Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 2 Teora ElectromagnticaElectrosttica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 1 ELECTROSTTICA 2.5Campo Elctrico. En la Ley de Coulomb la fuerza que ejerce la carga elctrica q sobre la carga q es un campo vectorialquedependedeq.Paracadaposicinrdelacargaqenelespaciopodemosevaluarel vector de la fuerza a partir de la Ley de Coulomb (ec. 1), de la siguiente manera: .') ' (4' qq ) (30(((

=r rr rr F (24) Sisecambialamagnituddelacargaq,lafuerzatambincambiademagnitud,para una posicin r fija.Esporestoqueresulta conveniente definir un campo vectorial asociado a la carga q y que sea independiente del valor de la carga q. Elcampoelctrico(electrosttico)sedefinecomoellmitedelafuerzaelectrostticapor unidaddecargapruebaqo,cuandolamagnituddelacargapruebatiendeacero.Seacostumbra denotar al campo elctrico con la letra E. Una expresin adecuada a la definicin de campo elctrico es .q) (0 qLm) (oe0rFr E= (25) Ellmitedelacargapruebatendiendoaceroexperimentalmentesignificatomarcargasdeprueba pequeasparatratardenoafectaraladistribucindecargaqueproduceelcampoelctrico; fsicamente hay que tener en cuenta que el valor de carga prueba ms pequeo del que se dispone desde el punto de vista prctico es el de una carga elemental e (sin hacer referencia a los quarks). Detalmaneraqueelprocesodelmiteexpuestoenlaecuacin25matemticamenteresulta adecuado y fsicamente hay que tomarlo con precaucin. Elcampoelctricoproducidoporunacargapuntualpositivaqlocalizadaenlaposicinr, como se indica en la figura 8, de acuerdo a la definicin (ec. 25) y a la Ley de Coulomb (ec. 24), es: ,''4' q) (30 r rr rr E= (26) independiente del valor de la carga prueba qo. Captulo 2Jorge Eduardo Aguilar Rosas ElectrostticaTeora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 2 r Z X Y r q q0 E(r) Figura 8. Campo elctrico en la posicin r, debido a la presencia de la carga puntual q. Ejemplo 6. Determina el campo elctrico producido por un dipolo elctrico puntual. Solucin 6. El campo elctrico producido por un dipolo puntual es el campo elctrico producido por un dipoloadistanciasmuygrandescomparadasconladistanciadeseparacinentrelascargasque conformanaldipolo.Enelejemplo4seobtuvolafuerzaelctricadeundipolopuntualsobreuna cargaq(ec.17),detalmaneraqueelcampoelctricoproducidoporeldipolo,deacuerdoala definicin de campo elctrico (ec. 25), es: .r3+r41) (5 30((

||.|

\| = rr p pr E (27) Ejercicios 2.3. 1.Unagotadeaceitetieneunamasade4.0 1014kgyunacarganetade4.8 1019C.Unafuerzadirigidahacia arriba equilibra justamente la fuerza dirigida hacia debajo de la gravedad, de tal modo que la gota de aceite queda en reposo. Cul es la direccin y magnitud del campo elctrico? Resp. 8.17 105 N/C, hacia arriba. 2.Alhallarlaaceleracindelelectrnodeotrapartculacargadatieneunaimportanciaespecialelcocienteentrela carga y la masa de la partcula. (a) Calcula e/m para un electrn. (b) Cul es el valor y direccin de la aceleracin de un electrn en un campo elctrico uniforme de valor 100 N/C? (c) La mecnica no relativista puede usarse slo si la rapidez del electrn es bastante menor que la rapidez de la luz c. Calcula el tiempo que emplea un electrn situado enreposoenelinteriordeuncampoelctricouniformede100N/Cpara alcanzar una rapidez de 0.01 c. (d) Qu distancia recorrer el electrn en este tiempo? Resp. (a) 1.76 1011 C/kg, (b) 1.76 1013 m/s2, en el sentido opuesto a E, (c) 0.171 s, (d) 25.6 cm. 3.(a) Calcula e/m para un protn y hallar su aceleracin en un campo elctrico uniforme de valor 100 N/C. (b) Halla el tiempo que tarda un protn inicialmente en reposo en dicho campo elctrico en alcanzar la rapidez de 0.01 c. Resp. (a) e/m = 9.58 107 C/kg, a = 9.58 109 m/s2, en el mismo sentido que E, (b) 313 s. 4.Una partcula sale del origen con una rapidez de 3.0 106 m/s, formando un ngulo de 350 con el eje X. Se mueve en un campo elctrico constante E = Eyj. Determina Ey para que la partcula cruce el eje X en x = 1.5 cm si (a) se trata de un electrn y (b) es un protn. Resp. (a) 3.21 103 N/C, (b) 5.88 106 N/C. 2.5.1Campo Elctrico y Principio de Superposicin para Cargas Puntuales. Para un sistema de N cargas puntuales (ver figura 9), el campo elctrico es la superposicin del campo elctrico producido por cada una de las cargas, esto es: Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 2 Teora ElectromagnticaElectrosttica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 3 ,''4' q) (3ii0jN1 = i r rr rr E= (28) de acuerdo a la ecuacin 11. r Z X Y r'i q'i q0 Ei(r) Figura 9. Campo elctrico en la posicin r, debido a la carga elctrica i-sima qi. Ejercicios 2.4. 5.Doscargasigualespositivas de 6.0 nC estn en el eje Y en los puntos y1 = 3.0 cm e y2 = -3.0 cm. (a) Cul es la magnitud y la direccin del campo elctrico en el punto del eje X, x = 4.0 cm? (b) Cul es la fuerza ejercida sobre una carga de 2.0 nC situada en el punto x = 4.0 cm? Resp. (a) (3.45 104 N/C)i, (b) (6.90 105 N)i. 6.CuatrocargasdelmismovalorestndispuestasenlosvrticesdeuncuadradodeladoL,dosdelascargasson positivas y estn en vrtices opuestos. (a) Halla el valor y la direccin de la fuerza ejercida sobre una de las cargas positivas debido al resto de las cargas. (b) Demuestra que el campo elctrico debido a las cuatro cargas en el punto medio de uno de los lados del cuadrado est dirigido a lo largo de dicho lado hacia la carga negativa y que su valor es .2551Lq 2E20||.|

\|= Resp. (a) (q2/40L2)(21/2-1/2). 7.DoscargaspositivasigualesqestnenelejeY;unaeny=aylaotraeny=-a.(a)Demuestraqueelcampo elctricoenelejeXestdirigidoalolargodedichoejeconEx=2qx(x2+a2)-3/2/40.(b)Demuestraquecercanoal origen,cuandoxa,Ex=2qx-2/40. Explica por qu deber esperarse este resultado incluso antes de ser calculado. 2.5.2Campo Elctrico y Principio de Superposicin para Cargas Continuas. Paraunadistribucincontinuadecargaeslasumadetodosloselementosdecargadela distribucin en el espacio ( );'' dq '41) (. Distr30}=r rr rr E (29) pudiendo ser una distribucin volumtrica de carga (ver figura 5), ; ' )dv ' ( ' dq r = Captulo 2Jorge Eduardo Aguilar Rosas ElectrostticaTeora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 4 una distribucin superficial de carga, ; ' )da ' ( ' dq r = o una distribucin lineal de carga, . ' )dr ( ' dq r = Notemos que en la ecuacin 29, cualquiera que sea el tipo de distribucin de carga, la integracin es sobre las variables primadas. 2.5.3Lneas de Campo. Enocasioneselreconocimientodeunasituacinresultamsfcilsisepuededisponerde una representacin geomtrica del problema. En este caso hablamos de tratar de tener una imagen deloscamposvectorialesdefuerzaelctricaydelcampoelectrosttico.Antelaimposibilidadde representargrficamenteauncampovectorialcolocandounvectoracadapuntodelespacio, introducimos el concepto de lnea de campo de la siguiente forma. Consideremos una carga elctrica puntual +q y una carga prueba +qo a una distancia r, como se indica en la figura 10. La fuerza elctrica sobre qo y el campo elctrico en esta posicin queda en direccinradialrespectoaq.Sidesplazamosligeramenteaqoenesadireccin,podemosdibujar vectores de fuerza y campo elctrico en la nueva posicin, y desplazar a qo en esa nueva direccin. La coleccin de puntos obtenidos, incluyendo el sentido de recorrido, constituyen una lnea de campo (o de fuerza). Lnea de campo FF E E +q0 +q0 +q+q+q (a)(c)(b) Figura 10. (a) Fuerza y Campo Elctrico en la posicin de +q0; (b) Fuerza y Campo Elctrico en la nueva posicin de +q0; (c) Lnea de Campo obtenida del trazo de las posiciones sucesivas de +q0. Procediendodeestaforma,latrayectoriaseguidaporqoolneadecampotienedos caractersticas importantes en la representacin: i)El campo elctrico es tangente a la trayectoria de cada punto; y, ii)El sentido de recorrido indica el sentido del campo elctrico. Comenzando en distintos puntos podemos construir varias de estas trayectorias o lneas de campo. Para una carga puntual positiva las lneas de campo son lneas radiales saliendo de la carga; mientrasqueparaunacargapuntualnegativalaslneasdecampolleganalacarga,comose muestran en la figura 11. En general, la carga positiva es una fuente de lneas de campo elctrico y la carga negativa un sumidero de lneas de campo. Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 2 Teora ElectromagnticaElectrosttica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 5 Un aspecto ms, referente a las lneas de campo, lo podemos obtener a partir del diagrama delneasdecampoasociadasaunacargaelctricapuntual,comolosmostradosenlafigura11. Consideremos las lneas punteadas sealadas como a y b alrededor de la carga positiva. El nmero de lneas de campo que pasan por a es el mismo que pasan por b; como la longitud de la lnea a es menor que la de b, entonces la Densidad de Lneas en a es mayor que en b. En el diagrama de la figura 11 es fcil ver que la Densidad de Lneas de campo es mayor cerca de la carga que lejos de ella; y como la magnitud del campo elctrico es mayor cerca de la carga que lejos de ella, entonces podemos considerar que: iii)La Densidad de Lneas de campo indica la magnitud relativa del campo elctrico. b (a) a (b) Figura 11. Lneas de Campo asociadas (a) a una carga puntual positiva; y, (b) a una carga puntual negativa. Enundipoloelctricolaslneasdecampocercadelascargassonprcticamenteradiales, pero al alejarse de las cargas las lneas se curvan de tal manera que las lneas que salen de la carga positiva llegan a la carga negativa, como se ilustra en la figura 12. Figura 12. Lneas de Campo asociadas a un dipolo elctrico, con la carga positiva a la izquierda y la negativa a la derecha. Enelcasodedoscargaspuntualesdeigualmagnitudysigno,existenlneasquellegana cruzarse, por ejemplo, en el punto P de la figura 13, las lneas de campo 1, 2, 3 y 4; sin embargo, el campo elctrico en este punto es cero y la fuerza elctrica sobre una carga prueba qo es nula en esa posicin.Loscasospresentadosencierranalgunasdelascaractersticasmsimportantesde construccindelneasdecampoqueutilizaremoscomoauxiliareneltratamientodetemas posteriores. Captulo 2Jorge Eduardo Aguilar Rosas ElectrostticaTeora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 6 4 3 21P Figura 13. Lneas de Campo, asociadas a dos cargas positivas, que se cruzan en el punto P. Ejemplo 7. Determina el campo elctrico producido a una distancia r de una lnea recta, que tiene una carga elctrica distribuida linealmente, con densidad lineal de carga uniforme. Solucin 7. La densidad lineal de carga indica la cantidad de carga por unidad de longitud (ec. 20): ( ) ;' dr' dq' = r detalmaneraquesiconsideramosunelementodelongituddrdelalnea(verfigura14),lacarga contenida en l, es: . ' dr ' dq = Z dE dE ' dz' dq' r' ' r r r P dEll Figura 14. Campo Elctrico de un elemento de carga dq de la lnea con densidad de carga . El campo elctrico dE producido en la posicin P, por el elemento de carga dq es un vector sobre la lnea recta que pasa por la posicin del elemento de carga y el punto P. Este vector de campo elctricotieneunacomponenteparalelaalalneadecarga,dEllsobreelejeZ,yunacomponente perpendicular,dEenelplanoXY.Esimportantenotarqueelelementodecargaescogidoes totalmente arbitrario y si queremos obtener el campo producido por toda la lnea debemos superponer lascontribucionesalcampoelctricoproducidasporcadaunodeloselementosdecargaque conforman a la lnea. Laposicindelelementoesr=zk,sulongitudesdr=dz.Sinprdidadegeneralidad,la posicin en donde se desea determinar el campo elctrico la consideraremos en el plano XY, con r = xi+yj.Sustituyendoestainformacinjuntoconlarelacindedqconladensidaddecarga,enla expresin para el campo elctrico (ec. 29), obtenemos: Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 2 Teora ElectromagnticaElectrosttica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 7 ( )( ) ( )[ ],' z y x' dz ' z y x4'' dq '41 LL2 / 32 2 2o. Distr3o} } + + +==k j ir rr rr E en donde se considerar el lmite para cuando L tiende a infinito. La integracin de las componentes en X y Y son similares pues corresponde a la integral [ ] [ ].' z r' dzLLm' z y x' dzLLm LL2 / 32 2LL2 / 32 2 2} } + =+ + Consideremos el cambio de variable z = r tg, entonces dz = r sec2d, y el trmino del denominador queda como [r2 + z2]3/2 = r3 (1 + tg2)3/2 = r3 sec3, por lo que la forma de la integral resulta: [ ]. d cosr1

sec rd sec r' z r' dz 23 322 / 32 2}} } = =+ La integral a realizar resulta entonces: [ ]. senr1' z r' dz 2 2 / 32 2 =+} En la figura 14 vemos que sen es igual a z/( r2 + z2)1/2, entonces: [ ] [ ],' z r r' zLLm' z y x' dzLLm LL -2 / 12 2 2LL2 / 32 2 2+ =+ + } por lo que la integral evaluada es: [ ] [ ] [ ] (((

++ =+ + }2 / 12 2 22 / 12 2 2LL2 / 32 2 2L r rLL r rLLLm' z y x' dzLLm [ ].L r rL 2LLm 2 / 12 2 2(((

+ = Finalmente, al tomar el lmite obtenemos: [ ].r2' z y x' dzLLm 2LL2 / 32 2 2=+ + } Por otra parte, la integracin de la componente en Z, realizada en forma directa, resulta: Captulo 2Jorge Eduardo Aguilar Rosas ElectrostticaTeora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 8 [ ] [ ]LL2 / 12 2LL2 / 32 2' z r r1LLm' z r' dz ' zLLm + =+ } [ ] [ ] [ ]. 0L r r1L r r1LLm' z r' dz ' zLLm 2 / 12 22 / 12 2LL2 / 32 2=(((

+++ =+ } Es decir que la componente a lo largo de la lnea de carga es nula, mientras que la componente en el plano perpendicular es: ( ) ;ry x 42 2o|.|

\| +=j ir E o, considerando al vector unitario radial en coordenadas cilndricas ( ) .r2orr E=(29) Laslneasdecampoasociadasenestasituacincorrespondenalneasrectasradialesqueparten desdelalneadecargasiladensidaddecargaespositiva;olleganhacialalneadecargasila densidad es negativa. Ejemplo8.UnacargaelctricaQseencuentradistribuidauniformementeenunanilloderadioc. Determina el campo elctrico en puntos sobre el eje del anillo. Solucin8.ConsideremoselanillocontenidoenelplanoXY,comosemuestraenlafigura15.Un elemento de carga dq del anillo produce un campo elctrico dE en la posicin r = zk sobre el eje del anillo,quecorrespondealejeZ.Porsimetra,seesperaqueelcampoelctricototalquedeenla direccin del eje Z, de tal forma que la suma de los trminos dE resulte nula. La cantidad de carga del elemento de carga es , ' dr ' dq = con la densidad lineal de carga, dada por la carga total Q entre la longitud total, 2c, .c 2Q = Laposicindelelementodecargaconsiderandocoordenadascilndricas,esr=xi+yj=c cosi + c senj, con el ngulo respecto al eje X positivo. El elemento diferencial de longitud dr en donde est la carga dq, es la magnitud del vector diferencial dr = (-c seni + c cosj)d, es decir que dr = c d. Con esta informacin, el campo elctrico, utilizando la expresin (29), es: ( )( )[ ].c 2' Qdrz ' y ' x' y' xz41 . Distr2 / 32 2 2o}+ + =j i kr E ( )( )[ ]. ' cdz c' csen' cos czc 2Q41 202 / 32 2o}+ =j i kr EJorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 2 Teora ElectromagnticaElectrosttica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 9 Las integrales de las componentes en X y Y son nulas, tal como se espera por la simetra, mientras que la integral de la componente en Z da un factor de 2zck, de tal forma que el campo elctrico para los puntos del eje queda sobre el eje, ( )( )[ ]2 / 32 2oz cz c 2c 2Q41 + =kr E ( )( )[ ].z cz Q41 2 / 32 2o+=kr E(30) c y' Y r dE dEz dE dr' dq' Z X x' 'r' Figura 15. Campo Elctrico de un elemento de carga dq del anillo con densidad de carga . Ejemplo9.Unaplaca"infinita"tieneunadensidadsuperficialdecargadistribuidauniformemente. Determina el campo elctrico a una distancia z de la placa. Solucin9.Enlasolucindeesteproblemapodemosutilizarelresultadodelproblema8dela siguiente forma. Consideremos un anillo de ancho dc, sobre la placa, conteniendo una carga dq, como se muestra en la figura 16. El campo elctrico producido por este anillo de carga a una distancia z es perpendicular a la placa y tiene magnitud, de acuerdo al resultado del problema 8 (ec. 30): [ ].c+zzdq41dE2 / 32 20= La carga contenida en el anillo de rea da = 2c dc, es: ( ). cdc 2 = da dq = Captulo 2Jorge Eduardo Aguilar Rosas ElectrostticaTeora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 10 + z Z dq dc dEc X Y (a)(c)(b) Figura 16. (a) Campo elctrico de un anillo de carga en una placa plana. (b) Lneas de campo asociadas a una placa plana con carga positiva distribuida uniformemente; y (c) lneas de campo asociadasa una placa plana con carga negativa distribuida uniformemente. El campo elctrico total resulta de la suma de las contribuciones de los anillos de carga que conforman a la placa, tomando al radio c como variable, [ ]}+ =02 / 32 20 c zcdc4z 2) z (kE [ ]||.|

\|+=02 / 12 20 c z12z) z (kE z102z) z (0||.|

\|||.|

\| =kE quedando el campo elctrico finalmente expresado como: .z 2z) z (0=kE (31) Es decir, el campo elctrico tiene una magnitud constante ,2E0= (32) ysudireccinesalejndosedelaplacasiladistribucindecargaespositiva,ydirigidohaciala placa si es negativa. Las figuras 16.b y 16.c muestran las lneas de campo en estos casos. Si consideramos a dos placas paralelas con densidades superficiales de carga + y -, como se indica en la figura 17.a, el campo elctrico entre las placas Ei, correspondiente a la superposicin de los dos campos elctricos E+ y E-, es uniforme con magnitud: , E0i= (33) Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 2 Teora ElectromagnticaElectrosttica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 11 dirigido de la placa con carga positiva a la negativa; mientras que el campo elctrico en el exterior Ee es nulo. Las lneas de campo de este dispositivo se muestran en la figura 17.b. + E+ E+ E+ + (a) (b) E-E- E- Ei Ee= 0Ee= 0 Figura 17. (a) Campo elctrico de las placas planas con carga positiva E+, negativa E-, y el total en el interior Ei y el exterior Ee. (b) Lneas de campo asociadas a las dos placas planas con cargas positiva y negativa, distribuidas uniformemente. Ejemplo10.Enlasuperficiedeuncascarnesfricoderadiob,seencuentradistribuida uniformemente una carga elctrica total Q. Determina el campo elctrico para los puntos del exterior y los del interior. Solucin 10. En la solucin podramos utilizar de nuevo el resultado obtenido en el problema del anillo y sumar las contribuciones del conjunto de anillos que se requieren para formar al cascarn esfrico (verfigura18.a).Sinembargo,omitiremosestaventajapararesolverloyloplantearemos considerandoelementosdecargadqcontenidosenelementosdesuperficiedereada,comose indica en la figura 18.b. Consideremosalelementodecargadq,enlaposicinr=xi+yj+zk,contenidoenel elemento de superficie de rea da como se muestra en la figura 18.b. Con la densidad superficial de carga , distribuida uniformemente, tenemos que la carga elctrica en el elemento de superficie es: , ' da ' dq = x' Y X Z dE r dE dq' da dE c b dEll d' b ' d' ' (a)(b) z' y' Figura 18. (a) Campo elctrico de un anillo de carga en la esfera. (b) Campo elctrico de un elemento de carga de la esfera. siendoladensidaddecargadeterminadacomolacargaelctricatotalQentreelreatotaldela esfera: .b 4Q 2= Captulo 2Jorge Eduardo Aguilar Rosas ElectrostticaTeora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 12 El campo elctrico en los puntos del eje Z, con r = zk, de acuerdo con la ecuacin 29, es: ( ) ( ) ( )( ) [ ]. ' da' z z ' y ' x' z z' y' x4' dq''41) z (S2 / 32 2 20. Distr30} } + + + ==k j ir rr rE Utilizandocoordenadas esfricas para realizar la integracin, el elemento de superficie tiene un rea da = b2 sen d d; entonces el campo elctrico es: ( ) ( )( ) ( ) ( ) [ ]} } + + + =0202 / 32 2 220 ' cos b z ' sen ' bsen ' cos ' bsen' d ' d ' sen b' cos b z' sen ' bsen' cos ' bsen 4) z (k j iE ( ) ( )[ ].' cos zb 2 b z' d ' d ' sen b' cos b z' sen ' bsen' cos ' bsen 4) z (0202 / 32 220} } + + + =k j iE La integracin respecto a de las componentes en X y Y es nula, mientras que en la componente Z esiguala2.ParalaintegracinrespectoadelacomponenteZ,tenemosdosintegralespor realizar; la primera de ellas es: [ ] [ ] + += + + }02 / 12 202 / 32 2' cos zb 2 b z zb1' cos zb 2 b z' d ' sen que evaluada resulta: [ ].b z1b + z1zb1' cos zb 2 b z' d ' sen 02 / 32 2(((

= + + } La segunda integral a resolver es: [ ].' cos zb 2 b z' d ' sen ' cos 02 / 32 2} + + Integrando por partes, con u = cos, y [ ],' cos zb 2 b z' d ' senv d2 / 32 2 + + = tenemos du = -send, y [ ],' cos zb 2 b z zb1v2 / 12 2 + += por lo que la segunda integral resulta: Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 2 Teora ElectromagnticaElectrosttica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 13 [ ] [ ] [ ]} } + + + + = + + 02 / 12 202 / 12 202 / 32 2' cos zb 2 b z' d ' senzb1 ' cos zb 2 b z zb' cos' cos zb 2 b z' d ' sen ' cos [ ][ ]. b z b + zzb1zb1-b z1b + z1 -zb1' cos zb 2 b z' d ' sen ' cos 02 / 32 2 |.|

\|(((

= + + } Sustituyendolosresultadosdelasdosintegralesenlaexpresinparaelcampoelctrico, obtenemos: [ ])`(((

(((

(((

|.|

\| = b - z b + zzb1+b z1b + z1 -bb z1b + z1zzb14b 2) z (02kE [ ] . b - z b + zz1-b zb zb + zb + zzb14b 2) z (02)`(((

|.|

\| =kE Para puntos del exterior, en donde se tiene z > 0 y z > b, elcampo elctrico es: ( ) [ ] . b z b zz1-b zb zb + zb + zzb14b 2) z (02)` +((

|.|

\| =kE Agrupando trminos, se obtiene al campo elctrico: .z14b 4) z (202|.|

\| =kE Es decir que en los puntos del exterior a la esfera el campo elctrico es como el asociado a una carga puntual de magnitud igual a la carga total en la esfera, Q = 4b2, en el centro de la esfera: .r 4 Q) (2o=rr E (34) Para puntos en el interior de la esfera, en donde se tiene z > 0 y z < b, el campo elctrico es: ( ) [ ] . z b b zz1-z bb zb + zb + zzb14b 2) z (020kE =)` +((

|.|

\| = (35) Es decir que para cualquier punto del interior de la esfera el campo elctrico es nulo. Ejercicios 2.5. 8.Dosesferasconductoras,cadaunaconunacarganetapositivasemantienenprximasdemodoquelaslneasde campoelctricosonlasindicadasenlafigura.Culeslacargarelativadelaesferapequeacomparadaconla grande? Captulo 2Jorge Eduardo Aguilar Rosas ElectrostticaTeora Electromagntica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 14 Resp. qp = (4/3)qg. 9.Unacargalinealuniformededensidad=3.5nC/msedistribuyedesdex=0.0ax=5.0 m. (a) Cul es la carga total? Determinar el campo elctrico sobre el eje X en (b) x = 6.0 m, (c) x = 9.0 m, y (d) x = 250.0 m. (e) Determina el campo elctrico en x = 250.0 m usando la aproximacin de que se trata una carga puntual y compara con el resultado con el obtenido exactamente en (d). Resp.(a) 17.5 nC, (b) 26.2 N/C, (c) 4.37 N/C, (d) 2.57 mN/C. 10.Un anillo de radio a con centro en el origen y su eje a lo largo del eje X posee una carga total Q. Determina Ex en (a) x = 0.2 a, (b) x = 0.5 a, (c) x = 0.7 a, (d) x = a, y (e) x = 2.0 a. (f) Utiliza los resultados obtenidos para representar Ex en funcin de x para ambos valores positivo y negativo de x. Resp. (a) 0.189 Q/40a2; (b) 0.358 Q/40a2; (c) 0.385 Q/40a2; (d) 0.354 Q/40a2; (e) 0.179 Q/40a2. 11.Undiscoderadioa,concentroenelorigenycontenidoenelplanoYZ,tieneunadensidaddecargasuperficial uniforme . El disco posee una carga total Q. Determina Ex en (a) x = 0.2 a, (b) x = 0.5 a, (c) x = 0.7 a, (d) x = a, y (e) x=2.0a.(f)UtilizalosresultadosobtenidospararepresentarExenfuncindexparaambosvalorespositivoy negativo de x. Resp. (a) 0.804 /(20), (b) 0.553 /(20), (c) 0.427 /(20), (d) 0.293 /(20), (e) 0.106 /(20). 12.(a)UnacargacondensidaddecargalinealestsituadasobreelejeXdesdex=0.0ax=a.Demuestraquela componente y del campo elctrico en un punto sobre el eje Y viene dada por ,a yay 4seny 4E2 2010y+= = en donde 1 es el ngulo subtendido por la carga lineal en el punto del campo. (b) Demuestra que si la carga lineal se extiende desde x = -b a x = a, la componente del campo elctrico en un punto sobre el eje Y viene dada por ( ), sen seny 4E2 10y + = en donde .b ybsen2 22+= 13.Un anillo de radio R tiene una densidad de carga uniforme positiva . En la figura se muestra un punto P en el plano del anillo pero que no est en su centro. Considera dos elementos del anillo, de longitudes l1 y l2 y que se encuentran alasdistanciasr1yr2delpuntoP.(a)Culeslarelacinentrelascargasdeestoselementos?Culdeellas genera un campo de mayor magnitud en el punto P? (b) Cul es la direccin del campo debido a estos elementos en el punto P? Cul es la direccin del campo elctrico total en el punto P? (c) Supn que el campo elctrico debido a una carga puntual vara en la forma 1/r en lugar de 1/r2. Cul sera el campo elctrico en el punto P debido a los elementos que se muestran? (d) Qu diferencias existiran en las respuestas dadas si el punto P se encontrara en el interior de una corteza con una distribucin de carga esfrica y en la que el rea de los elementos fuera s1 y s2? l1 l2 P r1 r2 Jorge Eduardo Aguilar RosasCaptulo 2 Teora ElectromagnticaElectrosttica Dpto. de Matemticas y Fsica ITESO 15 Resp. (a) q1/q2 = r1/r2, (b) hacia l1, (c) 0, (d) q1/q2 = r12/r22. 14.Un disco de radio 30 cm es portador de una densidad de carga uniforme . (a) Compara la aproximacin E = /20 conlaexpresinexactadelcampoelctricosobreelejedeldiscoexpresandoeltrminodespreciadocomoun porcentaje de /20 para las distancias x = 0.1, x = 0.2 y x = 3.0 cm. (b) A qu distancia el trmino despreciado es el 1% de /20? Resp. (a) 3.33%, 6.65% y 9.95%, respectivamente; (b) 0.300 cm. 15.UnacargalinealsemiinfinitadedensidaduniformeestsobreelejeXdesdex=0hastax=.Encuentralas componentes x e y del campo elctrico en un punto situado sobre el eje Y. Resp. Ex = -/(40y), Ey = /(40y). 16.UnaesferauniformementecargadaderadioRestcentradaenelorigenconunacargaQ.Determinalafuerza resultante que acta sobre una lnea uniformemente cargada que tiene una carga total q, orientada radialmente con sus extremos en r = R y r = R + d. Resp. F = Qq/(40R(R + d)).