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TECNOLÓGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL

ORIENTE DEL ESTADO DE MÉXICO.

DIVISIÓN DE INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

ELABORACIÓN DEL PROBLEMARIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

ELABORADO POR: ING. OSCAR EDUARDO PEREZ GAONA.

LOS REYES, LA PAZ, ESTADO DE MÉXICO. 2011.

GOBIERNO DEL ESTADO DE MÉXICO

PROBLEMARIO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

ÍNDICE PÁG

INTRODUCCIÓN

UNIDAD I. Programación Lineal 1

Ejercicios I. Problemas de Modelación……………………………………………. 2

Ejercicios II. Problemas de Modelos de Programación Lineal…………………….. 8

UNIDAD II. Análisis de Redes

11

Ejercicios III. Problemas de Redes y Modelos de Transporte…………………… 12

UNIDAD III. Programación no Lineal.

20

Ejercicios IV. Problemas de Optimización. Máximos y Mínimos…………………. 21

Ejercicios V. Problemas del Multiplicador Lagrange………………………………. 22

UNIDAD I. Líneas de Espera 23

Ejercicios VI. Problemas de Líneas de Espera…………………………………….. 24

ANEXO I.Uso del programa WIN QSB para Programación lienal……………………….………………………. 28



INTRODUCCIÓN.

Las matemáticas hoy en día son asignaturas prioritarias en la vida de los

estudiantes de las carreras de las ingenierías, y más aún aquellas que son de

índole de aplicación en las diferentes áreas de la ingeniería, en mucho de los

casos parecieran ser motivo de deserción y simplemente dificultad muy grande

para culminar sus estudios o en algunos de los casos terminen recursándola, el

ramo de la investigación de operaciones dentro del área de Ingeniería en

Sistemas Computacionales pareciera ser una de ellas.

El presente trabajo tiene como propósito fundamental ayudar a facilitar el

proceso enseñanza-aprendizaje de la materia de Investigación de Operaciones en

el área de las ingenierías, que se imparte en el cuarto semestre de la carrera de

ingeniería en Sistemas Computacionales del TESOEM, cubriendo temas básicos

y apegándose al programa de estudios vigente. Dicho material puede ser

empleado de apoyo para los docentes y estudiantes en esta área

Por el contenido de sus temas y sus aplicaciones pueden ser bastante

interesantes para los alumnos, contiene un gran número problemas donde se

pone en manifiesto la aplicación de las técnicas matemáticas estudiadas en

clase, teniendo siempre en cuenta que para su comprensión se necesitará tener

ciertos conocimientos en álgebra lineal y lógica matemática.


INGENIERÍA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES 1

UNIDAD I PROGRAMACIÓN LINEAL

Objetivo:

El estudiante comprenderá los modelos y metodología que emplea la programación lineal y aplicar el método simplex en los problemas propuesto.



EJERCICIO I PROBLEMAS DE MODELACIÓN

Realizar los planteamientos matemáticos a través de modelos de programación lineal de los siguientes enunciados.

1.-La Paloma S.A de C.V, es una compañía que ha desarrollado dos tipos de juegos para niños, hechos a manos, que vende a tienda en todo el país. Aunque estos juegos excede la capacidad de producción, la empresa continua trabajando y limita su trabajo semanal a 50h. El juego del tipo I, se produce en 3.5 horas y arroja una ganancia de $230, mientras que el juego tipo II toma 6 horas para su producción y deja una ganancia de $341. ¿Cuántos juegos de cada tipo deberá producir semanalmente, la empresa para incrementar sus utilidades?

2.- Una tienda para animales ha determinado que cada conejo debe de recibir diariamente al menos 95 unidades de proteína, 150 unidades de carbohidratos y 50 unidades de grasa. Si la tienda vende los 6 tipos de alimentos mostrados en la siguiente tabla. ¿Qué mezcla de alimento satisface las necesidades a un costo óptimo?

ALIMENTO PROTEINAS. UNIDADES/ONZAS

CARBOHIDRATOS. UNIDADES/ONZA

GRASA UNIDADES/ONZA COSTO/ONZA

I 39 40 7 3 II 20 38 8 4 III 16 46 11 5 IV 27 37 9 2 V 19 32 10 3 VI 24 39 10 5

3.- Un proveedor debe preparar con cinco bebidas de frutas tropicales en existencia, 500 litros de un ponche que contenga por lo menos 30% de jugo de naranja, 15% de jugo de arandaro y 35% de jugo de toronja. Si los datos del inventario son los que se muestran a continuación, ¿Qué cantidad de acada fruta deberá emplear el proveedor a fin de obtener la composición requerida a un costo rentable?

Jugo de naranja %

Jugo de toronja %

Jugo de arandaro

Existencia Litros

Costo/litro

BEBIDA I 70 - 89 300 1.8 BEBIDA II - 24 21 400 1.67 BEBIDA III 26 58 23 160 2.3 BEBIDA IV 90 43 74 360 1.5 BEBIDA v 11 95 77 180 2.67



4.- La compañía de tajetas electrónicas PS S.A de C.V produce tarjetas de diseño para video con capacidad ilimitada, el cual se suministra a cuatro diferentes fabricantes de computadora. Dicha tarjeta puede producirse en cualquiera de las tres plantas de la corporación, aunque sus costos varían debido a los diferentes rendimientos de las plantas productivas de cada una de ellas, cuesta $1.3 producirlo en la planta de Tijuana, $1.10 en la planta de Sonora y $1.02 en la planta de Matamoros. Las capacidades mensuales para producirlos en las plantas son 7500,10000 y 8100 tarjetas respectivamente. Las estimaciones de venta predicen una demanda mensual de 4200, 8300,6300 y 2700 tarjetas para los fabricantes I, II, III, IV. Si los costos de envió en dólares para embarcar dichas tarjetas de una fábrica a un fabricante se muestran en la siguiente tabla, encuentre una cedula optima que permita reducir los costos.

I II III IV Tijuana 0.11 0.09 0.22 0.18 Sonora 0.15 0.16 0.20 0.21 Matamoros 0.17 0.13 0.19 0.20

5.- Un servicio de programación de software ha aceptado cinco nuevos casos, los cuales cada uno de ellos puede ser llevado adecuadamente por cualquiera de lo los programadores. Debido a su diferencia en su experiencia y práctica, los programadores emplearán distintos tiempos en los casos. Uno de los programadores más experimentados ha estimado las necesidades de tiempo (en horas) como sigue:

Caso I Caso II Caso III

Caso IV Caso V

Programador I

145 120 114 100 103

Programador II

80 45 80 80 70

Programador III

85 112 56 90 69

Programador IV

121 82 117 79 111

Programador V

116 71 120 98 87

Determine la forma óptima de asignar los casos a los programadores, de manera que cada uno de ellos se dedique a un caso diferente y que el tiempo total de hrs empleadas sea el mínimo.

6.- Golf Recreativos fabrica carritos para golf y vehículos para nieve en sus 3 plantas. La planta de Baja California Sur produce diariamente 80 carritos de golf y 60 para nieve, la Planta de Sonora produce diariamente 120 carritos para golf y ninguna par nieve. La Planta Monterrey produce 70 vehículos para nieve y ninguno para golf. Los costos diarios de operación de las plantas son



$430,000, $359,000 y $380,000 respectivamente. ¿Cuántos días (incluyendo domingos y días de fiesta) deberá operar cada planta, durante el mes de septiembre, a fin de lograr una producción de 1700 carritos de golf y 1200 vehículos para nieve, a un costo óptimo?

7.-La compañía Kingstone produce 4 tipos de memorias diferentes con capacidad de 4GB que deben ser inspeccionados y probados. Las necesidades específicas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes.

INSPECCIÓN (hr)

PRUEBA DE FUNCIONAMIENTO

(hr) Memoria I 2 3 Memoria II 1 5 Memoria III 3 3 Memoria IV 2 5

La empresa dispone de 400 hrs para la inspección y 410 hrs de pruebas de funcionamiento. La ganancias por producto son $5,$7,$4,$6, respectivamente. La compañía tiene un contrato con un distribuidor con el cual se compromete a entregar semanalmente 60 unidades de la memoria del tipo I, 80 unidades de cualquier combinación de las memorias del tipo II, III, según sea la producción, pero solo un máximo de 25 unidades del producto IV. ¿Cuántas unidades de cada producto debería fabricar semanalmente la empresa, a fin de cumplir con todas las condiciones del contrato e incrementar las ganancias totales?

8.- Una fabricante de vasos de plásticos tiene en existencia, en una de sus fábricas 1350 y otras 1876 en su segunda planta. El fabricante tiene órdenes para este producto por parte de proveedores, en cantidades de 1480, 900 y 1356 vasos, respectivamente. Los costos unitarios de envío (en centavos por vasos) de las fábricas a los proveedores son los siguientes:

PROVEEDOR 1 PROVEEDOR 2 PROVEEDOR 3 Fabricante I 20 56 67 Fabricante II 30 78 95

Determine una cedula de embarque a un costo óptimo, para satisfacer toda la demanda con el invetanrio actual.

9.-Un fabricante de gabinetes de PC, está iniciando la última semana de producción de 4 modelos diferentes de gabinetes, clasificados como I, II, III,IV , cada uno de los cuales debe ensamblarse y luego decorarse, dichos modelos requieres 6, 8, 9 7 horas, respectivamente, para el decorado. Las utilidades de los modelos son $ 8,$9,$10, $7. El fabricante tiene 15 000 disponibles para ensamblar estos productos (280 ensambladores trabajando 30 h semana) y 15, 000 h disponibles



para decorar (500 decoradores trabajando 30 h semana). ¿Cuántas unidades de cada modelo debe de producir el fabricante durante esta semana para incrementar las ganancias?

10.- El administrador del centro de atención de clientes de Telcel está interesado en diseñar una estrategia para programar los horarios de los trabajadores involucrados en la operación del centro de servicio. El problema radica en que dicha iniciativa busca el menor costo de mano de obra (sueldos). Por lo que el gestor recurre a datos históricos acerca del número de reportes recibidos cada día en su casa matriz. Con los datos anteriores el administrador traduce dicha carga de trabajo en la cantidad de gente que requeriría operar el centro de servicio con puntualidad día por día.

DÍAS DE LA SEMANA TRABAJADORES REQUERIDOS Domingo 20

Lunes 21 Martes 24

Miércoles 26 Jueves 18 Viernes 17 Sábado 27

Cabe mencionar que los trabajadores del centro de servicio forman parte de un sindicato y su jornada de trabajo es de 5 días a la semana con 2 días consecutivos de trabajo. El salario de por trabajador es de $750 semanales, además hay que mencionar que el sindicato negoció un bono de $45 por día para cada empleado de la empresa. Los posibles horarios de trabajo se muestran en la siguiente tabla, donde se señala el salario definido con el sindicato para cada uno. El sueldo varía de acuerdo con el horario en cuestión, debido a que éste fue negociado con base a los días programados.

HORARIO DÍA DE DESCANSO SALARIO POR SEMANA 1 Domingo y Lunes $780 2 Lunes y Martes $790 3 Martes y Miércoles $700 4 Miércoles y Jueves $760 5 Jueves y Viernes $690 6 Viernes y Sábado $693 7 Sábado y Domingo $760

Determinar la cantidad de trabajadores que serán contratados en cada horario.

11.- Una empresa de constructora, la cual ha ganado licitaciones públicas para construir cuatro edificios en diferentes lugares. Por lo que el abasto del cemento se ha seleccionado tres proveedores, en la siguiente tabla se ha registrado el precio del cemento para concluir cada proyecto; así como la capacidad máxima que cada proveedor puede proporcionar.



Proveedor Proyecto 1 Proyecto 2 Proyecto 3 Proyecto 9 Capacidad máxima

1 $100 $179 $150 $128 678 2 $130 $201 $180 $270 580 3 $170 $96 $169 $260 856

Demanda en tonelada

400 228 500 670

12.- Una empresa productora de zanahorias envasados, que dispone de 100hrs operarios y dos plantas ubicadas en diferentes puntos geográficos de la República Mexicana, debe de satisfacer los pedidos diarios de comerciantes en distintas zonas. Los costos de envió de cada planta a cada cliente por paquete de envasado se resume en la siguiente tabla:

TARIFA POR PAQUETE DESDE LA PLANTA HASTA EL

COMERCIO PLANTA 1 PLANTA 2

Comerciante I $3 $4 Comerciante II $6 $2 Comerciante III $8 $8 La elaboración diaria de cada paquete de envasados en la planta I requiere 3/8 hrs operario, 9/5% de utilización de capacidad de maquinaria para el envasado y $5 por concepto de insumo diversos. La planta 2, cuya avance tecnológico es menor, necesita 50% más de todos los insumos por unidad de producto. El precio uniforme por paquete es de $17 y las cantidades diarias requeridas por los tres clientes es, respectivamente de 60, 90, 45 paquetes. Plantee un modelo de programación lineal que le permita a la empresa optimizar sus recursos.

13.-El costo de transportación unitario desde la planta hacia cada restaurante se muestra a continuación. Determine un programa de entregas para la empresa, a fin de incrementar sus ganancias.

RESTAURANTE I RESTAURANTE 2 RESTAURANTE3 RESTAURANTE 4 PLANTA CHIHUAHUA

56 78 90 9

PLANTA MEXICALI 15 32 45 3

14.- Un banco se encuentra formulando una política de préstamos. Para este fin, se asigna un presupuesto de $12000000, por lo que los créditos son otorgados a todo tipo de gente. En la siguiente tabla se menciona los tipos de préstamos, la tasa de interés que cobra el banco y la cantidad porcentual de pagos no cubiertos estimados con base a datos históricos.



Tipo de Préstamo Tasa de Interés Porcentaje de pagos no cubiertos

Automóvil 18% 17% Personal 14% 20% Hipotecario 16% 25% Comercial 20% 31% Agrícola 11% 10% Los pagos no cubiertos son irrecuperables y por lo tanto no producen ingresos por concepto de interés. La competencia con otras instituciones bancarias exige que cuando menos, 40% de la asignación de los fondos sea para préstamos agrícolas y comerciales. El banco específico, así mismo que el porcentaje total de pagos irrecuperables no debe de exceder 4%. Determine las condiciones para las cuales se optimizan las ganancias netas del banco.

15.- Se cuenta con una fabrica de reguladores electrónicos que elabora tres diferentes tipos, clasificados como I, II, III. Cada modelo requiere cierta cantidad de tiempo para su ensamble, acabado e inspección. La empresa puede vender todas las unidades que fabrica. El modelo II se puede vender si acabado. Determinar la máxima utilidad que se puede obtener.

REQUERIMIENTO EN HRS.

MODELO GANANCIA POR

MODELO ($) ENSAMBLE ACABDO INSPECCIÓN

I 167 000 1 1 3 II 187 000 4 2 3

II SIN ACABADO 10 000 5 4 0 III 89 000 2 2 7

Disponibilidad

mensual de hr/hombre

300 260 253

16.- Ha decido ingresar a la industria del chocolate. Está pensando en producir dos tipos de chocolates. Chocolate macizo y amargo, ambos están elaborados sólo con azúcar nueces y leche. En la actualidad se tiene en existencia 120 oz de azúcar, 35 oz de nueces y 60 oz de leche. La mezcla usada para elaborar el chocolate macizo debe de contener por lo menos 10% de nueces. La mezcla empleada para el chocolate amargo debe de contener por lo menos 20% de nueces y 10 % de leche. Cada oz de chocolate macizo se vende en 30 centavos, y cada oz de chocolate amargo se vende en 35 centavos, plantee un modelo de programación lineal que le permita incrementar sus ingresos.

17.- QR mezcla silicio y nitrógeno para producir dos tipos de fertilizantes. El fertilizante I debe de contener por lo menos 40% de nitrógeno y venderse en $790. El fertilizante II debe de contener por lo menos 70% de silicio y venderse en $400. La empresa puede comprar hasta 120 kg



nitrógeno a $150 y hasta 200 kg de silicio a $300, suponga que todo el fertilizante se vende, plantee un modelo de programación lineal.

18.- MAT S.A DE C.V utiliza los productos químicos I y II para elaborar dos fármacos. El fármaco I deber de contener por lo menos el 70 % del producto químico I, y el fármaco II debe de contener por lo menos 60 % del producto 2. Se puede vender hasta 50 oz del fármaco 1 a $60 la onza, se puede vender 40 oz del fármaco 2 a $80 oz del producto químico II. Plantee un modelo que le permita maximizar sus ingresos.

EJERCICIO II PROBLEMAS DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.

Contesta cada uno de los siguientes modelos problemas de programación lineal empleando el método apropiado para ello, según sea el caso y comprobarlo.

1. 𝑚𝑎𝑥 𝑧 = 4𝑥1 + 3𝑥2 𝑠.𝑎 3𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 13 𝑥1 − 5𝑥2 ≤ 15 7𝑥1 − 3𝑥2 ≤ 16 𝑥1,𝑥2 ≥ 0

5. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 12𝑥1 − 4𝑥2 + 8𝑥3 𝑠.𝑎 2𝑥1 − 6𝑥2 = 42 𝑥1 − 4𝑥2 − 15𝑥3 = 60 − 3𝑥2 + 7𝑥3 = 80 𝑥1,𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

9. 𝑀𝑖𝑛 𝑧 = 𝑥1 −

74𝑥2

s.a

𝑥1 − 895𝑥2 = 60

213𝑥1 +

38𝑥2 = 56

13𝑥1 −

57𝑥2 ≥ 70

87𝑥1 +

65𝑥2 ≥ 90

𝑥1, 𝑥2 ≥ 0 2. 𝑚𝑖𝑛 𝑍 = 7𝑥1 − 5𝑥2 + 8𝑥3 𝑠.𝑎 8𝑥1 − 3𝑥2 + 5𝑥3 ≤ 27 15𝑥1 + 6𝑥3 ≤ 30 −7𝑥2 + 10𝑥3 ≤ 45 𝑥1,𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

6. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 12𝑥1 − 3𝑥2 + 15𝑥3 s.a 𝑥1 − 6𝑥2 − 12𝑥3 = 24 12𝑥1 + 5𝑥2 ≥ 13 2𝑥2 − 7𝑥3 ≤ 31 𝑥1,𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

10. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 𝑥1 − 3𝑥2 s.a 10𝑥1 + 12𝑥2 = 30 12𝑥1 − 20𝑥2 = 50 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

3. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 5𝑥1 − 7𝑥2 − 12𝑥3 𝑠.𝑎 12𝑥1 − 9𝑥3 ≥ 23 𝑥1 − 14𝑥2 + 20𝑥3 ≥ 30

7. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑥1 − 3𝑥2 𝑠.𝑎 2𝑥1 − 3𝑥2 ≤ 45 8𝑥1 + 4𝑥2 ≤ 15

11 𝑀𝑎𝑥 𝑍=4𝑥1 + 2𝑥2 + 5𝑥3 − 8𝑥4 s.a 5𝑥1 − 7𝑥3 + 𝑥4 ≥ 32 2𝑥2 + 12𝑥3 = 45



𝑥1,𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

𝑥1,𝑥2 ≥ 0

13𝑥1 +12𝑥2 + 2𝑥4 ≤ 26

𝑥1 + 12𝑥2 − 4𝑥3 ≤ 18 𝑥1,𝑥2, 𝑥3,𝑥4 ≥ 0

4. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 20𝑥1 − 45𝑥2 𝑠.𝑎 56𝑥1 − 70𝑥2 ≤ 80 14𝑥1 ≤ 18 𝑥1 − 12𝑥2 = 30 𝑥1,𝑥2 ≥ 0

8. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 7𝑥1 − 5𝑥2 + 9𝑥3 𝑠.𝑎 𝑥1 − 4𝑥3 ≤ 30 2𝑥1 + 5𝑥2 = 21 3𝑥1 − 8𝑥2 − 13𝑥3 ≤ 19 1

2𝑥2 − 5 2

3𝑥3 ≥ 45

𝑥1,𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

12. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑥1 − 9𝑥2 + 4𝑥3 s.a 𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 67

14𝑥2 −

23𝑥3 ≤ 43

8𝑥1 − 6𝑥2 ≤ 80 2𝑥1 + 3𝑥2 + 8𝑥3 ≤ 76 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

13. 𝑀𝑖𝑛 Z=12𝑥1 + 20𝑥2 − 14𝑥3 𝑥1 − 7𝑥3 = 31 2𝑥2 + 6𝑥3 = 45 3𝑥1 + 7𝑥2 = 60 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

17. 𝑚𝑎𝑥 𝑧 = 46𝑥1 + 34𝑥2 𝑠.𝑎 −𝑥1 − 2𝑥2 ≤ 15 5𝑥1 − 12𝑥2 ≤ 89 8𝑥1 − 7𝑥2 ≤ 96 𝑥1,𝑥2 ≥ 0

21. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 3𝑥1 + 4𝑥2 + 8𝑥3 𝑠.𝑎 4𝑥1 + 7𝑥3 = 44 −8𝑥1 + 15𝑥3 ≤ 60 3𝑥2 + 8𝑥3 ≥ 40 𝑥1,𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

14. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 23𝑥1 + 49𝑥2 − 18𝑥3 𝑠.𝑎 2𝑥1 + 6𝑥3 = 34 9𝑥1 + 13𝑥2 + 15𝑥3 ≤ 50 5𝑥2 + 9𝑥3 ≥ 80 𝑥1,𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

18. 𝑀𝑎𝑥

𝑍 =73𝑥1 − 5𝑥2 + 𝑥3

𝑠.𝑎 57𝑥1 − 4𝑥3 ≤ 50

21𝑥1 − 5𝑥2 = 35 79𝑥1 +

65𝑥2 + 15𝑥3 ≥ 29

49𝑥2 −

23𝑥3 = 60

𝑥1,𝑥2, 𝑥3 ≥ 0

22. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = −18𝑥1 + 31𝑥2 s.a 𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 27 29𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 20 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

15. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 12𝑥1 + 8𝑥2 𝑠.𝑎 42𝑥1 − 16𝑥2 = 70 𝑥1 + 15𝑥2 ≤ 20

19. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 56𝑥1 + 76𝑥2 𝑠.𝑎 23𝑥1 + 64𝑥2 = 200 13𝑥1 − 12𝑥2 ≤ 80

23 𝑀𝑎𝑥 𝑍=8𝑥1 + 4𝑥2 − 15𝑥3 − 3𝑥4 s.a 𝑥1 − 𝑥3 + 6𝑥4 ≥ 43 2𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 42



− 2𝑥1 + 7𝑥2 = 100 𝑥1,𝑥2 ≥ 0

3𝑥1 + 𝑥2 = 95 𝑥1,𝑥2 ≥ 0

𝑥1 +1

25𝑥2 − 3𝑥4 = 16

3𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 ≤ 23 𝑥1,𝑥2, 𝑥3,𝑥4 ≥ 0

16. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 18𝑥1 + 37𝑥2 s.a 11𝑥1 + 62𝑥2 = 70 2𝑥1 − 50𝑥2 = 90 𝑥1, 𝑥2 ≥ 0

20. 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 6𝑥1 − 7𝑥2 𝑠.𝑎 𝑥1 + 4𝑥2 = 30 −3𝑥1 + 12𝑥2 = 20 5𝑥1 + 1

2𝑥2 = 15

−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 18 𝑥1,𝑥2 ≥ 0

24. 𝑀𝑖𝑛 𝑍 = 𝑥1 − 9𝑥2 + 4𝑥3 s.a 4𝑥1 + 2𝑥2 − 2𝑥3 ≤ 74

125𝑥2 −

38𝑥3 ≤ 49

4𝑥1 + 5𝑥2 ≤ 90 𝑥1 + 5𝑥2 + 7𝑥3 ≤ 68 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ≥ 0



UNIDAD II ANÁLISIS DE REDES

Objetivo:

El estudiante comprenderá los diferentes modelos matemáticos planteados como modelos de redes y sus métodos de solución



EJERCICIO III

PROBLEMAS DE REDES

Contestar las siguientes redes empleado el método de árbol expansión mínima y etiquetas para determinar la ruta más corta.

c)

a)

12 24 40 27 41

40

12 13

34

48 I II III

IV V VI

b)

36 18

∫ 5𝑥𝑑𝑥50 40 20

25

∫ 7𝑥2+𝑥2𝑥

62 𝑑𝑥 35

A

B

C

D

E

F

12

34

56 76

80 61 72 72

56 70

60 67 78

90

67 78 79 90

A

B

C

D

E

F

G

H

I



Determinar el tiempo de duración del siguiente proyecto:

Actividad Secuencia Tiempo (días) 0 1,2,3 - 1 4 14 2 5 15 3 6 16 4 7 12 5 7 11 6 8,9 13 7 --- 17 8 7 18 9 -- 12

Determinar el Tiempo de duración del siguiente proyecto:

Actividad Secuencia Tiempo (días) 0 1,2 - 1 3,4 5 2 5,9,10 6 3 7 7 4 6,7 8 5 7 12 6 -- 11 7 -- 7 8 -- 15 9 8 16

10 11 9 11 -- 10

Determinar el tiempo de duración del proyecto (evitar cruzar líneas).

Actividad Secuencia Tiempo (días) 0 1 - 1 2,3 2 2 5,9 3 3 7,14 6 4 12,15 10 5 13,15 12 6 11 14 7 10 10 8 -- 9



9 4 8 10 11 7 11 -- 15 12 11 11 13 6 9 14 6 17 16 8 18

Calcular el costo óptimo del proyecto: Actividad Secuencia Tiempos Costos

a M b CN CM 0 1,2,3,4 -- -- -- -- -- 1 5,10 1 4 7 800 1200 2 13 1 2 3 600 700 3 6 1 2 3 400 500 4 7 1 1 1 350 490 5 -- 2 4 4 400 600 6 10 2 6 9 500 900 7 8,9 1 1 1 400 700 8 11 2 3 6 200 600 9 12 2 2 2 300 890 10 11 1 2 6 400 700 11 12 3 4 8 900 450 12 -- 2 2 2 120 390 13 6 1 1 1 200 500

Actividad Secuencia Tiempos Costos a M b CN CM

0 1,2,3,4 -- -- -- -- -- 1 5,10 1 4 7 800 1200 2 13 1 2 3 600 700 3 6 1 2 3 400 500 4 7 1 1 1 350 490 5 -- 2 4 4 400 600 6 10 2 6 9 500 900 7 8,9 1 1 1 400 700 8 11 2 3 6 200 600 9 12 2 2 2 300 890 10 11 1 2 6 400 700 11 12 3 4 8 900 450



12 -- 2 2 2 120 390 13 6 1 1 1 200 500

Para el proyecto de construcción de una casa se tiene en la siguiente tabla el listado de actividades que la componen; así como las precedencias y los tiempos de duración obtener las holguras y la ruta crítica del proyecto

Actividad Actividad precedente

Descripción de la actividad

Duración en días

A ___ Excavar para cimentación

20

B A Mamposteo 10 C B Levantar Muros y

Trabes 45

D C Hacer conexión de cobre en gas y agua

15

E C Losa 1 F C Aplanado Interior 2 G D Aplanado Exterior 10 H E,G Pintar Interiores 17 I F Colocar firme 5 J H Colocar piso 6 K H Hacer acabado

interior 7

L D,I Acabado Exterior 7 M J,K Herrería 10

PROBLEMAS DE MODELOS DE TRANSPORTE.

Instrucciones: Dado el Modelo resolverlo por el método apropiado.

Problema 1.

Una compañía suministra bienes a tres clientes y cada uno requiere 30 unidades. La compañía tiene dos almacenes el almacén 1 tiene 40 unidades disponibles y el almacén dos 30 unidades disponibles. Los costos de enviar una unidad desde el almacén a los clientes se muestra en la siguiente tabla. Hay una penalización por cada unidad no suministrada al cliente; con el cliente 1 se incurre en un costo de penalización de $90, con el cliente 2 de $80 y con el cliente 3 $110. Formule un modelo de transporte equilibrado para minimizar la suma de escasez y costo de envió.

De Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3



Almacén 1 $15 $35 $25

Almacén 2 $10 $50 $40

Solución

Cliente1 Cliente 2 Cliente 3 suministro

Almacen 1

40

Almacén 2

30

Escacez

20

Demanda 30

30 30

Problema 2

Un hospital necesita comprar 3 galones de medicina perecedera que utilizara durante el mes actual y cuatro galones para uso durante el siguiente mes. Debido a que la medicina es perecedera solo puede utilizarse durante el mes de compra. Dos empresas Daisy y Louroach venden las medicinas, la medicina es escaza, por consiguiente durante los siguientes dos meses, el hospital está limitado a comprar a los sumo 5 galones de cada empresa. Las compañías cargan los precios como se ve en la tabla siguiente. Formule un modelo de transporte equilibrado para minimizar el costo de comprar medicina innecesaria.

De Precio del mes actual por galón ($)

Precio del mes siguiente por galón($)

Daisy $800 $720 Loroach $710 $750

Solución

Mes 1 Mes 2 Ficticio suministro

15 35 25

10 50 40

90 80 110



Daysy

5

Loroach

5

Demanda 3

4 3

Una gasolinera puede comprar su combustible para autos a cualquiera de los tres proveedores. Las necesidades de la gasolinera para el siguiente mes en cada una de sus estaciones a los que les puede dar servicio es como sigue, son 100,000 de la estación 1, 180,000 galones de la estación 2 y 350,000 galones de la estación 3. Cada proveedor puede suministrar a las estaciones de las gasolineras a los precios de centavos por galán como se ve en la siguiente tabla

De Estación 1 Gasolina Estación 2 Gasolina Estación 3 de gasolina

Proveedor 1 92 89 90



Problema 3

Cada proveedor tiene la capacidad en cuanto al número total de galones que puede proporcionar durante un mes dado. Estas capacidades son de 320,000 galones para el proveedor 1, 270,000 galones para el proveedor 2 y 190,000 galones para el proveedor 3. Determine una política de compra que cubra los requerimientos de la estación de gasolina a un costo mínimo.

Solución

800 720 0

710 750 0



Estación1 Estación2 Estación 3 Ficticia suministro

1

320,000

320,000

2

120,000

150,000 270,000

3

100,000

60,000

190,000

Demanda 100,000

180,000 350,00 150,000

El proveedor 1 entregara 320,000 gal al aeropuerto 3, el proveedor 2 entregara 120,00 gal al aeropuerto 2 y conserva 150,000 gal, el proveedor 3 entregara 100,00 gal y 30,000 gal respectivamente a las estaciones 1,2 y 3

Problema 4

El consejo de Chicago de la Educación está aceptando ofertas en relación con las cuatro rutas del autobús escolar de la ciudad. Cuatro compañías hicieron las ofertas como se muestra en la siguiente tabla.

De Ruta 1 Ruta 2 Ruta 3 Ruta 4

Compañía 1 4,000 5,000 0 0

Compañía 2 0 4,000 0 4,000

Compañía 3 3000 0 2,000 0

Compañía 4 0 0 4,000 5,000

92 89 90

91 91 95

87 90 92



Suponga que a cada licitante se le puede asignar una ruta, utilice el método húngaro para minimizar el costo de recorrer las cuatro rutas de autobuses.

Solución

La compañía 1 recorre la ruta 1, la compañía 2 recorre la ruta 2, la compañía 3 recorre la ruta 3 y la compañía 4 recorre la ruta 4.



UNIDAD III PROGRAMACIÓN NO LINEAL

Objetivo:

El estudiante identificará y resolverá modelos con comportamientos no lineal empleando problemas propuestos.



EJERCICIO IV PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN MÁXIMOS Y MÍNIMOS

1.- El fabricante de un producto encuentra que para las 500 unidades que produce y vende la utilidad es de $ 50 unidad. La utilidad por cada unidad producida más allá de 500 disminuye en $0.10 por el número de unidades adicionales producidas? ¿Qué nivel de producción maximizará las utilidades? 2.-Una empresa de tv por cable tiene 4900 suscriptores que pagan cada uno $18 mensuales y puede conseguir 150 suscriptores más por cada $0.50 menos en la renta mensual. ¿Cuál será la renta que maximice el ingreso y de cuanto será dicho ingreso? 3.- Una caja rectangular debe tener una base cuadrada y un volumen de 30𝑐𝑚3, si el material de la base cuesta 30 centavos el 𝑐𝑚2, 𝑒𝑙 material de los lados cuesta 10 centavos el centímetro cuadrado y el material de la tapa cuesta 20 centavos el centímetro cuadrado. Determine las dimensiones de la caja para construirla a un costo mínimo. 4.-Si una caja abierta tiene una base cuadrada y un volumen de 108 𝑝𝑢𝑙𝑔3, construida mediante una hoja delgada de metal, encuentre las dimensiones de esa caja, suponiendo que en su construcción se emplea la mínima cantidad. 5.- Encontrar dos números positivos cuya suma sea 50 y el producto sea máximo. 7.- Hay que reforzar un muro con una viga que debe de pesar por encima de una valla paralela de 8m de altura situada a 9 m del muro. Calcule la longitud mínima de esa viga. 8.- A media noche un barco A1, esta a 100km al este del barco B1. El barco A1 navega a 12 km/hr y el barco B1 a 12 km/hr. ¿A qué hora se encontrarán a la distancia mínima uno de otro?, y ¿Cuál es dicha distancia? 9.- Para el producto monipolista, la función costo es c= 500+30q y la función de la demanda es p= 72-0.04q. Encuentre la producción que incremente la utilidad. ¿Cuál es el precio y la utilidad? 10.- Se sabe que una empresa de software posee 100 licencias de diferentes aplicación en la ingeniería, por lo que uso uso se limita a una renta mensual y esta cuesta $400, sien embargo, por cada $10 mensuales de incremento habrá dos lincencias sin posibilidad de ser rentadas. a) ¿Qué renta por depto, maximizará el ingreso mensual?



11.-Si 300 personas solicitan un vuelo express, la agencia de viajes Interjet cobra $1500 a cada persona. Ahora bien, si lo solicitan más de 500 viajeros, cada tarifa se reduce $3 por pasajero adicional. Determinen cuantos pajeros aportan el ingreso máximo a la agencia de viajes.

EJERCICIO V PROBLEMAS DE DEL MULTIPLICADOR LAGRANGE.

a) max

Z = −2x2 − y2 + xy + 8x + 3y s.a 4𝑥 + 2𝑦 = 20

b) Max Z=2x+𝑥𝑦 + 2𝑦 s.a 𝑥 + 𝑦 = 13

𝑐)𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 4𝑥𝑦 − 6𝑦 + 5𝑥 s.a 3𝑥 + 2𝑦 = 14 4𝑥 + 7𝑦 = 25

𝑑) 𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 4𝑥2 + 8𝑧2 + 3𝑥𝑦 + 7𝑥 + 9𝑦 s.a 3𝑥 + 2𝑦 = 12 𝑥 − 2𝑧 = 20 3𝑥 + 10𝑦 − 4𝑧 = 25

e) Max Z=4x+2𝑥𝑦 + 𝑦 s.a 𝑥 + 3𝑦 = 31 2𝑥 − 3𝑦 = 45

𝑓)𝑀𝑎𝑥 𝑧 = 𝑥𝑦 + 16𝑦 + 7𝑥 s.a 𝑥 + 12𝑦 = 41 2𝑥 + 8𝑦 = 56



UNIDAD IV

LÍNEAS DE ESPERA

Objetivo:

El estudiante comprenderá el desarrollo de las líneas de espera identificando sistemas con distribución poisson, además de analizar sus costos.



EJERCICIO VI PROBLEMAS DE LÍNEAS DE ESPERA

Contesta cada uno de los siguientes problemas empleando el correcto modelo en la línea de espera. 1.- El tiempo entre llegadas de ciertos autobuses a una estación tiene la siguiente función mostrada:

Tiempo de llega entre autobuses

Probabilidad

30 min 0.3 60 min 0.35 90 min 0.45

¿Cuál es tiempo promedio que alguien debe de esperar antes dela llegada de un autobús? 2.- El tiempo entre llegadas entre taxis a la estación aeropuerto es de 50 min. a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 3 taxis lleguen durante las próximas 3 horas? b) ¿Cuàl es la probabilidad de que por lo menos un taxi arribe durante las próximas 3 horas? c) Un taxi llega justo en determinado tiempo. Cuál es la probabilidad de que pasen entre 20 y 55 minutos antes de que llegue el próximo taxi? 3.- Una fábrica tiene dos computadoras centrales- En promedio una de ellas permanece 23 días sin dar problema alguno. Cuando alguna se descompone se manda a un taller de computo y tarda 2 días en repárala. a) Determine la fracción de tiempo que ambas máquinas trabajan. b) Determine la fracción que ambas máquinas están descompuestas. 4.- Los clientes llegan a un restaurante entre las 3:00 pm y 6:00 pm; con un ritmo promedio de 25 por hora. Los tiempos de servicio dependen del empleado. El establecimiento tiene tres prospectos que pueden contratar en ese turno. Si la empresa valora $5.00 cada hora que un cliente espera en una fila o cuando recibe la atención. ¿Cuál de los siguientes solicitantes debe ser contratado como empleado nocturno?

Empleado Salario (pesos) Tiempo promedio de servicio (min)

Rodrigo 12/hr 3 Luis 11/hr 2.5

Hugo 15/hr 5



5.- La empresa de transportes y fletes S.A de C.V manda a servicio 4 camiones cada hr. Cada camión requiere un tiempo de 5 min para su lavado. Encontrar: a) El número promedio de camiones en espera de lavado. b) El número de camiones en el sistema. 6.- Al departamento de reparación de monitores de plasma de 14” de HP llegan lotes de 20 unidades cada 30min. Pero hay tres técnicos reparadores que tardan 5, 8,10 min respectivamente, para reparar cada monitor. En una tarde laboran una hr. a)¿Cuál será el número promedio de monitores en espera de ser reparados? c) ¿Cuántos monitores habrá reparado cada técnico? 7.- El Señor Juan Ramírez es propietario de una papelería en la que él atiende personalmente a sus clientes, quienes llegan en una tasa promedio de cuatro cada hora. El tiempo que tarda el señor no tarda para atender un cliente sigue una media de 12 min y una desviación estándar de 3.6 min. a)¿Cuál será el número promedio de clientes en espera en la papelería? b)¿Cuál será el tiempo promedio de espera y total en la papelería que pasa cada cliente? 8.- La Tortillería de Pedro Tiene los siguientes registros de llegada de sus clientes:

LLEGADA DE CLIENTES /HR

FRECUENCIA OBSERVADA

0 2 1 3 2 5 3 20 4 16 5 20

6 o más 30 Si el servicio tarda 5 min:

a) ¿Cuál será el número promedio de clientes en espera y en la tortillería? b) Cuál será el tiempo de espera y en el negocio de cada cliente?

9.- A un centro de computo tiene dos cabinas de atención al público, recibe clientes cada 6 min y la primera servidora tarda 12 min en darles la atención, mientras el segundo debido a la falta de experiencia tarda 17 min para brindar la misma calidad en el servicio. Simular las dos primeras horas de actividades del centro de cómputo y calcular lo siguiente: a) El número promedio de clientes en esperas durante la primera hora b) El número promedio de clientes atendidos por la primera servidora. c) El número promedio de clientes atendidos por la segunda servidora. 10. La oficina de cobros de servicios urbanos recibe clientes cada 3 min, los cuales son atendidos por dos servidores en serie, la primera tarda 4 y 5 min respectivamente, si el primer cliente llega a las 9:30 am: a) ¿Cuál es el número promedio de clientes en espera durante las dos primeras hrs? b) ¿De que tamaño será la línea de espera después de las 2hrs?



11.- Al banco Azteca llegan los clientes bajo la siguiente condicionante, con una media de 1.5 min, quienes son atendidos en las tres cajas que funcionan en paralelo, con una media en servicio de 2 min para cada cajero. La tasa de servicio sigue la siguiente función: a) El tiempo promedio de los clientes en espera. b) ¿Cuál será la probabilidad de que un cliente dure en espera 35 min o más? 12.- La panadería el Cristal, tiene una llegada de clientes con una media de 2 min, que son atendidos por un cajero que les da un servicio de 60 seg. a) ¿Cuál será el número promedio de clientes en espera en la panadería? b) ¿Cuál será la probabilidad de que un cliente dure en espera y en la panadería mas de 15 min? 13.- A un cibercafé llegan clientes para realizar diferentes actividades informáticas como se muestra en la siguiente tabla: Clientes/hr 6 8 9 11 12 ≥9 frecuencia 2 10 18 19 21 30 Por su parte los tiempos de servicios han dado las siguientes frecuencias: Tiempo (min) 25 27 29 26 Frecuencia 17 8 9 10

Si el servicio los proporcionan cuatro servidores, determinar el número promedio de clientes en espera y en el cibercafé; así como los tiempos promedio en la fila. 14.- El taller de reparación de computadora Gaonsy dispone de un registro de sus llegadas de clientes; ya que su propietario es un amigo de un estudiante de la carrera de Ingeniería En sistemas Computacionales del TESOEM que lo ha orientado al respecto, sus estadísticas son las siguientes:

LLEGADAS DE CLIENTES/HR


0 5 1 10 2 13 3 16 4 17

5 o más 19 Por otra parte se tiene registro de su tiempo de servicio los cuales son:

TIEMPO DE SERVICIO (MIN)


10 14 14 25 16 27



19 34 20 35

El estudiante le ha indicado que las llegadas siguen una distribución poisson y los tiempos obedecen a la curva normal?

a) ¿Cuál será el número promedio de clientes en espera en el taller? b) ¿Cuál será el tiempo promedio de espera y en el negocio de cada cliente?

15.- La compañía carbonera S.A de C.V, recibe muestras de mineral cada 5 min, las que ordena bajo un sistema PEPS, luego las muestras son analizadas en el laboratorio por dos químicos, que tienen la misma aptitud de análisis, que tardan tiempos variables dependiendo de lo que contenga la muestras; no obstante, se ha determinado que dichas muestras se comportan con una media de 7 min. Calcular: a) El número de muestra en espera de ser analizada. b) El tiempo promedio que tarda una muestra en el laboratorio.



ANEXO I

Uso del WIN QSB PARA PROGRAMACIÓN LINEAL

La parte superior de la ventana llamada TITULO indica el nombre del módulo seleccionado, en este caso se optó por mostrar el módulo de Programación Lineal y Entera (Linear and integer programming). Debajo encontramos los menú Archivo (File) y Ayuda (Help). El menú archivo comprende las siguientes opciones: • Nuevo problema (New Problem): Permite introducir un nuevo problema. • Abrir Problema (Load Problem): Abre un problema que se ha guardado con anterioridad. • Salir (Exit): Sale del programa. El menú Ayuda (Help) lo conforman: 2.0 CREANDO UN NUEVO PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL O ENTERA La opción Nuevo Problema (New Problem) genera una plantilla en el cual se introducirán las características de nuestro problema:



A continuación se describirán cada una de las casillas de esta ventana:

• Título del problema (Problem Title): Se escribe el título con que identificamos el problema. • Número de variables (Number of Variables): Se escribe la cantidad de variables con que cuenta el sistema en el modelo original. • Número de restricciones (Number of Constraints): Se anotan la cantidad de restricciones con que cuenta el modelo (no se debe contar la restricción de no negatividad). • Objetivo (Objective Criterion): Los problemas de programación lineal y entera se clasifican en dos: problemas de Maximización (Maximization) y Minimización (Minimization). • Formato de entrada de datos (Data Entry Format): Permite elegir entre dos plantillas distintas para introducir los datos del modelo. La primera alternativa se asemeja a una hoja de calcula, mientras que la segunda, es una plantilla diseñada especialmente para este fin. • Tipo de variable (Default Variable Type): En esta parte se indica las características del modelo: - Continuas no negativas (Nonnegative continuous): Indica que el modelo lo componen variables continuas no negativas (iguales o mayores a cero). - Enteras no negativas (Nonnegative Integer): Variables enteras no negativas. - Binarias (Binary): Variables cuyo valor solo serán 0 o 1. - Sin asignar / Irrestrictas (Unsigned/unrestricted): Variables irrestrictas. UN PROBLEMA EJEMPLO Dado el siguiente modelo de programación lineal:

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 3𝑥1 + 2𝑥2 − 5𝑥3

𝑠.𝑎 3𝑥1 − 2𝑥2 + 5𝑥3 ≤ 13

4𝑥1 + 12𝑥2 + 8𝑥3 ≤ 21 𝑥1 + 3𝑥2 + 9𝑥3 ≤ 19

𝑥1, 𝑥2,𝑥3 ≥ 0



Podemos ver claramente que estamos ante un problema de Maximización, con tres restricciones y tres variables (las cuales trabajaremos como variables continuas de tipo No Negativas). Teniendo claro esto, se alimenta el programa desde la ventana Nuevo Problema (New Problem):

Una vez llenados todos los campos pulsamos el botón OK, generando nuevas opciones dentro del programa.

2.3 INGRESANDO EL MODELO

Si se escogió por la plantilla tipo hoja de calculo (Spreadsheet Matrix Form), se mostrará una nueva ventana dentro de la ZONA DE TRABAJO, la cual servirá para introducir el modelo matemático.

La primera fila (Variable -->) corresponde a los encabezados de las variables (en gris) definidas automáticamente por el sistema como X1, X2 y X3 (son las tres variables del ejemplo), seguido por el operador de relación (Direction) y la solución de las restricciones o Lado de la mano



derecha (Right Hand Side -R. H. S). El nombre de las variables se puede cambiar accediendo al submenú Nombre de variables (Variables Names) del menú Editar (Edit). La segunda fila (Maximize) permite introducir los coeficientes de la función objetivo. Luego aparecen una serie de filas identificadas por la letra C y un consecutivo, las cuales corresponden a la cantidad de restricciones con que cuenta el modelo:

Por último aparecen tres filas donde definimos el valor mínimo aceptado por cada variable (Lower Bound), el valor máximo (Upper Bound) y el tipo de variable (Variable Type). En el caso del valor máximo, M significa que la variable podrá recibir valores muy grandes (tendientes a infinito).

Dar click en el botón Solve/Analize



Cabe destacar que toda la información proporcionada del win QSB, fue del Manual de dicho programa WIN QSB.

tecnolÓgico de estudios superiores del … · un proveedor debe preparar con cinco bebidas de...

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