeras

potencias y comprobamos que se cumple una pauta o regla. Por ejemplo, en el caso anterior, calculamos la tercera y cuarta potencias:

AAIAAA 3

23

3

34 IAAAAA

Está claro que en nuestro caso, cualquier potencia de índice par es la matriz identidad y cualquiera de índice impar coincide con A.

Ejercicio 6: Dada la matriz

01

10A calcula

nAAA ,, 102

. Haz lo mismo para

11

01B

Ejercicio 7: Comprueba que OIAA 3

2 2 siendo

011

101

110

A

Ejercicio 9: Sean CBA y , tres matrices tales que el producto CBA es una matriz 2 x 3 y el producto

tCA es una matriz cuadrada. Calcula, razonando la respuesta, las dimensiones de CBA y , .

Ejercicio 10: Sean las matrices

514

123

436

y

001

011

110

BA . Estudia si existe algún valor de

para el cual se satisfaga BIA 2

.


5

Ejercicio 11: Resuelve el siguiente sistema matricial:

8325

20296

10320

7793

BA

BA

3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADDA

El determinante de una matriz cuadrada es un número. Se representa cambiando los paréntesis de la matriz por barras verticales.

97

52A

97

52 A

3.1 Determinante de una matriz de orden 2 por la regla de Sarrus

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa

22018546365

43

3.2 Determinante de una matriz de orden 3 por la regla de Sarrus

332112113223312213312312133221332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

Ejemplos:

1046013600

013

110

121

2715318004810584960

087

654

321

Ejercicio 12: Calcula el valor de los siguientes determinantes:

12

23

63

21

443

231

102

600

540

321

Ejercicio 13: Calcula x para que el valor del determinante de A sea -2.

01

230

102

x

A


6

3.3 Propiedades de los determinantes. [IMPORTANTE: Cuando se habla de línea de una matriz es una fila o una columna indistintamente.]

Cas

os

en lo

s q

ue

el d

eter

min

ante

es

cero

Si una matriz tiene una línea de ceros. 0

000

654

321

0

602

504

701

Si una matriz tiene dos líneas paralelas iguales u opuestas.

0

543

876

543

0

177

455

311

Si una matriz tiene dos líneas paralelas proporcionales.

0

875

963

321

0

1583

1072

511

12 3FF

13 5CC

Si una matriz tiene una línea que es combinación lineal de otras paralelas.

0

1296

654

321

0

246

385

451

213 2 FFF

312 CCC

Cambiar dos líneas paralelas. Si en una matriz se cambian dos líneas paralelas, su determinante cambia de signo.

27

654

087

321

27

087

654

321

32

FF

Cambiar una línea por una combinación lineal. Si en una matriz se cambia una línea por una combinación lineal de ella con las restantes, su determinante no varía.

122 2´

087

654

321

FFF

087

012

321

Descomponer en una suma. Un determinante se puede descomponer en la suma de otros dos de forma que tenga todas las líneas iguales menos una, cuya suma sea la del primero. 087

654

210

087

654

111

087

654

321

Multiplicación por un número. Para multiplicar un determinante por un número, se multiplica el número por cada elemento de UNA línea y sólo una. Por tanto, en una línea se pueden sacar los factores comunes.

087

302520

321

087

654

321

5

087

254

121

3

087

654

321

Determinante de la matriz traspuesta.

tAA 53

42

54

32

Determinante del producto de dos matrices.

BABA

6896

42

75

31

8352

312048

Determinante de la potencia de una matriz

nn AA

4)2(54

322

2


7

Ejercicio 14: Calcula sin desarrollar el segundo determinante, sabiendo lo que vale el primero.

2

ihg

fed

cba

hihg

efed

bcba

2

2

2

Ejercicio 15: Sabiendo lo que vale el primer determinante, calcula el resto.

5

111

203

zyx

111

102/3

222 zyx

111

23333

zyx

zyx

zyx

111

314

111 zyx

3.4 Desarrollo práctico de un determinante en una matriz de cualquier orden

Un determinante es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos correspondientes.

El menor complementario de un elemento ija

de una matriz es el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila y la columna

correspondiente al elemento ija. Se representa

por ijM.

Ejemplo: Halla el menor complementario del elemento 12a

:

4242007

64

087

654

321

12

M

El adjunto de un elemento ija

de una matriz es el menor complementario con un signo positivo o negativo según sea par o impar la suma de la fila y

la columna. Se representa por ijA. Se tiene que:

ij

ji

ij MA

1

Ejemplo: Halla el adjunto del elemento 12a

en la siguiente matriz:

4242107

641

087

654

32121

12

A

a) Si el determinante es de orden 2 o 3, se puede aplicar Sarrus directamente. b) Si el determinante es de orden 3 o mayor que 3, se hacen ceros todos los elementos de una línea

mediante el siguiente procedimiento: Se elige la línea más cómoda, la que tenga un 1, un -1 o un número que sea divisor del resto de los

elementos de la línea, y si tiene algunos ceros, mejor. Se hacen ceros el resto de los elementos de la línea, cada vez uno, sumándole o restándole otra

línea paralela multiplicada por un número. Se desarrolla el determinante por los elementos de esta línea y será igual al elemento elegido

multiplicado por su adjunto. c) El procedimiento se sigue para órdenes superiores a 3.

Ejercicio 16: Calcula el valor de este determinante:

eVandermondde

anteDeter

cba

cba

min

222

111

4. MATRIZ INVERSA.

Definición: La matriz inversa de A es una matriz que se representa por 1A y verifica: IAAAA 11

Definición: Decimos que una matriz A es regular o invertible cuando 0A

4.1 Matriz adjunta Definición: La matriz adjunta de una matriz es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto.

nnnn

n

n

AAA

AAA

AAA

AAdj

...

............

...

...

)(

21

22221

11211


8

4.2 Cálculo práctico de la matriz inversa

La matriz inversa de A es la traspuesta de su matriz adjunta dividida por el determinante de la matriz.

Pro

ced

imie

nto

:

¿Existe inversa?

a) A ha de ser una matriz cuadrada (para que se pueda hallar el determinante);

b) 0A

(para que se pueda dividir entre él);

Cálculo de la matriz inversa de A :

c) AAdj

d) tAAdj

e)

tAAdjA

A11

Ejercicio 17: Halla la matriz inversa de

867

015

432

A

Ejercicio 18: Halla los valores de k para los que la matriz A tiene inversa.

k

kA

9

4

Ejercicio 19: Si A

43

21 , calcular AAAt 21

5. ECUACIONES MATRICIALES Muchas de las ecuaciones matriciales se pueden resolver directamente; para ello se despeja la matriz incógnita y luego se hacen las operaciones, teniendo en cuenta lo siguiente:

Una matriz que está sumando pasa al otro miembro restando.

Una matriz que está multiplicando se multiplica en ambos miembros por la inversa, PERO multiplicando por el mismo lado que estaba.

Ejercicio 20: Resuelve la ecuación matricial CBAX 2 , sabiendo que

25

13A

54

32B

1816

129C

Ejercicio 21: Resolver la ecuación matricial: OCBAX , siendo

A

01

14

0112

1021B

0301

1210C

6. RANGO DE UNA MATRIZ.

6.1 Dependencia e independencia lineal Un vector fila de una matriz A es cualquiera de sus filas. Un vector columna de una matriz A es cualquiera de sus columnas.

Definición: Se dice que un vector w

es linealmente dependiente de los vectores nvv

,...,,v 21 si es combinación

lineal de ellos. Es decir, si i tales que nnvv

.....w 11

Definición: Se dice que un vector w

es linealmente independiente de los vectores nvv

,...,,v 21 si no es combinación lineal de ellos. Es decir, si la igualdad anterior no se puede cumplir.


9

6.2 Rango de una matriz Definición: El rango de una matriz A, de cualquier orden, es el número máximo de vectores fila o de vectores columna de A que son linealmente independientes. Se escribe rg(A). El rango de una matriz coincide con el orden de la mayor submatriz de A cuyo determinante es distinto de 0 (el orden mayor de los determinantes distintos de cero que se pueden formar con los elementos de la matriz en sus posiciones relativas). Ejemplo: Vamos a hallar todos los determinantes que se pueden formar en la matriz

320

201A

De orden 1. Es cada uno de los elementos de la matriz: 1 ; 0 ; 2 ; 0 ; 2 ; y 3 . De orden 2. Es el determinante de todas las combinaciones posibles entre dos filas y dos columnas de la matriz:

; 220

01

; 330

21

432

20

De orden 3. No hay, pues necesitaríamos como mínimo tres filas en A . Ejercicio 22: Halla todos los determinantes que se pueden formar en la matriz B.

122

200

111

B

6.3 Determinación general del rango de una matriz Si Si

Si

3cero de distinto 3orden dedet un existe

2nulosson 3orden dedet los todosy 2

ARango

ARangoARango

Ejercicio 23: Calcula el rango de esta matriz

3221

4102

1321

A

Ejercicio 24: Halla el rango de B según los valores de a

a

a

a

B

11

11

11

Ejercicio 25: Calcula el rango de C según los valores del parámetro k.

0331

13

1331

kkC

2cero de distinto 2orden dedet un existe

1nulosson 2orden de det los todosy

ARango

ARangoOA

0 ARangoOA


10

7. SISTEMAS DE ECUACIONES Sistema lineal heterogéneo: es aquel en el que no todos los términos independientes son nulos.

82

0 43

2 2

zyx

zyx

zyx

Sistema lineal homogéneo: es aquel en el que todos los términos independientes son nulos.

02 3

0 32

0

zyx

zyx

zyx

Según su número de soluciones, los sistemas pueden ser:

Incompatibles: si no tienen solución.

Compatibles: si tienen solución.

Determinado: si la solución es única. Indeterminado: si existe más de una solución (infinitas soluciones)

7.1 Expresión matricial de un sistema

Dado un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas:

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

Llamamos expresión matricial de este sistema a la expresión:

mnmnmm

n

n

b

b

b

x

x

x

aaa

aaa

aaa

...

...

...

............

...

...

2

1

2

1

21

22221

11211

es decir, BXA siendo A= matriz de los coeficientes, X=matriz de las incógnitas; B=matriz de los términos independientes

También llamamos matriz ampliada, *A , del sistema a la matriz formada por los coeficientes de las incógnitas

y los términos independientes de cada ecuación.

...

...

............

...

...

2

1

21

22221

11211

*

mmnmm

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

A

8. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS. DISCUSIÓN DE SISTEMAS

El sistema BXA es compatible *ARangoARango

Discutir o estudiar un sistema consiste en clasificarlo sin resolverlo, aplicando el teorema de Rouché-Fröbenius.

Si *ARangoARango , el sistema es incompatible.

Si *ARangoARango

el sistema es compatible

Si coincide con el número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Si es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado.

En la práctica, es muy cómodo ir haciendo ceros hasta convertir A en una matriz triangular inferior.


11

Ejercicio 26: Estudia el número de soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)

234

0 2 2

2 3

zyx

zx

zyx

b)

2 33

0 2 2

2 3

zyx

zx

zyx

c)

8 33

0 2 2

2 3

zyx

zx

zyx

d)

1558

22

432

zyx

zyx

zyx

e)

432

543

12

zyx

zyx

zyx

Ejercicio 27: Discute, en función de los valores que tome cada parámetro, los sistemas de ecuaciones: a) b) c)

62

32

zyx

zyx

zyx

1

11

1

tyx

ytx

ytx

0

02

0

myx

mzy

ymx

9. REGLA DE CRAMER. RESOLUCIÓN DE SISTEMAS. 9.1 Regla de Cramer

Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

si se cumple que el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo, 0A , entonces el sistema es

compatible determinado, y su solución es: A

Ax

ix

i para ni ..., ,2 ,1 , siendo ixA la matriz que resulta

de sustituir en la matriz A la columna de los coeficientes de ix por la columna de los términos independientes.

Ejercicio 28: Resuelve por Cramer estos sistemas:

4323

0 2 2

2 32

zyx

zx

zyx

3 3

83

5 3

zyx

zyx

zyx

432

523

82

zyx

zyx

zyx

9.2 Generalización de la regla de Cramer Veamos cómo se puede utilizar la regla de Cramer para calcular la solución de un sistema, con cualquier número de ecuaciones y de incógnitas, que sea compatible indeterminado.

Resolvamos el sistema:

322

1 2

2 3

zyx

zyx

zyx

1er paso: Comprobamos que el sistema es compatible indeterminado.

3

1

2

221

112

113*A

0A ; 012

13

2ARango

0

321

112

213

; 012

13

2* ARango

incógnitasn

ARangoARango

º

2 *

El sistema es compatible indeterminado


12

2º paso: Tomamos como referencia las ecuaciones y las incógnitas que representan al determinante que hemos encontrado distinto de cero. Así, eliminamos el resto de ecuaciones del sistema y pasamos al segundo miembro el resto de incógnitas. x y 1ª ecuación

2ª ecuación

012

13

Eliminamos la 3ª ecuación y pasamos z al segundo miembro.

El nuevo sistema que obtenemos es:

zyx

zyx

12

23

3er paso: Aplicamos la regla de Cramer al nuevo sistema.

5

1

12

13

11

12

z

z

x 5

75

12

13

12

23

zz

z

y

La solución de nuestro sistema queda: 5

1x ,

5

75

y , z , con .

EJERCICIOS DE SELECTIVIDAD 2015 Ejercicio 1

Ejercicio 2

Ejercicio 3

Ejercicio 4


13

Ejercicio 5

Ejercicio 6

Ejercicio 7

Ejercicio 8

Ejercicio 9

Ejercicio 10

Ejercicio 11


14

Ejercicio 12

2014 Ejercicio 13

Ejercicio 14

Ejercicio 15

Ejercicio 16

Ejercicio 17


15

Ejercicio 18

Ejercicio 19

Ejercicio 20

Ejercicio 21

Ejercicio 22

Ejercicio 23


16

Ejercicio 24

2013 Ejercicio 25

Ejercicio 26

Ejercicio 27

Ejercicio 28

Ejercicio 29


17

Ejercicio 30

Ejercicio 31

Ejercicio 32

Ejercicio 33

Ejercicio 34

Ejercicio 35


18

Ejercicio 36

2012 Ejercicio 37

Ejercicio 38

Ejercicio 39

Ejercicio 40

Ejercicio 41

Ejercicio 42


19

Ejercicio 43

Ejercicio 44

Ejercicio 45

Ejercicio 46

Ejercicio 47

Ejercicio 48


20

2016 Ejercicio 49

Ejercicio 50

Ejercicio 51

Ejercicio 52

Ejercicio 53

Ejercicio 54


21

Ejercicio 55

Ejercicio 56

Ejercicio 57

Ejercicio 58

Ejercicio 59

Ejercicio 60

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