TAUTOCRONA

Elfsicoy matemtico holands ChristianHuygens(1629-1695)investig la tautcrona (del griegotautos, igual, ycronos, tiempo) o iscrona,es decir, la curva tal que un objeto cae por ella invirtiendo siempre el mismo tiempo, independientemente del punto de partida. Descubri geomtricamente en 1673 (por medio de ecuaciones diferenciales lo hara en 1690 Jacques Bernouilli) que tal curva era una cicloide. Esta curva haba sido caracterizada en 1615 por el sacerdote, telogo, filsofo y matemtico francs MarinMersenne(1588-1648), e incluso antes por el astrnomo, matemtico y fsico italianoGalileoGalilei (1564-1642) en 1599, como aquella que describe un punto de una circunferencia al girar:En efecto, si dejamos caer sendas canicas desde A y B al mismo tiempo llegarn a la vez al punto ms bajo:

Curva BraquistocronaUncurva braquistcrona(gr.brachistos'el ms corto', chronos'[intervalo de] tiempo'), o curva del descenso ms rpido, es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo, por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo accin de una fuerza degravedadconstante y suponiendo que no existefriccin.

La braquistcrona es lacicloide

Dados dos puntosAyB, conAa una elevacin mayor queB, existe solo una curvacicloidecon la concavidad hacia arriba que pasa porAcon pendiente infinita (direccin vertical y sentido de arriba hacia abajo), tambin pasa porBy no posee puntos mximos entre A y B. Esta particular cicloide invertida es una curva braquistcrona. La curva no depende de la masa del cuerpo o del valor de la constante gravitacional.El problema puede ser resuelto utilizando los algoritmos delclculo variacional.Si al cuerpo se le da una velocidad inicial enA, o si se toma en cuenta el efecto de la friccin, la curva que minimiza el tiempo de trnsito ser distinta de la descrita en los prrafos precedentes.

Propiedades La curva braquistcrona coincide adems con una curva tautcrona. Una curva plana se dice tautcrona si dada una coleccin de puntos materiales que se mueven a lo largo de ellas que empiezan en puntos diferentes se encuentran en un punto de la curva, es decir tardan el mismo tiempo en alcanzar una cierta posicin.Anexo: La cicloide (I): braquistcrona ytautcronaSi tenemos dos puntos A y B, a diferente altura, cul es la forma ms rpida de conectarlos? Es decir, si los unimos mediante una rampa y tiramos por ella una pelotita, qu forma debe tener para que tarde el menor tiempo posible en bajar por su propio peso?Una primera respuesta intuitiva es que la rampa sea una lnea recta:

Sin embargo, nada ms lejos de la realidad. Aunque la lnea recta es la distancia ms corta entre dos puntos, no es la ms rpida. La pelota llegar antes si construimos un tobogn de la siguiente forma.

De hecho, con ese tobogn no slo llega antes que con una lnea recta, sino antes que con cualquier otra curva. Pero, cul es esta curva tan especial? Pues se trata de lacicloide.La cicloide es la curva que genera un punto de una circunferencia que rueda sobre una lnea recta, es decir, lo que dibujara un rotulador pegado a la rueda de tu bicicleta, mientras te das un paseo pegado a la pared. Nuestro tobogn entre A y B es entonces una cicloide invertida. Incluso si los puntos A y B estn situados de manera que haya que bajar para luego volver a subir, la cicloide ser el camino ms corto. Por eso se la llama tambinbraquistcrona(del grigo ms corto y tiempo).

Pero la cicloide tiene ms propiedades interesantes.Huygens descubri que, adems debraquistcrona, estautcrona. Es decir, si volvemos a nuestro tobogn con forma de cicloide invertida, y lanzamos ahora dos pelotas, stas llegan al mismo tiempo al punto ms bajo de la cicloide (despreciando el rozamiento). Podemos decir que el mayor recorrido que tiene que recorrer una de ellas se compensa con una mayor aceleracin al estar la pendiente ms inclinada. Por tanto, da igual desde donde nos tiremos por nuestro tobogn que tardaremos lo mismo en llegar al suelo.

ELIPSELaelipsees unalneacurva, cerrada y plana cuya definicin ms usual es:Laelipsees ellugar geomtricode todos lospuntosde unplano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamadosfocoses constante.

Una elipse es la curva simtrica cerrada que resulta al cortar la superficie de unconopor un plano oblicuo al eje de simetra con ngulo mayor que el de lageneratrizrespecto del eje de revolucin.Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera unesferoideachatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

REFERENCIAS BILIOGRAFICAS AL MARGEN DE FERMATLey de la conservacin de energa y Circunferencia: URL disponible en: http://almargendefermat.wordpress.com/2009/02/22/la-cicloide-i-braquistocrona-y-tautocrona/

CENTRODEARTIGOSCurva Tautocrona. URL Disponible en:http://centrodeartigos.com/articulos-noticias-consejos/article_125398.html

MATEMATICA INTERACTIVAConservacin de Energa: El Cicloide. URL Disponible en:http://matematicainteractiva.com/la-cicloide-propiedad-tautocrona