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UNIDAD 7

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una variable aleatoria es una función que asigna un número real a cada resultado del

espacio muestral de un experimento aleatorio.

Dicho de otra forma, una variable aleatoria es una función valorada numéricamente,

cuyo valor está regido por factores en los que interviene el azar.

Las variables aleatorias pueden ser discretas o continuas, según su rango de valores.

Una variable aleatoria que puede asumir una cantidad finita de valores o una sucesión

infinita de valores enteros se llama variable aleatoria discreta. Por ejemplo, consideremos

que un experimento consiste en contar los vehículos que llegan a un puesto de cobro; la

variable aleatoria de interés es la cantidad de vehículos que llegan en un minuto y sus

posibles valores son 0, 1, 2…

Las variables aleatorias cualitativas deben asumirse como discretas, puesto que a cada

posible valor podría asignársele un número.

Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor dentro de un

intervalo de números reales. Por lo tanto, no es posible conocer su valor exacto.

Si la variable aleatoria es discreta, pero el rango es muy amplio, resulta más conveniente

utilizar un modelo basado en variables aleatorias continuas.

Cuando la variable es continua no tiene sentido hacer una suma de las probabilidades de

cada uno de los términos en el sentido anterior, ya que el conjunto de valores que puede

tomar la variable es no numerable. En este caso, lo que generaliza de modo natural el

concepto de suma (Σ) es el de integral (∫).

La distribución de probabilidad se describe mediante una función de probabilidad,

representada por f(x).

MODELOS DE DISTRIBUCIONES Frecuentemente las observaciones que se generan en experimentos estadísticos tienen

algunos tipos generales de comportamiento, por eso sus variables se pueden describir

esencialmente con unas pocas distribuciones, las cuales pueden representarse mediante una

ecuación.

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Frente a la complejidad de los fenómenos bajo estudio, el experimentador aproxima y hace

algunos postulados tentativos acerca del mecanismo aleatorio y deriva un modelo por el

empleo de esos postulados en combinación con las leyes de probabilidad.

Un modelo de probabilidad para la variable aleatoria X es una forma específica de

distribución de probabilidades que es asumida para reflejar el comportamiento de X. Las

probabilidades son registradas en términos de parámetros desconocidos que relacionan las

características de la población y el método de muestreo.

“EL MODELO DEBE SER COHERENTE CON LA REALIDAD”

En esta unidad se examinarán detalladamente algunas distribuciones específicas de

probabilidad que han demostrado, empíricamente, ser modelos útiles para diversos

problemas prácticos. Pero dichas distribuciones son teóricas porque sus funciones de

probabilidad se deducen matemáticamente con base en ciertas hipótesis que se suponen

válidas para esos fenómenos aleatorios.

Dichas distribuciones son idealizaciones del mundo real, por lo tanto sus resultados no

siempre coinciden con la realidad.

1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL: Se maneja cuando se satisfacen las siguientes

características:

a) El experimento consiste en una sucesión de n ensayos o intentos idénticos.

b) El resultado de cada ensayo se clasifica dentro de dos categorías mutuamente

excluyentes: Éxito o fracaso. El uso de esos términos es por conveniencia, pero no

tienen la misma connotación de la vida real (éxito no necesariamente es lo que

convenga).

c) La probabilidad de éxito permanece constante en todos los ensayos.

d) Los ensayos son independientes, lo que significa que la ocurrencia de uno de ellos no

afecta el resultado de cualquier otro.

La función de probabilidad binomial puede escribirse como:

xnxqpx

nxf

)( ,

donde x es el número de éxitos, n el número de ensayos, p es la probabilidad de éxito y q

es la probabilidad de fracaso.

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A continuación se muestra la representación gráfica de una distribución binomial con

valores de n y p determinados:

EJEMPLO 7.1. Cierta aerolínea hace ocho vuelos diarios de Bogotá a Miami. Suponga que la probabilidad

de que alguno de los vuelos se retrase es 0.2.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los vuelos se retrase hoy?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que hoy se retrasen por lo menos 6 vuelos?

Solución:

a) P(X=0) = 1678.08.0*2.0*0

880

b) P(X≥6) = P(X=6) + P(X=7) + P(X=8)

4

=

81726 2.08.0*2.0*7

88.0*2.0*

6

8

= 0.00123

Revisemos la distribución de probabilidades de un caso binomial en el que p = 0.3 y el

número de ensayos varía:

En casi todos los libros de estadística se encuentran tablas de la distribución binomial para

valores seleccionados de p. Para ilustrar su uso, veamos el siguiente ejemplo:

EJEMPLO 7.2. Un examen de selección múltiple contiene 20 preguntas, cada una con cuatro posibles

respuestas, de las cuales sólo una es correcta. Suponga que un estudiante sólo adivina las

respuestas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente más de la mitad de

las preguntas?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante conteste correctamente menos de 5

preguntas?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el estudiante gane el examen?

d) ¿Cuál es el número esperado de respuestas correctas?

e) Responder las preguntas a) y c) si cada pregunta tiene 5 opciones.

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Solución:

p = ¼ n = 20

a) P(X>10) = 1 – P(X10) = 1 – 0.9961 = 0.0039

b) P(X<5) = P(X4) = 0.4148

c) P(X12) = 1 – P(X11) = 1 – 0.9991 = 0.0009

d) = np = 20 * ¼ = 5 respuestas correctas

e) La probabilidad de éxito sería ya de 1/5, por tanto:

P(X>10) = 1 – P(X10) = 1 – 0.9994 = 0.0006

P(X12) = 1 – P(X11) = 1 – 0.9999 = 0.0001

2. DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA: Como el muestreo sin reemplazo viola las

condiciones de Bernoulli si la muestra no es grande, algunas veces es necesario plantear un

tipo diferente de distribución. (Es evidente que la mayoría de muestreos se realiza sin

reemplazo, esto implica que si la población es pequeña las probabilidades cambiarán en

cada observación).

Cuando se selecciona sin reemplazo una muestra aleatoria de tamaño n de una población

de tamaño N y el interés recae en la probabilidad de seleccionar x éxitos de los k artículos

considerados como éxitos en la población, se realiza un experimento hipergeométrico y su

función de probabilidad viene determinada por:

n

N

xn

kN

x

k

xf )(

La distribución hipergeométrica requiere el conocimiento de k y N.

EJEMPLO 7.3. En cierta empresa se fabricaron durante la semana 50 estaciones de juego para video.

Cuarenta de ellas funcionaron perfectamente y las demás tenían algún defecto. Se

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seleccionó al azar una muestra de 5; ¿cuál es la probabilidad de que al menos 4 de ellas

funcionaran perfectamente?

Solución:

P(X4) = 742.0

5

50

0

10

5

40

1

10

4

40

3. DISTRIBUCIÓN DE POISSON: Este es el modelo de probabilidad más adecuado

para eventos que ocurren aleatoriamente a través del tiempo o el espacio. Este tipo de leyes

se aplica a sucesos con probabilidad muy baja de ocurrir, obteniéndose como la

distribución límite de una sucesión de variable binomiales.

Un tipo importante de problemas de decisión bajo incertidumbre es caracterizado por la

pequeña probabilidad de ocurrencia de un acontecimiento particular, tal como un

accidente. La función de probabilidad de Poisson calcula la probabilidad de exactamente x

ocurrencias independientes durante un período de tiempo dado, si los eventos ocurren

independientemente y a una tasa constante. La función de la probabilidad de Poisson

también representa el número de ocurrencias sobre áreas o volúmenes constantes.

Esta distribución supone:

a) Independencia: El número de ocurrencias en un intervalo determinado es independiente

del número de ocurrencias en cualquier otro intervalo.

b) La posibilidad de dos ocurrencias simultáneas puede ser asumida como cero.

c) El número promedio de ocurrencias por unidad de tiempo o espacio se considera una

constante.

d) La probabilidad de que suceda determinado número de eventos en un proceso de

Poisson depende únicamente de la longitud del intervalo observado y no de su

ubicación.

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson X, que representa el

número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo, área, espacio o volumen

específico se denota así:

!

)()(

x

texf

xt

,

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donde es el número promedio de resultados por unidad de tiempo o región y t es la

longitud del intervalo.

A continuación se observa la representación gráfica de una distribución de Poisson con una

media baja:

EJEMPLO 7.4. Al Departamento de Reservaciones de Aerolíneas Regionales llegan en promedio 48

llamadas por hora.

a) Calcule la probabilidad de recibir 3 llamadas en un intervalo de 5 minutos.

b) Calcule la probabilidad de recibir al menos una llamada en 15 minutos.

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la secretaria pueda ausentarse tres minutos sin interferir

con la atención de las llamadas?

Solución:

a) 1954.0!3

)4()3(

312/1*48

e

XP

b) 999994.0

!0

12*1

)0(1)1(

04/1*48

e

XPXP

8

c) 0907.0)0( 20/48 eXP

Al igual que para la distribución binomial, existen también tablas para la distribución

Poisson. Veamos un ejemplo:

EJEMPLO 7.5. Los mensajes que llegan a un computador utilizado como servidor lo hacen de acuerdo con

una distribución Poisson con una tasa promedio de 10 mensajes por hora.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen más de 3 mensajes en un espacio de 15 minutos?

b) ¿Cuál es el número esperado de mensajes en una jornada de 14 horas?

Solución:

a) = 10 t = ¼ = 2.5

P(X>3) = 1 – P(X3)

= 1 – 0.7576

= 0.2424

b) = 10*14

= 140 mensajes

En general utilizaremos la distribución de Poisson como aproximación de

experimentos binomiales donde el número de pruebas es muy alto, pero la

probabilidad de éxito muy baja, teniendo en cuenta que µ = np

EJEMPLO 7.6. Se calcula que 0.5% de las llamadas al departamento de facturación de cierta empresa

recibirá el tono de ocupado. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 5 de las 1200

personas que llamaron el día de hoy haya recibido tono de ocupado?

Solución:

µ = 0.005*1200 = 6

7149.0)5( XP

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4. DISTRIBUCIÓN NORMAL: Es la más empleada para modelar experimentos

aleatorios continuos porque describe ajustadamente muchos fenómenos naturales,

industriales e investigativos; los errores en mediciones científicas se aproximan bien

mediante la distribución normal.

Esta distribución puede obtenerse al considerar el modelo de una variable binomial cuando

el número de ensayos tiende a infinito.

La función de densidad de una variable aleatoria normal X, con media µ desviación

estándar σ es:

xexf

x

,2

1)(

2

2

2

)(

La distribución normal presenta las siguientes características:

1. Su gráfica tiene forma de campana.

2. El punto más alto de la curva normal es la media, que también es la mediana y la moda

de la distribución.

3. El área total bajo la curva es 1.

4. La curva es simétrica alrededor de la media; por lo tanto, el área a la izquierda de la

media es 0.5 e igual a su derecha.

5. El eje x es una asíntota horizontal, es decir, los extremos de la curva se prolongan al

infinito en ambas direcciones.

6. La desviación estándar determina el ancho de la curva. A mayores valores de σ se

obtienen curvas más anchas y bajas (mayor dispersión de los datos).

Distribuciones normales con diferentes medias e igual dispersión y distribuciones

normales con igual media y diferente dispersión.

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Por lo descrito, la probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre a y b es:

dxebXaP

b

a

x

2

2

2

)(

2

1)(

Que gráficamente sería:

Esta integral no es de fácil solución, pero dicho problema puede obviarse mediante la

estandarización de la variable, que consiste en transformar todas las observaciones de

cualquier variable aleatoria normal X a un nuevo conjunto de observaciones de una

variable aleatoria normal Z con media 0 y varianza 1; todas las distribuciones normales

pueden convertirse a “distribuciones normales estándar” restando la media de cada

observación y dividiendo por la desviación estándar.

xZ

Para la utilización en problemas prácticos de la distribución normal existen ciertas tablas

donde se encuentran los valores F(x) para una serie limitada de valores Z dados.

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Aproximadamente el 68% de las veces, una variable aleatoria normal asume un valor en el

intervalo µ±σ, aproximadamente 95% en el intervalo µ± 2σ y más del 99% en µ ± 3σ

EJEMPLO 7.7. Durante los últimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la Bolsa.

Durante las dos primeras semanas de abril, el volumen diario promedio fue de 586000

acciones. La distribución de probabilidad del volumen es aproximadamente normal con

desviación estándar de 115000 acciones.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado en un día sea menor a 395000

acciones?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que se negocien más de 800000 acciones?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que en un día se negocien entre 500000 y 600000 acciones?

d) Si la Bolsa quiere emitir un boletín de prensa sobre el 5% de los días más activos, ¿qué

volumen activará la publicación?

Solución:

Sea: X = miles de acciones negociadas.

0485.0)66.1(115

586395)395()

ZPZPXPa

0314.09686.01)86.1(1)86.1(115

586800)800()

ZPZPZPXPb

12

c)

3212.02266.05478.0

)12.075.0(115

586600

115

586500)600500(

ZPZPxP

645.1:95.0)(05.0)() ztablalaDezZPzZPd

775)115(645.1586

zx

xz

Eso implica que la publicación se sacará los días que se negocien más de 775000

acciones.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Se elige una muestra de 20 empresas colombianas exportadoras. Se sabe por estadísticas

de años anteriores que aproximadamente el 40% de las empresas colombianas

exportadoras registra operaciones en más de 5 ciudades.

a) ¿Qué tan probable es encontrar al menos 18 empresas que tengan operaciones en

más de 5 ciudades? Si ese porcentaje fuera muy alto, ¿creerías que el porcentaje

dado ha variado y que ya las empresas trabajan en más ciudades?

b) ¿Qué tan probable es encontrar entre 10 y 15 empresas que laboren en más de 5

ciudades?

2. A mediados del mes pasado se realizó en Medellín la Macrorrueda de Negocios de

Latinoamérica. Si se realizaron en promedio 20 negocios grandes por hora, ¿cuál es la

probabilidad de que:

a) se hicieran 10 negocios o menos entre las 10 y las 10 y media de la mañana de un

día determinado?

b) se realizaran entre 3 y 5 negocios –inclusive- en un período de 10 minutos?

c) se hicieran por lo menos 10 negocios en un espacio de 1 hora?

3. A finales del año anterior estuvieron de visita en Colombia gran parte de los principales

tours operadores de los Estados Unidos para conocer los principales destinos turísticos

que ofrece el país e intercambiar oportunidades de negocios con operadores y

empresarios colombianos. La probabilidad de que uno de esos operadores hubiera

establecido negocios grandes en Colombia es 0.8; si se selecciona aleatoriamente un

grupo de 15 operadores

a) ¿cuál es la probabilidad de que al menos 12 hayan hecho grandes negocios?

b) ¿cuál es la probabilidad de que menos de 5 hayan hecho grandes negocios?

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c) ¿cuál es la probabilidad de que más de 5 pero menos de 10 hayan hecho negocios

grandes?

4. Los pasajeros de las aerolíneas llegan al azar e independientemente a la sección de

documentación en un aeropuerto internacional. La frecuencia promedio de llegadas es

de 10 pasajeros por minuto.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que no llegue nadie en un espacio de 15 minutos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen al menos 3 pasajeros en cierto minuto?

5. Una encuesta nacional revela que el 60% de los administradores graduados trabajan en

su área de estudios. Si se evalúan los 16 egresados de Administración de la Universidad

X de este año, ¿cuál es la probabilidad de que:

a) todos se empleen en administración?

b) al menos el 75% de ellos se emplee en el área?

c) menos de 10 se empleen en el área?

6. El estudio de un inventario muestra que, en promedio, las demandas de cierto artículo en

un determinado almacén se realizan 10 veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que en

un día dado se pida este artículo

a) más de 5 veces b) ninguna vez c) entre 15 y 20 veces, inclusive

7. Se toma una muestra de 15 paquetes estadísticos para evaluar si permiten hacer un

determinado análisis. Anteriores estudios indican que la probabilidad de que un

software estadístico deje hacer ese análisis es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que al

menos 13 de los 15 paquetes seleccionados permitan hacer el análisis?

a) Si se toma X = número de paquetes que permiten hacer el análisis.

b) Si se toma X = número de paquetes que no permiten hacer el análisis.

8. Al conmutador de una universidad llegan en promedio 120 llamada/hora durante las

horas de actividad. El conmutador no puede hacer más de 5 conexiones por minuto;

calcule la probabilidad de que:

a) el conmutador se encuentre congestionado en un minuto dado.

b) se pierdan 3 o más llamadas si la recepcionista salió 2 minutos de la oficina.

9. Un embarque de 100 artículos contiene dos unidades defectuosas. Al revisarlo, se

tomará una muestra y las unidades se inspeccionarán. Si se encuentra al menos una

unidad defectuosa, se rechazará todo el embarque.

a) Si se selecciona una muestra de 3 artículos, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el

embarque?

b) ¿Cuál es esa probabilidad si la muestra es de 4 artículos?

c) ¿Cuál es esa probabilidad si la muestra es de 5 artículos?

d) ¿Qué concluye?

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10. Cuando una máquina nueva funciona bien, sólo el 3% de los artículos que produce

tienen defectos. Si se seleccionan al azar 10 partes producidas por la máquina

a) ¿cuál es la probabilidad de encontrar por lo menos un defectuoso?

b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos la mitad sean defectuosos?

11. Un nuevo proceso automatizado de producción ha tenido un promedio de 1.5

descomposturas por día. Debido al costo asociado con una descompostura, a la

administración le preocupa la posibilidad de tener tres o más descomposturas durante

un día. Suponga que esos daños ocurren al azar, que la probabilidad de daño es igual

para dos intervalos cualquiera de igual longitud y que las descomposturas en un

período son independientes de las que suceden en otros períodos. ¿Cuál es la

probabilidad de tener 3 o más descomposturas en un día?

12. El estudio de un inventario determina que, en promedio, las demandas de un artículo

particular en un almacén se realizan cinco veces al día. ¿Cuál es la probabilidad de que

en un día dado se pida este artículo

a) más de cinco veces?

b) ninguna vez?

13. Los días 27 y 28 de marzo de 2006 se llevará a cabo en Cartagena una macrorrueda de

Agroindustria, donde se pretende que las empresas exportadoras colombianas del

sector muestren la alta calidad, diseño y valor agregado de sus productos. Se tienen

datos de asistencia de compradores internacionales a eventos de este tipo realizados en

Latinoamérica y se ha encontrado que dicha variable tiene una distribución

aproximadamente normal con media de 846 compradores y desviación estándar de 275

compradores.

a) ¿Qué tan probable es que al evento asistan más de 1300 compradores

internacionales?

b) ¿Qué tan probable es que asistan entre 900 y 1200 compradores internacionales?

c) Si el número de compradores internacionales supera por lo menos al 90% de los

compradores internacionales en los eventos latinoamericanos de este tipo, el evento

será destacado en la comunidad internacional mediante un boletín de prensa en

Estados Unidos. ¿Cuántos compradores internacionales deben presentarse como

mínimo para que se presente ese hecho?

14. Se ha encontrado, por datos históricos, que el del monto de negocios en las ferias de

textiles que se han desarrollado en Colombia durante los últimos 5 años sigue

aproximadamente una distribución normal con media 9.8 millones de dólares y

desviación estándar de 8.7 millones de dólares.

a) En Colombiatex, realizada en enero en Medellín, se efectuaron negocios por 33

millones de dólares; ¿hará parte del 5% de ferias textileras donde más negocios se

han hecho?

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b) ¿Cuál es la probabilidad de que en una feria de este tipo se hagan negocios por más

de 15 millones de dólares?

15. La revista X publicó el escalafón de las 500 empresas colombianas de mayores

exportaciones en 2005; publicó sus activos, utilidades y patrimonios. Se encontró que

el monto de los activos de dichas empresas sigue aproximadamente una distribución

normal con media de 358 millones de dólares y una desviación estándar de 156.4

millones de dólares.

Si se supone que para 2006 la distribución de los activos de esas empresas no varíe

mucho, responda:

a) ¿Qué tan probable es que los activos de una empresa de las que aparece en ese

escalafón supere los 200 millones de dólares, pero no los 400 millones de dólares?

b) ¿Entre qué valores se encuentran los activos en el 80% de las empresas más

“comunes” en cuanto a ese parámetro?

16. Cierta empresa planea exportar un neumático radial con banda de acero que venderá a

través de una cadena americana de tiendas de descuento. La dirección de la empresa

cree que la garantía de millas recorridas que se ofrezca con el neumático será un factor

importante en la aceptación. Antes de firmar ese contrato, la dirección desea contar con

información acerca de las millas que duran los neumáticos.

En pruebas reales en carretera, se ha estimado que el promedio de distancia recorrida es

36500 millas y que la desviación estándar es 5000 millas. Si la distribución de

probabilidad de las duraciones es aproximadamente normal,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que las millas recorridas rebasen las 40000?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que los neumáticos duren en buen estado más de 30000

millas, pero menos de 50000?

c) La empresa planea una garantía según la cual el usuario recibirá un descuento en

sus neumáticos de repuesto si los neumáticos originales no rebasan la distancia en

millas especificada en la garantía. ¿Cuáles deben ser las millas recorridas para que

no haya más de 10% de los neumáticos que aprovechen el descuento de la garantía?

17. El tiempo necesario para terminar un examen final en determinado curso se distribuye

normalmente con 80 minutos de media y 10 minutos de desviación estándar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de terminar ese examen en una hora o menos?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno termine el examen en más de 60 minutos,

pero en menos de 75 minutos?

c) Suponga que en el grupo hay 60 alumnos y que el tiempo del examen es de 90

minutos. ¿Cuántos alumnos se espera que no puedan terminar el examen en el

tiempo indicado?

18. 3256 personas presentaron los exámenes de ingreso a una universidad, los cuales se

calificaban con un puntaje máximo de 100. Las calificaciones se aproximan a una

distribución normal, con una media de 67.8 y una desviación estándar de 10.1.

16

a) El 12% de los postulantes con más alta calificación en el examen son aceptados en

la universidad. ¿Un estudiante que obtiene un puntaje de 73 en el examen es

aceptado o no?

b) ¿Qué porcentaje de postulantes obtuvieron una calificación entre 60 y 80?

19. Una prueba de admisión a una universidad tiene 200 preguntas, cada una con 4 posibles

respuestas, de las que sólo una es correcta. Para pasar a entrevista se debe responder

correctamente por lo menos el 75% de las preguntas.

a) Un aspirante está seguro de 107 respuestas, pero tiene que responder las demás al

azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea llamado a entrevista?

b) Un aspirante sólo tiene que adivinar 10 para ajustar el número de respuestas

correctas que necesita, ¿cuál es la probabilidad de que sea llamado a entrevista?

20. Se esperaba que la crisis monetaria en Asia a finales de 1997 y principios de 1998

tuviera como consecuencia reducciones apreciables del empleo en Estados Unidos por

la inundación de su mercado con importaciones baratas. Se esperaba que California

estuviera fuertemente afectado. El Instituto de Política Económica estimó que la

cantidad media de pérdidas de empleo en California fuera de 126681. Suponga que la

cantidad de empleos perdidos tiene una distribución normal y que su desviación

estándar es de 30000.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de empleos perdidos estuviera entre

80000 y 130000?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que esa cantidad sea inferior a 50000?

c) ¿Qué valor de corte dará como resultado una probabilidad de 0.95 de que la cantidad

de empleos perdidos no sea mayor de ese valor?

21. Un estudio sobre el pago de facturas reveló que, en promedio, una factura se pagaba a

los 20 días de su recepción. La desviación estándar equivalía a 5 días.

a) ¿Qué porcentaje de facturas se paga antes de 15 días de su recepción?

b) La gerencia desea estimular a los clientes para que paguen sus facturas mensuales lo

más pronto que les sea posible. Por lo tanto, se anunció que estaría vigente una

reducción de 2% en el precio para los clientes que pagaran en un lapso de siete días

hábiles a partir de que se reciba la factura. Suponiendo que los pagos tienen

distribución normal, de los 200 clientes que se espera este mes, ¿cuántos tendrían

derecho a la reducción si todo continúa igual?

22. Estadísticas publicadas muestran que en una noche promedio de fin de semana, dos de

cada diez conductores están ebrios. Si se verifican 400 conductores al azar la siguiente

noche de sábado, ¿cuál es la probabilidad de que el número de conductores ebrios sea

a) menor que 64?

b) mayor a 100?

c) al menos 70, pero menos de 90?

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23. El salario inicial de los administradores de negocios internacionales recién egresados

tiene una distribución aproximadamente normal, con media $1069000 y desviación

estándar $369690.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que Paula, una recién egresada de la carrera, gane

más de $2000000?

b) Sergio gana $2000000. ¿Hace parte del 10% de los que más ganan? ¿Por qué?

c) ¿Por debajo de que valor está el salario del 5% de los más mal pagos?

24. Durante la semana anterior se llevó a cabo la Macrorrueda de Negocios de

Latinoamérica; estadísticas publicadas por Proexport muestran que el 40% de los

compradores extranjeros era de México. Si se muestrean 100 compradores

extranjeros al azar, ¿cuál es la probabilidad de que el número de mejicanos sea:

a) Menor o igual a 35

b) Al menos 40, pero menos de 69

25. Los costos de servicio por mes en una agencia de viajes tienen una distribución

aproximadamente normal, con promedio de $150 millones y desviación estándar de

$6750000.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el próximo mes los costos de servicio estén entre

120 y 170 millones de pesos?

b) ¿Por debajo de qué valor son los costos de servicio en el 20% de los meses con

menores costos?