tasas de interes final

7/23/2019 Tasas de Interes Final

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EL TEXTO SIGUIENTE FUE REALIZADO POR LOS DOCENTES:DIANA SIRLEY TABARES HIGUITA Y JUAN CARLOS RESTREPO RIOS,TOMANDO COMO REFERENCIA LOS SIGUIENTES TEXTOS:

• Montoya Durango Leonel, Matemáticas financieras 10ª edición.• Gualteros Villareal, Omar. Matemáticas financiera, aplicadas a los negocios.ª edición.• Garc!a ", Oscar León. #dministración $inanciera, fundamentos yaplicaciones. %apitulo &. 'ª edición.• (ati)o Lemus, Mar!a *ut+. (re- "c+ile duardo. /ngenier!a económica. 1ªedición.

n el teto encontrarán el tema de tasas de inters, contemplado en el módulo

de matemáticas financieras.

1



Contenido

#"#" D /2*3".........................................................................................2

$4*M5L# (#*# 2%O2*#* L# #"# $%/V# #25#L 6 2OM/2#L................4

#"#" D /2*3" 75/V#L2"................................................................7

#"# D /2*" #2/%/(#D#........................................................................9

2



TASAS DE INTERÉS

*ecordemos 8ue las tasas de inters, es el porcenta9e de dinero 8ue se co:ra

o paga por prestar o in;ertir un capital en un determinado tiempo.

l 9uego operacional de las tasas de inters está su9eto a diferentes posicionesde aplicación y mane9o. De:ido a eso se pueden plantear las siguientesclasificaciones, tasa periódica, tasa de inters nominal y tasa de intersefecti;a.

Tasa per!"#a $p%: s la tasa de inters 8ue se aplica al ;alor de un crdito ode una in;ersión, tam:in se conoce como la tasa efecti;a del periodo. nconsecuencia, es la tasa de inters 8ue se utili-a para calcular los interesespara un periodo determinado.

9emplo<

0,&=> mensual, => :imestral, ?> trimestral, 1> semestral, '> anual, entreotras.

Tasa &'(&a) $N%: es una tasa de referencia 8ue eiste sólo de nom:re por 8ue no nos determina la ;erdadera tasa de inters 8ue se co:ra en unaoperación financiera. am:in se puede decir 8ue es una tasa de inters 8uese epresa anualmente y se capitali-a más de una ;e- al a)o. (or e9emplo<

1=> nominal anual con capitali-ación mensual, &> nominal anual concapitali-ación :imestral, '0> anual capitali-a:le trimestralmente, @> anualsemestre ;encido, entre otras.

Tasa e*e#+a $e%: s la tasa de inters 8ue opera durante un a)o, incluyendola reinserción de inters segAn el periodo utili-ado. De igual manera, 8ue latasa efecti;a es la tasa 8ue mide el costo efecti;o de un crdito o la renta:ilidadefecti;a de una in;ersión, y resulta de capitali-ar o rein;ertir los intereses 8uese causan cada periodo. (or e9emplo<

@> efecti;o anual o 1> anual.

#ntes de descri:ir las fórmulas para encontrar cada una de estas tasas,esta:le-camos claramente como se calcula el rendimiento de un capital,cuando se conocen el capital inicial B;alor presente V(C y el monto B;alor futuroV$C.

O:ser;emos el siguiente caso< un in;ersionista deposita '.000.000 en unfondo de in;ersión durante un a)o y reci:e &[email protected] al finali-ar el a)o.

%alculemos el rendimiento de la in;ersión<

3



Tasa "e re&"(e&+' - &+ereses . #ap+a) &#a) /P

(ara calcular la tasa de rendimiento se necesita conocer los intereses, para ellosa:emos 8ue los intereses se pueden calcular restando lo 8ue reci:e alfinali-ar el periodo y su in;ersión inicial<

I&+ereses 0 - 123442444 5 624442444 - 723442444

Luego se calcula la tasa de rendimiento, as!<

Tasa "e re&"(e&+' - 723442444 . 624442444 - 4,8 - 849 a&a)

"e puede decir 8ue la tasa de rendimiento es igual<

*ecordemos, 8ue

"e reempla-a en la fórmula, as!<

asa de rendimiento E BV$ F V(C V( E V$ V( F V(V(E V$V( H1

(ara el e9ercicio anterior, la tasa de rendimiento es<

asa de rendimiento E B&[email protected] '.000.000C F 1 E 1,I F 1 E 0,I E I0> anual.

4

Tasa de Rendimiento = I / VP

I = VF - VP

Tasa de Rendimiento = (VF/ VP) - 1



F;RMULA PARA ENCONTRAR LA TASA EFECTI/A ANUAL YNOMINAL

La tasa efecti;a anual es la ;erdadera tasa de inters 8ue se o:tiene de una

in;ersión o 8ue se incurre por un prstamo.

(ara sa:er cual es el rendimiento real de una in;ersión o deuda, es decir, sutasa efecti;a anual, se tiene la siguiente fórmula<

asa de rendimiento o ie E BV$V(C H1, recordemos 8ue<

*eempla-amos en la fórmula,

ie E BV( J B1KiCnC V( H 1ie E B1 K iC n F 1

Vemos 8ue la tasa de inters efecti;a anual está en función de otra tasa deinters, sta es la tasa de inters efecti;a para el per!odo, es decir es la tasa deinters periódica BipC.

%ómo es una tasa efecti;a anual, la ;aria:le n, de:e estar contemplada entrminos de un a)o, es por eso 8ue n ;a +acer igual al nAmero decapitali-aciones 8ue eisten en el a)o, por lo tanto, n E .

La fórmula para encontrar la tasa efecti;a anual es<

e - $7 < p%= >7,

La fórmula para calcular la tasa periódica es la siguiente<

"iendo, in la tasa nominal y el nAmero de capitali-aciones del periodo.

ntonces la fórmula de la tasa efecti;a anual es<

2ótese 8ue la tasa efecti;a anual sólo depende de la tasa periódica y lafrecuencia de capitali-ación.

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VF = VP * (1+ i)n

ip= in / k

ie = (1+ in/k) k - 1



E?e(p)',

allar el inters efecti;o anual, a partir del 'I> anual con capitali-aciónmensual, :imestral, trimestral, semestral y anual.

Cap+a)@a#!&=

Tasa Per!"#a ' +asae*e#+a para e) per'"'2

C)#)'Tasa

E*e#+a1 'I>1 E '> B 1 K 0,0'C1 H 1 &,=?I1>I 'I> I E I> B 1 K 0,0I CI H 1 &1,@=1N>& 'I> & E N> B 1 K 0,0N C& H 1 &1,1=@1> 'I> E 1@> B 1K 0,1@C H 1 'N,&>1 'I> 1 E 'I> B 1 K 0,'I C1 H 1 'I>

Como puede verse, la tasa efectiva va disminuyendo a medida que elperíodo de capitalización disminuye, es decir, entre más tarde secobren los intereses la tasa efectiva es menor. Mientras más plazonos den para pagarlos, más dinero tendremos disponible para realizarotras operaciones.

Ahora bien, si quisiramos saber cuál es el inters periódico a partirde la tasa efectiva, la fórmula sería la siguiente!

"artimos de la tasa efectiva ie # $% & ip'( ) %.ie &%# $%&ip'(

"ara despe*ar ip debemos sacar raíz cuadrada de + o elevar a amboslados por %+, así!

$ie &%'%( # $$%&ip'( '%(

$ie &%'%( # % & ip$ie &%'%( ) % # ip

-omemos como referencia el e*emplo anterior,Cap+a)@a#!& = Tasa e*e#+a C)#)' Tasa per!"#a

1 &,=?I1> B 1 K 0,&=?I1C11 H 1 '>I &1,@=1N> B 1 K 0,&1@=1N C1I H 1 I>& &1,1=@1> B 1 K 0,&11=@1 C1& H 1 N> 'N,&> B 1K 0,'N&C1 F 1 1@>1 'I> B 1 K 0,'I C1 F 1 'I>

i quisiramos hallar la tasa nominal, haríamos la siguiente

operación!

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ip = (1+ ie) 1/k - 1



abemos que ip# in(, entonces in es

"ara el e*ercicio,

in # /0 1%2 # /30in # 30 13# /30y así sucesivamente.

"ara encontrar la tasa nominal a partir de la tasa efectiva se utiliza lasiguiente fórmula,

"ara encontrarla sabemos que la tasa efectiva ie # $% & in('( ) %.

ie &%# $%&in('(

"ara despe*ar in debemos sacar raíz cuadrada de + o elevar a amboslados por %+, así!

$ie &%'%( # $$%&in('( '%(

$ie &%'%( # % & in($ie &%'%( ) % # in(+ 1 $ie & %'%( ) % # in

4ntonces,

FORMULAS DE TASA EFECTI/A Y NOMINAL$órmula 1 asa nominal

conociendo tasaperiódica

inE ip J

$órmula asa periódicaconociendo tasa nominal

ipE in

$órmula ' asa efecti;a anualconociendo la tasaperiódica

ieE B1 K ipC H1

$órmula & asa periódica a partirde la tasa efecti;a anual

ipE B1K ieC1 H1

$ormula = asa nominal a partir dela tasa efecti;a anual

inE J B1K ieC1 H1

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in= ip *k

in= k * (ie + 1)1/k - 1



%omo la metodolog!a es tra:a9ar utili-ando la +erramienta de cel, estasfórmulas tienen una nomenclatura diferente as!<

/ARIABLE /ARIABLE EN EXCEL

in #"#.2OM/2#Lie /2.$%/VO

8



TASAS DE INTERÉS EUI/ALENTES

Dos o más tasas de inters son e8ui;alentes, cuando un mismo capital

in;ertido con cada una de ellas, produce el mismo monto o ;alor futuro en elmismo tiempo y por 8ue sus tasas efecti;as son iguales.

(or e9emplo, una tasa anual con capitali-ación mensual 8ue sea igual a otraanual con capitali-ación semestral. 2ominalmente serán diferentes, pero por las diferentes frecuencias de capitali-ación, resultan siendo iguales por tener lamisma tasa efecti;a anual.

9emplo< determinar una tasa anual con capitali-ación semestral 8ue seae8ui;alente al 0> anual con capitali-ación trimestral.

D#O"<inE E semestral E Pin E 0> E trimestral.

(ara 8ue sean e8ui;alentes, sus efecti;as anuales de:en ser igualesQ +allemosla efecti;a anual de la 8ue nos dan y con :ase a ella determinamos la 8ue nospiden<

"a:emos 8ue<

*eempla-amos en la fórmula,

ieE B 1K 0,0&C& H1ieE B1,0=C& F 1ie E 1,==0I=> tasa efecti;a anual.

(ara conocer la tasa nominal con capitali-ación semestral, se +ace utili-a lasiguiente fórmula,

*eempla-amos,in E JB1K 0,1==0I=C1 H1in E J B1,10=C H1in E J B10,=>Cin E 0,=> anual con capitali-ación semestral

"e puede con concluir 8ue una tasa del 0> anual con capitali-ación trimestrales e8ui;alente a una tasa del 0,=> con capitali-ación semestral, por 8ue sutasa efecti;a es igual a 1,==0I=>. (ara compro:arlo, suponga 8ue se

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ie = (1+ in/k) k - 1

in = k * (1+ ie) 1/k - 1



in;irtieron 100.000 a = a)os a estas dos tasas, Rcuál es el monto o ;alor finalde dic+a in;ersiónP

• %on in E 0> E trimestral,Datos<

ip E 0> & E =>V(E 100.000nE = a)os E 0 trimestres,

*espuesta, sa:emos 8ue

*eempla-amos, V$ E 100.000 JB1K 0,0=C0

V$ E I='N,??0=

• %on in E 0,=> E semestral,Datos<ip E 0,=> E 10,=>V(E 100.000nE = a)os E 10 semestres,

*espuesta, sa:emos 8ue

*eempla-amos, V$ E 100.000 JB1K 0,10=C10

V$ E I='N,??0=

"e puede decir tam:in, 8ue el => trimestral es e8ui;alente al 10,=>semestral, por 8ue am:as tasas periódicas tienen la misma tasa efecti;a anualdel 1,==0I=>.

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VF = VP * (1+ i)n

VF = VP * (1+ i)n



TASA DE INTERES ANTICIPADA

s costum:re en el sistema financiero %olom:iano co:rar en forma anticipada

los intereses en algunas de sus modalidades de crdito. sto +ace 8ue elcálculo de la tasa efecti;a de:a modificarse con respecto a la 8uedesarrollamos anteriormente, para los intereses ;encidos. (ara una misma tasaperiódica, el co:ro anticipado de intereses da como resultado final unarenta:ilidad mayor 8ue a8uella calculada para los ;encidos.

(ara mostrar el comportamiento de la tasa de inters anticipada, se parte detener en cuenta el funcionamiento de la tasa de inters ;encida. 9emplo< sitenemos una tasa del '0> anual ;encida, interpretamos 8ue por cada peso8ue se tenga +oy, de:emos reci:ir 1,'0 al finali-ar el a)o.

#+ora consideremos una tasa de inters del '0>, pero anticipada,encontrándonos una situación 8ue por cada peso B1C 8ue prestamos de:emosretener 0,'0 por concepto de intereses entregados o pagados, es decir cuando se pagan intereses al inicio del periodo o por anticipado, realmente enel momento inicial le entregar!an, 1 F 0,'0 E 0,?0.

"i se 8uiere conocer la tasa efecti;a anual ;encida, :asta con reempla-ar en lafórmula<

4ntonces,56 # 7%5" # 78,98n # %

:eemplazamos, % # 8,98 1 $%& i'% # %8,98 # % & ii# %,;/ ) % i # ;/0 anual.

ieA # $%< 8,/'<% <% # = 5" # ;/0

>na tasa de inters del /80 anual anticipada corresponde a una tasade inters del ;/0 efectiva anual vencida.

4n síntesis, cuando se tiene una tasa de inters anticipada se debeprimero hallar su tasa de inters vencida, a travs de!

4*emplo! un banco cobra una tasa de inters del /80 anual trimestreanticipado y se desea saber cuál es la tasa efectiva anual.

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VF = VP * (1+ i)n

ie = (1- ip)-k -1ipV = ipA / 1 - ipA



4ntonces,

ipA # 8,/8 ; # 8,89? trimestre anticipado.

ip5 # 8,89? %< 8,89? # 8,8@% trimestre vencido.

e tiene que una tasa de inters del 9,?0 trimestre anticipado, esequivalente a una tasa del @,%0 trimestre vencido.

"ara comprobarlo, se encuentran las tasas efectivas vencidas,

iev # $%&8,8@%'; <% # /3,?0 ieA # $%< 8,89?'<; <% # /3,?0.

:espuesta al e*ercicio el banco cobra a una tasa del /3,?0 efectivaanual.

FORMULAS DE TASA ANTICIPADA$órmula 1 asa nominal in #E ip # J $órmula asa periódica ip #E in #$órmula ' asa efecti;a anual

anticipadaie #E B1 F ip #CH H1

$órmula & asa periódica a partirde la tasa periódicaanticipada

ip;E ip # B1H ip #C

$ormula = asa efecti;a anual apartir de una tasaperiódica anticipada

ie; E B1 K ip;C H1

"iendo ip; la fórmula &.

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